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第十章____重积分(高等数学教案)

重积分

【教学目标与要求】

1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。

2.掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。

3.掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。

4.会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等）。【教学重点】

1.二重积分的计算（直角坐标、极坐标）；

2.三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。

3.二、三重积分的几何应用及物理应用。

【教学难点】

1.利用极坐标计算二重积分；

2.利用球坐标计算三重积分；

3.物理应用中的引力问题。

【教学课时分配】 (10学时)

第1 次课§１第2 次课§2 第3 次课§3

第4 次课§4 第5次课习题课

【参考书】

[1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社.

[2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社.

[3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社

§10. 1 二重积分的概念与性质

【回顾】定积分

设函数y =f (x )在区间[a , b ]上非负、连续. 求直线x =a 、x =b 、y =0 及曲线y =f (x )所围成的曲边梯形的面积.

(1)分割：用分点a =x 0

i i x f ?)(ξ (i =1, 2, ? ? ? , n );

（3）作和：曲边梯形面积A 的近似值为 ∑=?≈

i i

x f A 1

)(ξ.

(4)取极限：记λ=max{?x 1, ?x 2,? ? ?, ?x n }, 所以曲边梯形面积的精确值为 ∑=→?=n

i i

x f A 1

)(lim

ξλ.

则

§10. 1 二重积分的概念与性质

一、引例

1. 曲顶柱体的体积V

设有一立体, 它的底面是xOy 面上的闭区域D , 其侧面为母线平行于z 轴的柱面, 其顶是曲面z =f (x , y )非负连续. 称为曲顶柱体.

若立体的顶是平行于xoy 面的平面。

体积=底面积?高

现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积.

（i ）分割：用任意曲线网把D 分成n 个小区域： ?σ 1, ?σ 2, ? ? ? , ?σ n .

分别以这些小闭区域的边界曲线为准线, 作母线平行于z 轴的柱面, 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n 个细曲顶柱体.

∑?

=→?==n

i i

i b

x f A x x f 1

)(lim d )(ξλ

（ii ）代替：在每个?σ i 中任取一点(ξ i , η i ), 以f (ξ i , η i )为高而底为?σ i 的平顶柱体的体积为

f (ξ i , η i ) ?σi (i =1, 2, ? ? ? , n ). （iii ）近似和：整个曲顶柱体体积V i i i n

i f V σηξ?≈=∑),(1.

分割得越细, 则右端的近似值越接近于精确值V , 若分割得"无限细", 则右端近似值会无限接近于精确值V . （iv ）取极限：

其中i σ?的直径是指i σ?中相距最远的两点的距离。则

i i i n

i f V σηξλ?==→∑),(lim 1

0. 其中i i i σηξ?∈),(

2. 平面薄片的质量.

当平面薄板的质量是均匀分布时, 质量 = 面密度×面积.

若平面薄板的质量不是均匀分布的. 这时, 薄板的质量不能用上述公式算, 应如

何算该薄板的质量M?

设有一平面薄片占有xOy 面上的闭区域D , 它在点(x , y )处的面密度为),(y x μ, 这

里),(y x μ非负连续. 现在要计算该薄片的质量M .

（i ）分割：用任意一组曲线网把D 分成n 个小区域： ?σ 1, ?σ 2, ? ? ? , ?σ n .

（ii ）代替：把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量: ≈i m μ(ξ i , η i )?σ i .

（iii ）近似和：各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值: i i i n

i M σηξμ?≈=∑),(1.

{max 1的直径记i n

i σλ≤≤=

将分割加细, 取极限, 得到平面薄片的质量（iv ）取极限：则 i i i n

i M σηξμλ?==→∑),(lim 1

两个问题的共性： (1) 解决问题的步骤相同：

“分割, 代替, 近似和,取极限”

(2) 所求量的结构式相同

曲顶柱体体积:

i i i n

i f V σηξλ?==→∑),(lim 1

平面薄片的质量:

i i i n

i M σηξμλ?==→∑),(lim 1

二、二重积分的定义及可积性

定义：设f (x , y )是有界闭区域D 上的有界函数. 将闭区域D 任意分成n 个小闭区域 ?σ 1, ?σ 2, ? ? ? , ?σ n .

其中?σ i 表示第i 个小区域, 也表示它的面积. 在每个?σ i 上任取一点(ξ i , ηi ), 作和

i i i n

i f σηξ?=∑),(1

如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f (x , y )在闭区域D 上的二重积分, 记作

σd y x f D

??),(, 即

i i i n

i D

f d y x f σηξσλ?==→∑??),(lim ),(1

0. f (x , y )被积函数, f (x , y )d σ被积表达式, d σ面积元素, x , y 积分变量, D 积分区域, 积分和. 直角坐标系中的面积元素:

如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D , 那么除了包含边界点的一些小闭区域外, 其余的小闭区域都是矩形闭区域. 设矩形闭区域?σi 的边长为?x i 和?y i , 则?σi =?x i ?y i , 因此在直角坐标系中, 有时也把面积元素d σ 记作dxdy , 而把二重积分记作

{max 1的直径记i

i σλ≤≤=

dxdy y x f D

??),(

其中dxdy 叫做直角坐标系中的面积元素.

二重积分的几何意义: 如果f (x , y )≥0, 被积函数f (x , y )可解释为曲顶柱体的在点(x , y )处的竖坐标, 所以二重积分的几何意义就是柱体的体积. 如果f (x , y )是负的, 柱体就在xOy 面的下方, 二重积分的绝对值仍等于柱体的体积, 但二重积分的值是负的.

说明：当函数f (x , y )在闭区域D 上连续时, 则f (x , y ) 在D 上的二重积分必存在。于是我们总假定函数f (x , y )在闭区域D 上连续，所以f (x , y ) 在D 上的二重积分都是存在的。例1.利用二重积分定义计算：dxdy xy D

??，其中}10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D 。

三. 二重积分的性质

设D 为有界闭区域，以下涉及的积分均存在。性质1

σσσd y x g d y x f d y x g y x f D

??????±=±),(),()],(),([.

性质2 设k 为常数，则σσd y x f k d y x kf D

????=),(),(

性质3

||1D d d D

==?????σσ，其中(||D 为D 的面积).

性质4 设21D D D =，且21,D D 无公共内点，则

σσσd y x f d y x f d y x f D D D

??????+=2

),(),(),(.

性质5.若在D 上, f (x , y )≤g (x , y ), 则

σσd y x g d y x f D

????≤),(),(.

特殊：（1）若在D 上0),(≥y x f ，则

0),(≥??σd y x f D

（2） σσd y x f d y x f D

????≤|),(||),(|

这是因为|),(|),(|),(|y x f y x f y x f ≤≤-

性质6 设M 、m 分别是f (x , y )在闭区域D 上的最大值和最小值, ||D 为D 的面积, 则

||),(||D M d y x f D m D

≤≤

??σ.

性质7(二重积分的中值定理) 设函数f (x , y )在闭区域D 上连续, σ 为D 的面积, 则在D 上至少存在一点D ∈),(ηξ，使 σηξσ),(),(f d y x f D

=??.

例2.比较下列积分的大小：

σd y x D

2)(??+，σd y x D

)(??+，

其中}2)1()2(|),{(22≤-+-=y x y x D

小结

1.二重积分的定义：

∑??=→?=n

i i

f d y x f 1

),(lim ),(σηξσλ

，)(dxdy

d =σ 2. 二重积分的性质（与定积分性质相似）

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意二重积分的定义，性质以及应用，并且要与定积分的定义、性质

进行比较，要结合实例，反复讲解。

师生活动设计

1.比较下列积分值的大小关系：??≤+=

||y x dxdy xy I ，??≤+=

||||2

||y x dxdy

xy I

，

--=1

3||dxdy xy I

2.证明：??≤+≤

d y x 2)cos (sin 12

2σ，其中D 为10,10≤≤≤≤y x 。讲课提纲、板书设计

作业 P137: 4（1）（3），5（1）（4）

§10. 2 二重积分的计算法

一、利用直角坐标计算二重积分

X --型区域: D : ?1(x )≤y ≤?2(x ), a ≤x ≤b . Y --型区域: D : ψ1(x )≤y ≤ψ2(x ), c ≤y ≤d .

混合型区域: 设f (x , y )≥0, D ={(x , y )| ?1(x )≤y ≤?2(x ), a ≤x ≤b }. 此时二重积分σd y x f D

??),(在几何上表示以曲面z =f (x , y )为顶, 以区域D 为底的曲顶

柱体的体积.

对于x 0∈[a , b ], 曲顶柱体在x =x 0的截面面积为以区间[?1(x 0), ?2(x 0)]为底、以曲线z =f (x 0, y )为曲边的曲边梯形, 所以这截面的面积为 ?=

)

()

(00020

),()(x x dy y x f x A ??.

根据平行截面面积为已知的立体体积的方法, 得曲顶柱体体积为 ?=b

a dx x A V )(dx dy y x f

b a x x ??=]),([)

()

(21

??.

即 V =dx dy y x f d y x f b a x x D

??=]),([),()()

(21??σ.

可记为

????=b

a x x D

dy y x f dx d y x f )

()

(21

),(),(??σ.

类似地, 如果区域D 为Y --型区域: D : ψ1(x )≤y ≤ψ2(x ), c ≤y ≤d , 则有

??=d

y y D

dx y x f dy d y x f )

()

(21),(),(ψψσ.

例1. 计算σd xy D

??, 其中D 是由直线y =1、x =2及y =x 所围成的闭区域.

解: 画出区域D .

方法一. 可把D 看成是X --型区域: 1≤x ≤2, 1≤y ≤x . 于是

????=211][x D

dx xydy d xy σ??-=?=21

112)(21]2[dx x x dx y x x 89]24[212124=-=x x . 注: 积分还可以写成

??????==21

x D

ydy xdx xydy dx d xy σ.

解法2. 也可把D 看成是Y --型区域: 1≤y ≤2, y ≤x ≤2 . 于是

????=212][y D

dy xydx d xy σ??-=?=2132

122)22(]2[dy y y dy x y y 89

]8[2142=-=y y .

例2. 计算

σd y x y

??-+221, 其中D 是由直线y =1、x =-1及y =x 所围成的闭区域.

解画出区域D , 可把D 看成是X --型区域: -1≤x ≤1, x ≤y ≤1. 于是

????-+=-+-1

11x D

dy y x y dx d y x y σ??----=-+-=11

311123

22)1|(|31])1[(31dx x dx y x x 2

1)1(32103=--=?dx x .

也可D 看成是Y --型区域：-1≤y ≤1, -1≤x

??---+=-+11

222211y

dx y x ydy d y x y σ.

例3 计算

σd xy D

, 其中D 是由直线y =x -2及抛物线y 2

=x 所围成的闭区域. 解积分区域可以表示为D =D 1+D 2,

其中x y x x D ≤≤-≤≤ ,10 :1; x y x D ≤≤≤≤2 ,41 :2. 于是

??--+=41

10x

x x

xydy dx xydy dx d xy σ.

积分区域也可以表示为D : -1≤y ≤2, y 2≤x ≤y +2. 于是

????-+=2

y y

xydx dy d xy σ?-+=2

2]2[dy y x y y ?--+=21

52])2([21dy y y y 8

55]62344[212

234=-++=-y y y y .

讨论积分次序的选择.

例4 求两个底圆半径都等于ρ的直交圆柱面所围成的立体的体积. 解设这两个圆柱面的方程分别为 x 2+y 2=ρ 2及x 2+z 2=ρ 2.

利用立体关于坐标平面的对称性, 只要算出它在第一卦限部分的体积V 1, 然后再乘以8就行了.

第一卦限部分是以D ={(x , y )| 0≤y ≤22x R -, 0≤x ≤ρ}为底, 以22x R z -=顶的曲顶柱体. 于是

σd x R V D

-=2

--=R x R dy x R dx 0

222

28?--=R

x R

dx y x R 0

0222

][8

302

16)(8

R dx x R R

=-=?. 二. 利用极坐标计算二重积分

有些二重积分, 积分区域D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便, 且被积函数用极坐标变量ρ 、θ 表达比较简单. 这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分

σd y x f D

??),(. 按二重积分的定义i n

i i i D

f d y x f σηξσλ?=∑??=→1

),(lim ),(. 下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式.

以从极点O 出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D 分为n 个小闭区域, 小闭区域的面积为:

i i i i i i θρθρρσ???-???+=?2221)(21i i i i θρρρ????+=)2(21

i i i i i

θρρρρ?????++=2

)

(i i i θρρ??=, 其中i ρ表示相邻两圆弧的半径的平均值.

在?σi 内取点) , (i i θρ, 设其直角坐标为(ξ i , η i ), 则有

i i i θρξcos =, i i i θρηsin =.

于是 i i n

i i i i i i i n

i i i f f θρρθρθρσηξλλ??=?∑∑=→=→1

)sin ,cos (lim ),(lim

, 即

θρρθρθρσd d f d y x f D

)sin ,cos (),(????=.

若积分区域D 可表示为? 1(θ)≤ρ≤? 2(θ), α≤θ≤β,

则

ρρθρθρθθρρθρθρθ?θ?β

d f d d d f D

???=)

()

(21)sin ,cos ()sin ,cos (.

讨论:如何确定积分限?

ρρθρθρθθρρθρθρθ?βαd f d d d f D

????=)

)sin ,cos ()sin ,cos (.

ρρθρθρθθρρθρθρθ?π

d f d d d f D

???=)

)sin ,cos ()sin ,cos (.

例5. 计算??--D

y x dxdy e 2

, 其中D 是由中心在原点、半径为a 的圆周所围成的闭区

域.

解在极坐标系中, 闭区域D 可表示为 0≤ρ≤a , 0≤θ ≤2π . 于是

????---=D

y x

d d

e dxdy e θρρρ2

θθρρπ

ρπρd e d d e a a

020200]21[ ][2

???---==

)1()1(2

a a e d e ---=-=?πθπ

注: 此处积分

??--D

y x

dxdy e 2

也常写成

??≤+--2

222

a y x y x

dxdy e .

利用

)1(2

222

a a y x y x e dxdy e -≤+---=??

π计算广义积分dx e x 2

-+∞

设D 1={(x , y )|x 2+y 2≤R 2, x ≥0, y ≥0}, D 2={(x , y )|x 2+y 2≤2R 2, x ≥0, y ≥0},S ={(x , y )|0≤x ≤R , 0≤y ≤R }.

显然D 1?S ?D 2. 由于02

>--y x e , 从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式

??????------<<2

D y x

y x

D y x

dxdy e dxdy e dxdy e .

因为

)(2

?????-----=?=R

x R

y R

x S

y x

dx e dy e dx e dxdy e ,

又应用上面已得的结果有

)1(4

R D y x

e dxdy e ----=??π,

)1(4

2R D y x

e dxdy e ----=??π,

于是上面的不等式可写成

)1(4

)()1(4

222220

R R x R e dx e e ----<<-?

ππ.

令R →+∞, 上式两端趋于同一极限

π, 从而2

π=-∞+?dx e x .

例6 求球体x 2+y 2+z 2≤4a 2被圆柱面x 2+y 2=2ax 所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积.

解由对称性, 立体体积为第一卦限部分的四倍. ??

--=D

dxdy y x a V 22244

其中D 为半圆周22x ax y -=及x 轴所围成的闭区域. 在极坐标系中D 可表示为 0≤ρ≤2a cos θ , 2

0πθ≤≤. 于是 ?

-=-=20cos 20

222

24444

θρρρθθρρρa D

d a d d d a V

22(332)sin 1(33222032-=-=?πθθπ

a d a .

小结

1.二重积分化为累次积分的方法；

2. 积分计算要注意的事项。

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意二重积分化为累次积分的方法：分直角坐标和极坐标，以及在计算时要注意事项，要结合实例，反复讲解。

师生活动设计

1. 设]1,0[)(C x f ∈，且?=1

)(A dx x f ，求y y f x f x I x

d )()(d 1

??=。

2. 交换积分顺序r r f I a d ),(d cos 0

θθθ

π?

，)0(>a

讲课提纲、板书设计

作业 P154: 1 (2), (4); 2 (1), (3); 6 (2), (4);

12 (1), (3); 13 (3), (4); 14 (1), (2)；15（1）（2）

§10.3 三重积分

一、三重积分的概念

定义设f (x , y , z )是空间有界闭区域Ω上的有界函数. 将Ω任意分成n 个小闭区域： ?v 1, ?v 2, ? ? ? , ?v n

其中?v i 表示第i 个小闭区域, 也表示它的体积. 在每个?v i 上任取一点(ξi , ηi , ζi ), 作乘积f (ξ

i , η i , ζ i )?v i (i =1, 2, ? ? ?, n )并作和

i i i i n

i v f ?=∑),,(1

ζηξ. 如果当各小闭区域的直径中的最大值λ

趋于零时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f (x , y , z )在闭区域Ω上的三重积分, 记作

dv z y x f ???Ω

),,(. 即

i i i i n

i v f dv z y x f ?==→Ω

∑???),,(lim ),,(1

0ζηξλ. 三重积分中的有关术语:

???Ω

——积分号, f (x , y , z )——被积函数, f (x , y , z )dv ——被

积表达式, dv 体积元素, x , y , z ——积分变量, Ω——积分区域.

在直角坐标系中, 如果用平行于坐标面的平面来划分Ω, 则?v i =?x i ?y i ?z i , 因此也把体积元素记为dv =dxdydz , 三重积分记作

??????Ω

=dxdydz z y x f dv z y x f ),,(),,(.

当函数f (x , y , z )在闭区域Ω上连续时, 极限i i i i n

i v f ?=→∑),,(lim 1

0ζηξλ是存在的,

因此f (x , y , z )在Ω上的三重积分是存在的, 以后也总假定f (x , y , z )在闭区域Ω上是连续的. 三重积分的性质: 与二重积分类似. 比如

dv z y x g c dv z y x f c dv z y x g c z y x f c ?????????Ω

±=±),,(),,()],,(),,([2121;

dv z y x f dv z y x f dv z y x f ?????????ΩΩΩ+Ω+=2

1),,(),,(),,(;

V dv =???Ω

, 其中V 为区域Ω的体积.

二、三重积分的计算 1. 利用直角坐标计算三重积分

三重积分的计算: 三重积分也可化为三次积分来计算. 设空间闭区域Ω可表为 z 1(x , y )≤z ≤z 2(x , y ), y 1(x )≤y ≤y 2(x ), a ≤x ≤b , 则

σd dz z y x f dv z y x f D

y x z y x z ??????=Ω

]),,([),,()

,()

,(21

???=b

a x y x y y x z y x z dy dz z y x f dx

)()()

,()

,(21

]),,([ ??

?=b

a y x z y x z x y x y dz z y x f dy dx

)

,()

()

(2121

),,(,

即

???=Ω

y x z y x z x y x y dz z y x f dy dx dv z y x f )

,()

()

(2121),,(),,(.

其中D : y 1(x )≤ y ≤ y 2(x ), a ≤x ≤b . 它是闭区域Ω在xOy 面上的投影区域. 提示: 设空间闭区域Ω可表为

z 1(x , y )≤z ≤z 2(x , y ), y 1(x )≤y ≤y 2(x ), a ≤x ≤b , 计算???Ω

dv z y x f ),,(.

基本思想:

对于平面区域D : y 1(x )≤y ≤y 2(x ), a ≤x ≤b 内任意一点(x , y ), 将f (x , y , z )只看作z 的函数, 在区间[z 1(x , y ), z 2(x , y )]上对z 积分, 得到一个二元函数F (x , y ), ?=

)

,()

,(21

),,(),(y x z y x z dz z y x f y x F ,

然后计算F (x , y )在闭区域D 上的二重积分, 这就完成了f (x , y , z )在空间闭区域Ω上的三重积分.

???

??=D

y x z y x z D

d dz z y x f d y x F σσ]),,([),()

,()

,(21??

x y x y y x z y x z dy dz z y x f dx )

()

,()

,(2121]),,([,

则

σd dz z y x f dv z y x f D

y x z y x z ??????=Ω

]),,([),,()

,()

,(21

???=b

a x y x y y x z y x z dy dz z y x f dx

)

()()

,()

,(21

]),,([ ??

?=b

a y x z y x z x y x y dz z y x f dy dx )

,()

()

(2121

),,(.

即

??????=Ω

a y x z y x z x y x y dz z y x f dy dx dv z y x f )

,()

,()()(21

),,(),,(.

其中D : y 1(x )≤ y ≤ y 2(x ), a ≤x ≤b . 它是闭区域Ω在xOy 面上的投影区域. 例1 计算三重积分dxdydz x ???Ω

, 其中Ω为三个坐标面及平面x +2y +z =1所围成的闭区

域.

解作图, 区域Ω可表示为:

0≤z ≤1-x -2y , )1(2

10x y -≤≤, 0≤x ≤1.

于是

???---Ω

0210210

x y x xdz dy dx dxdydz x ??

---=

0210

)21(x

dy y x xdx

+-=103248

1)2(41dx x x x .

讨论: 其它类型区域呢?

有时, 我们计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分. 设空间闭区域Ω={(x , y , z )|(x , y )∈D z , c 1≤ z ≤c 2}, 其中D z 是竖坐标为z 的平面截空间闭区域Ω所得到的一个平面闭区域, 则有

??????=Ω

D c c dxdy z y x f dz dv z y x f ),,(),,(2

例2 计算三重积分dxdydz z ???Ω

, 其中Ω是由椭球面1222222=++c z b y a x 所围成的空间闭

区域.

解空间区域Ω可表为:

22221c z b y a x -≤+, -c ≤ z ≤c .

于是

???

-Ω

c D

dxdy dz z dxdydz z 2

3222

154)1(abc dz z c z ab c

c ππ=-=?-.

练习：

例3. 将三重积分dxdydz

z y x f I ???Ω

),,(化为三次积分, 其中

(1)Ω是由曲面z =1-x 2-y 2, z =0所围成的闭区域.

(2)Ω是双曲抛物面xy =z 及平面x +y -1=0, z =0所围成的闭区域. (3)其中Ω是由曲面z =x 2+2y 2及z =2-x 2所围成的闭区域. 例4. 将三重积分dxdydz

z y x f I ???Ω

),,(化为先进行二重积分再进行定积分的形式,

其中Ω由曲面z =1-x 2-y 2, z =0所围成的闭区域. 2. 利用柱面坐标计算三重积分

设M (x , y , z )为空间内一点, 并设点M 在xOy 面上的投影P 的极坐标为P (ρ, θ ), 则这样的三个数ρ、θ 、z 就叫做点M 的柱面坐标, 这里规定ρ、θ 、z 的变化范围为:

0≤ρ<+∞, 0≤θ ≤2π , -∞

x =ρcos θ, y =ρsin θ, z =z . ???

??===z

z y x θρθρsin cos

柱面坐标系中的体积元素: dv =ρd ρd θdz . 简单来说, dxdy =ρd ρd θ , dxdydz =dxdy ?dz =ρd ρd θ dz . 柱面坐标系中的三重积分:

??????Ω

=dz d d z f dxdydz z y x f θρρθρθρ),sin ,cos (),,(.

例5利用柱面坐标计算三重积分???Ω

zdxdydz , 其中Ω是由曲面z =x 2

+y 2

与平面z =4所

围成的闭区域.

解闭区域Ω可表示为: ρ2≤z ≤4, 0≤ρ≤2, 0≤θ≤2π. 于是

??????Ω

=dz d d z zdxdydz θρρ

???=

πρρρθ202

2zdz d d ??-=π

ρρρθ202

04)16(21d d

πρρπ3

64]618[2212062=-?=.

3. 利用球面坐标计算三重积分

设M (x , y , z )为空间内一点, 则点M 也可用这样三个有次序的数r 、?、θ 来确定, 其中 r 为原点O 与点M 间的距离, ?为→

OM 与z 轴正向所夹的角, θ为从正z 轴来看自x 轴按逆时针方向转到有向线段→

OP 的角, 这里P 为点M 在xOy 面上的投影, 这样的三个数r 、? 、

θ 叫做点M 的球面坐标, 这里r 、?、θ 的变化范围为

0≤r <+∞, 0≤?<π, 0≤θ ≤2π.

坐标面r =r 0, ?=?0, θ=θ0的意义，点M 的直角坐标与球面坐标的关系:

x =r sin ?cos θ, y =r sin ?sin θ, z =r cos ? . ???

??===?

θ?θ

?cos sin sin cos sin r z r y r x

球面坐标系中的体积元素: dv =r 2sin ?drd ?d θ . 球面坐标系中的三重积分:

θ???θ?θ?d drd r r r r f dv z y x f sin )cos ,sin sin ,cos sin (),,(2??????Ω

例6 求半径为a 的球面与半顶角α为的内接锥面所围成的立体的体积. 解该立体所占区域Ω可表示为: 0≤r ≤2a cos ?, 0≤?≤α, 0≤θ≤2π. 于是所求立体的体积为 ??????Ω

θ??d drd r dxdydz V sin 2???

=πα?

??θ200cos 20

2sin a dr r d d

=α

??π

cos 20

2sin 2a dr r d

???π0

33s i n c o s 3

16d a

)c o s 1(3

443

a a -=π.

提示: 球面的方程为x 2+y 2+(z -a )2=a 2, 即x 2+y 2+z 2=2az . 在球面坐标下此球面的方程为r 2=2ar cos ?, 即r =2a cos ?.

小结

1.三重积分的定义和计算；

2. 换元积分公式。

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意三重积分的定义和计算以及换元积分公式的应用，要结合实例，反复讲解。

师生活动设计

1. 将???Ω

z y x f I ),,(用三次积分表示，其中Ω由六个平面

2,,42,1,2,0===+===z x z y x y x x 所围成，)(),,(Ω∈C z y x f 。

2. 设Ω由锥面22y x z +=

和球面4222=++z y x 所围成，计算

???Ω

++=dv z y x I 2

)( 讲课提纲、板书设计

作业 P164: 4，5，7，9（1）

§10. 4 重积分的应用

一、曲面的面积

设曲面S 由方程 z =f (x , y )给出, D 为曲面S 在xOy 面上的投影区域, 函数f (x , y )在D 上具有连续偏导数f x (x , y )和f y (x , y ). 现求曲面的面积A .

在区域D 内任取一点P (x , y ), 并在区域D 内取一包含点P (x , y )的小闭区域d σ, 其面积也记为d σ. 在曲面S 上点M (x , y , f (x , y ))处做曲面S 的切平面T , 再做以小区域d σ的边界曲线为准线、母线平行于z 轴的柱面. 将含于柱面内的小块切平面的面积作为含于柱面内的小块曲面面积的近似值, 记为dA . 又设切平面T 的法向量与z 轴所成的角为γ , 则 σγ

σd y x f y x f d dA y

x ),(),(1cos 22++==

, 这就是曲面S 的面积元素. 于是曲面S 的面积为 σd y x f y x f A y x D

),(),(122++=

或 dxdy y

z x z A D

22)()(1??+??+=

设dA 为曲面S 上点M 处的面积元素, dA 在xOy 面上的投影为小闭区域d σ, M 在xOy 面上的投影为点P (x , y ), 因为曲面上点M 处的法向量为n =(-f x , -f y , 1), 所以 σσd y x f y x f d dA y x ),(),(1||22++==n . 提示: dA 与xOy 面的夹角为(n ,^ k ), dA cos(n ,^ k )=d σ, n ?k =|n |cos(n ,^ k )=1, cos(n ,^ k )=|n |-1.

讨论: 若曲面方程为x =g (y , z )或y =h (z , x ), 则曲面的面积如何求？ dydz z x y x A yz

D ??

??+??+=

22)()(1, 或 dzdx x

y z y A zx

D ??

??+??+=

2)()(

1. 其中D yz 是曲面在yOz 面上的投影区域, D zx 是曲面在zOx 面上的投影区域. 例1 求半径为R 的球的表面积. 提示:

222y x R x x z ---=??, 222y

x R y y z ---=??, 22222)()(1y x R R y z x z --=??+??+.

解球面的面积A 为上半球面面积的两倍. 上半球面的方程为222y x R z --=, 而

222y x R x x z ---=??, 222y

x R y y z ---=??,

所以 22)()(12

z x z A R y x ??+??+=?

?≤+

dxdy y x R R R y x 2222

--=?

?≤+??-=πρρρθ200222R R d d R 20

224 4R R R R πρπ=--=.

例2设有一颗地球同步轨道通讯卫星, 距地面的高度为h =36000km , 运行的角速度与

地球自转的角速度相同. 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径R =6400km).

二、质心

设有一平面薄片, 占有xOy 面上的闭区域D , 在点P (x , y )处的面密度为ρ(x , y ), 假定

μ(x , y )在D 上连续. 现在要求该薄片的质心坐标.

在闭区域D 上任取一点P (x , y ), 及包含点P (x , y )的一直径很小的闭区域d σ(其面积也记为d σ), 则平面薄片对x 轴和对y 轴的力矩(仅考虑大小)元素分别为 dM x =y μ(x , y )d σ, dM y =x μ(x , y )d σ. 平面薄片对x 轴和对y 轴的力矩分别为 ??=

x d y x y M σμ),(, ??=D

y d y x x M σμ),(.

设平面薄片的质心坐标为) ,(y x , 平面薄片的质量为M , 则有 y M M x =?, x M M y =? . 于是

????==

d y x d y x x M

M x σ

μσ

μ),(),(, ????==

d y x d y x y M

M y σ

μσ

μ),(),(.

提示: 将P (x , y )点处的面积元素d σ看成是包含点P 的直径得小的闭区域. D 上任取一点P (x , y ), 及包含的一直径很小的闭区域d σ(其面积也记为d σ), 则平面薄片对x 轴和对y 轴的力矩(仅考虑大小)元素分别为

讨论: 如果平面薄片是均匀的, 即面密度是常数, 则平面薄片的质心(称为形心)如何求？

求平面图形的形心公式为

????=

d xd x σ

, ????=

d yd y σ

例3 求位于两圆ρ=2sin θ 和ρ=4sin θ 之间的均匀薄片的质心.

解因为闭区域D 对称于y 轴, 所以质心) ,(y x C 必位于y 轴上, 于是0=x .

第十章重积分练习题(答案)

1.填空: (1)设D 是由x 轴,y 轴及直线1=+y x 所围成的三角形闭区域,则比较二重积分的值的大小,有2()D x y d σ+??≥3 ()D x y d σ+??. (2)设??++=D d y x I σ)94(22,其中(){} 4,22≤+=y x y x D ,则估计二重积分的值,有 36π≤≤I 100π. (3)交换积分次序:=??-2210),(y y dx y x f dy ????-+222021 010),(),(x x dy y x f dx dy y x f dx . (4)设D 是由直线y x 2=及抛物线2y x =所围成的闭区域，化二重积分σd y x f D ),(??为两个不同次序的二次积分是????x x y y dy y x f dx dx y x f dy 24022 0),(),(2，. （5）在极坐标系中，面积元素为d d ρρθ。 2.选择: (1)设平面区域(){}(){} 0,0,1,,1,22122≥≥≤+=≤+=y x y x y x D y x y x D ,则下列等式一定成立的是( C ). (A)????=1),(4),(D D dxdy y x f dxdy y x f . (B)????=1 4D D xydxdy xydxdy . (C)14D D =. (D)????=1 4D D xdxdy xdxdy . (2)设平面区域(){}(){}a y x a x y x D a y x a x a y x D ≤≤≤≤=≤≤≤≤-=,0,,,,1,则=+??D dxdy y x xy )sin cos (( A ). (A)??1sin cos 2 D ydxdy x . (B)??12D xydxdy . (C)??+1 )sin cos (4D dxdy y x xy . (D)0. (3)设?? ????+=+=+=σσσd y x I d y x I d y x I D 2223222221)cos(,)cos(cos ，,其中 (){} 1,22≤+=y x y x D ,则( A ). (A)123I I I >>. (B)321I I I >>.

高等数学科学出版社下册课后答案第十章曲线积分与曲面积分习题简答(可编辑修改word版)

1 2 1 2 2 5 L L ? ? ? 第十章曲线积分与曲面积分习题简答习题 10—1 1 计算下列对弧长的曲线积分：（1） I = ? L xds ，其中 L 是圆 x 2 + y 2 = 1中 A (0,1) 到 B ( , - ) 之间的一段劣弧；解: (1 + ) ．（2） ? L (x + y +1)ds ，其中 L 是顶点为O (0, 0), A (1, 0) 及 B (0,1) 所成三角形的边界；解: ?L (x - y + 1)ds = 3 + 2 ．（3） ? x 2 + y 2 ds ，其中 L 为圆周 x 2 + y 2 = x ；解: ? x 2 + y 2 ds = 2 ．（4） x 2 yzds ，其中 L 为折线段 ABCD ，这里 A (0, 0, 0) ， B (0, 0, 2), C (1, 0, 2), L D (1, 2, 3) ；解: ? L x 2 yzds = 8 ． 3 z B (0, 0, 2) D (1, 2,3) C (1, 0, 2) 2 求八分之一球面 x 2 + y 2 + z 2 = 1(x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0) 的边界曲线的重心，设曲线的密度 = 1 。解故所求重心坐标为? 4 , 4 , 4 ? ． A (0, 0, 0) y x 3 3 3? 习题 10—2 1 设 L 为 xOy 面内一直线 y = b （ b 为常数），证明 1 2 y A C o x B

? ? ?L x - y + z = 2 , ? 证明：略. 2 计算下列对坐标的曲线积分： ?L Q (x , y )dy = 0 。（1） ? L xydx ，其中 L 为抛物线 y = x 上从点 A (1, -1) 到点 B (1,1) 的一段弧。 2 4 解 : ? L xydx = 5 。（2） (x 2 + y 2 )dx + (x 2 - y 2 )dy ，其中 L 是曲线 y = 1 - 1 - x 从对应于 x = 0 时的点到 L x = 2 时的点的一段弧；解 (x 2 + y 2 )dx + (x 2 - y 2 )dy = 4 ． L 3 （3） ? L ydx + xdy , L 是从点 A (-a , 0) 沿上半圆周 x 2 + y 2 = a 2 到点 B (a , 0) 的一段弧；解 ?L ydx + xdy = 0. （4） xy 2dy - x 2 ydx ，其中 L 沿右半圆 x 2 + y 2 = a 2 以点 A (0, a ) 为起点，经过点C (a , 0) L 到终点 B (0, -a ) 的路径；解 ?L xy 2dy - x 2 ydx = -a 4 。 4 （5） ? L x dx + 3zy dy - x ydz ，其中 L 为从点 A (3, 2,1) 到点 B (0, 0, 0) 的直线段 AB ； 3 2 2 0 3 87 解 ? x 3dx + 3zy 2dy - x 2 ydz = 87? t dt = - 。 L 1 4 ?x 2 + y 2 = 1 , （6） I = (z - y )dx + (x - z )dy + (x - y )dz ， L 为椭圆周? 且从 z 轴 ? 正方向看去， L 取顺时针方向。解: = -2 。习题 10—3 1. 利用曲线积分求下列平面曲线所围成图形的面积:

第十章重积分自测题(答案)

第十章《重积分》自测题一、单项选择题 1．设1D 是正方形域，2D 是1D 的内切圆，3D 是1D 的外接圆，1D 的中心点在(1,1)-，记 22 1 221y x y x D I e dxdy ---= ??，22 2 222y x y x D I e dxdy ---= ??，22 2233 y x y x D I e dxdy ---= ??则123,,I I I 大小顺序为（ B ）。（A ）123I I I ≤≤；(B) 213I I I ≤≤；（C ）321I I I ≤≤；（D ）312I I I ≤≤。 2．D=}2 1 ,1),{(22-≥≤+x y x y x 则σd y x D )(2 2??+=( A ) (A)? - 1 2 1dx dy y x x x )(2 2 112 2? ---+ (B) dy x x ? ---2 2 11? - +12 12 2)(dx y x (C) ? - 12 1dx dy y x x )(2 12 12 2? -- + (D) ? - 12 1dx dy y x )(1 2 12 2? - + 3．改变12 2 2 111 2 (,)(,)y y dy f x y dx dy f x y dx + ??? ?的积分次序，则下列结果正确的是（A ）（A ）??21 1),(x x dy y x f dx （B ）??2 1 1 ),(x x dy y x f dx （C ）??31 1),(x x dy y x f dx （D ）??1 3 11 ),(x x dy y x f dx 4．已知D 是正方形域：11,02x y -≤≤≤≤，则2 D I y x dxdy = -?? 的值为（ D ）（A ） 23 ；（B ） 43 ；（C ） 2115 ；（D ） 4615 5．设D ：2222 ,,(0)x y ax x y ay a +≤+≤>，则(,)D f x y dxdy ??可化为（ D ）。（A ）cos 20sin (cos ,sin )a a d f r r rdr π θθθ θθ?? ；（B ）sin 402(cos ,sin )a a d f r r rdr π θθ θθ?? ；（C ）sin 400 (cos ,sin )a d f r r rdr π θ θ θθ?? ＋sin 2 cos 4 (cos ,sin )a a d f r r rdr π θπθ θ θθ?? ；（D ） sin 40 (cos ,sin )a d f r r rdr π θθ θθ? ? ＋ cos 2 4 (cos ,sin )a d f r r rdr π θπ θ θθ?? 6．Ω由不等式2 2 y x z +≥，222 (1)1x y z ++-≤确定，则???Ω dv z y x f ),,(=（D ）

高等数学习题册解答_10.重积分(青岛理工大学)

第十章重积分 § 1 二重积分的概念与性质 1、由二重积分的几何意义求二重积分的值 dxdy y x I D ??+=22 其中D 为：422≤+y x ( dxdy y x I D ??+=22=πππ3 16 2.4..312.4.= -) 2、设D 为圆域,0,222>≤+a a y x 若积分 dxdy y x a D ?? --2 2 2 =12π，求a 的值。解： dxdy y x a D ?? --2 2 2 =3 .34.21a π 81 =a 3、设D 由圆,2)1()2(22围成=-+-y x 求??D dxdy 3 解：由于D 的面积为π2, 故??D dxdy 3=π6 4、设D ：}10,53|),{(≤≤≤≤y x y x ， ????+=+=D D dxdy y x I dxdy y x I 221)][ln(,)ln(，比较1I , 与2I 的大小关系解：在D 上，)ln(y x +≤ 2)][ln(y x +,故1I ≤2I 5、设f(t)连续，则由平面 z=0，柱面 ,122=+y x 和曲面2)]([xy f z =所围的立体的体积，可用二重积分表示为??≤+=1 :222)]([y x D dxdy xy f V 6、根据二重积分的性质估计下列积分的值 ??D ydxdy x 22sin sin ππ≤≤≤≤y x D 0,0: (≤ 0??D ydxdy x 22sin sin 2π≤) 7、设f(x,y)为有界闭区域D ：222a y x ≤+上的连续函数，求 ??→D a dxdy y x f a ),(1 lim 2 0π 解：利用积分中值定理及连续性有)0,0(),(lim ),(1lim 8 2 0f f dxdy y x f a a D a ==→→??ηξπ

00023 高等数学(工本)课程考试说明

00023 高等数学（工本）课程考试说明一、本课程使用的教材、大纲高等数学（工本）课程指定使用的教材为：《高等数学（工本）》（附大纲），全国高等教育自学考试指导委员会组编，陈兆斗、高瑞主编，北京大学出版社，2006版二、本课程的试卷题型及试题难易程度 2.试卷分别针对识记、领会、简单应用、综合应用四个认知及能力层次命制试题，四个层次在试卷中所占的比例大致为识记占20%，领会占30%，简单应用占30%，综合应用占20%。 3.试卷难易度大致可分为容易、中等偏易、中等偏难、难四个等级，根据课程的特点，试卷中不同难易度试题所占的分数比例，大致依次为容易占30分，中等偏易占30分，中等偏难占20分，难占20分。 4.考试形式本课程考试形式为闭卷笔试方式，考试时间为150分钟，评分采用百分制，60分为及格线。三、各章内容分数的大致分布根据自学考试大纲的要求，试卷在命题内容的分布上，兼顾考核的覆盖面和课程重点，力求点面结合。教材具体各章所占分值情况如下：

四、考核重点及难点第一章空间解析几何与向量代数重点：向量的运算、平面、直线、柱面、椭球面、圆锥面、旋转抛物面的标准方程及其图形。难点：向量的向量积及空间曲线在坐标平面上的投影。第二章多元函数微分学重点：偏导数（含复合函数及隐函数的偏导数）计算、极值及应用。难点：复合函数、隐函数偏导数的计算、多元函数极值、条件极值的求法及其应用。第三章重积分重点：二重积分、三重积分的计算及其应用。难点：重积分化为累次积分时坐标系的选取及积分限的确定。第四章曲线积分和曲面积分重点：曲线积分和曲面积分的计算、格林公式和高斯公式。难点：对坐标的曲线、曲面积分的计算、平面曲线积分与路径无关的条件的理解与应用。第五章常微分方程重点：三类一阶微分方程和二阶常系数线性微分方程的解法。难点：方程类型的识别及二阶常系数线性非齐次微分方程的特解*y 的设法。第六章无穷级数重点：常数项级数的审敛、幂级数的收敛区间及用间接法将函数展开成幂级数。难点：非正项数项级数的敛散性判别及将函数展开成幂级数。五、各题型试题范例及解题要求 1、单项选择题解题要求：在下列每小题的四个备选答案中选出一个正确的答案，并将其字母标号填入题干的括号内。范例：求函数22 (,)f x y = （） A.{} 22(,)|23x y x y <+< B. {} 22 (,)|49x y x y <+< C. {} 22 (,)|49x y x y <+≤ D. {} 22(,)|23x y x y <+≤ 答案B 直接填入题干的括号内 2、填空题解题要求：直接将答案写在题中的“ ”上，不必写中间步骤。范例：已知向量α={k,2,-1}和β={2,-1,-1}垂直，则常数k=_________. 答案 1 2 直接填写在“ ”上。 3、计算题解题要求：必须有求解的关键步骤，不能只写答案。范例：.求函数2 (,)cos()f x y xy x y =+-的梯度(1,0).gradf 解：sin()2f y xy x x ?=-+? sin()1f x xy y ?=--?

高数教案第十章重积分

高等数学教案

第十章重积分 §10-1 二重积分的概念与性质一、二重积分的概念（一）引例 1. 曲顶柱体的体积设有一空间立体 ,它的底是xoy面上的有界区域D,它的侧面是以D的边界曲线为准

线,而母线平行于z轴的柱面,它的顶是曲面(.) z f x y =。当(,) x y D ∈时,(,) f x y在D上连续且(,)0 f x y≥,以后称这种立体为曲顶柱体。曲顶柱体的体积V可以这样来计算: (1) 用任意一组曲线网将区域D分成n个小区域1σ ?， 2 σ ?，， n σ ?，以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于z轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体Ω分划成n个小曲顶柱体 1 ?Ω， 2 ?Ω，， n ?Ω。（假设 i σ ?所对应的小曲顶柱体为 i ?Ω,这里 i σ ?既代表第i个小区域,又表示它的面积值, i ?Ω既代表第i个小曲顶柱体,又代表它的体积值。) 图10-1-1 从而 1 n i i V = =?Ω ∑ (将Ω化整为零) (2) 由于(,) f x y连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是 ?Ω?? i i i i i i i f ≈?∈ ()() () ξησξησ (以不变之高代替变高, 求 i ?Ω的近似值) (3) 整个曲顶柱体的体积近似值为 V f i i i i n ≈ = ∑() ξησ ? 1 (4) 为得到V的精确值,只需让这n个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。为此,我

们引入区域直径的概念: 一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。设n个小区域直径中的最大者为λ, 则 V f n i i i i = →= ∑ lim() , λ ξησ 01 ? 2.平面薄片的质量设有一平面薄片占有xoy面上的区域D, 它在() ,x y处的面密度为() ,x y ρ,这里(),0 x y ρ≥,而且(),x y ρ在D上连续,现计算该平面薄片的质量M。图10-1-2 将D分成n个小区域1σ ?， 2 σ ?，， n σ ?，用 i λ记 i σ ?的直径, i σ ?既代表第i个小区域又代表它的面积。当{} 1 max i i n λλ ≤≤ =很小时, 由于(),x y ρ连续, 每小片区域的质量可近似地看作是均匀的, 那么第i小块区域的近似质量可取为 ρξησξησ (,)(,) i i i i i i ?? ?∈ 于是∑ = ? ≈ n i i i i M 1 ) , (σ η ξ ρ M i i i i n = →= ∑ lim(,) λ ρξησ 01 ? 两种实际意义完全不同的问题, 最终都归结同一形式的极限问题。因此,有必要撇开这类极限问题的实际背景, 给出一个更广泛、更抽象的数学概念,即二重积分。（二）二重积分的定义

高等数学重积分总结

第九章二重积分【本章逻辑框架】【本章学习目标】 ⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。 ⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。 9.1 二重积分的概念与性质【学习方法导引】 1．二重积分定义为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。

在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ???的分法要任意，二是在每个小区域i σ?上的点(,)i i i ξησ∈?的取法也要任意。有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限，才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。 2．明确二重积分的几何意义。 (1) 若在D 上(,)f x y ≥0，则(,)d D f x y σ??表示以区域D 为底，以 (,)f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地，当(,)f x y ＝1时，(,)d D f x y σ ??表示平面区域D 的面积。 (2) 若在D 上(,)f x y ≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分(,)d D f x y σ??的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积 (3)若(,)f x y 在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则(,)d D f x y σ??表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和 (即在Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积). 3．二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。有序性常用于比较两个二重积分的大小，估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围，在用估值不等式对一个二重积分估值的时候，一般情形须按求函数 (,)f x y 在闭区域D 上的最大值、最小值的方法求出其最大值与最小值，再应用估值不等式得到取值范围。

高等数学习题册解答_10.重积分(青岛理工大学).

第十章重积分 § 1 二重积分的概念与性质 1、由二重积分的几何意义求二重积分的值dxdy y x I D ??+=22 其中D 为：422≤+y x ( dxdy y x I D ??+=22=πππ3 16 2. 4. . 312. 4. = - 2、设D 为圆域, 0, 222>≤+a a y x 若积分 dxdy y x a D ?? --2 2 2 =12π，求a 的值。解： dxdy y x a D ?? --2

2 2 =3 . 34. 21a π 81 =a 3、设D 由圆, 2 1( 2(22围成=-+-y x 求??D dxdy 3 解：由于D 的面积为π2, 故??D dxdy 3=π6 4、设D ：}10, 53| , {(≤≤≤≤y x y x ， ????+=+=D D dxdy y x I dxdy y x I 221][ln(, ln(，比较1I , 与2I 的大小关系解：在D 上，ln(y x +≤ 2][ln(y x +, 故1I ≤2I 5、设f(t连续，则由平面 z=0，柱面 , 122=+y x 和曲面2]([xy f z =所围的立体的体积，可用二重积分表示为??≤+=1 :222]([y x D dxdy xy f V 6、根据二重积分的性质估计下列积分的值 ??D

ydxdy x 22sin sin ππ≤≤≤≤y x D 0, 0: (≤ 0??D ydxdy x 22sin sin 2π≤ 7、设f(x,y为有界闭区域D ：222a y x ≤+上的连续函数，求??→D a dxdy y x f a , (1 lim 2 0π 解：利用积分中值定理及连续性有 0, 0( , (lim , (1lim 8 2 0f f dxdy y x f a a D a ==→→??ηξπ § 2 二重积分的计算法 1、设?? +=D dxdy y x I 1，其中D 是由抛物线12+=x y 与直线y=2x，x=0所围成的区域，则I=（） A ： 2

00023高等数学(工本)考试说明(定稿)

00023高等数学（工本）课程考试说明一、本课程使用的教材、大纲高等数学（工本）课程指定使用的教材为：（1）《高等数学（工专）》（附大纲），全国高等教育自学考试指导委员会组编，吴纪桃、漆毅主编，北京大学出版社，2006年版；（2）《高等数学（工本）》（附大纲），全国高等教育自学考试指导委员会组编，陈兆斗、高瑞主编，北京大学出版社，2006年版；（3）《高等数学（工本）》（附大纲），全国高等教育自学考试指导委员会组编，陆庆乐主编，西安交通大学出版社，2000年版；（4）《高等数学（工本）自学考试题典》，陈兆斗编著，吉林大学出版社，2006年版。二、本课程的试卷题型结构及试题难易度 1 2．试卷按识记、领会、简单应用、综合应用四个认知层次命制试题，四个认知层次在试卷中所占的比例大致分别为识记占20%，领会占30%，简单应用占30%，综合应用占20%。 3．试卷难易度大致可分为“容易、中等偏易、中等偏难、难”。根据课程的特点，试卷中不同难易度试题所占的分数比例大致依次为,易占30分，中等偏易占20分，中等偏难占30分，难占20分。

四、各章内容的重、难点 1．高等数学（工专）教材部分：第一章函数重点：基本初等函数、函数的特性。难点：函数的复合；第二章极限与连续重点：极限概念、极限运算、两个重要极限、连续性及间断点分类。难点：两个重要极限及相应的各种变形形式。第三章导数与微分重点：导数定义、微分概念、导数的几何意义、导数的物理意义、各种求导法则。难点：复合函数求导、几类特殊函数的求导方法。第四章微分中值定理与导数的应用重点：三个中值定理的内容；洛必达法则；函数的单调性、凹凸性、极值、最值之判定和实际应用。难点：综合运用中值定理、函数的特性证明一些不等式或等式。第五章一元函数积分学重点：不定积分、定积分概念及运算；定积分应用。难点：不定积分的综合计算和变上限积分的求导数。 2．高等数学（工本）教材部分

习题册重积分答案

第十章总积分习题解答第12次课二重积分的概念及性质 1、略 2、根据这三点可知区域： 2 120ln()10[ln()]ln() x y x y x y x y ≤+≤?<+

第13次课二重积分的计算法 1、（1）根据积分区域： 11,11x y -≤≤-≤≤ 1 1 22221 1 8 ()()3 D x y d dy x y dy σ--+=+=???? 或者：根据对称性质： 2222882()233D D D y d x y d x d σσσ==+==?????? （2）根据积分区域： 0000 cos()(sin 2sin )11(cos 2cos 2cos cos ) 22() 232 x xdx x y dy x x x dx x x xdx x x xdx π π π π π π π π ππ+=-=---+=-+=? ???? （3）根据积分区域 3 2 22 2 22 0235222 22 2 00 2(4)311264 (4)(4)(4)335 15 D xy d xdx y dy x x dy x d x x σ==-=- --=--= ??? ?? （4）根据对称性： 1:0,0,1D x y x y ≥≥+≤ 1 110 1 12200()4()4()14 4((1)(1))2(1)23 y D D x y dxdy x y dxdy dy x y dx y y y dy y dy -+=+=+=-+-=-= ?????? ?? P45

高等数学重积分总结

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为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ???的分法要任意，二是在每个小区域 i σ?上的点(,)i i i ξησ∈?的取法也要任意。有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限，才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。 2．明确二重积分的几何意义。 (1) 若在D 上(,)f x y ≥0，则(,)d D f x y σ??表示以区域D 为底，以 (,)f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地，当(,)f x y ＝1时，(,)d D f x y σ ??表示平面区域D 的面积。 (2) 若在D 上(,)f x y ≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分(,)d D f x y σ??的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积 (3)若(,)f x y 在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则(,)d D f x y σ??表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在 Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积). 3．二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。有序性常用于比较两个二重积分的大小，估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围，在用估值不等式对一个二重积分估值的时候，一般情形须按求函数(,)f x y 在闭区域

(高起专)第十章二重积分习题解答-6页文档资料

(高起专)第十章二重积分习题解答 (一) 选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选出正确的选项） 1 ．1 220 I dy x y dx = ? ，则交换积分次序后得 C 。（A ）1 220 I dy x y dy =? ；（B ）1 220 3I x y dy =?；（C ）2 11220 3x I dx x y dx -= ?? ；（D ）2 1 1220 3x I dx x y dy += ? ? 。 2．设积分域为{(,)|11,11}D x y x y =-≤≤-≤≤，则 x y D e dxdy +=?? D. . (A) 2)1(-e , (B)21)(2--e e , (C) 42)1(-e , (D) 21)(--e e ; 3. 设积分域D 由直线,2,2y x x y x =+==围成，则 (,)D f x y dxdy =?? C (A) 1 20 (,)x x dx f x y dy -?? , (B) 21 (,)y y dy f x y dx -?? , (C) 2 1 2(,)x x dx f x y dy -??, (D) 1 (,)x dx f x y dy ??.; 4．2 2 x y D I e dxdy --= ??，D :221x y +≤,化为极坐标形式是 D 。（A ）2 21 []r I e dr d π θ-= ? ?；（B ）2 1 2 04[]r I e dr d π θ-=? ?；（C ）2 1 20 2[]r I e rdr d π θ-=? ?；（D ）2 21 []r I e rdr d π θ-= ??。 5. 2 D I xy d σ= ?? , 其中22:1D x y +≤的第一象限部分,则 C 。（A ）1 20 I dy xy dy =? ；（B ）1 1 20 I dx xy dy =? ?；（C ）1 2 I dx dy =? ；（D ）1 232 cos sin I d r dr π θθθ= ? ?。填空题 1. 交换二次积分次序，1 (,)x I f x y dy =?＝。故 2 1 1 (,)(,)y x y I dx f x y dy dy f x y dx ==??? 2．设积分域D 由11,22,x y -≤≤-≤≤围成，则 3 (2)D x y dxdy +=?? 0 3．设积分域为2 2 {(,)|14,}D x y x y y x =≤+≤≥，则积分 22()D f x y dxdy +=?? 在极坐标下的二次积分为。解 52 4 22 21 4 ()()D f x y d x d y d r f r d r ππ θ+=?? ??。 4．积分 224 ()x y x y dxdy +≤+?? 在极坐标下的二次积分为。 2222 2 4 ()(cos sin )x y x y dxdy d r dr πθθθ+≤+= +?? ??

(完整版)同济第六版《高等数学》教案WORD版-第09章重积分.doc

高等数学教案 §9 重积分第九章重积分教学目的： 1. 理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。 2. 掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。 3. 掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。 8、会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等）。教学重点： 1、二重积分的计算（直角坐标、极坐标）； 2、三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。 3、二、三重积分的几何应用及物理应用。教学难点： 1、利用极坐标计算二重积分； 2、利用球坐标计算三重积分； 3、物理应用中的引力问题。 §9 1 二重积分的概念与性质一、二重积分的概念 1 曲顶柱体的体积设有一立体它的底是 xOy 面上的闭区域 D 它的侧面是以 D 的边界曲线为准线而母线平行于 z 轴的柱面它的顶是曲面 z f(x y) 这里 f(x y) 0 且在 D 上连续这种立体叫做曲顶柱体现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积首先用一组曲线网把 D 分成 n 个小区域 1 2 n 分别以这些小闭区域的边界曲线为准线作母线平行于 z 轴的柱面这些柱面把原来的曲顶柱体分为 n 个细曲顶柱体在每个 i 中任取一点 ( i i ) 以 f ( ii ) 为高而底为 i 的平顶柱体的体积为 f ( i i ) i (i 1 2n ) 这个平顶柱体体积之和 n V f ( i , i ) i i 1

可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值为求得曲顶柱体体积的精确值将分割加密只需取极限即 n V lim f ( i , i )i i 1 其中是个小区域的直径中的最大值 2平面薄片的质量设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D它在点(x y)处的面密度为(x y)这里(x y) 0 且在 D 上连续现在要计算该薄片的质量M 用一组曲线网把 D 分成 n 个小区域 12n 把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量 (i i)i 各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值 n M( i , i )i i 1 将分割加细取极限得到平面薄片的质量 n M lim( i , i )i i 1 其中是个小区域的直径中的最大值定义设f(x y)是有界闭区域 D 上的有界函数将闭区域 D 任意分成n 个小闭区域 12n 其中i 表示第i 个小区域也表示它的面积在每个i 上任取一点(i i )作和n f ( i , i )i i 1 如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时这和的极限总存在则称此极限为函数 f(x y)在闭区域 D 上的二重积分记作 f (x, y)d即 D

高等数学典型例题与应用实例(重积分B部分)

例利用二重积分的性质，估计积分 2222(2)d D x y x y σ+-?? 的值，其中D 为半圆形区域22 4,0x y y +≤≥．解我们先求函数2 2 2 2 (,)2f x y x y x y =+-在区域22{(,)4,0}D x y x y y =+≤≥上的最大值和最小值．由22 220,420,x y f x xy f y x y '?=-=? ?'=-=??解得D 内驻点为(2,1)±，(2,1)2f ±=．在边界1:0L y =(22)x -≤≤上，2 ()(,0)g x f x x ==在1L 上(,)f x y 的最大值为4，最小值为0．在边界22 2:4L x y +=(0)y ≥上， 242()(,4)58(22)h x f x x x x x =-=-+-≤≤ 由3 ()4100h x x x '=-=得驻点123550,,22 x x x ==- =，(0)(0,2)8h f ==． 5537 ()(,)2224 h f ± =±=．综上，(,)f x y 在D 上的最大值为8，最小值为0．又D 的面积为2π，所以由二重积分的估值性质知 222202(2)d 82D x y x y πσπ?≤+-≤???，即 22220(2)d 16D x y x y σπ≤+-≤??．例设D 为xoy 平面上以(1,1),(1,1),(1,1)---为顶点的三角形区域，1D 为D 在第一象限的部分，则 (cos sin )( )D xy x y dxdy +=??．（A ）1 2 cos sin D x y dxdy ?? （B ）1 2D xy dxdy ?? （C ）1 4 (cos sin )D xy x y dxdy +?? （D ）0 解区域D 如图所示，并记0D 为以(1,1),(1,1),(0,0)-为顶点的三角

高数教案第十章重积分

高数教案第十章重积分 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高等数学教案

第十章重积分 §10-1 二重积分的概念与性质一、二重积分的概念（一）引例 1. 曲顶柱体的体积设有一空间立体Ω,它的底是xoy 面上的有界区域D ,它的侧面是以D 的边界曲线为准线,而母线平行于z 轴的柱面,它的顶是曲面(.)z f x y =。当(,)x y D ∈时,(,)f x y 在D 上连续且(,)0f x y ≥,以后称这种立体为曲顶柱体。曲顶柱体的体积V 可以这样来计算: (1) 用任意一组曲线网将区域D 分成n 个小区域1σ?，2σ?，，n σ?，以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于z 轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体Ω分划成n 个小曲顶柱体1?Ω，2?Ω，，n ?Ω。（假设i σ?所对应的小曲顶柱体为i ?Ω,这里i σ?既代表第i 个小区域,又表示它的面积值, i ?Ω既代表第i 个小曲顶柱体,又代表它的体积值。)

图10-1-1 从而 1n i i V ==?Ω∑ (将Ω化整为零) (2) 由于(,)f x y 连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是 ?Ω??i i i i i i i f ≈?∈()()( )ξησξησ (以不变之高代替变高, 求i ?Ω的近似值) (3) 整个曲顶柱体的体积近似值为 V f i i i i n ≈=∑()ξησ?1 (4) 为得到V 的精确值,只需让这n 个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。为此,我们引入区域直径的概念: 一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。设n 个小区域直径中的最大者为λ, 则 V f n i i i i =→=∑lim (),λξησ01 ? 2.平面薄片的质量设有一平面薄片占有xoy 面上的区域D , 它在(),x y 处的面密度为(),x y ρ,这里(),0x y ρ≥,而且(),x y ρ在D 上连续,现计算该平面薄片的质量M 。

00023高等数学工本00023

高等数学(工本)模拟试题一、单项选择题 1.124 3'2''+=++x y x y x xy 就是阶微分方程。 (A)1; (B)2; (C)3; (D)4。 2、下列平面方程中,方程( )过y 轴; (A ) 1=++z y x ; (B ) 0=++z y x ; (C ) 0=+z x ; (D ) 1=+z x . 3.空间曲线???=-+=5 ,222z y x z 在xOy 面上的投影方程为( ); (A )72 2=+y x ; (B )???==+5722z y x ; (C ) ???==+0 722z y x ; (D )???=-+=0222z y x z 4、设22),(y x xy y x f +=,则下列式中正确的就是( ); )A ( ),(,y x f x y x f =?? ? ??; )B (),(),(y x f y x y x f =-+; )C ( ),(),(y x f x y f =; )D ( ),(),(y x f y x f =-. 5.设e cos x z y =,则=???y x z 2( ); )A (e sin x y ; )B ( e e sin x x y +;)C ( e cos x y -; )D ( e sin x y -. 6、若∑∞=+1)4(n n n x a 在2-=x 处收敛,则它在2=x 处( ); (A)发散; (B)条件收敛; (C)绝对收敛; (D)不能判断. 7、幂函数n n n x ∑∞=1!1的收敛区间就是 ( ) (a) (-∞,+∞), (b) (-∞,0), (c) (0,+∞), (d) [0,+∞], 8、比较I=σd y x D ??+2)(与J=σd y x D ??+3)(的大小,其中 D:1)1()(2 2=-++y y x , 则

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第十章____重积分(高等数学教案)

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00023高等数学工本00023

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