第十章 重积分
§ 1 二重积分的概念与性质 1、由二重积分的几何意义求二重积分的值
dxdy y x I D
??+=22 其中D 为：422≤+y x
( dxdy y x I D
??+=22=πππ3
16
2.4..312.4.=
-) 2、设D 为圆域,0,222>≤+a a y x 若积分
dxdy y x a D
??
--2
2
2
=12π，求a 的值。
解：
dxdy y x a D
??
--2
2
2
=3
.34.21a π 81
=a
3、设D 由圆,2)1()2(22围成=-+-y x 求??D
dxdy 3
解：由于D 的面积为π2, 故??D
dxdy 3=π6
4、设D ：}10,53|),{(≤≤≤≤y x y x ，
????+=+=D
D
dxdy y x I dxdy y x I 221)][ln(,)ln(，比较1I , 与2I 的大小关系
解：在D 上，)ln(y x +≤ 2)][ln(y x +,故1I ≤2I
5、 设f(t)连续，则由平面 z=0，柱面 ,122=+y x 和曲面2)]([xy f z =所围的
立体的体积，可用二重积分表示为??≤+=1
:222)]([y x D dxdy xy f V
6、根据二重积分的性质估计下列积分的值
??D
ydxdy x 22sin sin ππ≤≤≤≤y x D 0,0:
(≤
0??D
ydxdy x 22sin sin 2π≤) 7、设f(x,y)为有界闭区域D ：222a y x ≤+上的连续函数，求 ??→D
a dxdy y x f a ),(1
lim
2
0π
解：利用积分中值定理及连续性有)0,0(),(lim ),(1lim
8
2
0f f dxdy y x f a a D a ==→→??ηξπ
§ 2 二重积分的计算法
1、设??
+=D
dxdy y x
I 1，其中D 是由抛物线12+=x y 与直线y=2x ，x=0所围成的区域，则I=（ ）
A ： 2
12ln 3ln 87+-- B ： 21
2ln 3ln 89-+
C ： 2
12ln 3ln 89-- D ： 41
2ln 3ln 89--
2、设D 是由不等式1≤+y x 所确定的有界区域，则二重积分??+D
dxdy y x )(为
（ ）
A ：0
B ： 31
C ：3
2
D ： 1
3、设D 是由曲线xy=1与直线x=1,x=2及y=2所围成的区域，则二重积分 ??D
xy dxdy ye 为（ ）
A ：e e e 212124--
B ：21
242
1
21e e e e -+-
C ：e e 2
1
214+ D ：2421e e -
4、 设f(x,y)是连续函数，则二次积分dy y x f dx x x ?
?++-2
11
1
),(为（ ）
A dx y x f dy dx y x f dy y y ????----+1
1
2
111102),(),( B dx y x f dy y ??--1
11
0),(
C dx y x f dy dx y x f dy y y ????-----+1
1
2
11
11
02),(),( D dx y x f dy y ??---1
1
2
02),(
5、设有界闭域D 1、D 2关于oy 轴对称，f 是域D=D 1+D 2上的连续函数，则二重
积分??D
dxdy y x f )(2为（ ）
A ??1
),(22D dxdy y x f B ??2
2),(4D dxdy y x f
C ??1
),(42D dxdy y x f D
??2
2
),(21D dxdy y x f 6、设D 1是由ox 轴、oy 轴及直线x+y=1所围成的有界闭域，f 是域D:|x|+|y|≤1
上的连续函数，则二重积分??D
dxdy y x f )(22为（ ）
A ??1
),(222D dxdy y x f B ??1
),(422D dxdy y x f
C ??1
),(822D dxdy y x f D
??1
),(212
2D dxdy y x f
7、.设f(x,y)为连续函数，则??a x
dy y x f dx 0
),(为( )
A ??a a y
dx y x f dy 0
),( B ??a y
a
dx y x f dy 0
),(
C ??a y dx y x f dy 0
),( D ??a x
dx y x f dy 0
),(
8、求 ??
=D
dxdy y
x I 2
2 ，其中 :D 由x=2,y=x,xy=1所围成. (49)
9、设I=??
3
1
ln 0
),(x
dy y x f dx ,交换积分次序后I 为：
I=??
3
1
ln 0
),(x
dy y x f dx =??3
ln 0
3
),(y e
dx y x f dy
10、改变二次积分的次序： ????-+4
2402
00),(),(x
x
dy y x f dx dy y x f dx = ??
20
12
2
1x
x
dx y dx x
11、设 D={(x,y)|0≤x ≤1,0≤y ≤1} ,求??+D
y x dxdy e 的值
解：??+D
y
x dxdy e
=????-==+1
21
10
1
)1())((e dy e dx e dy e
dx y x
l y
x
12设 I=??--D
dxdy y x R 222,其中D 是由x 2+y 2=Rx 所围城的区域，求I (331
R π)
13、计算二重积分??-+D
dxdy y x |4|22，其中D 是圆域922≤+y x
解：??-+D
dxdy y x |4|22==
-+-????rdr r d rdr r d ππθθ20
3
2
220
20
2)4()4(2
41π 14、计算二重积分??D
y x dxdy e
}
,max{22，其中D={(x,y)| 0≤x ≤1,0≤y ≤1}
解： ??D
y x
dxdy e }
22
,max{=110
10
2
2
-=+????e dx e d dy e dx y
y x
x y
15、计算二重积分??
++D
dxdy y
x y
x 2
2，D ：.1,122≥+≤+y x y x 解：??++D dxdy y
x y x 22=24)sin (cos 201sin cos 12πθθθπ
θθ-=+??+rdr r r d
§ 3 三重积分
1、设Ω是由x=0，y=0，z=0及x+2y+z=1所围成的空间有界域，则???Ω
xdxdydz 为
( )
A ??
?--1
210
1
y x y xdz d dx B ?
?
?---210
210
1
y y
x xdy dz dx
C ?
?
?---210
210
1
x y
x xdz dy dx D ???10
1
10
xdz dy dx
2、设Ω是由曲面x 2
+y 2
=2z
,及z=2所围成的空间有界域，在柱面坐标系下将三重积分???Ω
dxdydz z y x f ),,(表示为累次积分，I=（ ）
A ???1
20
20
2
ρπθρθρρθz)dz ,sin ,cos f(d d B ???2
20
20
2
ρπρθρθρρθdz z),sin ,cos f(d d
C ???20
22
20
2ρπρθρθρρθdz z),sin ,cos f(d d D ???202
20dz z),sin ,cos f(d d ρθρθρρθπ
3、设Ω是由1222≤++z y x 所确定的有界闭域，求三重积分???Ω
dv e z ||
解：???Ω
dv e z ||=???
--≤+1
1
1||2
22)(
z y x z dz dxdy e =2?=-1
2
2)1(ππdz z e z 4、设Ω是由曲面z=xy, y=x, x=1 及z=0所围成的空间区域，求???Ω
dxdydz z xy 32
(1/364)
5、设Ω是球域：12
2
2
≤++z y x ，求???Ω
++++++dxdydz z y x z y x z 1)
1ln(2
22222 (0) 6、计算???+Q
dxdydz y x )(22 其中Ω为：平面z=2与曲面2222z y x =+所围成的
区域 (
π5
64
) 7、计算???Q
zdxdydz x 2其中Ω是由平面z=0,z=y,y=1以及y=x 2所围成的闭区域
(2/27))
8、设函数f(u)有连续导数，且f(0)=0,求dxdydz z y x f t t
z y x t )(1lim 2
2222224
0???≤++→++π
解：dxdydz z y x f t
t z y x t ???≤++→++2
22222240(1
lim π
=)0(')(4lim
sin )(1lim 4
20
220
40f t dr
r f r dr r r f d d t
t
t t
t ==???
?→→??θππ
π
§4 重积分的应用
1、(1)、由面积22y x +=2x, 22y x +=4x,y=x,y=0所围成的图形面积为（ ）
A )2(41+π
B )2(21+π
C )2(4
3
+π D 2+π
(2) 、位于两圆θρsin 2=与θρsin 4=之间，质量分布均匀的薄板重心坐标是( )
A (0,35)
B (0,36)
C (0,3
7) D (0,38
)
(3)、由抛物面x y z 422=+和平面x=2所围成的质量分布均匀的物体的重心坐标是 （ ）
A (0,0,34)
B (0,0,3
5) C (0,0,45) D (0,0,47
)
(4)、 质量分布均匀(密度为μ)的立方体所占有空间区
域:}10,10,10|),,{(≤≤≤≤≤≤=Ωz y x z y x ,该立方体到oz 轴的转动惯量I Z =( )
A 31μ
B 32μ
C μ
D 3
4
μ
2、求均匀上半球体(半径为R)的质心
解：显然质心在z 轴上，故x=y=0,z=???Ω=8
31R
zdv V 故质心为(0,0,R 38)
4、 曲面2213y x z --=将球面25222=++z y x 分割成三部分，由上至下依次记 这三部分曲面的面积为 s 1, s 2, s 3, 求s 1:s 2:s 3
解：π102559222=--=??≤+dxdy y x y x 1S π20255
16
2
22=--=??≤+dxdy y x y x 3S
π70=2S
5、求曲面xy Rz =包含在圆柱222R y x =+内部的那部分面积 解：3
)122(22
2222
2R dxdy R y x R R y x π-=++=
??
≤+S
6、求圆柱体Rx y x 222≤+包含在抛物面Rz y x 222=+和xoy 平面之间那部分立
体的体积
解：43)(2132
222R dxdy y x R Rx y x π=+=??≤+V 第九章 自测题
一、选择题: （40分） 1、?
?-x dy y x f dx 10
1
0),(=( )
A ??-1010
),(dx y x f dy x B ?
?-x
dx y x f dy 1010),( C ??1
1
),(dx y x f dy D ?
?-y
dx y x f dy 10
1
),(.
2、设D 为222a y x ≤+,当=a ( )时,π=--??D
dxdy y x a 222. A 1 B 3
23 C 343 D 32
1 3、设??+=D
dxdy y x I )(22,其中D 由222a y x =+所围成,则I =( B ).
A 4
2
20
a rdr a d a πθπ=?? B 4
220
2
1a rdr r d a
πθπ=
???; C 302203
2
a dr r d a πθπ=?? D 402202a adr a d a πθπ=???.
4、设Ω是由三个坐标面与平面z y x -+2=1所围成的空间区域,则
???Ω
xdxdydz =( ).
A
481 B 481- C 24
1 D 241- .
5 、设Ω是锥面,0(22
2222>+=a b
y a x c z )0,0>>c b 与平面c z y x ===,0,0所围成的
空间区域在第一卦限的部分,则???Ω
dxdydz z xy
=( ).
A c b a 22361
B b b a 22361
C a c b 22361
D ab c 36
1.
6、计算???Ω
=zdv I ,1,222=+=Ωz y x z 为围成的立体,则正确的为( )和（）
A ???=101020zdz rdr d I πθ
B ???=1
1020
r
zdz rdr d I πθ C ???=1
10
20
r
rdr dz d I πθ D ???=z
zrdr d dz I 0
20
1
π
θ.
7、曲面22y x z +=包含在圆柱x y x 222=+内部的那部分面积=s ( )
A π3
B π2
C π5
D π22.
8、由直线2,2,2===+y x y x 所围成的质量分布均匀(设面密度为μ)的平面薄板,关于x 轴的转动惯量x I =( ).
A μ3
B μ5
C μ4
D μ6
二、计算下列二重积分:（20分）
1、??-D
d y x σ)(22,其中D 是闭区域:.0,sin 0π≤≤≤≤x x y (940
2-π)
2、??D
d x
y
σarctan ,其中D 是由直线0=y 及圆周1,42222=+=+y x y x ,x y =所围
成的在第一象 限内的闭区域 . (
2
64
3π) 3、??+-+D
d y x y σ)963(2,其中D 是闭区 域:222R y x ≤+ (
2494
R R ππ
+)
4、??-+D
d y x σ222,其中D :322≤+y x . (
.2
5π) 三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序: （15分）
1、?
??
?-+y
y
dx y x f dy dx y x f dy 30
31
20
10
),(),( (??-x
x
dy y x f dx 32
20
),()
2、?
?-+2111
),(x x
dy y x f dx (?
??
?-+2
2
20
2
1
1
0),(),(y y y dx y x f dy dx y x f dy )
3、??θθθθ0
)sin ,cos (rdr r r f d a (??θ
θθθ0
)sin ,cos (rdr r r f d a )
四、计算下列三重积分:（15分）
1、Ω+???Ω
,)cos(dxdydz z x y :抛物柱面x y =2
,,π
=
+==z x o z o y 及平面所围
成的区域 (
2
1
162
-π) 2、,)(22???Ω
+dv z y 其中Ω是由xoy 平面上曲线x y 22=绕x 轴旋转而成的曲面与
平面5=x 所围 (
π3
250
) 五、（5分）求平面1=++c
z
b y a x 被三坐标面所割出的有限部分的面积 .
(22222
22
1a c c b b a ++) 六、（5分）设)(x f 在]1,0[上连续,试证:
3
10101])([6
1)()()(????=dx x f dxdydz z f y f x f x y x 0
)0(,)()()
()(,)()(1
==='=??F dx x f t F x f x F dt t f x F x
且则
=???101)()()(x y
x dxdydz z f y f x f =-??dy x F y F y f dx x f x
1
1)]()()[()(
dx x F F x F x F F x f )}()1()()]()1((21){[(21
22?
+--=)1(21)1(61)1(21333F F F -+=)1(6
1
3F
(2分)[1] (3分)[2]二重积分D xydxdy ?? (其中D ：0≤y ≤x 2 ,0≤x ≤1)的值为 （A ）16 （B ） 112 （C ）12 （D ）14 答 ( ) (3分)[3]若区域D 为0≤y ≤x 2,|x |≤2,则2D xy dxdy =??= （A ）0； （B ） 323 （C ）64 3 （D ）256 答 ( ) (3分)[4]设D 1是由ox 轴，oy 轴及直线x +y =1所圈成的有界闭域，f 是区域D ：|x |+|y |≤1上的连续函数，则二重积分 22(,)D f x y dxdy =?? __________1 22(,)D f x y dxdy ?? （A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）1 2 答 ( ) (3分)[5]设f (x ,y )是连续函数，则二次积分 (A)11 2 011 1 (,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx ---+?? ? (B)1 1 01(,)y dy f x y dx --?? (C)1 101 1 1 (,)(,)y dy f x y dx f x y dx ---+?? ? (D)201 (,)dy f x y dx -?? 答 ( ) (3分)[6] 设函数f (x ,y )在区域D ：y 2≤－x ,y ≥x 2上连续，则二重积分(,)D f x y dxdy ??可化累次积分为 (A)20 1(,)x dx f x y dy -? (B)2 1(,)x dx f x y dy -?? (C)2 1 (,)y dy f x y dx -?? (D)210 (,)y dy f x y dx ? 答 ( )
第一章 函数与极限 §1 函数 必作习题 P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17 必交习题 一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从 出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。 (1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式； (2) 作出函数)(t v v =的图形。 二、 证明函数1 2+= x x y 在),(+∞-∞内是有界的。
三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin )(2= ； (2)1 212)(+-=x x x f ； (3))1ln()(2++=x x x f 。 四、 证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。
§2 初等函数 必作习题 P31－33 1，8，9，10，16，17 必交习题 一、 设)(x f 的定义域是]1,0[，求下列函数的定义域： (1))(x e f ； (2))(ln x f ； (3))(arcsin x f ； (4))(cos x f 。 二、(1)设)1ln()(2x x x f +=，求)(x e f -； (2)设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ； (3)设x x f -= 11)(，求)]([x f f ，})(1{x f f 。)1,0(≠≠x x
三、设)(x f 是x 的二次函数，且1)0(=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f 。 四、设???>+≤-=0, 20, 2)(x x x x x f ，???>-≤=0, 0,)(2x x x x x g ，求)]([x g f 。
【高等数学基础】形成性考核册答案 【高等数学基础】形考作业1答案： 第1章 函数 第2章 极限与连续 （一）单项选择题 ⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等． A. 2 )()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f = ，x x g =)( C. 3 ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1 1)(2--=x x x g 分析：判断函数相等的两个条件（1）对应法则相同（2）定义域相同 A 、2 ()f x x ==，定义域{}|0x x ≥；x x g =)(，定义域为R 定义域不同，所以函数不相等； B 、()f x x = =，x x g =)(对应法则不同，所以函数不相等； C 、3 ()ln 3ln f x x x ==，定义域为{}|0x x >，x x g ln 3)(=，定义域为{}|0x x > 所以两个函数相等 D 、1)(+=x x f ，定义域为R ；21 ()11 x g x x x -= =+-，定义域为{}|,1x x R x ∈≠ 定义域不同，所以两函数不等。 故选C ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = 分析：奇函数，()()f x f x -=-，关于原点对称 偶函数，()()f x f x -=，关于y 轴对称 ()y f x =与它的反函数()1y f x -=关于y x =对称， 奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称 设()()()g x f x f x =+-，则()()()()g x f x f x g x -=-+= 所以()()()g x f x f x =+-为偶函数，即图形关于y 轴对称 故选C ⒊下列函数中为奇函数是（B ）． A. )1ln(2 x y += B. x x y cos = C. 2 x x a a y -+= D. )1ln(x y += 分析：A 、()()( )()2 2 ln(1)ln 1y x x x y x -=+-=+=，为偶函数 B 、()()()cos cos y x x x x x y x -=--=-=-，为奇函数 或者x 为奇函数，cosx 为偶函数，奇偶函数乘积仍为奇函数 C 、()()2 x x a a y x y x -+-= =，所以为偶函数
第一章 函数 一、选择题 1. 下列函数中，【 】不是奇函数 A. x x y +=tan B. y x = C. )1()1(-?+=x x y D. x x y 2sin 2 ?= 2. 下列各组中，函数)(x f 与)(x g 一样的是【 】 A. 3 3)(,)(x x g x x f = = B.x x x g x f 22tan sec )(,1)(-== C. 1 1)(,1)(2+-=-=x x x g x x f D. 2 ln )(,ln 2)(x x g x x f == 3. 下列函数中，在定义域内是单调增加、有界的函数是【 】 A. +arctan y x x = B. cos y x = C. arcsin y x = D. sin y x x =? 4. 下列函数中，定义域是[,+]-∞∞,且是单调递增的是【 】 A. arcsin y x = B. arccos y x = C. arctan y x = D. arccot y x = 5. 函数arctan y x =的定义域是【 】 A. (0,)π B. (,) 22ππ- C. [,] 22ππ- D. (,+)-∞∞ 6. 下列函数中，定义域为[1,1]-，且是单调减少的函数是【 】 A. arcsin y x = B. arccos y x = C. arctan y x = D. arccot y x = 7. 已知函数arcsin(1)y x =+，则函数的定义域是【 】 A. (,)-∞+∞ B. [1,1]- C. (,)ππ- D. [2,0]- 8. 已知函数arcsin(1)y x =+，则函数的定义域是【 】 A. (,)-∞+∞ B. [1,1]- C. (,)ππ- D. [2,0]- 9. 下列各组函数中，【 】是相同的函数 A. 2()ln f x x =和 ()2ln g x x = B. ()f x x =和()g x = C. ()f x x =和()2 g x = D. ()sin f x x =和()arcsin g x x = 10. 设下列函数在其定义域内是增函数的是【 】 A. ()cos f x x = B. ()arccos f x x = C. ()tan f x x = D. ()arctan f x x = 11. 反正切函数arctan y x =的定义域是【 】 A. (,)22 ππ - B. (0,)π C. (,)-∞+∞ D. [1,1]- 12. 下列函数是奇函数的是【 】
习题一 一、 1. × 2. \/ 3. × 4. × 5. × 6. \/ 7. × 二、 1. A 2. D 3. B 4. A 三、 1. 直线y x = 2. [-1，3） 3. 1[,0]2 - 4. 奇 5. 2 log 1 y y y =- 6. 3,,sin u y e u v v x === 四、 1(2)3f x x += +，2 2 1()1f x x =+， 11(())1211x f f x x x +== ++ +，11()()2f f x x =+ 习题二 一、 1. ∨ 2. × 3. × 4. ∨ 5. ∨ 6. × 7 × 8 × 二、 1. B 2. B 3. A 4. C 5. D 6. C 7. C 三、 1) lim 1x x x - →=-，0 lim 1x x x + →=
lim x x x →不存在 2) 1lim ()2x f x + →=，1 lim ()2x f x - →= 1 lim ()2x f x →= 2 lim ()5,lim ()0x x f x f x →→== 习题三 一、 1. × 2. × 3. ∨ 4. × 5. 二、 1. C 2. B 3. D 4. D 三、 (1) 2131 lim 11 x x x →-+=+ (2) 22 11112 lim lim 21213x x x x x x x →→-+==--+ (3) 2 02lim 2h hx h I x h →+== (4) 23 I = (5) 0I = (6) 422 lim 13 x x I x →-==- (7) 1 1133lim 213 n n I +→∞-==- (8) 111 lim (1)2212 n n →∞- =+ (9) 23 211132 lim lim 111x x x x x I x x x →→++-+==-=--++
第九章二重积分 【本章逻辑框架】 【本章学习目标】 ⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。 ⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。 9.1 二重积分的概念与性质 【学习方法导引】 1．二重积分定义 为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。
在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ???的分法要任意，二是在每个小区域i σ?上的点(,)i i i ξησ∈?的取法也要任意。有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限，才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。 2．明确二重积分的几何意义。 (1) 若在D 上(,)f x y ≥0，则(,)d D f x y σ??表示以区域D 为底，以 (,)f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地，当(,)f x y ＝1时，(,)d D f x y σ ??表示平面区域D 的面积。 (2) 若在D 上(,)f x y ≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分(,)d D f x y σ??的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积 (3)若(,)f x y 在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则(,)d D f x y σ??表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和 (即在Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积). 3．二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。有序性常用于比较两个二重积分的大小，估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围，在用估值不等式对一个二重积分估值的时候，一般情形须按求函数 (,)f x y 在闭区域D 上的最大值、最小值的方法求出其最大值与最小 值，再应用估值不等式得到取值范围。
高等数学课后习题及解答 1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v. 解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c） =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形. 证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM = MC ，DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形. 3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各 分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量 证如图8-2 ，根据题意知 1 D 1 A, 1 D 2 A, D 3 A, D A. 4 1 D3 D4 BD1 1 a, 5 a, D1D2 a, 5 5 1 D 2 D 3 a, 5 故D1 A=- （AB BD1）=- a- c 5
D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解 向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6）= 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其 中 a 6 2 72 ( 6)2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4
第九章 重积分 一、选择题 1.I=222222(),:1x y z dv x y z Ω ++Ω++=???球面部， 则I= [ C ] A. ???Ω Ω=dv 的体积 B.???1 42020sin dr r d d θ?θππ C. ???104 020sin dr r d d ??θππ D. ???104 020sin dr r d d θ?θππ 2. Ω是x=0, y=0, z=0, x+2y+z=1所围闭区域， 则???Ω =xdxdydz [ B ] A. ???---y x x dz x dy dx 210 21010 B. ???---y x x dz x dy dx 210 21010 C. ???-1 021021 0dz x dx dy y D. ???---y x y dz x dx dy 210 21010 3. 设区域D 由直线,y x y x ==-和1x =所围闭区域，1D 是D 位于第一象限的部分，则[B ] （A ）()()1 cos d d 2d d D D xy x xy x y xy x y +=???? （B ）()()()1 cos d d 2cos d d D D xy x xy x y x xy x y +=???? （C ）()()1 cos d d 2(cos())d d D D xy x xy x y xy x xy x y +=+???? （D ）()()cos d d 0D xy x xy x y +=?? 4. Ω:12 22≤++z y x ， 则??? Ω =++++++dxdydz z y x z y x z 1 )1ln(2 2 2 222 [ C ] A. 1 B. π C. 0 D. 3 4π 5．222{(,),0}D x y x y a y =+≤≥，其中0a >，则D xy d σ=?? D A.2 20 sin cos a d r dr π θθθ?? B. 30 sin cos a d r dr π θθθ? ?
习题6?2 1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 6 1]2132[)(10 22310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A ? 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1? e ]? 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e ?
(3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 3 32]2)3[(1 32=--=?-dx x x A ? (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12= -+=-+=--?x x x dx x x A ?
2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) 22 1x y =与x 2?y 2?8(两部分都要计算)? 解? 3 423 8cos 16402+=-=?ππ tdt ? 3 46)22(122-=-=ππS A ? (2)x y 1=与直线y ?x 及x ?2? 解? 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A ?
(3) y ?e x ? y ?e ?x 与直线x ?1? 解? 所求的面积为 ?-+=-=-1 021)(e e dx e e A x x ? (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 3? 求抛物线y ??x 2?4x ?3及其在点(0? ?3)和(3? 0)处的切线所围成的图形的面积? 解? y ???2 x ?4?
二重积分自测题 （一）选择题 1．设D 是由直线0=x ，0=y ，3=+y x ，5=+y x 所围成的闭区域， 记：??σ+= D d y x I )ln(1，??σ+=D d y x I )(ln 22 ，则（ ） A ．21I I < B ．21I I > C ．122I I = D ．无法比较 2．设D 是由x 轴和∈=x x y (sin [0，π])所围成，则积分??=σD yd （ ） A ． 6π B ．4π C ．3π D ．2 π 3．设积分区域D 由2 x y =和2+=x y 围成，则=σ??D d y x f ),(（ ） A ．? ?-+2 122),(x x dy y x f dx B ．??-212 ),(dy y x f dx C ． ? ?-+1 2 22),(x x dy y x f dx D ．??+1 2 2),(x x dy y x f dx 4．设),(y x f 是连续函数，则累次积分? ? =4 2),(x x dy y x f dx （ ） A ． ?? 40 412),(y y dx y x f dy B ．?? -4 412),(y y dx y x f dy C ． ? ?4 4 1),(y dx y x f dy D ．??40 2 1 2 ),(y y dx y x f dy 5．累次积分? ?=-2 2 2 x y dy e dx （ ） A ． )1(212--e B ．)1(314--e C ．)1(214--e D ．)1(3 1 2--e 6．设D 由14122≤+≤y x 确定，若??σ+=D d y x I 2211，??σ+=D d y x I )(2 22， ??σ+=D d y x I )ln(223，则1I ，2I ，3I 之间的大小顺序为（ ） A ．321I I I << B ．231I I I << C ．132I I I << D ．123I I I << 7．设D 由1||≤x ，1||≤y 确定，则 =??D xy xydxdy xe sin cos （ ） A ．0 B ．e C ．2 D ．2-e 8．若积分区域D 由1≤+y x ，0≥x ，0≥y 确定，且 ? ?=1 1 )()(x dx x xf dx x f ， 则 ??=D dxdy x f )(（ ）
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第八章 测 验 题 一、选择题： 1、若a →，b → 为共线的单位向量，则它们的数量积 a b →→ ?= ( ). (A) 1； (B)-1； (C) 0； (D)cos(,)a b →→ . 向量a b →→?与二向量a →及b → 的位置关系是( ). 共面； (B)共线； (C) 垂直； (D)斜交 . 3、设向量Q → 与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当 cos 0β=时，有( ) 5、2 ()αβ→→ ±=( ) (A)2 2 αβ→→±； (B)2 2 2ααββ→→→ →±+； (C)2 2 ααββ→→→ →±+； (D)2 2 2ααββ→→→ →±+. 6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且 ,,0B C D ≠， 则 平面( ). (A) 平行于轴；x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y . 7、设直线方程为1111220 0A x B y C z D B y D +++=??+=?且 111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ). (A) 过原点； (B)x 平行于轴； (C)y 平行于轴； (D)x 平行于轴. 8、曲面250z xy yz x +--=与直线5 13 x y -=- 10 7 z -= 的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)； (C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).-- 9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 22160 x y z ?+=?=?，则此球面的方程是( ). (A)2226160x y z z ++++=； (B)222160x y z z ++-=； (C)2226160x y z z ++-+=； (D)222 6160x y z z +++-=. 10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是( ). (A)2221x y z ++=； (B)224x y z +=； (C)22 2 14y x z -+=； (D)2221916 x y z +-=-. 二、已知向量,a b 的夹角等于 3 π ，且2,5a b → → ==，求(2)(3)a b a b →→→ → -?+ . 三、求向量{4,3,4}a → =-在向量{2,2,1}b → =上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量 {1,3,1};{2,1,3}a b → → =-=-{}2,1,3b =-，求其面积 . 五、已知,,a b →→ 为两非零不共线向量，求证： ()()a b a b → → → → -?+2()a b → → =?. 六、一动点与点(1,0,0)M 的距离是它到平面 4x =的距离的一半，试求该动点轨迹曲面与yoz 面的交线方程 .
高等数学重积分总结文件编码（GHTU-UITID-GGBKT-POIU-WUUI-8968）
第九章二重积分【本章逻辑框架】 【本章学习目标】 ⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。 ⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。 二重积分的概念与性质 【学习方法导引】 1．二重积分定义
为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。 在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ???的分法要任意，二是在每个小区域 i σ?上的点(,)i i i ξησ∈?的取法也要任意。有了这两个“任意”，如果所对 应的积分和当各小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限，才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。 2．明确二重积分的几何意义。 (1) 若在D 上(,)f x y ≥0，则(,)d D f x y σ??表示以区域D 为底，以 (,)f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地，当(,)f x y ＝1时，(,)d D f x y σ ??表示平面区域D 的面积。 (2) 若在D 上(,)f x y ≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分(,)d D f x y σ??的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积 (3)若(,)f x y 在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则(,)d D f x y σ??表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在 Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积). 3．二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。有序性常用于比较两个二重积分的大小，估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围，在用估值不等式对一个二重积分估值的时候，一般情形须按求函数(,)f x y 在闭区域
高等数学课后习题及解答 1. 设 u =a -b +2c ，v =-a +3b -c .试用 a ，b ， c 表示 2u -3v . 解 2u -3v =2（ a -b +2c ） -3（-a +3b -c ） =5a -11b +7c . 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形. 证 如图 8-1 ， 设四边 形 ABCD 中 AC 与 BD 交于 M ， 已知 AM = MC ， DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即 AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形 ABCD 是平行四边形. 3. 把△ ABC 的 BC 边五等分，设分点依次为 D 1，D 2，D 3，D 4，再把各 分点与点 A 连接.试以 AB =c, BC =a 表向 量 证 如图 8-2 ，根据题意知 1 D 1 A , 1 D 2 A , D 3 A , D A . 4 1 D 3 D 4 BD 1 1 a, 5 a, D 1D 2 a, 5 5 1 D 2D 3 a, 5 故 D 1 A =- （ AB BD 1 ）=- a- c 5
D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解 向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6） = 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其 中 a 6 2 7 2 ( 6) 2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4
高等数学教案 §9 重积分 第九章 重积分 教学目的： 1. 理解二重积分、 三重积分的概念， 了解重积分的性质， 知道二重积分的中值定理。 2. 掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。 3. 掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。 8、会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等）。 教学重点： 1、 二重积分的计算（直角坐标、极坐标） ； 2、 三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。 3、二、三重积分的几何应用及物理应用。 教学难点： 1、 利用极坐标计算二重积分； 2、 利用球坐标计算三重积分； 3、 物理应用中的引力问题。 §9 1 二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 1 曲顶柱体的体积 设有一立体 它的底是 xOy 面上的闭区域 D 它的侧面是以 D 的边界曲线为准线而母 线平行于 z 轴的柱面 它的顶是曲面 z f(x y) 这里 f(x y) 0 且在 D 上连续 这种立体叫做 曲顶柱体 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积 首先 用一组曲线网把 D 分成 n 个小区域 1 2 n 分别以这些小闭区域的边界曲线为准线 作母线平行于 z 轴的柱面 这些柱面把原来的曲 顶柱体分为 n 个细曲顶柱体 在每个 i 中任取一点 ( i i ) 以 f ( ii ) 为 高而底为 i 的平顶柱体的体积为 f ( i i ) i (i 1 2n ) 这个平顶柱体体积之和 n V f ( i , i ) i i 1
可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值为求得曲顶柱体体积的精确值将分割加密只需取极限即 n V lim f ( i , i )i i 1 其中是个小区域的直径中的最大值 2平面薄片的质量 设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D它在点(x y)处的面密度为(x y)这里(x y) 0 且在 D 上连续现在要计算该薄片的质量M 用一组曲线网把 D 分成 n 个小区域 12n 把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量 (i i)i 各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值 n M( i , i )i i 1 将分割加细取极限得到平面薄片的质量 n M lim( i , i )i i 1 其中是个小区域的直径中的最大值 定义设f(x y)是有界闭区域 D 上的有界函数将闭区域 D 任意分成n 个小闭区域 12n 其中i 表示第i 个小区域也表示它的面积在每个i 上任取一点(i i )作和n f ( i , i )i i 1 如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时这和的极限总存在则称此极限为函数 f(x y)在闭区域 D 上的二重积分记作 f (x, y)d即 D
1、试将三重积分 (),,f x y z dv Ω ???化为三次积分，其中积分区域Ω分别为： 1） 由双曲抛物面xy z =及平面10,0x y z +-==所围成的区域。 (),,f x y z dv Ω = ??? ()1 10 ,,x xy dx dy f x y z dz -? ? ?。 2） 由曲面2 2 2 2,2z x y z x =+=-所围成的区域 (),,f x y z dv Ω = ???()2 2 2 1 21 2,,x x y dx f x y z dz --+? ?。 2、计算下列三重积分 1） 23xy z dv Ω ???，其中Ω是由曲面xy z =与平面,1,0x y x z ===所围成的闭区域。 解：原式1 11235612 000000111428364x xy x dx dy xy z dz dx x y dy x dx = ===????? ? 2）xzdxdydz Ω ???，其中Ω是由平面,1,0z y y z ===及抛物柱面2 y x =所围成的闭区 域。 解：原式()221 1 1 1 12 7101111026 y x x dx dy xzdz dx xy dy x x dx ---===-=?????? 3、利用柱面坐标计算()22 x y dv Ω +???，其中Ω是由曲面222x y z +=及平面2z =所围成 的区域。 解：原式22 54622 2 2 3 30 00201622222123 r r r r d dr r dz r dr π θπππ????= =-=-= ???????? ??? 4、利用球面坐标计算()2 22x y z dv Ω++???，其中Ω是由球面2221x y z ++=所围成的闭 区域。 解：原式2140 24sin sin 5 5 d d d d π π π π πθ?ρ?ρ??= = = ? ??? 5 、选用适当坐标计算 Ω ，其中Ω是由球面222x y z z ++=所围成区域。 解：原式5 22cos 3 4 2 20 01cos sin 2cos sin 42510 d d d d π π π π ? π?πθ?ρ?ρπ?????===-=????? ?? ?
第九章 二重积分 【本章逻辑框架】 ⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。 ⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。 9.1 二重积分的概念与性质 【学习方法导引】 1．二重积分定义 为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。 在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ???的分法要任意，二是在每个小区域i σ?上的点 (,)i i i ξησ∈?的取法也要任意。有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各 小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限，才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。 2．明确二重积分的几何意义。
(1) 若在D 上(,)f x y ≥0，则(,)d D f x y σ??表示以区域D 为底，以(,)f x y 为曲 顶的曲顶柱体的体积。特别地，当(,)f x y ＝1时，(,)d D f x y σ??表示平面区域D 的面积。 (2) 若在D 上(,)f x y ≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分 (,)d D f x y σ??的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积 (3)若(,)f x y 在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则(,)d D f x y σ??表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy 平面之上 的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积). 3．二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。有序性常用于比较两个二重积分的大小，估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围，在用估值不等式对一个二重积分估值的时候，一般情形须按求函数(,)f x y 在闭区域D 上的最大值、最小值的方法求出其最大值与最小值，再应用估值不等式得到取值范围。 【主要概念梳理】 1.二重积分的定义 设二元函数f(x,y)在闭区域D 上有定义且有界. 分割 用任意两组曲线分割D 成n 个小区域12,,,n σσσ???，同时用i σ?表示它们的面积，1,2,,.i n =其中任意两小块i σ?和()j i j σ?≠除边界外无公共点。 i σ?既表示第i 小块,又表示第i 小块的面积. 近似、求和 对任意点(,)i i i ξησ∈? ,作和式1 (,).n i i i i f ξησ=?∑ 取极限 若i λ为i σ?的直径，记12max{,,,}n λλλλ=,若极限0 1 lim (,)n i i i i f λξησ→=?∑ 存在，且它不依赖于区域D 的分法，也不依赖于点(,)i i ξη的取法，称此极限为f (x,y )在D 上的二重积分. 记为
《高等数学》习题册参考答案 说明 本参考答案与现在的习题册中的题目有个别的不同，使用时请认真比对，以防弄错. 第一册参考答案 第一章 §1.1 1.??? ????+≤≤--<≤<≤+=--. ),(2, , , 0 , 211010101T t T T t a v T t v t at v v a v a v v a v v 图形为： 2.B. 3.)]()([)]()([)(2 121x f x f x f x f x f --+-+=， 其中)]()([)(21x f x f x F -+=为偶函数，而)]()([)(2 1x f x f x G --=为奇函数. 4.??? ????=<≤-<≤-<≤=.6 ,0, 64 ,)4(, 42 ,)2(, 20 ,)(22 2x x x x x x x x f 5.???.)]([,)2()]([,)1(单调减单调性相反，则单调增；单调性相同，则x g f g f x g f g f 6.无界. 7.（1）否，定义域不同；（2）否，对应法则不同；（3）否，定义域不同. §1.2 1.（1）)1 ,0()0 ,1(?-=D ；（2）} , ,{2 Z ∈+≠=k k k x x D πππ；（3）)1 ,0(=D . 2.1 ,4-==b a . 3.?????>-=<=,0 ,1,0 ,0 , 0 ,1 )]([x x x x g f ???? ???>=<=-. 1 ,,1 ,1 ,1 , )]([1x e x x e x f g 4.（1）]2 ,0[,)1arcsin(2 =-=D x y ； （2）Y ∞ =+=+=0 2 2),( , )(tan log 1k a k k D x y πππ. 5.（1）x x x f f 1 )]([-= ； （2）x x f f 1 )(1][=. 6.+∞<<=-h r V r h h r 2 ,2312 2π. 7.（1）a x =)(?； （2）h x x +=2)(?； （3）h a a h x x ) 1()(-= ?. §1.9 1.1-=e a . 2.（1）1=x 和2=x 都是无穷间断点（属第Ⅱ类）； （2）1 ,0==x x 和1-=x 是间断点，其中：1是可去间断点（极限为21）（属第Ⅰ类）； 0是跳跃间断点（左极限1-，右极限1）（属第Ⅰ类）；-1 是无穷间断点（属第Ⅱ类）； （3）0=x 为无穷间断点（属第Ⅱ类），1=x 为跳跃间断点（属第Ⅰ类） （注意：+∞==∞ +-→- e e x x x 11 lim ，而0lim 11 ==∞--→+ e e x x x ）；
习题一 一、判断题 (1) √；(2) × 二、单项选择题 C ; A 三、填空题 1 导数,常; 2 阶 ; 3初始; 4、ln()xy xy 或 四、计算题： 1、 22 222 2221 121 1ln 1ln 1(1) 1(1)(1) x dx dy x y y x dx dy x y y y x c y y x c y y x c y c =-+=-+'--+=+-=+-=+??故通解为：（为任意常数） 2、 1 22122122 1( 1) ( 1) 1 ;0 1(1)ln ,0 1,2,22x x x dx dy y y x dx dy y x c y y y ce x y c y e ---=≠-=-+====-===??故特解为： 3 、
111,1ln 11ln ln ln ln ,1ln , cx dx dy y x y y dx dy x y y x c y y y cx y e c =≠=+====??故通解为：（为任意常数） 习题二 一 C; C; B 二 1 ) () ()(,2)(2 2 2 22c x e c dx e e e y e x Q x x P x dx x x dx x x +=+??===----? 2 x c x c dx x x e c dx xe e y x x Q x x P x dx x dx x cos )(cos 2) cos 2sin () 2sin (2sin )(,tan )(2cos ln tan tan +-=+=+??===? ?- 3 2 2 2 2 2 2 22(8) (8)(4),0,2,2 (42) xdx xdx x x x x x x y e xe dx c e xe dx c e e c x y c y e e ----? ?=+=+=+===-=-??特解为：