一元二次方程整章练习题
1、一元二次方程(1－3x)(x+3)=2x2+1的一样形式是它的二次项系数
是；一次项系数是；常数项是。
2、已知方程2(m+1)x2+4mx+3m－2=0是关于x的一元二次方程，那么m的取值范畴
是。
3、已知关于x的一元二次方程(2m－1)x2+3mx+5=0有一根是x=－1，则m= 。
4、已知关于x的一元二次方程(k－1)x2+2x－k2－2k+3=0的一个根为零，则k= 。
5、已知关于x的方程(m+3)x2－mx+1=0，当m 时，原方程为一元二次方程，若原方程是一元一次方程，则m的取值范畴是。
6、已知关于x的方程(m2－1)x2+(m+1)x+m－2=0是一元二次方程，则m的取值范畴
是；当m= 时，方程是一元二次方程。
7、把方程a(x2+x)+b(x2－x)=1－c写成关于x的一元二次方程的一样形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项，并求出是一元二次方程的条件。
8、关于x的方程(m+3)x2－mx+1=0是几元几次方程?
9、
0.01 y
4
12
=
10、
5
3
x
0.22=
-
11、(x+3)(x－3)=9
12、(3x+1)2－2=0
13、(x+
2)2=(1+2)2
14、0.04x2+0.4x+1=0
15、(
2x－2)2=6
16、(x－5)(x+3)+(x－2)(x+4)=49
17、一元二次方程(1－3x)(x+3)=2x2+1的一样形式是它的二次项系数是；一次项系数是；常数项是。
18、已知方程：①2x 2－3=0；②
1
1
1
2
=
-
x；③
1
3
1
2
12
=
+
-y
y
；④ay2+2y+c=0；⑤(x+1)(x
－3)=x2+5；⑥x－x2=0 。其中，是整式方程的有，是一元二次方程的有。(只需填写序号)
19、填表：
20、分别依照下列条件，写出一元二次方程ax
2
+bx+c=0(a ≠0)的一样形式：
(1)a=2，b=3，c=1；
(2)
52,43,21=
=-=c b a ； (3)二次项系数为5，一次项系数为－3，常数项为－1；
(4)二次项系数为mn ，一次项系数为3m
-
，常数项为－n 。
21、已知关于x 的方程(2k+1)x
2
－4kx+(k －1)=0，问：
(1)k 为何值时，此方程是一元一次方程?求出那个一元一次方程的根；
(2)k 为何值时，此方程是一元二次方程?并写出那个一元二次方程的二次项系数、一次项系 数、常数项。
22、把(x+1)(2x+3)=5x 2
+2化成一样形式是 ，它的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ，根的判别式△= 。
23、方程(x 2
－4)(x+3)=0的解是 。 24、(x －5)(x+3)+x(x+6)=145；
25、(x 2－x+1)(x 2
－x+2)=12；
26、ax 2
+(4a+1)x+4a+2=0(a ≠0)。
一元二次方程的解法
1、方程
53
x 0.22-
的解是 。
2、方程3－(2x －1)2
=0的解是 。
3、方程3x 2
－5x=0的解是 。
4、方程x
2+2x －1=0的解是 。 5、设x 2+3x=y ，那么方程x 4+6x 3+x 2
－24x －20=0可化为关于y 的方程是 。
6、方程(x 2－3)2+12=8(x 2
－3)的实数根是 。
7、用直截了当开平方法解关于x 的方程：x 2－a 2
－4x+4=0。
8、2x 2
－5x －3=0
9、2x 2+
2x=30
10、
)
51
(y 522-=y 11、3x(2－3x)=－1 12、3x 2
－5x=0
13、x
2－2x －3x+6=0
14、3x(3x －2)=－1
15、25(x+3)2
－16(x+2)2=0 16、4(2x+1)2=3(4x 2
－1) 17、(x+3)(x －1)=5 18、3x(x+2)=5(x+2)
19、(1－
2)x 2=(1+2)x
20、
100363)100x 3(12=+
21、25(3x －2)2
=(2x －3)2 22、3x 2
－10x+6=0
23、(2x+1)2
+3(2x+1)+2=0
24、x
2
－(2+2)x+2－3=0
25、abx
2
－(a 4+b 4)x+a 3b 3=0(a ·b ≠0)
26、mx(x －c)+(c －x)=0(m ≠0)
27、abx 2+(a 2－2ab －b 2)x －a 2+b 2
=0(ab ≠0)
28、x 2－a(2x －a+b)+bx －2b 2=0
29、 解方程：x 2
－5｜x ｜+4=0。
30、(2x 2－3x －2)a 2+(1－x 2)b 2－ab(1+x 2
)=0
31、mx(m －x)－mn 2－n(n 2－x 2
)=0
32、已知实数a 、b 、c 满足：232+-a a +(b+1)2+｜c+3｜=0，求方程ax 2+bx+c=0的根。
33、已知：y=1是方程y
2
+my+n=0的一个根，求证：y=1也是方程nx 2+mx+1=0的一个根。
34、已知：关于y 的一元二次方程(ky+1)(y －k)=k －2的各项系数之和等于3，求k 的值以及方程的解。
35、m 为何值时方程2x 2-5mx+2m 2=5有整数解?并求其解.
36、若m 为整数，求方程x+m=x
2
－mx+m 2的整数解。
37、下面解方程的过程中，正确的是
( )
A.x 2=2
B.2y 2=16 解：2=
x 。 解：2y=±4，
∴y 1=2，y 2=－2。
C.2(x －1)2=8
D.x 2=－3 解：(x －1)2=4， 解：31-=x ，x 2
=3--。
x －1=±4， x －1=±2。
∴x 1=3，x 2=－1。
38、
x 2=5；
39、3y 2
=6；
40、2x 2
－8=0；
41、－3x 2
=0。
42、(x+1)2
=3；
43、3(y －1)2
=27；
44、4(2x+5)2
+1=0； 45、(x －1)(x+1)=1。
46、(ax －n)2
=m(a ≠0，m ＞0)；
47、a(mx －b)2
=n(a ＞0，n ＞0，m ≠0)。
48、你一定会解方程(x －2)2=1，你会解方程x 2
－4x+4=1吗?
49、(1)x 2+4x+ =(x+ )2
； (2)x 2－3x+ =(x － )2；
(3)y 2+ y+425
=(y － )2；
(4)x 2+mx+ =(x+ )2。
50、x 2
－4x －5=0；
51、3y+4=y 2
；
52、6x=3－2x 2
；
53、2y 2
=5y －2。
54、1.2x 2
－3=2.4x ；
55、y
2
+y 32－4=0。
56、用配方法证明：代数式－3x 2
－x+1的值不大于1213
。
57、若42512=??? ??+x x ，试用配方法求
2
1?
?? ??-x x 的值。 58、2x
2
－3x+1=0； 59、y 2
+4y －2=0；
60、x 2－x 32+3=0；
61、x
2
－x+1=0。 62、4x 2
－3=0；
63、2x2+4x=0。
64、4x－5x2=－1；
65、y(y－2)=3；
66、(2x+1)(x－3)=－6x；
67、(x－3)2－2(x+1)=x－7。
68、m为何值时，代数式3(m－2)1－1的值比2m+1的值大2?
69、4x2－6x=4；
70、x=0.4－0.6x2；
71、
1 2
12
+
=x
x
72、
2
1
8
2
125
.02=
-
+y
y
73、用公式法解一元二次方程：2x2+4x+1=0。(精确到0.01)
74、2(x+1)2=8；
75、y2+3y+1=0。
76、x2+2x+1+3a2=4a(x+1)；
77、(m2-n2)y2-4mny+n2-m2=0
78、解一元二次方程(x－1)(x－2)=0，得到方程的根后，观看方程的根与原方程形式有什么关系。你能用前面没有学过的方法解这类方程吗?
79、方程2x2=0的根是x1=x2= 。
80、方程(y－1)(y+2)=0的根是y1= ，y2= 。
81、方程x2=
x2的根是。
82、方程(3x+2)(4－x)=0的根是。
83、方程(x+3)2=0的根是。
84、3y2－6y=0；
85、25x2－16=0；
86、x2－3x－18=0；
87、2y2－5y+2=0。
88、y(y－2)=3；
89、(x－1)(x+2)=10。
90、(x－2)2－2(x－2)－3=0；
91、(2y+1)2=3(2y+1)。
92、已知2x2+5xy－7y2=0，且y≠0，求x∶y。
93、3(x－2)2=27；
94、y(y－2)=3；
95、2y2－3y=0；
96、2x2－2x－1=0。
97、(2x+1)2=(2－x)2；
98、(y+
2)2－42y=0；
99、(y－2)2+3(y－2)－4=0；
100、abx2－(a2+b2)x+ab=0(ab≠0)。
。
101、(x+2)2－2(x+2)－1=0。
102、x2－3mx－18m2=0；
103、已知一元二次方程ax2+bx+c=0( a ≠0)，当a，b，c满足什么条件时：(1)方程的两个根都为零?(2)方程的两个根中只有一个根为零?(3)方程的两个根互为相反数?(4)方程有一个根为1?
104、当a,c异号时,一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情形是
A.有两个相等的实数根
B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根
D.不能确定
105、下列一元二次方程中，没有实数根的方程是
( )
A.2x2－2x－9=0
B.x2－10x+1=0
C.y2－2y+1=0
D.3y2+ 3
4y+4=0
106、当k满足时，关于x的方程(k+1)x2+(2k－1)x+3=0是一元二次方程。
107、方程2x2=8的实数根是。
108、4(x－3)2=36；
109、(3x+8)2－(2x－3)2=0；
110、2y(y－
6)=6－y；
111、2x2－6x+3=0；
112、2x2－3x－2=0；
113、(m+1)x2+2mx+(m－1)=0
114、2y2+4y+1=0(用配方法)。
115、4(x+3)2－16=0；
116、
2x2=5x；
117、
2x2=4x－2；
118、(3x－1)2=(x+1)2；
119、3x2－1－2x=0；
120、
2
1
22=
-
+x
x
(用配方法)。
一元二次方程的根的判别式
1、方程2x2+3x－k=0根的判别式是；当k 时，方程有实根。
2、关于x的方程kx2+(2k+1)x－k+1=0的实根的情形是。
3、方程x2+2x+m=0有两个相等实数根，则m= 。
、关于x的方程(k2+1)x2－2kx+(k2+4)=0的根的情形是。
5、当m 时，关于x 的方程3x 2
－2(3m+1)x+3m 2－1=0有两个不相等的实数根。
6、假如关于x 的一元二次方程2x(ax －4)－x 2
+6=0没有实数根，那么a 的最小整数值是 。
7、关于x 的一元二次方程mx 2
+(2m －1)x －2=0的根的判别式的值等于4，则m= 。 8、设方程(x －a)(x －b)－cx=0的两根是α、β，试求方程(x －α)(x －β)+cx=0的根。 9、不解方程，判定下列关于x 的方程根的情形： (1)(a+1)x 2－2a 2x+a 3=0(a>0) (2)(k 2+1)x 2－2kx+(k 2+4)=0
10、m 、n 为何值时，方程x 2+2(m+1)x+3m 2+4mn+4n 2
+2=0有实根?
11、求证：关于x 的方程(m 2+1)x 2－2mx+(m 2
+4)=0没有实数根。
12、已知关于x 的方程(m 2－1)x 2
+2(m+1)x+1=0，试问：m 为何实数值时，方程有实数根?
13、 已知关于x 的方程x 2－2x －m=0无实根(m 为实数)，证明关于x 的方程x 2+2mx+1+2(m 2
－1)(x 2+1)=0也无实根。
14、已知：a>0,b>a+c,判定关于x 的方程ax 2
+bx+c=0根的情形。
15、m 为何值时，方程2(m+1)x 2
+4mx+2m －1=0。 (1)有两个不相等的实数根； (2)有两个实数根；
(3)有两个相等的实数根； (4)无实数根。
16、当一元二次方程(2k －1)x 2
－4x －6=0无实根时，k 应取何值?
17、已知：关于x 的方程x
2
+bx+4b=0有两个相等实根，y 1、y 2是关于y 的方程y 2+(2－b)y+4=0
的两实根，求以
1y 、2y 为根的一元二次方程。
18、若x 1、x 2是方程x 2
+
p x+q=0的两个实根，且
23x x x x 22
2121=+
+
，25x 1x 12
221=+求p 和
q 的值。
19、设x 1、x 2是关于x 的方程x
2
+px+q=0(q ≠0)的两个根，且x 21+3x 1x 2+x 22=1，
0)x 1(x )x 1(x 2
211=+++
，求p 和q 的值。
20、已知x 1、x 2是关于x 的方程4x
2
－(3m －5)x －6m 2=0的两个实数根，且
2
3
x x 21=，求常数m
的值。
21、已知α、β是关于x 的方程x 2+px+q=0的两个不相等的实数根，且α3－α2β－αβ2
+ β3=0，求证：p=0,q<0
22、已知方程(x －1)(x －2)=m 2
(m 为已知实数，且m ≠0)，不解方程证明： (1)那个方程有两个不相等的实数根； (2)一个根大于2，另一个根小于1。
23、k 为何值时，关于x 的一元二次方程kx 2－4x+4=0和x 2－4kx+4k 2
－4k －5=0的根差不多上整数。
24、不解方程判别根的情形
6x(6x－2)+1=0。
25、不解方程判别根的情形x2－0.4+0.6=0；
26、不解方程判别根的情形2x2－4x+1=0；
27、不解方程判别根的情形4y(y－5)+25=0；
28、不解方程判别根的情形(x－4)(x+3)+14=0；
29、不解方程判别根的情形
8
5
4
1
2
1
=
?
?
?
?
?
+
?
?
?
?
?
-x
x
。
30、试证：关于x的一元二次方程x2+(a+1)x+2(a－2)=0一定有两个不相等的实数根。
31、若a＞1，则关于x的一元二次方程2(a+1)x2+4ax+2a－1=0的根的情形如何?
32、若a＜6且a≠0，那么关于x的方程ax2－5x+1=0是否一定有两个不相等的实数根?什么缘故?若此方程一定有两个不相等的实数根，是否一定满足a＜6且a≠0?
33、.a为何值时，关于x的一元二次方程x2－2ax+4=0有两个相等的实数根?
34、已知关于x的一元二次方程ax2－2x+6=0没有实数根，求实数a的取值范畴。
35、已知关于x的方程(m+1)x2+(1－2x)m=2。m什么缘故值时：(1)方程有两个不相等的实数根?(2 )方程有两个相等的实数根?(3)方程没有实数根?
36、分别依照下面的条件求m的值：
(1)方程x2－(m+2)x+4=0有一个根为－1；
(2)方程x2－(m+2)x+4=0有两个相等的实数根；
(3)方程mx2－3x+1=0有两个不相等的实数根；
(4)方程mx2+4x+2=0没有实数根；
(5)方程x2－2x－m=0有实数根。
37、已知关于x的方程x2+4x－6－k=0没有实数根，试判别关于y的方程y2+(k+2)y+6－k=0的根的情形。
38、m什么缘故值时，关于x的方程mx2－mx－m+5=0有两个相等的实数根?
39、已知关于x的一元二次方程
)0
(0
5
6
2
2≠
=
+
-p
q
px
x
(p≠0)有两个相等的实数根，
试证明关于x的一元二次方程x2+px+q=0有两个不相等的实数根。
40、已知一元二次方程x2－6x+5－k=0的根的判别式?=4，则那个方程的根为。
41、若关于x的方程x2－2(k+1)x+k2－1=0有实数根，则k的取值范畴是( )
A.k≥－1
B.k＞－1
C.k≤－1
D.k＜-1
42、已知方程ax2+bx+c=0(a≠0，c≠0)无实数根，试判定方程
2=
+
-
c
a
x
c
b
x
的根的情形。
一元二次方程根与系数的关系
1、假如方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根是x1、x2，那么x1+x2= ，x1·x2= 。
2、已知x1、x2是方程2x2+3x－4=0的两个根，那么：x1+x2= ；x1·x2= ；
2111x x +
；x 21+x 22= ；(x 1+1)(x 2+1)= ；｜x 1－x 2
｜
= 。
3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 。
4、假如关于x 的一元二次方程x
2
+2x+a=0的一个根是1－2，那么另一个根
是 ，a 的值为 。
5、假如关于x 的方程x 2
+6x+k=0的两根差为2，那么k= 。
6、已知方程2x 2
+mx －4=0两根的绝对值相等，则m= 。
7、一元二次方程px 2
+qx+r=0(p ≠0)的两根为0和－1，则q ∶p= 。
8、已知方程x 2
－mx+2=0的两根互为相反数，则m= 。
9、已知关于x 的一元二次方程(a 2－1)x 2
－(a+1)x+1=0两根互为倒数，则a= 。
10、已知关于x 的一元二次方程mx
2
－4x －6=0的两根为x 1和x 2，且x 1+x 2=－2，则m= ，
(x 1+x 2)
2
1x x ?= 。
11、已知方程3x 2
+x －1=0，要使方程两根的平方和为913
，那么常数项应改为 。
12、已知一元二次方程的两根之和为5，两根之积为6，则那个方程为 。 13、若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)
2
=0，则以α、β为根的一元二次方程
为 。(其中二次项系数为1) 14、已知关于x 的一元二次方程x 2－2(m －1)x+m 2=0。若方程的两根互为倒数，则m= ；若方程两根之和与两根积互为相反数，则m= 。 15、已知方程x 2+4x －2m=0的一个根α比另一个根β小4，则α= ；β= ；m= 。
16、已知关于x 的方程x 2
－3x+k=0的两根立方和为0，则k=
17、已知关于x 的方程x 2－3mx+2(m －1)=0的两根为x 1
、x 2
，且43x 1x 121-=+，
则m= 。
18、关于x 的方程2x
2
－3x+m=0，当 时，方程有两个正数根；当m 时，方程有一个正根，一个负根；当m 时，方程有一个根为0。
19、若方程x 2－4x+m=0与x 2
－x －2m=0有一个根相同，则m= 。
20、求作一个方程，使它的两根分别是方程x 2
+3x －2=0两根的二倍，则所求的方程为 。
21、一元二次方程2x 2－3x+1=0的两根与x 2
－3x+2=0的两根之间的关系是 。
22、已知方程5x 2
+mx －10=0的一根是－5，求方程的另一根及m 的值。
23、已知2+
3是x 2－4x+k=0的一根，求另一根和k 的值。
24、证明：假如有理系数方程x
2
+px+q=0有一个根是形如A+B 的无理数(A 、B 均为有理数)，
那么另一个根必是A －B 。
25、不解方程，判定下列方程根的符号，假如两根异号，试确定是正根依旧负根的绝对值大?
0362)2(,053)1(22=+-=--x x x
26、已知x 1和x 2是方程2x
2
－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
x 31x 2+x 1x 32
27、已知x 1和x 2是方程2x
2
－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
2221x 1
x 1+
28、已知x 1和x 2是方程2x
2
－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
(x 21－x 22)2
29、已知x 1和x 2是方程2x
2
－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
x 1－x 2
30、已知x 1和x 2是方程2x
2
－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
122x x
31、已知x 1和x 2是方程2x
2
－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
x 51·x 22+x 21·x 52
32、求一个一元二次方程，使它的两个根是2+
6和2－6。
33、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。 34、造一个方程，使它的根是方程3x
2
－7x+2=0的根；(1)大3；(2)2倍；(3)相反数；(4)倒
数。
35、方程x 2
+3x+m=0中的m 是什么数值时，方程的两个实数根满足：(1)一个根比另一个根大2；(2)一个根是另一个根的3倍；(3)两根差的平方是17。
36、已知关于x 的方程2x
2
－(m －1)x+m+1=0的两根满足关系式x 1－x 2=1，求m 的值及两个根。
37、α、β是关于x 的方程4x
2
－4mx+m 2+4m=0的两个实根，同时满足
1009
1)1)(1(=
---βα，
求m 的值。
38、已知一元二次方程8x 2
－(2m+1)x+m －7=0，依照下列条件，分别求出m 的值： (1)两根互为倒数； (2)两根互为相反数； (3)有一根为零； (4)有一根为1；
(5)两根的平方和为641
。
39、已知方程x
2
+mx+4=0和x 2－(m －2)x －16=0有一个相同的根，求m 的值及那个相同的根。
40、已知关于x 的二次方程x 2－2(a －2)x+a 2
－5=0有实数根，且两根之积等于两根之和的2倍， 求a 的值。
41、已知方程x 2
+bx+c=0有两个不相等的正实根，两根之差等于3，两根的平方和等于29，求b 、c 的值。
42、设：3a 2－6a －11=0，3b 2－6b －11=0且a ≠b ，求a 4－b 4
的值。
43、试确定使x 2
+(a －b)x+a=0的根同时为整数的整数a 的值。
44、已知一元二次方程(2k －3)x 2
+4kx+2k －5=0，且4k+1是腰长为7的等腰三角形的底边长，求
当k 取何整数时，方程有两个整数根。
45、已知：α、β是关于x 的方程x 2+(m －2)x+1=0的两根，求(1+m α+α2)(1+m β+β2
)的值。
46、已知x 1,x 2是关于x 的方程x 2+px+q=0的两根，x 1+1、x 2+1是关于x 的方程x 2
+qx+p=0的两根，
求常数p 、q 的值。，
47、已知x 1、x 2是关于x 的方程x
2
+m 2x+n=0的两个实数根；y 1、y 2是关于y 的方程y 2+5my+7=0的
两个实数根，且x 1－y 1=2,x 2－y 2=2，求m 、n 的值。
48、关于x 的方程m 2x 2+(2m+3)x+1=0有两个乘积为1的实根，x 2+2(a+m)x+2a －m 2
+6m －4=0有大于0且小于2的根。求a 的整数值。
49、关于x 的一元二次方程3x 2－(4m 2
－1)x+m(m+2)=0的两实根之和等于两个实根的倒数和，求m 的值。
50、已知：α、β是关于x 的二次方程：(m －2)x 2
+2(m －4)x+m －4=0的两个不等实根。 (1)若m 为正整数时，求此方程两个实根的平方和的值； (2)若α2+β2=6时，求m 的值。
51、已知关于x 的方程mx 2－nx+2=0两根相等，方程x 2
－4mx+3n=0的一个根是另一个根的3倍。 求证：方程x 2－(k+n)x+(k －m)=0一定有实数根。
52、关于x 的方程
2
2n 41
mx 2x +-=0，其中m 、n 分别是一个等腰三角形的腰长和底边长。 (1)求证：那个方程有两个不相等的实根；
(2)若方程两实根之差的绝对值是8，等腰三角形的面积是12，求那个三角形的周长。
53、已知关于x 的一元二次方程x
2
+2x+p 2=0有两个实根x 1和x 2(x 1≠x 2)，在数轴上，
表示x 2的点在表示x 1的点的右边，且相距p+1，求p 的值。
54、已知关于x 的一元二次方程ax 2
+bx+c=0的两根为α、β，且两个关于x 的方程x 2+(α+1)x+
β2=0与x 2+(β+1)x+α2=0有唯独的公共根，求a 、b 、c 的关系式。
55、假如关于x 的实系数一元二次方程x 2+2(m+3)x+m 2
+3=0有两个实数根α、β，那么(α－1)2+(β－1)2的最小值是多少?
56、已知方程2x 2－5mx+3n=0的两根之比为2∶3，方程x 2
－2nx+8m=0的两根相等(mn ≠0)。求 证：对任意实数k ，方程mx 2+(n+k －1)x+k+1=0恒有实数根。
、(1)方程x
2
－3x+m=0的一个根是2，则另一个根是 。
(2)若关于y 的方程y 2－my+n=0的两个根中只有一个根为0，那么m ，n 应满足 。 58、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积 x 2+3x+1=0；
59、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积 3x 2－2x －1=0；
60、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积 －2x 2+3=0；
61、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积 2x 2+5x=0。
62、已知关于x 的方程2x 2
+5x=m 的一个根是－2，求它的另一个根及m 的值。
63、已知关于x 的方程3x 2
－1=tx 的一个根是－2，求它的另一个根及t 的值。
64、设x 1，x 2是方程3x 2
－2x －2=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： (1)(x 1－4)(x 2－4)； (2)x 13x 24+x 14x 23；
(3)?
??? ?
????? ??+12213131x x x
x ； (4)x 13+x 23。
65、设x 1，x 2是方程2x 2
－4x+1=0的两个根，求｜x 1－x 2｜的值。
66、已知方程x 2+mx+12=0的两实根是x 1和x 2，方程x 2
－mx+n=0的两实根是x 1+7和x 2+7， 求m 和n 的值。 67、以2，－3为根的一元二次方程是 ( ) A.x 2+x+6=0 B.x 2+x －6=0 C.x 2－x+6=0 D.x 2－x －6=0 68、以3，－1为根，且二次项系数为3的一元二次方程是 ( ) A.3x 2－2x+3=0 B.3x 2+2x －3=0 C.3x 2－6x －9=0 D.3x 2+6x －9=0
69、两个实数根的和为2的一元二次方程可能是 ( )
A.x 2+2x －3=0
B.x 2－2x+3=0
C.x 2+2x+3=0
D.x 2－2x －3=0 70、以－3，－2为根的一元二次方程为 ，
以213-，21
3+为根的一元二次方程为 ，
以5，－5为根的一元二次方程为 ，
以4，41
为根的一元二次方程为 。
71、已知两数之和为－7，两数之积为12，求这两个数。 72、已知方程2x
2
－3x －3=0的两个根分别为a ，b ，利用根与系数的关系，求一个一元二次方
程 ，使它的两个根分别是： (1)a+1.b+1
(2)
b a a b 2,2 73、一个直角三角形的两条直角边长的和为6cm ，面积为27
cm 2
，求那个直角三角形斜边的
长 。
74、在解方程x 2
+px+q=0时，小张看错了p ，解得方程的根为1与－3；小王看错了q ，解得方程的根为4与－2。那个方程的根应该是什么?
75、关于x 的方程x 2
－ax －3=0有一个根是1，则a= ，另一个根是 。
76、若分式1322+--x x x 的值为0，则x 的值为 ( )
A.－1
B.3
C.－1或3
D.－3或1
77、若关于y 的一元二次方程y 2+my+n=0的两个实数根互为相反数，则 ( ) A.m=0且n ≥0 B.n=0且m ≥0C.m=0且n ≤0 D.n=0且m ≤0
78、已知x 1，x 2是方程2x 2
+3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： (1)(2x 1－3)(2x 2－3)； (2)x 13x 2+x 1x 23。
79、已知a
2
=1－a ，b 2=1－b ，且a ≠b ，求(a －1)(b －1)的值。
80、假如x=1是方程2x 2
－3mx+1=0的一个根，则m= ，另一个根为 。
81、已知m 2+m －4=0，04112=-+n n ，m ，n 为实数，且n m 1≠，则n m 1+= 。
82、两根为3和－5的一元二次方程是
( )
A.x 2－2x －15=0
B.x 2－2x+15=0
C.x 2+2x －15=0
D.x 2+2x+15=0
83、.设x 1，x 2是方程2x 2
－2x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： (1)(x 12+2)(x 22+2)； (2)(2x 1+1)(2x 2+1)； (3)(x 1－x 2)2。
84、.已知m ，n 是一元二次方程x 2
－2x －5=0的两个实数根，求2m 2+3n 2+2m 的值。
85、已知方程x 2
+5x －7=0，不解方程，求作一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方 程的两个根的负倒数。
86、已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根之比为2∶1，求证：2b 2
=9ac 。
87、.已知关于x 的一元二次方程x 2
+mx+12=0的两根之差为11，求m 的值。
88、已知关于y 的方程y 2
－2ay －2a －4=0。(1)证明：不论a 取何值，那个方程总有两个不相等的 实数根；(2)a 为何值时，方程的两根之差的平方等于16? 89、已知一元二次方程x 2－10x+21+a=0。(1)当a 为何值时，方程有一正、一负两个根?(2)此 方程会有两个负根吗?什么缘故? 90、已知关于x 的方程x 2－(2a －1)x+4(a －1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长，求那个直角三角形的面积。
91、已知方程x
2
+ax+b=0的两根为x 1，x 2，且4x 1+x 2=0，又知根的判别式?=25，求a ，b 的值。
92、已知一元二次方程8y
2
－(m+1)y+m －5=0。(1)m 为何值时，方程的一个根为零?(2)m 为何
值时 ，方程的两个根互为相反数?(3)证明：不存在实数m ，使方程的两个相互为倒数。
93、当m 为何值时，方程3x 2
+2x+m －8=0：(1)有两个大于－2的根?(2)有一个根大于－2，另一个 根小于－2?
94、已知2s 2+4s －7=0，7t 2
－4t －2=0，s ，t 为实数，且st ≠1。求下列各式的值：
(1)t st 1+；; (2)t s st 3
23+-。
95、已知x 1，x 2是一元二次方程x
2
+m x+n=0的两个实数根，且x 12+x 22+(x 1+x 2)2=3，
52222
21=+x x ，求m 和n 的值。
二次三项式的因式分解（用公式法）
1、假如x 1、x 2是一元二次方程ax
2
+bx+c=0的两个根，那么分解因式ax 2+bx+c= 。
2、当k 时，二次三项式x
2
－5x+k 的实数范畴内能够分解因式。
3、假如二次三项式x 2
+kx+5(k －5)是关于x 的完全平方式，那么k= 。
4、4x 2
+2x －3
5、x 4－x 2
－6
6、6x 4－7x 2
－3
7、x+4y+4xy (x>0,y>0)
8、x
2
－3xy+y 2
9、证明：m 为任何实数时，多项式x 2
+2mx+m －4都能够在实数范畴内分解因式。
10、分解因式4x 2－4xy －3y 2
－4x+10y －3。
11、 已知：6x 2－xy －6y 2=0，求：y 3x 62y
6x 4--的值。
12、6x
2
－7x －3； 13、2x 2
－1分解因式的结果是 。
14、已知－1和2是关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个根，那么，ax 2
+bx+c 能够分 解因式为 。
15、3x 2
－2x －8；
16、2x 2
－3x －2；
17、2x 2
+3x+4；
18、4x 2
－2x ；
19、3x 2
－1。
、3x 2
－3x －1；
21、2
2x2－3x－2。
22、方程5x2－3x－1=0与10x2－6x－2=0的根相同吗?什么缘故?二次三项式2x2－3x－4与4x2－6x－8 分解因式的结果相同吗?把两个二次三项式分别分解因式，验证你的结论。
23、二次三项式2x2－2x－5分解因式的结果是
( )
A.
?
?
?
?
?
?-
-
?
?
?
?
?
?+
-
2
11
1
2
11
1
x
x
B.
?
?
?
?
?
?-
-
?
?
?
?
?
?+
-
2
11
1
2
11
1
2x
x
C.
?
?
?
?
?
?-
+
?
?
?
?
?
?+
+
2
11
1
2
11
1
x
x
D.
?
?
?
?
?
?-
+
?
?
?
?
?
?+
+
2
11
1
2
11
1
2x
x
24、二次三项式4x2－12x+9分解因式的结果是( )
A.
?
?
?
?
?
-
2
3
4x
B.
?
?
?
?
?
-
2
3
x
C.
2
2
3
?
?
?
?
?
-
x
D.
2
2
3
4?
?
?
?
?
-
x
25、2x2－7x+5；
26、4y2－2y－1。
27、5x2－7xy－6y2；
28、2x2y2+3xy－3。
29、9y2+24y+16；
30、4x2－12xy+9y2。
31、已知二次三项式2x2+(1－3m)x+m+3分解因式后，有一个因式为(x－1)。试求那个二次三项式分解因式的结果。
32、关于任意实数x，多项式x2－5x+7的值是一个
( )
A.负数
B.非正数
C.正数
D.无法确定正负的数
一元二次方程的应用
1、某商亭十月份营业额为5000元，十二月份上升到7200元，平均每月增长的百分率
是。
2、某商品连续两次降价10%后的价格为a元，该商品的原价应为。
3、某工厂第一季度生产机器a台，第二季度生产机器b台，第二季度比第一季度增长的百分率是。
4、某工厂今年利润为a万元，比去年增长10%，去年的利润为万元。
5、某工厂今年利润为a万元，打算今后每年增长m%，n年后的利润为万元。
6、一个两位数，它的数字和为9，假如十位数字是a，那么那个两位数是；把那个两位数的个位数字与十位数字对调组成一个新数，那个数与原数的差为。、甲、乙二人同时从A地动身到B地。甲的速度为akm/h，乙的速度为bkm/h(其中a>b)，二人
动身5h 后相距 km 。
8、现有浓度为a%的盐水mkg ，加入2kg 盐后，浓度为 。
9、A 、B 两地相距Skm 。(1)从A 地到B 地，甲用5h ，乙用6h ，则甲的速度比乙的速度快 km/h ；(2)若甲的速度为akm/h ，乙的速度比甲的速度的2倍还快1km/h ，则乙比甲早到 h 。
10、浓度为a%的酒精mkg ，浓度为b%的酒精nkg ，把两种酒精混合后，浓度为 。 11、 某工程，甲队独作用a 天完成，乙队独作用b 天完成，甲、乙两队合作一天的工作量为 ，甲、乙两队合作m 天的工作量为 ；甲、乙两队合作完成此项工程需 天。
12、某钢铁厂一月份的产量为5000t ，三月份上升到7200t ，求这两个月平均增长的百分率。 13、某项工程需要在规定日期内完成。假如由甲去做，恰好能够如期完成；假如由乙去做，要超过规定日期3天才能完成。现由甲、乙合做2天，剩下的工程由乙去做，恰好在规定日期完成。求规定的日期。
14、A 、B 两地相距82km ，甲骑车由A 向B 驶去，9分钟后，乙骑自行车由B 动身以每小时比甲快2km 的速度向A 驶去，两人在相距B 点40km 处相遇。问甲、乙的速度各是多少?
15、有一件工作，假如甲、乙两队合作6天能够完成；假如单独工作，甲队比乙队少用5天，两队单独工作各需几天完成?
16、甲、 乙二人分别从相距20km 的A 、B 两地以相同的速度同时相向而行。相遇后，二人连续前进，乙的速度不变，甲每小时比原先多走1km ，结果甲到达B 地后乙还要30分钟才能到达A 地。求乙每小时走多少km?
17、一桶中装满浓度为20%的盐水40kg ，若倒出一部分盐水后，再加入一部分水，倒入水的重量是倒出盐水重量的一半，现在盐水的浓度当15%，求倒出盐水多少kg?
18、某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用作购物，剩下的1000元及应得的利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后得本金和剩息共1320元，求这种存款方式的年利率。
19、甲做90个零件所用的时刻和乙做120个零件所用的时刻相等，又知每小时甲、乙二人一共做了35个零件，求甲、乙每小时各做多少个零件?
20、某商店将甲、乙两种糖果混合销售，并按以下公式确定混合糖果的单价：单价
=212
211m m m a m a ++(元/千克)，其中m 1、m 2分别为甲、乙两种糖果的质量(千克)，a 1、a 2分别为
甲、乙两种糖果的单价(元/千克)。已知甲种糖果单价为20元/千克，乙种糖果单价为16元/千克，现将10千克乙种糖果和一箱甲种糖果混合(搅拌平均)销售，售出5千克后，又在混合糖果中加入5千克乙种糖果，再出售时，混合糖果的单价为17.5元/千克。问这箱甲种糖果有多少千克?
21、某农户在山上种了脐橙果树44株，现进入第三年收成。收成时，先随意采摘5株果树上的脐橙，称得每株果树上的脐橙质量如下(单位：千克)：35，35，34，39，37 (1)依照样本平均数估量，这年脐橙的总产量约是多少?
(2)若市场上的脐橙售价为每千克5元，则这年该农户卖脐橙的收入将达多少元?
(3)已知该农户第一年卖脐橙的收入为5500元，依照以上估算，试求第二年、第三年卖脐橙收入的年平均增长率。 22、客机在A 地和它西面1260km 的B 地之间往返，某天，客机从A 地动身时，刮着速度为60km/h 的西风，回来时，风速减弱为40km/h ，结果往返的平均速度，比无风时的航速每小时少17km 。无风时，在A 与B 之间飞一趟要多少时刻?
23、一块面积是600m
2
的长方形土地，它的长比宽多10m ，求长方形土地的长与宽。
24、一个三角形铁块的一条边的长比这条边上的高少50cm ，又知那个三角形铁块的面积是1800 cm 2，求三角形铁块的这条边的长度和这条边上的高。
25、已知一个直角三角形的两条直角边长的差为3cm ，斜边长与最短边长的比为5∶3，求那个 直角三角形的面积。 26、在一块正方形的钢板上裁下宽为20cm 的一个长条，剩下的长方形钢板的面积为4800 cm 2。求原正方形钢板的面积。 27、一个菱形水池，它的两条对角线长的差为2m ，水池的边长差不多上5m 。求那个菱形水池的面积 。
28、一块长方形木板长40cm ，宽30cm 。在木板中间挖去一个底边长为20cm ，高为15cm 的 U
形孔，已知剩下的木板面积是原先面积的65
，求挖去的U 形孔的宽度。
29、已知两个数的和为17，积为60，求这两个数。 30、两个连续正整数的平方和为265，求这两个数的和。 31、两个连续奇数的积为195，求这两个数。
32、一个三位数，它的百位上的数字比十位上的数字大1，它的个位上的数字是十位上的数
字 的3倍，且个位上数字的平方等于十位与百位上数字和的3倍，求那个三位数。 33、三个连续偶数，最大数的平方等于前两数的平方和，求这三个数。
34、一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字的和为9，这两个数字的积等于那个两
位 数的21
，求那个两位数。
35、有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字的和是6，假如把它的个位上的数字
与十位上的数字调换位置，所得的两位数乘以原先的两位数所得的积就等于1008，求调换位 置后得到的两位数。
36、某村粮食产量，第一年为a 千克，以后每年的增长率都为x ，则第二年的粮食产量为 千 克，第三年的粮食产量为 千克，这三年的粮食总产量为 千克， 37、某厂制造一种机器，原先制造一台机器需m 元，改进技术后，连续两次降低 成本，平均每次下降的百分率为x ，则第一次降低成本后，制造一台机器需 元，第二次 降低成本后，制造一台机器需 元。
38、某工厂在两年内将机床年产量由400台提高到900台。求这两年中平均每年的增长率。 39、某种产品的成本在两年内从16元降至9元，求平均每年降低的百分率.
40、某工厂一月份产值为50万元，采纳先进技术后，第一季度共获产值182万元，二、三月份 平均每月增长的百分率是多少?
41、某林场第一年造林100亩，以后造林面积逐年增长，第二年、第三年共造林375亩，后两年平均每年的增长率是多少?
42、某村1999年的蔬菜产量在1997年的基础上增加了44%，求这两年中，平均每年增长的百分率。
43、小张将自己参加工作后第一次工资收入400元钱，按一年定期存入银行，到期后，小张支取了200元钱捐给期望工程，剩下的200元钱和应得的利息全部按一年定期存入银行。若存款年利率保持不变，到期后可得本金和利息共212.16元。求这种存款方式的年利率。(只要设未知数、列方程，不需解答)
44、12和75的比例中项是。
45、求(x+2)∶(x－1)=(x+4)∶4中的x。
46、一个直角三角形的两条直角边长的比为5∶12，斜边长为26cm，求那个直角三角形的面积。
47、一张长方形铁皮，四个角各剪去一个边长为4cm的小正方形，再折起来做成一个无盖的小盒子。已知铁皮的长是宽的2倍，做成的小盒子的容积是1536cm3，求长方形铁皮的长与宽。
48、一个容器里装满了40升酒精，第一次倒出一部分纯酒精后，用水注满；第二次又倒出同样多的混合液体后，再用水注满，现在，容器内的溶液中含纯酒精25%。求第一次倒出的酒精的升数。
49、在长度为m的线段AB上取一点C，使AC是AB、BC的比例中项。求AC的长。
50、一个形如等腰三角形的钢制屋梁，其底边长与腰长的比为8∶5，屋梁构成的等腰三角形的面积为48cm2，求那个屋梁的周长。
51、如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=4厘米，BC=10厘米，点P从点B动身，沿BC以1厘米／秒的速度向点C移动。问：通过多少秋后点P到点A的距离的平方比点P到点B的距离的8倍大1?
52、两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多1cm，大正方形的面积比小正方形的面积的2倍还多4cm2，求大、小两个正方形的边长。
53、某电视机专卖店出售一种新面市的电视机，平均每天售出50台，每台盈利400元。为了扩大销售，增加利润，专卖店决定采取适当降价的措施。经调查发觉，假如每台电视机每降价10元，平均每天可多售出5台。专卖店降价第一天，获利30000元。问：每台电视机降价多少元?
54、某公司向工商银行贷款30万元，这种贷款要求公司在两年到期时，一次性还清本息，利息是本金的12%。该公司利用这笔贷款经营，两年到期时除还清贷款的本金和利息外，还盈余9.6万元。若经营期间每年与上一年相比资金增长的百分数相同，试求那个百分数。
可化为一元二次方程的分式方程
1、假如关于x的方程
2
=
+nx
x
m
是分式方程，那么m、n的取值范畴是。
2、方程x
2x x
=-的解是 。
3、当m= 时，方程3x m
3
x 1x -=
--无解。 4、若方程x x
x m +=
-+22
x x 有解x=2，则m= 。 5、m= 时，方程12x 1
2x m 5--=-+会产生增根。
6、方程2x x 22
x 42
2
2
+=+的实数解是 。 7、用换元法解方程71x 1)
6(x 1x 1)2(x 22-++=++，设y= 。因此原方程变形
的 。
8、用换元法解方程
07)x 1(x 29x 1x 2
2=++-+
，所设的辅助未知数y= ，则原方程化
为关于y 的方程是 。
9、
1x 2
1x 112
-=+-
10、x 2x 1
4x 2x
2x 4x 222
-=-++- 11、11x 13x 4x 2x 39x 2=-++-+-
12、方程0
12
32=-+-x x x 的根是 。 13、分式方程39
3
2+=
+x x x 的根是 。 14、分式方程x x x x
x x 214224222
-=-++-中各分式的最简公分母是 。
、当k 的取值范畴为x 的方程0
122=-+-x k
x x 没有实数根。
16、012
122
=+++-x x x ；
17、
22144212-+=-++y y y y ；
18、44
212
35222
---=++-x x x x x 19、x x x x x x x x x --+--=+-222
2212
3 20、当m 什么缘故数时，解关于x 的方程
)2)(1(2
11-+=++x x x m 会产生增根?这时，原方程有实数根吗?
21、用换元法解方程25
211322=-+-x x x x ，设y x x =-12
，则原方程变形为 。
22、用换元法解方程
x x x x 231
4622++
+=3，设3x 2+2x=y ，则原方程变形为 。
23、假如设21
x -5=y ，则方程01325122=-+??? ??-x x 能够变形为 。
24、
0310
732
2=++
++x x x x ；
25、32338422
-++=++x x x x ；
26、
10
823
21
22-=+-x x ；
27、12
552
=??? ??--??? ??
-x x x x 。
28、关于x 的方程：)0(1
111≠++=-+-b a b a b x a x 。
29、第1365题中，若a+b=0，方程有根吗?若有根，则求出方程的根；若无根，请说明理由。 30、A 、B 两地相距40千米，甲从A 地到B 地，若每小时走x 千米，那么需走
小时；
假如每小 时多走2千米，那么，需走 小时，如此可比原先早 小时到达B 地。
人教版九年级数学上册_第21章_一元二次方程_单元检测题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．请检验下列各数哪个为方程2680x x -+=的解（ ） A ．5 B ．2 C ．-8 D ．-2 2．（2011?福州）一元二次方程x （x ﹣2）=0根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．只有一个实数根 D ．没有实数根 3．一元二次方程245x x -=的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A ．1，4，5 B ．1，4-，5 C ．1，4-，5- D ．1，4，5- 4．下列一元二次方程中，两根之和为-1的是（ ） A ．220x x ++= B ．250x x --= C ．230x x +-= D ．2210x x --= 5．设a ，b 是方程220110x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ） A ．2009 B ．2010 C ．2011 D ．2012 6．关于x 的一元二次方程x 2-k=0有实数根，则( ) A ．k<0 B ．k>0 C ．k≥0. D ．k≤0 7．将方程x 2+4x+3=0配方后，原方程变形为( ) A ．2(x 2)1+= B ．2(x 4)1+= C ．2(x 2)3+=- D ．2(x 2)1+=- 8．方程22x x =的根是（ ） A ．2x = B ．x=0 C ．10x =，22x = D ．10x =，22x =- 9．设a ，b 是方程220170x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为( ) A ．2014 B ．2015 C ．2016 D ．2017 10．某商品原价269元，经连续两次降价后，售价为256元．设平均每次降价的百分率为x ，则可列方程为（ ） A ．2269(1)256x += B ．2269(1)256x -= C ．2256(1)269x -= D ．2269269256x -=
第二十一章 一元二次方程巩固练习题 姓名：__________ 一．选择题（共10小题） 1．方程(m ﹣1)x 2+2x +3=0是关于x 的一元二次方程，则（ ） A ．m ≠一1 B ．m ≠1 C ．m ≠2 D ．m ≠3 2．方程2x 2﹣6x ﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A ．6、2、5 B ．2、﹣6、5 C ．2、﹣6、﹣5 D ．﹣2、6、5 3．关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2+x +a 2﹣1=0的一个根是0，则a 的值为（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．1或﹣1 D ． 12 4．方程：x 2﹣25=0的解是（ ） A ．x =5 B ．x =﹣5 C ．x 1=﹣5，x 2=5 D ．x =±25 5．一元二次方程x 2+6x ﹣5=0配方后变形正确的是（ ） A ．(x ﹣3)2=14 B ．(x +3)2=4 C ．21(6)2 x += D ．（x +3）2=14 6．用公式法解方程4x 2﹣12x =3所得的解正确的是（ ） A ．32x -±= B ．32x ±= C ．32x -±= D ．32x ±= 7．一元二次方程x 2﹣x ﹣2=0的解是（ ） A ．x 1=1，x 2=2 B ．x 1=1，x 2=﹣2 C ．x 1=﹣1，x 2=2 D ．x 1=﹣1，x 2=﹣2 8．关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +k =0有两个相等的实数根，则k 的值为（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．2 D ．﹣2 9．已知关于x 的一元二次方程mx 2+2x ﹣1=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜﹣1 B ．m ＞1 C ．m ＜1且m ≠0 D ．m ＞﹣1且m ≠0 10．广州亚运会的某纪念品原价188元，连续两次降价a %，后售价为118元，下列所列方程中正确的是（ ） A ．188(1+a %)2=118 B ．188(1﹣a %)2=118 C ．188(1﹣2a %)=118 D ．188(1﹣a 2%)=118 二．填空题（共10小题） 11．已知关于x 的方程mx |m ﹣2|+2（m +1）x ﹣3=0是一元二次方程，则m = ． 12．把一元二次方程3x （x ﹣2）=4化为一般形式是 ． 13．方程（x ﹣1）2=1的解为 ．
第十二章一元二次方程 第1课一元二次方程 一、教学目的 1．使学生理解并能够掌握整式方程的定义． 2．使学生理解并能够掌握一元二次方程的定义． 3．使学生理解并能够掌握一元二次方程的一般表达式以及各种特殊形式． 二、教学重点、难点 重点：一元二次方程的定义． 难点：一元二次方程的一般形式及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别． 三、教学过程 复习提问 1．什么叫做方程？什么叫做一元一次方程？ 2．指出下面哪些方程是已学过的方程？分别叫做什么方程？ (l)3x+4=l； (2)6x-5y=7； 3．结合上述有关方程讲解什么叫做“元”，什么叫做“次”． 引入新课 1．方程的分类： 通过上面的复习，引导学生答出： 学过的几类方程是 没学过的方程是 x2-70x+825=0，x(x+5)=150． 这类“两边都是关于未知数的整式的方程，叫做整式方程．”而在整式方程中，“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程．” 据此得出复习中学生未学过的方程是 (4)一元二次方程：x2-70x+825=0，x(x+5)=150． 同时指导学生把学过的方程分为两大类：
2．一元二次方程的一般形式 注意引导学生考虑方程 x2-70x+825=0 和方程x(x+5)=150，即x2+5x=150， 可化为：x2+5x-150=0． 从而引导学生认识到：任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为 ax2+bx+c=0(a≠0) 的形式．并称之为一元二次方程的一般形式．强调，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项、常数项；a，b分别称为二次项系数、一次项系数．要特别注意：二次项系数a是不等于0的实数(a=0时，方程化为bx+c=0，不再是二次方程了)；b，c可为任意实数．例把方程5x(x+3)=3(x-1)+8化成一般形式．并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项． 讲解例题 课堂练习 P5-6 1、2 课堂小结 1．方程分为两大类： 判别整式方程与分式方程的关键是看分母中是否含有未知数；判别一元一次方程，一元二次方程的关键是看方程化为一般形式后，未知数的最高次数是一次还是二次．2．一元二次方程的定义：一个整式方程，经化简形成只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，则这样的整式方程称一元二次方程．其一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，其中b，c均可为任意实数，而a不能等于零． 作业：教材中相关习题． 第2课一元二次方程的解法(一) 一、教学目的 1．使学生掌握用直接开平方法解一元二次方程． 2．引导学生通过特殊情况下的解方程，小结、归纳出解一元二次方程ax2+c=0(a＞0，c ＜0)的方法． 二、教学重点、难点 重点：准确地求出方程的根． 难点：正确地表示方程的两个根． 三、教学过程 复习过程 回忆数的开方一章中的知识，请学生回答下列问题，并说明解决问题的依据． 求下列各式中的x： 1．x2=225； 2．x2-169=0；3．36x2=49； 4．4x2-25=0． 回答解题过程中的依据． 解题的依据是：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．
《第21章一元二次方程》单元测试含答案解析 一、单项选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将此选项的字母填在答题卡上） 1．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（）A．（x﹣6）2=﹣4+36 B．（x﹣6）2=4+36 C．（x﹣3）2=﹣4+9 D．（x ﹣3）2=4+9 2．若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范畴是（）A．a＜1 B．a≤4 C．a≤1 D．a≥1 3．将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300cm3，则原铁皮的边长为（）A．10cm B．13cm C．14cm D．16cm 4．若关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有实数根，则k 的取值范畴是（） A．k≥B．k＞C．k＜D．k≤ 5．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分不为x1=﹣2，x2=4，则m+n的值是（） A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．2 6．如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，打算在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则能够列出关于x的方程是（） A．x2+9x﹣8=0 B．x2﹣9x﹣8=0 C．x2﹣9x+8=0 D．2x2﹣9x+8=0 7．下列方程有两个相等的实数根的是（） A．x2+x+1=0 B．4x2+2x+1=0 C．x2+12x+36=0 D．x2+x﹣2=0 8．我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务进展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛进展，2014年增速位居全国第一．若
《一元二次方程》整章的教后反思 《一元二次方程》整章的教后反思 一、教学之前的思考 基于以上对教材的分析，我把重心放在关注学生的学法上。通过分析本章的难点和所教班的实际情况，我认为教学的难点在于如何理顺配方法、公式法、分解因式法之间的关系以及如何利用一元二次方程解应用题。 二、实施教学所遇到的难点 在把握了本章的重难点之后，我把教学中心放在解一元二次方程的三种方法之间的联系上。在实际的教学过程中，学生虽然已经清楚三种方法之间的内在联系，但同时也存在以下两方面的问题：第一、基本运算不过关。绝大多数同学都知道解方程的`方法，但却不能保证计算的准确性。这里也透露出新教材的一个特点：很重视学生思维上的培养，却忽视了基本计算能力的训练,似乎认为每个学生都能达到一学就会的理想境界。第二，解方程的方法不灵活。学习了三种方法之后，知道了公式法是最通用的方法，所以也就认为公式法绝对比配方法好用多了。但实际并非完全如此，通用并不意味着简单。 三、教学后的及时改进 为了解决"配方法、公式法"谁更好用？很多学生都明白公式法是在配方法上基础上的推导出来，并且有一个通用公式可算，所以学生
潜意识已经认为公式法更简单 通过现场测试，很多同学又一次回到首先移项，接着只能用公式法的做法上。其实，在这里学生让没有抓住配方法的精髓。这两题依然是可以用配方法，而且很快就可以解出来。 四、反思 1、备课应该更加务实。 在以后教学中，我要吸取这一章教学的有益经验。不仅要抓整体，更要注意一些重要细节，及时发现教学工作中可能存在的隐性问题。例如：按照惯例，对于应用题学生的难点都在于如何找等量关系和列方程，故最容易忽视的是解方程的细节。例如上文中的例4，很多学生在学习公式法之后，都会很自然将方程的左边展开，继而使用公式法，从而解方程会变得十分复杂。 2、在教学中如何能够使学生学得简单，让学生的学习热情高涨。 五、教材的独到之处 教材有很多闪光点，让人耳目一新，极大调动了学生创造热情。课本上很多应用题都来源生活，贴近学生实际，增强了学生应用数学的意识和能力。
《一元二次方程》实际应用题专项练习（一） 1．今年国庆中秋双节同庆，某店推出了莲蓉蛋黄月饼和流心芝士月饼两种月饼，其中莲蓉蛋黄月饼每盒成本15.5元售价40元，流心芝士月饼每盒成本18元售价48元．两种月饼均为整盒出售，不售散装．中秋节前，莲蓉蛋黄月饼和流心芝士月饼共销售了400盒，销售总额为17440元． （1）中秋节前，莲蓉蛋黄月饼卖了多少盒？ （2）为迎接双节，中秋当日该店大促销，莲蓉蛋黄月饼“买一送一”（买一盒送一盒）但销售单价不变，其当日销量（不算赠品）达到中秋前售卖的莲蓉蛋黄月饼总销量的； 流心芝士月饼每盒销售单价减少，其当日销量比中秋节前流心芝士月饼总销量增加了5a%．中秋当日两种月饼的销售利润为2736元，求a的值． 2．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．经调查发现，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若某天该衬衫每件降价5元，则当天该衬衫的销量为件，当天可获利元； （2）设每件衬衫降价x元，则商场日销售量增加件，每件衬衫盈利元（用含x的代数式表示）； （3）如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利200元，同时尽快减少库存，那么衬衫的单价应降多少元？ 3．随着现代互联网技术的广泛应用和快递行业的高速发展，网上购物的人越来越多，“双
十一”当天更是成为了全民狂欢的网购节．据统计，某天猫官方旗舰店在2017年和2019年“双十一”当天的订单量分别为20万件和45万件，现假设该旗舰店每年“双十一” 当天的订单量增长率相同． （1）求该旗舰店“双十一”当天订单量的年平均增长率； （2）如果该旗舰店的客服平均每人每天最多可以处理0.2万件订单，那么该旗舰店现有的250名客服能否当天完成2020年“双十一”网购节的所有订单？如果不能，请问至少还需要增加多少名客服？ 4．“新冠”疫情蔓延全球，口罩成了人们的生活必需品．某药店销售普通口罩和N95口罩，今年3月份的进价如表： 普通口罩N95口罩 进价（元/包）8 20 （1）计划N95口罩每包售价比普通口罩售价贵16元，7包普通口罩和3包N95口罩总售价相同，求普通口罩和N95口罩每包售价； （2）按（1）中售价销售一段时间后，发现普通口罩的日均销售量为120包，当每包售价降价1元时，日均销售量增加20包．该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天的利润为320元，求此时普通口罩每包售价． 5．“疫情”期间，某小区准备搭建一个面积为12平方米的矩形临时隔离点ABCD，如图所
第21章一元二次方程单元检测题 满分:100分,限时:60分钟 一、选择题(每小题3分,共30分) 1.(2019江苏盐城东台期中)下列关于x的方程中,一定是一元二次方程的为( ) A.x2-2=(x+3)2 B.ax2+bx+c=0 -5=0 D.x2-1=0 C.x2+3 x 2.(2019天津宁河期中)x=2不是下列哪一个方程的解?( ) A.3(x-2)=0 B.2x2-3x=2 C.(x-2)(x+2)=0 D.x2-x+2=0 3.(2016新疆中考)一元二次方程x2-6x-5=0配方可变形为( ) A.(x-3)2=14 B.(x-3)2=4 C.(x+3)2=14 D.(x+3)2=4 4.(2018上海中考)下列对一元二次方程x2+x-3=0根的情况的判断,正确的是( ) A.有两个不相等实数根 B.有两个相等实数根 C.有且只有一个实数根 D.没有实数根 5.(2016辽宁营口中考)若关于x的一元二次方程kx2+2x-1=0有实数根,则实数k的取值范围是( ) A.k≥-1 B.k>-1 C.k≥-1且k≠0 D.k>-1且k≠0 6.(2019河南周口川汇期中)在设计人体雕像时,使雕像的上部与下部的高度比,等于下部与全部的高度比,可以增加视觉美感.如果雕像高度为2 m,设雕像下部高为x m,则x满足( ) A.x2=2(2-x) B.(2-x)2=2x C.x2=2(2+x) D.(2+x)2=2x 7.(2018湖北咸宁中考)已知一元二次方程2x2+2x-1=0的两个根为x1,x2,且x1 21章 一元二次方程知识点 一、一元二次方程 1、一元二次方程概念：等号两边是整式，含有一个未知数，并且未 知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。 注意：（1）一元二次方程必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2 ；（4）二次项系数不能等于0 2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次三项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。 （2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。 （3）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。 二、 一元二次方程的解 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当2 =x 时，0232=+-x x 所以2=x 是0232=+-x x 方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。一元二次方程有两个根（相等或不等） 三、一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 直接开平方法理论依据：平方根的定义。 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。 根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 三种类型：（1）()02≥=a a x 的解是a x ±=； （2）()()02≥=+n n m x 的解是m n x -±=； （3）()()0,02≥≠=+c m c n mx 且的解是m n c x -±= 。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。 （一）用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤： （1） 把一元二次方程化成一般形式 （2） 在方程的左边加上一次项系数绝对值的一半的平方，再减去这 个数； （3） 把原方程变为()n m x =+2的形式。 （4） 若0≥n ，用直接开平方法求出x 的值，若n ﹤0，原方程无解。 （二）用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程 当一元二次方程的形式为()1,002≠≠=++a a c bx ax 时，用配方法解一元二次方程的步骤： （1）把一元二次方程化成一般形式 (2) 先把常数项移到等号右边，再把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数； （3）在方程的左、右两边加上一次项系数绝对值的一半的平方把原方程化为()n m x =+2的形式； （4）若0≥n ，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： 一元二次方程全章测试及答案 一、填空题 1．一元二次方程x 2－2x ＋1＝0的解是______． 2．若x ＝1是方程x 2－mx ＋2m ＝0的一个根，则方程的另一根为______． 3．小华在解一元二次方程x 2－4x ＝0时，只得出一个根是x ＝4，则被他漏掉的另一个根是 x ＝______． 4．当a ______时，方程(x －b )2＝－a 有实数解，实数解为______． 5．已知关于x 的一元二次方程(m 2－1)x m －2＋3mx －1＝0，则m ＝______． 6．若关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋a ＝0的一个根是3，则a ＝______． 7．若(x 2－5x ＋6)2＋｜x 2＋3x －10｜＝0，则x ＝______． 8．已知关于x 的方程x 2－2x ＋n －1＝0有两个不相等的实数根，那么｜n －2｜＋n ＋1的化 简结果是______． 二、选择题 9．方程x 2－3x ＋2＝0的解是( )． A ．1和2 B ．－1和－2 C ．1和－2 D ．－1和2 10．关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋(m －2)＝0的根的情况是( )． A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定 11．已知a ，b ，c 分别是三角形的三边，则方程(a ＋b )x 2＋2cx ＋(a ＋b )＝0的根的情况是( )． A ．没有实数根 B ．可能有且只有一个实数根 C ．有两个不相等的实数根 D ．有两个不相等的实数根 12．如果关于x 的一元二次方程02 22=+-k x x 没有实数根，那么k 的最小整数值是( )．A ．0B ．1C ．2D ．3 13．关于x 的方程x 2＋m (1－x )－2(1－x )＝0，下面结论正确的是( )． A ．m 不能为0，否则方程无解 B ．m 为任何实数时，方程都有实数解 C ．当2 ___________ 一名师推荐____ 精心整理_______ 学习必备. 21章一元二次方程知识点 一、一元二次方程 1、一元二次方程概念：等号两边是整式，含有一个未知数，并且未 知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。 注意：（1）一元二次方程必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2 ；（4）二次项系数不能等于0 2、一元二次方程的一般形式：ax2? bx ? c = 0（a = 0），它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次三项式，等式右边是零，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数； c叫做常数项。 注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。 （2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。 （3）形如ax2 bx 0不一定是一元二次方程，当且仅当 a = 0时是一元二次方程。 二、一元二次方程的解 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，女口：当x = 2 2 2 时，x -3x 2 = 0所以x=2是x -3x 2 = 0方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。一元二次方程有两个根（相等或不等） 三、一元二次方程的解法 1、直接开平方法： 直接开平方法理论依据：平方根的定义。 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。 根据平方根的定义可知，x a是b的平方根，当b_0时，x a=g b，x =「a—b， 当b<0时，方程没有实数根。 三种类型：（1）x2二aa-0的解是x二 a ； __________ 名师推荐_______ 精心整理______ 学习必备. (2) (x+m)2= n(n 兰0 )的解是x = 土亦一m ; (3) mx n $ = c m = 0,且 c _ 0 的解是x = ——n。 m 2、配方法： 配方法的理论根据是完全平方公式a2_2ab b2二(a b)2，把公式中的a看做未知数X,并用X代替，则有X2_2bx b2=(x_b)2。 (一)用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤： (1)把一元二次方程化成一般形式 (2)在方程的左边加上一次项系数绝对值的一半的平方，再减去这个数； (3)把原方程变为(x+m$=n的形式。 (4)若n 一0,用直接开平方法求出x的值，若n<0,原方程无解。 (二)用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程 当一元二次方程的形式为ax2? bx ? c = 0 a = 0,a = 1时，用配方法解一元二次方程的步骤： (1)把一元二次方程化成一般形式 (2)先把常数项移到等号右边，再把二次项的系数化为1:方 程的左、右两边同时除以二项的系数； (3)在方程的左、右两边加上一次项系数绝对值的一半的平方把原方程化为(x+m f=n的形式； (4)若n 一0,用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 九年级数学人教版上册第21章检测题2带答案 一．精心选一选：（每题3分，１８共分） 1.有下列关于x 的方程：①ax 2+bx+c=0,②3 x （x-4）=0③x 2+y-3=0④ 21x +x=2⑤x 3-3x+8=0⑥12 x 2-5x+7=0.其中是一元二次方程的有( ) A ．2 B 。3 C.4 D.5 2.如果关于x 的方程（a-5） x 2-4 x-1=0有实数根，则a 满足条件是（ ） A ．a ≠5 B 。a ＞1且a ≠5 C 。a ≥1且a ≠5 D 。 a ≥1 3.用配方法解方程x 2-2x-5=0，原方程应变为（ ） A ．（x+1）2=6 B 。（x+2）2=9 C 。（x-1）2=6 D 。（x-2）2=9。 4.方程3 x （x-1）=5（x-1）的根为（ ） A ．x =53 B 。x =1 C 。x 1 =1 x 2 =53 D. x 1 =1 x 2 =35 5.近几年我国物价一直上涨，已知原价为484元的新产品，经过连续两次涨价a ﹪后，现售价为625元，则根据题意列方程，正确的是（ ） A ．484（1+ a ﹪）=625. B. 484（1+ a 2﹪）=625. C.484（1- a ﹪）=625. D.484（1+ a ﹪）2=625. 6. 。如图， ABCD ，ＡＥ⊥BC 与E ，ＡＥ＝ＥＢ＝EC=a ，且a 是一元二次方程x 2+x-２=0的一个根，则 ABCD 的周长为（ ）。 A.４＋2 B. ４＋２2 C.８＋２2 D.２＋2 二．细心填一填：（每题3分，共30分） ７. 一元二次方程３x 2＝７x+１的二次项系数，一次项系数，及常数项依次是. ８.关于x 方程（m 2- m-2）x 2+ m x- m=0是一元二次方程的条件。 ９.关于x 方程ax 2+２x ＋１＝０ 有两个不相等的实数根。实数a 的取值范围是.１０.请你给出一元二次方程x 2－４x ＋＝０的常数项，使该方程无实数解。这个常数项可以是 １１。请你写一个一元二次方程，使该方程有一根为０，则这个方程可以是.。 .１２.方程x 2＋６x+３＝０的两个实数根为x 1 ．x 2，则12x x ＋21 x x ＝. １３。九年级一班某数学小组在元旦来临之际，将自己制作的贺卡赠与所在数学小组中其他 基础知识反馈卡·21.1 时间：10分钟 满分：25分 一、选择题(每小题3分，共6分) ) (的一元二次方程，则x 是关于0＝c ＋bx ＋2x 1)－a (．若1 A ．a ≠0 B．a ≠1 C ．a ＝1 D ．a ≠－1 化成一般形式后二次项的系数 1)－x (x ＝1＋x 1)＋m (－2x 2．一元二次方程2为1，一次项的系数为－1，则m 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2 二、填空题(每小题4分，共12分) ＝ m 的一元二次方程，则x 是关于0＝1＋mx 3＋|m |x 2)＋m (．方程3_______________. ．______的值是m ，则2有一个解为0＝5＋x 1)－m (＋2mx 的方程x ．若关于4 ，二次项 ________________化为一般形式为5＝23)－x (．把一元二次方程5为________，一次项系数为__________，常数项为________. 三、解答题(共7分) ，求 1＝－x 有一根是0＝5＋mx 3＋2x 1)－m (2的一元二次方程x ．已知关于6m 的值． 时间：10分钟 满分：25分 一、选择题(每小题3分，共6分) ) (，正确的配方为0＝1－x 23 －2 x ．用配方法解方程1 109＝ 2? ????x －13D. 0 ＝109＋2? ????x －13C. 59＝2? ????x －23B. 89＝2? ????x －13A. ) (的根的情况是0＝14 ＋x ＋2 x ．一元二次方程2 A ．有两个不等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．无实数根 D ．无法确定 二、填空题(每小题4分，共12分) ________. ＝2x ，________＝1x 的解0＝12－x 4－2x ．方程3 ．____________配方后的方程为0＝5－x 2＋2x ．4 ________. ＝x ，得到3＝x 12－2x 4．用公式法解方程5 三、解答题(共7分) 0. ＝2－mx －2x 的一元二次方程x ．已知关于6 (1)对于任意实数m ，判断此方程根的情况，并说明理由； (2)当m ＝2时，求方程的根． 《一元二次方程》全章教案 第一课时 1 设计思路 通过探究实际问题中的数量关系极其变化规律，经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程。从而引出一元二次方程的一般式，并能识别各项的系数。培养学生的观察能力和思维能力。 3 教学目标 1． 通过探究实际问题中的数量关系极其变化规律，2． 经历由具体问题抽象出一元 二次方程的过程。 2．解一元二次方程的概念；正确掌握一元二次方程的一般形式。 教学重点：正确掌握一元二次方程的概念和一般形式。 教学难点：正确理解和掌握一般形式中的a ≠0 ，“项”和“系数”。 三、教学过程 1 1) 会根据实际问题中的数量关系列出方程。 1．方形桌面的面积是2m 2，求它的边长？ 2．矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19米。 如果花圃的面积是24m 2，求花圃的长和宽？ 3． 我校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到7.2万册， 平均每年增长的百分率是多少？ 4． 长5米的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙 的距离是3米。如果梯子底端向右滑动的距离与 梯子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离。 根据题意列出方程 22=x 2225)3()4(=++-x x 2.7)1(52=+x 24)219(=-x x (二)观察以上四个方程它们有什么共同特点 1 都是整式方程; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2. (三)一元二次方程的概念: 像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程 (四) 例1:判断下列方程是否为一元二次方程： )0(0).7(0 ).6()2)(1(3).5(023).4(1).3(1 ).2(1).1(222222的常数为不等于m mx c bx ax x x x y x x x x x x x ==+++-=-=+-= ==+ (五)一元二次方程的一般形式: ax 2+ bx +c=0(a 、b 、c 为常数且a ≠ 0) 注意:为什么要限制a ≠0，b ,c 可以为零吗？ 并指出一元二次方程中一二次项、一次项、常数项：二次项系数、一次项系数(六) 例2:一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项. 2(2)510 2.20x x +-= 2(1)109000x x --= 2(4)30x x += 2(3)2150x -= (5) 3)2(2 =+x (6)0)3)(3(=-+x x 四、归纳小结 （一）小组讨论学习成果,并总结本节课的知识点,提出疑点,由同学解答或老师解答. （二）教师讲解、板演例题、小结（突出重难点） 一元二次方程综合能力检测（一） 一．选择题1．方程（x+1）（x﹣2）＝0的解是（） A．2B．3C．﹣1，2D．﹣2，1 2．把方程x2﹣6x﹣5＝0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（）A．（x﹣6）2＝41B．（x﹣3）2＝4C．（x﹣3）2＝14D．（x﹣3）2＝9 3．一元二次方程4x2＝12x﹣9的根的情况是（） A．只有一个实数根B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根D．有两个相等的实数根 4．用配方法解方程x2+6x+4＝0时，原方程变形为（） A．（x+3）2＝9B．（x+3）2＝13C．（x+3）2＝5D．（x+3）2＝4 5．疫情期间，某快递公司推出无接触配送服务，第1周接到5万件订单，第2周到第3周订单量增长率是第1周到第2周订单量增长率的1.5倍，若第3周接到订单为7.8万件，设第1周到第2周的订单增长率为x，可列得方程为（） A．5（1+x+1.5x）＝7.8B．5（1+x×1.5x）＝7.8 C．7.8（1﹣x）（1﹣1.5x）＝5D．5（1+x）（1+1.5x）＝7.8 6．一元二次方程x2﹣6x+5＝0的两根分别是x1、x2，则x1?x2的值是（）A．5B．﹣5C．6D．﹣6 7．关于x的一元二次方程ax2+5x+3＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．a＜且a≠0B．a＞ C．a≤且a≠0D．a≥ 8．如果关于x的方程（a﹣3）x2+4x﹣1＝0有两个实数根，且关于x的分式方程＝a有整数解，则符合条件的整数a的和为（） A．1B．2C．6D．7 9．若α、β是方程x2+2x﹣2020＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（）A．2018B．2020C．﹣2020D．4040 10．如图是一张月历表，在此月历表上用一个长方形任意圈出2×2个数（如17，18，24，25），如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为（） A．40B．48C．52D．56 二．填空题 11．若x＝1是关于x的一元二次方程x2+（k+1）x+2＝0的一个实数根，则另一实数根为．12．如图，在工地一边的靠墙处，用120米长的铁栅栏围一个占地面积为2000平方米的长方形临时仓库，并在其中一边上留宽为3米的大门，设无门的那边长为x米．根据题意，可建立关于x的方程是． 13．三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程x2﹣8x+12＝0的解，则这个三角形的周长是． 14．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是． 一元二次方程单元测试题 一.选择题 1. 下列关于x 的方程中，是一元二次方程的有（ ）个 ①2203x -= ②1 21x x x -=- ③2(3)0x x y -= ④222(1)30x x x -+-= A 1 B 2 C 3 D 4 2将方程2342x x -=-化为一元二次方程的一般形式后，二次项的系数、一次项的系数、常数分别为（ ） A 3；-4；-2 B 3；2 ；-4 C 3 ；-2 ；-4 D 2 ；-2 ；0 3.用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ） A ．()2 16 x += B ．()2 16 x -= C ．()2 29 x += D ．()2 29x -= 4.若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．1k >- B. 1k >-且0k ≠ C.1k < D 1k <且0k ≠ 5．关于x 的方程2(6)860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 6. 方程29180x x -+=的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ） A ．12 B ．12或15 C ．15 D ．不能确定 7. 设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ） A ．2006 B ．2007 C ．2008 D ．2009 8. 为了让惠州的山更绿、水更清，2012年市委、市政府提出了确保到2014年实现全市森林覆盖率达到63%的目标，已知2012年我市森林覆盖率为60.05%，设从2012年起我市森林覆盖率的年平均增长率为x ，则可列方程（ ） A ．()60.051263%x += B ．()60.051263x += C ．()2 60.05163%x += D ．()2 60.05163x += 9. 如图9，在ABCD Y 中，AE BC ⊥于E ，AE EB EC a ===， 且a 是一元二次方程2230x x +-=的根，则ABCD Y 的周长为（ ） A ．4+ B ．12+ C ．2+ D ．212++ A D C E B 图9 第21章一元二次方程测试题 一．选择题（共14小题,42分） 1．若方程（a+1）x2+ax﹣1=0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（）A．a≥1B．a≠0C．a≠1D．a≠﹣1 2．关于x的一元二次方程2x2﹣mx﹣3=0的一个解为x=﹣1，则m的值为（）A．﹣1B．﹣3C．5D．1 3．方程x2=4x的根是（）A．x=4B．x=0C．x1=0，x2=4D．x1=0，x2=﹣4 4．若一元二次方程x2=m有解，则m的取值为（） A．正数B．非负数C．一切实数D．零 5．一元二次方程x2﹣3x=1的两个实数根为α，β，则α+β值为（）A．3B．﹣1C．﹣3D．1 6．将一元二次方程x（x﹣9）=﹣3化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数和常数项分别是（） A．9，3B．9，﹣3C．﹣9，﹣3D．﹣9，3 7．在下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（） A．ax2+x+1=0B．x2=0C．（）2++1=0 D．x（x﹣1）=x2． 8．一元二次方程x2﹣10x+21=0可以转化的两个一元一次方程正确的是（）A．x﹣3=0，x+7=0B．x+3=0，x+7=0C．x﹣3=0，x﹣7=0 D．x+3=0，x﹣7=0 9．某区2016年应届初中毕业生为5万人，2017年、2018年两届毕业生一共为12万人，设2016年到2018年平均每年学生人数增长的百分率为x，则方程可列为（）A．5（1+x）2=12B．5+5（1+x）2=12 C．5+5（1+x）+5（1+x）2=12D．5（1+x）+5（1+x）2=12 10．已知关于x的方程x2﹣2x+3k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 九年级数学人教版上册第21章检测题3带答案 一、填空题（每小题2分，共20分） 1．一元二次方程2 632x x =+的二次项系数____a =，一次项系数____b =，常数项_____c =。2. 写出一个二次项系数为1，且有一个根为2 的一元二次方程: 。3. 方程的根是 。0)5(2=-x 4. 已知是方程的一个根，则 。1=x 260x ax -+=a =5. 如果，那么方程的一个根一定是 0=++c b a )0(02≠=++a c bx ax 6． 若关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是_____ x 2(3)0x k x k +++=2-_． 7. 若关于x 的一元二次方程有两个相等的实数根，则符合条件的一组02=++n mx x ，的实数值可以是＝ ，＝ 。 m n m n 8. 某兴趣小组的每位同学，将自己收集的植物标本向本组其他成员各赠送1件，全组互赠标本共182件，若全组有名学生，则根据题意可列方程 x 9. 已知的值为，则代数式的值为 236x x ++92392x x +-10. 三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一060162=+-x x 个实数根，则该三角形的面积是 。二、选择题（每小题3分，共24分） 11. 下列关于的方程：①；②；③；④x 20ax bx c ++=2430x x +-=2540x x -+=中，一元二次方程的个数是（ ）23x x =A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个12. 关于的方程是一元二次方程,则（ ） x 2320ax x -+=A ．； B ．； C ．； D ．≥00a >0a ≠1a =a 13.方程2x x =的解是（ ）A ．1x = B ．0 x = C ．1210x x ==， D ．1210x x =-=，14. 方程21504 x x ++=的左边配成一个完全平方式后，所得的方程为( )A ．251(22x += B ．2523()416x += C ．2524()24 x += D ． 2537()24x +=线封 初中数学人教版九年级上册实用资料 第二十一章 一元二次方程 21．1 一元二次方程 1．通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念． 2．了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解． 重点 通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题． 难点 一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别． 活动1 复习旧知 1．什么是方程？你能举一个方程的例子吗？ 2．下列哪些方程是一元一次方程？并给出一元一次方程的概念和一般形式． (1)2x －1 (2)mx ＋n ＝0 (3)1 x ＋1＝0 (4)x 2＝1 3．下列哪个实数是方程2x －1＝3的解？并给出方程的解的概念． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 活动2 探究新知 根据题意列方程． 1．教材第2页 问题1. 提出问题： (1)正方形的大小由什么量决定？本题应该设哪个量为未知数？ (2)本题中有什么数量关系？能利用这个数量关系列方程吗？怎么列方程？ (3)这个方程能整理为比较简单的形式吗？请说出整理之后的方程． 2．教材第2页 问题2. 提出问题： (1)本题中有哪些量？由这些量可以得到什么？ (2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系？如果有5个队参赛，每个队比赛几场？一共有20场比赛吗？如果不是20场比赛，那么究竟比赛多少场？ (3)如果有x 个队参赛，一共比赛多少场呢？ 3．一个数比另一个数大3，且两个数之积为0，求这两个数． 提出问题： 本题需要设两个未知数吗？如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列？ 4．一个正方形的面积的2倍等于25，这个正方形的边长是多少？ 活动3 归纳概念 提出问题： (1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点？ (2)类比一元一次方程，我们可以给这一类方程取一个什么名字？人教版 21章 一元二次方程知识点总结
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