数学建模讲座
本本讲座主要目的:
通过对一些简单的数学建模过程的分析,使队员了解数学建模的基本过程,掌握数学建模的基本知识和一些简单常用的数学基础知识.
近期主要任务: 1 熟悉计算机
2 学会查阅资料,积累相应的数学与数学建模知识.
数值计算的基本方法
一数值微分
1差商代替微商
利用差商代替微商的求导公式通常有
向前差商公式
()()()
h
x f h x f x f -+≈
'
向后差商公式 ()()()
h
h x f x f x f --≈
' 中心差商公式
()()()
h
h x f h x f x f 2--+≈
'
由泰勒公式很容易得到它们的余项分
别为O （h ），O （h ），O （h 2
），h 越小近似程度越高，但是又会因有效数字损失而导致误差增大。
2插值型数值微分公式 （1）两点公式 n=1，过两节点0
x ，h x x +=0
1
的拉格朗日插值多项式为
1
100101
1)(y x x x x y x x x x x L --+--=
则
()()()()??
???
-='≈'-='≈'h y y x L x f h y y x L x f 0
111101010
截断误差为
()()()()
??
???''='''-='
11100
122ξξf h
x R f h x R ()b a ,,1
∈ξξ
（2）三点公式 n=2 ，i i i
y x f ih x
x =+=)(,0
2
,1,0=i ，
拉格朗日插值多项式为
()
x L 2=0
y
()()
2
212h x x x x --＋1
y
()()
2
20h x x x x ---＋2
y
()()
2
102h x x x x -- 两端求导得()22
1
0122002
2
12
22222y h
x x x y h x x x y h x
x x x L --+---
--='
分别代入i
x ，（i=0，1，2）得三点公
式
()()()()()()???
?
?
???
?+-≈'+-≈'-+-≈'
210210121003421214321y y y h x f y y h x f y y y h x f
截断误差为
()()
()()()()()()()????
?
?
???='-='='232
2213212
03202
363ξξξf h x R f h x R f h x R
()
b a i ,∈ξ
i=0，1，2
求二阶导数的三点公式为：
()()()2102
2
21
y y y h x L x f i i +-=''≈'' i=0，1，2
3 利用样条函数求数值微分
由于三次样条函数具有很好的性质，因此用三次样条插值函数()x S 的导数近似函数的导数不仅可靠性好而且可计算非节点处导数的近似值。
即 ()()()()x S x f k
k
≈ k=1，2，3，… 其截断误差为 ()()()()()k
k
k
h O x S x f -=-4
如以二阶导数为参数的三次样条插值函数可得数值微分公式
()≈'x f ()()()()112
12
1
6
22-------+
-+--='i i i
i i i i
i i
i
i i i M M h h y y h x x M h x x M x S
()≈''x f ()()i
i i i i i i h x x M h x x M x S x S 1
1
---+--=''=''
其中x ()i
i x x ,1
-∈ M i －1=()1
-''i x s M i =()i
x s ''
i=1，2，…，n
二 数值积分
在积分区间[a,b]取一系列点k
x (k=0,1,…,n)，设0
1
2
...n
a x x x x
b ≤<<<<≤用被积函数f(x)在这些点的函数值f(k
x )的线性组合作为
积分近似值0
()()
n
b
k k a
k f x dx A f x =≈∑?
称为数值求积公式，其中n+1个点k
x (k=0,1,…,n)成为节点，k
A ( k=0,1,…,n)称为求积系数。 记
=][f R 0
()()
n
b
k k a
k f x dx A f x =-∑?
称R[f]为求积公式(5.1)的截断误差。
构造数值求积公式的方法很多，常用的一个方法就是利用插值多项式()n
P x 来构造求
积公式 0
()()(
)n
b
b
n k k a
a
k f x dx P x A f x =≈=∑?
? (5.2)
称为插值型求积公式。
1 梯形公式
[]()()()2
b a
b a
f x dx f a f b -≈+? )
(12
)(][31ηf a b f R ''--=
((,
)a b η∈ 2 辛浦生公式
()()4()()62b a
b a a b f x dx f a f f b -+??
≈
++????
?
[]5(4)
2()()
2880
b a R f f η-=-
((,
)
a b η∈ 3复化梯形公式
()()()()?
?
?
???=++≈∑?
-1
122N k k b a
b f x f a f h dx x f
复化梯形公式的截断误差为 ()
[]()ηf h a b f R N
''--=2
112
()()b a ,∈η 4复化辛浦生公式
()()()()()?
?
?
???+=+=+≈∑∑?
-+b f x f x f a f h dx x f N k k N k k b a
1
12112246
复化辛浦生公式的截断误差
)
,()(2880
][)
4(4
)(2b a f h a b f R N ∈--
=ηη 6逐次分半求积法
()()=??
????=+??? ??
?++=∑-1
212224N k k N
b f h k x f a f h T
()∑=??
?
??-++N k N h k a f h T 1212221
其中N a
b h -=。
()()N N N N N N T T T T T T I --+=-≈22221
4131
＋
5 龙贝格求积公式
144)(631
32322--=-+=N N N N N
N C C C C C R
1
44)(151
22222--=-+=N N N N N
N S S S S S C
三 非线性方程求根
1二 分 法 2 迭 代 法
首先需要将此方程转化为等价的方程
)(x g x = 将0)(=x f 转化为等价方程(2.1)的方法是很多的 定义：（迭代法）设方程为)(x g x =。
（1）选取方程根的一个初始近似0
x ，且按下述逐次代入法，构造一近似解序列：
????
?
??????
===+ )()
()(112
01k k x g x x g x x g x
这种方法称为迭代法（或称为单点迭代法）。
)(x g 称为迭代函数。
（2）如果由迭代法产生的序列{}k
x 有极限
存在，即*
∞
→=x x
k
k lim ，则称{}k
x 为收敛或称迭代过
程收敛。否则称{}k
x 不收敛。 设)(x g 为连续函数，且
*
∞
→=x x k k lim ，则有)
(**
=x g x
，
即*
x 为方程的解（称*
x 为函数)(x g 的不动点）。
事实上，由迭代过程两边取极限，则有 )(lim lim 1
k
k k k x g x x ∞
→+∞
→*
==)()lim (*
∞
→==x g x g k
k
显然，在由方程0)(=x f 转化为等价的方程)(x g x =时，选择不同的迭代函数)(x g ，就会产生不同的序列{}k
x （即使初始值0
x 选择一样），且这些序列的收敛情况也不会相同。 定理 设有方程)(x g x =
（1） 设)(x g 于],[b a 一阶导数存在； （2） 当],[b a x ∈时，有],[)(b a x g ∈；
（3） 当],[b a x ∈时，)(x g '满足条件：1)(<≤'L x g 。 则
（1） )(x g x =在],[b a 上有唯一解*
x ；
（2） 对任意选取初始值],[0
b a x ∈，迭代过程
)(1k k x g x =+)
,1,0( =k 收敛，即*
∞
→=x x
k
k lim ；
（3）k
k k x x L
x x
--≤
-+*
111
；
（4）误差估计
11x x L
L x x k
k --≤-*
)
,2,1( =k
定理 （迭代法的局部收敛性）设给定方程)(x g x =
（1）设*
x 为方程的解；
（2）设)(x g 在*
x 的邻近连续可微且有1)(<'*
x g
则对任意取初值S x ∈0
，迭代过程)
(1
k
k x g x =+（ ,2,1,0=k ）收敛于*
x （称迭代过程具有局部收敛性）。 3牛顿迭代法
设有非线性方程
0)(=x f
其中，假设)(x f 在],[b a 上一阶连续可微，且 0)()(
x 是)(x f 的一个零点),(b a x ∈*
的近似值（设0)(0
≠'x f ）。现考虑用过曲线)(x f y =上点 ))(,(0
x f x P 的切线近似代替函数)(x f ，即用线性函数
))(()(0
x x x f x f y -'+=
代替)(x f 。且用切线的零点1
x ，作为方程根*
x 的近似值，即
)
()(0001x f x f x x x '-
=≈*
一般，若已求得k
x ，将0
x 换为k
x ，重复上述过程，即得求方程0)(=x f 根的牛顿方法的计算公式
??
?
?
?'-=+)()(1
0k k k k x f x f x x x
)
,2,1,0( =k
4弦 割 法
如果函数)(x f 比较复杂，求导可能有困难，这时可将牛顿公式中)(x f '近似用差商来代替，即
1
1)()()(----≈
'k k k k x x x f x f x f
于是得到计算公式： 给定初值1
,x x ，
)
()
()()
(111--+---
=k k k k k k k x x x f x f x f x x
)
,2,1( =k
四 解方程组的数值方法 1高斯消去法 将
?
?????
?=+++=+++=+++n
n nn n n n n n n b x a x a x a b
x a x a x a b x a x a x a 2211222221
2111212111
化为
???
?
??
????????=??????
???????????????????
?)2()2(2)1(121)()2(2)2(22
)
1(1)
1(12)1(11n n n nn n n b b b x x x a a a a a a
1 消元计算
1,...,2,1-=n k )
()(k kk
k ik
ik a a m =，),...,1(n k i +=
??
???+=-=+=-=++),,1(,),,1,(,)()()
1()()()1(n k i b m b b n k j i a m a a k k ik k i k i
k kj ik k ij k ij
2 回代计算
???
?
?????-=
=∑+=)
(1
)
()()
()
(i ii n i j j
i ij i i i n nn
n n n a x a b x a b x ，)1,...,2,1(--=n n i
2矩阵的三角分解
LU A L L L A n n ==----)
(1
1
12
11
????????
? ?
?=-11
111
21323121n n n n l l l l l l L
U=??
??
??
? ?
?==--)()
2(2)2(22)
1(1)1(12)1(11)
1(1)
(n nn n n n n n a a a a a a A L A
3解线性方程组的迭代法
设有方程组b Ax =，其中A 为非奇异阵。解方程组的迭代法，首先需要将b Ax =转化为一个等价方程组
f Bx x += 任取初始值)
0(x 按下述逐次代入方法构造向量序列(){}k
x ：
()()f Bx x k
k +=+1 ),1,0( =k
其中B 与k 无关，称此迭代法为一阶定常迭代法，如果()k
k x ∞
→lim *=x ，则称此迭代法收敛且*
x 为
解。
雅可比迭代法
()()()??
???+=+=-+)(1)
1(0U L D J f Jx x
x k k 其中初始向量b D f 1,-=
J 称为Jacobi 迭代法的迭代矩阵。
Jacobi 迭代公式的分量形式：
引进记号：()T k n
k k k
x x x x ),,,()()(2
)
(1
=为第k 次近似，可写为
∑≠=+-=n i
j j k j
ij
i
k i
ii x a b x a 1)()1(
或
()?
??????==-==∑≠=+)
,1,0;,,2,1()(1)
,,,(1)()1()0()0(2)0(10 k n i x a b a x x x x x n
i
j j k j ij i ii k i
T n
高斯—塞德尔迭代法
()()
??
???-=+=-+U L D G f Gx x
x k k 1)(10)()(其中初始向量b L D f 1)(,--=
G 称为G —S 迭代法的迭代矩阵。
G —S 迭代法的分量形式： 记()T k n
k k k
x x x x ),,,()()(2
)
(1
=，可写成 b Ux x L D k k +=-+)
()
1()(
∑∑+=-=+++-
-=n
i j i
k j ij
i j k j
ij k i
ii b x a
x
a x
a 1
)(1
1
)1()1(
或
()()??
?
????==--==∑∑+=-=++),2,1,0;,,2,1()(1)
,,,(1)(11)
1()1()0()0(2010 k n i x a x a b a x x x x x n i j k j ij i j k j ij i ii k i
T
n
解线性方程组的超松弛迭代法
设已知第k 次近似)
(k x 及第1+k 次近似的分量()1+k j
x )1,,2,1(-=i j ，首先用G －S 迭代法计算一个辅助量)1(+k i
x ：
)(1~1
)(11)1()1(∑∑+=-=++--=n
i j k j ij i j k j ij i ii k i x a x a b a x
再由)
(k x 的第i 个分量)
(k i
x 与)
1(~+k i
x
加权平均，定义)1(+k i
x
： )~(~)1()()1()()1()()1(k i
k i k i k i k i k i x x x x x x -+=+-=+++ωωω
得到解b Ax =的SOR 方法：
()()()
()
()()()T
T
k n k k n i
j k j ij i j k j ij i ii k i k i n
x x x n i x a x a b a x x x x x ???????==--+==∑∑=-=++称为松弛因子
其中ωω,),,(),,2,1()
(,,)()(1)(111)
1(0010
（8.13a ） 或写成
??
?
????==--=??+=∑∑=-=++),1,0(),,,2,1()()(11)
1()()1( k n i x a x a b a x x x x n i j k j ij i j k j ij i ii i i
k i k i ω
在SOR 方法中取ω＝1，则SOR 方法就是G －S 迭代法，当松弛因子ω满足10<<ω时，迭代法称为低松弛方法。当21<<ω时迭代法称为超松弛方法。
定理 （b 扰动对解的影响）
（1）Ax ＝b ≠0，x 为精确解，A 为非奇异矩阵；
（2）且设b b x x A δδ+=+)( 则有
b
b
A
A x
x
δδ1-≤
五 矩阵的特征值与特征向量
1乘幂法
乘幂法是计算一个矩阵的模数最大的特征值及其相应的特征向量的一种迭代法。 设n 阶实矩阵A 有完备的特征向量系，即有n 个线性无关的特征向量。在实际问
题中常遇到的实对称矩阵和特征值互不相同的矩阵就具有这种性质。设T
nj
j
j
j
x x x x ],,,[21 =（n j ,,2,1 =）是矩阵的n 个无关的特征向量，且,j
j
j
x Ax λ=n j ,,2,1 =，其中j
λ是A 的特征值（n j ,,2,1 =）。假设n
λλλλ≥≥≥≥ 321，为了方便我们首先讨论1
λ是实数且是单根的情形，此时有n λλλλ≥≥≥> 321。设0
v 是任意的一个非零向量，则0
v 可以唯一地表示为：
n
n x a x a x a v ++=22110
令1
-=k k
Av v
，,,2,1 =k 则有
221v A v A Av v k k k k ====-- =n
k n n k k x a x
a x a λλλ+++ 2
22
1
11，
n
k n n k k k x a x a x a v 1
212211111+++++++=λλλ =))()(
(11
21
1221111n k n n k k x a x a x a ++++++λλλλλ
设0
1
≠a
，由于||||1
j
λλ>（n j ,,4,3,2 =）得
i
i k i k x a 11
)(l i m +∞
→λλ
=0，
所以
0)(
l i m 1
1
2
2=+=∞
→∑i k i n
j k x a λλ，
所以只要
k 充分大，就有
1
11
11
21
111
1
1
))((x a x a x a v k j k n
j j j k k ++=++≈+=∑λλλλ
因此可以将1
+k v 作为与1
λ相应的特征向量
的近似。由于
1
11
11x a v k k ++≈λ，1
11x a v
k
k
λ≈，
所以
i
k i
k v v )()(11+≈
λ（),,3,2,1n i =，其中i
k v )(表示k
v 的
第i 个分量。
用这种方法计算矩阵A 的按模最大的特征值与相应的特征向量的方法就是乘幂法。
另外，由于1
11x a v k
k
λ≈，如果11
>λ，当k 趋于无穷大时，k v 的分量会无限增大；11
<λ，当k 趋于无穷大时，k
v 的分量会无限趋于0。从而会使计算机出现上溢或下溢的现象。为了控制计算机出现的溢出现象，在实际计算时每次迭代所求得的向量都要归一化。所以在实际的应用时采用如下公式：
???
?
??
?≈====++≤≤r k k k j k n
j r k r
k k k v Au v k v v v v u )(),2,1,0(,)(max )(,)(1111λ
2反幂法
3雅可比 (Jacobi)方法 4 QR 方法
六 常微分方程数值解
()()?????==0
,y a y y x f dx dy
b
x a ≤≤
从理论上讲只要方程中的()y x f ,连续且关于y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数L ，使
()()2
1
2
1
,,y y L y x f y x f -≤-
则常微分方程存在唯一解)(x y y =。 微分方程数值解：就是求微分方程的解()x y 在一系列离散节点
b x x x x a n
n =<<<<=-1
1
处的近似值i
y （i=1，2，…，n ） i
i i
x x h -=+1
称为由i
x 到1
+i x 的步长，通常取为常数h 。
求数值解，首先将微分方程离散化，常用方法有：
用差商代替微商
若用向前差商代替微商，即
()
()
()()()
i i i i i x y x f x y h
x y x y ,1='≈-+ （i=1，2，…，n ）
则得()1
+i x y ()()()i
i
i
x y x hf x y ,+≈
即()i
i
i
i y x hf y y ,1
+=+
数值积分法
利用数值积分法左矩形公式
()()
i i x y x y -+1=()()()
i i x x y x hf dx x y x f i i
,,1
≈?
+
可得同样算法()i
i
i
i y x hf y y ,1
+=+
用泰勒（Taylor ）公式
()()h x y x y i i +=+1()()i i x y h x y '+≈()()()i i i x y x hf x y ,+=
得离散化计算公式()
i i i i y x hf y y
,1
+=+
1欧拉方法
等分区间[]b a ,为n 份，b
x x x x
a n n =<<<<=-110
，
则
ih
a x i +=
n
a b h -=
n
i ,2,1=
无论用一阶向前差商，还是用数值积分法左矩形公式，或者用泰勒公式取前两项都可得到同样的离散化计算公式
()i
i
i
i y x hf y y ,1
+=+
代入初值则得到数值算法：
()()?
?
?=+=+a y y y x hf y y i i i i 01, （i=1，2，…，n －1）
称其为欧拉方法。
几何上欧拉方法就是用一条折线近似表示曲线()x y y =。
欧拉方法的误差估计
定义1 局部截断误差：假设)(i
i
x y y =为准确值，用某数值算法计算1
+i y 产生的误差
()1
1
1
+++-=i i i y x y R ，称为该数值算法的局部截断误差。
定义 2 整体截断误差：准确解)(i
x y 与数值解i
y 的误差，()i
i
i
y x y e -=。
设()x y 有二阶导数，由泰勒公式有：
()()
h x y x y i i +=+1=()()()
i i
i
y h
x y h x y ξ''+'+2
2
1=()()i i
i
i
y h
y x hf y ξ''++2
2
1,
所以
()1
11+++-=i i i y x y R =
)(2
12
i y h ξ''，
1+<
2改进的欧拉方法
如果用梯形公式计算积分：
()()()()()()[]1
1
,,2
,1+++≈?+i i i
i
x x x y x f x y x f h
dx x y x f i i
()()[]1
11,,2
+++++=i i i i i i y x f y x f h
y y 且
()111+++-=i i i y x y R
=
()ξy h '''-
3
12
1
由
于此方程为1
+i y 的隐式方程，不易求解。一般将其与欧拉方法联合使用。
可得算法
()()()()()
(
)[]
??
?
??++=+=+++++k i i i i i k i i i i i y x f y x f h y y y x hf y y 111101,,2,
（k=0，1，2，…；i=1，2，…，n －1） 实际计算中，当h 比较小时，常取一次迭代后的近似值()11
+i y 为1
+i y ，于是有改进的欧拉方法
??
???++=+=++++)]~,(),([2),(~1111i i i i i i i i i i y x f y x f h y y y x hf y y
（i=0,1,2,…,n -1）
3龙格－库塔法。
常用的四阶（经典）龙格－库塔法：
()()()????
?
??
????
++=?
?? ??++=??? ??++==++++=+342312143211
,2,22,2,226
hK y h x f K k h y h x f K K h y h x f K y x f K K K K K h y y i i i i i i i i i i
4 一阶方程组的数值解法 设初值问题
()()()()??
?=='=='0
000,,,,,,z x z z y x g z y x y z y x f y
由单个方程的经典龙格－库塔法可得
()()
??
???
++++=++++=++4321143211
226226
L L L L h
z z K K K K h y y i i i i
其中 ()i
i
i
z y x f k ,,1
=
()i
i
i
z y x g L ,,1
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宁夏师范学院数学与计算机科学学院数学建模交流座谈会 活 动 总 结 主办单位：数学与计算机科学学院团总支 承办单位：数学兴趣社 2013年11月23日
2013年11月20日下午三点整数学兴趣社在学术报告厅举行数学建模交流会并圆满落下帷幕。 本次座谈会出席的嘉宾有数计学院副院长白龙老师、杨纪华、房琦贵老师、团总支书记戴晓娟老师、学生社团联合会主席团助理杜杨、数计学院团总支副书记姬春明、社联采编部部长孙颖、高瑞宁、组织部部长蔡国明等各社团主席，以及数学建模小组大一、大二数学建模成员共有240人参与。 在本次活动中，为了将数学建模知识普及全校师生，我院系特此聘请了刘媚、杨纪华、房琦贵老师为我院系数学建模小组的指导老师，同时我院特聘教授刘媚老师为同学们讲授建模的知识；同时还邀请了我院2011年和2012年数学建模小组获奖者：张家旺同学，赵正平同学，莎莉同学，王栋同学一一分享自己的成功经验；本次讲座中，刘媚教授通过Ppt，向同学们介绍了数学模型的概念以及建模思想，并由浅到深的列举了数学建模例题、分析考题，针对建模过程中论文结构安排，科技论文写作特点，竞赛流程和竞赛过程中应该注意的细节问题做了详细的介绍为以后参加建模竞赛提供了经验让同学们深刻了解了数学建模思想，同时也提高了自身素养。在讲座中，刘媚教授的精彩讲解，不时地引起了同学们的阵阵掌声，同学们对刘媚教授提出的问题积极思考，提出了自己的疑问和自己的观点。 本次座谈会为调动我校学生参加科技活动的积极性以及增强他们的课外学习兴趣，帮助同学们认识数学建模，传播数学建模思想，宣传数学建模竞赛，活跃校园学术气氛，也为2014年全国数学建模
2017年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 （请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”） B题“拍照赚钱”的任务定价 “拍照赚钱”是移动互联网下的一种自助式服务模式。用户下载APP，注册成为APP的会员，然后从APP上领取需要拍照的任务（比如上超市去检查某种商品的上架情况），赚取APP对任务所标定的酬金。这种基于移动互联网的自助式劳务众包平台，为企业提供各种商业检查和信息搜集，相比传统的市场调查方式可以大大节省调查成本，而且有效地保证了调查数据真实性，缩短了调查的周期。因此APP成为该平台运行的核心，而APP中的任务定价又是其核心要素。如果定价不合理，有的任务就会无人问津，而导致商品检查的失败。 附件一是一个已结束项目的任务数据，包含了每个任务的位置、定价和完成情况（“1”表示完成，“0”表示未完成）；附件二是会员信息数据，包含了会员的位置、信誉值、参考其信誉给出的任务开始预订时间和预订限额，原则上会员信誉越高，越优先开始挑选任务，其配额也就越大（任务分配时实际上是根据预订限额所占比例进行配发）；附件三是一个新的检查项目任务数据，只有任务的位置信息。请完成下面的问题： 1.研究附件一中项目的任务定价规律，分析任务未完成的原因。 2.为附件一中的项目设计新的任务定价方案，并和原方案进行比较。 3.实际情况下，多个任务可能因为位置比较集中，导致用户会争相选择，一种 考虑是将这些任务联合在一起打包发布。在这种考虑下，如何修改前面的定价模型，对最终的任务完成情况又有什么影响？ 4.对附件三中的新项目给出你的任务定价方案，并评价该方案的实施效果。 附件一：已结束项目任务数据 附件二：会员信息数据 附件三：新项目任务数据
数学建模比赛的选拔问题 卢艳阳 王伟 朱亮亮 （黄河科技学院通信系，） 摘要 本文是关于全国大学生数学建模竞赛选拔的问题，依据数学建模组队的要求，每队应具备较好的数学基础和必要的数学建模知识、良好的编程能力和熟练使用数学软件等的综合实力，在此前提下合理的分配队员，利用层次分析法，建立合理分配队员的数学模型，利用MATLAB ，LONGO 工具求出最优解。、 问题一：依据建模组队的要求，合理分配每个队员是关键，主要由团队精神、建模能力、编程能力、论文写作能力、思维敏捷以及数学知识等等，经过讨论分析，确定良好的数学基础、建模能力，编程能力为主要参考因素。 问题二：根据表中所给15人的可参考信息，我们对每个队员的每一项素质进行加权，利用层次分析法选出综合素质好的前9名同学，然后利用0-1规划的相关知识对这9人进行合理分组，利用MATLAB 、LINGO 得到其中一个如下的分 组：'1s 、10s 、4s ；2s 、11s 、14s ；6s 、13s 、8s 问题三：我们将所选出的这9名同学和这个计算机编程高手的素质进行量化加权，然后根据层次分析法，利用MATLAB 工具进行求解，得出了最佳解。由于我们选取队员参考的是这个人的综合素质，而不是这个人的某项素质，并由解出的数据可以看出这个计算机编程高手不能被直接录用。所以说只考虑某项素质，而不考虑其他的素质的同学是不能被直接录用的。 问题四：根据前面三问中的分组的思路，我们通过层次分析法先从所有人中依据一种量化标准选出符合要求的高质量的同学，然后利用0-1变量进行规划，在根据实际问题的约束，对问题进行分析，然后可以得出高效率的分组。
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名)：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：指导教师组 日期：年月日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
论文标题 摘要 摘要是论文内容不加注释和评论的简短陈述，其作用是使读者不阅读论文全文即能获得必要的信息。 一般说来，摘要应包含以下五个方面的内容： ①研究的主要问题； ②建立的什么模型； ③用的什么求解方法； ④主要结果（简单、主要的）； ⑤自我评价和推广。 摘要中不要有关键字和数学表达式。 数学建模竞赛章程规定，对竞赛论文的评价应以： ①假设的合理性 ②建模的创造性 ③结果的正确性 ④文字表述的清晰性 为主要标准。 所以论文中应努力反映出这些特点。 注意：整个版式要完全按照《全国大学生数学建模竞赛论文格式规范》的要求书写，否则无法送全国评奖。
数学建模参赛真实经验（强烈推荐） 本文档节选自： Matlab在数学建模中的应用，卓金武等编著，北航出版社，2011年4月出版 以下内容根据作者的讲座整理出来，多年数学建模实践经历证明这些经验对数学建模参赛队员非常有帮助，希望大家结合自己的实践慢慢体会总结，并祝愿大家在数学建模和Matlab世界能够找到自己的快乐和价值所在。 一、如何准备数学建模竞赛 一般，可以把参加数学建模竞赛的过程分成三个阶段：第一阶段，是个人的入门和积累阶段，这个阶段关键看个人的主观能动性；第二阶段，就是通常各学校都进行的集训阶段，通过模拟实战来提高参赛队员的水平；第三阶段是实际比赛阶段。这里讲的如何准备数学建模竞赛是针对第一阶段来讲的。 回顾作者自己的参赛过程，认为这个阶段是真正的学习阶段，就像是修炼内功一样，如果在这个阶段打下深厚的基础，对后面的两个阶段非常有利，也是个人是否能在建模竞赛中占优势的关键阶段。下面就分几个方面谈一下如何准备数学建模竞赛。 首先是要有一定的数学基础，尤其是良好的数学思维能力。并不是数学分数高就说明有很高的数学思维能力，但扎实的数学知识是数学思维的根基。对大学生来说，有高等数学、概率和线性代数就够了，当然其它数学知识知道的越多越好了，如图论、排队论、泛函等。我大一下学期开始接触数学建模，大学的数学课程只学习过高等数学。说这一点，主要想说明只要数学基础还可以，平时的数学考试都能在80分以上就可以参加数学建模竞赛了，数学方面的知识可以在以后的学习中逐渐去提高，不必刻意去补充单纯的数学理论。 真正准备数学建模竞赛应该从看数学建模书籍开始，要知道什么是数学建模，有哪些常见的数学模型和建模方法，知道一些常见的数学建模案例，这些方面都要通过看建模方面的书籍而获得。现在数学建模的书籍也比较多，图书馆和互联网上都有丰富的数学建模资料。作者认为姜启源、谢金星、叶齐孝、朱道元等老师的建模书籍都非常的棒，可以先看二三本。刚开始看数学建模书籍时，一定会有很多地方看不懂，但要知道基本思路，时间长了就知道什么问题用什么建模方法求解了。这里面需要提的一点是，运筹学与数学建模息息相关，最好再看一二本运筹学著作，仍然可以采取诸葛亮的看书策略，只观其大略就可以了，等知道需要具体用哪块知识后，再集中精力将其消化，然后应用之。 大家都知道，参加数学建模竞赛一定要有些编程功底，当然现在有Matlab这种强大的工程软件，对编程的的要求就降低了，至少入门容易多了，因为很容易用1条Matlab命令解决以前要用20行C语言才能实现的功能。因为Matlab的强大功能，Matlab在数学建模中已经有了非常广泛的应用，在很多学校，数学建模队员必须学习Matlab。当然Matlab的入门也非常容易，只要有本Matlab参考书，照猫画虎可以很快实现一些基本的数学建模功能，如数据处理、绘图、计算等。我的一个队友，当年用一天时间把一本二百多页的Matlab 教程操作完了，然后在经常运用中，慢慢地就变成了一名Matlab高手了。 对于有些编程基础的同学，最好再看一些算法方面的书籍，了解常见的数据结构和基本
数学建模知识竞赛题库 1.请问计算机中的二进制源于我国古代的哪部经典? D A.《墨经》 B.《诗经》 C.《周书》 D.《周易》 2.世界上面积最大的高原是？D A.青藏高原 B.帕米尔高原 C.黄土高原 D.巴西高原 3.我国海洋国土面积约有多少万平方公里? B A.200 B.300 C.280 D.340 4.世界上面值最高的邮票是匈牙利五百亿彭哥，它的图案是B A.猫 B.飞鸽 C.海鸥 D.鹰 5. 龙虾是我们的一种美食、你知道它体内的血是什么颜色的吗？B A.红色 B.蓝色 C.灰色 D.绿色 6.MATLAB使用三维向量[R G B]来表示一种颜色，则黑色为（D ） A. [1 0 1] B. [1 1 1] C. [0 0 1] D. [0 0 0] 7.秦始皇之后，有几个朝代对长城进行了修葺？ A A.7个 B.8个 C.9个 D.10个 8.中国历史上历时最长的朝代是？A A.周朝 B.汉朝 C.唐朝 D.宋朝 9我国第一个获得世界冠军的是谁？C A 吴传玉 B 郑凤荣 C 荣国团 D 陈镜开 10.我国最早在奥运会上获得金牌的是哪位运动员？B A.李宁 B.许海峰 C.高凤莲 D.吴佳怩
11.围棋共有多少个棋子？B A.360 B.361 C.362 D.365 12下列属于物理模型的是:A A水箱中的舰艇 B分子结构图 C火箭模型 D电路图 13名言：生命在于运动是谁说的？C A.车尔尼夫斯基 B.普希金 C.伏尔泰 D.契诃夫 14.饱食后不宜剧烈运动是因为B A.会得阑尾炎 B.有障消化 C.导致神经衰弱 D.呕吐 15、MATLAB软件中，把二维矩阵按一维方式寻址时的寻址访问是按（B）优先的。 A.行 B.列 C.对角线 D.左上角16红军长征中，哪次战役最突出反应毛泽东的军事思想和指挥才?A A.四渡赤水B.抢渡大渡河C.飞夺泸定桥D.直罗镇战役 17色盲患者最普遍的不易分辨的颜色是什么？A A.红绿 B.蓝绿 C.红蓝 D.绿蓝 18下列哪种症状是没有理由遗传的？ A.精神分裂症 B.近视 C.糖尿病 D.口吃 19下面哪个变量是正无穷大变量？（A ）
A题炉温曲线 在集成电路板等电子产品生产中，需要将安装有各种电子元件的印刷电路板放置在回焊炉中，通过加热，将电子元件自动焊接到电路板上。在这个生产过程中，让回焊炉的各部分保持工艺要求的温度，对产品质量至关重要。目前，这方面的许多工作是通过实验测试来进行控制和调整的。本题旨在通过机理模型来进行分析研究。 回焊炉内部设置若干个小温区，它们从功能上可分成4个大温区：预热区、恒温区、回流区、冷却区（如图1所示）。电路板两侧搭在传送带上匀速进入炉内进行加热焊接。 图1 回焊炉截面示意图 某回焊炉内有11个小温区及炉前区域和炉后区域（如图1），每个小温区长度为30.5 cm，相邻小温区之间有5 cm的间隙，炉前区域和炉后区域长度均为25 cm。 回焊炉启动后，炉内空气温度会在短时间内达到稳定，此后，回焊炉方可进行焊接工作。炉前区域、炉后区域以及小温区之间的间隙不做特殊的温度控制，其温度与相邻温区的温度有关，各温区边界附近的温度也可能受到相邻温区温度的影响。另外，生产车间的温度保持在25oC。 在设定各温区的温度和传送带的过炉速度后，可以通过温度传感器测试某些位置上焊接区域中心的温度，称之为炉温曲线（即焊接区域中心温度曲线）。附件是某次实验中炉温曲线的数据，各温区设定的温度分别为175oC（小温区1~5）、195oC（小温区6）、235oC（小温区7）、255oC（小温区8~9）及25oC（小温区10~11）；传送带的过炉速度为70 cm/min；焊接区域的厚度为0.15 mm。温度传感器在焊接区域中心的温度达到30oC时开始工作，电路板进入回焊炉开始计时。 实际生产时可以通过调节各温区的设定温度和传送带的过炉速度来控制产品质量。在上述实验设定温度的基础上，各小温区设定温度可以进行oC范围内的调整。调整时要求小温区1~5中的温度保持一致，小温区8~9中的温度保持一致，小温区10~11中的温度保持25oC。传送带的过炉速度调节范围为65~100 cm/min。 在回焊炉电路板焊接生产中，炉温曲线应满足一定的要求，称为制程界限（见表1）。 表1 制程界限 界限名称 最低值 最高值
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 A题储油罐的变位识别与罐容表标定 通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。 许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。 请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。 （2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。 附件1：小椭圆储油罐的实验数据 附件2：实际储油罐的检测数据 地平线油位探针
2017年中国研究生数学建模竞赛D题 基于监控视频的前景目标提取 视频监控是中国安防产业中最为重要的信息获取手段。随着“平安城市”建设的顺利开展，各地普遍安装监控摄像头，利用大范围监控视频的信息，应对安防等领域存在的问题。近年来，中国各省市县乡的摄像头数目呈现井喷式增长，大量企业、部门甚至实现了监控视频的全方位覆盖。如北京、上海、杭州监控摄像头分布密度约分别为71、158、130个/平方公里，摄像头数量分别达到115万、100万、40万，为我们提供了丰富、海量的监控视频信息。 目前，监控视频信息的自动处理与预测在信息科学、计算机视觉、机器学习、模式识别等多个领域中受到极大的关注。而如何有效、快速抽取出监控视频中的前景目标信息，是其中非常重要而基础的问题[1-6]。这一问题的难度在于，需要有效分离出移动前景目标的视频往往具有复杂、多变、动态的背景[7，8]。这一技术往往能够对一般的视频处理任务提供有效的辅助。以筛选与跟踪夜晚时罪犯这一应用为例：若能够预先提取视频前景目标，判断出哪些视频并未包含移动前景目标，并事先从公安人员的辨识范围中排除；而对于剩下包含了移动目标的视频，只需辨识排除了背景干扰的纯粹前景，对比度显著，肉眼更易辨识。因此，这一技术已被广泛应用于视频目标追踪，城市交通检测，长时场景监测，视频动作捕捉，视频压缩等应用中。 下面简单介绍一下视频的存储格式与基本操作方法。一个视频由很多帧的图片构成，当逐帧播放这些图片时，类似放电影形成连续动态的视频效果。从数学表达上来看，存储于计算机中的视频，可理解为一个3维数据，其中代表视频帧的长，宽，代表视频帧的帧数。视频也可等价理解为逐帧图片的集合，即，其中为一张长宽分别为 的图片。3维矩阵的每个元素（代表各帧灰度图上每个像素的明暗程度）为0到255之间的某一个值，越接近0，像素越黑暗；越接近255，像素越明亮。通常对灰度值预先进行归一化处理（即将矩阵所有元素除以255），可将其近似认为[0,1]区间的某一实数取值，从而方便数据处理。一张彩色图片由R（红），G（绿），B（蓝）三个通道信息构成，每个通道均为同样长宽的一张灰度图。由彩色图片
数学建模竞赛中常用软件的操作本节主要介绍数学建模竞赛中常用软件MATLAB和Lingo的一些基本操作。 一、Desktop简介 在桌面双击MA TLABb图标，或双击安装目录C:\Program Files\MATLAB\R2012a\bin下的MA TLAB文件。启动后默认界面如下图。 图1 Desktop操作桌面的外貌 1. Command Window 该窗口是进行MATLAB各种操作的主要窗口。在该窗内可以输入各类指令、函数、表达式；显示除了图形外所有的运算结果，错误时，给出相关出错提示。 指令输入完后只有按回车键【Enter】才能执行；如果输入的指令不含赋值号，计算结果被赋于默认的变量ans。 变量名和函数名对大小写敏感，变量第一个字符必须是英文字母，最多包含63个字符（英文、数字和下划线），不能包括空格、标点、运算符；不能使MA TLAB的关键词和自用的变量名（eps,pi等）函数名（sin,exp等）、文件夹名（rwt,toolbox等）。 在Matlab中有一些固定变量，例如 (1) ans：在没有定义变量名时，系统默认变量名为ans； (2) eps：容许误差，非常小的数； (3) pi：即圆周率 ； (4) i, j：虚数单位；
(5) inf：表示正无穷大，由1/0运算产生； (6) NaN（Not A Number）：表示不定值，由inf/inf或0/0运算产生； (7) nargin：函数的输入变量数目； (8) nargout：函数的输出变量数目。 在MA TLAB中，控制流关键字if, for, end等用蓝色字体表示；输入指令中的非控制指令、数字显示为黑色字体；字符串显示为紫色字体；注释为绿色字体；警告信息为红色字体。 2 工作空间浏览器 工作空间（Workspace）窗口用于浏览MATLAB中的变量。在工作空间窗口内，用户可以方便地查看、编辑存储的数据变量。 表1 工作空间浏览器主要功能及其操作方法 工作空间常用的管理指令有： （1）who及whos：查询指令 （2）clear：清除工作空间中的所有变量 clear var1 var2：清除工作空间中的变量var1和var2 （3）saveFileName ：把全部内存变量保存为Filename.mat文件
数学建模协会11-12学年度工作总结 一个学期如飞梭般，转眼间即将过去。回首本学期，虽然只有短短四个月的时间。安徽师范大学数学建模协会赭山校区分会却经历了宣传、招新、理事选拔到各类大型活动的举行这四个阶梯式的跨越。数学建模协会不仅为广大新老会员奉献了精彩的报告、举办了趣味数学竞赛等等，还大力在师大这个美丽的校园之中让大家更加了解数学、接触数学、从而爱上数学，这一系列的举动获得了同学们的好评与赞许，也让我们更加有信心的去面对接下来的挑战！ 在这个学期，我们协会应校社联的要求，按时按质按量的完成社联所布置的各样要求：自招新起到协会微博、QQ群以及飞信群的建立。还积极的施行了协会“二三五”计划的开展，即：两个加分计划以及三个精品活动。在协会的宣传与发展方面，我们数学建模协会每个人都全心投入到其中，上到会长和部长，下到每个理事和会员，从开始的荷园招新的讲解有关我们协会相关的基本理念，到每次活动策划和宣传的海报制作、人员配置、现场报名，每个人恪守自己的职责，与此同时，协会内部洋溢的互助与友爱更是感染着每一位成员。 本学期中，协会举办的第一个活动是数学建模专题讲座。讲座活动筹划在协会会员见面会以后，在大家对数学建模及对安师大数学建模协会有了初步的了解的前提下，在了解了会员们对数学建模的具体学习内容及学术内涵还不是十分全面的了解之后，为了满足会员们对数学建模知识的渴求，协会特意邀请了往届的学长学姐给同学们进行数模知识的讲座，给同学们讲解数模知识以及参加全国数学建模大赛
的形式和要求，同时又讲述了自己对数学建模大赛的感受，力争让会员们对师大数学建模协会和数模有一个清晰的认识。同时，也给会员们带来更多有关数学建模的各种信息，为接下来的第二次讲座、数学建模模拟赛和以后数学建模大赛做铺垫。 讲座于2011年10月19日，14:30-16:30在田楼8103召开。由安徽师范大学数学建模协会主办，会长王大延，副会长赵伊悦，各部门部长及协会全体理事参与了此次讲座的筹办，大部分会员参加了这次讲座。 活动开始前,协会会长、副会长、各部门部长及理事们,提前到场,分工合作使讲座的宣传活动、迎接会员活动顺利热而有序的进行。14:30时,活动正式开始。首先由主持人作间要而有趣的开场白,并且详细的介绍了本次讲座的各位学长学姐，会员们热情满满，现场气氛十分活跃。 之后开始正式讲座,主要要讲了两个方面内容:一是数学建模竞赛简介;二是数学建模建立模型。首先有着丰富参赛经验的学长学姐对数模协会历史和数模竞赛作了简介，当谈到我校参加国赛和省赛的获奖情况时，现场热情高涨，同学们无不为此而惊叹。其后，学长学姐耐心的为大家介绍了数学建模培养学生创新精神、提高学生综合素质的提高的作用，使全体同学更深一步地了解数模。之后的问答环节以及交流更是将活动气氛推向另一个高潮。 讲座结束后，现场掌声一片，每位参加这次讲座的同学都表示：这次讲座意义不仅仅在于向大家展示了数学建模的魅力所在，还激起
2 0 1 3 高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”) B 题碎纸片的拼接复原 破碎文件的拼接在司法物证复原、历史文献修复以及军事情报获取等领域都有着重要的应用。传统上，拼接复原工作需由人工完成，准确率较高，但效率很低。特别是当碎片数量巨大，人工拼接很难在短时间内完成任务。随着计算机技术的发展，人们试图开发碎纸片的自动拼接技术，以提高拼接复原效率。请讨论以下问题： 1. 对于给定的来自同一页印刷文字文件的碎纸机破碎纸片(仅纵切)，建立碎纸片拼接 复原模型和算法，并针对附件1、附件 2 给出的中、英文各一页文件的碎片数据进行拼接复原。如果复原过程需要人工干预，请写出干预方式及干预的时间节点。复原结果以图片形式及表格形式表达(见【结果表达格式说明】)。 2. 对于碎纸机既纵切又横切的情形，请设计碎纸片拼接复原模型和算法，并针对附件3、附件4 给出的中、英文各一页文件的碎片数据进行拼接复原。如果复原过程需要人工干预，请写出干预方式及干预的时间节点。复原结果表达要求同上。 3. 上述所给碎片数据均为单面打印文件，从现实情形出发，还可能有双面打印文件的碎纸片拼接复原问题需要解决。附件 5 给出的是一页英文印刷文字双面打印文件的碎片数据。请尝试设计相应的碎纸片拼接复原模型与算法，并就附件 5 的碎片数据给出拼接复原结果，结果表达要求同上。 【数据文件说明】 (1) 每一附件为同一页纸的碎片数据。 (2) 附件1、附件2为纵切碎片数据，每页纸被切为19 条碎片。 (3) 附件3、附件4为纵横切碎片数据，每页纸被切为11X19个碎片。 (4) 附件5为纵横切碎片数据，每页纸被切为11 X 19个碎片，每个碎片有正反两面。该附件中 每一碎片对应两个文件，共有2X 11X 19个文件，例如，第一个碎片的两面分别对应文件000a、000b。 【结果表达格式说明】 复原图片放入附录中，表格表达格式如下： (1) 附件1、附件2的结果：将碎片序号按复原后顺序填入1X 19的表格； (2) 附件3、附件4的结果：将碎片序号按复原后顺序填入11X 19的表格； (3) 附件5的结果：将碎片序号按复原后顺序填入两个11X 19的表格；
专题讲座 初中数学建模思想的策略研究 张思明 一．什么是数学建模？ 1.1 数学建模（ Mathematical Modeling ）是建立数学模型并用它解决问题这一过程的简称，有代表的定义如下： （ 1 ）、普通高中数学课程标准 [4] 中认为，数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，已经成为不同层次数学教育的重要内容和基本内容 . （ 2 ）、叶其孝在《数学建模教学活动与大学数学教育改革》一书中认为，数学建模 (Mathematical Modeling) 就是应用建立数学模型来解决各种实际问题的方法，也就是通过对实际问题的抽象、简化，确定变量和参数，并应用某些“ 规律” 建立起变量、参数间的确定的数学问题( 也可称为一个数学模型 ) ，求解该数学问题，解释、验证所得到的解，从而确定能否用于解决实际问题的多次循环、不断深化的过程。 两种定义的区别在于课程标准对数学建模的定义没有强调建立特定的解决问题的数学模型。数学建模的过程中当然会运用数学思想、方法和知识解决实际问题，但仅仅如此很难称得上是“数学建模”。处理很多事情，比如法律和组织上的问题，常常会用到分类讨论的思想、转化的思想、类比的思想，而并没有建立数学模型，这就不能说是进行了数学建模。这里所谈（实际上，同大部分人认为的一样）的数学建模，其过程是要建立具体的数学模型的。
什么是数学模型？根据徐利治先生在《数学方法论选讲》一书中所谈到，所谓“数学模型”（ Mathematic Model ）是一个含义很广的概念，粗略的讲，数学模型是指参照某种事物系统的特征或数量相依关系，采用形式化数学语言，概括地或近似地表达出来的一个数学结构。广义的说，一切数学概念、数学理论体系、数学公式、数学方程以及由之构成的算法系统都可以称为数学模型；狭义的解释，只有那些反应特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构才叫数学模型。 本论文所谈到的数学建模，其过程一定是建立了一定的数学结构。 另外，我们所谈的数学建模主要侧重于解决非数学领域内的问题。这类问题往往来自于日常生活、经济、工程、医学等其他领域，呈现“原胚”状态，需要分析、假设、抽象等加工，才能找出其隐含的数学关系结构。 一般地，数学建模的过程可用下面的框图表示： 1.2 什么是中学数学建模？ 这里的“中学数学建模”有两重含义， 一是按数学意义上的理解、在中学中做的数学建模。主要指基于中学范围内的数学知识所进行的建模活动，同其它数学建模一样，它仍以现实世界的具体问题为解决对象，但要求运用的数学知识在中学生认知水平内，专业知识不能要求太高，并且要有一定的趣味性和教学价值。 二是按课程意义理解，它是本文要展开讨论的，一种要在中学中实施的特殊的课程形态。它是一种以“问题引领、操作实践”为特征的活动型课程。学生要通过经历建模特有的过程，真实地解决一个实际问题，由此积累做数学、学数学、用数学的经验，提升对数学及其价值的认识。其设
中国大学生数学建模竞赛(CUMCM)历年赛题一览! CUMCM历年赛题一览!! CUMCM从1992年到2007年的16年中共出了45个题目,供大家浏览 1992年Ａ)施肥效果分析问题(北京理工大学：叶其孝） (B)实验数据分解问题（复旦大学：谭永基） 1993年Ａ)非线性交调的频率设计问题（北京大学：谢衷洁） (Ｂ)足球排名次问题（清华大学：蔡大用） 1994年Ａ)逢山开路问题（西安电子科技大学：何大可） (Ｂ)锁具装箱问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） 1995年:(Ａ)飞行管理问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） (Ｂ)天车与冶炼炉的作业调度问题（浙江大学：刘祥官,李吉鸾） 1996年:(A)最优捕鱼策略问题（北京师范大学：刘来福） (B)节水洗衣机问题（重庆大学：付鹂） 1997年:(A)零件参数设计问题（清华大学：姜启源） (B)截断切割问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） 1998年:(A)投资的收益和风险问题（浙江大学：陈淑平） (B)灾情巡视路线问题（上海海运学院：丁颂康） 1999年:(A)自动化车床管理问题（北京大学：孙山泽） (B)钻井布局问题（郑州大学：林诒勋） (C)煤矸石堆积问题（太原理工大学：贾晓峰） (D)钻井布局问题（郑州大学：林诒勋） 2000年:(A)DNA序列分类问题（北京工业大学：孟大志） (B)钢管订购和运输问题（武汉大学：费甫生） (C)飞越北极问题（复旦大学：谭永基） (D)空洞探测问题（东北电力学院：关信） 2001年:(A)血管的三维重建问题（浙江大学：汪国昭） (B)公交车调度问题（清华大学：谭泽光） (C)基金使用计划问题（东南大学：陈恩水） (D)公交车调度问题（清华大学：谭泽光） 2002年:(A)车灯线光源的优化设计问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） (B)彩票中的数学问题（解放军信息工程大学：韩中庚） (C)车灯线光源的优化设计问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此））
数学建模讲座 本本讲座主要目的: 通过对一些简单的数学建模过程的分析,使队员了解数学建模的基本过程,掌握数学建模的基本知识和一些简单常用的数学基础知识. 近期主要任务: 1 熟悉计算机 2 学会查阅资料,积累相应的数学与数学建模知识. 数值计算的基本方法 一数值微分 1差商代替微商 利用差商代替微商的求导公式通常有 向前差商公式 ()()() h x f h x f x f -+≈ '
向后差商公式 ()()() h h x f x f x f --≈ ' 中心差商公式 ()()() h h x f h x f x f 2--+≈ ' 由泰勒公式很容易得到它们的余项分 别为O （h ），O （h ），O （h 2 ），h 越小近似程度越高，但是又会因有效数字损失而导致误差增大。 2插值型数值微分公式 （1）两点公式 n=1，过两节点0 x ，h x x +=0 1 的拉格朗日插值多项式为 1 100101 1)(y x x x x y x x x x x L --+--= 则 ()()()()?? ??? -='≈'-='≈'h y y x L x f h y y x L x f 0 111101010 截断误差为 ()()()() ?? ???''='''-=' 11100 122ξξf h x R f h x R ()b a ,,1 ∈ξξ （2）三点公式 n=2 ，i i i y x f ih x x =+=)(,0 2 ,1,0=i ， 拉格朗日插值多项式为 () x L 2=0 y ()() 2 212h x x x x --＋1 y ()() 2 20h x x x x ---＋2 y ()() 2 102h x x x x -- 两端求导得()22 1 0122002 2 12 22222y h x x x y h x x x y h x x x x L --+--- --='
A题 装修问题 房屋装修中，需要用到许多不同尺寸的木板，在建材市场上出售的都是统一规格的木板（2.85米 1.55米）。现在我们需要使用长度、宽度及数量（见下表）的木板。为了节约成本，请你设计一个购买与实施方案。 所需板材: 编号长度(单位:米) 宽度(单位:米) 数量(单位:块) -------------------------------------------- ------- 1 2.05 0.40 45 1 1.65 0.35 75 2 1.35 1.30 25 3 1.20 0.50 55 4 0.8 5 0.20 60 5 0.35 0.20 130 注意:板材加工时是每次切割都是把板子沿直线锯成二块的。 B题 证金公司行动短期评估与预测 美国股市有句箴言“Sell in May and Go Away”,2015年中国股市上半年基于预期经济会触底回升，以及融资、场外不规范配资疯狂增长等因素影响下，出现大幅上涨，6月股市迎来今年最高点5178点（上证指数）后，高位震荡，继而快速、断崖式下跌，其间虽有“侠之大者，为国接盘”的豪言，股市于7月前3日出现明显缩量的连续“千股跌停”，引发市场流动性危机。 为了稳定市场、缓解投资者恐慌、挽救流动性，作为重要措施之一：证金公司直接在二级市场买入股票，从7月6日开始陆续拉升中国石油、中国平安等大蓝筹股或埋数百万手托单于银行股，稳定大盘指数；或以“扫货”模式在跌停位购入部分中小板、创业板股票，提供流动性、聚集人气，并承诺4500点（上证指数）以下不减持。随着各公司公告证金持股信息，以梅雁吉祥为代表的一部分股票（“证金概念股”）遭到爆炒，股价大起大落；同时证金公司购股操盘手各券商陆续曝出违规操作，引发市场诸多怀疑，打击了市场信心，沪深两市持续缩量，经过8月18~26日的二次大幅下跌后，在3100点（上证指数）上下震荡，直至9月最后一个交易日。 请以7月6日证金公司购股资料（包括购入量、购入均价等），见附录1，讨论如下问题： 问题一假设证金公司持股数无变化，以3支典型股票，说明到9月30日这段时间
我叫虎玲，是2012级数应1班的学生。今天很荣幸能够和大家一起交流。首先恭喜大家在第一阶段取得好成绩。这次认证杯数学建模成绩比上一年的成绩好，能取得这样的成果是挺不容易的。说起数学建模，会想到三天三夜，做论文。但是没有想到其实数学建模是一场博弈，是在合作上的博弈。 有一个电影<美丽心灵>，不知道大家有没有看过，在一个大学的宿舍里，4个男孩正在商量着怎么去追求一个漂亮女孩。他们想“假如这四个男孩都去追求那个漂亮女孩，那个女孩肯定会摆起架子来，不会理睬他们中的任何一个。当这几个男孩再去追求别的女孩时，其他女孩也不会接受他们了，因为谁都不想当当次品。可是假如他们愿意先追其他女孩，那么那个漂亮的女孩就不会有很强的优越感，那时追她就很容易了”这个小故事，反应的是生活在无处不在的博弈。博弈论的英文是game theory,从字面意思来看，就是竞赛论或者游戏论。数学建模就是一种博弈，也可以说，身边的很多行为和现象都可以用博弈论来描述。数学建模中的合作过程也是一种博弈。甚至去菜市场买菜，当我们对某种菜的口味和质量有疑问的时候，买菜的大婶也常这样说：“放心吧，我一直是在这儿买东西的”。这句话看似朴实的话里其实也包含了“博弈论”中的思想，这次交易是一种次数无限的的重复博弈，假如我今天骗了你，下次甚至连你的朋友都不会再来我这儿买东西，所以我是不可能骗你的，而且因为我的菜质量和口味好，所以我才得以长期在这儿买菜，也就是说我的菜是没有问题的，你买回去亏不了。而我们往往在听了大婶的一句话后，也会顿时消除疑虑，把菜买回家。由此可见，博弈并非要不可及，它就在我们身边。 在现实生活中，“协作”“团队精神”这样的名词频频出现。人们也认识到协作的重要性。事实证明，1+1>2并不是伪命题。最优化组合的相互协作，不仅能够创造更大的收益，同时，还能彼此双赢。在建模中咱不说知识本身，咋说团队合作的重要性。数学建模是3个人组队参加，因此，如何找到合适的队友也非常重要。需要一个数学思维灵活，具有扎实的数学功底的人；编程的，编程能力要强，最好是计算机系的；写论文的，文字功底要好，表达要清晰明要。这三个人最还是不同专业的组合，有利益不同专业间的思维碰撞，爆发最理想的能量！ 之前，我对数学建模并不怎么了解，总觉得它是一门很神奇的学科。但是，参加过数学建模后，我觉得它并不是想象中的那么神奇，它跟我们现实生活是很
第一题： 解： 问题分析与模型建立：用y 表示各位经理人的人寿保险额，用1x 表示各位经理人的平均收入，由题目可以得到，经理的年收入和人寿保险额之间存在着二次关系，可以通过画y 对1x 的散点图进行验证。用2x 表示各位经理人的风险偏好度，它的数值越大，就越偏爱高风险。现在画出y 对1x 和2x 的散点图，观察各自的变化趋势，进行验证与趋势变化分析。 图1 人寿保险额与平均收入的关系 图2 人寿保险额与风险偏好度的关系 观察图1，随着1x 的增加，y 也有明显的线性增长趋势，可以建立线性模型 011y x ββ=+
观察图2，随2x 的增加，y 也随之增大，且向上弯曲趋势增长，可以建立二次函数模型： 201222 y x x βββ=++ 将上面两点进行结合，建立一个中体的回归模型如下： 2 0112232y x x x ββββε=++++ 以上各式中，0123,,,ββββ叫做回归系数，12,x x 叫做影响y 的主要因素，主要因素是人能够进行控制的，同时y 还受到各种因素的影响，这些是人没有办法进行控制的，称为随机误差，记作ε。随机误差可以被看作是一个随机变量，在模型 选择合适的情况下，ε大致服从均值为零的正态分布。所以，模型可以完整的记做： 201122312 (0,) y x x x N ββββεεσ?=++++? ?∈?? y 对回归系数0123,,,ββββ是线性的，满足线性回归条件，所以建立线性回归模型。 模型求解： 在matlab 中用命令regress 解决线性回归问题。使用格式如下： [b,bint,r,rint,stats]=regress(y',x); 其中，b 为回归系数0123(,,,)βββββ=的估计值；bint 是b 各项的显著水平为α的置信区间；stats 是检验回归模型的统计量。 其计算结果如下： b = -113.9272 4.4587 -6.7432 1.1390 bint = -153.5452 -74.3091 4.0434 4.8739 -16.6588 3.1723 0.2101 2.0678 stats =
数学建模心得体会3篇 通过对专题七的学习，我知道了数学探究与数学建模在中学中学习的重要性，知道了什么是数学建模，数学建模就是把一个具体的实际问题转化为一个数学问题，然后用数学方法去解决它，之后我们再把它放回到实际当中去，用我们的模型解释现实生活中的种种现象和规律。 知道了数学建模的几点要求：一个是问题一定源于学生的日常生活和现实当中，了解和经历解决实际问题的过程，并且根据学生已有的经验发现要提出的问题。同时，希望同学们在这一过程中感受数学的实用价值和获得良好的情感体验。当然也希望同学们在这样的过程当中，学会通过实际上数学探究本身应该说在平时教学当中，老师有些在课堂上也是这样教学的，他更重要的意义就是引导老师增加一种教学方式，首先就是这个问题就是有点儿全新性，解决的方案不是很明了，这样学生要有一个尝试，一个探索的过程查询资料等手段来获取信息，之后采取各种合作的方式解决问题，养成与人交流的能力。 实际上数学探究本身应该说在平时教学当中，老师有些在课堂上也是这样教学的，他更重要的意义就是引导老师增加一种教学方式，首先就是这个问题就是有点儿全新性，解决的方案不是很明了，这样的话学生要有一个尝试，一个探索的过程。数学探究活动的关健词就是探究，探究是一个活动或者是一个过程，也是一种学习方式，我们比较强调是用这样的方式影响学生，让他主动的参与，在这个活动当中得到更多的知识。 探究的结果我们认为不一定是最重要的，当然我们希望探究出来一个结果，通过这种活动影响学生，改变他的学习方式，增加他的学习兴趣和能力。我们也关心，大家也可以看到在标准里面，有非常突出的数学建模的这些内容，但是它
的要求、定位和为什么把这些领域加到我的标准当中，你应该怎么看待这部分内容。 数学建模学习心得体会 许校的讲座再次激起了我们对这个曾经的相识思考的热情。 同样一个名词，但在新的时代背景下许校赋予了其更多新的内涵。 首先是对“建模”的理解差异。那时更多的是一种短视或者说应试背景下的行为，“建模”的理解就是给学生一个固定的模式的东西，通过教学行为让学生接受而成为其解决问题的一种工具；而许校的“建模”更多的是一种动态的或者说是一种有型而又不可僵化定型的东西，应该是可以助力学生发展最终可以成为学生数学素养的一部分。 其次，对于如何建模我们可以看到更多不同。过去更多的是一种对数学模型简单重复的强化行为，显得单调而生硬；而许校的“建模”则更多的强调不同层面上引导学生通过“悟”、“辨”、“用”等环节，让学生立体式全方位的理解模型、建立模型，从而避免了过去那种“死模”而将学生“模死”的现象。 许校的“模”，强调应该是一个利于学生可发展的模，可以进入到无意识和骨子里，成为学生真正的数学素养，最终能够跳出模，从而达到模而不模的去形式化境界。 数学建模学习心得（2）： 数学建模是一个经历观察、思考、归类、抽象与总结的过程，也是一个信息捕捉、筛选、整理的过程，更是一个思想与方法的产生与选择的过程。它给学生再现了一种“微型科研”的过程。数学建模教学有利于激发学生学习数学的兴趣，
交巡警服务平台的设置与调度 摘要 由于警务资源有限，需要根据城市的实际情况与需求建立数学模型来合理地确定交巡警服务平台数目与位置、分配各平台的管辖范围、调度警务资源。设置平台的基本原则是尽量使平台出警次数均衡，缩短出警时间。用出警次数标准差衡量其均衡性，平台与节点的最短路衡量出警时间。 对问题一，首先以出警时间最短和出警次数尽量均衡为约束条件，利用无向图上任意两点最短路径模型得到平台管辖范围，并运用上下界网络流模型优化解,得到A区平台管辖范围分配方案。发现有6个路口不能在3分钟内被任意平台到达，最长出警时间为5.7分钟。 其次，利用二分图的完美匹配模型得出20个平台封锁13个路口的最佳调度方案，要完全封锁13个路口最快需要8.0分钟。 最后，以平台出警次数均衡和出警时间长短为指标对方案优劣进行评价。建立基于不同权重的平台调整评价模型，以对出警次数均衡的权重u和对最远出警距离的权重v 为参数，得到最优的增加平台方案。此模型可根据实际需求任意设定权重参数和平台增数，由此得到增加的平台位置，权重参数可反映不同的实际情况和需求。如确定增加4个平台，令u=0.6，v=0.4，则增加的平台位置位于21、27、46、64号节点处。 对问题二，首先利用各区平台出警次数的标准差和各区节点的超距比例分析评价六区现有方案的合理性，利用模糊加权分析模型以城区的面积、人口、总发案次数为因素来确定平台增加或改变数目。得出B、C区各需改变2个平台的位置，新方案与现状比较，表明新方案比现状更合理。D、E、F区分别需新增4、2、2个平台。利用问题一的基于不同权重的平台调整评价模型确定改变或新增平台的位置。 其次，先利用二分图的完美匹配模型给出80个平台对17个出入口的最优围堵方案，最长出警时间12.7分钟。在保证能够成功围堵的前提下，若考虑节省警力资源，分析全市六区交通网络与平台设置的特点，我们给出了分阶段围堵方案，方案由三阶段构成。最多需调动三组警力，前后总共需要29.2分钟可将全市路口完全封锁。此方案在保证成功围堵嫌疑人的前提下，若在前面阶段堵到罪犯，则可以减少警力资源调度，节省资源。 【关键字】：不同权重的平台调整评价模糊加权分析最短路二分图匹配