习题6-2
1. 求图6-21 中各画斜线部分的面积: (1)
解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为
6
1
]2132[)(1022310=-=-=?x x dx x x A . (2)
解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为 1|)()(101
0=-=-=?x x e ex dx e e A ,
解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1, e ]. 所求的面积为
1)1(|ln ln 1
11=--=-==??e e dy y y ydy A e
e e
. (3)
解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-3, 1]. 所求的面积为
3
32
]2)3[(1
32=--=?-dx x x A .
(4)
解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-1, 3]. 所求的面积为
3
32
|)313()32(3132312=-+=-+=--?x x x dx x x A . 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积:
(1) 22
1
x y =与x 2+y 2=8(两部分都要计算);
解:
3
8
8282)218(220220*********--=--=--=????dx x dx x dx x dx x x A
34238cos 16402+=-=?ππ
tdt .
3
4
6)22(122-=-=ππS A .
(2)x
y 1
=与直线y =x 及x =2;
解:
所求的面积为 ?-=-=
2
12ln 2
3)1(dx x x A . (3) y =e x
, y =e -x
与直线x =1;
解:
所求的面积为
?-+=-=-1021
)(e
e dx e e A x x .
(4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解
所求的面积为
a b e dy e A b
a y b
a y -===?ln ln ln ln
3. 求抛物线y =-x 2
+4x -3及其在点(0, -3)和(3, 0)处的切线所围成的图形的面积. 解:
y '=-2 x +4.
过点(0, -3)处的切线的斜率为4, 切线方程为y =4(x -3). 过点(3, 0)处的切线的斜率为-2, 切线方程为y =-2x +6. 两切线的交点为)3 ,2
3
(, 所求的面积为
49]34(62[)]34(34[23
023
2
32=-+--+-+-+---=??dx x x x x x x A .
4. 求抛物线y 2
=2px 及其在点),2
(p p 处的法线所围成的图形的面积.
解
2y ?y '=2p .
在点),2(p p
处, 1),2(=='p p y p y , 法线的斜率k =-1,
法线的方程为)2(p x p y --=-, 即y p
x -=23.
求得法线与抛物线的两个交点为),2(p p 和)3,2
9
(p p -.
法线与抛物线所围成的图形的面积为
2332323
16)612123()223(p y p y y p dy p y y p A p
p p
p =--=--=--?.
5. 求由下列各曲线所围成的图形的面积
(1)ρ=2a cos θ ; 解:
所求的面积为
??==-202222
2cos 4)cos 2(21π
ππθθθθd a d a A =πa 2.
(2)x =a cos 3t , y =a sin 3
t ; 解
所求的面积为
???===204220
2
330sin cos 34)cos ()sin (44π
πtdt t a t a d t a ydx A a
2206204283]sin sin [12a tdt tdt a ππ
π=-=??.
(3)ρ=2a (2+cos θ ) 解
所求的面积为 2
20
2220
218)cos cos 44(2)]cos 2(2[2
1a d a d a A πθθθθθππ
=++=+=??. 6. 求由摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )的一拱(0≤t ≤2π)与横轴所围成的图形的面
积.
解:
所求的面积为 ???-=--==a
a a dt t a dt t a t a ydx A 20222020
)cos 1()cos 1()cos 1(π
π22023)2
cos 1cos 21(a dt t t a a
=++-=?. 7. 求对数螺线ρ=ae θ(-π≤θ≤π)及射线θ=π所围成的图形面积. 解
所求的面积为 )
(4
21)(21222222ππππθππθθθ----===
??e e a d e a d ae A .
8. 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积.
(1)ρ=3cos θ 及ρ=1+cos θ 解
曲线ρ=3cos θ 与ρ=1+cos θ交点的极坐标为)3,23(πA , )3
,23(π-B . 由对称性, 所求的面
积为
πθθθθπππ4
5])cos 3(21)cos 1(21[2232302=++=??d d A . (2)θρsin 2=及θρ2cos 2=. 解
曲线θρsin 2=与θρ2cos 2=的交点M 的极坐标为M )6
,22(π. 所求的面积为
2
316]2cos 21)sin 2(21[246602-+=+=??πθθθθπππd d A .
9. 求位于曲线y =e x 下方该曲线过原点的切线的左方以及x
轴上方之间的图形的面积.
解 设直线y =kx 与曲线y =e x 相切于A (x 0, y 0)点, 则有 ???
??=='==k
e x y e y kx y x x 00)(0000,
求得x 0=1, y 0=e , k =e . 所求面积为
2
1ln 21)ln 1(00020e dy y y y y y e dy y y e e e e
e
=?+-=-??.
10. 求由抛物线y 2=4ax 与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值. 解 设弦的倾角为α. 由图可以看出, 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积为 10A A A +=.
显然当2πα=时, A 1=0; 当2πα<时, A 1>0.
因此, 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值为 203
03
83822a x a dx ax A a a
===?
.
11. 把抛物线y 2=4ax 及直线x =x 0(x 0>0)所围成的图形绕x 轴旋转, 计算所得旋转体的体积.
解 所得旋转体的体积为
2
0020
222400
x a x a axdx dx y V x
x x ππππ====??.
12. 由y =x 3, x =2, y =0所围成的图形, 分别绕x 轴及
y 轴旋转, 计算所得两个旋转体的体积.
解 绕x 轴旋转所得旋转体的体积为 ππππ7
128712
072
062
02
====??x dx x dx y V x .
绕y 轴旋转所得旋转体的体积为 ??-=-??=8
3
2
8
22
3282dy y dy x V y ππππ
πππ5
6453328035=-=y .
13. 把星形线3/23/23/2a y x =+所围成的图形, 绕x 轴旋转, 计算所得旋转体的体积.
解 由对称性, 所求旋转体的体积为 dx x a dx y V a
a
??-==0
3
323
20
2)(22ππ
3023
43
23
23
4
2
105
32)33(2a dx x x a x a a a
ππ=-+-=?.
14. 用积分方法证明图中球缺的体积为)3(2H R H V -=π.
证明 ?
?
---==R
H
R R H
R dy y R dy y x V )()(222
ππ
)3()31(232H R H y y R R
H R -=-=-ππ.
15. 求下列已知曲线所围成的图形, 按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积:
(1)2x y =, 2y x =, 绕y 轴;
解 ππππ10
3)5121()(1
0521
0221
0=-=-=??y y dy y ydy V .
(2)a
x a y ch =, x =0, x =a , y =0, 绕x 轴; 解 ???===102302202ch ch )(udu a au x dx a
x a dx x y V a a πππ令 10
22310
223)2
1221(4)2(4
u u u
u e u e a du e e a ---+=++=?ππ )2sh 2(4
3
+=
a π. (3)16)5(22=-+y x , 绕x 轴.
解 ??------+=4
4
224
4
2
2)165()165(dx x dx x V ππ
24
21601640π?=-=dx x .
(4)摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )的一拱,
y =0, 绕直线y =2a .
解 ??--=π
πππa a dx y a dx a V 202202)2()2( ?----=π
ππ20223)sin ()]cos 1(2[8t t da t a a a
232023237sin )cos 1(8ππππa tdt t a a =+-=?. 16. 求圆盘222a y x ≤+绕x =-b (b >a >0)旋转所成旋转体的体积.
解 ??------+=a
a
a
a dy y a
b dy y a b V 2222
22
)()(ππ
22
2228ππb a dy y a b a
=-=?
.
17. 设有一截锥体, 其高为h , 上、下底均为椭圆, 椭圆的轴长分别为2a 、2b 和2A 、2B , 求这截锥体的体积.
解 建立坐标系如图. 过y 轴上y 点作垂直于
y 轴的平面, 则平面与截锥体的截面为椭圆, 易得
其长短半轴分别为
y h a A A --, y h b B B --.
截面的面积为π)()(y h b B B y h a A A --?--.
于是截锥体的体积为
])(2[6
1)()(0bA aB AB ab h dy y h b B B y h a A A V h
+++=--?--=?ππ. 18. 计算底面是半径为R 的圆, 而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积.
解 设过点x 且垂直于x 轴的截面面积为A (x ),
由已知条件知, 它是边长为x R -2的等边三角形的面积, 其值为 )(3)(22x R x A -=, 所以 3223
34)(3R dx x R V R
R
=-=?
-.
19. 证明 由平面图形0≤a ≤x ≤b , 0≤y ≤f (x )绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为
?=b
a dx x xf V )(2π.
证明 如图, 在x 处取一宽为dx 的小曲边梯形, 小曲边梯形绕y
轴旋转所得的旋转体的体积近似为2πx ?f (x )dx , 这就是体积元素, 即 dV =2πx ?f (x )dx ,
于是平面图形绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为
??==b
a
b
a
dx x xf dx x xf V )(2)(2ππ.
20. 利用题19和结论, 计算曲线y =sin x (0≤x ≤π)和x 轴所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积.
解 200
2)sin cos (2cos 2sin 2πππππ
π
π=+-=-==??x x x x xd xdx x V .
21. 计算曲线y =ln x 上相应于83≤≤x 的一段弧的长度. 解 ??
?
+=+='+=83283
2
83
2
1)1(1)(1dx x
x dx x dx x y s ,
令t x =+21, 即12-=t x , 则 23ln 2111111
1322323
222232
2+=-+=-=-?-=????
dt t dt dt t t dt t t
t t s .
22. 计算曲线)3(3x x y -=上相应于
1≤x ≤3的一段弧的长度.
解 x x x y 31-=, x x y 2121-=',
x x y 4121412+-=', )1(2112x x y +='+,
所求弧长为
3432)232(21)1(213131-=+=+=?x x x dx x
x s .
23. 计算半立方抛物线32)1(32-=x y 被抛物线32x y =截得的一段弧
的长度.
解 由?????=-=3)1(3223
2x y x y 得两曲线的交点的坐标为)36 ,2(, )36 ,2(-.
所求弧长为?'+=2
1212dx y s .
因为
2
)1(22-='x y y , y
x y 2
)1(-=', )1(23)1(3
2)1()1(34242
-=--=-=
'x x x y x y . 所以 ]1)25[(98)13(13232)1(23122321
2
1
-=--=-+=??
x d x dx x s . 24. 计算抛物线y 2=2px 从顶点到这曲线上的一点M (x , y )的弧长. 解 ??
?+=+='+=y y y
dy y p p dy p y dy y x s 0
220
202
1)(1)(1
y y p y p y p y p 022222])ln(2
2[1++++=
p
y p y p y p p y 222
2ln
22++++=. 25. 计算星形线t a x 3cos =, t a y 3sin =的全长.
解 用参数方程的弧长公式. dt t y t x s ?'+'=20
22)()(4π
??+-?=20
2222]cos sin 3[)]sin (cos 3[4π
dt t t a t t a
a tdt t 6cos sin 1220
==?π
.
26. 将绕在圆(半径为a )上的细线放开拉直, 使细线与圆周始终相切, 细线端点画出的轨迹叫做圆的渐伸线, 它的方程为 )sin (cos t t t a x +=, )cos (sin t t t a y -=.
计算这曲线上相应于t 从0变到π的一段弧的长度.
解 由参数方程弧长公式
?
?+='+'=π
π0
220
2
2
)sin ()cos ()]([)]([dt t at t at dt t y t x s
202
ππ
a tdt a ==?. 27. 在摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )上求分摆线第一拱成1: 3的点的坐标.
解 设t 从0变化到t 0时摆线第一拱上对应的弧长为s (t 0), 则 ?
?
+-='+'=0
00
220
2
2
0]sin [)]cos 1([)]([)]([)(t t dt t a t a dt t y t x t s
)2
cos 1(42sin 2000t
a dt t a t -==?.
当t 0=2π时, 得第一拱弧长s (2π)=8a . 为求分摆线第一拱为1: 3的点为A (x , y ), 令
a t
a 2)2
cos 1(40=-,
解得3
20π=t , 因而分点的坐标为:
横坐标a a x )2332()32sin 32(-=-=πππ,
纵坐标a a y 23)32cos 1(=-=π,
故所求分点的坐标为)2
3 ,)2332((a a -π.
28. 求对数螺线θρa e =相应于自=0到=的一段弧长. 解 用极坐标的弧长公式. θθθρθρ?
θθ?
d a
e e d s a a ?
?+='+=0
220
22
)()()()(
)1(112
2-+=+=?
θ?
θ
θa a e a
a d e a . 29. 求曲线ρθ=1相应于自43=θ至34=θ的一段弧长.
解 按极坐标公式可得所求的弧长 ?
?
-+='+=344
322234
4
32
2
)1()1()()(θθ
θθθρθρd d s
23ln 12511344
322+=+=?θθθd .
30. 求心形线ρ=a (1+cos 的全长.
解 用极坐标的弧长公式. θθθθθρθρπ
π
d a a d s ??
-++='+=0
2220
2
2
)sin ()cos 1(2)()(2
a d a 82
cos 40==?π
θθ.
习题6-3
1. 由实验知道, 弹簧在拉伸过程中, 需要的力F (单位: N )与伸长量s (单位: cm)成正比, 即F =ks (k 为比例常数). 如果把弹簧由原长拉伸6cm , 计算所作的功.
解 将弹簧一端固定于A , 另一端在自由长度时的点O 为坐标原点, 建立坐标系. 功元素为dW =ksds , 所求功为 182
16
026
0===?s k ksds W k(牛?厘米). 2. 直径为20cm 、高80cm 的圆柱体内充满压强为10N/cm 2的蒸汽. 设温度保持不变, 要使蒸汽体积缩小一半, 问需要作多少功？ 解 由玻-马定律知:
ππ80000)8010(102=??==k PV .
设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变, 高度减小x 厘米时压强 为P (x )牛/厘米2, 则
ππ80000)]80)(10[()(2=-?x x P , π-=80800)(x P .
功元素为dx x P dW )()10(2?=π,
所求功为 2ln 8008018000080800)10(40040
2
ππππ
π=-=-??=??
dx dx W (J). 3. (1)证明: 把质量为m 的物体从地球表面升高到h 处所作的功是
h
R mgRh
W +=
, 其中g 是地面上的重力加速度, R 是地球的半径;
(2)一颗人造地球卫星的质量为173kg , 在高于地面630km 处进入轨道. 问把这颗卫星从地面送到630的高空处, 克服地球引力要作多少功？已知g =9.8m/s 2, 地球半径R =6370km .
证明 (1)取地球中心为坐标原点, 把质量为m 的物体升高的功元素为 dy
y kMm dW 2
=, 所求的功为 )
(2h R R mMh
k dy y kMm W h R R
+?==?
+.
(2)5333
2411
1075.910
)6306370(106370106301098.51731067.6?=?+???????=-W (kJ). 4. 一物体按规律3ct x =作直线运动, 媒质的阻力与速度的平方成正比. 计算物体由x =0移至x =a 时, 克服媒质阻力所作的功. 解 因为3ct x =, 所以
23)(cx t x v ='=, 阻力4
229t kc kv f -=-=. 而32)(c
x t =, 所以
3432342
9)(9)(x kc c
x kc x f -=-=. 功元素dW =-f (x )dx , 所求之功为 37
320
3
4320
3
43
20
7
2799)]([a kc dx x kc
dx x kc dx x f W a a
a
===-=?
??. 5. 用铁锤将一铁钉击入木板, 设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比, 在击第一次时, 将铁钉击入木板1cm . 如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等, 问锤击第二次时, 铁钉又击入多少？ 解 设锤击第二次时铁钉又击入h cm , 因木板对铁钉的阻力f 与铁钉击入木板的深度x (cm)成正比, 即f =kx , 功元素dW =f dx =kxdx , 击第一次作功为
k kxdx W 2
11
01==?,
击第二次作功为
)2(2
12112h h k kxdx W h
+==?+. 因为21W W =, 所以有 )2(21212h h k k +=, 解得12-=h (cm).
6. 设一锥形贮水池, 深15m , 口径20m , 盛满水, 今以唧筒将水吸尽, 问要作多少功？
解 在水深x 处, 水平截面半径为x r 3
210-=, 功元素为
dx x x dx r x dW 22)3210(-=?=ππ,
所求功为
?-=15
02)3
210(dx x x W π
?+-=15
032)9
440100(dx x x x π =1875(吨米)=57785.7(kJ).
7. 有一闸门, 它的形状和尺寸如图, 水面超过门顶2m . 求闸门上所受的水压力.
解 建立x 轴, 方向向下, 原点在水面. 水压力元素为
xdx dx x dP 221=??=, 闸门上所受的水压力为
2125
225
2===?x xdx P (吨)=205. 8(kN).
8. 洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体, 尺寸如图所示. 当水箱装满水时, 计算水箱的一个端面所受的压力.
解 建立坐标系如图, 则椭圆的方程为
11)43()43(22
22=+-y x . 压力元素为
dx
x x dx x y x dP 22)4
3()43(38)(21--?=??=,
所求压力为 ??
-??+=--?=222
30
22cos 4
3cos 43)sin 1(4338)43()43(38π
πtdx t t dx x x P
ππ
169
cos 49202==?tdx (吨)=17.3(kN).
(提示: 积分中所作的变换为t x sin 4
343=-)
9. 有一等腰梯形闸门, 它的两条底边各长10m 和6m , 高为20m . 较长的底边与水面相齐. 计算闸门的一侧所受的水压力. 解 建立坐标系如图. 直线AB 的方程为
x y 1015-=,
压力元素为
dx x x dx x y x dP )5110()(21-?=??=,
所求压力为
1467)5
110(20
0=-?=?dx x x P (吨)=14388(千牛).
10. 一底为8cm 、高为6cm 的等腰三角形片, 铅直地沉没在水中, 顶在上, 底在下且与水面平行, 而顶离水面3cm , 试求它每面所受的压力.
解 建立坐标系如图.
腰AC 的方程为x y 3
2=, 压力元素为
dx x x dx x x dP )3(34322)3(+=???+=,
所求压力为
168)2
331(34)3(346
0236
0=+=+=?x x dx x x P (克
.牛).
11. 设有一长度为l 、线密度为μ的均匀细直棒, 在与棒的一端垂直距离为a 单位处有一质量为m 的质点M , 试求这细棒对质点M 的引力.
解 建立坐标系如图. 在细直棒上取一小段dy , 引力元素为 dy
y
a Gm y a dy m G dF 222
2+=+?
=μ
μ, dF 在x 轴方向和y 轴方向上的分力分别为
dF r
a dF x -=, dF r y
dF y =.
2202222022)(1)(l
a a l Gm dy y a y a aGm dy y a Gm r a F l l
x +-=++-=+?-=??μμμ, )11()(12
2
02222022l a a Gm dy y a y a Gm dy y a Gm r y F l l
y +-=++=+?=??μμμ. 12. 设有一半径为R 、中心角为 的圆弧形细棒, 其线密度为
常数μ. 在圆心处有一质量为m 的质点F . 试求这细棒对质点M 的引力.
解 根据对称性, F y =0. θμcos 2
???=
R ds
m G dF x
高等数学一第6章课后习题详解 课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：?? ?<<< ∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<< ∴所围区域D 表达为Y-型：?? ?-<<<<-2 2 422y x y y ， ∴23 16 )32 4()4(2 2 32 222= -=--=- - ? y y dy y y S D （由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为： 2316 )324(2)4(22 32 22=-=--=? y y dy y y S D ） ★★4．求由曲线 2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4 ∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：? ??<<< 复习题A 、判断正误 1、若a b b c 且b 0 ,则a c ; ( ) 解析 a b b c = b (a c) =0 时, 不能判定b 0或a c . 例如a i , b j , k ，有 a b b c 0 , 但a c . c M * 2、 右a b b c 且 b 0 ,则 a c ; ( ) 解析 此结论不一定成立.例如 a i ,b j , c (i j), 则 b i j k ,b c j [ (i j)] k , a b b c , 但a c . 3、若 a c 0 ,则a 0或c 0 ; ( ) 两个相互垂直的非零向量点积也为零. 解析 二、选择题： 当a 与b 满足（D ）时，有a b 解析只有当a 与b 方向相同时，才有 a + b=a+b . 解析 对于曲面z 1 x 2 2 y 2，垂直于z 轴的平面截曲面是椭圆， 垂直于x 轴或y 轴 的平面截曲面是开口向下的抛物线，根据曲面的截痕法，可以判断曲面是椭圆抛物面. 4、 a 解析 b b a . 这是叉积运算规律中的反交换律. (A) a b ； （B ） a b （为常数）; (C) // b ; (D) a||b . (A)中a , b 夹角不为0, (B), （C ）中a , b 方向可以相同，也可以相反. 2、下列平面方程中，方程（C ） 过y 轴; (A) x y z 1 ; (B) x (C) x z 0; (D) 解析平面方程Ax By Cz 0若过 y 轴，则B D 0,故选C. 3、在空间直角坐标系中，方程 1 x 2 2y 2所表示的曲面是（B ）； （A ）椭球面； （B ） 椭圆抛物面; (C) 椭圆柱面； （D ） 单叶双曲面. 习题六 1. 指出下列各微分方程的阶数： (1)一阶 (2)二阶 (3)三阶 (4)一阶 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： 2(1)2,5xy y y x '==; 解：由2 5y x =得10y x '=代入方程得 22102510x x x x ?=?= 故是方程的解. (2)0,3sin 4cos y y y x x ''+==-; 解：3cos 4sin ;3sin 4cos y x x y x x '''=+=-+ 代入方程得 3sin 4cos 3sin 4cos 0x x x x -++-=. 故是方程的解. 2(3)20,e x y y y y x '''-+== ; 解：2222e e (2)e ,(24)e x x x x y x x x x y x x '''=+=+=++ 代入方程得 2e 0x ≠. 故不是方程的解. 12121212(4)()0,e e .x x y y y y C C λλλλλλ'''-++==+ 解：12122211221122e e ,e e x x x x y C C y C C λλλλλλλλ'''=+=+ 代入方程得 1212122211221211221212e e ()(e e )(e e )0.x x x x x x C C C C C C λλλλλλλλλλλλλλ+-++++= 故是方程的解. 3. 在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解： 22(1)(2)2,;x y y x y x xy y C '-=--+= 证：方程 22x xy y C -+=两端对x 求导： 220x y xy yy ''--+= 得 22x y y x y -'= - 代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解. 2(2)()20,ln().xy x y xy yy y y xy '''''-++-== 证：方程ln()y xy =两端对x 求导： 11y y x y '' = + (*) 得 (1)y y x y '= -. (*)式两端对x 再求导得 第六章 定积分的应用 第二节 定积分在几何上的应用 1. 求图中各阴影部分的面积: （1） 16 . (2) 1 (3) 323. (4)32 3 . 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) 463 π-. (2) 3 ln 22-. (3)1 2e e +-. (4)b a - 3. 94 . 4. （1）.1 213 （2）.4 5. (1) πa 2. (2) 238 a π. (3)2 18a π. 6. （1）423π? ? （2） 54 π （3）2cos2ρθρθ==及 16 2 π + 7．求下列已知曲线所围成的图形, 按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积： （1）2 x x y y x =和轴、向所围图形，绕轴及轴。 （2）22y x y 8x,x y ==和绕及轴。 （3）()2 2 x y 516,x +-=绕轴。 （4）xy=1和y=4x 、x=2、y=0，绕。 （5）摆线()()x=a t-sint ,1cos ,y 0x y a t =-=的一拱，绕轴。 2234824131,;(2),;(3)160;(4);(5)5a .52556 πππππππ（） 8．由y =x 3, x =2, y =0所围成的图形, 分别绕x 轴及y 轴旋转, 计算所得两个旋转体的体积. 128 7x V π= . y V =645 π 9．把星形线3/23/23/2a y x =+所围成的图形, 绕x 轴旋转, 计算所得旋转体的体积.332 105 a π 10．（1）证明 由平面图形0≤a ≤x ≤ b , 0≤y ≤f (x )绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为 ?=b a dx x xf V )(2π . 证明略。 （2）利用题（1）结论, 计算曲线y =sin x (0≤x ≤π)和x 轴所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转 体的体积. 2 2π 11．计算底面是半径为R 的圆, 而垂直于底面上一条固定 直径的所有截面都是等边三角形的立体体积. 3 R . 12．计算曲线3 223 y x =上相应于38x ≤≤的一段弧的弧长。2123 13．计算曲线2 ln(1)y x =-上相应于102x ≤≤ 的一段弧的弧长。1ln 32 - 14．求星型线33 cos sin x a t y a t ?=?=? 的全长。6a 习题6-2 1. 求图6-21 中各画斜线部分的面积: (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为 6 1]2132[)(1022310 =-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A , 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1, e ]. 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e . (3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-3, 1]. 所求的面积为 3 32 ]2)3[(1 32=--=?-dx x x A . (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-1, 3]. 所求的面积为 3 32 |)313()32(3132312=-+=-+=--?x x x dx x x A . 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) 22 1 x y =与x 2+y 2=8(两部分都要计算); 解: 3 8 8282)218(220220*********--=--=--=????dx x dx x dx x dx x x A 34238cos 16402+=-=?ππ tdt . 3 4 6)22(122-=-=ππS A . (2)x y 1 =与直线y =x 及x =2; 解: 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A . (3) y =e x , y =e -x 与直线x =1; 解: 所求的面积为 ?-+=-=-1021 )(e e dx e e A x x . (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 a b e dy e A b a y b a y -===?ln ln ln ln 3. 求抛物线y =-x 2 +4x -3及其在点(0, -3)和(3, 0)处的切线所围成的图形的面积. 解: 第六章 常微分方程 1. (1) b,c,d (2) a,c (3) b,d 2. (1) 二阶,线性 (2) 一阶,非线性 (3) 一阶,非线性 (4) 一阶,非线性 3. (1)-(3)均为微分方程02 2 2=+y dx y d ω的解,其中(2) (3)为通解 4. (1)将变量分离,得 dx y dy cos 2 = 两边积分得 c x y +=-sin 1通解为,sin 1 c x y +-=此外,还有解0=y (2)分离变量,得dx x x y y d x x dx dy y y )11 1(1)1(2112 222+-=+++=+或 两边积分,得c x x y ln )1ln(ln )1ln(21 2++-=+ 即(1+ 2y )(1+ x)2=c 1 2 x (3)将变量分离,得 112 2 =-+ -y ydy x xdx 积分得通解2 1x -+)20(12 c c y =- 还有使因子2 1x -?012 =-y 的四个解. x=(±)11 y -, y=(±)11 x - (4)将方程改写为(1+y 2 )e x 2dx-[ ] 0)1( )e y +(1y =+-dy y e x 2dx=dy y y ?? ? ?? ?++- 2y 11 (e 积分得 --=y e e y x arctan 2 12)1ln(212y +-21 (5)令 z=x+y+1, z dx dz sin 1+=分解变量得到dx z dz =+sin 1………………(*) 为了便于积分,用1-sinz 乘上式左端的分子和分母,得到 dz z z z se dz z z dz z z )tan sec (cos sin 1sin 1sin 122 2-=-=-- 将(*)两端积分得到tanz-secz=x+c 即-tan( 2 2z -∏)=x+c,将z 换为原变量,得到原方程的通解 X+c=-tan(2 1 4++-∏y x ) 6.令y=ux,则dy=udx+xdu 代入原方程得x 2( u 2-3)(udx+xdu)+2 x 2udx=0 分离变量得du x dx 1) -u(u u 2 2-=,即得y 3=c(2y -2 x ) 7. 令x y u = ,则原方程化为dx x udu 1=,解得c x u ==ln 212,即,ln 2 222cx x x y +=由定 解条件得4=c ,故所求特解为,ln 4222x x x y += 8. 将方程化为x y x y y + -='2 )(1，令x y u =，得,u u x y +'=代入得 dx x du u 1112 =- 得c x u ln ln arcsin +=，cx x y ln arcsin = 9．化为x e x y dx dy x = +，解得)(1x e c x y +=，代入e y =)1(得0=c 特解x e y x = 10．由公式得1)() (-+=-x ce y x ?? 11.化为 x y x y dx dy ln 2=+为贝努里方程令x y u =,则原方程化为dx dy y dx du 2 --= 代入方程的x u x dx du ln 1-=-用公式求得])(ln 21[2x c x u -=解得1 2])(ln 2 1 [1--=x c x y 另为，0=y 也是原方程的解 12．为贝努里方程令x y u =,则原方程化为322x xu dx du -=+用公式求得122+-=-x ce u x 解得1 12 2 +-= -x ce y x 13． 23x y yx dx dy =-将上式看成以y 为自变量的贝努里方程令x z 1=有3y yz dx dy -=- 22 2 12+-=-y ce z y ，得通解1)2(22 12=+--y ce x y 14．令x y N x y M +-=-=4,32 有 x N y M ??==??1，这是全微分方程0=du 复习题A 一 、判断正误: 1、 若c b b a ?=?且≠0b ，则c a =； ( ? ) 解析 c b b a ?-?=)(c a b -?=0时，不能判定=b 0或c a =．例如i a =，j b =， k c =，有?=?=0a b b c ，但c a ≠． 2、 若c b b a ?=?且≠0b ，则c a =； ( ? ) 解析 此结论不一定成立．例如i a =，j b =，)(j i c +-=，则 k j i b a =?=?，k j i j c b =+-?=?)]([，c b b a ?=?，但c a ≠． 3 、若0=?c a ，则=0a 或=0c ； ( ? ) 解析 两个相互垂直的非零向量点积也为零． 4、 a b b a ?-=?． ( √ ) 解析 这是叉积运算规律中的反交换律． 二、选择题: 1 、 当a 与b 满足（ D ）时，有b a b a +=+； (A)⊥a b ； (B)λ=a b (λ为常数)； (C)a ∥b ； (D)?=a b a b ． 解析 只有当a 与b 方向相同时，才有a +b =a +b ． (A)中a ，b 夹角不为0，(B)，(C)中a ，b 方向可以相同，也可以相反． 2、下列平面方程中，方程( C )过y 轴； (A) 1=++z y x ； (B) 0=++z y x ； (C) 0=+z x ； (D) 1=+z x ． 解析 平面方程0=+++D Cz By Ax 若过y 轴，则0==D B ，故选C ． 3 、在空间直角坐标系中，方程2 2 21y x z --=所表示的曲面是( B )； (A) 椭球面； (B) 椭圆抛物面； (C) 椭圆柱面； (D) 单叶双曲面． 解析 对于曲面2 2 21y x z --=，垂直于z 轴的平面截曲面是椭圆，垂直于x 轴或y 轴的平面截曲面是开口向下的抛物线，根据曲面的截痕法，可以判断曲面是椭圆抛物面． 4、空间曲线???=-+=5, 222z y x z 在xOy 面上的投影方程为( C )； (A)72 2 =+y x ； (B)? ??==+57 22z y x ； (C) ? ? ?==+07 22z y x ；(D)???=-+=0222z y x z 解析 曲线???==+5722z y x 与xOy 平面平行，在xOy 面上的投影方程为???==+0 7 22z y x ． 5 、直线 1 1121-+==-z y x 与平面1=+-z y x 的位置关系是( B )． (A) 垂直； (B) 平行； (C) 夹角为 π4； (D) 夹角为π 4 -． 解析 直线的方向向量s ={2，1，-1}，平面的法向量n ={1，-1，1}，n s ?=2-1-1=0，所以，s ⊥n ，直线与平面平行． 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 习题六 1. 指出下列各微分方程的阶数： (1)一阶 (2)二阶 (3)三阶 (4)一阶 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： (1)xy ' = 2 y , y = 5x 2 ; 解：由 y = 5x 2 得 y ' = 10x 代入方程得 x ?10x = 2 ? 5x 2 = 10x 2 故是方程的解. (2) y ' + y = 0, y = 3sin x - 4 cos x ; 解： y ' = 3cos x + 4 s in x ; y ' = -3sin x + 4 cos x 代入方程得 故是方程的解. -3sin x + 4 cos x + 3sin x - 4 cos x = 0 . (3) y ' - 2 y ' + y = 0, y = x 2e x ; 解： y ' = 2x e x + x 2e x = (2x + x 2 )e x , 代入方程得 2e x ≠ 0 . 故不是方程的解. (4) y ' - (+ ) y ' + y = 0, y ' = (2 + 4x + x 2 )e x y = C e 1x + C e 2 x . 1 2 1 2 1 2 y ' = C e 1x + C e 2 x , y ' = C 2e x 1 + C 2e 2 x 解： 1 1 2 2 1 1 2 2 代入方程得 C 2e 1x + C 2e 2 x - (+ )(C e 1x + C e 2 x ) + (C e 1x + C e 2 x ) = 0. 故是方程的解. 3. 在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解： (1)(x - 2 y ) y ' = 2x - y , x 2 - xy + y 2 = C ; 证：方程 x 2 - xy + y 2 = C 两端对 x 求导： 2x - y - xy ' + 2 yy ' = 0 y ' = 2x - y 得 x - 2 y 代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解. (2)(xy - x ) y ' + xy '2 + yy ' - 2 y ' = 0, y = ln(xy ). 证：方程 y = ln(xy ) 两端对 x 求导： y ' = 1 + 1 y ' x y (*) y ' = 得 y x ( y -1) . (*)式两端对 x 再求导得 复习题A 一、判断正误: 1、 解析 2、 解析 3、 解析两个相互垂直的非零向量点积也为零． 4 ( √ ) 解析这是叉积运算规律中的反交换律． 二、选择题: 1、 D )； 解析 (A)0，(B)，(C) 2、下列平面方程中，方程( C ) 解析C． 3、( B )； (A) 椭球面； (B) 椭圆抛物面； (C) 椭圆柱面； (D) 单叶双曲面． 解析 轴的平面截曲面是开口向下的抛物线，根据曲面的截痕法，可以判断曲面是椭圆抛物面． 4、( C )； 解析 5、( B )． (A) 垂直； (B) 平行； (C) (D) 解析，1，-1}，，-1，1}， 三、填空题: = 0 ； 1、 2 解． 2、 解平面的法向量，-1，2} 3、 ； 解 (-3，1，-2) 和(3，0，5)代入方程， 即 4、 解 直线与平面垂直，则与平面的法向量 ，2，-1} ={0，2，-1}，由于直线过原点，所以直线方程为 ． 5、 解: 投影柱面为 影曲线方程． 四、解答题: 1、 (c) 解: ， 2、 试求：(1) 标表示； (2) (3) (4) 向量． 解:(1) ； (2) (3) 在 三个坐标轴上的方向余弦分别为 3、 . 解： 4、 解： 5、求满足下列条件的平面方程： (1) (2) 解(1)解1： 解2： 量为 解3： 再根据点法式公式写出平 面方程也可． 于是所求平面方程为 （2） 时，所求平面方程为 又，即 ．这样它与已知平面 所 ，则有 6、 求该平面方程； 解法1： ，得 ，则（0， 4）为平面上的点． 相交得到直线的两平面方程的法向量分别为 ，5，1}，0，-1} ， 2，-5}，由于所求平面经过直线，故平面的法向量与直线的方向向量垂直，即 ，2，-5} ， ，解方程组 所求平面方程为 解法2：用平面束（略） 7、 直线方程. 解法1 从而根据点向 高等数学课后习题答案 第六章 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 习题62 1 求图621 中各画斜线部分的面积 (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为 61 ]2132[)(1022310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为 1|)()(1010=-=-=?x x e ex dx e e A 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1 e ] 所求的面积为 1)1(|ln ln 111=--=-==??e e dy y y ydy A e e e (3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[3 1] 所求的面积为 332]2)3[(132=--=?-dx x x A (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[1 3] 所求的面积为 332 |)313()32(3132312=-+=-+=--?x x x dx x x A 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积 (1) 221x y =与x 2y 28(两部分都要计算) 解 3 88282)218(220220*********--=--=--=????dx x dx x dx x dx x x A 34 238cos 16402+=-=?ππtdt 346)22(122-=-=ππS A (2)x y 1=与直线y x 及x 2 解 所求的面积为 ?-=-=2 12ln 23)1(dx x x A (3) y e x y e x 与直线x 1 解 所求的面积为 习题6-1 1． 利用定积分的几何意义求定积分： (1) 1 2xdx ? ； (2) 220 a a x dx -? (0)a >． 解 (1) 根据定然积分的几何意义知, 10 2xdx ?表示由直线2,1y x x ==及x 轴所围的三角 形的面积,而此三角形面积为1,所以 1 21xdx =?． (2) 根据定积分的几何意义知, 220 a a x dx -? 表示由曲线22,0,y a x x x a =-==及 x 轴所围成的14圆的面积,而此14圆面积为214πa ,所以22201 4 a a x dx a -=?π. 2． 根据定积分的性质，比较积分值的大小： (1) 1 2 x dx ? 与1 3 x dx ?； (2) 1 x e dx ?与1 (1)x dx +?． 解 (1) ∵当[0,1]x ∈时,2 3 2 (1)0x x x x -=-≥,即23 x x ≥, 又2 x 3x ,所以1 1 230 x dx x dx >??． (2) 令()1,()1x x f x e x f x e '=--=-,因01x ≤≤,所以()0f x '>, 从而()(0)0f x f ≥=,说明1x e x ≥+，所以1 1 0(1)x e dx x dx >+? ?. 3． 估计下列各积分值的范围： (1) 4 2 1 (1)x dx +? ； (2) 33 arctan xdx ? ； (3) 2 a x a e dx --? （0a >)； (4) 2 2 x x e dx -? ． 解 (1) 在区间[]1,4上，函数2 ()1f x x =+是增函数，故在[1,4]上的最大值(4)17M f ==,最小值(1)2m f ==,所以4 21 2(41)(1)17(41)d x x -≤ +≤-? , 即 42 1 6(1)51x dx ≤+≤?． (2) 令()arctan f x x x =,则2 ()arctan 1x f x x x '=+ +,当[3]3 x ∈时,()0f x '>,从而()f x 在[3]3上是增函数,从而f (x )在3]3上的最大值(3)3πM f ==,最小值(363 πm f ==所以 33 23arctan 3)9363333xdx =≤≤=?ππππ 第五章 向量代数与空间解析几何 作业7 向量代数 1．填空题 （1）已知两点)1,2,4(1M 和)2,0,3(2M ，则向量21M M 的模是 2 ,方向余 弦是11 ,,222 - - ，方向角是23,,343πππ。 （2）一向量的终点在)7,1,2(-，它在x 轴、y 轴、z 轴上的投影依次为4,-4和7,则这个向量的起点坐标为()2,3,0-。 （3）向量→ a 与向量}2,1,2{-平行，2=→a ，则→ a =}2,1,2{3 2-± 。 （4）设}2,2,1{-=→ a ,}2,1,2{-=→ b ,则=+?-→→ → → )()(b a b a 0，=+?-→ →→→)()(b a b a }6,12,12{-。 （5）设一质点在力→ → → → ++-=k j i F 432的作用下沿直线运动,从点)3,2,1(1-M 运动到点)4,1,3(2M ,此力所做的功是 21 。 2．设}0,2,1{-=AB ,}1,3,0{=BC ,}8,6,5{-=CD ,四边形ABCD 对角线AC 的中点为M ,BD 的中点为N ,求向量MN 。 解：BD AB CA MN 2121+ += = )(2 1)(2 1CD BC AB BA CB ++ ++ ={3,2,-4 。 3．设向量→ →→c b a ,,两两垂直,且,1=→ a ,2=→ b ,3=→ c 计算→ → → ++c b a 。 解：2 → →→++c b a =)()(c b a c b a ++?++=14 → →→++c b a =14。 4．已知π2,1,(,)3 a b a b ∧→→ →→ === ,问系数λ为何值时,向量→→+b a λ与→ →+-b a 3垂直？ 解：)(→ → +b a λ)3(→ → +-?b a =02=+-λ，2=λ。 5．设→→→→--=k j i a 23,→→→→-+=k j i b 2,求:(1) b j a Pr ; (2) ),cos(∧ → →b a 。 解：14 3Pr = = b j a ， ),c o s (∧→ → b a 21 23= =。 6．已知三点)1,2,1(-M ,)1,3,2(-A 和)0,3,1(B ,计算:(1)以MA ,MB 为邻边的平行四 边形的面积；(2)求同时垂直于MA ,MB 的单位向量→ 0n 。 解：3}1,1,1{= -==S ，→ 0n }1,1,1{3 3-± =。 高等数学II 练习题 第六章 定积分 ________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______ 习题6.4 反常积分 一．选择题 1．下列反常积分发散的有 （ C ） （A ） 20 1dx x +∞+? （B ）10? （C ）ln e x dx x +∞? （D ）0x e dx +∞-? 2．下列反常积分收敛的有 （ D ） （A ） 1 dx x ? （B ）120dx x ? （C ）10ln x dx x ? （D ）10? 二．填空题 1．若反常积分 2(ln )k dx x x +∞ ?收敛， k 。 2．若2 11A dx x +∞-∞=+?，则A = 。 三．判定下列各反常积分的收敛性，如果收敛，计算反常积分的值 1．41dx x +∞ ? 2．0ax e dx +∞-? （0>a ） 3 ． 2 1 ? 311133x -+∞=-=0 0111d(-)ax ax e ax e a a a +∞--+∞ =-=-= ?22 11 2310 001,d 2d 1021(1)182d 2(1)d 2() 33 t x t x t t x t x t t t t t t t t t ==+=→→==+=?=+=+= ?? 解：令当时，，当时，原式1 >1 π 4． ()f x dx +∞ -∞ ? ，其中21 ,012,01()0,1 x x x f x x ?-∞<≤?+?? <≤=???>?? 5．求c 的值，使2lim ( )c x t x x c te dt x c -∞→+∞ +=-?。 0120 1 010 1()d d 2d 0d 1arctan 20 22f x x x x x x x π+∞ +∞ -∞ -∞-∞=+ ++=++=+???? 222222222222lim ()lim (1)lim (1)1111d d (d )()22221 111()1,24242x c c c x x c c x x x c c c t t t c t c t c c x c c c e x c x c x c te t t e te e t ce e c e c c -?+→+∞→+∞→+∞-∞-∞-∞-∞-∞+=+=+=---==-=-=-∴-=??? Q 解：5即= 第六章 微分方程 习题6.1 3．用微分方程表示下列命题. (1)曲线在点（x ，y ）处的切线的斜率等于该点的横坐标与纵坐标之比的相反数. (2)某大洲的人口总量Q (t )的增长速度与当时的人口总数成比例. 解: (1) 根据导数的几何意义, y = f (x ) 在点（x ，y ）处的切线的斜率可用导数y = f (x )来表示, 由题目的条件知 y =y x - , 这就是所求的微分方程. (2) 人口总量Q (t )的增长速度可用导数Q (x ) 来表示, 设题目所说的比例系数为k >0，就得到所求的微分方程: Q (t ) = kQ (t ) 或简写成Q = kQ. 4. 已知曲线族y = C 1cos2x +C 2sin2x ，求其中满足条件y (0) = 2，y (0) = 0的曲线. 解: 对y = C 1cos2x +C 2sin2x 求导得到y = -2C 1sin2x +2C 2cos2x. 把初始条件y (0) =2，y (0) = 0分别代入这两个方程得: 2 = C 1, 0 = 2C 2, 即C 1 = 2, C 2 = 0. 把它们代入曲线族方程得到 y = 2cos2x , 这就是所求的曲线的方程. 习题6.2 3．放射性物质镭的衰变速度与它现存量Q 成正比，比例系数k = - 0.00433，求①在时刻t （以年为单位）镭的存量与时间t 的函数关系，②经过多少年后，镭的质量只剩下原始量的一半？ 解: 设镭的存量与时间t 的函数为Q = Q (t ), 那么衰变速度可用导数Q (x ) 来表示, 根据题目条件得到微分方程: Q = - 0.00433Q, 解这个方程得出镭的存量与时间t 的函数为Q = Q 0e -0.00433t . 假定经过T 年后，镭的质量只剩下原始量的一半, 即Q (T ) = 0.5 Q 0. 代入Q (t )中得到 0.5 Q 0 = Q 0e -0.00433T , 由此可求出T = 00433 .02 ln ≈160(年). 4．在某种化学反应中，物质A 转变成物质B 的速度与物质A 的瞬时存量的平方成正比. 如果物质A 的初始质量为60克，1小时后物质A 的瞬时存量减少到10克，求2小时后物质A 的瞬时存量. 解: 设物质A 在时刻t 的存量为y = y (t ), 那么由题目条件得到微分方程 y (t ) = k (y (t ))2, 或y = ky 2, 其中k 是比例系数, 且y (0)=60, y (1)=10. 解这个方程得到通解 y (t ) = C kt +-1 , 把t = 0, y =60代入通解表达式, 可求出C =1/60, 即得出特解y (t ) =60 11+ -kt = 1 6060 +-kt ; 第六章 线性空间 1.设,N M ?证明：,M N M M N N ==I U 。 证 任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M I ∈α即证M N M ∈I 。又因 ,M N M ?I 故M N M =I 。再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论 哪 一种情形，都有,N ∈α此即。但,N M N Y ?所以M N N =U 。 2.证明)()()(L M N M L N M I Y I Y I =，)()()(L M N M L N M Y I Y I Y =。 证 ),(L N M x Y I ∈?则.L N x M x Y ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x I I ∈∈或所以)()(L M N M x I Y I ∈，由此得)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。反之，若 )()(L M N M x I Y I ∈，则.L M x N M x I I ∈∈或 在前一情形，,,N x M x ∈∈因此 .L N x Y ∈故得),(L N M x Y I ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N L ∈U ，得 ),(L N M x Y I ∈故),()()(L N M L M N M Y I I Y I ? 于是)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。 若x M N L M N L ∈∈∈U I I （），则x ，x 。 在前一情形X x M N ∈U ， X M L ∈U 且，x M N ∈U 因而（）I U （M L ） 。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?U U U I U U I U U U U I U I U 在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以 （）（M L ）（N L ）故 （L ）=（）（M L ）即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 2） 设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量 乘法； 3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算： 2121211211 12 b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，） （）k 。（a ，）=（ka ，kb + 第六章 定积分应用 复习题答案 一、单项选择题： 1、设函数()f x 在[],a b 上连续，则下列等式中正确的是（ C ） A. () ()()b a f x dx f x ' =? ； B. () ()()f x dx f x C ' =+? ； C. ()() ()x a f t f x ' =? ； D. ()()f x dx f x '=?。 2、 所围成的图形面积 和直线由曲线2,1)(=-==x x e x f x =? -dx x f 2 1 )( ( C ) A 、e -3； B 、e +3 ； C 、12--e e ； D 、12-+e e 。 二、填空题： 1、已知生产某种产品的边际成本为2()31830C x x x '=-+,则当产量x 由 12单位减少到3单位时，总成本减少 756 单位 ； 2、若某商品的边际成本为()Q e Q C 15.05.7=',且固定成本为80，则总成本 函数为 x e 15.05030+ ； 3、某产品的边际收入()8R x x '=-（万元/百台），则产量由1百台增加到5百台时 总收益的增加了 20 万元； 三、应用题： ； ，，x 元成本增加了 件时到件增加销售量从件元函数为已知某产品的边际成本__________ 7725____205)/(103.42 -; 2 92 9|)3221()2()1,1()4,2(,2 ; 2.12 13 2 2 1 22 2 形面积为 曲线与直线所围成的图答得交点解联立方程组 解所围成的图形的面积与直线求由曲线：x x x dx x x S 、x y x y ：x y x y =-+=-+= ∴-?? ?+==+==--? 《高等数学》单元自测题 第六章 常微分方程 专业 班级 姓名 学号 一、填空题： 1、微分方程212y x y -='的通解为 C x y +=2arcsin 。 2、微分方程y y x y ln sin ='满足初始条件e y x ==2π的特解为2tan x e y =。 3、微分方程0222=+-y dx dy dx y d 的通解为x x xe C e C y 21+=。 4、已知x y =1，x y 12=是微分方程0222=-'+''y y x y x 的解，则此方程的通解为 x C x C y 121+=。 二、选择题： 1、下列微分方程中，通解为)2sin 2cos (21x C x C e y x +=的微分方程是（ B ）。 A.032=-'-''y y y ； B.052=+'-''y y y ； C.02=-'+''y y y ； D. 0136=+'+''y y y . 2、微分方程x xe y y y 265=+'-''的特解形式（其中a ，b 为常数）为( A )。 A. ()x xe b ax y 2*+=； B. ()x e b ax y 2*+=； C. b e ax y x +=22* ；D. b ae y x +=2*. 3、微分方程1+=-''x e y y 的特解形式（其中a ，b 为常数）为（ B ） A. b e a x +； B.b xe a x +； C. x b e a x +； D.x b xe a x +. 三、求解下列微分方程的通解： 1、y dx dy x +=?1tan ； 解：根据可分离变量的方法，可解得方程的通解为 1sin -=x C y 。 2、x y y y sin 1cos +='； 解：根据可分离变量的方法，可解得方程的通解为 ()C x y +=+2sin 1ln . 习 题 6—4 1、一动点移动时，与)0,0,4(A 及xOy 面等距离，求该动点的轨迹方程. 解：设在给定的坐标系下，动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ，则 (,,)M x y z C MA z u u u r ∈? = 亦即 z z y x =++-222)4( 0)4(22=+-∴y x 从而所求的轨迹方程为0)4(22=+-y x . 2、 求下列各球面的方程： （1）圆心)3,1,2(-，半径为6=R ； （2）圆心在原点，且经过点)3,2,6(-； （3）一条直径的两端点是)3,1,4()5,32(--与；（4）通过原点与)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(- 解：（1）所求的球面方程为：36)3()1()2(2 2 2 =-+++-z y x （2）由已知，半径73)2(6222=+-+= R ，所以球面方程为49222=++z y x （3）由已知，球面的球心坐标12 3 5,1213,3242=-=-=+-==+=c b a ， 球的半径21)35()31()24(2 1 222=++++-= R ，所以球面方程为： 21)1()1()3(222=-+++-z y x （4）设所求的球面方程为：02222 22=++++++l kz hy gx z y x 因该球面经过点)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(),0,0,0(-，所以???????=-=++=+=08160621008160k h g g l 解之得???? ???=-=-==2210k g h l ∴所求的球面方程为0424222=+--++z y x z y x . 3、求下列旋转曲面的方程： （1）将yOz 坐标面上的抛物线22y z =绕z 旋转一周所生成的旋转曲面； 解：222x y z +=(旋转抛物面) . . 习题62 1 求图621 中各画斜线部分的面积 (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为 6 1 ]2132[)(1022310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为 ( 1 |)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1 e ] 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e (3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[3 1] 所求的面积为 3 32 ]2)3[(1 32= --=?-dx x x A (4) 》 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[ 1 3] 所求的面积为 3 32 |)313()32(3132312=-+=-+=--?x x x dx x x A 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积 (1) 22 1 x y =与x 2y 28(两部分都要计算) 解 3 8 8282)218(220220*********--=--=--=????dx x dx x dx x dx x x A 34 238cos 16402+=-=?ππ tdt 3 4 6)22(122- =-=ππS A — (2)x y 1 =与直线y x 及x 2 解 所求的面积为 ?-=-=2 12ln 2 3)1(dx x x A (3) y e x y e x 与直线x 1 解 所求的面积为 ?-+=-=-102 1 )(e e dx e e A x x \ (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 a b e dy e A b a y b a y -===?ln ln ln ln 3 求抛物线y x 24x 3及其在点(0 3)和(3 0)处的切线所围成的图形的面积 解高数第六章总习题答案
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