一、选择题 1.函数y =ln
1
|2x -3|
的图象为( )
答案 A
解析 易知2x -3≠0,即x ≠32,排除C 、D 项.当x >32时,函数为减函数,当x <3
2时,函数为增函数,
所以选A.
2.下列函数的图像中,经过平移或翻折后不能与函数y =log 2x 的图象重合的函数是( ) A .y =2x B .y =log 1
2x
C .y =4x
2
D .y =log 21
x
+1
答案 C
3.若函数f (x )在(4,+∞)上为减函数,且对任意的x ∈R ,有f (4+x )=f (4-x ),则( ) A .f (2)>f (3) B .f (2)>f (5) C .f (3)>f (5) D .f (3)>f (6) 答案 D
解析 依题意,由f (x +4)=f (4-x )知,f (x )的对称轴为x =4,所以f (2)=f (6),f (3)=f (5),由于f (x )在(4,+∞)上是减函数,所以f (3)=f (5)>f (6),选D.
4.(2009·安徽)设a
答案 C
解析 由解析式可知,当x >b 时,y >0;当x ≤b 时,y ≤0,故选C.
5.已知下图①的图象对应的函数为y =f (x ),则图②的图象对应的函数在下列给出的四式中,只可能是( )
A .y =f (|x |)
B .y =|f (x )|
C .y =f (-|x |)
D .y =-f (|x |)
答案 C
6.(2010·江南十校联考)函数f (x )=1
1+|x |
的图象是( )
答案 C
解析 本题通过函数图象考查函数的性质.f (x )=1
1+|x |=
???
1
1+x (x ≥0)1
1-x (x <0)
.当x ≥0时,x 增大,1
1+x
减
小,所以f (x )当x ≥0时为减函数;当x <0时,x 增大,1
1-x 增大,所以f (x )当x <0时为增函数.本题也可以
根据f (-x )=11+|-x |=1
1+|x |
=f (x )得f (x )为偶函数,图象关于y 轴对称,选C.
7.已知函数f (x )的定义域为[a ,b ],函数y =f (x )的图象如下图所示,则函数f (|x |)的图象大致是( )
答案 B
8.若对任意x ∈R ,不等式|x |≥ax 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A .a <-1 B .|a |≤1 C .|a |<1 D .a ≥1
答案 B
9.f (x )定义域为R ,对任意x ∈R ,满足f (x )=f (4-x )且当x ∈[ 2,+∞)时,f (x )为减函数,则( ) A .f (0) 解析 ∵f (x )=f (4-x ),∴f (x +2)=f (2-x ). ∴f (x )的图像关于直线x =2对称 又x ∈[2,+∞)时,f (x )为减函数 ∴x ∈(-∞,2]时,f (x )为增函数 而f (5)=f (-1),∴f (5) 10.若函数y =(12)|1- x |+m 的图像与x 轴有公共点,则m 的取值范围是________. 答案 -1≤m <0 解析 首先作出y =(12 )|1- x |的图像(如右图所示), 欲使y =(12 )|1- x |+m 的图像与x 轴有交点,则-1≤m <0. 11.若直线y =x +m 和曲线y =1-x 2有两个不同的交点,则m 的取值范围是________. 答案 1≤m < 2 解析 曲线y =1-x 2表示x 2+y 2=1的上半圆(包括端点),如右图. 要使y =x +m 与曲线y =1-x 2有两个不同的交点,则直线只能在l 1与l 2之间变动,故此1≤m < 2. 12.设函数f (x )、g (x )的定义域分别为F 、G ,且F G .若对任意的x ∈F ,都有g (x )=f (x ),则称g (x )为f (x )在G 上的一个“延拓函数”.已知函数f (x )=(1 2)x (x ≤0),若g (x )为f (x )在R 上的一个延拓函数,且 g (x )是偶函数,则函数g (x )的解析式为________. 答案 g (x )=2|x | 解析 画出函数f (x )=(1 2)x (x ≤0)的图象关于y 轴对称的这部分图象,即可得到偶函数g (x )的图象,由 图可知:函数g (x )的解析式为g (x )=2|x | 三、解答题 13.作图:(1)y =a |x - 1|,(2)y =log |(x -1)| a ,(3)y =|log a (x -1)|(a >1). 答案 解析 (1)的变换是:y =a x →y =a |x |→y =a |x - 1|,而不是:y =a x →y =a x - 1→y =a |x - 1|,这需要理解好y = f (x )→y =f (|x |)的交换.(2)题同(1),(3)与(2)是不同的变换,注意区别. 14.已知函数f (x )=|x 2-4x +3| (1)求函数f (x )的单调区间,并指出其增减性; (2)若关于x 的方程f (x )-a =x 至少有三个不相等的实数根,求实数a 的取值范围. 解析 f (x )=? ???? (x -2)2 -1,x ∈(-∞,1]∪[3,+∞) -(x -2)2 +1,x ∈(1,3)作出图象如图所示. (1)递增区间为[1,2],[3,+∞), 递减区间为(-∞,1],[2,3]. (2)原方程变形为|x 2-4x +3|=x +a ,于是,设y =x +a ,在同一坐标系下再作出y =x +a 的图象.如图. 则当直线y =x +a 过点(1,0)时a =-1; 当直线y =x +a 与抛物线y =-x 2 +4x -3相切时,由????? y =x +a y =-x 2 +4x -3 ?x 2-3x +a +3=0. 由Δ=9-4(3+a )=0. 得a =-3 4 . 由图象知当a ∈[-1,-3 4]时方程至少有三个不等实根 1.函数f (x )= +a 的零点为1,则实数a 的值为( ) A .-2 B .- C . D .2 答案:B 解析:由已知得f(1)=0,即+a=0,解得a=-.故选B. 2.已知函数f(x)的图像是连续不断的,有如下对应值表: 那么函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有() A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 答案:C 解析:由题意知f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,故函数f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)上各至少有1个零点,故在[1,6]上至少有3个零点. 3.(2015浙江温州十校联考)设f(x)=ln x+x-2,则函数f(x)的零点所在的区间为() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 答案:B 解析:(方法一)∵f(1)=ln 1+1-2=-1<0,f(2)=ln 2>0, ∴f(1)·f(2)<0. ∵函数f(x)=ln x+x-2的图像是连续的,且f(x)在(0,+∞)上递增, ∴函数f(x)的零点所在的区间是(1,2). (方法二)函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)=ln x,h(x)=-x+2图像交点的横坐标所在的范围,如图所示, 可知f(x)的零点所在的区间为(1,2). 4.函数f(x)=e x+3x,则方程+3x=0实数解的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 答案:B 解析:由已知得f'(x)=+3>0,所以f(x)在R上单调递增,又f(-1)=e-1-3<0,f(1)=e+3>0,因此,f(x)的零点个数是1,故方程e x+3x=0有一个实数解. 5.(2015山东莱芜一模)已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为() A.,0 B.-2,0 C.D.0 答案:D 解析:当x≤1时,由f(x)=2x-1=0,解得x=0;当x>1时,由f(x)=1+log2x=0,解得x=,又因为x>1,所以此时方程无解.综上,函数f(x)的零点只有0. 6.(2015河北质检)若f(x)是奇函数,且x0是y=f(x)+e x的一个零点,则-x0一定是下列哪个函数的零点() A.y=f(-x)e x-1 B.y=f(x)e-x+1 C.y=e x f(x)-1 D.y=e x f(x)+1 答案:C 解析:由已知可得f(x 0)=-,则f(x0)=-1,f(-x0)=1,故-x0一定是y=e x f(x)-1的零点. 7.(2015皖西七校联考)已知函数f(x)=e|x|+|x|,若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,则实数k的取值范围是() A.(0,1) B.(1,+∞) C.(-1,0) D.(-∞,-1) 答案:B 解析:方程f(x)=k化为方程e|x|=k-|x|,令y=e|x|,y=k-|x|,如图,y=k-|x|表示斜率为1或-1的折线,折线与曲线y=e|x|恰好有一个公共点时,有k=1,若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,则实数k的取值范围是(1,+∞).故选B. 8.偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且在x∈[0,1]时,f(x)=x,则关于x的方程f(x)=在x∈[0,4]上解的个数是 () A.1 B.2 C.3 D.4 答案:D 解析:由f(x-1)=f(x+1),可知T=2. ∵x∈[0,1]时,f(x)=x,又∵f(x)是偶函数, ∴可得图像如图所示. ∴f(x)=在x∈[0,4]上解的个数是4.故选D. 9.(2015南宁模拟)已知函数f(x)=ln x+3x-8的零点x0∈[a,b],且b-a=1,a,b∈N+,则a+b=. 答案:5 解析:∵f(2)=ln 2+6-8=ln 2-2<0, f(3)=ln 3+9-8=ln 3+1>0, 且函数f(x)=ln x+3x-8在(0,+∞)上为增函数, ∴x0∈[2,3],即a=2,b=3. ∴a+b=5. 10.(2015北京西城质检)设函数f(x)=则f[f(-1)]=;若函数g(x)=f(x)-k存在两个零点,则实数k的取值范围是. 答案:-2(0,1] 解析:f[f(-1)]=f=log2=-2; 令g(x)=0,得f(x)=k,等价于y=f(x)的图像和直线y=k有两个不同的交点,在平面直角坐标系中画出y=f(x)的图像,如图所示,要使得两个函数图像有2个不同交点,需0 11.(2015安徽宿州模拟)已知函数f(x)=ln x-x+2有一个零点所在的区间为(k,k+1)(k∈N+),则k的值 为. 答案:3 解析:由题意知,f'(x)=-1,在区间(1,+∞)上f(x)<0, 则f(x)在(1,+∞)上是减函数, 因为f(3)=ln 3-1>0,f(4)=ln 4-2<0,所以该函数的零点在区间(3,4)内,所以k=3. 12.已知函数f(x)=(k∈R),若函数y=|f(x)|+k有三个零点,则实数k的取值范围是() A.k≤2 B.-1 C.-2≤k<-1 D.k≤-2 答案:D 解析:由y=|f(x)|+k=0得|f(x)|=-k≥0,所以k≤0,作出函数y=|f(x)|的图像, 要使y=-k与函数y=|f(x)|有三个交点,则有-k≥2,即k≤-2,选D. 13.(2015广州测试)已知e是自然对数的底数,函数f(x)=e x+x-2的零点为a,函数g(x)=ln x+x-2的零点为b,则下列不等式中成立的是() A.f(a) B.f(a) C.f(1) D.f(b) 答案:A 解析:由题意,知f'(x)=e x+1>0恒成立,所以函数f(x)在R上是递增的,而f(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2=e-1>0,所以函数f(x)的零点a∈(0,1); 由题意,知g'(x)=+1>0,所以函数g(x)在(0,+∞)上是递增的,又g(1)=ln 1+1-2=-1<0,g(2)=ln 2+2-2=ln 2>0,所以函数g(x)的零点b∈(1,2). 综上,可得0 14.若定义在R上的函数y=f(x)满足f(x+1)=-f(x),且当x∈[-1,1]时,f(x)=x2,函数g(x)=则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]内的零点的个数为. 答案:8 解析:∵f(x+1)=-f(x), ∴f(x+2)=f(x), 又x∈[-1,1]时,f(x)=x2,∴f(x)的图像如图所示,在同一坐标系中作出函数g(x)的图像,可见y=f(x)(-5≤x≤5)与y=2x(x≤1)有5个交点,y=f(x)(-5≤x≤5)与y=log3(x-1)(x>1)的图像有3个交点, ∴共有8个交点. 15.已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,求m的取值范围,并求出该零点. 解:∵f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点, 即方程(2x)2+m·2x+1=0仅有一个实根. 设2x=t(t>0),则t2+mt+1=0. 当Δ=0,即m2-4=0时,m=±2. 当m=-2时,t=1;当m=2时,t=-1(不合题意,舍去), 所以2x=1,x=0符合题意. 当Δ>0,即m>2或m<-2时, t2+mt+1=0有两正根或两负根, 即f(x)有两个零点或没有零点. 故这种情况不符合题意. 综上可知,当m=-2时,f(x)有唯一零点,该零点为x=0. 高等数学公式 导数公式: 基本积分表: 三角函数的有理式积分: 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=, , , a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点. (2)几个等价关系 方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x)有零点. (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根. 2.二分法 对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.3.二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象与零点的关系 2 (x0),(x0) (x0)无交点 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.(×) (2)函数y =f (x )在区间(a ,b )内有零点(函数图象连续不断),则f (a )·f (b )<0.( × ) (3)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值.( × ) (4)二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)在b 2-4ac <0时没有零点.( √ ) (5)若函数f (x )在(a ,b )上单调且f (a )·f (b )<0,则函数f (x )在[a ,b ]上有且只有一个零点.( √ ) 1.(教材改编)函数f (x )=e x +3x 的零点个数是( ) A .0 B .1 C .2 D .3 答案 B 解析 ∵f (-1)=1 e -3<0, f (0)=1>0, ∴f (x )在(-1,0)内有零点, 又f (x )为增函数,∴函数f (x )有且只有一个零点. 2.(2015·安徽)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( ) A .y =cos x B .y =sin x C .y =ln x D .y =x 2+1 答案 A 解析 由于y =sin x 是奇函数;y =ln x 是非奇非偶函数;y =x 2+1是偶函数但没有零点;只有y =cos x 是偶函数又有零点. 3.函数f (x )=2x |log 0.5x |-1的零点个数为( ) A .1 B .2 C .3 D .4 答案 B 解析 由f (x )=0得|log 0.5x |=????12x , 作出函数y =|log 0.5x |和y =????12x 的图象, 由图象知两函数图象有2个交点, 故函数f (x )有2个零点. 4.(2015·天津)已知函数f (x )=? ???? 2-|x |,x ≤2,(x -2)2 ,x >2,函数g (x )=3-f (2-x ),则函数y =f (x )-g (x )的零点个数为( ) A .2 B .3 C .4 D .5 答案 A 解析 当x >2时,g (x )=x -1,f (x )=(x -2)2; 函数的图像及函数与方程 一、温故 对称变换:①奇函数的图象关于______对称;偶函数的图象关于____轴对称; ②f (x )与f (-x )的图象关于____轴对称;③f (x )与-f (x )的图象关于____轴对称; ④f (x )与-f (-x )的图象关于______对称;⑤f (x )与f (2a -x )的图象关于直线______对称; ⑥|f (x )|的图象先保留f (x )原来在x 轴______的图象,作出x 轴下方的图象关于x 轴的对称图形,然后擦去x 轴下方的图象得到; ⑦f (|x |)的图象先保留f (x )在y 轴______的图象,擦去y 轴左方的图象,然后作出y 轴右方的图象关于y 轴的对称图形得到. 如果函数y =f (x )在区间[a ,b ]上的图象是一条不间断的曲线,且____________,那么函数y =f (x )在区间________上有零点. 二、例题讲解 考点一 作图 例1 (1)作函数y =|x -x 2|的图象(2)作函数y =x 2-|x |的图象; (3)作函数y =1|x |-1 的图象.(4)作函数x y --=524的图像 (5)作函数2log 2-=x y 的图像 考点二 识图 例2 (1)函数2log 2x y =|的图象大致是________(填入正确的序号). (2)函数f (x )的部分图象如图所示,则函数f (x )的解析式是下列四者之一,正确的序号为________. ①f (x )=x +sin x ;②f (x )=cos x x ;③f (x )=x cos x ;④f (x )=x ·(x -π2)·(x -3π2 ). 变式 已知y =f (x )的图象如图所示,则y =f (1-x )的图象为________(填序号). 例3.已知f (x )=????13x ,若f (x )的图象关于直线x =1对称的图象对应的函数为g (x ),则g (x )的 表达式为________. 例4. 函数f (x )=????? 3x ,x ≤1,log 13x ,x >1,则y =f (x +1)的图象大致是________. 一次函数 (一)函数 1、确定函数定义域的方法: (1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数; (2)关系式含有分式时,分式的分母不等于零; (3)关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零; (4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零; (5)实际问题中,函数定义域还要和实际情况相符合,使之有意义。 (二)一次函数 1、一次函数的定义 一般地,形如y kx b =+(k ,b 是常数,且0k ≠)的函数,叫做一次函数,其中x 是自变量。当0b =时,一次函数y kx =,又叫做正比例函数。 ⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+,要判断一个函数是否是一次函数,就是判断是否能化成以上形式. ⑵当0b =,0k ≠时,y kx =仍是一次函数. ⑶当0b =,0k =时,它不是一次函数. ⑷正比例函数是一次函数的特例,一次函数包括正比例函数. 2、正比例函数及性质 一般地,形如y=kx(k 是常数,k≠0)的函数叫做正比例函数,其中k 叫做比例系数. 注:正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为1 ③ b 取零 当k>0时,直线y=kx 经过三、一象限,从左向右上升,即随x 的增大y 也增大;当k<0时,?直线y=kx 经过二、四象限,从左向右下降,即随x 增大y 反而减小. (1) 解析式:y=kx (k 是常数,k ≠0) (2) 必过点:(0,0)、(1,k ) (3) 走向:k>0时,图像经过一、三象限;k<0时,?图像经过二、四象限 (4) 增减性:k>0,y 随x 的增大而增大;k<0,y 随x 增大而减小 (5) 倾斜度:|k|越大,越接近y 轴;|k|越小,越接近x 轴 3、一次函数及性质 一般地,形如y=kx +b(k,b 是常数,k≠0),那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时,y=kx +b 即y=kx ,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 注:一次函数一般形式 y=kx+b (k 不为零) ① k 不为零 ②x 指数为1 ③ b 取任意实数 一次函数y=kx+b 的图象是经过(0,b )和(- k b ,0)两点的一条直线,我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到.(当b>0时,向上平移;当b<0时,向下平移) (1)解析式:y=kx+b(k 、b 是常数,k ≠0) (2)必过点:(0,b )和(- k b ,0) (3)走向: k>0,图象经过第一、三象限;k<0,图象经过第二、四象限 b>0,图象经过第一、二象限;b<0,图象经过第三、四象限 ????>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ??? ?<>00 b k 直线经过第一、三、四象限 ????><00b k 直线经过第一、二、四象限 ?? ??<<00 b k 直线经过第二、三、四象限 (4)增减性: k>0,y 随x 的增大而增大;k<0,y 随x 增大而减小. 常见函数性质汇总及简单评议对称变换 常数函数 f (x )=b (b ∈R) 1)、y=a 和 x=a 的图像和走势 2)、图象及其性质:函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合(垂直于y 轴)的直线 一次函数 f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R) 1)、两种常用的一次函数形式:斜截式—— 点斜式—— 2)、对斜截式而言,k 、b 的正负在直角坐标系中对应的图像走势: 3)、|k|越大,图象越陡;|k|越小,图象越平缓 4)、定 义 域:R 值域:R 单调性:当k>0时 ;当k<0时 奇 偶 性:当b =0时,函数f (x )为奇函数;当b ≠0时,函数f (x )没有奇偶性; 例题:y=f (x ); y=g (x )都有反函数,且f (x-1)和g -1 (x)函数的图像关于y=x 对称,若g (5)=2016,求)= 周 期 性:无 5)、一次函数与其它函数之间的练习 1、常用解题方法: b 反比例函数 f (x )= x k (k ≠0,k 值不相等永不相交;k 越大,离坐标轴越远) 图象及其性质:永不相交,渐趋平行;当k>0时,函数f (x )的图象分别在第一、第三 象限;当k<0时,函数f (x )的图象分别在第二、第四象限; 双曲线型曲线,x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线; 既是中心对成图形也是轴对称图形 定 义 域:),0()0,(+∞-∞ 值 域:),0()0,(+∞-∞ 单 调 性:当k> 0时;当k< 0时 周 期 性:无 奇 偶 性:奇函数 反 函 数:原函数本身 补充:1、反比例函数的性质 2、与曲线函数的联合运用(常考查有无交点、交点围城图行的面积)——入手点常有两个——⑴直接带入,利用二次函数判别式计算未知数的取值;⑵利用斜率,数形结合判断未知数取值(计算面积基本方法也基于此) 3、反函数变形(如右图) 1)、y=1/(x-2)和y=1/x-2的图像移动比较 2)、y=1/(-x)和y=-(1/x )图像移动比较 3)、f (x )= d cx b ax ++ (c ≠0且 d ≠0)(补充一下分离常数) (对比标准反比例函数,总结各项内容) 二次函数 一般式:)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 顶点式:)0()()(2 ≠+-=a h k x a x f 两根式:)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f 图象及其性质:①图形为抛物线,对称轴为 ,顶点坐标为 ②当0>a 时,开口向上,有最低点 当00时,函数图象与x 轴有两个交点( );当<0时,函数图象与x 轴有一个交点( );当=0时,函数图象与x 轴没有交点。 ④)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 关系 )0()(2 ≠=a ax x f 定 义 域:R 值 域:当0>a 时,值域为( );当0a 时;当0 高中各种函数图像及其性质 一次函数 (一)函数 1、确定函数定义域的方法: (1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数; (2)关系式含有分式时,分式的分母不等于零; (3)关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零; (4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零; (5)实际问题中,函数定义域还要和实际情况相符合,使之有意义。 (二)一次函数 1、一次函数的定义 一般地,形如y kx b =+(k ,b 是常数,且0k ≠)的函数,叫做一次函数,其中x 是自变量。当0b =时,一次函数y kx =,又叫做正比例函数。 ⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+,要判断一个函数是否是一次函数,就是判断是否能化成以上形式. ⑵当0b =,0k ≠时,y kx =仍是一次函数. ⑶当0b =,0k =时,它不是一次函数. ⑷正比例函数是一次函数的特例,一次函数包括正比例函数. 2、正比例函数及性质 一般地,形如y=kx(k 是常数,k≠0)的函数叫做正比例函数,其中k 叫做比例系数. 注:正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为1 ③ b 取零 当k>0时,直线y=kx 经过三、一象限,从左向右上升,即随x 的增大y 也增大;当k<0时,?直线y=kx 经过二、四象限,从左向右下降,即随x 增大y 反而减小. (1) 解析式:y=kx (k 是常数,k ≠0) (2) 必过点:(0,0)、(1,k ) (3) 走向:k>0时,图像经过一、三象限;k<0时,?图像经过二、四象限 (4) 增减性:k>0,y 随x 的增大而增大;k<0,y 随x 增大而减小 (5) 倾斜度:|k|越大,越接近y 轴;|k|越小,越接近x 轴 3、一次函数及性质 一般地,形如y=kx +b(k,b 是常数,k≠0),那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时,y=kx +b 即y=kx ,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 函数图像与函数方程 【知识要点】 1.函数图象变换 (1)平移变换 (2)对称变换 ①)(x f y =――→关于x 轴对称 )(x f y -=; ②)(x f y =――→关于y 轴对称 )(x f y -=; ③) (x f y =――→ 关于原点对称 )(x f y --=; ④)10(≠>=a a a y x 且――→ 关于y =x 对称 )10(log ≠>=a a x y a 且. (3)翻折变换 ①)(x f y =――――――――――→保留x 轴上方图像 将x 轴下方图像翻折上去|)(|x f y =. ②)(x f y =――――――――――――→保留y 轴右边图像,并作其 关于y 轴对称的图像|)(|x f y =. (4)伸缩变换 ①)(x f y = )(ax f y =. ②)(x f y = )(x af y =. 2.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数))((D x x f y ∈=,把使0)(=x f 的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点. (2)几个等价关系 方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点. (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 0)()((完整版)高等数学公式大全及常见函数图像
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