函数图像与函数方程
【知识要点】 1.函数图象变换 (1)平移变换
(2)对称变换
①)(x f y =――→关于x 轴对称)(x f y -=; ②)(x f y =――→关于y 轴对称
)(x f y -=; ③)
(x f y =――→
关于原点对称
)(x f y --=;
④)10(≠>=a a a y x
且――→
关于y =x 对称
)10(log ≠>=a a x y a 且.
(3)翻折变换
①)(x f y =――――――――――→保留x 轴上方图像
将x 轴下方图像翻折上去|)(|x f y =. ②)(x f y =――――――――――――→保留y 轴右边图像,并作其
关于y 轴对称的图像|)(|x f y =. (4)伸缩变换
①)(x f y = )(ax f y =. ②)(x f y = )(x af y =. 2.函数的零点 (1)函数零点的定义
对于函数))((D x x f y ∈=,把使0)(=x f 的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点. (2)几个等价关系
方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点. (3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有
0)()(
【例题解析】
考点一 函数图象变换
【例1】画出下列函数的图像,并说明它们是由函数()2x
f x =的图像经过怎样的变换得到
的。 (1)1
2
x y -= (2)2+1x y = (3)2x
y =
(4)2-1x y = (5)2x
y =- (6)2x
y -=-
【变式训练1】画出下列函数的图像,并说明它们是由函数()2log f x x =的图像经过怎样的变换得到的。
(1)2log (1)y x =- (2)2log 1y x =+ (3)2log ||y x =
(4)2|log 1|y x =- (5)x y 2log -= (6))(log 2x y --=
【变式训练2】函数()y f x =的曲线如图所示,那么方程(2)y f x =-的曲线是( )
A .
B .
C .
D . 【变式训练3】函数2
1
x y x -=
-的图象大致是 ( )
【变式训练4】(2012湖北)已知定义在区间]2,0[上的函数)(x f y =的图像如图所示,则
)2(x f y --=的图像为( )
考点二 函数的零点 题型一 零点存在性定理
【例2】下列各种说法中正确的个数有( ) ①函数()y f x =满足()()0f a f b ?<,则函数()y f x =在区间(,)a b 内只有一个零点; ②函数()y f x =满足()()0f a f b ?≤,则函数()y f x =在区间[,]a b 内有零点; ③函数()y f x =满足()()0f a f b ?>,则函数()y f x =在区间(,)a b 内没有零点; ④函数()y f x =在[,]a b 上连续且单调,并满足()()0f a f b ?<,则函数()y f x =在区间
(,)a b 内只有一个零点;
⑤函数2
()23f x x x =--的零点是(3,0)与(1,0)-. A .0个 B .1个 C .2个 D .3个
【例3】若,则函数的两个零点分别位于区间( ) A .和 B .和 C .和 D .和
【例4】函数在区间上存在一个零点,则实数的取值范围是________
【变式训练5】函数2()3log ()x f x x =--的零点所在区间是( ) A. 5,22??-
- ??? B. ()2,1-- C. ()1,2 D. 52,2??
???
【例5】已知二次函数满足且,则含有零点的一个区间是( )
A .()2,0-
B .()
1,0-
C .()01,
D .()02,
【变式训练6】根据表格中的数椐,可以判断2)(--=x e x f x
的一个零点属于区间( )
A.()1,0-
B.()0,1
C.()1,2
D.()2,3
考点三 函数与方程
题型二 方程()f x m =的根的问题 【例6】若方程在内有解,则的图象是
【例7】已知函数24
1,
(4)()log ,(04)
x f x x
x x ?+≥?=??<
【变式训练9】已知函数??
?≤+->=,
0),4(,
0|,lg |)(x x x x x x f 则函数()3-=x f y 的零点的个数为
A .1
B .2
C .3
D .4
题型四 方程()()f x g x =型问题
【例8】已知函数|lg |,010,()16,10.2
x x f x x x <≤??
=?-+>??若,,a b c 互不相等,且()()(),f a f b f c ==则
abc 的取值范围是( )
A .(1,10)
B .(5,6)
C .(10,12)
D .(20,24) 【变式训练10】函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为( ) A .1
B .2
C .3
D .4
【变式训练11】函数()2ln f x x =的图像与函数()2
45g x x x =-+的图像的交点个数为 A .3 B .2 C .1 D .0
【变式训练12】函数[]x x f =)(的函数值表示不超过x 的最大整数,例如,[]4-5.3-=,
[]21.2=,当(]时5.4,3∈x ,x x f =)(,的解集为( )
A .{}4,3
B .{}4
C .{}3
D .]5.4,3(
【变式训练13】 []x 表示不超过x 的最大整数,定义函数()[]f x x x =-.则下列结论中正确的有___________________.
①函数()f x 的值域为[]0,1 ②方程()1
2
f x =
有无数个解 ③函数()f x 的图像是一条直线 ④函数()f x 是R 上的增函数
【变式训练14】定义函数()[[]]f x x x =g ,
其中][x 表示不超过x 的最大整数,如:1]5.1[=,2]3.1[-=-,当),0[n x ∈,*∈N n 时,设函数()f x 的值域为A ,记集合A 中的元素个数
为t ,则t 为( )
A .212n n
-- B .22n n - C .
212n n -+ D .222
n n
-+ 题型五 复合函数零点问题
【例9】已知定义在上的函数和,其图象如下图所示:
给出下列四个命题:
①方程有且仅有6个根 ②方程有且仅有3个根 ③方程有且仅有5个根 ④方程有且仅有4个根 其中正确命题的序号( )
A .①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④
【例10】设函数()()
()
22
0log 0x x f x x
x ?≤?=?
>??,函数()1y f f x =-????的零点个数为______.
【变式训练15】 对实数a 和b ,定义运算“?”:,1,
,1a a b a b b a b -≤??=?
->?
. 设函数
22()(2)()f x x x x =-?-,x ∈R ,若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共
点,则实数c 的取值范围是( ) A .3
(,2](1,)2
-∞--U B .3(,2](1,)4
-∞---U
C .11(1,)(,)44-+∞U
D .31(1,)[,)
44
--+∞U
【变式训练16】定义域和值域均为(常数)的函数和的图像如图所示,给出下列四个命题: (1)方程有且仅有三个解; (2)方程有且仅有三个解; (3)方程有且仅有九个解; (4)方程有且仅有一个解。
那么,其中正确命题的个数是 。
【高考真题】
1.【2015高考湖南,文14】若函数()|22|x
f x b =--有两个零点,则实数b 的取值范围是_____.
2.【2015高考安徽,文14】在平面直角坐标系xOy 中,若直线a y 2=与函数1||--=a x y 的图像只有一个交点,则a 的值为 .
3.函数x x
x f 261
)(+-=
的零点一定位于区间( ) A. )4,3( B.)3,2( C. )2,1( D.)6,5( 4已知0x 是函数x
x f x
-+=11
2)(的一个零点,若),1(01x x ∈,),(02+∞∈x x ,则( ) A.0)(1
C.0)(1>x f ,0)(2 D.0)(1>x f ,0)(2>x f 5.若0x 是方程1 312x x ?? = ??? 的解,则0x 属于区间( ) A .2,13?? ??? B. 12,23?? ??? C. 11,32?? ??? D .10,3?? ??? 6.(2015-2016武汉三中期中联考)[]x 表示不超过x 的最大整数,定义函数()[]f x x x =-. 则下列结论中正确的是 (填正确的序号). ①函数()f x 的值域为[0,1);②方程1()2 f x = 有无数个解;③方程1 ()2f x x =有二个解; ④若关于x 的方程()f x kx k =+有3个不同的实根,则实数k 的取值范围是 111 (1,][,)243 --U . 高等数学公式 导数公式: 基本积分表: 三角函数的有理式积分: 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=, , , a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点. (2)几个等价关系 方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x)有零点. (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根. 2.二分法 对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.3.二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象与零点的关系 2 (x0),(x0) (x0)无交点 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.(×) (2)函数y =f (x )在区间(a ,b )内有零点(函数图象连续不断),则f (a )·f (b )<0.( × ) (3)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值.( × ) (4)二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)在b 2-4ac <0时没有零点.( √ ) (5)若函数f (x )在(a ,b )上单调且f (a )·f (b )<0,则函数f (x )在[a ,b ]上有且只有一个零点.( √ ) 1.(教材改编)函数f (x )=e x +3x 的零点个数是( ) A .0 B .1 C .2 D .3 答案 B 解析 ∵f (-1)=1 e -3<0, f (0)=1>0, ∴f (x )在(-1,0)内有零点, 又f (x )为增函数,∴函数f (x )有且只有一个零点. 2.(2015·安徽)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( ) A .y =cos x B .y =sin x C .y =ln x D .y =x 2+1 答案 A 解析 由于y =sin x 是奇函数;y =ln x 是非奇非偶函数;y =x 2+1是偶函数但没有零点;只有y =cos x 是偶函数又有零点. 3.函数f (x )=2x |log 0.5x |-1的零点个数为( ) A .1 B .2 C .3 D .4 答案 B 解析 由f (x )=0得|log 0.5x |=????12x , 作出函数y =|log 0.5x |和y =????12x 的图象, 由图象知两函数图象有2个交点, 故函数f (x )有2个零点. 4.(2015·天津)已知函数f (x )=? ???? 2-|x |,x ≤2,(x -2)2 ,x >2,函数g (x )=3-f (2-x ),则函数y =f (x )-g (x )的零点个数为( ) A .2 B .3 C .4 D .5 答案 A 解析 当x >2时,g (x )=x -1,f (x )=(x -2)2; 函数的图像及函数与方程 一、温故 对称变换:①奇函数的图象关于______对称;偶函数的图象关于____轴对称; ②f (x )与f (-x )的图象关于____轴对称;③f (x )与-f (x )的图象关于____轴对称; ④f (x )与-f (-x )的图象关于______对称;⑤f (x )与f (2a -x )的图象关于直线______对称; ⑥|f (x )|的图象先保留f (x )原来在x 轴______的图象,作出x 轴下方的图象关于x 轴的对称图形,然后擦去x 轴下方的图象得到; ⑦f (|x |)的图象先保留f (x )在y 轴______的图象,擦去y 轴左方的图象,然后作出y 轴右方的图象关于y 轴的对称图形得到. 如果函数y =f (x )在区间[a ,b ]上的图象是一条不间断的曲线,且____________,那么函数y =f (x )在区间________上有零点. 二、例题讲解 考点一 作图 例1 (1)作函数y =|x -x 2|的图象(2)作函数y =x 2-|x |的图象; (3)作函数y =1|x |-1 的图象.(4)作函数x y --=524的图像 (5)作函数2log 2-=x y 的图像 考点二 识图 例2 (1)函数2log 2x y =|的图象大致是________(填入正确的序号). (2)函数f (x )的部分图象如图所示,则函数f (x )的解析式是下列四者之一,正确的序号为________. ①f (x )=x +sin x ;②f (x )=cos x x ;③f (x )=x cos x ;④f (x )=x ·(x -π2)·(x -3π2 ). 变式 已知y =f (x )的图象如图所示,则y =f (1-x )的图象为________(填序号). 例3.已知f (x )=????13x ,若f (x )的图象关于直线x =1对称的图象对应的函数为g (x ),则g (x )的 表达式为________. 例4. 函数f (x )=????? 3x ,x ≤1,log 13x ,x >1,则y =f (x +1)的图象大致是________. 一次函数 (一)函数 1、确定函数定义域的方法: (1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数; (2)关系式含有分式时,分式的分母不等于零; (3)关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零; (4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零; (5)实际问题中,函数定义域还要和实际情况相符合,使之有意义。 (二)一次函数 1、一次函数的定义 一般地,形如y kx b =+(k ,b 是常数,且0k ≠)的函数,叫做一次函数,其中x 是自变量。当0b =时,一次函数y kx =,又叫做正比例函数。 ⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+,要判断一个函数是否是一次函数,就是判断是否能化成以上形式. ⑵当0b =,0k ≠时,y kx =仍是一次函数. ⑶当0b =,0k =时,它不是一次函数. ⑷正比例函数是一次函数的特例,一次函数包括正比例函数. 2、正比例函数及性质 一般地,形如y=kx(k 是常数,k≠0)的函数叫做正比例函数,其中k 叫做比例系数. 注:正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为1 ③ b 取零 当k>0时,直线y=kx 经过三、一象限,从左向右上升,即随x 的增大y 也增大;当k<0时,?直线y=kx 经过二、四象限,从左向右下降,即随x 增大y 反而减小. (1) 解析式:y=kx (k 是常数,k ≠0) (2) 必过点:(0,0)、(1,k ) (3) 走向:k>0时,图像经过一、三象限;k<0时,?图像经过二、四象限 (4) 增减性:k>0,y 随x 的增大而增大;k<0,y 随x 增大而减小 (5) 倾斜度:|k|越大,越接近y 轴;|k|越小,越接近x 轴 3、一次函数及性质 一般地,形如y=kx +b(k,b 是常数,k≠0),那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时,y=kx +b 即y=kx ,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 注:一次函数一般形式 y=kx+b (k 不为零) ① k 不为零 ②x 指数为1 ③ b 取任意实数 一次函数y=kx+b 的图象是经过(0,b )和(- k b ,0)两点的一条直线,我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到.(当b>0时,向上平移;当b<0时,向下平移) (1)解析式:y=kx+b(k 、b 是常数,k ≠0) (2)必过点:(0,b )和(- k b ,0) (3)走向: k>0,图象经过第一、三象限;k<0,图象经过第二、四象限 b>0,图象经过第一、二象限;b<0,图象经过第三、四象限 ????>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ??? ?<>00 b k 直线经过第一、三、四象限 ????><00b k 直线经过第一、二、四象限 ?? ??<<00 b k 直线经过第二、三、四象限 (4)增减性: k>0,y 随x 的增大而增大;k<0,y 随x 增大而减小. 常见函数性质汇总及简单评议对称变换 常数函数 f (x )=b (b ∈R) 1)、y=a 和 x=a 的图像和走势 2)、图象及其性质:函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合(垂直于y 轴)的直线 一次函数 f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R) 1)、两种常用的一次函数形式:斜截式—— 点斜式—— 2)、对斜截式而言,k 、b 的正负在直角坐标系中对应的图像走势: 3)、|k|越大,图象越陡;|k|越小,图象越平缓 4)、定 义 域:R 值域:R 单调性:当k>0时 ;当k<0时 奇 偶 性:当b =0时,函数f (x )为奇函数;当b ≠0时,函数f (x )没有奇偶性; 例题:y=f (x ); y=g (x )都有反函数,且f (x-1)和g -1 (x)函数的图像关于y=x 对称,若g (5)=2016,求)= 周 期 性:无 5)、一次函数与其它函数之间的练习 1、常用解题方法: b 反比例函数 f (x )= x k (k ≠0,k 值不相等永不相交;k 越大,离坐标轴越远) 图象及其性质:永不相交,渐趋平行;当k>0时,函数f (x )的图象分别在第一、第三 象限;当k<0时,函数f (x )的图象分别在第二、第四象限; 双曲线型曲线,x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线; 既是中心对成图形也是轴对称图形 定 义 域:),0()0,(+∞-∞ 值 域:),0()0,(+∞-∞ 单 调 性:当k> 0时;当k< 0时 周 期 性:无 奇 偶 性:奇函数 反 函 数:原函数本身 补充:1、反比例函数的性质 2、与曲线函数的联合运用(常考查有无交点、交点围城图行的面积)——入手点常有两个——⑴直接带入,利用二次函数判别式计算未知数的取值;⑵利用斜率,数形结合判断未知数取值(计算面积基本方法也基于此) 3、反函数变形(如右图) 1)、y=1/(x-2)和y=1/x-2的图像移动比较 2)、y=1/(-x)和y=-(1/x )图像移动比较 3)、f (x )= d cx b ax ++ (c ≠0且 d ≠0)(补充一下分离常数) (对比标准反比例函数,总结各项内容) 二次函数 一般式:)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 顶点式:)0()()(2 ≠+-=a h k x a x f 两根式:)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f 图象及其性质:①图形为抛物线,对称轴为 ,顶点坐标为 ②当0>a 时,开口向上,有最低点 当00时,函数图象与x 轴有两个交点( );当<0时,函数图象与x 轴有一个交点( );当=0时,函数图象与x 轴没有交点。 ④)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 关系 )0()(2 ≠=a ax x f 定 义 域:R 值 域:当0>a 时,值域为( );当0a 时;当0 高中各种函数图像及其性质 一次函数 (一)函数 1、确定函数定义域的方法: (1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数; (2)关系式含有分式时,分式的分母不等于零; (3)关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零; (4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零; (5)实际问题中,函数定义域还要和实际情况相符合,使之有意义。 (二)一次函数 1、一次函数的定义 一般地,形如y kx b =+(k ,b 是常数,且0k ≠)的函数,叫做一次函数,其中x 是自变量。当0b =时,一次函数y kx =,又叫做正比例函数。 ⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+,要判断一个函数是否是一次函数,就是判断是否能化成以上形式. ⑵当0b =,0k ≠时,y kx =仍是一次函数. ⑶当0b =,0k =时,它不是一次函数. ⑷正比例函数是一次函数的特例,一次函数包括正比例函数. 2、正比例函数及性质 一般地,形如y=kx(k 是常数,k≠0)的函数叫做正比例函数,其中k 叫做比例系数. 注:正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为1 ③ b 取零 当k>0时,直线y=kx 经过三、一象限,从左向右上升,即随x 的增大y 也增大;当k<0时,?直线y=kx 经过二、四象限,从左向右下降,即随x 增大y 反而减小. (1) 解析式:y=kx (k 是常数,k ≠0) (2) 必过点:(0,0)、(1,k ) (3) 走向:k>0时,图像经过一、三象限;k<0时,?图像经过二、四象限 (4) 增减性:k>0,y 随x 的增大而增大;k<0,y 随x 增大而减小 (5) 倾斜度:|k|越大,越接近y 轴;|k|越小,越接近x 轴 3、一次函数及性质 一般地,形如y=kx +b(k,b 是常数,k≠0),那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时,y=kx +b 即y=kx ,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 函数图像与函数方程 【知识要点】 1.函数图象变换 (1)平移变换 (2)对称变换 ①)(x f y =――→关于x 轴对称 )(x f y -=; ②)(x f y =――→关于y 轴对称 )(x f y -=; ③) (x f y =――→ 关于原点对称 )(x f y --=; ④)10(≠>=a a a y x 且――→ 关于y =x 对称 )10(log ≠>=a a x y a 且. (3)翻折变换 ①)(x f y =――――――――――→保留x 轴上方图像 将x 轴下方图像翻折上去|)(|x f y =. ②)(x f y =――――――――――――→保留y 轴右边图像,并作其 关于y 轴对称的图像|)(|x f y =. (4)伸缩变换 ①)(x f y = )(ax f y =. ②)(x f y = )(x af y =. 2.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数))((D x x f y ∈=,把使0)(=x f 的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点. (2)几个等价关系 方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点. (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 0)()((完整版)高等数学公式大全及常见函数图像
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