相似三角形的判定
教学内容：
一、知识精要
1、三角形相似的判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，
那么这两个三角形相似。可简单说成：三边对应成比例，两个三角形相似。
2、直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
可简单说成：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似。
两角夹一边
4、相似三角形的常见图形及其变换：
思考：
为了加强视力保护意识，小明想在长为3.2米，宽为4.3米的书房里挂一张测试距离为5米的视力表．在一次课题学习课上，小明向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙、丙三位同学设计方案新颖，构思巧妙．
（1）甲生的方案：如图1，将视力表挂在墙ABEF和墙ADGF的夹角处，被测试人站立在对角线AC上，问：甲生的设计方案是否可行？请说明理由．
（2）乙生的方案：如图2，将视力表挂在墙CDGH上，在墙ABEF上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可计算得到：测试线应画在距离墙ABEF米处．
（3）丙生的方案：如图3，根据测试距离为5m的大视力表制作一个测试距为3m的小视力表．如果大视力表中“E”的长是3.5cm，那么小视力表中相应“E”的长是多少cm？
热身练习：
1、下列说法中，正确的有（ ） ①所有的等边三角形都相似；
②有一个角相等的两个等腰三角形相似；
③若△ABC 的三边长分别为12、20、28，△DEF 的三边之比为7:3:5，则△ABC 与△DEF 相似； ④在Rt △ABC 和Rt △111C B A 中，1B A ∠=∠，那么Rt △ABC 与Rt △111C B A 相似。
A ．1个；
B ．2个；
C ．3个；
D ．4个．
2、如图，已知点D 是△ABC 中的边BC 上的一点，BAD C ∠=∠，ABC ∠的平分线交边AC 于点E ，交AD 于点F ，那么下列结论中错误的是（ ）
A ．△BAC ∽△BDA ；
B ．△BFA ∽△BE
C ； C ．△BDF ∽△BEC ；
D ．△BDF ∽△BA
E ．
3、在△ABC 中，4AC =，5AB =，6BC =，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且AED B ∠=∠。如果四边形BCED 的周长为13，求DE 的长。
B
精解名题：
例1、在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且2AB CD =，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF 与BD 相交于点M. （1）求证：△EDM ∽△FBM ；（2）若6DB =，求BM 的长。
E
B
A
例2、在△ABC 中，90BAC ∠=?，6AB =，8AC =，M 是斜边BC 的中点，在△AMN 中，90MAN ∠=?，
15
4
AN =
. 求证：（1）△AMN ∽△ACB ；（2）AM 是AD 和AC 的比例中项。
C
B
例3、在△ABC 中，高BD 与CE 相交于点H ，联结DE 。 求证：（1）△ADE ∽△ABC ；（2）△EHD ∽BHC.
C
B
A
备选例题：
例1、已知在正方形ABCD 中，2AB =，P 是BC 边上与B 、C 不重合的任意一点，DQ ⊥AP 于Q 。 （1）求证：△DQA ∽△ABP ；
（2）当P 点在BC 上变化时，线段DQ 也随之变化。设PA x =，DQ y =，求x 与y 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围。
例2、在Rt △ABC 中，90BAC ∠=?，D 是BC 的中点，联结DA ，过点D 作BC 的垂线交AC 于点E ，交BA 的延长线于点F 。求证：DA 是DE 和DF 的比例中项。
D
C
B
D
C
巩固练习
1、下列命题中，属于假命题的是（ ）
A ．有一个锐角相等的两个直角三角形相似；
B ．两个等腰直角三角形相似；
C ．各有一个为30?的两个等腰三角形相似；
D ．一条腰和底边上的高对应成比例的两个等腰三角形相似． 2、设G 是△ABC 的重心，GD ∥AB ，G
E ∥AC ，点D 、E 在边BC 上，那么△GDE ∽△ABC ，其相似比等于（ ） A ．1:2； B ．1:3； C ．1:4； D ．2:3． 3、在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，点
F 在CD 上，且1
4
CF CD =，联结AE 、EF 、AF 。 求证：（1）△ABE ∽△ECF ；（2）△ABE ∽△AEF 。
F
E
D
C
B
A
如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，点E 在BD 上，且AE ⊥CE ，点F 在DE 上，且DCF ECA ∠=∠。 求证：BE DF =
F
E
C
D
B
A
在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，EB ⊥AB ，联结AE ，且BAE DAC ∠=∠， 求证：AB AC AD AE ?=?.
6、在△ABC 中，AB AC =，D 是BC 上一点，且ADE B ∠=∠。
（1）求证：△ABD ∽△DCE ； （2）点F 在AD 上，且AF DE
AE CD
=，求证：EF ∥CD.
D
C
B
C
B
A
自我测试：
1、下列命题中，正确的是（ ）
A ．有一个角是50?的两个等腰三角形相似；
B ．有一个角是100?的两个等腰三角形相似；
C ．面积相等的两个直角三角形相似；
D ．两边之比都为3:5的两个直角三角形相似；
2、在下列条件中，不能判断△ABC 和△DEF 相似的是（ ） A ．50A ∠=?，72B ∠=?；50D ∠=?，58F ∠=?；
B ． 2AB =，3B
C =，4AC =；DE=4，6EF =，8DF =； C ． 1.5AB =，54AC =
，40A ∠=?；2DE =，3
2
DF =，40D ∠=?； D
．AC =
，BC =
，60C ∠=?
；DF =
，EF =，60F ∠=?． 3、在△ABC 中，AB AC =，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，DE DF =，A EDF ∠=∠。
（1）找出图中的相似三角形，并加以证明。
（2）求证：AB BE
BC CF
=.
4、在矩形ABCD
中，AB =
AD =M 是BC 的中点，联结AM 、BD 。
求证：AM ⊥BD 。
M D
C
B
A
5、梁老师要装修自己带阁楼的新居（如图为新居剖面图），在建造客厅到阁楼的楼梯AC 时，为避免上楼时墙角F 碰头，设计墙角F 到楼梯的竖直距离FG 为1.75m ．他量得客厅高 2.8AB =m ，楼梯洞口宽2AF =m ，阁楼阳台宽3EF =m ．请你帮助梁老师解决下列问题：
E
B
C
A
（1）要使墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75m，楼梯底端C到墙角D的距离CD是多少米?
（2）在（1）的条件下，为保证上楼时的舒适感。楼梯的每个台阶高要小于20cm，每个台阶宽要大于20cm，问梁老师应该将楼梯建几个台阶?为什么?
二次函数与相似三角形综合测试提高题 （本卷满分150分， 考试时间120分钟） 一选择题： （每题4分，共40分） 1、下列函数是二次函数的是：（ ） A 、2(2)(2)(1)y x x x =+--- B 、y = C 、21y x x =+D 、20y x -= 2、已知2=a ，4=b ，c 5=，则a 、b 、c 的第四比例项为（ ） A 、 10 B 、 5.2 C 、 8 D 、 22 3、把二次函数221y x x =--配方成顶点式为（ ） A 、2(1)y x =- B 、2(1)2y x =-- C 、2(1)1y x =++ D 、2(1)2y x =+- 4．下列每一组中两个图形相似的是 （ ） A 、两个等腰三角形，每个三角形都有一个内角为?30 B 、邻边的比都等于2的两个平行四边形 C 、 底角为?45的两个等腰梯形 D 、有一个角是?120的两个等腰三角形 5、二次函数的图象上有两点(1，－3)和(4，－3)，则此拋物线的对称轴是（ ） A 、x ＝1 B 、x ＝2 C 、x ＝3 D 、x ＝2.5 6、函数263y kx x =-+的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） A 、3k < B 、30k k <≠且 C 、3k ≤ D 、30k k ≤≠且 7、直角坐标平面上将二次函数2y 2(x 1)2-＝－－的图象向左平移１个单位， 再向上平移１个单位，则其顶点为（ ） A 、(0，0) B 、(1，－2) C 、(0，－1) D 、(－2，1) 8、二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则abc ， 24b ac -，2a b +，a b c ++这四个式子中，值为正数的有（ ） A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个
沪科版九年级数学上册知识点总结 二次函数基本知识 一．二次函数的性质 2y ax bx c =++ 1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．0a >2b x a =-2424b ac b a a ??-- ??? ，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当2b x a <-y x 2b x a >-y x 时，有最小值．2b x a =-y 244ac b a - 2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当0a <2b x a =-2424b ac b a a ??-- ???，时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，2 b x a <-y x 2b x a >-y x 2b x a =-有最大值．y 2 44ac b a -二．二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：（，，为常数，）； 2y ax bx c =++a b c 0a ≠2. 顶点式：（，，为常数，）； 2()y a x h k =-+a h k 0a ≠3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）. 12()()y a x x x x =--0a ≠1x 2x x 4. 一次项系数b 的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，ab a b x 2- =y 0>ab y 0
⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为 0c 相似三角形综合复习 一、基础知识 (一).比例 1.第四比例项、比例中项、比例线段； 2.比例性质： （1）基本性质： bc ad d c b a =?= ac b c b b a =?=2 （2）合比定理：d d c b b a d c b a ±=±?= （3）等比定理：)0.(≠+++=++++++?==n d b b a n d b m c a n m d c b a 3.黄金分割：如图，若AB PB PA ?=2，则点P 为线段AB 的黄金分割点． 4．平行线分线段成比例定理 (二)相似 1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形. 2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等. 3.相似三角形的判定 ● （1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ● （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 ● （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。 ● （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 4. 相似三角形的性质 ● （1）对应边的比相等，对应角相等. ● （2）相似三角形的周长比等于相似比. ● （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方. ● （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 5.三角形中位线定义: 连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线. 三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线. 梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半. 7.相似三角形的应用: １、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）； ２、利用三角形相似，求线段的长等 3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建筑物的高度等。 (三)位似: 位似:如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比. 位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 B 相似三角形重点考点 (一).比例 1.第四比例项、比例中项、比例线段； 2.比例性质： （1）基本性质： bc ad d c b a =?= ac b c b b a =?=2 （2）合比定理：d d c b b a d c b a ±=±?= （3）等比定理：)0.(≠+++=++++++?==n d b b a n d b m c a n m d c b a 3.黄金分割：如图，若AB PB PA ?=2，则点P 为线段AB 的黄金分割点． 4．平行线分线段成比例定理 (二)相似 1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形. 2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等. 3.相似三角形的判定 ● （1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ● （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 ● （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。 ● （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 4. 相似三角形的性质 ● （1）对应边的比相等，对应角相等. ● （2）相似三角形的周长比等于相似比. ● （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方. ● （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 5.三角形中位线定义: 连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线. 三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线. 梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半. 7.相似三角形的应用: １、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）； ２、利用三角形相似，求线段的长等 3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建筑物的高度等。 (三)位似: 位似:如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比. 位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 B C B 相似三角形判定经典题型 1．如下左图已知∠B ＝∠C ，则△ABF ∽________，△BDE ∽________． 2. 如上右图3个相同的正方形拼成1个矩形，则∠EAD ＋∠EBD 的度数为________． 3．在△ABC 中，AB ＝1.5，AC ＝2，BC ＝3.在△A ′B ′C ′中，A ′B ′＝3，B ′C ′＝4.5，A ′C ′＝________时，△ABC 与△A ′B ′C ′相似． 4.如下左图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，D 是BC 中点，AE ⊥AD 交CB 延长线于点E ，则△BAE 相似于______． 5.如下中图，D 是△ABC 的边AB 上的点，请你添加一个条件，使 △ACD 与△ABC 相似．你添加___________ 6.如上右图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，图中的相似三角形有（ ） A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 7.如图，小正方形的边长均为l ，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( ) 8.如下左图，□ABCD 中，E 是AD 延长线上一点，BE 交AC 于点F ，交DC 于 点G ，则下列结论中错误的是（ ） A. △ABE ∽△DGE B. △CGB ∽△DGE C. △BCF ∽△EAF D. △ACD ∽△GCF 9.如上右图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，∠DBC ＝∠A ，BC ＝6，AC ＝3，则CD 的长为（ ）A.1 B.23 C.2 D.2 5 10.下列三角形相似的判断中，正确的是（ ） A.各有一个角是67°的两个等腰三角形 B.邻边之比都为2︰1的两个等腰三角形 C.各有一个角是45°的两个等腰三角形 D.邻边之比都为2︰3的两个等腰三角形 11.如图，∠ACB ＝∠ADC ＝90°，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c .如果△ABC ∽△CAD ，那么CD 的长为( ) A. b 2c B. b 2a C. ab c D. a 2c 12.△ABC 的三条边的长分别为3、4、5，与△ABC 相似的△A ′B ′C ′的最长边为 15.求△ A ′B ′C ′最短边的长. 沪科版九上数学图形的相似 知识点总结 知识点一 1.相似图形：把具有相同形状的图形称为相似图形。 2.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边成比例。 知识点二：比例线段 1.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即d c b a =（或a ：b=c ： d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 （注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位） 2.比例性质的基本性质: bc ad d c b a =?= （两外项的积等于两内项积） 3.更比性质(交换比例的内项或外项)： ()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=???=?=???=??， 交换内项，交换外项．同时交换内外项 4.合比性质：d d c b b a d c b a ±=±?=（分子加（减）分母,分母不变） 5.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果)0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么b a n f d b m e c a =++++++++ ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零． 知识点三：黄金分割 1. 定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果AC BC AB AC =，即AC 2=AB×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。其中AB AC 2 15-=≈0.618AB 。 知识点四：相似三角形 1.相似三角形：两个三角形中，如果三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三 角形。 如△ABC 与△DEF 相似，记作△ABC ∽△DEF 。 2.相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。 唐玲制作仅供学习交流 期末测试题 本检测题满分:120 分，时间:90 分钟） 一、选择题（每小题 3 分，共30分） 1. 抛物线向右平移 3 个单位得到的抛物线对应的函数关系式为（） A. B. C. D. 2. 如图，P是 Rt△ABC的斜边BC上异于B，C的一点，过P 作直线截△ ABC，使截得的三角形与△ ABC相似，满足这样条件的直线共有（） A. 1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 1 2 1 3. 把二次函数y x2 3x 的图象向上平移3个单位，再向右平移 4 个 22 单位，则两次平移后的图象的函数关系式是（） 1 2 1 2 A. y (x-1)2 7 B. y (x 7)2 7 22 1 2 1 2 C. y (x 3)2 4 D. y (x-1)2 1 4. 如图，△ ABC 中，点 D 在线段BC 上，且△ ABC∽△ DBA ，则下列结论一定正确的是( ) A. B. C. D. 5. 如图，△ ABC 中，D、E分别为AC、BC 边上的点，AB∥DE，CF 为AB 边上的中线，若AD＝5，CD ＝3， DE ＝4，则BF 的长为（） 唐玲制作仅供学习交流 C.10 A. 32 B.16 D. 6. 二次函数无论k 取何值，其图象的顶点都在（ A. 直线上 B. 直线上 C.x 轴上 D.y 7. 如图，在Rt△ABC 中， C 90，AC=1 cm ， 以 1 cm/s 的速度沿折线AC→CB→BA 运动，最终回到 A 点.设点P 的运动时间 轴上 BC=2 cm，点P从点 A 出 发， 为x（s），线段AP 的长度为y（cm ），则能反映y 与x 之间函数关系的图 象 8.如 图， 在Rt△ ABC AD 中，∠ C=90 ，，点 D 在AC 上，，则D A C D的值为（） A. 3 B. 22 C. 3 1 D.不能确定 9.如 图， 在矩形ABCD 中，DE⊥AC 于点E，设∠， 且 3， 5 AB＝4，则AD 的长为 （ A. 3 16 B. 3 20 C. 3 16 D. 5 第8 题 图 10. 已知反比例函数 y= k的图象如图所示，则二次函数 x22 y 2kx2 4x k2的图象大致为（） 、填空题（每小题 3 分，共24分） 相似三角形的判定 一．知识点讲解 1. 相似三角形的定义 （1）相似三角形定义：如果两个三角形的对应角相等、对应边成比例，我们就称这两个三角形相似。 如图所示，ABC ?与DEF ?相似,记作“ABC ?∽DEF ?”，读作ABC ?相似于DEF ? 。 （2）相似比：相似三角形对应边长度的比叫做相似比。 （3）注意：①如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例。 ②相似三角形相似比是有顺序的。 ③全等三角形是特殊的相似三角形，但相似三角形不一定是全等三角形。 ④用字母表示两个三角形相似时，应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 2.平行线截三角形相似的定理 （1）平行线截三角形相似的定理： 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似。 （2）数学表达式： BC DE //Θ ABC ?∴∽DEF ? 3.相似三角形的判定定理 （1）判定定理1：AA 文字语言 数学语言 图形 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 （简记为：两角分别相等的两个三 角形相似。） //,B B A A ∠=∠∠=∠Θ ABC ?∴∽///C B A ? （2）判定定理2：SAS 文字语言 数学语言 图形 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且 夹角相等，那么这两个三角形相似。 （简记为：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。） / ////,A A C A AC B A AB ∠=∠=且Θ ABC ?∴∽/ //C B A ? （3）判定定理3：SSS 文字语言 数学语言 图形 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。 （简记为：三边成比例的两个三角形相似。） / /////C B BC C A AC B A AB = =Θ ABC ?∴∽///C B A ? （4）判定定理4：HL 文字语言 数学语言 图形 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似。 （简记为：三边成比例的两个三角 形相似。） / /////C B BC C A AC B A AB ==Θ ABC ?∴∽///C B A ? 21.1二次函数 教学目标： （1）能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。 （2）注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯 重点难点： 能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。 教学过程： 一、试一试 1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2．试将计算结果填写在下表的空格 3．我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定，y是x的函数，试写出这个函数的关系式， 对于1.，可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m2。 对于2，可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0 ＜x ＜10。 对于3，教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10)就是所求的函数关系式． 二、提出问题 某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大? 在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答： 1．商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系? [利润=(售价－进价)×销售量] 2．如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元? [10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)] 3．若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品? (10－8－x)；(100＋100x) 4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围， [x的值不能任意取，其范围是0≤x≤2] 相似三角形的判定（2） 教学设计 教学目标 知识与技能： 1、理解相似三角形判定定理1的推理过程。 2、能用相似三角形判定定理1解决简单问题 过程与方法： 经历探究相似三角形判定定理1的证明过程，学会将未知化为已知的思想方法。 情感、态度与价值观： 通过学习利用相似三角形的判定1解决简单问题的过程，感受学习这个定理的意义。 学情介绍 学生在学习了全等三角形的判定与性质以及相似三角形判定预备定理的基础上，利用化未知为已知的思想，主动建构相似三角形的判定定理1，应该难度不大。 内容分析 教材在安排学习了全等三角形的知识和相似三角形的判定预备定理的基础上，引出了相似三角形的判定定理1，这部分知识既是预备的继续，又为后继定理的引入作好了铺垫。 教学重、难点 重点：相似三角形的判定定理1的证明。 难点：利用相似三角形的判定定理1解决简单问题。 教学过程 一、 知识回顾 1、根据相似多边形的定义，你知道什么样的两个三角形相似吗？ （请同学回答） 显然当满足 （1）对应角相等 （2）对应边成比例 这两个条件的两个三角形是相似三角形. 如果△A ′B ′C ′∽△ ABC 那么必须满足： ∠A ′= ∠A, ∠ B ′=∠B, ∠ C ′=∠C 2、请同学们画图表示相似三角形判定定理的预备定理。 （同学们在纸上作图，并把画好的部分同学作业，通过展示台展示） B C B ′ ′ A AC C A BC C B AB B A ''=''='' DE ∥BC △ADE ∽△ ABC 二、新课教学 课堂活动：（利用多媒体演示） 已知在△ABC 和△A ′B ′C ′中.∠A=∠A ′，∠ B=∠B ′。 求证：△ABC ∽△A ′B ′C ′ （合作交流：动手操作后，举手回答问题） （通过合作交流，培养学生分析问题，解决问题的能力。） 问题解答： ′ B ′ C ′ A B C D E E A B C A B C D E 23．2 相似三角形的判定（一） 本节内容是上科版《新时代数学》九上第24章《相似形》第二节《相似三角形判定》的第一节课．是在学习了第一节相似多边形的概念、比例线段的有关概念及性质，并 具备了有关三角形中位线和平行四边形知识后,研究三角形一边的平行线的判定 定理．一方面，该定理是前面知识的延伸和全等三角形性质的拓展；另一方面， 不仅可以直接用来证明有关三角形相似的问题，而且还是证明其他三种判定定理 的主要根据，所以有时也把它叫做相似三角形判定定理的“预备定理”．通过本 节课的学习，还可培养学生实验、猜想、证明、探索等能力，对掌握分析、比较、 类比、转化等思想有重要作用．因此，这节课在本章中有着举足轻重的地位． 知识与技能目标： （1）、理解相似三角形的概念，能正确地找出相似三角形的对应边和对应边角． （2）、掌握相似三角形判定定理的“预备定理”． 过程与方法目标： （1）、通过探索相似三角形判定定理的“预备定理”的过程，培养学生的动手操作能力，观察、分析、猜想和归纳能力，渗透类比、转化的数学思想方法．（2）、利用相似三角形的判定定理的“预备定理”进行有关判断及计算，训练学生的灵活运用能力，提高表达能力和逻辑推理能力． 情感与态度目标： （1）、通过实物演示和电化教学手段，把抽象问题直观化，激发学生学习的求知欲，感悟数学知识的奇妙无穷． （2）、通过主动探究、合作交流，在学习活动中体验获得成功的喜悦． 相似三角形判定定理的预备定理的探索 相似三角形判定定理的预备定理的有关证明 探究法 多媒体课件直尺、三角板 一、课前准备 1、全等三角形的基础知识 2、三角形中位线定理及其证明方法 3、平行四边形的判定和性质 4、相似多边形的定义 5、比例的性质 二、复习引入 （一）复习1、相似图形指的是什么？ 2、什么叫做相似三角形？ （二）引入如图1，△ABC与△A’B’C’相似. 相似三角形单元测试卷（共100分） 一、填空题:（每题5分，共35分） 1、已知a ＝4，b ＝9，c 是a b 、的比例中项，则c ＝ ． 2、一本书的长与宽之比为黄金比，若它的长为20cm ，则它的宽 是 cm （保留根号）． 3、如图1，在ΔABC 中，DE ∥BC ，且AD ∶BD ＝1∶2，则 S S ADE ?=四边形DBCE : ． 图1 图2 图3 4、如图2，要使ΔABC ∽ΔACD ，需补充的条件是 ．（只要写出一种） 5、如图3，点P 是RtΔABC 斜边AB 上的任意一点（A 、B 两点除外）过点作一条直线，使截得的三角形与RtΔABC 相似，这样的直线可以作 条． 图4 图5 图6 6、如图4，四边形BDEF 是RtΔABC 的内接正方形，若AB ＝6，BC ＝4，则DE ＝ ． 7、如图5，ΔABC 与ΔDEF 是位似三角形，且AC ＝2DF ，则OE ∶OB ＝ ． 二、选择题: （每题5分，共35分） 8、若 k b a c a c b c b a =+=+=+，则k 的值为（ ） A 、2 B 、-1 C 、2或-1 D 、不存在 9、如图6，F 是平行四边形ABCD 对角线BD 上的点，BF ∶FD=1∶3，则BE ∶EC= （ ） A 、 21 B 、3 1 C 、3 2 D 、4 1 图7 图8 图9 10、如图7，△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，且DE 、FG 将△ABC 的面积三等分，若BC=12cm ， 则FG 的长为（ ） A 、8cm B 、6cm C 、64cm D 、26cm 11、下列说法中不正确的是（ ） A ．有一个角是30°的两个等腰三角形相似； B ．有一个角是60°的两个等腰三角形相似； C ．有一个角是90°的两个等腰三角形相似； D ．有一个角是120°的两个等腰三角形相似. 12、如图9, D 、E 是AB 的三等分点, DF∥EG∥BC , 图中 三部分的面积分别为S 1,S 2,S 3, 则S 1:S 2:S 3( ) A.1:2:3 B.1:2:4 C.1:3:5 D.2:3:4 13、两个相似多边形的面积之比为1∶3 ，则它们周长之比为（ ） A ．1∶3 B ．1∶9 C ．1 D ．2∶3 24.4 相似三角形的判定教案 【学习目标】 1、了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法及判定方法； 2、进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力. 【要点梳理】 要点一、相似三角形 在和中，如果 我们就说与相似，记作 ∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 要点诠释： (1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽ ，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的 对应点是C′； (2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那 么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 要点二、相似三角形的判定定理 1．判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似. 3．判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 要点诠释： 此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 4．判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 要点诠释： 要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 要点三、相似三角形的常见图形及其变换： 【典型例题】 类型一、相似三角形 例题1. 下列能够相似的一组三角形为( ). A.所有的直角三角形 B.所有的等腰三角形 C.所有的等腰直角三角形 D.所有的一边和这边上的高相等的三角形 【答案】C 【解析】A中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知； B中什么条件都不满足；D中只有一条对应边的比相等； C中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形，且对应边的比也相等. 答案选C. 【总结升华】根据相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要满足三个角对应相等，三条对应边的比相等. 举一反三： 【变式】给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形； ⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中，一定相似的有 （填序号）． 【答案】①②④⑤. 类型二、相似三角形的判定 例题2. 如图所示，已知中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交 于F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比. 【答案与解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB∥CD，AD∥BC， 相关资料习题： 三角形相似的判定方法 如果一个三角形的两个角与另一个三角形两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 课堂练习 1 、填一填 （1）如图3，点D 在AB 上，当∠ ＝∠ 时， △ACD ∽△ABC 。 （2）如图4，已知点E 在AC 上，若点D 在AB 上，则满足条件 ， 就可以使△ADE 与原△ABC 相似。 A B D 图 3 A B C E 图 42．已知：如图，∠1= ∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE ． 3. 如图，△ABC 中， DE ∥BC ，EF ∥AB ，试说明△ADE ∽△EFC . A E F B C D 4．下列说法是否正确，并说明理由． （1）有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形； （2）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形． 课后检测作业 1 、图1中DE ∥FG ∥BC ，找出图中所有的相似三角形。 2 、图2中AB ∥CD ∥EF ，找出图中所有的相似三角形。 F A B C D G E 图 1A B 图 2C F D E O 3 、在△ABC 和△A ′B ′C ′中，如果∠A ＝80°，∠C ＝60°，∠A ′＝80°，∠B ′＝40°，那么这两个三角形是否相似？为什么？ 4 、已知：如图，△ABC 的高AD 、BE 交于点F ．求证：． FD EF BF AF 5．已知：如图，BE 是△ABC 的外接圆O 的直径，CD 是△ABC 的高． （1）求证：AC?BC=BE?CD ； （2）若CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O 的直径BE 的长． 6 .已知D 、E 分别是△ABC 的边AB,AC 上的点，若∠A=35°, ∠C=85°,∠AED=60 °求证：AD·AB= AE·AC ，当它们全等时，才有 （双 例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△例2、如图，E、F分别是△ABC的边 2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等． 斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似． 中，P是BC上的点，且BP＝3 、如图,AB⊥BD,CD 当P点在BD上由 ，则图中相似三角形的对数有 对。 特殊情况： 第一：顶角（或底角）相等的两个等腰三角形相似。 第二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。 第三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。 第四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。 第五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中线对应成比例，那么这两个三角形相似。 三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下： 类型 斜三角形 直角三角形 全等三角形的判定 SAS SSS AAS （ASA ） HL 相似三角形 的判定 两边对应成比例夹角相等 三边对应成比例 两角对应相等 一条直角边与斜边对应成比例 二、重点难点疑点突破 1、寻找相似三角形对应元素的方法与技巧 正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的一项基本功．通常有以下几种方法： (1)相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是对应角；相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角的夹边是对应边； (2)相似三角形中，一对最长的边(或最短的边)一定是对应边；对应边所对的角是对应角；对应边所夹的角是对应角． （3）对应字母要写在对应的位置上，可直接得出对应边，对应角。 2、常见的相似三角形的基本图形： 学习三角形相似的判定，要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆；对相似三角形的判定思路要善于总结，形成一整套完整的判定方法．如： （1）平行型：（A 型，X 型） （2）交错型： （3）旋转型： （4）母子三角形： (1)“平行线型”相似三角形，基本图形见前图．“见平行，想相似”是解这类题的基本思路； (2)“相交线型”相似三角形，如上图．其中各图中都有一个公共角或对顶角．“见一对等角，找另一对等角或夹等角的两边成比例”是解这类题的基本思路； A B C D E A B C D D A B C A B C D E D A B C E 学期：2012至2013学年度第一学期学科：初中数学 年级：九年级（上册） 授课班级：九（） 授课教师： 2012年9月 曹店中学电子教案模板 第单元.第课时.总第课课 题 22.1 二次函数 教学目标 （1）能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。 （2）注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯 重点难点 能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围 教 法 教 具 问题引导法 课时 安排 一课时 课 前 准 备 复习初二一次函数的相关内容，作为二次函数的铺垫 教学过程一、试一试 1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2．试将计算结果填写在下表的空格中， AB长x(m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 BC长(m) 12 面积y(m2) 48 2．x的值是否可以任意取?有限定范围吗? 3．我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定，y是x的函数，试写出这个函数的关系式， 对于1.，可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC 的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m2。 对于2，可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0 ＜x ＜10。 对于3，教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10)就是所求的函数关系式． 二、提出问题 某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大? 在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答： 1．商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系? [利润=(售价－进价)×销售量] 2．如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元? [10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)] 3．若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品? [(10－8－x)；(100＋100x)] 4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围， [x的值不能任意取，其范围是0≤x≤2] 5．若设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式。 [y=(10－8－x) (100＋100x)(0≤x≤2)] 将函数关系式y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10＝化为： y=－2x2＋20x (0＜x＜10) (1) 将函数关系式y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)化为： y=－100x2＋100x＋20D (0≤x≤2) (2) 三、观察；概括 1.教师引导学生观察函数关系式(1)和(2)，提出以下问题让学生思考回答； (1)函数关系式(1)和(2)的自变量各有几个? (各有1个) (2)多项式－2x2＋20和－100x2＋100x＋200分别是几次多项式? (分别是二次多项式) (3)函数关系式(1)和(2)有什么共同特点? (都是用自变量的二次多项式来表示的) (4)本章导图中的问题以及P1页的问题2有什么共同特点？ 让学生讨论、交流，发表意见，归结为：自变量x为何值时，函数y 取得最大值。 沪教版九年级数学上册《相似三角形的判 定定理》教案 沪教版九年级数学上册《相似三角形的判定定理》教案 一、教材内容分析： 《相似三角形的判定定理》选自课程标准实验教科书沪科版数学九年级上册第22章相似图形。本节课是相似三角形判定定理（1），它是在学生学习了全等三角形的性质与判定，相似三角形的定义以及两个三角形相似对应角相等，对应边成比例这些知识的基础上进行的。在直观认识形状相同的图形基础上，探索与理解相似三角形的判定条件，为后续学习通过相似三角形有关知识测量物体的高度、距离做好准备。因此这部分内容也是今后进一步学习不可缺少的基础。 二、教学目标设置： 1、通过运用三角形全等条件的探索方法，探索得出两角对应相等的两个三角形相似，并会用这一结论解决一些简单的问题。 2、经历“类比—猜想—探索—总结-应用”的活动过程，探索两角对应相等的两个三角形相似，进一步领悟类比的思想方法。 3、在活动中，开发、培养学生的发散性思维，进一步发展学生的探究合作、交流意识，以及动手动脑和谐一致的习惯。 重点：灵活运用三角形相似判定定理证明及解决简单的有关问题。 难点：三角形相似判定定理的探索和证明。 三、学生学情分析 学生在本章前几节，已学过相似三角形的基本概念和基本性质等知识，在之前已经接触过对三角形全等条件的探索，初步体会了类比方法在数学学习中的作用，已具备一定的合作与自主探索能力，本节课是在此基础上的延伸和提高。因此在教学中采取开放式的教学形式，让学生动手感知，合作交流，养成积极探索与实践的良好习惯。教学过程中，创设直观形象，利于操作的问题情境，引起学生的极大关注，有利于学生对内容的较深层次的理解。多为学生创设自主学习、合作交流的机会，促使他们主动参与、勤于动手，从而乐于探究。但需承认学生之间的个体差异，对学有余力的学生要有提高、拓展的机会。对学困生要有一定的展示平台，在难点的突破上，要让他们最大程度的参与其中。 四、教学过程： 活动一：创设情境，类比猜想 同学们：前面我们用全等三角形的学习方法探究学习了相似三角形的定义与性质，请同学们口述一下？ 我们探究相似三角形依然离不开组成三角形的元素边和角。本节课我们利用学习全等三角形判定的方法探究相似 沪科版九上数学相似三角形练习题 一、选择题 1、下列各组图形中不是位似图形的是（） A．B． C．D． 2、若2：3=7：x，则x=（） A．2B．3C．3.5D．10.5 3、两个相似三角形的一组对应边分别为5cm和3cm，如果它们的面积之和为136cm2，则较大三角形的面积是（） A．36cm2B．85cm2C．96cm2D．100cm2 4、如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD，若B（1，0），则点C的坐标为（） A．（1，-2）B．（-2，1）C．（）D．（1，-1） 5、如图，已知点A在反比例函数y=(x < 0)上，作Rt△ABC，点D是斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为8，则k的值为( ) A .8 B .12 C .16 D .20 6、如图，平面直角坐标系中，直线y=-x+a与x、y轴的正半轴分别交于点B和点A，与反比例函数y=-的图象交于点C，若BA：AC=2：1，则a的值为（） A．2B．-2C．3D．-3 7、如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，已知AB=4，则DE的长等于( ) A .6 B .5 C .9 D . 8、如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于( ) A .5∶8 B .3∶8 C .3∶5 D .2∶5 9、如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③=； ④=AD?AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为( ) A .1 B .2 C .3 D .4 10、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，动点P从 点B出发，沿着B-A-D在菱形ABCD的边上运动，运动到点D停止，点P′是点P 关于BD的对称点，PP′交BD于点M，若BM=x，△OPP′的面积为y，则y与x之 间的函数图象大致为（） 相似三角形 一、相似三角形的定义： 对应角相等 、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。 二、相似三角形的判定方法(一) 判定方法（1）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 判定方法（2）：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 判定方法（3）：如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例那么这两个三角形相似。 除了上述三种判定方法外，还有以下三种判定方法： （1）定义法：对应角相等、对应边成比例的两个三角形相似（这种方法一般不常用） （2）平行于于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似。 （3）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形原三角形相似。(此知识常用，但用时需要证明) 三、判定相似三角形的思路 1、有一对等角，找 :①、另一对等角 ②、 等角的两边对应成比例 2、有两边对应成比例，找：①、夹角相等 ②、第三边也成比例 3、直角三角形，找一对锐角相等 4、等腰三角 形，找：①、顶角相等 ②、一对底角相等 ③、底和腰成比例 四、在做题过程中，某些图像出现的频率会比较高，所以我们要熟知这些常见的图形，并学会从习题中基本图形很快的寻找和发现相似： 1、平行线型： A （ 1 ） （ 2 ） （a ）如图1，“A ” 型：即公共角的对边平行 (b) 如图2，“X ”型：对顶角的对边平行 2、斜交型：指公共角的对边不平行，即相交或延长线相交或对顶角所对的边延长线相交，其中再有一角相等，或其公共角（或对顶角）的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似，基本图形常见如下： E D A B C C D E B A E C B D A B D C E B D C A沪教版相似三角形专题复习教案解析
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