二次函数与相似三角形教案
教学目标：
1、会正确求解二次函数解析式；
2、根据条件寻找或构造相似三角形，在二次函数的综合题中利用其性质求出线段的长度，从而得出点的坐标。
教学重点：
1、正确求解二次函数解析式；
2、相似三角形的判定与性质在二次函数综合题中的运用。
教学难点：
根据条件构造相似三角形解决问题。
教学过程：
一、快速反应
1、已知二次函数的图象经过点（-5，-1）、（0，-4）和（1,1），求这个二次函数的解析式．
2、已知抛物线的顶点坐标为（2,1），与y轴交于点（0,5），求这条抛物线的解析式。
3、已知抛物线过A（-2,0）、B（1，0）、C（0，2）三点。求这条抛物线的解析式。
4、已知二次函数对称轴是x=1，过点（-3，0），与y轴交点为（0，5）
5、已知二次函数图像顶点是（2，1），图像在x轴上截得的线段长2，求这个二次函数解析式。
二、小试牛刀
1、如图, 在△ABC中,AB=5,AC=4,E是AB上一点,AE=2, 在AC上取一点F,使以A、E、F 为顶点的三角形与△ABC相似,那么AF=________
2、如图，已知A(-1,-5),B(0,-4),C(4,0),点D在x轴的正半轴上，若以点D、C、B组成的三角形与△OAB相似，试求点D的坐标．
三、例题解读
例1：已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A、B，与
轴交于点C，直线经过A、C两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）动点M在直线上，且△ABC与△COM相似，求点M的坐标．
（3）如果点P、Q在抛物线上（P点在对称轴左边），PQ//AO，PQ=2AO，求点P、Q坐标。
E
A
B C
.
练习：已知抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，已知点B的坐标是（3，0），tan∠OAC=3．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点D是y轴上一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与△ABC相似，求出符合条件的点D的坐标.
四、课堂小结：二次函数与相似三角形综合题之解题策略
1、根据题意，先求相关点的坐标和相关线段的长度；
2、待定系数法求相关函数的解析式；
3、利用同角或等角找对应点，分类讨论；
4、根据题目条件，正确画图，注意数形结合；
5、利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解都是常用方法。
二次函数与相似三角形教学反思
二次函数与相似三角形都是本学期的教学重点，而二次函数背景下的相似三角形问题颇具难度，对能力的要求也较高，而在近两年的一模试卷中，这类题往往出现在24题中。许多同学对于此类题型都望而生畏，往往做好第一问，就不再思考下去了。这节课就二次函数背景下的相似三角形分类讨论进行探究，希望通过这一节课，多数同学能顺利地完成此类题型。
我先进行了二次函数求解析式的复习，针对具体题目，由学生来汇总三种常规求二次函数解析式的方法。这部分学生掌握还是不错的。二次函数压轴题，求对解析式是关键的第一步。强调待定系数求解析式一定要熟练掌握。接下来是两题相似三角形的分类讨论。大部分同学都能想到分类讨论，但学生在具体的解题过程中还是会遇到很大的困难，所以如何找准方法很重要。找到一组相等的角，两边对应成比例，分两种情况讨论。在这两题的铺垫下，学生尝试完成例题1，二次函数与相似三角形结合的综合题。
有了之前两题的铺垫，就有了类比的基础与规范，其他函数图像上的点与三角形结合的问题也一样。一般说来，这类题目都由图像上的点转化到三角形中的边长的问题，再由边的数量关系转化到三角形的相似问题。甚至可以说，函数图像上的点与其他几何图像相结合的问题也一样，由图像上的点转化到几何图形中的边，再由边的数量关系转化几何图形的整体，即可以考虑几何图形（三角形、四边形等）的性质或判定来解决问题。
二次函数中常见图形的的面积问题 1、说出如何表示各图中阴影部分的面积？ 2、抛物线 322 +--=x x y 与x 轴交与A 、B （点A 在B 右侧），与y 轴交与点C ， D 为抛物线的顶点，连接BD ，CD ， （1）求四边形BOCD 的面积. （2）求△BCD 的面积.（提示：本题中的三角形没有横向或纵向的边，可以通过添加辅助线进行转化，把你想到的思路在图中画出来，并选择其中的一种写出详细的解答过程） 图五 图四 图六 图二 图一 图三
3、已知抛物线4 2 12 --= x x y 与x 轴交与A 、C 两点，与y 轴交与点B ， （1）求抛物线的顶点M 的坐标和对称轴； （2）求四边形ABMC 的面积. 4、已知一抛物线与x 轴的交点是A （-2，0）、B （1，0），且经过点C （2，8）． （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点D 的坐标； （3）求四边形ADBC 的面积. 5、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-2,0)，B(0,4)，C(2,4)三点，且与x 轴的另一个交点为E 。 （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点D 的坐标和对称轴； （3）求四边形ABDE 的面积.
6、已知二次函数322--=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为P. （1）结合图形，提出几个面积问题，并思考解法； （2）求A 、B 、C 、P 的坐标，并求出一个刚刚提出的图形面积； （3）在抛物线上（除点C 外），是否存在点N ，使得ABC NAB S S ??=, 若存在，请写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由。 变式一：在抛物线的对称轴上是否存点N ，使得ABC NAB S S ??=，若存在直接写出N 的坐标；若不存在， 请说明理由. 变式二：在双曲线3 y x = 上是否存在点N ，使得ABC NAB S S ??=，若存在直接写出N 的坐标；若不存在，请说明理由.
《二次函数》教案 教学目标 1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系. 2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式. 3、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围. 4、会用待定系数法求二次函数的解析式. 教学重点 二次函数的概念和解析式． 教学难点 利用条件构造二次函数． 教学设计 一、创设情境，导入新课. 问题1、现有一根12m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才能使矩形的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 这些问题都可以通过学习二次函数来解决，今天我们学习“二次函数”(板书课题) 二、合作学习，探索新知. 请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y与x之间的关系： (1)面积y(cm2)与圆的半径x(cm). (2)王先生存人银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为x两年后王先生共得本息y元； (3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为12cm，室内通道的尺寸如图，设一条边长为x(cm)种植面积为y(cm2). x
教师组织合作学习活动： 先个体探求，尝试写出y 与x 之间的函数解析式. 上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨. (1)y =πx 2 (2)y =2000(1+x )2=20000x 2+40000x +20000 (3)y =(60-x -4)(x -2)=-x 2+58x -112 上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 让学生充分发表意见，提出各自看法. 教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)的形式. 板书：我们把形如y =ax 2+bx +c (其中a ，b ，c 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数． 称a 为二次项系数， b 为一次项系数，c 为常数项. 请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项． 做一做 1、下列函数中，哪些是二次函数？ (1)2x y =(2)21x y -=(3)122--=x x y (4))1(x x y -= (5))1)(1()1(2 -+--=x x x y 2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)12+=x y (2)12732-+=x x y (3))1(2x x y -= 3、若函数m m x m y --=2)1(2为二次函数，则m 的值为______________. 三、例题示范，了解规律. 例、已知二次函数q px x y ++=2 当x =1时，函数值是4；当x =2时，函数值是-5.求这个二次函数的解析式. 此题难度较小，但却反映了求二次函数解析式的一般方法，可让学生一边说，教师一边板书示范，强调书写格式和思考方法. 练习：已知二次函数c bx ax y ++=2，当x =2时，函数值是3；当x =-2时，函数值是2.求这个二次函数的解析式. 例、如图，一张正方形纸板的边长为2cm ，将它剪去4个全等的直角三角形(图中阴影部分).设AE =BF =CG =DH =x (cm )，四边形EFGH 的面积为y (cm 2)，求： (1)y 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围. (2)当x 分别为0.25，0.5，1.5，1.75时，对应的四边形EFGH 的面积，并列表表示.
九年级数学二次函数单元测试题及答案 一、选择题(每题3分，共30分) 1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)() A. B. C. D. 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 4. 抛物线的对称轴是() A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是() A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<0 6. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第___象限() A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，图象 交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是() A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m 8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只 可能是() 9. 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线 x=-1，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线上的点，P3(x3，y3)是直线上的点， 且-1 教学内容—二次函数综合复习 知识精要 二次函数的概念：形如 2 (0)y ax bx c a =++≠的函数。定义域是一切实数。 二次函数的图像 函数 对称轴 顶点 开口方向 最值 () 20y ax a =≠ y 轴 （0，0） a>0,图像开口向上,顶 点是最低点; a<0,图像开口向下,顶点是最高点. () 2 0y ax c a =+≠ y 轴 ) ,0(c c ()() 2 0y a x m a =+≠ m x -= ()0,m - )0()(2≠++=a k m x a y m x -= ),(k m - k ()02 ≠++=a c bx ax y a b x 2- = ??? ? ??--a b ac a b 44,22 a b a c 442 - )0)()((1≠--=a x x x x a y x 22 1x x x += 一、选择题典型例题 1）有关二次函数图像与系数关系 1．如果0k <（k 为常数），那么二次函数22y kx x k =-+的图像大致为 （ ）． 2. 已知二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 的图像如图所示， 以下关于实数c b a ,,的符号判断中，正确的是（ ） A.0,0,0>>>c b a B.0,0,0><>c b a C.0,0,0<>>c b a D.0,0,0<<>c b a 第6题 A B C D y O x y O x y O x y O x 2）二次函数性质的判断：对称轴，开口方向，顶点，增减性 1． 已知点11()x y ，，22()x y ，均在抛物线2 1y x =-上，下列说法中正确的是 （ ） A. 若12y y =，则12x x = B. 若12x x =-，则12y y =- C. 若120x x <<，则12y y > D. 若120x x <<，则12y y > 2．关于抛物线4)1(32 -+-=x y ，下列说法正确的是 （ ） A ．抛物线的对称轴是直线1=x ； B ．抛物线在y 轴上的截距是4-； C ．抛物线的顶点坐标是（41--，） ； D ．抛物线的开口方向向上． 3．已知函数2 22y x x =--的图像如图所示，根据图像提供的信息，可得y ≤1时，x 的取值范围是 （ ） A ．3x -≥ B ．31x -≤≤ C ． 13x -≤≤ D ．1x -≤或3x ≥ 4．对于抛物线23y x =-，下列说法中正确的是（ ） A ．抛物线的开口向下 ； B ．顶点（0，－3）是抛物线的最低点 ； C ．顶点（0，－3）是抛物线的最高点； D ．抛物线在直线0x =右侧的部分下降的． 3）二次函数的平移问题 1．把抛物线22y x =--平移后得到抛物线2y x =-,平移的方法可以是（ ）． A. 沿y 轴向上平移2个单位； B. 沿y 轴向下平移2个单位； C. 沿x 轴向右平移2个单位； D. 沿x 轴向左平移2个单位． 2. 把抛物线()2 16+=x y 平移后得到抛物线2 6x y = ，平移的方法可以是 （ ）. A. 沿y 轴向上平移1个单位； B. 沿y 轴向下平移1个单位； C. 沿x 轴向左平移1个单位； D. 沿x 轴向右平移1个单位. 巩固练习 1．已知抛物线解析式为243y x x =--，若点P （2-，5）与点Q 关于该抛物线的对称轴对称，则点Q 的 坐标是__________． 以二次函数为背景的综合题 复习目标： 1、熟练掌握用待定系数法求二次函数； 2、结合二次函数的性质与多个知识点的沟通解决有关数学的综合题 3、体会数学思想方法，如：数形结合思想、方程思想、分类讨论思想；复习重点：掌握函数中典型几何问题的解题方法 复习难点：数学思想的渗透 复习过程： 教学 环节 设计过程设计说明 一、 知识点回顾1、二次函数y＝－（x－1）2+3图像的顶点坐标是______ 开口方向________对称轴_________ 2、将抛物线向上平移3个单位，向左平移 2个单位后可得到抛物线的解析式_________________ 3、如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y=ax2＋bx＋c 的 大 致 图 像 为（） 通过这三个题目主要是回顾 二次函数中的性质且灵活的 运用性质 已知：抛物线c bx ax y+ + =2经过点A（1，0），B（4，在直角坐标平面内，根据确定 的三点用待定系数法求抛物 线的解析式是每一个学生要 BCD的面积有多种方法，一方面考虑通性、 方面考虑择优 问题5：如果⊙P过点A、B、C三点，求圆心P的坐标。 问题5如何确定三角形的外 心，利用两点间距离公式确定 点需要满足的数量关系 三、 小 结 师生共同回顾本节课的内容和学习这节课的收获。 四、作业如图，在平面直角坐标系xOy中，O为原点，点A、C的 坐标分别为（2，0）、（1，3 3）.将△AOC绕AC 的中点旋转180°，点O落到点B的位置，抛物线 x ax y3 2 2- =经过 点A，点D是该抛物线的顶点. （1）求证：四边形ABCO是平行四边形； （2）求a的值并说明点B在抛物线上； （3）若点P是线段OA上一点，且∠APD=∠OAB，求 点P的坐标； (4) 若点P是x轴上一点，以P、A、D为顶点作平行 四边形，该平行四边形的另一顶点在y轴上，写出点P 的坐标. B C D A x y O 教师姓名 学生姓名 年（尚孔教研院彭高钢级 初三 上课时间 学 （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢 科 数学 课题名称 中考总复习之二次函数 待提升的知识点/题型 （尚孔教研院彭高钢） 考点提炼 （一）二次函数的定义和性质 形如2 y ax bx c =++(其中0a ≠，a 、b 、c 是常数)的式子，称y 是x 的二次函数. 1、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①0)0(2 2++=?=x a y ax y ； ②k x a y k ax y ++=?+=2 2)0(； ③()0)(2 2 +-=?-=h x a y h x a y ； ④()2 y a x h k =-+(其中,,a h k 是常数，且0a ≠) 2、抛物线()2 y a x h k =-+(其中,,a h k 是常数，且0a ≠)的对称轴是过点( h ，0)且平行(或重合)于y 轴的直线，即直线x h =，顶点坐标是(h ，k),当0a >时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当0a <时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点。 3、一般二次函数c bx ax y ++=2 用配方法可化成：a b ac a b x a y 44222 -+ ??? ? ? +=的形式 对称轴：直线，a b x 2-= 顶点坐标：（- a b 2，a b ac 442-） ,当0a >时，抛物线开口向上， 顶点是抛物线的最低点；当0a <时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点。 4、求二次函数的解析式一般方法 （1）一般式：c bx ax y ++=2 .已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2 .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 初三数学二次函数综合练习 卷 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题： 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线，则m ＝ . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ，与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点（－1，2），则它的解析式是 ， 当x 时，y 随x 的增大而增大. 4．抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到． 5．抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 ． 6．抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点，则=m ． 7．抛物线m x x y +-=2 ，若其顶点在x 轴上，则=m ． 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x ＝－2，且开口方向与形状与抛物线 相同，又过原点，那么a ＝ ，b ＝ ，c ＝ . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示，则对称轴是 ，当函数值0y <时， 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A （－2，4）和 B （8，2），如上右图所示，则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题： 2 2 3x y -= 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A ．2 1xy x += B ． 2 20x y +-= C ． 2 2y ax -=- D ．2 2 10x y -+= 12．在同一坐标系中，作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象，它们共同特点是 ( ) A ． 都是关于x 轴对称，抛物线开口向上 B ．都是关于y 轴对称，抛物线开口向下 B ． 都是关于原点对称，顶点都是原点 D ．都是关于y 轴对称，顶点都是原点 13．抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 14．把二次函数122 --=x x y 配方成为（ ） A ．2 )1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2 ++=x y D ．2)1(2 -+=x y 15．已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点，则m 的范围是( ) A ． 1- 二次函数专项练习 姓名: 得分: 一、选择题(40’) 1．将二次函数2y x =的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是( )． A ．2(1)2y x =-+ B ．2(1)2y x =++ C ．2(1)2y x =-- D ．2(1)2y x =+- 2．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b c y x ++= 在同一坐标系内的图象大致为（ ）． 3．抛物线2y x bx c =++图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为 223y x x =--，则b 、c 的值为( )． A ．b ＝2，c ＝2 B ．b ＝2，c ＝0 C ．b ＝-2，c ＝-1 D ．b ＝-3，c ＝2 4. 抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（ ） A ．22y x x =-- B ．211122y x x =-++ C ．211 122y x x =--+ D ．22y x x =-++ 5．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列结论：①240b ac ->；②abc ＞0； ③8a+c ＞0；④9a+3b+c ＜0．其中，正确结论的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 第4题 第5题 6．已知点(1x ，1y )，(2x ，2y )(两点不重合)均在抛物线21y x =-上，则下列说法正确的是( )． A ．若12y y =，则12x x = B ．若12x x =-，则12y y =- C ．若120x x <<，则12y y > D ．若120x x <<，则12y y > 7．在反比例函数a y x = 中，当0x >时，y 随x 的增大而减小，则二次函数2y ax ax =-的图象大致是图中的( )． 8．已知二次函数2y ax bx c =++(其中0a >，0b >，0c <)，关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x 轴的交点至少有一个在y 轴的右侧． 以上说法正确的有( )． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 9．已知二次函数)2(2 -++=m m x mx y 的图象经过原点，则m 的值为 （ ） A ． 0或2 B ． 0 C ． 2 D ．无法确定 10．如图，△OAP、△ABQ 均是等腰直角三角形，点P 、Q 在函数4 (0)y x x = > 的图像上，直角顶点A 、B 均在x 轴 上，则点B 的坐标为（ ） A ．(12+，0) B ．(15+，0) C ．(3，0) D ．(15-，O) 二、填空题(32’) 9．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++>的对称轴为直线1x =，且经过点1(1,)y -，2(2,)y ，试比较1y 和2y 的大小：1y ________2y （填“＞”，“＜”或“＝”）． 10．抛物线2y x bx c =-++的图象如图所示，则此抛物线的解析式为___ _____． 11．抛物线22(2)6y x =--的顶点为C ，已知y ＝-kx+3的图象经过点C ，则这个一次函数图象与两坐 标轴所围成的三角形面积为________． 12．已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的 解为___ _____． 第10题 第12题 第13题 13．如图所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+-的图象，那么a 的值是________． 14．烟花厂为扬州“4·18”烟花三月经贸旅游节特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度 二次函数测试卷一（21.1-21.2） 一、选择题（每题3分） 1.下列函数是二次函数的是（） A. y=3x+1 B. y=ax2+bx+c C. y=x2+3 D. y=（x-1）2-x2 2.二次函数y= -（x+2）2-1的顶点坐标为（） A. （2，-1） B. （2，1） C. （-2，1） D. （-2，-1） 3.已知y=（m+2）x|m|+2是关于x的二次函数，那么m的值为（） A. -2 B. 2 C. ±2 D. 0 4.抛物线y=x2+bx+c，经过配方可化为y=（x-1）2+2，则b，c的值分别为（） A. 5，-1 B. 2，3 C. -2，3 D. -2，-3 5.二次函数y=x2-2x+4化为顶点式，正确的是（） A. y=（x-1）2+2 B. y=（x-1）2+3 C. y=（x-2）2+2 D. y=（x-2）2+4 6. 二次函数的图象如图所示，根据图象可得（）A. a＞0，b＜0，c＜0 B. a＞0，b＞0，c＞0 C. a＜0，b＜0，c＜0 D. a＜0，b＞0，c＜0 7.若将抛物线y=5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式 为（） A. y=5（x-2）2+1 B. y=5（x+2）2+1 C. y=5（x-2）2-1 D. y=5（x+2）2-1 8.已知二次函数y=a（x+h）2+k，其中，a＞0，h＜0，k＜0，则函数图象大致是（） A. B. C. D. 9.在同一平面直角坐标中，直线y=ax+b与抛物线y=ax2+b的图象可能是（） A. B. C. D. 10.函数y=x2-2x-3中，当-2≤x≤3时，函数值y的取值范围是（） A. -4≤y≤5 B. 0≤y≤5 C. -4≤y≤0 D. -2≤y≤3 二、填空题（每题4分） 11.抛物线y=x2-2x-5化为顶点式的形式为． 12.抛物线y=-x2+2x+2的顶点坐标是． 13.某抛物线和y=-3x2形状相同，方向相反，且顶点为（-1，3），则它的表达式 为. 14.把抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线的解析式是__ ____ ． 三、解答题 15.（8分）已知抛物线y=ax2-4x+c经过点A（0，-6）和B（3，-9）． （1）求出抛物线的解析式； （2）写出抛物线的对称轴、顶点坐标及变化趋势． §26.3（4）二次函数2y ax bx c =++的图像与性质 【教学目标】 1、熟练掌握用配方法把二次函数的一般式转化为顶点式； 2、熟悉二次函数一般式的对称轴、顶点公式，并能运用公式解决相关问题； 3、熟悉二次函数的图像及性质，并能运用性质解决相关问题. 【重点与难点】 重点：会求二次函数（一般式）的顶点与对称轴（配方法或公式法）. 难点：运用抛物线的性质解决相关问题. 【课型】习题课 【教学资源】几何画板课件 【教学日期】 2018 年 11 月 29日下午第2节 【教学过程】本节课共分五个环节： 第一环节：知识梳理；第二环节：巩固双基；第三环节：变式练习；第四环节：能力提升； 第五环节：课堂小结. 第一环节：知识梳理 1、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像是一条 . 2、通过 ，可将一般式化为顶点式：222 424b ac b y ax bx c a x a a -??=++=++ ???. 3、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的对称轴是：直线x =－ ，顶点坐标（－a b 2，a b a c 442-）. 4、（1）当a > 0时，抛物线的开口 ，顶点是抛物线的最 点，抛物线在对称轴左侧部分是 ， 在对称轴右侧部分是 ； （2）当a < 0时，抛物线的开口 ，顶点是抛物线的最 点，抛物线在对称轴左侧部分是 ， 在对称轴右侧部分是 . 第二环节：巩固双基 1、用配方法将二次函数化为顶点式，并指出它的开口方向、对称轴和顶点坐标. （1）x x y 522-= （2）162 162--=x x y 2、（1）已知抛物线1)3(2++-+=n x n x y 经过坐标原点，则抛物线的顶点坐标是 . （2）抛物线14 12-+=x x y 向 平移 个单位，再向 平移 个单位后， 与抛物线1412+= x y 重合. 第三环节：变式练习 3、(1)已知抛物线3)5(2 12-+-+-=m x m x y 的顶点在y 轴上，求抛物线的顶点坐标； 二次函数知识点汇总 1.定义：一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的一元二次函数. 2.二次函数 的性质 (1)抛物线 的顶点是原点，对称轴是 轴. (2)函数 的图像与 的符号关系： ①当 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点；②当 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点 3.二次函数 的图像是对称轴平行于(包括重合) 轴的抛物线. 4.二次函数 用配方法可化成： 的形式，其中 . 5.抛物线 的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ① 决定抛物线的开口方向： 当 时，开口向上；当 时，开口向下； 越小，抛物线的开口越大， 越大，抛物线的开口越小。 ②对称轴为平行于 轴(或重合)的直线，记作 .特别地， 轴记作直线 . ③定点是抛物线的最值点[最大值( 时)或最小值( 时)]，坐标为( , )。 6.求抛物线的顶点、对称轴的方法 (1)公式法： ，∴顶点是 ，对称轴是直线 . (2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为 的形式，得到顶点为( , )，对称轴是 . (3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. ★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★ 7.抛物线 中， 的作用 (1) 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样. (2) 和 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线 ,故： ① 时，对称轴为 轴；② 时,对称轴在 轴左侧；③ 时,对称轴在 轴右侧. (3) 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置. 当 时， ，∴抛物线 与 轴有且只有一个交点(0，)： 1 ，抛物线经过原点; ② 21.4 二次函数的应用第1课时 主备人黄光怀 教学目标： 1、经历数学建模的基本过程。 2、会运用二次函数求实际生活中的最值问题。 3、体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。教学重点 二次函数最值问题中的应用 教学难点 从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解 教具准备 多媒体课件 教学过程 一、创设问题情境，引入新课 由23.1节的问题1引入 在问题1中，要使围成的水面面积最大，那么它的长应是多少？它的最大面积是多少？ 问题分析：这是一个求最值的问题。要想解决这个问题，就要首先将实际问题转化成数学问题。 二、讲授新课 在前面的学习中我们已经知道，这个问题中的水面长x与面积S之间的满足函数关系式S=-x2+20x。通过配方，得到S=-(x-10)2+100。由此可以看出，这个 函数的图像是一条开口向下的抛物线，其定点坐标是(10，100)。所以，当x=10m 时，函数取得最大值，为S最大值=100（m2）。 所以，当围成的矩形水面长为10m，宽为10m时，它的面积最大，最大面积是100 m2。 总结： 得出解这类题的一般步骤： （1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围； （2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。 三、例题讲解 P38例3： 上抛物体在不计空气阻力的情况下，有如下关系式：h＝v0t－1 2 gt2，其中h 是物体上升的高度，v0是物体被上抛时的初始速度，g表示重力加速度，通常取g＝10m/s2，t是舞台抛出后经过的时间。在一次排球比赛中，球从靠近地面处被垫起时竖直向上的初始速度为10m/s。 （1）问排球上升的最大高度是多少？ （2）已知某运动员在2.5m高度是扣球效果最佳，如果她要打快攻，问该运动员在排球被垫起后多长时间扣球最佳？（精确到0.1s）。 分析：学生容易把这个问题中排球的运动路线想象成抛物线，这一点需要首先说明，球是竖直上抛，在球上升或下降的过程中运动员完成击球。第一个问题,配方得到h=-5(t-1)2+5,抛物线开口向下，顶点坐标（1，5），所以最大高度为5 九年级数学沪科版（上）第22章《二次函数》测试卷 姓名__________成绩_________家长签字_________ (满分150分，考试时间90分钟) 一．选择题（4*10=40分） 1、下列各式中，y 是x 的二次函数的是 ……………………………………………………………………( ) A.2 1xy x += B.2 20x y +-= C ．2 2y ax -=- D ．2 2 10x y -+= 2．在同一坐标系中，作2 2y x =+2、2 2y x =--1、2 12 y x = 的图象，则它们………………………… ( ) A ．都是关于y 轴对称 B ．顶点都在原点 C ．都是抛物线开口向上 D ．以上都不对 3．若二次函数)2(2 -++=m m x mx y 的图象经过原点，则m 的值必为……………………………… ( ) A ． 0或2 B. 0 C ． 2 D ． 无法确定 4．把抛物线y=3x 2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式是………………（ ） =3（x+3）2 -2 =3（x+2）2+2 C.y=3（x-3）2 -2 =3（x-3）2+2 5、二次函数y=x 2＋4x ＋a 的最小值是2，则a 的值是………………………………………………………（ ） .5 C 6．抛物线122 +-=x x y 则图象与x 轴交点为………………………………………………………………（ ） A ．二个交点 B ．一个交点 C ．无交点 D ．不能确定 7．)0(≠+=ab b ax y 不经过第三象限，那么bx ax y +=2 的图象大致为……………………………… （ ） y y y y O x O x O x O x A B C D 8．图中有相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确的是…………………………………………………( ) A ．h ＝m B ．k ＞n C ．k ＝n D ．h ＞0，k ＞0 9．已知二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，给出以下结论： ① 0a b c ++<；② 0a b c -+<；③20b a +<；④0abc >.其中所有正确结论的序号是………（ ） A. ③④ B. ②③ C. ①④ D. ①② 专题20 二次函数y=ax^2+bx+c 的图像与性质（基础） 【目标导向】 1. 会用描点法画二次函数的图象；会用配方法将二次函数的解析式写成的形式； 2.通过图象能熟练地掌握二次函数的性质； 3.经历探索与的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想． 【知识要点精讲梳理】 要点一、二次函数与之间的相互关系 1.顶点式化成一般式 从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2.一般式化成顶点式 ． 对照，可知，． ∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 要点诠释： 1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式 加以记忆和运用． 2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 要点二、二次函数的图象的画法 2 (0)y ax bx c a =++≠2 y ax bx c =++2 ()y a x h k =-+2 y ax bx c =++2 y ax bx c =++2()y a x h k =-+2 (0)y ax bx c a =++≠=-+≠2 ()(0)y a x h k a 2 ()y a x h k =-+2 ()y a x h k =-+2 ()y a x h k =-+2 y ax bx c =++22 2 2222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ?? ??????=++=++=++-+?? ? ? ??????????? 2 2424b ac b a x a a -? ?=++ ?? ?2 ()y a x h k =-+2b h a =-2 44ac b k a -=2 y ax bx c =++2b x a =-24,24b ac b a a ?? -- ???2 y ax bx c =++2b x a =-24,24b ac b a a ??-- ???2 y ax bx c =++2(0)y ax bx c a =++≠ 一、选择题 1. 函数y (m n) x2 mx n 是二次函数的条件是（）． Ａ． m ， n 是常数，且m 0 Ｂ． m ， n 是常数，且m n Ｃ． m ， n 是常数，且n 0 Ｄ． m ， n 可以是任意常数 2. 下列函数中，y 是x的二次函数的为（）． Ａ． y 1 x2 Ｂ． y ax2 bx c （ a ，b， c 为常数） 2 Ｃ． y 1 Ｄ． y ( x 3)2 x2 x2 3. 下列函数不是二次函数的为（）． Ａ． yx2 1 Ｂ． y x2 Ｃ． S πr2 Ｄ． y 2x2 6x 1 4. 若函数y ( k 2) x k kx 1 是二次函数，则k的值是（）． Ａ． 2 Ｂ． 2 Ｃ． 2 Ｄ．以上均不对 5.下列函数关系中，可以看作二次函数y ax2bx c(a 0) 模型的是（）Ａ．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系 Ｂ．我国人口自然增长率为1% ，这样我国人口总数随年份的变化关系 Ｃ．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）Ｄ．圆的周长与圆的半径之间的关系 6. 下面四个函数中属于二次函数的是（） A．y13x 2 1 2 x2 3 B．y 2 C．y 3 x D．y 3)2 1 x (x 7. 如果y (m 2) x m2m是关于 x的二次函数，则 m=（）A．1 B．2 C．1或2 D．m不存在 8.若y（a2a）x a22a 1是二次函数，则（） A ． a =-1 或 a =3 B ． a ≠ -1 ， a ≠ 0 C ． a =-1 D ． a =3 9. 下列各关系式中，属于二次函数的是 ( x 为自变量 ) （ ） = 1 x 2 = x 2 1 = 1 = a 2x 8 x 2 10. 函数 y =ax 2( a ≠ 0) 的图象经过点 ( a ， 8) ，则 a 的值为（ ） A. ±2 B. － 2 11. 下列结论正确的是（ 2 =ax 是二次函数 ） B. 二次函数自变量的取值范围是所有实数 C. 二次方程是二次函数的特例 D. 二次函数的取值范围是非零实数 12. 如果函数 y =( m -3) x m2-3 m+2 是二次函数，那么 m 的值一定是（ ） A ． 0 B ． 3 C ．0，3 D ．1，2 13. 下列函数中， y 是 x 二次函数的是（ ） 2 1 2 2 （ A ） y ＝ x － 1 （ B ） y ＝ x ＋ x － 10 （ C ） y ＝ x ＋ 2x （ D ） y ＝ x － 1 14. 下列函数中，是二次函数的是 （ ） A 、 y=8x 2+1； B 、 y=8x+1 ； C 、 y 8 ； D 、 y 8 1。 x x 2 二、填空题 15. 二次函数 y 4(1 2x)( x 3) 的一般形式是 ． 16. 关于 x 的二次函数 y ( m 1)x 2 ( m 1)x m ，当 m 0 时，它是 函数；当 m 1时， 它 是 函数． 17. 若函数 y (m 2 4) x m 2 m 4 (m 1)x 2m 5 是关于 x 的二次函数，则 m 的值为 ，其 函数式为 ． 如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。——高斯 §26.2（1）特殊二次函数的图像（二次函数2 y ax =的图像） 【教学目的】 (1)了解二次函数2 y ax =的图像是抛物线，会用描点法画二次函数2 y ax =的图像． (2)借助二次函数2 y ax =的图像归纳二次函数2 y ax =的基本性质并加以直观描述．（主要讨论顶点坐标、开口方向、对称性）． (3) 在运用图像研究二次函数性质的过程中，领会和运用数形结合的思想方法． (4) 培养学生通过独立思考，归纳、概括、提炼数学知识的方法. 【教学重点】会用描点法画出二次函数2 ax y =的图像，概括出图象的特点及函数的性质． 【教学难点】会用描点法画二次函数2 ax y =的图像. 【教学过程】一、复习导入 问题 1.二次函数的一般式及定义域； 2.一次函数的特殊函数是什么函数？它的解析式及图像分别是什么？ 二、探究新课 用描点法画出函数2 x y =的图像 （1）描点法画函数2 x y =的图像前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x 取互为相反数的值时，y 的值如何？（由解析式可以看出x 可以取任意实数，不妨以0为中心，均匀选取一些便于计算的x 的值，看看画出来的图形的大致形状，如有问题再加以修正或补充．） 步骤：1）列表： x … -2 23- -1 21 - 0 21 1 23 2 … 2x y = … 4 4 9 1 4 1 0 4 1 1 4 9 2 … 2） 描点： 3） 连接成光滑曲线： 说明：画图时曲线不能画到端点为止，必须超过端点，表示可以向上（或向下）无限延伸．顶点处要画得光滑，不能画成尖端． （2）观察函数2 x y =的图象，它的形状、位置有哪些特征？（引导学生观察列表中的数据） 函数2 x y =的图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把这种图像叫做抛物线。 沪科版二次函数教案设 计及习题 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】 沪科版二次函数 二次函数（1） 教学目标： （1）能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。 （2）注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯重点难点： 能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。教学过程： 一、试一试 1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2．试将计算结果填写在下表的空格中， 2．x的值是否可以任意取有限定范围吗 3．我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定， y是x的函数，试写出这个函数的关系式， 对于1.，可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m2。 对于2，可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0 ＜x ＜10。 对于3，教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m(2)面积y等于多少并指出y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10)就是所求的函数关系式． 二、提出问题 某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价 每降低元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大? 在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答： 1．商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系? [利润=(售价－进价)×销售量] 2．如果不降低售价，该商品每件利润是多少元一天总的利润是多少元 [10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)] 3．若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元一天可销售约多少件商品[(10－8－x)；(100＋100x)] 4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围， [x的值不能任意取，其范围是0≤x≤2] 5．若设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式。 [y=(10－8－x) (100＋100x)(0≤x≤2)] 将函数关系式y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10＝化为： y=－2x2＋20x (0＜x＜10) (1) 将函数关系式y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)化为： y=－100x2＋100x＋20D (0≤x≤2) (2)沪教版九年级上册-二次函数复习 讲义
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 本章小结以二次函数为背景的综合题 教案
11沪教版-初三数学-中考总复习(二次函数) - 学生版-基础
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