完全归纳推理和不完全归纳推理
1.完全归纳推理
先看一个实例：当着天文学家对太阳系的大行星运行轨道进行考察的时候，他们发现：水星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，金星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，地球是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，火星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，木星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，土星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，天王星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，海王星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，冥王星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，而水星、金星、地球、火星、土星、木星、天王星、海王星、冥王星是太阳系的全部大行星。由此，他们便得出如下结论：所有的太阳系大行星都是沿着椭圆轨道绕太阳运行的。这一结论，就是运用完全归纳推理得出的。
可见，完全归纳推理是这样一种归纳推理：根据对某类事物的全部个别对象的考察，发现它们每一个都具有某种性质，因而得出结论说：该类事物都具有某种性质。
根据完全归纳推理的这一定义，它的逻辑形式可表示如下(S表示事物，P表示属性)，S1--P
S2--P
……………
Sn--P
(S1,S2……Sn是S类的所有分子)
所以，S--P
从公式可见，完全归纳推理在前提中考察的是某类事物的全部对象，而不是某一部分对象，因此，其结论所断定的范围并未超出前提所断定的范围。所以其结论是根据前提必然得出的，即其前提与结论的联系是必然的。就此而言，完全归纳推理具有演绎的性质。
由于完全归纳推理要求对某类事物的全部对象一一列举考察，所以，它的运用是有局限性的。如果某类事物的个别对象是无限的(如天体、原子)或者事实上是无法一一考察穷尽的(如工人，学生)，它就不能适用了。这时就只能运用不完全归纳推理了。
2.不完全归纳推理
不完全归纳推理是这样一种归纳推理：根据对某类事物部分对象的考察，发现它们具有某种性质，因而得出结论说，该类事物都具有某种性质。
第一种情况。主要根据是：所碰到的某类事物的部分对象都具有某种性质，而没有发现相反的情况。比如
-《内经?针刺篇》记载了这样一个故事：有一个患头痛的樵夫上山砍柴，一次不慎碰破足趾，出了一点血，但头部不疼了。当时他没有引起注意。后来头疼复发，又偶然碰破原处，头疼又好了。这次引起了注意，以后头疼时，他就有意刺破该处，都有效应(这个樵夫碰的地方，即现在所称的"大敦穴")。
现在我们要问，为什么这个樵夫以后头疼时就想到要刺破足趾的原处呢?从故事里可见，这是因为他根据自己以往的各次个别经验作出了一个有关碰破足趾能治好头痛的一个一般性结论了。在这里，就其所运用的推理形式来说，就是一个不完全的归纳推理。具体过程是这样的：
第一次碰破足趾某处，头痛好了，
第二次碰破足趾某处，头痛好了，
(没有出现相反的情况，即碰破足趾某处，而头痛不好。)
所以，凡碰破足趾某处，头痛都会好，
如用公式表示则是：
S1--P
S2--P
Ss--P
……………
Sn--P
(S1，S2，Ss，……，Sn是S类部分对象，枚举中未遇相反情况。)
所以，S--P
这种仅仅根据在考察中没有碰到相反情况而进行的不完全归纳推理，我们就称为简单枚举归纳推理或简称枚举归纳推理。
第二种情况。不是对某类事物的部分对象，碰到那个就考察那个(简单枚举归纳推理就是如此)，而是按照事物本身的性质和研究的需要，选择一类事物中较为典型的个别对象加以考察；通过这种对部分对象的考察而作出某种一般性的结论时，也不只是根据没有碰到例外相反的情况，而是分析和发现所考察过的某类事物的部分对象何以具有某种性质的客观原因和内在必然性。建立在这种对事物进行科学分析基础上的不完全归纳推理，我们就称之为科学归纳推理。
两种不完全归纳推理的根据是完全不同的，因而它们所得出结论的性质也是不同的。简单枚举归纳推理所依据的仅仅是没有发现相反的情况，而这一点对于作出一个一般性的结论来说，是必要的，但并不是充分的。因为，没有碰到相反的情况，并不能排除这个相反情况存在的可能性。而只要有相反情况的存在，无论暂时碰到与否，其一般性结论就必然是错的。
科学归纳推理则不同，它所根据的是对事物何以存在某种性质的必然原因进行科学的分析，因而它的结构是比较可靠的。
例谈不完全归纳法在初中数学中的运用 郧西县城关镇城北中学 徐华进 不完全归纳法是指从一个或几个(但不是全部)特殊情况作一般性的结论的归纳推理。这种归纳法是用一定数量数值为基础,进行分析探究,从中找出规律,并将此规律推广应用到一般情况下的计算和证明．在初中数学教材中，经常会用这种方法进行定义、公式、法则、定理的推导．学生在学习中,若能正确运用不完全归纳法,可提高分析、解决问题能力，发现、探索问题的能力。下面略举几例说明它的运用； 一. 在推导法则、定理中的运用 1．利用不完全归纳法推导分式乘方的运算法则 根据乘方的意义和分式乘法法则，可得： ①222)(b a bb aa b a == ②bbb aaa b a =3)(=33b a ③7 7 7)(b a bbbbbbb aaaaaaa b a ==…… 由此可推出，当n 为正整数时，= n b a )( b a n b a b a b a 个 ···??=n n b n a n b a b bb a aa =???? 个个····(b ≠0) 即分式乘方要把分子、分母分別乘方 ２．利用不完全归纳法推导凸多边形内角和定律 将教材的推导过程整理成下表：
通过引导学生填写上表内容,分析概括,总结归纳出多边形内角和定理:n 边形内角和等于1800 ×(n-2). 说明：本定理的推导，还可以在多边形内（或一边上）取任一点，分别连接多边形的顶点，也可仿照上述方法，得到同样的结论，可让学有余力的学生在课外去探讨。 二.在解题中的应用 1 . 从计算结果中探究规律 例 计算:⑴211- = 3 ⑵221111-=33 ⑶222111111-=333 ⑷222211111111-=3333 请根据上述规律写出下式的结果: 2 1 222....222211......11111个个n n -=______________. 分析：①从⑴至⑵式的左边可以看出：被开方数中被减数1的个数是减数2的二倍，其结果中3的个数是减数2的个数。 解： 2 1 222....222211......11111个个n n -= 3 333个n ? 说明：解此类题目关键是正确分析归纳出题中的结果数字与算式中数字之间的特殊关系，再从特殊推 广到一般. 2.从图形的特征中探究规律 例1 下列各三角形图案是由若干个五角星组成的，每条边（包括两个顶点）有n （n>1）五角星,每个图案中五角星的总数为s.按此规律推断:s 与n 的关系. ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ …… ★ ★ ★ ★ n=2，s=3 n=3 s=6 n=4，s=9 图(1) 图(2) 图(3 分析方法一:由于每条边上的五角星数包括了两个顶点,若每边按n 个计算,则重算了三角形三个顶点上的三个。故有s=3n-3. 分析方法二：由图可知，每个图案上的五角星总数，随着各边上五角星的增多而增多，且前面一个图案中五角星总数总比其后面一个图案中五角星总数少3，因此可猜想：s=b n +κ，根据图（1）、图（2）中的条件就能求出k ，b 的值，再验证是否满足图（3）的条件。 解：设s=b n +κ， 把n=2，s=3；n=3，s=6分别代入上式，得 ?? ?=+=+6 33 2b k b k 解得? ? ?=-=33 k b ∴s=3n-3 经检验：n=4，s=9也满足s=3n-3 所求s 与n 的关系为s=3n-3
推理知识点及题型归纳总结 知识点精讲 1．合情推理 合情推理包含归纳推理和类比推理两种基本推理方法． (1)归纳推理：根据某类事物的部分对象具有的某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这种特征的推理，是“部分到整体，个别到一般”的推理，属不完全归纳推理． (2)类比推理：两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有相似特征的推理，是“特殊到特殊”的推理． 2．演绎推理 演绎推理就是根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性命题为真的推理，常用的演绎推理规则有：假言推理；三段论推理；传递性关系推理和完全归纳推理．特别是“三段论”推理，其模式为： (1) 大前提——已知的一般结论． (2) 小前提——所研究的特殊情况． (3) 结论——根据一般结论，对特殊情况做出判断，步骤如下：①若S ∈M ，则S 有性质P ；②检验，S '∈M ； ③故S '具有性质P ． 注 如大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的． 题型归纳及思路提示 题型1 归纳推理 思路提示 对所给的几个特殊事例进行观察，归纳猜测出它们的共同点，好一般的规律性结论，但结论的正确性还需进一步证明．这里遵循的是由特殊到一般的推理原理． 例14.1 (2012湖北理13)回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，23，33，…，99.3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则： (1)4位回文数有＿＿＿＿个； (2)2n ＋1(n N +∈)位回文数有＿＿＿个． 分析 本题可通过归纳推理，结合计数原理求解． 解析 解法一：由于本题是填空题，不需要严谨的推导过程，由此可以通过归纳推理获得结论． 通过分析回文数的特征，可知3位回文数与4位回文数的个数相同，9×101 个．因为1位回文数与2 位回文数的个数为9×100 个； 3位回文数与4位回文数的个数为9×101个，5位回文数与6位回文数的个数为9×102 个． 根据此规律，推测2n ＋1位回文数有9×10n 个． 解法二：利用排列组合求解． 从左右对称入手考虑． (1)4位回文数第1，4位取相同且非零数有19C ＝9(种)不同的方法；第2，3位可取0，有1 10C ＝10(种) 不同的取法，即4位回文数有90个； (2)由题意可知：首位与末位不能取0，故有9种方法，其余各位置关于中间数对称，每两数都有10 种方法，正中间数也有10种方法，故2n ＋1(n N +∈)位回文数有9×10n 个． 评注 本题实际上是通过归纳推理求解，即找规律． 变式1 观察下列各式： 55＝3125，56＝15625，57＝78125，…，则52011 的末四位数字为( )． A ．3125 B ．5625 C ．0625 D ．8125 变式2 n 个自然数按规律排成如图14－1所示的序列：
數學歸納法的迷思 數學歸納法可說是高中數學裡最令同學納悶的一部份了，數學歸納法學的不錯的同學，大概都能謹遵老師交待要寫出以下2步驟: 1、 步驟1:證明n=1時，敘述成立。(不一定從1開始) 2、 步驟2:假設n=k 時，敘述成立；證明n=k+1時，敘述也成立 由數學歸納法得證，n 為任意自然數時都成立。 完整寫出以上2步驟，並且遇到數學歸納法的證明題時，操作以上步驟，算是達到了學習數學歸納法的最基本要求。只是能操作數學歸納法的基本步驟，不一定代表了解數學歸納法的原理，因此容易造成誤用，而不知道錯在何處，或者是雖然做出了正確的証明，但終究對於這樣的証明方法存疑，先說存疑之處:「只知道n=k 和n=k+1成立，仍不知道後面幾項是否成立」、「用假設來證明很沒說服力，萬一假設不成立呢?」、「怎麼可以假設n=k 成立呢?」這是學習數學歸納法常會出現的疑問，所以再複習一下數學歸納法的基本原理，皮亞諾(G.Peano)在西元1889年提出的自然數的序數理論，包含5條公理: (1)1是一個自然數 (2)每一個自然數a 都有一個後繼元素 (3)1沒有生成元素 (4)如果a 與b 的後繼元素相等，則a=b (5)若一個由自然數所組成的集合S 包含1，並且當S 包含某一自然數a 時，它一定也含有a 的後繼元素，則S 就包含有全體自然數。 數學歸納法原理就是皮亞諾的第5條公理，無需證明。數學歸納法實際上是一種演繹方法，由於我們無法證明所有自然數均滿足於某一條件，所以我們用邏輯遞推的方式，先證明有一個起始值合於條件(步驟1)，接下來證明所滿足的條件是可以遞推的，若n=k 成立?n=k+1成立(步驟2)。就以老師上課常講的以骨牌為例，假設我們有無限多顆骨牌，因為數量是無限多，所以我們無法實際操作，看到所有骨牌倒下，但是我們可以確認的兩件事就是第一顆骨牌會倒，以及若骨牌倒了，後一顆骨牌也必倒，這兩件事確定了，我們不必眼見所有骨牌倒下，也知道所有骨牌都會倒，這就是數學歸納法的原理。 同學在學習數學歸納法常見的錯誤上大致有以下二種: (一)忽略起始值與遞推過程的互相配合，以證明n n 22<，N n ∈為例: 1、 當1=n 時，1221<，成立 2、 設k n =時k k 22<成立；當1+=k n 時 1 2122)12(22)1(2222221--=--->++-?=+-+k k k k k k k k k k 01)2(>--=k k ?122)1(+<+k k ，由數學歸納法得証。 以上證明犯了很明顯的錯誤，就是01)2(>--=k k 的條件必須3≥k ，所以用k=1當起始值就與證明過程沒有配合，仔細再檢視一遍，4,3,2=n ，均不符合，
〖学习目的和要求〗 学习这一章，应当掌握归纳推理的特点，了解归纳推理与演绎推理的联系和区别；掌握完全归纳推理、简单枚举法的内容、公式和特点；掌握穆勒五法的内容和公式；识别用自然语言表述的推理是否为归纳推理；识别具体的归纳推理是完全归纳推理还是枚举法或科学归纳法。 要求： 1.需要记忆的内容 ①归纳推理的定义和归纳推理的特点。 ②完全归纳推理的定义和完全归纳推理的特点。 ③不完全归纳推理的定义、简单枚举法的特点及应用该方法容易犯的逻辑错误、科学归纳法的定义和特点。 2.需要理解的问题 ①演绎和归纳的区别与联系。 ②应用枚举法容易犯的错误－－以偏盖全、轻率概括。 3.需要掌握的应用分析能力 能够分析应用枚举法所犯的逻辑错误。 〖试题例析〗 1.考核本章涉及的主要基本概念 ⑴ 填空题 ① 简单枚举法是以考察一类事物中的部分情况作为主要依据，且又未发现反例而作出一般性结论的。 ② 科学归纳法是根据某类部分对象与某属性之间具有因果联系从而推出一般性结论。 ③ 穆勒五法是求同法、求异法、求同求异并用法、共变法和剩余法。 ④ 归纳推理和演绎推理的关系是 a. 演绎推理的大前提要靠归纳推理来获取； b.归纳推理的结论是否正确有待演绎推理的论证和补充；它们是相互联系相互补充的。 【分析】 以上题目属于考察考生对本章应当记忆的基本内容的掌握情况。这些内容，只要认真学习教材，就能够填写。 ⑵选择题 ① 完全归纳推理是Ｂ。 Ａ.或然性推理Ｂ.必然性推理 Ｃ.既非或然性推理而又非必然性推理；Ｄ.既是或然性推理又是必然推理 ② 运用简单枚举法容易犯的逻辑错误是Ｂ。 Ａ.机械类比Ｂ.以偏概全Ｃ.以相对为绝对Ｄ.预期理由 【分析】 以上考核的仍然是基本概念，需要认真看教材。 2.应用分析能力的考核 ⑴ 选择题 ① 下面这些结论中，不能用完全归纳法得到的是ＡＣ。
什么是不完全归纳推理 不完全归纳推理，又称“不完全归纳法”，它是以某类中的部分对象（分子或子类）具有或不具有某一属性为前提，推出以该类对象全部具有或不具有该属性为结论的归纳推理。 不完全归纳推理的特点 不完全归纳推理由于前提只考察了某类事物中的部分对象具有这种属性，而结论却断定该类事物的全部对象都具有这种属性，其结论所断定的范围显然超出了前提所断定的范围，所以，前提同结论之间的联系是或然的。也就是说，即使前提真实，推理形式正确，其结论也未必一定是真的。 不完全归纳推理的类型 不完全归纳推理分为两类，一是简单枚举法，一是科学归纳法。 一、简单枚举法 简单枚举归纳推理，又称“简单枚举法”，它是这样一种不完全归纳推理：它根据某类中的部分对象（分子或子类）具有或不具有某一属性，并且未遇反例之前提，推出该类对象全部具有或不具有该属性之结论。其形式如下： S1是（或不是）P; S2是（或不是）P; S3是（或不是）P; ……; Sn是（或不是）P. （S1，S2，S3,……,Sn是S类的部分对象，枚举中未遇反例） 所以，所有S都是（或不是）P. 上式中的S1，S2，S3,……,Sn.可以表示S类的个体对象，也可以表示S类的子类。 二、科学归纳法 科学归纳推理，又称“科学归纳法”，它是以科学分析为主要依据，由某类中部分对象与其属性之间所具有的因果联系，推出该类的全部对象都具有某种属性的归纳推理。其形式为： S1是P;
S2是P; S3是P; ……; Sn是P. （S1，S2，S3,……,Sn是S类的部分对象，它们与P之间有因果联系） 所以，所有S都是P. 所谓因果联系是指原因和结果之间的联系。原因和结果本是哲学中的一对范畴。它是对自然界和社会领域中普遍存在的一种必然联系的哲学概括和反映。所谓原因，就是引起某现象出现的现象；所谓结果，就是被某现象引起的现象。 例如，某甲未付货款在先，致使某乙未交货物。甲的行为就是乙未交货的原因，乙未交货就是甲未付款的结果。 不完全归纳法的作用 不完全归纳法的特点是结论所断定的范围超出了前提所断定的范围，结论的知识往往不只是前提已有知识的简单推广，而且还揭示出存在于无数现象之间的普遍规律性，给我们提供全新的知识，尤其是科学的普遍原理。人们要认识周围的事物，首先必须对事物的现象进行大量的观察和实验，然后根据观察和实验所确认的一系列个别事实，应用不完全归纳法由个别的知识概括成为一般的知识，从而达到对普遍规律性的认识。所以，不完全归纳法在探求新知识的过程中具有极为重要的意义。
前面涉及到的传统词项逻辑和传统命题逻辑都属于传统演绎逻辑推理。演绎推理是指从一般性原理到个别性论断的推理，归纳推理正好相反，是指从个别性论断到一般性原理的推理，是从相对不普遍的论断到相对较普遍的结论的推理。归纳推理，包括完全归纳推理、不完全归纳推理（简单枚举归纳推理和科学归纳推理）、探求因果联系的逻辑方法和类比方法等等。 一、完全归纳推理 完全归纳推理指的是这样的推理：根据某类事物中每一个对象都具有某种属性，推出该类事物的全部对象都具有这种属性的结论。 完全归纳推理的公式可表示为： S1是（或不是）P。 S2是（或不是）P。 S3是（或不是）P。 ┇ S n是（或不是）P。 （S1，S2，S3，…，S n是S类的全部个体对象，并且其中没有S不是P） 所以，所有S都是（或都不是）P。 显然，完全归纳推理的前提对其结论提供了充分的、完全的支持，以至于如果前提为真，结论就一定为真，前提对于结论的支持度为100﹪。 二、不完全归纳推理 不完全归纳推理指的是这样的归纳推理：根据某类事物当中的部分对象具有或不具有某种属性，推出该类的全部对象具有或不具有该属性的结论。 （一）简单枚举归纳推理 简单枚举归纳推理指的是：在一类事物中，根据已观察到的部分对象都具有某种属性，并且没有遇到任何反例，从而推出该类所有对象都具有该种属性的结论。 简单枚举归纳推理的一般形式可表示为： S1是（或不是）P。 S2是（或不是）P。 ┇ S n是（或不是）P。 （S1，S2，…S n是S类的部分对象，并且枚举中没有遇到反例） 所以，所有的S都是（或不是）P。 简单枚举归纳推理有极其广泛的应用。日常生活中的“种瓜得瓜，种豆得豆”、“瑞雪兆丰年”等谚语，自然科学研究中的“摩擦生热”、“热胀冷缩”等定律，都是运用简单枚举归纳推理得到的结果。简单枚举归纳推理所得结论的可靠性程度完全建立在所枚举事例的数量及其分布的范围之上。通常把由于没有满足这些条件而导致假结论的简单枚举归纳推理过程称为“以偏概全”、“轻率概括”。 （二）科学归纳推理 简单枚举归纳推理的一种变化形式——科学归纳推理，其形式可表示如下： S1是P。 S2是P。 ┇ S n是P。 （S1，S2，…S n是S类的部分对象，其中没有S i（1≤i≤n）不是P；并且科学研究
6.3 数学归纳法 （第一课时） 一、教学目标： （一）知识目标： 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． （二）情感目标： 进一步培养严谨的科学思维品质，让学生初步认识有限与无限的辩证关系，感悟数学的理性精神，欣赏数学的美与理． （三）能力目标： 培养“大胆猜想，小心求证”的科学思维品质，培养发现问题与提出问题的数学意识，培养数学学习中的合作交流的能力，使学生初步掌握由归纳到猜想再到证明的数学思想方法． 二、教学重点 掌握数学归纳法证明题目的步骤，掌握数学归纳法的一些应用． 三、教学难点 应用数学归纳法第二个步骤中从k 到k+1的变化情况分析． 四、教学过程 （一）引入课题 将课前准备好的多米诺骨牌摆好并进行演示，观察其中出现的“多米诺现象”：推倒头一块骨牌，它会带倒第二块，再带倒第三块，……，直到所有骨牌全部倒下． 假设多米诺骨牌有无穷多块，在摆多米诺骨牌时，怎样才能保证所有的骨牌一块接一块地倒下？ 学生：首先必须推倒第一块，接着是假如前面一块倒下，要保证它倒下时会撞倒下一块．这两个条件满足了，全部的骨牌都将倒下． 教师：生活中还有许多现象与“多米诺现象”类似，也都可以提出同样的问题并作出相同的回答，例如：在燃放鞭炮时怎样才能保证所有的鞭炮逐个地全部燃爆？在一列队伍中传达口令，怎样才能保证口令能从第一个士兵开始逐个传遍整个队伍？ （二）传授新知： 教师：现在我们把骨牌想象为一系列无穷多个编了号的命题：123,,, ,P P P 假定我们能够证明最初的一个命题1P 正确（奠基）；由每一个命题k P 的正确性都可以推出它的下一个命题1k P +的正确性（过渡）．那么我们便证明了这一系列命题的正确性．请将这个过程与多米诺现象进行类比． 在数学中这种证明问题的方法称为数学归纳法．在数学中采用数学归纳法证明与自然数有关的命题时，有以下两个步骤： 第一步，证明1n =时命题成立； 第二步，证明：如果n k =时命题成立，那么1n k =+时命题也成立． 根据以上两步可以断定，命题对任何正整数n 都成立． １．用数学归纳法证明：如果{}n a 是一个等差数列，那么1(1)n a a n d =+-对一切n N +∈都成立． 【证明】（1）当1n =时，左边＝1a ，右边＝110a d a +?=，等式成立；
完全归纳法 完全归纳推理，又称“完全归纳法”，它是以某类中每一对象（或子类）都具有或不具有某一属性为前提，推出以该类对象全部具有或不具有该属性为结论的归纳推理。 举例 ①太平洋已经被污染；大西洋已经被污染；印度洋已经被污染；北冰洋已经被污染；（太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋是地球上的全部大洋）所以，地球上的所有大洋都已被污染。 ②张一不是有出息的；张二不是有出息的；张三不是有出息的；（张一、张二、张三是张老汉仅有的三个孩子）所以，张老汉的孩子都不是有出息的。 上述两例都是完全归纳推理。例①对地球上的所有大洋都逐一进行考察，发现它们都被污染了，由此推出地球上所有大洋都具有“已被污染”这一属性。例②对张老汉仅有的三个孩子都逐一进行考察，发现他们都不是有出息的，由此推出张老汉的孩子都不具有“有出息的”这一属性。 逻辑形式 完全归纳推理的逻辑形式可表示如下： S1是（或不是）P；S2是（或不是）P；S3是（或不是）P；……Sn是（或不是）P。（S1，S2，S3，……Sn是S类的全部对象）所以，所有的S都是（或不是）P. 上式中的S1、S2、S3、……Sn ，可以表示S类的个体对象，也可以表示S类的子类。前者，如例①和例②；后者，如下面的例③。③黄种人不是长生不老的，白种人不是长生不老的，黑种人不是长生不老的，棕种人不是长生不老的，（黄种人、白种人、黑种人、棕种人是地球上的全部人种）所以，地球上的所有人种都不是长生不老的。 完全归纳推理特点 完全归纳推理的前提无一遗漏地考察了一类事物的全部对象，断定了该类中每一对象都具有（或不具有）某种属性，结论断定的是整个这类事物具有（或不具有）该属性。也就是说，前提所断定的知识范围和结论所断定的知识范围完全相同。因此，前提与结论之间的联系是必然性的，只要前提真实，形式有效，结论必然真实。完全归纳推理是一种前提蕴涵结论的必然性推理。
完全归纳推理和不完全归纳推理 1.完全归纳推理 先看一个实例：当着天文学家对太阳系的大行星运行轨道进行考察的时候，他们发现：水星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，金星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，地球是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，火星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，木星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，土星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，天王星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，海王星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，冥王星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，而水星、金星、地球、火星、土星、木星、天王星、海王星、冥王星是太阳系的全部大行星。由此，他们便得出如下结论：所有的太阳系大行星都是沿着椭圆轨道绕太阳运行的。这一结论，就是运用完全归纳推理得出的。 可见，完全归纳推理是这样一种归纳推理：根据对某类事物的全部个别对象的考察，发现它们每一个都具有某种性质，因而得出结论说：该类事物都具有某种性质。 根据完全归纳推理的这一定义，它的逻辑形式可表示如下(S表示事物，P表示属性)，S1--P S2--P …………… Sn--P (S1,S2……Sn是S类的所有分子) 所以，S--P 从公式可见，完全归纳推理在前提中考察的是某类事物的全部对象，而不是某一部分对象，因此，其结论所断定的范围并未超出前提所断定的范围。所以其结论是根据前提必然得出的，即其前提与结论的联系是必然的。就此而言，完全归纳推理具有演绎的性质。 由于完全归纳推理要求对某类事物的全部对象一一列举考察，所以，它的运用是有局限性的。如果某类事物的个别对象是无限的(如天体、原子)或者事实上是无法一一考察穷尽的(如工人，学生)，它就不能适用了。这时就只能运用不完全归纳推理了。 2.不完全归纳推理 不完全归纳推理是这样一种归纳推理：根据对某类事物部分对象的考察，发现它们具有某种性质，因而得出结论说，该类事物都具有某种性质。 第一种情况。主要根据是：所碰到的某类事物的部分对象都具有某种性质，而没有发现相反的情况。比如 -《内经?针刺篇》记载了这样一个故事：有一个患头痛的樵夫上山砍柴，一次不慎碰破足趾，出了一点血，但头部不疼了。当时他没有引起注意。后来头疼复发，又偶然碰破原处，头疼又好了。这次引起了注意，以后头疼时，他就有意刺破该处，都有效应(这个樵夫碰的地方，即现在所称的"大敦穴")。 现在我们要问，为什么这个樵夫以后头疼时就想到要刺破足趾的原处呢?从故事里可见，这是因为他根据自己以往的各次个别经验作出了一个有关碰破足趾能治好头痛的一个一般性结论了。在这里，就其所运用的推理形式来说，就是一个不完全的归纳推理。具体过程是这样的： 第一次碰破足趾某处，头痛好了， 第二次碰破足趾某处，头痛好了， (没有出现相反的情况，即碰破足趾某处，而头痛不好。) 所以，凡碰破足趾某处，头痛都会好，
不完全归纳推理，又称“不完全归纳法”，它是以某类中的部分对象（分子或子类）具有或不具有某一属性为前提，推出以该类对象全部具有或不具有该属性为结论的归纳推理。 不完全归纳推理由于前提只考察了某类事物中的部分对象具有这种属性，而结论却断定该类事物的全部对象都具有这种属性，其结论所断定的范围显然超出了前提所断定的范围，所以，前提同结论之间的联系是或然的。也就是说，即使前提真实，推理形式正确，其结论也未必一定是真的。 不完全归纳推理分为两类，一是简单枚举法，一是科学归纳法。 一、简单枚举法 简单枚举归纳推理，又称“简单枚举法”，它是这样一种不完全归纳推理：它根据某类中的部分对象（分子或子类）具有或不具有某一属性，并且未遇反例之前提，推出该类对象全部具有或不具有该属性之结论。其形式如下： 上式中的S1，S2，S3,……,Sn.可以表示S类的个体对象，也可以表示S类的子类。 二、科学归纳法 科学归纳推理，又称“科学归纳法”，它是以科学分析为主要依据，由某类中部分对象与其属性之间所具有的因果联系，推出该类的全部对象都具有某种属性的归纳推理。其形式为：
所谓因果联系是指原因和结果之间的联系。原因和结果本是哲学中的一对范畴。它是对自然界和社会领域中普遍存在的一种必然联系的哲学概括和反映。所谓原因，就是引起某现象出现的现象；所谓结果，就是被某现象引起的现象。 例如，某甲未付货款在先，致使某乙未交货物。甲的行为就是乙未交货的原因，乙未交货就是甲未付款的结果。 不完全归纳法的特点是结论所断定的范围超出了前提所断定的范围，结论的知识往往不只是前提已有知识的简单推广，而且还揭示出存在于无数现象之间的普遍规律性，给我们提供全新的知识，尤其是科学的普遍原理。人们要认识周围的事物，首先必须对事物的现象进行大量的观察和实验，然后根据观察和实验所确认的一系列个别事实，应用不完全归纳法由个别的知识概括成为一般的知识，从而达到对普遍规律性的认识。所以，不完全归纳法在探求新知识的过程中具有极为重要的意义。
逻辑推理的三种方法 归纳推理归纳是从个别对象推知一类对象，从个别性知识推知中概括出一般原理或规律的的推理形式和思 维方法，归纳推理包括完全归纳法和不完全归纳法。例如在具有细胞结构的生物中，对它们的遗传物质进行推理发现，所有具有细胞结构的生物的遗传物质都是DNA，这就是完全归纳的结论。但如果把病毒也作为生物，进行遗传物质的推理发现，只有一部分病毒的遗传物质是DNA，还有一部分病毒的遗传物质是RNA，所以我们说，绝大多数生物的遗传物质是DNA，这就是一个不完全归纳的结论。细胞里面水的含量是最多的，这也是一个不完全归纳的结论，因为有极少数细胞中不的含量是很少或几乎没有水，例如小麦胚细胞中淀粉最多，脂肪细胞中的脂肪最多。 演绎推理演绎是从一般到特殊，根据一类事物都有的一般属性、关系、本质来推断这类事物中的个别事物所具有的属性、关系和本质的推理形式和思维方法。 在演绎推理中，除了由一个前提推出一个结论的直接推理外，还有由两个或两个以上的前提推出一个结论的间接推理。后者中运用得比较多的是“三段论”。例如问，原子核运动不是 不运动？要获得答案，可以用三段论推理：
大前提：物质都是运动的。 小前提：原子核是物质。 结论：原子核也是运动的。 值得注意的是，不完全归纳推理的结论，不能作为演绎推理的大前提。 类比推理类比推理是逻辑推理的方法之一，它是启发人们进行创新思维的重要形式。类比推理是根据两个或两类事物在某些属性上有相同或相似之处，而且已知其中一个事物具有某种属性，由此推知另一个事物也可能具有这种属性的推理。例如，斯莱登和施旺发现植物和动物都是由细胞组成的，后来斯莱登发现了植物细胞中有细胞核，他通过类比推理，认为动物细胞中可能也有细胞核。他把这一想法告诉了施旺，后来施旺果然在动物中发现了细胞核。在科学研究中，类比推理是提出假说的重要途径，往往可以导致新发现、新理论。应当注意的是，类比推理得出的结论不一定具有逻辑上的必然性，其是否正确，还需要用其他方法来检验。
第十二章归纳推理、类比推理、回溯推理和科学假说 【堂上操练】 一、填空题： 1．归纳推理是从__________的前提推出__________的结论的推理。 2．概率归纳推理是根据某类事物中的_______具有某种属性的概率，推出该类事物的________都具有该属性概率的推理。 3．___________是根据被考察的样本中百分之几的对象具有（或不具有）某种属性，从而推出总体中百分之几的对象具有（或不具有）某种属性的推理。 4．所谓探求因果联系的方法，就是以____________为手段，考察对象之间因果联系的逻辑方法，包括_____________________________________。 5．类比推理简称类推，是根据两个（或两类）对象在某些属性上_________，从而推出它们在其他属性上也___________的推理。 6．回溯推理是从已知事实出发，借助充分条件假言命题，从后件存在推测前件存在的______________推理。 7．科学假说是指以已有的事实材料和科学原理为依据对未知的事物或规律性所作的______________的思维方法 二、指出下列结论是运用哪种归纳推理推出的： 1．秋早寒冬必暖矣；春多雨则夏必旱矣。 2．某系99级（1）班所有学生逻辑成绩都及格。 3．人贵有自知之明。 4．一切阶级社会的教育都是为统治阶级的政治路线服务的。 5．骄傲来自浅薄，狂妄出于无知。 6．5个连续自然数之和能被5整除。 三、指出下列推理的种类，并写出其推理形式： 1．德国数学家高斯在很小的时候，就表现出非凡的数学天才。他10岁那年，老师在他班里出了一道算术题： 1+2+3+4……+97+98+99+100+？ 老师刚把题目说完，小高斯就举起手来，报出算题的答案：5050。小高斯为什么能算得这么快呢？原来他发现1到100这一百个数有一个特点，即依次把头尾两个数加起来都等于101，而这样的数刚好50对。于是，他就用101×50去计算，很快就得到了答案。 2．某村估计1000亩山地谷子当年产量，按其长势分为三个层次，好的200亩，中等的700亩，差的100亩。然后从这三个层次中随机分别抽取2亩、7亩、1亩作样本。这10亩平均亩产为350斤，由此推知山地谷子当年亩产量为350斤。 3．取大于1的奇数，各自平方，再从得到的数中减去1，例如 22222 2 32 －1=8 112 －1=120 52 －1=24 132 －1=872 －1=48 (92) －1=80 从它们的得数中，我们发现有一个共同的性质，即每一个得数都能被8整除。因此，我们得出结论：所有大于1的奇数的平方减去1，得到的数是8的倍数。 4．在检查一批货物的质量时，由于数量太大，因而进行了抽查，结果如下表：
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第五章
归 纳 推 理
[目的与要求]掌握归纳推理的特点， 了解归纳推理与演绎推理的联系和区别； 掌握完全归纳 推理、简单枚举法的内容、公式和特点；掌握穆勒五法的内容与公式；识别用自然语言表述 的推理是否为归纳推理； 识别具体的归纳推理是完全归纳推理还是简单枚举法； 对于具体的 判明因果联系的事例，识别它使用的是何种探求因果联系的方法。 [课时] [内容] 6 课时 一、归纳推理的概述 二、完全归纳推理 三、不完全归纳推理 四、探求因果联系的逻辑方法
5.1 归纳推理概述
5.1.1 什么是归纳推理 1.定义 归纳推理是以个别或特殊性知识为前提， 推出一般性知识的推理。 它的结论所断定的知 识范围超出了前提所断定的知识范围，因此，归纳推理的前提与结论之间的联系（完全归纳 推理除外）具有或然性。推理形式： S1 是 P， S2 是 P S3 是 P …… Sn 是 P S1、S2、S3……Sn 是 S 类事物的部分个别对象， 所以，所以 S 都是 P。 2.归纳推理的种类 完全归纳推理、不完全归纳推理 5.1.2 归纳推理与演绎推理的关系 1．两者的区别 （1）推理认识发展过程的方向不同（思维进程的方向不同） 。 演绎推理：一般到个别； 归纳推理：个别到一般。 （2）结论断定的知识范围不同。 演绎推理：结论所断定的范围没有超出前提所断定的范围；
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归纳推理：结论所断定的范围超出前提所断定的范围。 （3）前提与结论间的联系程度不同（推理的形式不同） 。 演绎推理：前提与结论之间的联系是必然的，即充分条件的关系，前提蕴涵结论； 归纳推理：前提与结论之间的联系是或然的，即必要条件的关系，前提被结论所蕴涵。 2．两者相互联系：演绎推理和归纳推理是相互依赖、相互补充的 （1）归纳推理的结论为演绎推理提供了前提。 演绎推理的一般性知识的大前提，需要借助于归纳推理从具体的经验中概括出来。 （2）演绎推理为归纳推理提供了指导。 归纳活动的目的、任务和方向是归纳过程本身所不能解决和提供的，这只有借助于理 论思维，依靠人们先前所积累的一般性理论知识的指导。而这本身就是一种演绎活动。 在实际思维过程中，归纳推理和演绎推理是相互依赖、相互渗透、互为补充的，夸大 一个方面而否定另一个方面的作用都是片面的。 正如恩格斯所说：“我们用世界上一切归纳法都永远不能把归纳过程弄清楚。只有对这 个过程的分析，才能做到这一点。”“归纳和演绎，正如分析和综合一样，是必然互相联系着 的，不应当牺牲一个而把另一个捧到天上去，应当把每一个都用到该用的地方，而要做到这 一点，就只有注意它们的相互联系，它们的相互补充。” 5.1.3 搜集和整理事实材料的方法 相比演绎推理， 归纳推理与搜集经验材料方法的联系更为紧密。 归纳推理作为一种由个 别前提得出一般性知识的结论的推理，它不等于认识了个别就达到一般的整个过程。因此， 进行归纳推理首先必须有一定的事实材料，积累大量的个别知识作为前提，当然，对这些材 料还必须进行加工， 然后才能进行归纳推理。 即在推理之前必须做搜集和整理事实材料的工 作。 1.搜集事实材料的方法 搜集事实材料，必须依靠经验的认识方法，即观察和实验等方法。 （1）观察 ①人们有目的地通过感官直接研究被研究对象。 ②观察具有目的性和选择性。 ③通过感官考察客体为直接观察；利用仪器观察是间接观察。 （2）实验 ①人们根据一定的研究目的并利用一定的物质手段 （器材设备） 在人为控制的条件下， ， 获取事物发展过程或结果的认识的科学方法。实验比观察的方法更能深刻揭示事物的本质。 ②实验具有简化或纯化的特点。 它可以人为地使某些现象发生， 而使另一些现象不发生， 使某一些现象发生变化，而使另一些现象保持不变，这样就容易认识现象间的因果联系。实 验具有强化条件的特点。 它可以创造在自然界中难以得到或难以利用的特殊条件。 实验具有
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For personal use only in study and research; not for commercial use 完全归纳推理和不完全归纳推理 1.完全归纳推理 先看一个实例：当着天文学家对太阳系的大行星运行轨道进行考察的时候，他们发现：水星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，金星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，地球是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，火星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，木星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，土星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，天王星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，海王星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，冥王星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，而水星、金星、地球、火星、土星、木星、天王星、海王星、冥王星是太阳系的全部大行星。由此，他们便得出如下结论：所有的太阳系大行星都是沿着椭圆轨道绕太阳运行的。这一结论，就是运用完全归纳推理得出的。 可见，完全归纳推理是这样一种归纳推理：根据对某类事物的全部个别对象的考察，发现它们每一个都具有某种性质，因而得出结论说：该类事物都具有某种性质。 根据完全归纳推理的这一定义，它的逻辑形式可表示如下(S表示事物，P表示属性)，S1--P S2--P …………… Sn--P (S1,S2……Sn是S类的所有分子) 所以，S--P 从公式可见，完全归纳推理在前提中考察的是某类事物的全部对象，而不是某一部分对象，因此，其结论所断定的范围并未超出前提所断定的范围。所以其结论是根据前提必然得出的，即其前提与结论的联系是必然的。就此而言，完全归纳推理具有演绎的性质。 由于完全归纳推理要求对某类事物的全部对象一一列举考察，所以，它的运用是有局限性的。如果某类事物的个别对象是无限的(如天体、原子)或者事实上是无法一一考察穷尽的(如工人，学生)，它就不能适用了。这时就只能运用不完全归纳推理了。 2.不完全归纳推理 不完全归纳推理是这样一种归纳推理：根据对某类事物部分对象的考察，发现它们具有某种性质，因而得出结论说，该类事物都具有某种性质。 第一种情况。主要根据是：所碰到的某类事物的部分对象都具有某种性质，而没有发现相反的情况。比如 -《内经?针刺篇》记载了这样一个故事：有一个患头痛的樵夫上山砍柴，一次不慎碰破足趾，出了一点血，但头部不疼了。当时他没有引起注意。后来头疼复发，又偶然碰破原处，头疼又好了。这次引起了注意，以后头疼时，他就有意刺破该处，都有效应(这个樵夫碰的地方，即现在所称的"大敦穴")。 现在我们要问，为什么这个樵夫以后头疼时就想到要刺破足趾的原处呢?从故事里可见，这是因为他根据自己以往的各次个别经验作出了一个有关碰破足趾能治好头痛的一个一
小学数学教学中不完全归纳法的运用 在小学数学教学过程中，培养学生的归纳推理能力，具有十分重要的意义。它是小学生在学习过程中将零碎的知识变成系统性知识的一种能力；也是个体自我完善、发展的有效手段之一。下面就“不完全归纳法”在教学中的运用，谈谈自己的认识。 所谓不完全归纳法是指根据一类中的部分对象具有某种属性，从而得出该类对象都具有某种属性的推理。虽然该种归纳法未必具有逻辑上的严密性，然而，它作为一种重要的数学思想方法，在数学教学、解题研究中有着广泛的运用。 《数学课程标准》指出：“学生的数学学习内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动”。在教学中，观察与实验是学生了解知识发现知识的重要手段；对知识的大胆猜测能使学生的学习目的更明确，激发学生的求知欲；对知识的验证，既能证明知识的真实性也能让学生体会到探索知识并获得成功的快乐；根据学生的探索与发现引导学生完成推理，这又是学生能在学习过程中将零碎的知识变成系统性的知识的重要手段。“观察、实验、猜测、验证”都是学生获得知识的有效手段，而推理即是学生在学习过程中将零碎的知识变成系统性知识的重要手段。“推理”本身又是一种相当严密的思维过程，它必须依赖正确的知识或理论作为基础。因此，在教学中只有孤立的“推理”教学是不现实的，它必须与其它教学手段有机地结合起来。而“观察、实验、猜测、验证”即为学生进行正确推理提供了知识的准备。因此，要更好地运用不完全归纳法进行教学就必须将“观察、实验、猜测、验证”与“推理”有机地结合起来。 “不完全归纳法”在实际教学中运用很广范，那么如何提高学生的推理能力，又如何更有效地运用不完全归纳法进行设计教学呢？下面以苏教版五年级上册“小数乘法”这一教学内容为例进行说明。 “小数乘法”（苏教版五年级上册第86页至第87页），这部分的教学内容的教学重点是让学生理解“积的小数位数是各因数的小数位数之和”。但在教学中直接教给学生算理，这样的教学方式学生学起来比校枯燥，学生理解也比较困难，教学效果不理想。因此我尝试以下方法： 一、调动学生观察，建立新旧知识的联系，并引出问题。 出示表格，观察该表中每组数据你有什么发现？。
高考数学（2011）复习专题 --不完全归纳法 （一）知识归纳： 由事物的部分特殊事例猜想出事物的一般结论，这种方法人们称为“不完全归纳法”，用不完全归纳法得出的结论需要经过证明，因此全部过程可以小结为下面程序： ① 计算命题取特殊值时的结论； ② 对这些结果进行分析，探索数据的变化规律，并猜想命题的一般结论； ③ 证明所猜想的结论. （二）学习要点： 在中学数学内，“归纳—猜想—证明”的推理方法一般只局限于数列的内容，而且与正整数n 有关，其它内容中很少有要求，解决问题时要注意以下几点， ①计算特例时，不仅仅是简单的算数过程，有时要通过计算过程发现数据的变化规律； ②猜想必须准确，绝对不能猜错，否则将徒劳无功； ③如果猜想出来的结论与正整数n 有关，一般用数学归纳法证明. 【例1】已知数列{}n a 满足关系式∈≥+=>=--n a a a a a a a n n n ,2(12),0(1 1 1N +）， （Ⅰ）用a 表法a 2，a 3，a 4； （Ⅱ）猜想a n 的表达式（用a 和n 表示），并证明你的结论. [解析]（Ⅰ）
;7183141314212,31412112212,2334 2232a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +=+++? =+=+=+++? =+=+= （Ⅱ）（ ,)12(12,)12(12111001a a a a a a a -+=-+==） 猜想, )12(1211a a a n n n -+=--下面用数学归纳法证明： 1°．当n=1时，∴-+==,)12(12001a a a a 当n=1结论正确； 2°．假设当n=k 时结论正确，即a a a k k k )12(121 1-+=--， ∴当n=k+1时 a a a a a a k k k k k k 1112)12(1212--++-+= += =,)12(1222121a a a a a k k k k -+=-?+-当n=k+1时结论也正确； 根据1°与2°命题对一切n ∈N*都正确. [评析]“归纳—猜想—证明”是解决数列的某些问题的一种重要方法，对于一些变换技巧比较高的问题，如果能通过这种方法解答成功，则解答过程比较其它方法更容易. 【例2】已知数列{}n a 满足：,232,1111-+?+==n n n a a a 计算a 2，a 3，a 4的值，由此归纳出a n 的公式，并证明你的结论. [解析]很容易算出a 2=5，a 3=16，a 4=44，但由此猜想出结论显然是非常困难的，下面作一些探索. ∵a 2=2 a 1+3×2°=2×1+3×2°， a 3=2（2×1+3×2°）+3×21=22×1+2×3×21， a 4=2（22×1+2×3×21）+3×22=23×1+3×3×22； 猜想a n =2n －1+（n －1）×3×2n －2=2n －2（3n －1）； 用数学归纳法证明： 1°．当n=1时，a 1=2－1×=1，结论正确； 2°．假设n=k 时，a k =2k －2（3k －1）正确， ∴当n=k+1时，111123)13(2232---+?+-=?+=k k k k k k a a =)23(21+-k k
第八章：归纳推理 1、归纳推理：是以个别性知识为前提而推理一般性结论的推理。前提是一些关于个别事物或现象的判断，而结论是关于该事物或现象的普遍性判断。 2、归纳推理与演绎推理的关系： （1）联系：演绎推理离不开归纳推理，演绎推理的大前提是由归纳推理提供的，归纳推理 也离不开演绎推理，归纳推理以个别性知识的判断为前提，而这些个别性的知识是通过观察、实验等方法获得的。 （2）区别：1、从思维过程来看，演绎推理是从一般性认识推出个别性认识，而归纳推理是 从个别性认识推出一般性认识，2、从结论所断定的知识范围来看，演绎推理的结论没有超出前提所断定的知识范围，而归纳推理的结论由个别性知识经概括得到一般性知识，超出了前提所断定的范围，3、从前提与结论联系的程度来看，演绎推理的前提与结论之间具有必然的联系，只要前提真实，形式正确，就能必然地推出真实的结论，而归纳推理（除完全归纳外）的前提与结论之间只具有或然性联系，前提真实，结论不一定是真实的。 3、归纳推理的种类：分完全归纳推理和不完全归纳推理两大类。不完全归纳推理又分为简单枚举法和科学归纳法两种，在科学归纳法中，包括有探求因果联系的五种方法。 （1）完全归纳法：根据某类中每一个对象具有的某种属性，推出该类对象都具有某种属性的推理。 （2）不完全归纳推理：是根据一类中的部分对象具有的某种属性，从而得出该类对象都具 有某种属性的推理。它只断定了某类事物种部分对象具有的某种属性，而结论却是断定该类全部对象都具有某种属性，结论所断定的范围超出了前提所断定的范围，因此，前提与结论之间的联系是或然性的。不完全归纳推理可分为两种，一种是简单枚举法，一种是科学归纳法。 * 简单枚举法：是以经验的认识为主要依据，根据一类事物中部分对象具有的某种属性， 并且没有遇到与之相反的情况，从而推出该类所有对象都具有某种属性的归纳推理。 完全归纳推理的推理形式可以表示为： s 1是P s 2是P s 3是P …… s n 是P s 1，s 2，s 3，…，s n 是s 类中的全部对象， 所以，所有的s 是P 其中S 表示某类对象，s 1，s 2，s 3，…，s n 表示S 类对象中的个别对象，P 表示对象的属性。 完全归纳推理只要作到以下两点： 1、前提中所考察的个别对象是某类中的全部对象。 2、前提中对每一个对象所作的断定是阵的。 完全归纳推理不仅具有认知作用，人们还经常运用它去作论证。 简单枚举法用公式可以表示为： s 1是P s 2是P s 3是P …… s n 是P s 1，s 2，s 3，…，s n 是s 类中的部分对象， 并且没有遇到相反的情况， 所以，一切的 s 是P 简单枚举法的根据是事物情况的多次重复，而且没有遇到相反的情况，这种推理不分析事物情况出现的原因，因此，它的结论不是很可靠的。 在工作中，人们经常用它寻找解决问题的途径，在科学研究中，它也往往起着一种助发现的作用，在日常生活和科学研究中有重要意义。 提高简单枚举法结论的可靠程度方法： 1、一类事物中被考察的对象逾多，结论的可靠