专题1.5 反比例函数章末重难点题型
【苏科版】
【考点1 反比例函数的定义】 【方法点拨】一般地，形如x
k
y =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。(自变量x 的取值: o x ≠) 反比例函数的等价形式： ① x
k y =
（ o k ≠） ②kx y =1
-(o k ≠) ③xy=k(o k ≠) 【例1】（2019秋?南岗区校级月考）下列函数中，是反比例函数的是( ) A ．3y x =+
B ．2
1y x =
C ．
2y x
= D ．34y x
=
【变式1-1】（2019春?西城区校级期中）若函数()2
1-+=m x m y 是反比例函数，则=m ( )
A ．1±
B ．3±
C ．1-
D ．1
【变式1-2】（2019春?阜宁县期中）下列函数：①2y x =-，②3x y =，③1y x -=，④21
y x =+，y 是x 的反比例函数的个数有( ) A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
【变式1-3】（2018秋?万山区月考）下列函数中，y 是x 的反比例函数有( ) （1）3y x =；（2）2y x
=-；（3）3x
y =；（4）3xy -=；
（5）21y x =
+；（6）21
y x
=；（7）22y x -=；（8）k y x =．
A ．（2）（4）
B ．（2）（3）（5）（8）
C ．（2）（7）（8）
D ．（1）（3）（4）（6）
【考点2 反比例函数的性质】 【方法点拨】反比例函数性质如下表：
k 的取值 图像所在象限 函数的增减性
0>k
一、三象限 在每个象限内，y 值随x 的增大而减小 0 二、四象限 在每个象限内，y 值随x 的增大而增大 【例2】（2019秋?武陵区校级月考）在反比例函数3m y x -=的图象在某象限内，y 随着x 的增大而减小，则m 的取值范围是( ) A ．3m >- B ．3m <- C ．3m > D ．3m < 【变式2-1】（2019?道外区三模）若反比例函数2k y x -= 的图象位于第一、第三象限，则k 的取值范围是( ) A ．2k < B ．2k >- C ．2k <- D ．2k > 【变式2-2】（2018春?嘉兴期末）反比例函数y ＝，当x 的值由n （n ＞0）增加到n +2时，y 的值减少3，则k 的值为（ ） A ． B ． C ．﹣ D ． 【变式2-3】（2019秋?市中区校级期中）如图，函数y ＝（x ＞0），y ＝（x ＞0）的图象将第一象限分成了A ，B ，C 三个部分．下列各点中，在B 部分的是（ ） A ．（1，1） B ．（3，4） C ．（3，1） D ．（4，2） 【考点3 反比例函数值大小比较】 【方法点拨】灵活运用反比例函数的图象和性质进行推理是解此类题的关键，反比例函数的增减性只指在同一象限内． 【例3】（2018秋?闵行区期末）反比例函数k y x = 的图象经过点(1,2)-，1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 是图象上另两点，其中120x x <<，那么1y 、2y 的大小关系是( ) A ．12y y > B ．12y y < C ．12y y = D ．都有可能 【变式3-1】（2019秋?槐荫区期中）已知反比例函数2 y x =-的图象上有三个点1(x ，1)y 、2(x ，2)y 、3(x ， 3)y ，若1230x x x >>>，则下列关系是正确的是( ) A ．123y y y << B ．213y y y << C ．321y y y << D ．231y y y << 【变式3-2】（2019秋?庐阳区校级月考）设1(2,)A y -，2(1,)B y ，3(2,)C y 是双曲线3 y x =-上的三点，则( ) A ．123y y y >> B ．132y y y >> C ．321y y y >> D ．312y y y >> 【变式3-3】（2019春?西湖区校级月考）若反比例函数1 (1,0)a y a x x -= ><图象上有两个点1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，设1212()()m x x y y =--，则y mx m =-不经过第( )象限． A ．一 B ．二 C ．三 D ．四 【考点4 与反比例函数有关的图象问题】 【例4】（2019秋?岐山县期末）已知关于x 的函数y ＝k （x +1）和y ＝﹣（k ≠0）它们在同一坐标系中的大致图象是（ ） A ． B ． C ． D ． 【变式4-1】（2019?通辽）关于x 、y 的二元一次方程组的解满足x ＜y ，则直线y ＝kx ﹣k ﹣1 与双曲线y ＝在同一平面直角坐标系中大致图象是（ ） A ． B ． C ． D ． 【变式4-2】（2018?安丘市模拟）一次函数y ＝kx +k ﹣1与反比例函数y ＝（k 为常数），它们在同一 坐标系中的图象可以是（ ） A ． B ． C ． D ． 【变式4-3】（2018春?江都区期末）一次函数y ＝mx +n 与反比例函数y ＝，其中mn ＜0，m 、n 均为常 数，它们在同一坐标系中的图象可以是（ ） A ． B ． C ． D ． 【考点5 反比例函数K 的几何意义】 【方法点拨】反比例函数x k y = （0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线x k y = （0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。 【例5】（2019春?宽城区期中）如图，在平直角坐标系中，过x 轴正半轴上任意一点P 作y 轴的平行线，分别交函数3(0)y x x =>、6 (0)y x x =->的图象于点A 、点B ．若C 是y 轴上任意一点，则ABC ?的面积为 ( ) A ．9 B ．6 C ． 9 2 D ．3 【变式5-1】（2019?渝中区二模）如图，平行于x 轴的直线与函数1(0,0)a y a x x =>>，2(0b y b x =>．0) x >的图象分别相交于A 、B 两点，且点A 在点B 的右侧，在X 轴上取一点C ，使得ABC ?的面积为3，则a b -的值为( ) A ．6 B ．6- C ．3 D ．3- 【变式5-2】（2019?昆明模拟）如图，函数1(0)y x x =>和3 (0)y x x =>的图象分别是1l 和2l ．设点P 在2l 上， //PA y 轴交1l 于点A ，//PB x 轴，交1l 于点B ，PAB ?的面积为( ) A ． 1 2 B ． 23 C ．13 D ． 34 【变式5-3】（2019?蒙阴县一模）如图，点A 是反比例函数3 (0)y x x =>的图象上任意一点，//AB x 轴交反 比例函数2 y x =-的图象于点B ，以AB 为边作平行四边形ABCD ，其中C 、D 在x 轴上，则ABCD S 平行四边形为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【考点6 反比例函数图象上点的坐标规律】 【例6】（2019?蜀山区一模）如图，点B 在反比例函数2 (0)y x X = >的图象上，过点B 分别与x 轴和y 轴的垂线，垂足分别是0C 和A ，点0C 的坐标为(1,0)，取x 轴上一点13 (2 C ，0)，过点1C 作x 轴的垂线交反比 例函数图象于点1B ，过点1B 作线段110B A BC ⊥交于点1A ，得到矩形1110A B C C ，依次在x 轴上取点2C (2,0)，35 (2 C ，0)?，按此规律作矩形，则矩形1(n n n n A B C C n -为正整数）的面积为 ． 【变式6-1】（2019?海港区一模）如图，已知等边△11OA B ，顶点1A ，在双曲线3 0)y x = >上，点1B 的坐标为(2,0)，过1B 作121//B A OA ，交双曲线于点2A ，过2A 作2211//A B A B 交x 轴于2B ，得到第二个等边△122B A B ； 过2B 作2312//B A B A 交双曲线于点3A ，过3A 作3322//A B A B 交x 轴于点3B ，得到第三个等边△233B A B ；以此类推，?，则点6B 的坐标为 n B 的坐标为 ． 【变式6-2】（2018?邻水县一模）如图，分别过反比例函数3 y x = 图象上的点11(1,)P y ，22(2,)P y ，?，(,)n n P n P ?．作x 轴的垂线，垂足分别为1A ，2A ，?，n A ?，连接12A P ，23A P ，?，1n n A P -，?，再 以11A P ，12A P 为一组邻边画一个平行四边形1112A PB P ，以22A P ，23A P 为一组邻边画一个平行四边形2223A P B P ，依此类推，则点n B 的纵坐标是 ．（结果用含n 代数式表示） 【变式6-3】（2019?德州）如图，点1A 、3A 、5A ?在反比例函数(0)k y x x =>的图象上，点2A 、4A 、6A ?? 在反比例函数(0)k y x x =->的图象上，1212323460OA A A A A A A A α∠=∠=∠=?=∠=?，且12OA =，则(n A n 为 正整数）的纵坐标为 ．（用含n 的式子表示） 【考点7 求反比例函数的解析式】 【例7】（2019秋?庐阳区校级月考）已知1y -与x 成反比例，当1x =时，5y =-，求y 与x 的函数表达式． 【变式7-1】（2018秋?金山区期末）已知：12y y y =+，并且1y 与(1)x -成正比例，2y 与x 成反比例．当2x =时，5y =；当2x =-时，9y =-． （1）求y 关于x 的函数解析式； （2）求当8x =时的函数值． 【变式7-2】（2018秋?浦东新区期末）已知12y y y =+，1y 与2x 成正比例，2y 与1x -成反比例，当1x =-时， 3y =；当2x =时，3y =-，求y 与x 之间的函数关系式． 【变式7-3】（2018秋?包河区期末）如图，已知点P 在双曲线3 (0)y x x =>上，连结OP ，若将线段OP 绕 点O 逆时针旋转90?得到线段OQ ，求经过点Q 的双曲线的表达式． 【考点8 反比例函数与一次函数综合】 【例8】（2019秋?武陵区校级月考）已知(,2)A a a -、(2,)B a -两点是反比例函数m y x =与一次函数y kx b =+图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求ABO ?的面积； （3）观察图象，直接写出不等式0m kx b x +- >的解集． 【变式8-1】（2019?新蔡县一模）如图，在直角坐标系xOy 中，直线y mx =与双曲线n y x = 相交于(1,)A a -、B 两点，BC x ⊥轴，垂足为C ，AOC ?的面积是1． （1）求m 、n 的值； （2）求直线AC 的解析式． （3）点P 在双曲线上，且POC ?的面积等于ABC ?面积的 1 4 ，求点P 的坐标． 【变式8-2】（2019春?京口区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+与反比例函数6 y x =-的图象交于(1,)A m -，(,3)B n -两点，一次函数y kx b =+的图象与y 轴交于点C ． （1）求一次函数的解析式； （2）若反比例函数y ＝﹣，当y ≤﹣2时，x 的取值范围是 ． （3）根据函数的图象，直接写出不等式kx +b ≥﹣的解集． （4）点P 是x 轴上一点，且△BOP 的面积是△BOA 面积，求点P 的坐标． 【变式8-3】（2019春?卧龙区期末）如图，一次函数112y k x =+与反比例函数2 2k y x =的图象交于点(4,)A m 和(8,2)B --，与y 轴交于点C ． （1）1k = ，2k = ； （2）根据函数图象可知，当12y y >时，x 的取值范围是 ； （3）过点A 作AD x ⊥轴于点D ，点P 是反比例函数在第一象限的图象上一点．设直线OP 与线段AD 交于点E ，当:3:1ODE ODAC S S ?=四边形时，求直线OP 的解析式． 【考点9 反比例函数的实际应用】 【例9】（2019秋?碑林区校级月考）某小学为每个班级配备了一种可加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10C ?，待加热到100C ?，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温(C)y ?与通电时间x （分)的关系如下图所示，回答下列问题： （1）当0≤x ≤8时，求y 与x 之间的函数关系式； （2）求出图中a 的值； （3）某天早上7:20，李优老师将放满水后的饮水机电源打开，若他想在8:00上课前能喝到不超过40C ?的温开水，问：他应在什么时间段内接水？ 【变式9-1】（2019春?西城区校级期中）心理学家研究发现，一般情况下，在一节40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化，开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力y 随时间x （分 )的变化规律如图所示，其中AB 、BC 分别为线段，CD 为双曲线的一部分． （1）写出线段AB 和双曲线CD 的函数关系式（不要求指出自变量取值范围）：线段AB ：1y = ；双曲线CD ：2y = ； （2）开始上课后第5分钟时的注意力水平为1y ，第30分钟时的注意力水平为 2y ，则1y 、2y 的大小关系是 ； （3）在一节课中，学生大约最长可以连续保持 分钟（精确到1分钟），使得注意力维持在32以上． 【变式9-2】（2019春?铜山区期末）某中学为了预防流行性感冒，对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量()y mg 与时间()x min 成正比例．药物燃烧后，y 与x 成反比例（如图所示），现测得药物6min 燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为4mg ， （1）写出药物燃烧前后，y 与x 之间的函数表达式； （2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6mg 时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过多少分钟，学生方能回到教室？ （3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于2mg 且持续时间不低于9min 时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？ 【变式9-3】（2019春?泰兴市校级期中）春季是传染病多发的季节，积极预防传染病是学校高度重视的一项工作，为此，学校对教室采取喷洒药物进行消毒．在对某教室进行消毒的过程中，先经过5min 的集中药物喷洒，再封闭教室10min ，然后打开门窗进行通风，在封闭教室10min 的过程中，每经过一分钟室内每立方米空气中含药量降低0.2mg ，室内每立方米空气中含药量3(/)y mg m 与药物在空气中的持续时间()x min 之间的函数关系如图（在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例） （1）a ； （2）求y 与x 之间的函数关系式； （3）当室内空气中的含药量不低于35/mg m 且持续时间不低于20分钟，才能有效杀灭某种传染病毒．问此次消毒是否有效？并说明理由． 【考点10 与反比例函数有关的存在性问题】 【例10】（2019春?侯马市期末）如图，直线1y x b =+交x 轴于点B ，交y 轴于点(0,2)A ，与反比例函数2k y x =的图象交于(1,)C m ，(,1)D n -，连接OC ，OD ． （1）求k 的值； （2）求COD ?的面积． （3）根据图象直接写出12y y <时，x 的取值范围． （4）点M 是反比例函数2k y x = 上一点，是否存在点M ，使点M 、C 、D 为顶点的三角形是直角三角形，且CD 为直角边，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式10-1】（2019?江油市模拟）如图，已知正比例函数2y x =和反比例函数的图象交于点(,2)A m -． （1）求反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出正比例函数值小于反比例函数值时自变量x 的取值范围； （3）若双曲线上点(2,)C n 沿OA 5个单位长度得到点B ，在x 轴上是否存在点P ，使1 3 OCP OABC S S ?=四边形？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式10-2】（2018秋?锦州期末）如图，一次函数(0)y mx n m =+≠的图象与反比例函数(0)k y k x =≠的图 象交于第一、三象限内的A ，B 两点，与y 轴交于点C ，过点B 作BM x ⊥轴，垂足为点M ，2BM OM ==，点A 的纵坐标为4． （1）求该反比例函数和一次函数的表达式； （2）直线AB 交x 轴于点D ，过点D 作直线l x ⊥轴，如果直线l 上存在点P ，坐标平面内存在点Q ．使四边形OPAQ 是矩形，求出点P 的坐标． 【变式10-3】（2018春?江阴市期末）如图所示，直线11 14 y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与反比例函数2(0)k y x x =>的图象交于点C ，且AB BC =． （1）求点C 的坐标和反比例函数2y 的解析式； （2）点P 在x 轴上，反比例函数2y 图象上存在点M ，使得四边形BPCM 为平行四边形，求BPCM 的面积．
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