第16章几何变换
§16.1对称和平移
16．1．1★设M 是边长为2的正三角形ABC 的边AB 的中点．P 是边BC 上的任意一点，求PA PM +的最小值．
C
A'
M'P
A M B
解析 作正三角形ABC 关于BC 的对称图形A BC '△．M '是M 的对称点，故M 是A B '的中 点．PM PM '=，如图所示，则 PA PM PA PM AM ''+=+≥.
连结CM '，易知90ACM '∠=?，所以AM '==．
所以，PA PM +
16．1．2★★已知ABC △中，60A ∠
解析 作B 关于直线AC 的对称点B '，C 关于直线AB 的对称点C '，连B C ''与AB 、AC 分别交于点P 、Q ，则P 、Q 即为所求，如图所示．
C
A'
M'P
A M B
事实上，对于AB 、AC 上的任意点P '，Q '， BQ Q P P C B Q Q P P C ''''''''''++=++ B C B Q QP PC ''''=++≥ BQ QP PC =++．
评注 因为60A ∠
16．1．3★★求证：直角三角形的内接三角形的周长不小于斜边上高的两倍．
解析 如图所示，设在直角三角形ABC 中，CD 是斜边上的高，PQR △是它的任一内接三角形．
B
D
P A
R
C Q S V
E
T G F
U
将Rt ABC △以BC 为对称轴反射为Rt BCE △，此时PQR △反射为SQV △，再将Rt BCE △以CE 为对称轴反射为Rt FCE △，此时SQV △反射为TUV △延长DC 交EF 于G ．
易知FF AB ∥，所以CG CD =，即2GD CD =，且GD 是两平行线AB 与EF 之间的距离． 所以
2PQ QR RP PQ QV VT GD CD ++=++=≥.
16．1．4★★★在ABC △内取一点M 使10MAB ∠=?，30MBA ∠=?．设80ACB ∠=?， AC BC =．求AMC ∠.
C
H
B
M
E
解析 本题中ABC △为等腰三角形，这就提示我们利用对称性解题，先作一条对称轴，作ABC △的高CH 与直线BM 交于点E 由对称性知， 30EAB EBA ∠=∠=?， 所以20EAM ∠=?， 从而20CAE ∠=?，
因为40AME MAB MBA ∠=∠+∠=?，又
1
402
ACE ACB ∠=∠?=，
所以CAF △≌MAE △， 于是AC AM =，
所以()1
18040702
AMC ∠=
?-?=?． 16．1．5★★在ABC △中，AH 是高，H 在边BC 上，已知45BAC ∠=?，2BH =，3CH =，求ABC △的面积．
解析 作HAC △的关于AC 的对称图形MAC △，作H A B △的关于AB 的对称图形NAB △．分别延长MC 和NB ，它们相交于L ，如图所示．
A
N
M
B
H C
L
易知90M N ∠=∠=?，且 290NAM BAC ∠=∠=?， AM AH AN ==．
所以，四边形LMAN 是正方形． 设正方形LMAN 的边长为a ，则 3CL a =-，2BL a =-．
在直角三角形BCL 中，由勾股定理知 222BL CL BC +=．
()
()2
2
2325a a -+-=．
解方程，得6a =，即6AH =．所以
1
152
ABC S BC AH =?=△．
16．1．6★★★如图，凸四边形PQRS 的四个顶点分别在边长为a 的正方形ABCD 的四条边上，求证：PQRS
的周长不小于．
解析 作正方形ABCD 关于BC 的轴对称图形，得到正方形11A BCD ，再作正方形11A BCD 关于1CD 的轴对称图形，得到正方形221A B CD ，再作正方形221A B CD 关于21A D 的轴对称图形，得到正方形2331A B C D ，而P 、Q 、R 、S 四点的对应点如图所示．
A S D
P B P 1
A 1S 1D 1
R 3C 3Q 3B 3
P 3
A 2P 2
B 2Q 2
R C R 1S 2Q
显然，2AA =，23AP A P ∥，故 32PP AA ∥，
所以四边形PQRS 的周长 PQ QR RS SP +++ 11223PQ QR R S S P =+++
32PP AA ==≥．
即四边形PQRS
的周长不小于．
16．1．7★★★如图，ABC △和ADE △是两个不全等的等腰直角三角形，
90ABC ADE ∠=∠=?，
现固定ABC △而将ADE △绕点A 在平面上旋转，试证：不论ADE △旋转到什么位置，线段EC 上必存在点M 使BMD △力等腰直角三角形．
B
A
D E
C
M
A'
解析 如图，设BMD △为等腰直角三角形，下面证明点M 在线段EC 上． 作A 关于BD 的对称点A '，则A DB ADB '∠=∠． 因为902ADE BDM ∠=?=∠，
所以45EDM A DM A DB ''∠=∠=?-∠ 45ADB =?-∠， 又DA DA DE '==．
所以A '又是E 关于DM 的对称点． 同理A '也是C 关于BM 的对称点，因此 EMD A MD '∠=∠，CMB A MD '∠=∠， 又因90BMD ∠=?， 所以180CME ∠=?．
即M 在EC 上（且为EC 的中点）．
16．1．8★★★如图，矩形ABCD 中，20AB =，10BC =，若在AC 、AB 上各取一点M 、N ，使BM MN +的值最小，试求出这个最小值．
D
E
C G
F A
N
P M
B
Q
解析 作AB 关于直线AC 的对称线段AE ，即B 、E 关于AC 对称，作N 关于AC 的对称点F ，则F 在AE 上，且有BE AC ⊥于Q ，NF AC ⊥于P ．
由对称变换可知，MN BM MF MB +=+.
欲使MF BM +最小，必须BMF 共线，所以BM MN +最小值为点B 到AE 的距离BG .
在Rt ABC △中，20AB =，10BC =
，所以AB BC
BQ AC
?==
2BE BQ == 在Rt ABQ △
中，
AQ ===20AE AB ==，在ABE △
中，1122ABE S BE AQ AE BG =?=?△，则16BE AQ
BG AE
?==．从而BM MN +的最小值为16．
16．1．9★★凸四边形ABCD 中，ABD CBD ∠>∠，ADB CDB ∠>∠．求证： AB AD BC CD +>+.
D C
E
P
A B
解析将BCD △沿BD 翻折，点C 落在点P ．因为ABD CBD ∠>∠，ADB CDB ∠>∠，所以P 必定在ABD △内部．BP 延长线交AD 于点E ，则 AB AD BE FD BP PD BC CD +>+>+=+.
16．1．10★★设S 表示凸四边形ABCD 的面积，证明1
()2
S AB CD BC AD ?+?≤．
B A
C
D D'
l
解析如图，作点D 关于AC 的垂直平分线l 的对称点D '，显然ACD △与ACD '△关于l 成轴对称图形．所以 ABCD S S '= BAD BCD S S ''=+△△，
11
sin sin 22AB AD BAD BC CD BCD ''''=
??∠+??∠ ()AB AD BC CD ''?+?≤ 1
()2
AB CD BC AD =?+?. 16．1．11★★在矩形ABCD 内取一点M ，使180BMC AMD ∠+∠=?，试求BCM DAM ∠+∠的值．
解析 如图将BMC △沿AB 平移至ADM '△，显然MM AD '⊥，BMC AM D '∠=∠．所以，由已知条件180AM D AMD '∠+∠=?，即A 、M 、D 、M '四点共圆，从而 BCM DAM ADM DAM '∠+∠=∠+∠ 90AMM DAM '=∠+∠=?．
16．1．12★★设P 是平行四边形ABCD 内一点，使得PAB PCB ∠=∠， 证明：PBA PDA ∠=∠．
A D P
P'
B
C
解析 如图，把AP 平移至DP '，则BAP CDP '∠=∠，及PBA P CD '∠=∠，PP BC '∥， 所以P PC BCP '∠=∠．
又已知PAB PCB ∠=∠，故P PC CDP ''∠=∠，从而P 、D 、P '、C 四点共圆．于是 P PD P CD ''∠=∠， 又P PD PDA '∠=∠， 所以PBA PDA ∠=∠．
16．1．13★（1）如图（a ）所示，在梯形ABCD 中，AD BC ∥.已知：3AD BC +=
，AC ，
BD =，求梯形ABCD 的面积．
（2）如图（b ），在梯形ABCD 中，AD BC ∥．M 是CD 的中点，MN AB ⊥于N ．设A B a =，MN h =，求梯形ABCD 的面积．
解析（1）将BD 平移到CE ，连结DE
，则CE BD =，DE BC =．所以
B C
A
D E
(a)
A D
E
N
M C
F B
(b)
3AE AD DE AD BC =+=+=． 222AE AC CE =+．
因此90ACE ∠=?． 因为ABC CDE S S =△△，
所以12ACE ABCD S S AC CE ==
?△梯形 （2）将AB 平移至EF ，如图（b ）所示，EF 过点M ．由于MDF △≌MCF △，所以 ABCD ABFE S S AB MN ah ==?=梯形梯形．
评注 本题的两种添平行线法是解梯形问题的常用方法．
16．1．14★★如图，在四边形ABCD 中，AD BC =，E 、F 分别是DC 及AB 中点，FE 的 延长线与AD 及BC 的延长线分别交于点H 、G ．求证：AHF BGF ∠=∠．
G H D
A
B'
F B
C
E (a)
解析1如图（a ），将线段CB 平移至AB '．则四边形AB BC '为平行四边形．由于F 是AB 中 点，故C 、F 、B '共线．
现在EF 是CDB '△的中位线，故EF DB '∥，所以 AHF ADB '∠=∠，BGF AB D '∠=∠．
又显然AB BC AD '==．故ADB AB D ''∠=∠． 于是AHF BGF ∠=∠．
G H E C
D M
A
F B
(b)
解析2如图（b ），连结AC ，取AC 中点为M ，连结ME 、MF ，则ME 、MF 分别为CDA △、
ABC △的中位线，所以12ME DA ∥，1
2
MF BC ∥．故
MEF AHF ∠=∠， AFE FGB ∠=∠，
且ME MF =，故MEF MFE ∠=∠， 所以AHF FGB ∠=∠．
16．1．15★★如图，A B ∠=∠，1AA 、1PP 、1BB 均垂直于11A B ，垂足为1A 、1P 、 1B ，117AA =，116PP =，120BB =，1112A B =．求AP BP +的值．
A C D A 1
P 1B 1
E P
B
解析 将1PP 平移到1CA ，C 在线段1AA 上，延长BP 交1AA 于D ，将1DA 平移到1EB ，E 在1BB 上．
因为1AA 、1BB 、1PP 均垂直于11A B ，所以四边形11CA PP 和11DA B E 都是矩形．
由1116CA PP ==，117AA =，得1AC =．又11AA BB ∥，所以P D A
B A ∠=∠=∠，90PCD PCA ∠=∠=?，P
C PC =．所以Rt PC
D △≌Rt PCA △，PA PD =，1CD AC ==． 于是AP BP BD +=，
11115DA AA AD EB =-==， 115BE BB EB =-=．
在Rt BED △中，1112DE A B ==
，13BD ==，也即
13AP BP +=．
16．1．16★★在正三角形ABC 的三条边上，有三条相等的线段12A A 、12B B 、12C C ．证明：直线21B C 、21C A 、21A B 所成的三角形中，三条线段21B C 、21C A 、21A B 与包含它们的边 成比例．
C
A
B
C 1
C 2
3
A 1
A 2
A 3
B 1
B 2B 3
解析 如图，将12C C 平移到2B P ，连结1PA 、1PB 、2PC ．因为四边形12BC C P 为平行四边形，
所以1260B B P A ∠=∠=?，21212B P C C B B ==，故12B B P △为正三角形，112B P A A ∥．这样所得四边形121A A B P 为平行四边形，121A P A B ∥．
因此，由21B C 、21C A 、21A B 这三条线段构成的三角形与12A PC △全等，而12A PC △≌333A B C △，从而命题得证．
16．1．17★★如图所示，2AA BB CC '''===且共点于O ，60AOB BOC COA '''∠=∠=∠=?，
求证：AOB BOC COA S S S '''++<△△△
Q
解析 将A OC '△沿A A '方向平移A A '长的距离，得AQR △，将B O C '△沿BB '方向平移BB '长的距离，得B PR ''△．由于 2OP OQ ==，60POQ ∠=?， 所以2PQ =．
又因'2QR R P OC OC CC ''+=+==，
故R 与R '重合，且P 、R 、Q 三点共线．在正三角形POQ 中， AOB BOC COA S S S '''++△△△ AOB B PR AQR S S S ''=++△△△
2
2OPQ S <△ 16．1．18★★★如图，由平行四边形的顶点B 引它的高BK 和BH ，已知KH a =，BD b =，求点B 到BKH △的垂心的距离． B P
C
H
D K
A
a
H 1
解析 令1H 表示BKH △的垂心．
考虑到1KH BH ⊥，DH BH ⊥，有1KH DH ∥．同理有1HH DK ∥，因而四边形1KDHH ，为平行四边形，平移1BKH △到PDH △位置，显然P 为BC 上一点，所求线段1BH 即PH ，
已与KH 位于同一直角三角形中．由于四边形KDPB 为矩形，有PK BD =，于是
1BH PH ===
16．1．19★★★已知ABC △的面积为S ，D 、E 、F 分别为BC 、CA 、AB 上的点，且 1
BD CE AF DC EA FB n
===，试求以AD 、BE 、CF 为边的三角形的面积S '． G
C
E
D
B
F A
解析 如图，过点A 作AG 平行且等于FC ．连CG 、GD 、GE ，则四边形AFCG 为平行四边形，GCA CAB ∠=∠．
又
1
1
CG AF AE AE AB AB AB CA n ====
+， 所以CGE △≌ABC △，CEG ACB ∠=∠，因此GE CB ∥. 又因1=1GE BD
BC n BC =
+， 所以GE BD =．
于是四边形GEBD 也为平行四边形，从而GD BE =，即AD G △为AD 、BE 、CF 所构成的三角形，它的面积为S '． 在梯形GABC 中， 1
111
GABC S GC AB GC S AB AB n +==+=+
+梯形， 所以111GABC S S n ?
?=+ ?+??
梯形，
而11ABD S BD S BC n ==
+△， 所以111
ABC CG CD n
S BA BC n n ?=
=?
?++△， 因此()2
111111n S S n n n ??
??'=+--?? ?++??+???? ()
22
1
1n n S n ++=
+．
§16.2旋转
16．2．1★★对于边长为1的正ABC △内任一点P PA PB PC ++．
A
C
B
P
C'
P'
解析 把ABC △绕点B 旋转60?到CBC '△．则PBP '△为正三角形，且 PC P C ''=，PB PP '=，
因而PA PB PC PA PP P C AC ''''++=++≥．
16．2．2★★设P 是等边三角形ABC 内一点，3PC =，4PA =，5PB =．试求此等边三角形的边长．
B
A
C
P 54
3
解析 如图，把CBP △绕点C 逆时针旋转60?，到达CAP '△的位置，显然， 60PCP '∠=?，3P C PP ''==，5AP '=．
在APP '△中，222222345AP P P AP ''+=+==，所以90APP '∠=?．故 9060150APC APP P PC ''∠=∠+∠=?+?=?. 在APC △中，由余弦定理，得 2222cos150AC AP PC AP PC =+-???
2234243=+??+
25=+
所以，等边三角形ABC
16．2．3★★设O 是正三角形ABC 内一点，已知115AOB ∠=?，125BOC ∠=?，求以线段OA 、OB 、OC 为边构成的三角形的各角．
解析 以B 为旋转中心，将AOB △按逆时针方向旋转60?，旋转至CDB △，如图所示． 连结OD ．由于OB OD =，60OBD ∠=?，所以OBD △是正三角形，故OD OB =． 又CD OA =，故OCD △是以OA 、OB 、OC 为边构成的一个三角形． 因此COD BOC BOD ∠=∠-∠ 1256065=?-?=?，
ODC BDC BDO ∠=∠-∠ AOB BDO =∠-∠
1156055=?-?=?，
从而180655560OCD ∠=?-?-?=?．
所以，以线段OA 、OB 、OC 为边构成的三角形的各角分别为65?、55?和60?． 16．2．4★★如图，两个正方形ABCD 与AKLM （顶点按顺时针方向排列），求证：这两个正方形的中心以及线段BM 、DK 的中点是某正方形的顶点．
C
D
Q K L
R
M S
A
P
B
解析 设P 、R 分别是正方形ABCD 、AKLM 的中心，Q 、S 分别是线段DK 、BM 的中点，先证PSR △是以PR 为斜边的等腰直角三角形．
连结BK 、DM ，将ADM △绕A 逆时针旋转90?，则D 、M 分别到B 、K 位置，所以BK DM =，BK DM ⊥．
因为P 、S 分别是BD 、BM 的中点，所以12PS DM ∥．同理1
2
SR BK ∥．所以PS SR ⊥，
且PS SR =．即PSR △是以PR 为斜边的等腰直角三角形．
同理可证PQR △也是以PR 为斜边的等腰直角三角形．故P 、Q 、R 、S 是正方形的四个顶点．
16．2．5★★正方形ABCD 内有一点P ，1PA =，3PB =
．PD =ABCD 的面积．
A
D
B C
P
P'
解析 将PAB △绕A 点旋转90?，得P AD '△．连结PP '．易知90PAP '∠=?，1PA P A '==．
于是PP '=
在P PD '△中，222279P P PD P D ''+=+==．所以P PD '△是直角三角形，从而135APD ∠=?． 由余弦定理得
222AD PA PD PD =+?
8=
16．2．6★★在正方形ABCD 的边AB 和AD 上分别取点M 和K ，使得AM AK =，在线段DM 上取点P ，使得PCD PKA ∠=∠．证明：APM ∠是直角．
A
M B
L K P
D
C
解析 如图所示，在边BC 上取点L ，使BL AK =，连结KL 、AP 、PL ．
由于PCD PKA ∠=∠，所以P 、C 、D 、K 四点共圆，作四边形PCDK 的外接圆和矩形 KDCL 的外接圆，因为这两个外接圆均过K 、D 、C 三点，从而这两圆是相同的，所以 90LPD LKD ∠=∠=?． 易知Rt MAD △≌Rt LBA △.
故以正方形ABCD 的中心为旋转中心，将Rt LBA △以逆对针方向旋转90?，则L B A △旋转至MAD △，从而AL DM ⊥．又LP DM ⊥，故A 、P 、L 三点共线，所以90APM ∠=?． 16．2．7★★★已知凸六边形123456A A A A A A 中，1223A A A A =，3445A A A A =，5661A A A A =， 135246A A A A A A ∠+∠+∠=∠+∠+∠．求证：
（1）2461234561
2
A A A A A A A A A S S =△；
（2）624212A A A A ∠=∠，24641
2A A A A ∠=∠，
26461
2
A A A A ∠=∠．
A 1A 2A 3
A 4
A 5
A 6
A'4
解析 （1）将234A A A △绕点2A 旋转，使23A A 与21A A 重合，得到214A A A '△，如图所示．连结4
6A A '． 因为
135246()()A A A A A A ∠+∠+∠+∠+∠+∠
720=?，
所以135A A A ∠+∠+∠ 246360A A A =∠+∠+∠=?． 因此4
161412360A A A A A A A ''∠=?-∠-∠ 135360A A A =?-∠-∠=∠.
从而146A A A '△≌546A A A △， 246A A A △≌24
6A A A '△， 所以246246412345611
22
A A A A A A A A A A A A A S S S '==△．
（2）由（1）可知
624624126324A A A A A A A A A A A A '∠=∠=∠+∠
2624A A A A =∠-∠，
所以62421
2
A A A A ∠=∠．
同理可证：246412A A A A ∠=∠，26461
2
A A A A ∠=∠．
评注 本题通过旋转，把234A A A △、456A A A △、612A A A △拼成一个与246A A A △全等的新三角形24
6A A A '.也可以采取向246A A A △内部旋转的方法，把234A A A △、456A A A △、612A A A △放在26A A A 4△的内部，使之恰好“拼成”246A A A △．
16．2．8★★★如图所示，P 、Q 是边长为1的正方形ABCD 内两点，使得 45PAQ PCQ ∠=∠=?，求PAB PCQ QAD S S S ++△△△的值．
A
D
Q P
B
C
A
D
Q
P
Q'
B
Q''C
(a)
(b)
解析 将AQD △绕点A 顺时针旋转90?至AQ B '△，CQD △绕点C 逆时针旋转90?至
CQ B ''△，连结PQ '、PQ ''，则
APQ '△≌APQ △，CPQ ''△≌CPQ △．
又90ABQ CBQ ADQ CDQ '''∠+∠=∠+∠=?，所以Q '、B 、Q ''三点共线，且 BQ DQ BQ '''==， 故PBQ PBQ S S '''=△△， 所以PAB PCQ QAD S S S ++△△△ PAQ PBC QCD S S S =++△△△
1122
ABCD S ==正方形． 16．2．9★★在ABC △中，120A ∠?≥，点P 不与A 重合．求证PA PB PC AB AC ++>+. 解析 如图，将PAB △绕点A 旋转至P AB ''△的位置，使CA 与AB '共线．于是 AB AC AB AC PC PB ''+=+<+．
B'
A
C
P
B
P'
又因为120P AB PAC BAP PAC BAC ''∠+∠=∠+∠=∠?≥，所以 18060PAP BAC '∠=?-∠?≤． 故在等腰PAP '△中， PA P A PP ''=≥．
因此PB PP P B PA P B PA PB ''''''++=+≤≤， 从而PA PB PC AB AC ++>+.
评注 此题似乎依赖于图形，P 在BAC ∠内，事实上P 在其他位置照样成立，方法完全一样． 16．2．10★★★凸四边形ABCD 中，点M 、N 分别是BC 、CD 的中点，且AM AN a +=（a 是常数），求证：2
2
ABCD
a S <四边形．
E
D N
C F
M
B
A
解析 如图所示，将ABM △绕点M 旋转180?得FCM △，将ADN △绕点N 旋转180?得ECN △，连EF ，于是
360ECF ECN BCD FCM ∠=?-∠-∠-∠ 360ADC BCD ABC =?-∠-∠-∠
180DAB =∠
所以EF 与凸四边形ABCD 的边不相交．故
FCM ECN AEF ABCD AMCN S S S S S =++<△△△四边形四边形
1
22AE AF AM AN ?=?≤ 2
2222AM AN a +??
?=
???
≤． 16．2．11★★★如图，设D 为锐角ABC △内一点，且AC BD AD BC ?=?，
90ADB ACB ∠=∠+?，求
AB CD
AC BD
??的值．
A D
B
C
解析 将线段BD 绕点B 顺时针旋转90?到BE ，连结DE 、CE ． 因为ADB CAD CBD ACB ∠=∠+∠+∠，90ADB ACB ∠=∠+?，所以 90CAD CBD ∠+∠=?，又90CBD CBE ∠+∠=?， 则CAD CBE ∠=∠． 由AC BD AD BC ?=?，得
AC AD AD
BC BD BE
==
，于是ACD BCE △∽△，所以ACD BCE ∠=∠， AC AD CD
BC BE EC
==
．从而A C B A C D B C D E C B B C ∠=∠+∠=∠+∠=∠
．所以，A B C D E
△△∽，则AB AC
DE DC
=
，即AB CD AC DE ?=?．
在Rt BDE △中，BD BE =，DE =，故
AB CD
AC BD
??
第2讲几何变换——旋转 典型例题 【例1】C是线段AE上的点，以AC、CE为边在线段AE的同侧作等边三角形ABC、CDE， △是等设AD的中点是M，BE的中点是N，连结MN、MC、NC，求证：CMN 边三角形．Array【例2】如图，两个正方形ABCD和AKLM有一个公共点A．求证：这两个正方形的中心以 及线段BM，DK的中点是某正方形的顶点． L
【例3】 已知：如图，ABC △、CDE △、EHK △都在等边三角形，且A 、D 、K 共线， AD DK =．求证：HBD △也是等边三角形． 【例4】 ABC △是等边三角形，P 是AB 边的中点，Q 是AC 边的中点，R 为BC 边的中点， M 为RC 上任意一点，且PMS △是等边三角形，S 与Q 在PM 的同侧，求证： RM QS =． E C H D B A Q ? S M P C B A R
【例5】 ABCD 是正方形，P 是ABCD 内一点，1PA =，3PB = ，PD =求正方形ABCD 的面积． 【例6】 P 是等边三角形ABC 内的一点，6PA =，8PB =，10PC =．求ABC △的边长． D
【例7】 设O 是等边ABC △内一点，已知115AOB ?∠=，125BOC ?∠=，求以线段OA 、OB 、 OC 为边所构成的三角形的各内角大小． 【例8】 如图，在ABC △中，90ACB ?∠=，AC BC =，P 是ABC △内一点，3PA =，1PB =， 2PC =，求BPC ∠． A P C
如图，已知ABC △中，90A =，AB AC =，D 为BC 上一点，求证：2222BD DC AD +=． 【例9】 如图，在等腰直角ABC △中，90ACB ?∠=，CA CB =，P 、Q 在斜边AB 上，且 45PCQ ?∠=，求证：222PQ AP BQ =+． A D C B A Q B C P
初中数学竞赛第二轮专题复习（4) 几何 1、如图,D ，E 分别为?ＡB Ｃ的边ＡB ，ＡC 上的点,且不与?A ＢC 的顶点重合.已知ＡE 的长为m,AC 的长为n,A Ｄ,ＡＢ的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根． (Ⅰ)证明：C ，B,D,E 四点共圆; (Ⅱ)若∠A=9０°，且m=4， n=６,求C,B ，D,E 所在圆的半径． 解:(Ⅰ)连接DE,根据题意在△ADE 和△ＡCB 中，A Ｄ×A Ｂ=mn=A Ｅ×A Ｃ，即AD AE AC AB =． 又∠DAE=∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB 因此∠AD Ｅ=∠A ＣB ，所以C ， B, D, E 四点共圆． (Ⅱ)ｍ＝4, n ＝6时,方程ｘ2-14x ＋mn=０的两根为ｘ1＝２,x 2＝12. 故AD ＝2，ＡB ＝1２. 取CE 的中点G ，DB 的中点F,分别过Ｇ，F 作AC ，AB 的垂线,两垂线相交于Ｈ点,连接ＤH ． 因为C ， B ， Ｄ, E 四点共圆,所以Ｃ， B ， Ｄ, E 四点所在圆的圆 心为H,半径为DH. 由于∠Ａ＝９０°，故ＧＨ∥AB,H Ｆ∥AC ．H Ｆ＝AG=5,D Ｆ=12 (12-２)=5. 故C,B,D,Ｅ四点所在圆的半径为 ． 2、在等腰?AB Ｃ中,顶角∠AC Ｂ＝80°,过A ， Ｂ引两直线在?ABC 内交于一点Ｏ．若∠O ＡB=１0°, ∠ＯＢA=20°，求∠ACO 的大小，并证明你的结论. 解:60ACO ∠=?（４分) 以OA 为轴翻转OAB ?到OAB '?,连接,CB BB '',由10OAB ∠=?知20BAB '∠=?且AB AB '=,ABB '为等 腰三角形，故80AB B ACB '∠=?=∠，从而知,,,A B B C '四点共圆，再由20ABO ∠=?知60OBB '∠=?,BB O '?为 等边三角形．由四点共圆知100ACB '∠=?，又 30OBC B BC '∠=∠=?，OB B B '=,BC 公共，故OBC B BC '???． 再由100ACB '∠=?,80ACB ∠=?，故20OCB ∠=?,从而得证:60ACO ∠=?. 答题要点:60ACO ∠=? 以OA 为轴翻转OAB ?到OAB '?，连接,CB BB '' ①OBB '?为正三角形;
初中几何常见辅助线做法 一、三角形常见辅助线做法 方法 1：有关三角形中线的题目，常将 中线加倍 ； 含有中点的题目，常常做 三角形的中位线 ，把结论恰当的转移 例 1、如图 5-1：AD 为△ ABC 的中线，求证： AB ＋AC ＞ 2AD 。 【分析】：要证 AB ＋ AC ＞ 2AD ，由图想到： AB ＋BD ＞AD,AC ＋ CD ＞AD ，所以有 AB ＋AC ＋ BD ＋CD ＞AD ＋ AD ＝ 2AD ，左边比要证结论多 BD ＋CD ，故不能直接证出此题，而由 2AD 想到要构造 2AD ，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。 证明：延长 AD 至 E ，使 DE=AD ，连接 BE ，则 AE ＝2AD A ∵AD 为△ ABC 的中线 （已知） ∴BD ＝ CD （中线定义） 在△ ACD 和△ EBD 中 BD CD (已证 ) B D C ADC EDB ( 对顶角相等 ) AD ED (辅助线的作法 ) E 图5 1 ∴△ ACD ≌△ EBD （SAS ） ∴BE ＝CA （全等三角形对应边相等） ∵在△ ABE 中有： AB ＋ BE ＞AE （三角形两边之和大于第三边） ∴AB ＋ AC ＞2AD 。 例 2、如图 4-1：AD 为△ ABC 的中线，且∠ 1＝∠ 2，∠ 3＝∠ 4，求证： BE ＋CF ＞ EF 证明：延长 ED 至 M ，使 DM=DE ，连接 CM ， MF 。在△ BDE 和△ CDM 中， BD 中点的定义 ) A CD( ∵ 1CDM (对顶角相等 ) ED MD ( 辅助线的作法 ) E F ∴△ BDE ≌△ CDM （SAS ） 2 3 4 C 1 又∵∠ 1＝∠ 2，∠ 3＝∠ 4 （已知） B D ∠1＋∠ 2＋∠ 3＋∠ 4＝ 180°（平角的定义） ∴∠ 3＋∠ 2=90°，即：∠ EDF ＝90° 图 4 1 M
平面几何知识点汇总（一） 知识点一相交线和平行线 1.定理与性质 对顶角的性质：对顶角相等。 2.垂线的性质： 性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 3.平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 4.平行线的性质： 性质1：两直线平行，同位角相等。 性质2：两直线平行，内错角相等。 性质3：两直线平行，同旁内角互补。 5.平行线的判定： 判定1：同位角相等，两直线平行。 判定2：内错角相等，两直线平行。 判定3：同旁内角相等，两直线平行。 知识点二三角形 一、三角形相关概念 1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接． 2．三角形中的三种重要线段 （1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线． （2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线． （3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．
二、三角形三边关系定理 ①三角形两边之和大于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a+b>c，b+c>a，c+a>b． ②三角形两边之差小于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a>b-c，b>a-c， c>b-a． 注意：判定这三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可 三、三角形的稳定性 三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性．例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理． 四、三角形的内角 结论1：三角形的内角和为180°．表示：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180° 结论2：在直角三角形中，两个锐角互余． 注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角 如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B） ②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角． 如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度数． 五、三角形的外角 1．意义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角． 2．性质： ①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. ②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. ③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补 六、多边形 ①多边形的对角线 2)3 ( n n条对角线；②n边形的内角和为（n－2）×180°；③多边形的外角和为360°
数学初中竞赛大题训练：几何专题 1．阅读理解： 如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．证明“四点共圆”判定定理有：1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆；2、若平面上四点连成的四边形对角互补，那么这四点共圆．例：如图1，若∠ADB＝∠ACB，则A，B，C，D四点共圆；或若∠ADC+∠ABC＝180°，则A，B，C，D四点共圆． （1）如图1，已知∠ADB＝∠ACB＝60°，∠BAD＝65°，则∠ACD＝55°； （2）如图2，若D为等腰Rt△ABC的边BC上一点，且DE⊥AD，BE⊥AB，AD＝2，求AE 的长； （3）如图3，正方形ABCD的边长为4，等边△EFG内接于此正方形，且E，F，G分别在边AB，AD，BC上，若AE＝3，求EF的长． 解：（1）∵∠ADB＝∠ACB＝60°， ∴A，B，C，D四点共圆， ∴∠ACD＝∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝180°﹣60°﹣65°＝55°， 故答案为：55°； （2）在线段CA取一点F，使得CF＝CD，如图2所示： ∵∠C＝90°，CF＝CD，AC＝CB， ∴AF＝DB，∠CFD＝∠CDF＝45°， ∴∠AFD＝135°， ∵BE⊥AB，∠ABC＝45°， ∴∠ABE＝90°，∠DBE＝135°， ∴∠AFD＝∠DBE， ∵AD⊥DE，
∴∠ADE＝90°， ∵∠FAD+∠ADC＝90°，∠ADC+∠BDE＝90°， ∴∠FAD＝∠BDE， 在△ADF和△DEB中，， ∴△ADF≌△DEB（ASA）， ∴AD＝DE， ∵∠ADE＝90°， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴AE＝AD＝2； （3）作EK⊥FG于K，则K是FG的中点，连接AK，BK，如图3所示：∴∠EKG＝∠EBG＝∠EKF＝∠EAF＝90°， ∴E、K、G、B和E、K、F、A分别四点共圆， ∴∠KBE＝∠EGK＝60°，∠EAK＝∠EFK＝60°， ∴△ABK是等边三角形， ∴AB＝AK＝KB＝4，作KM⊥AB，则M为AB的中点， ∴KM＝AK?sin60°＝2， ∵AE＝3，AM＝AB＝2， ∴ME＝3﹣2＝1， ∴EK＝＝＝， ∴EF＝＝＝．
初中平面几何辅助线专题复习 目录 第01讲辅助线的初步认识 第02讲截长补短法 第03讲中点模型——倍长中线 第04讲三垂直模型 第05讲角平分线模型（一） 第06讲角平分线模型（二） 第07讲手拉手模型——全等 第08讲最短路径问题 第09讲平面直角坐标系中的几何问题
第01讲辅助线的初步认识 【知识提要】 初中辅助线的添加时几何部分学习的重要内容，同时也是学生学习的难点之所在。当 问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立 已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。 辅助线的添加通常有两种情况： 1.按定义添辅助线： 如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线 段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。 2.按基本图形添辅助线： 每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往 往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫 做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。 本节课我们就以启东作业中的问题为例，来介绍常见的辅助线的画法. 【典型例题】 例1：小春在做数学作业时，遇到一个这样的问题：如图，AB=CD，BC=AD，请说明 ∠A =∠C 的道理. BC=AD，所以只需连接BD，构造全等三角形即可. D
例2. 如图，O 是△ABC 内一点，连接OB 和OC. 你能说明OB +OC < AB + AC 的理由吗？ 【思路点拨】要证明线段之间的不等关系，要将线段放在三角形中，利用三边关系来证明。△ABC 和△OBC 中无法解决，所以只需要将OB （OC ）延长交AC （AB ）于点D ，在△ABD （△ACD ）和△OCD （△OBD ）利用三边关系解决即可. 归纳：构造线段时辅助线的写法： 1. 连接**。例如：连接AB 2. 延长**。①例如：延长AB 交CD 于E 点；②延长AB 到E ，使BE = AB . 例题3：已知：如图AB ∥DE . 求证：∠B +∠C +∠D = 360° 【思路点拨】要证明这三个角的和是360°，可以 构造周角，2个180度或四边形的内角和来证明。 通过作平行线就可实现角的位置的转移，将角移动到 适当的位置。 归纳：构造平行线时辅助线的写法： 1. 过*作* ∥ *。例如：过点A 作AB ∥CD. 练习：叙述并证明三角形内角和定理。 例题4：已知：如图，△ABC 的∠B 的外角的平分线BD 和∠C 的外角平分线CE 相交于点P 求证：点P 也在∠BAC 的平分线上。 【思路点拨】已知CP 和BP 为外角平分心线，要证明P 角平分线上，只需要过P 向AM 、AN 、BC 归纳：构造垂线，中线，角平分心线时辅助线的写法： 1. 垂线：过*作*⊥*于点*。例如：过点A 作AB ⊥CD 于点B . C E A N B
初中数学平面几何建系专题 一.创设问题情境，引入新课 1．一位居民打电话给供电部门：“卫星路第8根电线杆的路灯坏了，”维修人员很快修好了路灯。 2．地质部门在某地埋下一个标志桩，上面写着“北纬44.2°，东经125.7°”。 3．某人买了一张8排6号的电影票，很快找到了自 己的座位。 分析以上情景，他们分别利用那些数据找到位置 的。 你能举出生活中利用数据表示位置的例子吗？ 二、新课讲授 1、由学生回答以下问题： (1)引入：影院对观众席所有的座位都按“几排几号”编号，以便确定每 个座位在影院中的位置，观众根据入场券上的“排数”和“号数”准确入座。 （2）根据下面这个教室的平面图你能确定某同学的坐位吗？对于下面这个根据教师平面 图写的通知，你明白它的意思吗？“今天以下座位的同学放学后参加数学问题讨论：（1,5），（2，4），（4，2），（3，3）,(5,6）。” 学生通过合作交流后得到共识:规定了两个数所表示的含义后就可以表示座位的位置. 思考: (1)怎样确定教室里坐位的位置? （2）排数和列数先后顺序对位置有影响吗？（2，4）和（4，2 ）在同一
位置。 （3）假设我们约定“列数在前，排数在后”，你在图书6 1-1上标出被邀请参加讨论的同学的座位。 让学生讨论、交流后得到以下共识： （1）可用排数和列数两个不同的数来确定位置。 （2）排数和列数先后顺序对位置有影响。（2，4）和（4，2）表示不同的位置，若约定“列数在前排数在后”则（2，4）表示第2列第4排，而（4，2）则表示第4列第2排。因而这一对数是有顺序的。（3）让学生到黑板贴出的表格上指出讨论同学的位置。 2、有序数对：用含有两个数的词表示一个确定的位置，其中各个数表示 不同的含义，我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数 对，叫做有序数对,记作（a,b） 利用有序数对，可以很准确地表示出一个位置。 3、常见的确定平面上的点位置常用的方法 （1）以某一点为原点（0，0）将平面分成若干个小正方形的方格，利用点所在的行和列的位置来确定点的位置。 （2）以某一点为观察点，用方位角、目标到这个点的距离这两个数来确定目标所在的位置。（以后学习） 巩固练习：1、教材65页练习 2．如图，马所处的位置为（2，3）. （1）你能表示出象的位置吗？ （2）写出马的下一步可以到达的位置。
初中数学竞赛 几何专题：点共线问题（含答案） 1. 锐角三角形ABC 中，45BAC ∠=?，BE 、CF 是两条高，H 为ABC △的垂心，M 、K 分别是BC 、 AH 的中点.证明：MK 、EF 和OH 共点，这里O 为ABC △的外心. 解析 如图，由条件45BAE ∠=?，可知AEB △和AFC △都是等腰直角三角形，而O 为AB 、BC 的中垂线上的点，故EO AB ⊥，FO AC ⊥，于是EO CF ∥，FO BE ∥，从而四边形EOFH 为平行四边形.故EF 与OH 的交点为EF 的中点. 另一方面，M 、K 为BC 、AH 的中点，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知 12EM MF BC ==，1 2 EK KF AH ==.即四边形EKFM 为菱形，所以EF 与KM 的交点亦是EF 的中点. 从而命题获证. 2. 四边形SPNM 与PFET 都是正方形，且点S 、P 、T 共线，点N 、P 、F 共线，连结MT 、SE ， 点S 在MT 上的射影是点A ，点T 在SE 上的射影是点B ，求证：点A 、P 、B 共线. 解析 设AB 与ST 交于点P '，又设ATS α∠=，TSE β∠=.于是由180ASB ATB ∠+∠=?，有 tan cot ASB ATB S SP AS BS P T S AT BT αβ'?===?'?△△ MS ST MS SP ST TE TE PT = ?== ， 即点P 与点P '重合. 3. 在矩形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取异于顶点的K 、L 、M 、N ，已知KL MN ∥.证明KM 与LN 的交点O 在矩形的对角线BD 上. 解析 连结OB 、OD . B M N A S P T F E D M C N O L A K B
初中几何辅助线大全-最全 三角形中作辅助线的常用方法举例 一、延长已知边构造三角形： 例如：如图7-1 :已知AC= BD, AD丄AC于A , BC丄BD于B, 求证：AD= BC 分析：欲证AD = BC,先证分别含有AD, BC的三角形全等，有几种方案：△KDC与ABCD , △XOD与△BOC’MBD与ABAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可 设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。 证明：分别延长DA CB它们的延长交于E点, ?/ AD丄AC BC丄BD （已知） ???/ CAE=Z DBE = 90 ° （垂直的定义） 在厶DBE与△ CAE中 E E（公共角） DBE CAE（已证） BD AC（已知） ? A DBE^A CAE （AAS ?ED= EC EB = EA （全等三角形对应边相等） ?ED- EA= EC— EB 即：AD= BC （当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。） 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。 三、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。 例如：如图9-1 :在Rt△ ABC中，AB= AC, / BAC= 90°,/ 1 = Z 2, CEL BD的延长于E。求证：BD= 2CE
分析：要证BD = 2CE，想到要构造线段2CE，同时CE
与/ABC的平分线垂直，想到要将其延长。 证明：分别延长BA CE交于点F。 ?/ BEX CF （已知） ???/ BEF=/ BEC= 90°（垂直的定义） 在厶BEF与厶BEC中， 1 2（已知） BE BE（公共边） BEF BEC（已证） 1 ? △ BEF^A BEC（ASA ?- CE=FE」CF （全等三角形对应边相等） 2 ?// BAC=90 BE 丄CF （已知） ???/ BAC=/ CAF= 90°/ 1 + / BDA= 90°/ 1 + Z BFC= 90° ???/ BDA=/ BFC 在厶ABM A ACF中 BAC CAF （已证） BDA BFC （已证） AB = AC（已知） ? △ ABD^A ACF （AAS ? BD= CF （全等三角形对应边相等）? BD= 2CE 四、取线段中点构造全等三有形。 例如：如图11-1 : AB= DC / A=/ D 求证：/ ABC=/ DCB 分析：由AB = DC ,ZA =/D，想到如取AD的中点N，连接NB , NC,再由SAS公理有△ ABN也Q CN，故BN = CN , ZABN =ZDCN。下面只需证/ NBC =ZNCB，再取BC的中点 M，连接MN，则由SSS公理有△ NBM也A CM，所以/NBC = ZNCB。问题得证。 证明：取AD, BC的中点N、M连接NB NM NC贝U AN=DN BM=C皿在厶ABN和厶DCN
2019-2020 年中考数学专题初中几何辅助线的几种常见添法培优试题 一、由角平分线想到的辅助线 1、截取构全等 例1：如图 1， AB∥ CD， BE 平分∠ ABC， CE平分∠ BCD，点 E 在 AD上。求证： BC=AB+CD。例2：已知，如图 2，AB=2AC，∠ BAD=∠ CAD， DA=DB。求证： DC⊥ AC。 例 3：如图 3，在△ ABC中，∠ C=2∠ B， AD平分∠ BAC。求证： AB-AC=CD。 2、角平分钱上的点向角两边作垂线构全等
例1：如图 4，已知 AB>AD，∠ BAC=∠ FAC， CD=BC。求证：∠ ADC+∠ B=180° 例 2：已知，如图5，△ ABC的角平分线BM、 CN相交于点P，求证：∠ BAC的平分线也经过点P。 3、作角平分线的垂线构造等腰三角形 例1：已知，如图 6，∠ BAD=∠ DAC， AB>AC， CD⊥ AD于 D，H 是 BC的中点。 1 求证： DH( AB AC) 例 2：如图 7， AB=AC，∠ BAC=90°， BD平分∠ ABC， CE⊥ BE。求证： BD=2CE。
例 3：已知，如图8，在△ ABC中， AD、 AE分别是△ BAC的内、外角平分线，过顶点B作 BF⊥ AD，交AD的延长线于 F，连结 FC 并延长交 AE于 M。 求证： AM=ME。 例 4：已知，如图9，在△ ABC中， AD平分∠ BAC，AD=AB，CM⊥ AD交 AD延长线于 M。 求证： AM 1 ( AB AC) 。 2 二、截长补短法 例 1：如图 10，正方形 ABCD中， E 为 BC上的一点， F 为 CD上的一点， BE+DF=EF。求∠ EAF的度数。
几何证明题综合训练 1． 线段或角相等的证明 （1） 利用全等△或相似多边形； （2） 利用等腰△； （3） 利用平行四边形； （4） 利用等量代换； （5） 利用平行线的性质或利用比例关系 （6） 利用圆中的等量关系等。 2． 线段或角的和差倍分的证明 （1） 转化为相等问题。如要证明a=b±c ，可以先作出线段p=b±c ，再去证明a=p ， 即所谓“截长补短”，角的问题仿此进行。 （2） 直接用已知的定理。例如：中位线定理，Rt △斜边上的中线等于斜边的一半； △的外角等于不相邻的内角之和；圆周角等于同弧所对圆心角的一半等等。 3． 两线平行与垂直的证明 （1） 利用两线平行与垂直的判定定理。 （2） 利用平行四边形的性质可证明平行；利用等腰△的“三线合一”可证明垂直。 （3） 利用比例关系可证明平行；利用勾股定理的逆定理可证明垂直等。 【竞赛例题剖析】 【例1】从⊙O 外一点P 向圆引两条切线PA 、PB 和割线PCD 。从A 点作弦AE 平行于CD ，连结BE 交CD 于F 。求证：BE 平分CD 。 【分析1】构造两个全等△。 连结ED 、AC 、AF 。 CF=DF ←△ACF ≌△EDF ← ←? ?? ?? ?????←←∠=∠∠=∠=∠←∠=∠←??? ∠=∠=四点共圆、、、P B F A ABP AFC ABP AEF EFD EFD AFC CD //AE EDF ACF ED AC ←∠PAB=∠AEB=∠PFB 【分析2】利用圆中的等量关系。连结OF 、?? ?? ?=∠←=∠←=、、、P B F O 90 OBP 90OFP DF CF 0 ←∠PFB=∠POB ← ←? ??←∠=∠←∠=∠是切线、PB PA AEB POB CD //AE AEB PFB
1、三角形ABC中,AD为中线,P为AD上任意一点,过p的直线交AB于M.交ac于N,若AN=AM，求证PM/PN=AC/AB 证明：过P点作BC的平行线交AB,AC分别于M',N'点；再分别过M,M'两点分别作AC的平行线分别交AD(或延长线）于P',A'两点。 由M'N'平行BC得：AC/AN'=AB/AM',即AC/AB=AN'/AM'.且M'P=N'P 由三角形AN'P全等三角形A'M'P得：M'A'=AN'.所以，AC/AB=A'M'/AM' 由三角形AM'A'相似三角形AMP'得：AM/AM'=MP'/A'M',即A'M'/AM'=MP'/AM 所以：AC/AB=MP'/AM 由三角形MP'P相似三角形ANP得：MP'/AN=MP/PN 而AN=AM 所以：MP'/AM=MP/PN 所以：AC/AB=MP/PN 1题图2题图 2、在三角形BCD中,BC=BD,延长BC至A,延长BD至E,使AC=BE,连接AD,AE,AD=AE,求BCD 为等边 证明：过点A作CD的平行线交BE的延长线于F点。则∠BDC=∠F=∠BCD=∠A，即∠A=∠F. 又因为：四边形AFDC是梯形 所以：AC=DF=FE+DE 而AC=BD+DE 所以：BD=FE 又因为：AD=AE,∠BDA=∠FEA 所以：三角形ABD和三角形AFE全等 所以：∠B=∠F 所以：∠B=∠BCD=∠BDC=60° 所以：三角形BCD是等边三角形。 3、三角形ABC中若圆O在变化过程中都落在三角形ABC内(含相切), A为60度,AC为8,AB 为10,X为未知数,是AE的长.圆O与AB,AC相切,圆O与AB的切点为E, X的范围是？解：如图，当元O与三角形ABC三条边都相切时，x的值最大。此时：
面积公式A bc B ac C ab S ABC sin 2 1sin 21sin 21===? ))()((c p b p a p p S ABC ---=? 2/)(c b a p ++= 和角公式 A B B A B A cos sin cos sin )sin(+=+ A B B A B A sin sin cos cos )cos(-=+ B A B A B A tan tan 1tan tan )tan(-+=+ 差角公式 A B B A B A cos sin cos sin )sin(-=- A B B A B A sin sin cos cos )cos(+=- B A B A B A tan tan 1tan tan )tan(+-=-
常用角度的三角比
相关练习题： 1.已知ABC ?中，,75 =∠B ,60 =∠C ,10=BC 求AB 与AC 的长及三角形的面积 2.求证面积公式A bc B ac C ab S ABC sin 2 1sin 21sin 21===? 3.求证海伦公式 ))()((c p b p a p p S ABC ---=? 2/)(c b a p ++= 4. 已知ABC ?中，,7=AB ,8=BC ,9=AC 求sinA ， sinB ， sinC 5.在等腰三角形ABC 中，AB=1，∠A=900，点E 为腰AC 中点，点F 在底边BC 上，且FE ⊥BE ，求△CEF 的面积。 6.已知四边形ABCD 内接于直径为3的圆O ，对角线AC 是直径，对角线AC 和BD 的交点是P ，AB=BD ，且PC=0.6，求四边形ABCD 的周长． 7.在△ABC 中，∠ABC ＝600，点P 是△ABC 内的一点，使得∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ，且PA ＝8，PC ＝6，则PB ＝ 。 A B C E F A B C P
初中几何辅助线—克胜秘籍 等腰三角形 1. 作底边上的高，构成两个全等的直角三角形，这是用得最多的一种方法； 2. 作一腰上的高； 3 .过底边的一个端点作底边的垂线，与另一腰的延长线相交，构成直角三角形。梯形 1. 垂直于平行边 2. 垂直于下底，延长上底作一腰的平行线 3. 平行于两条斜边 4. 作两条垂直于下底的垂线 5. 延长两条斜边做成一个三角形 菱形 1. 连接两对角 2. 做高 平行四边形 1. 垂直于平行边 2. 作对角线——把一个平行四边形分成两个三角形 3. 做高——形内形外都要注意 矩形 1. 对角线 2. 作垂线
很简单。无论什么题目，第一位应该考虑到题目要求，比如AB=AC+BD....这类的就是想办法作出另一条AB等长的线段，再证全等说明AC+BD=另一条AB,就好了。还有一些关于平方的考虑勾股，A字形等。 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线（垂线段相等）。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 解几何题时如何画辅助线? ①见中点引中位线，见中线延长一倍 在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。 ②在比例线段证明中，常作平行线。 作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。 ③对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法有 1、过上底的两端点向下底作垂线
平面几何解答题专题练习 资料整理：沈于童老师 高频考察知识点： 一、全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 二、等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 三、等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 四、等腰直角三角形 （1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形． （2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角
形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）； 历年真题： 1. （13-14一中月考）如图，△ABC与△CDE均为等边三角形，B、C、E在同一直线上， AE、BD交于点G，AC交BD于M，CD交AE于N，连接CG． （1）若AB＝2，DE＝5，求AE的长． （2）求证：EG＝CG+DG． 2.（17-18西附月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC内一点，AD＝BD，且 AD⊥BD，连接CD．过点C作CE⊥BC交AD的延长线于点E，连接BE．过点D作DF ⊥CD交BC于点F． （1）若BD＝DE=√5，CE=√2，求BC的长； （2）若BD＝DE，求证：BF＝CF． 3. （17-18一外期中）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，过C作AB边上的高CD，H为BC 边上的中点，连接DH，CD上有一点F，且AD＝DF，连接BF并延长交AC于E，交DH 于G．
1. 如图，在△ABC 中，AB ＝2AC ，AD 是角平分线，E 是 BC 边的中点，EF ⊥AD 于点 F ，CG ⊥AD 于点 G ， 3 若 tan ∠CAD= 4 ，AB ＝20，则线段 EF 的长为 C F 2. 如图，在△ABC 中，tan ∠ACB=3，点D 、E 在 BC 边上，∠DAE ＝ 1 ∠BAC ，∠ACB ＝∠DAE ＋∠B ，点 2 F 在线段 AE 的延长线上，AF ＝AD ，若 CD ＝4，CF ＝2，则 AC 边的长为 3. 如图，在△ABC 中，∠A=30°，点 D 、E 分别在 AB 、AC 边上，BD=CE=BC ，点 F 在 BC 边上，DF 与 BE 1 交于点 G 。若 BG=1，∠BDF= 2 ∠ACB ，则线段 EG 的长为
4. 如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，角平分线 BD 、CE 交于点 F ，若 BC ＝3CD ，BF ＝2，则 BC 边的长为 E B 5. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠ACD ＝45°，点 E 在射线 BD 上，AE//CD ，AE ＝DE ，若 BD ＝1，CD ＝ 5，则 AE 的长为 6. 如图，△ABC 中，∠AB ＝90°，CD 是 AB 边上的中线，点 F 在线段 AD 上，点 F 在 CD 延长线上，AE ＝ DF ，连接 CE 、BF ，若∠AEC ＝∠DFB ，AC ＝ 2 3 ，DF ＝ 1，则线段 CE 的长为 A B 7. 如图，在等边△ABC 中，D 为 AB 边上一点，连接 CD ，在 CD 上取一点E ，连接BE ，∠BED ＝60°，若 3
几何要想取得好成绩,几何公式一定要烂熟于胸。几何公式就是做好几何题的根基,因此同学们一定要在几何公式上多下功夫。本文总结了初中几何公式140条。 初中几何公式:线 1过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都与第三条直线平行,这两条直线也互相平行 初中几何公式:角 9 同位角相等,两直线平行 10 内错角相等,两直线平行 11 同旁内角互补,两直线平行 12两直线平行,同位角相等 13 两直线平行,内错角相等 14 两直线平行,同旁内角互补 初中几何公式:三角形 15 定理三角形两边的与大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角与定理三角形三个内角的与等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的与 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理有两边与它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理有两角与它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论有两角与其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理有斜边与一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上 29 角的平分线就是到角的两边距离相等的所有点的集合 初中几何公式:等腰三角形 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线与高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等 (等角对等边) 35 推论1 三个角都相等的三角形就是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形就是等边三角形 37 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可瞧作与线段两端点距离相等的所有点的集合
全等三角形问题中常见的辅助线的作法（有答案）条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。 常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相 等。 总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之 间的相等 【三角形辅助线做法】 图中有角平分线，可向两边作垂线。角 平分线平行线，等腰三角形来添。线段 垂直平分线，常向两端把线连。三角形 中两中点，连接则成中位线。 1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题 2?倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形 3. 角平分线在三种添辅助线 4. 垂直平分线联结线段两端 5. 用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长， 6. 图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形 7. 角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可 以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计 算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三 角形创造边、角之间的相等条件。 8. 计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或 40-60-80的特殊直角三角形，常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形? 2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形? 3）遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性 质定理或逆定理.（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。 4）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明?这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目. 6）已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连 接起来，利用三角形面积的知识解答 一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ ABC中， AB=5, AC=3则中线AD的取值范围是 解：延长AD至E使AE= 2AD,连BE,由三角形性质知 也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线加垂线，三线合一试试看。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中有中线，延长中线等中线。
三角形中作辅助线的常用方法举例 一、延长已知边构造三角形： 例如：如图7-1：已知AC＝BD，AD⊥AC于A，BC⊥BD于B，求证：AD＝BC 分析：欲证AD＝BC，先证分别含有AD，BC的三角形全等，有几种方案：△ADC与△BCD，△AOD与△BOC，△ABD与△BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。 证明：分别延长DA，CB，它们的延长交于E点， ∵AD⊥AC BC⊥BD（已知） ∴∠CAE＝∠DBE＝90°（垂直的定义） E 在△DBE与△CAE中 E E(公共角) ∵ DBE CAE(已证) BD AC(已知) A D O 图71 B C ∴△≌DBE△CAE（AAS） ∴ED＝EC EB＝EA（全等三角形对应边相等） ∴ED－EA＝EC－EB 即：AD＝BC。 （当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。） 二、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。 三、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。 例如：如图9-1：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延长于E。求证：BD＝2CE 分析：要证BD＝2CE，想到要构造线段2CE，同时CE与 ∠ABC的平分线垂直，想到要将其延长。F 证明：分别延长BA，CE交于点F。A E ∵BE⊥CF（已知）D ∴∠BEF＝∠BEC＝90°（垂直的定义）1 2 在△BEF与△BEC中，B C 图91
12(已知) ∵ BE BE (公共边) BEF BEC (已证) ∴△≌BEF △BEC （ASA ）∴CE=FE= 1 2 CF （全等三角形对应边相等） ∵∠BAC=90° BE ⊥CF （已知） ∴∠BAC＝∠CAF ＝90° ∠1＋∠BDA＝90°∠1＋∠BFC＝90° ∴∠BDA＝∠BFC 在△ABD 与△ACF 中 BAC CAF (已证) BDA BFC (已证) AB ＝AC (已知) ∴△≌ABD △ACF （AAS ）∴BD＝CF （全等三角形对应边相等） ∴BD ＝2CE 四、取线段中点构造全等三有形。 例如：如图 11-1：AB ＝DC ，∠A ＝∠D 求证：∠ABC ＝∠DCB 。 分析：由 AB ＝DC ，∠A ＝∠D ，想到如取 AD 的中点 N ，连接 NB ，NC ，再由 SAS 公理有△ABN ≌△，DCN 故 BN ＝CN ，∠ABN＝∠DCN 。下面只需证∠NBC ＝∠NCB ，再取 BC 的中点 M ，连接 MN ，则由 SSS 公理有△NBM ≌△，NCM 所以∠NBC ＝∠NCB 。问题得证。 证明：取 AD ，BC 的中点 N 、M ，连接 NB ，NM ，NC 。则 AN=DN ，BM=CM ， △在ABN 和△DCN AN DN (辅助线的作法 ) 中 ∵ A D (已知) AB DC (已知) ∴△≌ABN △DCN （SAS ） ∴∠ABN＝∠DCN NB ＝NC （全等三角形对应边、角相等） 在△NBM 与△NCM 中 NB ＝NC (已证) ∵ BM ＝CM (辅助线的作法) NM ＝NM (公共边) N A B M 图11 1 D C ∴△N MB ≌△NCM ，(SSS) ∴∠N BC ＝∠NCB （全等三角形对应角相等）∴∠ NBC ＋∠ ABN ＝∠NCB ＋∠DCN 即∠ABC ＝∠DCB 。