初中数学竞赛第二轮专题复习（4)
几何
1、如图,D ，E 分别为∆ＡB Ｃ的边ＡB ，ＡC 上的点,且不与∆A ＢC 的顶点重合.已知ＡE 的长为m,AC 的长为n,A Ｄ,ＡＢ的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根．
(Ⅰ)证明：C ，B,D,E 四点共圆;
(Ⅱ)若∠A=9０°，且m=4， n=６,求C,B ，D,E 所在圆的半径．
解:(Ⅰ)连接DE,根据题意在△ADE 和△ＡCB 中，A Ｄ×A Ｂ=mn=A Ｅ×A Ｃ，即AD AE AC AB
=． 又∠DAE=∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB
因此∠AD Ｅ=∠A ＣB ，所以C ， B, D, E 四点共圆．
(Ⅱ)ｍ＝4, n ＝6时,方程ｘ2-14x ＋mn=０的两根为ｘ1＝２,x 2＝12.
故AD ＝2，ＡB ＝1２.
取CE 的中点G ，DB 的中点F,分别过Ｇ，F 作AC ，AB
的垂线,两垂线相交于Ｈ点,连接ＤH ．
因为C ， B ， Ｄ, E 四点共圆,所以Ｃ， B ， Ｄ, E 四点所在圆的圆 心为H,半径为DH.
由于∠Ａ＝９０°，故ＧＨ∥AB,H Ｆ∥AC ．H Ｆ＝AG=5,D Ｆ=12
(12-２)=5. 故C,B,D,Ｅ四点所在圆的半径为
．
2、在等腰∆AB Ｃ中,顶角∠AC Ｂ＝80°,过A ， Ｂ引两直线在∆ABC 内交于一点Ｏ．若∠O ＡB=１0°, ∠ＯＢA=20°，求∠ACO 的大小，并证明你的结论.
解:60ACO ∠=︒（４分)
以OA 为轴翻转OAB ∆到OAB '∆,连接,CB BB '',由10OAB ∠=︒知20BAB '∠=︒且AB AB '=,ABB '为等
腰三角形，故80AB B ACB '∠=︒=∠，从而知,,,A B B C
'四点共圆，再由20ABO ∠=︒知60OBB '∠=︒,BB O '∆为
等边三角形．由四点共圆知100ACB '∠=︒，又
30OBC B BC '∠=∠=︒，OB B B '=,BC 公共，故OBC B BC '∆≅∆．
再由100ACB '∠=︒,80ACB ∠=︒，故20OCB ∠=︒,从而得证:60ACO ∠=︒. 答题要点:60ACO ∠=︒ 以OA 为轴翻转OAB ∆到OAB '∆，连接,CB BB ''
①OBB '∆为正三角形;
②,,,A B B C '四点共圆：因为80ACB AB B '∠=∠=︒
20B CB B AB ''∠=∠=︒;
③OBC B BC '∆≅∆,20B CB OCB '∠=∠=︒，再由80ACB ∠=︒，得证:60ACO ∠=︒． ３、如图，在△AB Ｃ中,∠A=60︒,ＡB ＞ＡC ，点O 是外心，两条高B Ｅ、ＣF 交于H 点．点M 、N 分别在线段B Ｈ、HF 上，且满足BM ＝CN ． 求OH NH MH +的值. 解:在ＢＥ上取BK=CH ，连接OB 、OC 、O Ｋ,
由三角形外心的性质知 ∠ＢOC=2∠Ａ＝1２0°
由三角形垂心的性质知 ∠ＢHC ＝180°-∠A=120°
∴∠BOC ＝∠BH Ｃ ∴B 、C 、ＨO 四点共圆
∴∠ＯB Ｈ＝∠OC Ｈ OB=ＯC BK=CH
∴⊿B ＯK ≌⊿CO Ｈ
∵ＢO Ｋ=∠BO Ｃ=120°，∠O ＫH=∠OHK=30°
观察⊿OKH ， ︒
=︒30sin 120sin OH KH ⇒KH ＝3OH 又∵BM=ＣN,ＢK ＝CH, ∴KM=NH
∴MH+ＮH=ＭH ＋KM=KH=3OH ∴OH
NH MH +=3. 4、如图,在凸四边形A ＢC Ｄ中，∠ABC=∠AD Ｃ，E ， F, Ｇ, H 分别为AB, BD, ＡD, CD 的中点．
求证：(Ⅰ)Ｅ, F, G , H 四点共圆；
（Ⅱ)∠AEF=∠ACB -∠A ＣD.
证明:(Ⅰ)连结ＥG , ＥH ， F Ｇ， FH, G Ｈ,
则FG//BA ， FH ／/B Ｃ，所以∠ＧＦH ＝∠ＡＢC ．
又因为四边形DGE Ｈ为平行四边形，
所以,∠ＧＥH=∠ADC ＝∠ABC=∠GF Ｈ.
所以，E, F ， G , Ｈ四点共圆．
(Ⅱ)因为E, F ， G ， Ｈ四点共圆，
所以∠GEF=∠GH Ｆ＝∠AC Ｂ．
又E Ｇ//ＣD ，所以∠AE Ｇ=∠ＡCD ．
故∠AEF ＝∠GEF -∠ＡEG=∠ACB -∠ACD ．
平面几何中的几个著名定理
几何学起源于土地测量,几千年来，人们对几何学进行了深入的研究,现已发展成为一门具有严密的逻辑体系的数学分支．人们从少量的公理出发，经过演绎推理得到不少结论,这些结论一般就称为定理.平面几何中有不少定理，除了教科书中所阐述的一些定理外,还有许多著名的定理，以这些定理为基础，可以推出不少几何事实，得到完美的结论，以至巧妙而简捷地解决不少问题.而这些定理的证明本身,给我们许多有价值的数学
思想方法,对开阔眼界、活跃思维都颇为有益.有些定理的证明方法及其引伸出的结论体现了数学的美,使人们感到对这些定理的理解也可以看作是一种享受.下面我们来介绍一些著名的定理．
1．梅内劳斯定理
亚历山大里亚的梅内劳斯(Mｅneｌaus,约公元100年，他和斯巴达的Menelauｓ是两个人）曾著《球面论》，着重讨论球面三角形的几何性质．以他的名子命名的“梅内劳斯定理”现载在初等几何和射影几何的书中，是证明点共线的重要定理．
定理一直线与△AＢC的三边AB，BC，CA或延长线分别相交于X，Y，Z,则
证过A，B，C分别作直线ＸZＹ的垂线,设垂足分别为Q,P,S，见图3－98．由△AＸＱ∽△BXP得
同理
将这三式相乘，得
说明 (1）如果直线与△ＡBC的边都不相交,而相交在延长线上，同样可证得上述结论，但一定要有交点,且交点不在顶点上，否则定理的结论中的分母出现零,分子也出现零,这时定理的结论应改为
