2021年浙江省高考数学试卷（理科）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知i是虚数单位，则（﹣1+i）（2﹣i）=（）
A．﹣3+i B．﹣1+3i C．﹣3+3i D．﹣1+i
2．（5分）设集合S={x|x＞﹣2}，T={x|x2+3x﹣4≤0}，则（∁R S）∪T=（）A．（﹣2，1]B．（﹣∞，﹣4]C．（﹣∞，1]D．[1，+∞）
3．（5分）已知x，y为正实数，则（）
A．2lgx+lgy=2lgx+2lgy B．2lg（x+y）=2lgx•2lgy
C．2lgx•lgy=2lgx+2lgy D．2lg（xy）=2lgx•2lgy
4．（5分）已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R），则“f（x）是奇函数”是“φ=”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．（5分）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（）A．a=4 B．a=5 C．a=6 D．a=7
6．（5分）已知，则tan2α=（）A．B．C．D．
7．（5分）设△ABC，P0是边AB上一定点，满足，且关于边AB上任一点P，恒有则（）
A．∠ABC=90°B．∠BAC=90°C．AB=AC D．AC=BC
8．（5分）已知e为自然对数的底数，设函数f（x）=（e x﹣1）（x﹣1）k（k=1，2），则（）
A．当k=1时，f（x）在x=1处取得极小值
B．当k=1时，f（x）在x=1处取得极大值
C．当k=2时，f（x）在x=1处取得极小值
D．当k=2时，f（x）在x=1处取得极大值
9．（5分）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）
A．B．C．D．
10．（5分）在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B=fπ（A）．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1=fβ[fα（P）]，Q2=fα[fβ（P）]，恒有PQ1=PQ2，则（）
A．平面α与平面β垂直
B．平面α与平面β所成的（锐）二面角为45°
C．平面α与平面β平行
D．平面α与平面β所成的（锐）二面角为60°
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11．（4分）设二项式的展开式中常数项为A，则A=．
12．（4分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积等于cm3．
13．（4分）设z=kx+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则
实数k=．
14．（4分）将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有种（用数字作答）
15．（4分）设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点P（﹣1，0）的直线l交抛物线C于两点A，B，点Q为线段AB的中点，若|FQ|=2，则直线l的斜率等于．16．（4分）△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，若，则sin∠BAC=．
17．（4分）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于．
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（14分）在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．
（Ⅰ）求d，a n；
（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．
19．（14分）设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分，取出蓝球得3分．
（1）当a=3，b=2，c=1时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和．求ξ分布列；
（2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若，求a：b：c．
20．（15分）如图，在四面体A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2．M 是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC．
（1）证明：PQ∥平面BCD；
（2）若二面角C﹣BM﹣D的大小为60°，求∠BDC的大小．
21．（15分）如图，点P（0，﹣1）是椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的一个顶
点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程．
22．（14分）已知a∈R，函数f（x）=x3﹣3x2+3ax﹣3a+3．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当x∈[0，2]时，求|f（x）|的最大值．
2020年浙江省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知i是虚数单位，则（﹣1+i）（2﹣i）=（）
A．﹣3+i B．﹣1+3i C．﹣3+3i D．﹣1+i
【分析】直截了当利用两个复数代数形式的乘法法则，以及虚数单位i的幂运算性质，运算求得结果．
【解答】解：（﹣1+i）（2﹣i）=﹣2+i+2i+1=﹣1+3i，
故选：B．
【点评】本题要紧考查两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．
2．（5分）设集合S={x|x＞﹣2}，T={x|x2+3x﹣4≤0}，则（∁R S）∪T=（）A．（﹣2，1]B．（﹣∞，﹣4]C．（﹣∞，1]D．[1，+∞）
【分析】先依照一元二次不等式求出集合T，然后求得∁R S，再利用并集的定义求出结果．
【解答】解：∵集合S={x|x＞﹣2}，
∴∁R S={x|x≤﹣2}，
T={x|x2+3x﹣4≤0}={x|﹣4≤x≤1}，
故（∁R S）∪T={x|x≤1}
故选：C．
【点评】此题属于以一元二次不等式的解法为平台，考查了补集及并集的运算，是高考中常考的题型．在求补集时注意全集的范畴．
3．（5分）已知x，y为正实数，则（）
A．2lgx+lgy=2lgx+2lgy B．2lg（x+y）=2lgx•2lgy
C．2lgx•lgy=2lgx+2lgy D．2lg（xy）=2lgx•2lgy
【分析】直截了当利用指数与对数的运算性质，判定选项即可．
【解答】解：因为a s+t=a s•a t，lg（xy）=lgx+lgy（x，y为正实数），
因此2lg（xy）=2lgx+lgy=2lgx•2lgy，满足上述两个公式，
故选：D．
【点评】本题考查指数与对数的运算性质，差不多知识的考查．
4．（5分）已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R），则“f（x）是奇函数”是“φ=”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】φ=⇒f（x）=Acos（ωx+）⇒f（x）=﹣Asin（ωx）（A＞0，ω＞0，x ∈R）是奇函数．f（x）为奇函数⇒f（0）=0⇒φ=kπ+，k∈Z．因此“f（x）是奇函数”是“φ=”必要不充分条件．
【解答】解：若φ=，
则f（x）=Acos（ωx+）
⇒f（x）=﹣Asin（ωx）（A＞0，ω＞0，x∈R）是奇函数；
若f（x）是奇函数，
⇒f（0）=0，
∴f（0）=Acos（ω×0+φ）=Acosφ=0．
∴φ=kπ+，k∈Z，不一定有φ=
“f（x）是奇函数”是“φ=”必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查充分条件、必要条件和充要条件的判定，解题时要认真审题，认真解答，注意三角函数性质的灵活运用．
5．（5分）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（）A．a=4 B．a=5 C．a=6 D．a=7
【分析】依照已知流程图可得程序的功能是运算S=1++…+的值，利用裂项相消法易得答案．
【解答】解：由已知可得该程序的功能是
运算并输出S=1++…+=1+1﹣=2﹣．
若该程序运行后输出的值是，则2﹣=．
∴a=4，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，其中分析出程序的功能是解答的关键．
6．（5分）已知，则tan2α=（）A．B．C．D．
【分析】由题意结合sin2α+cos2α=1可解得sinα，和cosα，进而可得tanα，再代入二倍角的正切公式可得答案．
【解答】解：∵，又sin2α+cos2α=1，
联立解得，或
故tanα==，或tanα=3，
代入可得tan2α===﹣，
或tan2α===
故选：C．
【点评】本题考查二倍角的正切公式，涉及同角三角函数的差不多关系，属中档题．
7．（5分）设△ABC，P0是边AB上一定点，满足，且关于边AB上任一点P，恒有则（）
A．∠ABC=90°B．∠BAC=90°C．AB=AC D．AC=BC
【分析】设||=4，则||=1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0=a，则由数量积的几何意义可得||2﹣（a+1）||+a≥0恒成立，只需△=（a+1）2﹣4a=（a﹣1）2≤0即可，由此能求出△ABC是等腰三角形，AC=BC．
【解答】解：设||=4，则||=1，过点C作AB的垂线，垂足为H，
在AB上任取一点P，设HP0=a，则由数量积的几何意义可得，
=||•||=||2﹣（a+1）||，
•=﹣a，
因此•≥••恒成立，
整理得||2﹣（a+1）||+a≥0恒成立，
只需△=（a+1）2﹣4a=（a﹣1）2≤0即可，因此a=1，
因此我们得到HB=2，即H是AB的中点，故△ABC是等腰三角形，
因此AC=BC．
故选：D．
【点评】本题要紧考查了平面向量的运算，向量的模及向量的数量积的概念，向量运算的几何意义的应用，还考查了利用向量解决简单的几何问题的能力8．（5分）已知e为自然对数的底数，设函数f（x）=（e x﹣1）（x﹣1）k（k=1，2），则（）
A．当k=1时，f（x）在x=1处取得极小值
B．当k=1时，f（x）在x=1处取得极大值
C．当k=2时，f（x）在x=1处取得极小值
D．当k=2时，f（x）在x=1处取得极大值
【分析】通过对函数f（x）求导，依照选项知函数在x=1处有极值，验证f'（1）=0，再验证f（x）在x=1处取得极小值依旧极大值即可得结论．
【解答】解：当k=1时，函数f（x）=（e x﹣1）（x﹣1）．
求导函数可得f'（x）=e x（x﹣1）+（e x﹣1）=（xe x﹣1），
f'（1）=e﹣1≠0，f'（2）=2e2﹣1≠0，
则f（x）在在x=1处与在x=2处均取不到极值，
当k=2时，函数f（x）=（e x﹣1）（x﹣1）2．
求导函数可得f'（x）=e x（x﹣1）2+2（e x﹣1）（x﹣1）=（x﹣1）（xe x+e x﹣2），∴当x=1，f'（x）=0，且当x＞1时，f'（x）＞0，当x0＜x＜1时（x0为极大值点），f'（x）＜0，故函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；
在（x0，1）上是减函数，从而函数f（x）在x=1取得极小值．对比选项．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的极值问题，考查学生的运算能力，正确明白得极值是
关键．
9．（5分）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）
A．B．C．D．
【分析】不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y
的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．
【解答】解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：+y2=1上的点，
∴2a=4，b=1，c=；
∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①
又四边形AF1BF2为矩形，
∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②
由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2m，
焦距为2n，
则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2c=2，
∴双曲线C2的离心率e===．
故选：D．
【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．
10．（5分）在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B=fπ（A）．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1=fβ[fα（P）]，Q2=fα[fβ（P）]，恒有PQ1=PQ2，则（）
A．平面α与平面β垂直
B．平面α与平面β所成的（锐）二面角为45°
C．平面α与平面β平行
D．平面α与平面β所成的（锐）二面角为60°
【分析】设P1是点P在α内的射影，点P2是点P在β内的射影．依照题意点P1在β内的射影与P2在α内的射影重合于一点，由此可得四边形PP1Q1P2为矩形，且∠P1Q1P2是二面角α﹣l﹣β的平面角，依照面面垂直的定义可得平面α与平面β垂直，得到本题答案．
【解答】解：设P1=fα（P），则依照题意，得点P1是过点P作平面α垂线的垂足∵Q1=fβ[fα（P）]=fβ（P1），
∴点Q1是过点P1作平面β垂线的垂足
同理，若P2=fβ（P），得点P2是过点P作平面β垂线的垂足
因此Q2=fα[fβ（P）]表示点Q2是过点P2作平面α垂线的垂足
∵对任意的点P，恒有PQ1=PQ2，
∴点Q1与Q2重合于同一点
由此可得，四边形PP1Q1P2为矩形，且∠P1Q1P2是二面角α﹣l﹣β的平面角
∵∠P1Q1P2是直角，∴平面α与平面β垂直
故选：A．
【点评】本题给出新定义，要求我们判定平面α与平面β所成角大小，着重考查了线面垂直性质、二面角的平面角和面面垂直的定义等知识，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11．（4分）设二项式的展开式中常数项为A，则A=﹣10．
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．
=••（﹣1）【解答】解：二项式的展开式的通项公式为T r
+1
r•=（﹣1）r••．
令=0，解得r=3，故展开式的常数项为﹣=﹣10，
故答案为﹣10．
【点评】本题要紧考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
12．（4分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积等于24cm3．
【分析】先依照三视图判定几何体的形状，再利用体积公式运算即可．
【解答】解：几何体为三棱柱去掉一个三棱锥后的几何体，底面是直角三角形，直角边分别为3，4，侧面的高为5，被截取的棱锥的高为3．如图：
V=V棱柱﹣V棱锥==24（cm3）
故答案为：24．
【点评】本题考查几何体的三视图及几何体的体积运算．V
椎体=Sh，V
柱体
=Sh．考
查空间想象能力．
13．（4分）设z=kx+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则
实数k=2．
【分析】先画出可行域，得到角点坐标．再对k进行分类讨论，通过平移直线z=kx+y 得到最大值点A，即可得到答案．
【解答】解：可行域如图：
由得：A（4，4），
同样地，得B（0，2），
z=kx+y，即y=﹣kx+z，分k＞0，k＜0两种情形．
当k＞0时，
目标函数z=kx+y在A点取最大值，即直线z=kx+y在y轴上的截距z最大，即12=4k+4，得k=2；
当k＜0时，
①当k＞﹣时，目标函数z=kx+y在A点（4，4）时取最大值，即直线z=kx+y 在y轴上的截距z最大，
现在，12=4k+4，
故k=2．
②当k时，目标函数z=kx+y在B点（0，2）时取最大值，即直线z=kx+y在
y轴上的截距z最大，
现在，12=0×k+2，
故k不存在．
综上，k=2．
故答案为：2．
【点评】本题要紧考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数给予几何意义．
14．（4分）将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有480种（用数字作答）
【分析】按C的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，因此只看左的情形最后乘以2即可．
【解答】解：按C的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，因此只看左的情形最后乘以2即可．
当C在左边第1个位置时，有A，
当C在左边第2个位置时，A和B有C右边的4个位置能够选，有A A，当C在左边第3个位置时，有A A+A A，
共为240种，乘以2，得480．则不同的排法共有480种．
故答案为：480．
【点评】本题考查排列、组合的应用，关键在于明确事件之间的关系，同时要把握分类讨论的处理方法．
15．（4分）设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点P（﹣1，0）的直线l交抛物线C于两点A，B，点Q为线段AB的中点，若|FQ|=2，则直线l的斜率等于不存在．
【分析】由题意设直线l的方程为my=x+1，联立得到y2﹣4my+4=0，△=16m2﹣16=16（m2﹣1）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）．利用根与系数的关系可得y1+y2=4m，利用中点坐标公式可得=2m，x0=my0﹣
1=2m2﹣1．Q（2m2﹣1，2m），由抛物线C：y2=4x得焦点F（1，0）．再利用两点间的距离公式即可得出m及k，再代入△判定是否成赶忙可．
【解答】解：由题意设直线l的方程为my=x+1，联立得到y2﹣4my+4=0，
△=16m2﹣16=16（m2﹣1）＞0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）．
∴y1+y2=4m，∴=2m，∴x0=my0﹣1=2m2﹣1．
∴Q（2m2﹣1，2m），
由抛物线C：y2=4x得焦点F（1，0）．
∵|QF|=2，∴，化为m2=1，解得m=±1，不满足△＞0．故满足条件的直线l不存在．
故答案为不存在．
【点评】本题综合考查了直线与抛物线的位置关系与△的关系、根与系数的关系、中点坐标关系、两点间的距离公式等基础知识，考查了推理能力和运算能力．16．（4分）△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，若，则sin∠BAC=．
【分析】作出图象，设出未知量，在△ABM中，由正弦定理可得sin∠AMB=，
进而可得cosβ=，在RT△ACM中，还可得cosβ=，建立等式后可得a=b，再由勾股定理可得c=，而sin∠BAC═=，代入化简可得答案．【解答】解：如图
设AC=b，AB=c，CM=MB=，∠MAC=β，
在△ABM中，由正弦定理可得=，
代入数据可得=，解得sin∠AMB=，
故cosβ=cos（﹣∠AMC）=sin∠AMC=sin（π﹣∠AMB）=sin∠AMB=，
而在RT△ACM中，cosβ==，
故可得=，化简可得a4﹣4a2b2+4b4=（a2﹣2b2）2=0，
解之可得a=b，再由勾股定理可得a2+b2=c2，联立可得c=，
故在RT△ABC中，sin∠BAC====，
另解：设∠BAM为α，∠MAC为β，正弦定理得BM：sinα=AM：sin∠B
BM：sinβ=AM
又有sinβ=cos∠AMC=cos（α+∠B），
联立消去BM，AM得sin∠Bcos（α+∠B）=sinα，
拆开，将1化成sin2∠B+cos2∠B，
构造二次齐次式，同除cos2∠B，
可得tanα=，
若，则cos∠BAM=，
tan∠BAM=，
解得tan∠B=，cosB=
易得sin∠BAC=．
另解：作MD⊥AB交于D，设MD=1，AM=3，AD=2，DB=x，BM=CM=，用△DMB和△CAB相似解得x=，
则cosB=，
易得sin∠BAC=．
故答案为：
【点评】本题考查正弦定理的应用，涉及三角函数的诱导公式以及勾股定理的应用，属难题．
17．（4分）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的
夹角为30°，则的最大值等于2．
【分析】由题意求得=，||==，从而可得==
=，再利用二次函数的性质求得的最大值．
【解答】解：∵、为单位向量，和的夹角等于30°，∴=1×1×cos30°=．
∵非零向量=x+y，∴||===，
∴====，
故当=﹣时，取得最大值为2，
故答案为2．
【点评】本题要紧考查两个向量的数量积的运算，求向量的模，利用二次函数的性质求函数的最大值，属于中档题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（14分）在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．
（Ⅰ）求d，a n；
（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．
【分析】（Ⅰ）直截了当由已知条件a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列列式求出公差，则通项公式a n可求；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，得到等差数列{a n}的前11项大于等于0，后面的项小于0，因此分类讨论求d＜0时|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|的和．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得，即，
整理得d2﹣3d﹣4=0．解得d=﹣1或d=4．
当d=﹣1时，a n=a1+（n﹣1）d=10﹣（n﹣1）=﹣n+11．
当d=4时，a n=a1+（n﹣1）d=10+4（n﹣1）=4n+6．
因此a n=﹣n+11或a n=4n+6；
（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，因为d＜0，由（Ⅰ）得d=﹣1，a n=﹣n+11．则当n≤11时，．
当n≥12时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=﹣S n+2S11=．
综上所述，
|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=．
【点评】本题考查了等差数列、等比数列的差不多概念，考查了等差数列的通项公式，求和公式，考查了分类讨论的数学思想方法和学生的运算能力，是中档题．19．（14分）设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分，取出蓝球得3分．
（1）当a=3，b=2，c=1时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和．求ξ分布列；
（2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若，求a：b：c．
【分析】（1）ξ的可能取值有：2，3，4，5，6，求出相应的概率可得所求ξ的分布列；
（2）先列出η的分布列，再利用η的数学期望和方差公式，即可得到结论．【解答】解：（1）由题意得ξ=2，3，4，5，6，
P（ξ=2）==；P（ξ=3）==；P（ξ=4）==；
P（ξ=5）==；P（ξ=6）==．
故所求ξ的分布列为
ξ23456
P
（2）由题意知η的分布列为
η123
P
Eη==
Dη=（1﹣）2+（2﹣）2+（3﹣）2=．
得，
解得a=3c，b=2c，
故a：b：c=3：2：1．
【点评】本题要紧考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查抽象概括、运算能力，属于中档题．
20．（15分）如图，在四面体A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2．M 是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC．
（1）证明：PQ∥平面BCD；
（2）若二面角C﹣BM﹣D的大小为60°，求∠BDC的大小．
【分析】（1）取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF=3CF，连接OP、OF、FQ．依照平行线分线段成比例定理结合三角形的中位线定理证出四边形OPQF是平行四边形，从而PQ∥OF，再由线面平行判定定理，证出PQ∥平面BCD；（2）过点C作CG⊥BD，垂足为G，过G作GH⊥BM于H，连接CH．依照线面垂直的判定与性质证出BM⊥CH，因此∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角，可得∠CHG=60°．设∠BDC=θ，用解直角三角形的方法算出HG和CG关于θ的表达式，最后在Rt△CHG中，依照正切的定义得出tan∠CHG==，从而得到tanθ=，由此可得∠BDC．
【解答】（1）取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF=3CF，连接OP、OF、FQ
∵△ACD中，AQ=3QC且DF=3CF，∴QF∥AD且QF=AD
∵△BDM中，O、P分别为BD、BM的中点
∴OP∥DM，且OP=DM，结合M为AD中点得：OP∥AD且OP=AD
∴OP∥QF且OP=QF，可得四边形OPQF是平行四边形
∴PQ∥OF
∵PQ⊄平面BCD且OF⊂平面BCD，∴PQ∥平面BCD；
（2）过点C作CG⊥BD，垂足为G，过G作GH⊥BM于H，连接CH
∵AD⊥平面BCD，CG⊂平面BCD，∴AD⊥CG
又∵CG⊥BD，AD、BD是平面ABD内的相交直线
∴CG⊥平面ABD，结合BM⊂平面ABD，得CG⊥BM
∵GH⊥BM，CG、GH是平面CGH内的相交直线
∴BM⊥平面CGH，可得BM⊥CH
因此，∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角，可得∠CHG=60°
设∠BDC=θ，可得
Rt△BCD中，CD=BDcosθ=2cosθ，CG=CDsinθ=sinθcosθ，BG=BCsinθ=2sin2θRt△BMD中，HG==；Rt△CHG中，tan∠CHG==
∴tanθ=，可得θ=60°，即∠BDC=60°
【点评】本题在底面为直角三角形且过锐角顶点的侧棱与底面垂直的三棱锥中求证线面平行，同时在已知二面角大小的情形下求线线角．着重考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，解直角三角形和平面与平面所成角求法等知识，属于中档题．
21．（15分）如图，点P（0，﹣1）是椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的一个顶
点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程．
【分析】（1）由题意可得b=1，2a=4，即可得到椭圆的方程；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=kx﹣1．利用点到直线的距离公式和弦长公式即可得出圆心O到直线l1的距离和弦长|AB|，又l2⊥l1，可得直线l2的方程为x+kx+k=0，与椭圆的方程联赶忙可得到点D的横坐标，即可得出|PD|，即可得到三角形ABD
的面积，利用差不多不等式的性质即可得出其最大值，即得到k的值．
【解答】解：（1）由题意可得b=1，2a=4，即a=2．
∴椭圆C1的方程为；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．
由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=kx﹣1．
又圆的圆心O（0，0）到直线l1的距离d=．
∴|AB|==．
又l2⊥l1，故直线l2的方程为x+ky+k=0，联立，消去y得到（4+k2）x2+8kx=0，解得，
∴|PD|=．
==，
∴三角形ABD的面积S
△
令4+k2=t＞4，则k2=t﹣4，
f（t）===，
∴S
=，当且仅，即，当时取等号，△
故所求直线l1的方程为．
【点评】本题要紧考查了椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，同时考查了推理能力和运算能力及分析问题和解决问题的能力．22．（14分）已知a∈R，函数f（x）=x3﹣3x2+3ax﹣3a+3．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当x∈[0，2]时，求|f（x）|的最大值．
【分析】（1）求出原函数的导函数，求出函数取x=1时的导数值及f（1），由直线方程的点斜式写出切线方程；
（2）求出原函数的导函数，分a≤0，0＜a＜1，a≥1三种情形求|f（x）|的最大值．专门当0＜a＜1时，仍需要利用导数求函数在区间（0，2）上的极值，然后在依照a的范畴分析区间端点值与极值绝对值的大小．
【解答】解：（1）因为f（x）=x3﹣3x2+3ax﹣3a+3，因此f′（x）=3x2﹣6x+3a，
故f′（1）=3a﹣3，又f（1）=1，因此所求的切线方程为y=（3a﹣3）x﹣3a+4；（2）由于f′（x）=3（x﹣1）2+3（a﹣1），0≤x≤2．
故当a≤0时，有f′（x）≤0，现在f（x）在[0，2]上单调递减，故
|f（x）|max=max{|f（0）|，|f（2）|}=3﹣3a．
当a≥1时，有f′（x）≥0，现在f（x）在[0，2]上单调递增，故
|f（x）|max=max{|f（0）|，|f（2）|}=3a﹣1．
当0＜a＜1时，由3（x﹣1）2+3（a﹣1）=0，得，．
因此，当x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（x2，2）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
因此函数f（x）的极大值，极小值．故f（x1）+f（x2）=2＞0，．
从而f（x1）＞|f（x2）|．
因此|f（x）|max=max{f（0），|f（2）|，f（x1）}．
当0＜a＜时，f（0）＞|f（2）|．
又=
故．
当时，|f（2）|=f（2），且f（2）≥f（0）．
又=．
因此当时，f（x1）＞|f（2）|．
故．
当时，f（x1）≤|f（2）|．
故f（x）max=|f（2）|=3a﹣1．
综上所述|f（x）|max=．
【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求闭区间上的最值，考查了分类讨论的数学思想方法，正确的分类是解答（2）的关键，此题属于难题．
2021年浙江省高考数学试卷（理科） 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知i是虚数单位，则（﹣1+i）（2﹣i）=（） A．﹣3+i B．﹣1+3i C．﹣3+3i D．﹣1+i 2．（5分）设集合S={x|x＞﹣2}，T={x|x2+3x﹣4≤0}，则（∁R S）∪T=（）A．（﹣2，1]B．（﹣∞，﹣4]C．（﹣∞，1]D．[1，+∞） 3．（5分）已知x，y为正实数，则（） A．2lgx+lgy=2lgx+2lgy B．2lg（x+y）=2lgx•2lgy C．2lgx•lgy=2lgx+2lgy D．2lg（xy）=2lgx•2lgy 4．（5分）已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R），则“f（x）是奇函数”是“φ=”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 5．（5分）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（）A．a=4 B．a=5 C．a=6 D．a=7 6．（5分）已知，则tan2α=（）A．B．C．D． 7．（5分）设△ABC，P0是边AB上一定点，满足，且关于边AB上任一点P，恒有则（） A．∠ABC=90°B．∠BAC=90°C．AB=AC D．AC=BC 8．（5分）已知e为自然对数的底数，设函数f（x）=（e x﹣1）（x﹣1）k（k=1，2），则（） A．当k=1时，f（x）在x=1处取得极小值 B．当k=1时，f（x）在x=1处取得极大值 C．当k=2时，f（x）在x=1处取得极小值 D．当k=2时，f（x）在x=1处取得极大值
浙江省丽水市2021届新高考第一次大联考数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一个焦点为F ，点,A B 是C 的一条渐近线上关于原点对称的 两点，以AB 为直径的圆过F 且交C 的左支于,M N 两点，若|MN|=2，ABF ?的面积为8，则C 的渐近线方程为（ ） A ．y = B ．y x = C ．2y x =± D ．12 y x =± 【答案】B 【解析】 【分析】 由双曲线的对称性可得'ABF AFF S S ??=即8bc =，又2 22b MN c ==，从而可得C 的渐近线方程. 【详解】 设双曲线的另一个焦点为'F ，由双曲线的对称性，四边形'AFBF 是矩形，所以'ABF AFF S S ??=，即8bc =， 由22222221 x y c x y a b ?+=??-=??，得：2b y c =±，所以2 22b MN c ==，所以2b c =，所以2b =，4c =， 所以a =C 的渐近线方程为y x =. 故选B 【点睛】 本题考查双曲线的简单几何性质，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想与计算能力，属于中档题. 2．已知向量()3,2AB =u u u r ，()5,1AC =-u u u r ，则向量AB u u u r 与BC uuu r 的夹角为（ ） A ．45? B ．60? C ．90? D ．120? 【答案】C 【解析】 【分析】 求出()2,3BC AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r ，进而可求()32230AB BC ?=?+?-=u u u r u u u r ,即能求出向量夹角. 【详解】 解：由题意知，()2,3BC AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r . 则()32230AB BC ?=?+?-=u u u r u u u r
2021年浙江高考数学试卷 参考公式： 如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B = 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 ()C (1) (0,1,2,,)k k n k n n P k p p k n -=-= 台体的体积公式121 ()3 V S S h = 其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示 台体的高 柱体的体积公式V Sh = 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式1 3 V Sh = 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式 24S R =π 球的体积公式 343 V R = π 其中R 表示球的半径 选择题部分（共40分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．已知集合P ={|14}x x <<，Q={|23}x x <<，则P Q = A ．{|12}x x <≤ B ．{|23}x x << C ．{|34}x x ≤< D ．{|14}x x << 2．已知a ∈R ，若a –1+(a –2)i(i 为虚数单位)是实数，则a = A ．1 B ．–1 C ．2 D ．–2 3．若实数x ，y 满足约束条件310 30x y x y -+≤⎧⎨+-≥⎩ ，则2z x y =+的取值范围是 A ．(,4]-∞ B ．[4,)+∞ C ．[5,)+∞ D ．(,)-∞+∞ 4．函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]上的图象可能是
2021年浙江省高考数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（4分）设集合{|1}A x x =，{|12}B x x =-<<，则(A B = ) A ．{|1}x x >- B ．{|1}x x C ．{|11}x x -<< D ．{|12}x x < 2．（4分）已知a R ∈，(1)3(ai i i i +=+为虚数单位），则(a = ) A ．1- B ．1 C ．3- D ．3 3．（4分）已知非零向量a ，b ，c ，则“a c b c ⋅=⋅”是“a b =”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：)cm ，则该几何体的体积（单位：3)cm 是( ) A ． 3 2 B ．3 C 32 D ．325．（4分）若实数x ，y 满足约束条件10 02310 x x y x y +⎧⎪ -⎨⎪+-⎩ ，则12z x y =-的最小值是( ) A ．2- B ．32- C ．12 - D ． 110 6．（4分）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则( )
A ．直线1A D 与直线1D B 垂直，直线//MN 平面ABCD B ．直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD B C ．直线1A D 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCD D ．直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDD B 7．（4分）已知函数21 ()4 f x x =+，()sin g x x =，则图象为如图的函数可能是( ) A ．1()()4 y f x g x =+- B ．1 ()()4 y f x g x =-- C ．()()y f x g x = D ．() () g x y f x = 8．（4分）已知α，β，r 是互不相同的锐角，则在sin cos αβ，sin cos βγ，sin cos γα三个值中，大于12 的个数的最大值是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 9．（4分）已知a ，b R ∈，0ab >，函数2()()f x ax b x R =+∈．若()f s t -，()f s ，()f s t +成等比数列，则平面上点(,)s t 的轨迹是( ) A ．直线和圆 B ．直线和椭圆 C ．直线和双曲线 D ．直线和抛物线 10．（4分）已知数列{}n a 满足11a =，1*)1n n n a n N a += ∈+．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则( )
2021届浙江省宁波市北仑中学高考数学适应性试卷 一、单选题（本大题共10小题，共40.0分） 1.已知全集U=R，集合M={x|x 2−4≤0}，则M等于() A. {x|−2
A. B. C. D. 7. 同时抛掷4枚质地均匀的硬币400次，记4枚硬币中恰好2枚正面向上的次数为X ，则X 的数 学期望是( ) A. 25 B. 100 C. 150 D. 200 8. 已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项的和，则下列命题中正确的是( ) A. 若a 5>a 3，则a 8>0 B. 若a 5>a 3，则S 8>0 C. 若S 5>S 3，则S 8>0 D. 若S 5>S 3，则a 8>0 9. 已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过点A(2,0)的直线与抛物线交于M ，N 两点，直线FM ，FN 分 别与抛物线交于点P ，Q ，设直线PQ 与MN 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2=( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 在△ABC 中，AC =4，AB =4√3，∠A =30°，则S △ABC 等于( ) A. 16√3 B. 8√3 C. 12 D. 4√3 二、单空题（本大题共7小题，共36.0分） 11. 复数z =a +bi ，a ，b ∈R ，且b ≠0，若z 2−4bz 是实数，则有序实数对(a,b)可以是______.(写 出一个有序实数对即可) 12. 在(1+2x)5的展开式中，x 2的系数等于______.(用数字作答) 13. 若直线y =与曲线 恰有一个公共点，则b 的取值范围为______ 14. 已知α∈(0,π2)，β∈(−π2,0)，且cos(π4+α)=23，cos(π4−β2)=√33 ，则cos(α+β 2)的值为______． 15. 已知向量a ⃗ =(1,0)，b ⃗ =(1,1)，若(a ⃗ +k b ⃗ )⊥a ⃗ ，则实数k 的值是______ 16. 若把总长为20m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是______． 17. 对任意的实数x ，不等式ax 2+ax +4>0恒成立，则实数a 的取值范围是______ ． 三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）
2021届浙江省宁波中学高考数学适应性试卷 一、单选题（本大题共10小题，共40.0分） 1.若集合M={a,b，c}，N={x|x⊆M}，则下列关系正确的是() A. M∈N B. N⊆M C. M⊆N D. M=N 2.若椭圆C1：x2 a12+y2 b12 =1(a1>b1>0)和椭圆C2：x2 a22 +y2 b22 =1(a2>b2>0)的焦点相同且a1>a2.给 出如下四个结论： ①椭圆C1与椭圆C2一定没有公共点 ②a1 a2 > b1 b2 ③a12−a22=b12−b22 ④a1−a2=b1−b2 其中所有正确结论的序号是() A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 3.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为() A. 20π B. 24π C. 28π D. 32π 4.设实数x、y满足约束条件{x−y+1≥0 x+y−1≥0 x−2y−1≤0 ，则目标函数z=2x+y的取值范围为() A. [−8,2] B. [−8,1] C. [2,+∞) D. [1,+∞) 5.函数f(x)=2x sin(7π2+6x) 4x−1 的图象大致为() A. B. C. D. 6.“x(x−3)<0”是“|x−1|<2”成立的()
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7.随机变量X的概率分布为P(X=a)=a n2+n (n=1,2,3)，其中a是常数，则D(aX)=() A. 38 81B. 152 243 C. 608 729 D. 52 27 8.在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a m=a1+a2+⋯+a9，则m的值为() A. 37 B. 36 C. 20 D. 19 9.设向量a⃗=(2,0)，b⃗ =(0,3)，若向量c⃗满足(2a⃗−c⃗ )⊥(b⃗ +c⃗ )，则|c⃗|的取值范围是() A. [0,5] B. [1,5] C. [1,6] D. [2,6] 10.如图所示，已知正方体ABCD−A′B′C′D′，则直线C′D′与平面A′BC所 成的角为() A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 二、单空题（本大题共5小题，共24.0分） 11.已知在△ABC中，a=√6，b=3√2，A=30°，则B=______． 12.设(2+x)7=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+⋯+a7(1+x)7，则a1+a2+⋯+a6=______． 13.设函数f(x)=x4+kx2+1 x4+x2+1 (k>1)，若对任意三个实数a，b，c(可以相同)，存在一个三角形，其三边长为f(a)，f(b)，f(c)，则k的取值范围是______ ． 14.定义：如果函数y=f(x)在区间[a,b]，可上存在x0(a 浙江省2021年高考数学一模试卷（理科）（I）卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共12题；共24分) 1. （2分）设集合A={x∈R|x﹣2＞0}，B={x∈R|x＜0}，C={x∈R|x（x﹣2）＞0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的（） A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 即不充分也不必要条件 2. （2分）(2017·虎林模拟) 已知i为虚数单位，复数z满足z（1﹣i）=1+i，则z的共轭复数是（） A . 1 B . ﹣1 C . i D . ﹣i 3. （2分） (2018高三上·湖南月考) 若的平均数为3，标准差为4，且， ，则新数据的平均数和标准差分别为（） A . -9 12 B . -9 36 C . 3 36 D . -3 12 4. （2分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，c=a，则（） A . a＞b B . a＜b C . a=b D . a与b的大小关系不能确定 5. （2分）设ａ，b，m为整数（），若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记作，已知，且，则b的值可为（）. A . 2011 B . 2012 C . 2009 D . 2010 6. （2分） (2019高三上·西安月考) 已知动点满足，且代数式的最小值为，则实数的取值为（） A . B . C . D . 4 7. （2分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（） B . 8- C . 8-2 D . 8. （2分） (2016高三上·湖北期中) 定义在R上的函数y=f（x）满足f（x）=f（2﹣x），f'（x）（x﹣1）＞0，则对任意的x1＜x2 ， f（x1）＞f（x2）是x1+x2＜2的（） A . 充分不必要条件 B . 充要条件 C . 必要不充分条件 D . 既不充分也不必要条件 9. （2分） (2018高二上·潮州期末) 如果点是抛物线上的点,它的横坐标依次为 ，是抛物线的焦点，若，则（） A . 8 B . 18 C . 10 D . 20 10. （2分）(2017·绵阳模拟) 设F1 ， F2分别为双曲线C：的两个焦点，M，N是双曲线C的一条渐近线上的两点，四边形MF1NF2为矩形，A为双曲线的一个顶点，若△AMN的面积为，则该双曲线的离心率为（） A . 3 B . 2 C . 浙江省2021版高考数学一模试卷（理科）C卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共12题；共24分) 1. （2分）(2018·广东模拟) 若集合，则（） A . B . C . D . 2. （2分） (2019高三上·沈阳月考) （） A . B . C . D . 3. （2分） (2016高一下·河源期末) 设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a3=5，a5=9，则S7等于（） A . 13 B . 35 C . 49 D . 63 4. （2分） (2016高二下·友谊开学考) 阅读程序框图，若输入m=4，n=6，则输出a，i分别是（） A . a=12，i=3 B . a=12，i=4 C . a=8，i=3 D . a=8，i=4 5. （2分）已知命题：函数的图象恒过定点；命题：若函数为偶函数，则的图象关于直线对称．下列命题为真命题的是（） A . B . C . D . 6. （2分） (2020高二下·张家口期中) 的展开式中的系数为（） A . 40 B . 80 C . 120 7. （2分）(2019·和平模拟) 设，分别为具有公共焦点，的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为（） A . B . C . 2 D . 不确定 8. （2分）已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为2的正方形，主视图与左视图是边长为2的正三角形，则其全面积是（） A . 8 B . 12 C . D . 9. （2分） (2017高二下·杭州期末) 若实数x，y满足不等式组，则z=2x﹣y的最小值等于（） A . ﹣1 B . 1 C . 2 浙江省2021版高考数学模拟试卷（理科）（I）卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） (共12题；共24分) 1. （2分）设集合A={1，2，3，4，5，6}，A∩B=B，2∈B，则满足条件的集合B的个数共有（） A . 64个 B . 32个 C . 31个 D . 63个 2. （2分）(2017·沈阳模拟) 已知i是虚数单位，复数i•z=1﹣2i，则复数z在复平面内对应的点位于（） A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限 3. （2分）身高从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人排成高矮相间的一个队形，则甲、丁不相邻的不同的排法种数为（） A . 12 B . 14 C . 16 D . 18 4. （2分）(2019·黄冈模拟) 下列有关命题的叙述错误的是 A . 命题“ ，”的否定是“ ，” B . 已知向量，，则“ ”是“ ”的充分不必要条件 C . 命题“若，则的逆否命题为“若，则” D . “ ”是的充分不必要条件 5. （2分）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45ｏ，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（） A . B . C . D . 6. （2分）如图所示四个几何体中，几何体只有正视图和侧视图相同的是（） A . ①② B . ①③ C . ①④ D . ②④ 7. （2分）球的截面把垂直于截面的直径分成两部分，若截面圆半径为，则球的体积为（） A . B . C . D . 8. （2分）下列程序框图的输出结果为（） A . B . C . D . 9. （2分）已知函数的最小正周期为2，且，则函数的图象向左平移个单位所得图象的函数解析式为（） A . B . C . D . 10. （2分） (2019高二上·淮安期中) 下列命题正确的个数为（） ⑴已知定点满足，动点满足，则动点的轨迹是椭圆；（2）已知定点 满足，动点满足，则动点的轨迹是一条射线；（3）当时， 浙江省嘉兴市第一中学2020-2021学年高三数学理测试 试卷含解析 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 直线交抛物线于Ａ、Ｂ两点，且，则直线过定点（）Ａ．（１，０）Ｂ．（２，０）Ｃ．（３，０）Ｄ．（４，０） 参考答案： B 2. 函数定义在实数集上有，且当时是增函数， 则有（） A． B． C． D． 参考答案： B 3. 将函数的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于轴对称，则的一个可能取值为 A． B． C． D． 参考答案： B 4. 在三棱锥中，，，，，，且三棱锥的外接球的表面积为，则（） A．B． C. 2 D．3 参考答案： B 5. 设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝2x－x，则有() A．f A．83 B．84 C．85 D．86 参考答案： C 【考点】简单空间图形的三视图． 【分析】由题意，a=3，b=1，c=7，d=5，n=5，代入公式，即可得出结论． 【解答】解：由题意，a=3，b=1，c=7，d=5，n=5，∴S= [（2b+d）a+（b+2d）c]+（c ﹣a）=85， 故选C． 8. 若复数z满足为虚数单位)，则为 (A)3+5i (B)3－5i (C)－3+5i(D)－3－5i 参考答案： A 9. “m＜0”是“函数存在零点”的 A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分又不必要条件 参考答案： A 由图像平移可知，函数必有零点；当函数有零点时，，故选A. 10. 已知函数满足对任意,都有成立， 2021年浙江省稽阳联谊高考数学联考试卷（4月份） 一、选择题（共10小题）. 1．已知集合A＝{2，3，5，7，8，9}，B＝{x|x＝3k﹣1，k∈Z}，则A∩B＝（）A．{5，8}B．{7}C．{2，5，8}D．{3，5，7，9} 2．复数（i为虚数单位）的虚部为（） A．1B．﹣1C．D． 3．点（1，2）关于直线x+y﹣2＝0的对称点是（） A．（1，0）B．（0，1）C．（0，﹣1）D．（2，1） 4．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）是（） A．B．3πC．D． 5．函数y＝sin x•ln|x|在区间[﹣π，π]上的图象可能是（） A． B． C． D． 6．已知直线l⊥平面α，则“直线l∥平面β”是“平面α⊥平面β”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 7．随机变量X的取值为0，1，2，若，E（X）＝1，则D（2X﹣1）＝（）A．B．C．D． 8．已知f（x）＝（12x2﹣7ax﹣10a2）ln（x﹣a）的值域为[0，+∞），则实数a＝（）A．4或0B．4或C．0或D．2或 9．过双曲线上的任意一点P，作双曲线渐近线的平行线，分别交渐近线于点M，N，若，则双曲线离心率的取值范围是（） A．B．C．D． 10．如图，已知圆柱OO1，A在圆O上，AO＝1，OO1＝，P，Q在圆O1上，且满足PQ ＝，则直线AO1与平面OPQ所成角的正弦值的取值范围是（） A．B．C． D．[0，1] 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。 11．我国《九章算术》中记载有“勾，短面也；股，长面也．长、短相推，以求其弦，故曰勾股．”指出了直角三角形中较短的直角边为“勾”，较长的直角边为“股”，利用“勾”、“股”可以求直角三角形的斜边“弦”．已知直角三角形的“勾”为5，“股”为12，则“弦”为，该直角三角形内切圆的面积是． 12．二项式展开式中含x3的项的系数是，所有项的系数和是．13．若实数x，y满足约束条件则z＝x+2y的最大值是，w＝x2+（y+4）2的最小值是． 14．已知△ABC，，D是AB中点，AC＝DC，则＝，sin ∠ACB＝． 15．已知x，y∈R且满足2x2﹣y2+xy＝2，则x2+2y2的最小值是．16．已知数列{a n}，若数列{a n+1﹣a n}与数列都是公差不为0的等差数列，则数列的公差是． 17．已知E为平面内一定点且||＝1，平面内的动点P满足：存在实数λ≥1，使|λ+（1 浙江省普通高中2021届高考数学仿真试卷(1)(1月份) 一、单选题（本大题共18小题，共54.0分） 1.函数f(x)= √1−2x +1 x+1 的定义域是() A. (−3,0) B. (−3,0] C. (−∞,−3)∪(0,+∞) D. (−3,−1)∪(−1,0) 2.在等比数列{a n}中，a3⋅a4⋅a6⋅a7=81，则a1⋅a9的值() A. 9 B. 3 C. ±3 D. ±9 3.设点A(3,−1)，B(−1,−4)，直线过P(2,2)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是() A. −3≤k≤2 B. k≥2或k≤−3 C. −2≤k≤3 D. k≥3或k≤−2 4.若0≤θ<2π且满足不等式cos2θ 2 A. 第一种方式 B. 第二种方式 C. 两种方式一样 D. 哪种方式更低与两次价格是升或降有关 8. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，在区间[0,+∞)上递减，且f(−12)=0，则不等式f(log 1 4 x)<0的解集为( ) A. (−∞,1 2)∪(2,+∞) B. (1 2,1)∪(1,2) C. (1 2,1)∪(2,+∞) D. (0,1 2)∪(2,+∞) 9. 已知实数x ，y 满足{y ≥3x −3 2y ≤x +43x +4y +12≥0 ，则z =2x −y +2的最大值是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 如图所示，为了测量A ，B 处岛屿的距离，小明在D 处观测A ，B 分别在D 处的北偏西15°，北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60°方向，则A ，B 两处岛屿间的距离为( ) A. 20√6海里 B. 40√6海里 C. 20(1+√3)海里 D. 40海里 11. 双曲线 x 2 a 2 −y 2 b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 1作倾斜角为45°的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直x 轴，则双曲线的离心率为( ) A. √2 B. √3 C. 1+√2 D. 1+√3 12. 已知函数f(x)=2sin x 2的定义域为[a,b]，值域为[−1,2]，则b −a 的值不可能是( ) A. 4π 3 B. 2π C. 8π 3 D. 14π3 13. “a >3”是“函数f(x)=(a −1)x 在R 上为增函数”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知正四棱锥P −ABCD 的底面边长为2，高为1，E 为CD 的中点．动点M 在该棱锥的表面运 动，满足EM ⊥BD.则动点M 的轨迹的周长是( ) 浙江省高职考试研究联合体2021届高考数学第二次联考试卷 一、单选题（本大题共20小题，共50.0分） 1.已知集合A={x|y=√x2−x},B={x|3x−1>0}，则() A. A∩B={x|x≤0} B. A∪B=R C. A∪B={x|x≥1} D. A∩B={x|x>1} 2.在我国南北朝时期，数学家祖暅在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不 容异”.其意思是，用一组平行平面截两个几何体，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两个几何体的体积必然相等．根据祖暅原理，“两几何体A、B的体积不相等”是“A、B在等高处的截面面积不恒相等”的()条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 3.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=1 2 (|x−a2|+|x−2a2|−3a2)，若对于任意的实数x，都有f(x−1)≤f(x)成立，则实数a的取值范围是() A. [−√3 6,√3 6 ] B. [−√6 6 ,√6 6 ] C. [−1 3 ,1 3 ] D. [−√3 3 ,√3 3 ] 4.设函数g(x+2)=2x+3，则g(3)的值() A. 6 B. 13 C. 9 D. 5 5.3名男生3名女生站成两排照相，要求每排3人且3名男生不在同一排，则不同的站法有() A. 324种 B. 360种 C. 648种 D. 684种 6.与−460°角终边相同的角的集合() A. {ð|ð=k⋅360°+460°(k∈Z)} B. {ð|ð=k⋅360°+100°(k∈Z)} C. {ð|ð=k⋅360°+260°(k∈Z)} D. {ð|ð=k⋅360°−260°(k∈Z)} 7. 6.已知命题使；命题，下列是真命题的是 A. B. C. p^() D. 8.经过两点(3,9)、(−1,1)的直线在x轴上的截距为 A. B. C. D. 2 9.已知点M(√5,0)，椭圆x2 6 +y2=1与直线y=k(x+√5)交于A，B两点，则△ABM的周长为() 2021年浙江省“超级全能生”高考数学联考试卷（3月份）一、选择题（共10小题）. 1．已知集合P＝{x|x2＜4}，Q＝{x|﹣1＜x＜3}，则P∩Q＝（） A．{x|2＜x＜3}B．{x|﹣2＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜2}D．{x|﹣1＜x＜3} 2．欧拉公式e iθ＝cosθ+i sinθ（e为自然底数，i为虚数单位）是瑞士数学家欧拉最早发现的，是数学界最著名、最美丽的公式之一根据欧拉公式，复数e2i在复平面内对应点所在的象限是（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 3．若实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的取值范围是（） A．[﹣3，2]B．[﹣3，1]C．[2，+∞）D．[﹣3，+∞）4．已知a，b都大于零且不等于1，则“log a b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 5．已知函数f（x）＝ln|x|，其图象大致为（） A． B． C． D． 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A．3B．2C．D． 7．在直角坐标系中，已知O为坐标原点，A（﹣1，0），B（1，0）．点P满足k PA•k PB＝3且|PA|+|PB|＝4，则|OP|＝（） A．B．C．D． 8．已知离散型随机变量ξ1，ξ2的分布列为： ξ1135 P a b ξ21245 P b a 则下列说法一定正确的是（） A．E（ξ1）＞E（ξ2）B．E（ξ1）＜E（ξ2） C．D（ξ1）＞D（ξ2）D．D（ξ1）＜D（ξ2） 9．如图，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，BC＝2，D为线段BC上一点，沿AD 将△ABD翻转至△AB′D，若点B′在平面ADC内的射影H恰好落在线段AC上，则二面角B′﹣DC﹣A的正切的最大值为（） A．B．1C．D． 10．设数列{x n}满足x n+1＝x n2﹣2x n，n∈N*，且对于任意x1≠0，都存在正整数n使得x n≥m，则实数m的最大值为（） A．B．C．2D．3 二、填空题：共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分． 11．函数f（x）＝cos2x+sin x cos x，则f（x）的最小正周期为，对称轴方程为．12．二项展开式（1﹣2x）5＝a0﹣a1x+a2x2﹣a3x3+a4x4﹣a5x5，则a3＝， ＝． 13．已知圆内接四边形ABCD的边长BC＝2AB＝2，CD＝DA＝，则AC＝，四边形ABCD的面积为． 14．已知直线l：y＝kx+b（k＞0）与圆x2+y2＝1相切，且被圆（x﹣4）2+y2＝4截得的弦长为，则k＝，b＝． 15．已知实数x，y满足x2+y2﹣xy＝3，则S＝x2y2﹣4xy的最大值为． 16．某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题．并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有种不同的答题顺序． 2021年浙江省“山水联盟”高考数学联考试卷（4月份）一、选择题（共10小题）. 1．已知全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{x∈N|x＜2}，B＝{1，2，3}，则∁U（A∪B）＝（） A．{0，2，3，4}B．{4}C．{0，4}D．{2，4} 2．若复数Z＝（i为虚数单位），则|Z|＝（） A．B．C．D． 3．设变量x、y满足约束条件，则目标函数z＝x+y的最小值是（） A．1B．3C．4D．5 4．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分不必要条件是（）A．a⊂α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥β C．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊥α，b∥β，α⊥β 5．函数y＝x cos x sin x在区间[﹣π，π]上的图象可能是（） A． B． C． D． 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A．48B．36C．24D．12 7．已知等差数列{a n}的前n项和S n，公差d≠0，下列等式不可能成立的是（）A．a2+a4＝a6B．a2a8＝a42C．S2+S4＝S6D．S2S8＝S42 8．已知a，b∈R，若x＝a不是函数f（x）＝（x﹣a）2（x﹣b）（e x﹣1﹣1）的极小值点，则下列选项符合的是（） A．1≤b＜a B．b＜a≤1C．a＜1≤b D．a＜b≤1 9．已知F1，F2为左、右焦点的双曲线＝1（a，b＞0）和圆x2+y2＝a2+b2在第一象限交于点A．若平面内一点P，满足，，则双曲线（） A．实轴长B．焦距为4 C．渐近线方程为D．离心率为 10．棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在平面A1B1C1D1内运动，点B1到直线DP的距离为定值，若动点P的轨迹为椭圆，则此定值可能为（） A．B．C．D． 二．填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分 2021年浙江省高考数学方向性试卷（6月份） 一、单选题（本大题共10小题，共40.0分） 1. 已知集合A ={x|x ≤1}，B ={x|0 8.已知双曲线C：x2 a2−y2 b2 =1(a>0,b>0)左、右焦点分别为F1，F2，直线l过点F1交 双曲线左支于点P，交双曲线渐近线y=b a x于点Q，且F1Q⊥F2Q，若F1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1 2 PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则双曲线C的离心率为() A. 1+√10 2B. 1+2√2 2 C. √5+1 D. √3+1 9.已知a⃗,b⃗ 为单位向量，向量c⃗满足|2c⃗+a⃗|=|a⃗⋅b⃗ |，则|c⃗−b⃗ |的最大值为() A. √2 B. 2 C. √3 D. 3 10.已知△ABC，∠B=∠C=30°，D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折，得到△AB′D， 设B′A与平面ADC所成的角为θ1，B′C与平面ADC所成的角为θ2，B′D与平面ADC 所成的角为θ3，则() A. θ3≥2θ2 B. θ3≤2θ1 C. θ1≤2θ2 D. θ2≥2θ1 二、单空题（本大题共7小题，共36.0分） 11.已知a 1+i =1−bi，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a=______，b=______．12.已知多项x5=a0+a1(1−x)+a2(1−x)2+⋯+a5(1−x)5，其中a0，a1，…，a5 为实数，则a3=______，a0−a1+a2−a3+a4−a5=______． 13.已知圆柱的体积为15π2(单位：cm3)，且它的侧面展开图是正方形，则这个圆柱的 底面半径(单位：cm)是______． 14.曲线C：x2+y2−2x=0关于直线x−2y=0对称的曲线方程是______． 15.已知tan(θ−π 4 )=2，则tanθ=______，sin2θ=______． 16.在8张奖券中有一、二、三等处各1张，其余5张无奖，将这8张奖券分给4个人， 每人两张，记获奖人数为ξ，则P(ξ=2)=______，Eξ=______． 17.已知函数f(x)=|x2+a|+|x|(a∈R)，当x∈[−1,1]时，f(x)的最大值为M(a)，则 M(a)的最小值为______． 三、解答题（本大题共4小题，共59.0分） 18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，且满足S= √3 4 (a2+b2−c2)． (Ⅰ)求角C的大小； (Ⅱ)求sinA⋅sinB的最大值． 浙江省2021版高考数学一模试卷（理科）（I）卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共12题；共24分) 1. （2分） (2018高一上·武汉月考) 方程组的解构成的集合是（） A . B . C . D . 2. （2分） (2020高一下·高安期中) 设 (i是虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于（） A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限 3. （2分） (2019高一下·广东期末) 设是等差数列的前n项和，若，则（） A . B . C . D . 4. （2分）两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关系数r如下，其中拟合效 果最好的模型是（） 模型模型1模型2模型3模型4 相关系数r0.980.800.500.25 A . 模型1 B . 模型2 C . 模型3 D . 模型4 5. （2分）(2018·河北模拟) 某几何体的正视图与侧视图如图所示，则它的俯视图不可能是（） A . B . C . D . 6. （2分） (2019高二下·牡丹江月考) 若函数，则的值为（） A . 0 B . 2 C . 1 D . －1 7. （2分） (2016高一下·河源期末) 设向量 =（1，cosθ））与 =（﹣1，2cosθ）垂直，则cos2θ等于（） A . 0 B . C . D . ﹣1 8. （2分） (2017高一下·南昌期末) 某程序框如图所示，若输出的S=57，则判断框内应为（） A . k＞6？ B . k＞5？ C . k＞4？ D . k＞3？ 9. （2分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则（）浙江省2021年高考数学一模试卷(理科)(I)卷
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