2011年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(浙江卷)
本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
选择题部分(共50分)
参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ) 如果事件A 、B 相互独立，那么P (A ·B )＝P (A )·P (B )
如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重新试验中事件A 恰好发生k 次的概率
()=(1)k k
n k n n P k C p p -- (k ＝0，1，2，…，n )
台体的体积公式
11221
()3
V h S S S S =+
其中S 1，S 2分别表示台体的上、下底面积， h 表示台体的高 柱体的体积公式 V ＝Sh
其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式
13
V Sh ＝
其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式 S ＝4πR 2
球的体积公式
3
4
3
V R π＝
其中R 表示球的半径
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设函数2
,0(),0
x x f x x x -≤?=?>?.若f (α)＝4，则实数α等于( )
A ．－4或－2
B ．－4或2
C ．－2或4
D ．－2或2
2．把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若z ＝1＋i ，则(1＋z )·
z ＝( ) A ．3－i B ．3＋i C ．1＋3i D ．3
3．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )
4．下列命题中错误
．．的是()
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
5．设实数x，y满足不等式组
250
270
0,0
x y
x y
x y
+->
?
?
+->
?
?≥≥
?
，若x，y为整数，则3x＋4y的最小值是
()
A．14 B．16 C．17 D．19
6．若0
2
π
α
<<，0
2
π
β
-<<，
1
cos(+)=
43
π
α，
3
cos(
42
πβ
-，则cos()
2
β
α+
等于()
A 3
B．
3
-
C 53
D．
6
7．若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“
1
a
b
<或
1
b
a
>”的()
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
8．已知椭圆C1：
22
22
=1
x y
a b
+(a＞b＞0)与双曲线C2：
2
21
4
y
x-=有公共的焦点，C2
的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则()
A．a2＝13
2
B．a2＝13
C．b2＝1
2
D．b2＝2
9．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是()
A．1
5
B．
2
5
C．
3
5
D．
4
5
10．设a，b，c为实数，f(x) ＝(x＋a)(x2＋bx＋c)，g(x)＝(ax＋1)(cx2＋bx＋1)．记集合S＝{x|f(x)＝0，x∈R}，T＝{x|g(x)＝0，x∈R}，若|S|，|T|分别为集合S，T的元素个数，则下列结论不可能
．．．的是()
A．|S|＝1且|T|＝0
B．|S|＝1且|T|＝1
C．|S|＝2且|T|＝2
D．|S|＝2且|T|＝3
非选择题部分(共100分)
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.
12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k的值是________．
13．设二项式6
()x x
(a ＞0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B ， 若B ＝4A ，则a 的值是________．
14．若平面向量α、β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为
1
2
，则α与 β的夹角θ的取值范围是________． 15．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕
业生得到甲公司面试的概率为
2
3
，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝1
12
，则随机变
量X 的数学期望E (X )＝________.
16．设x ，y 为实数．若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．
17．设F 1，F 2分别为椭圆2
213
x y +=的左、右焦点，点A ，B 在椭圆上．若125F A F B =，则点A 的坐标是________．
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，C ．已知sin A ＋sin C ＝p sin B (p ∈R )，且2
14
ac b =
. (1)当p ＝5
4
，b ＝1时，求a ，c 的值；
(2)若角B 为锐角，求p 的取值范围．
19．已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a(a∈R)，设数列的前n项和为S n，且1
1
a
，
2
1
a
，
4
1
a
成等比数列，
(1)求数列{a n}的通项公式及S n；
(2)记A n＝
123
1111
n
S S S S
++++
…，B n＝
2-1
1222
1111
+
n
a a a a
+++
…，当n≥2时，试比
较A n与B n的大小．
20．如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O 落在线段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.
(1)证明：AP⊥BC；
(2)在线段AP上是否存在点M，使得二面角A－MC－B为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．
21．已知抛物线C1：x2＝y，圆C2：x2＋(y－4)2＝1的圆心为点M.
(1)求点M到抛物线C1的准线的距离；
(2)已知点P是抛物线C1上一点(异于原点)，过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程．
22．设函数f(x)＝(x－a)2ln x，a∈R.
(1)若x＝e为y＝f(x)的极值点，求实数a；
(2)求实数a的取值范围，使得对任意的x∈(0，3e]，恒有f(x)≤4e2成立.
注：e为自然对数的底数．
参考答案
1．B2．A3．D4．D5．B6．C7．A8．C9．B10．D 11．答案：0
12．答案：5
13．答案：2
14．答案：[
6
π
，
5
6
π]
15．答案：
5
3
16．
210
17．答案：(0，1)或(0，－1)
18．解：(1)由题设并利用正弦定理，得
5
4
1
4
a c
ac
?
+=
??
?
?=
??
，
解得
1,
1
,
4
a
c
=
?
?
?
=
??
或
1
,
4
1.
a
c
?
=
?
?
?=
?
(2)由余弦定理，b2＝a2＋c2－2ac cos B
＝(a＋c)2－2ac－2ac cos B＝2222
11
cos
22
p b b b B
--，
即2
31
cos
22
p B
=+，因为0＜cos B＜1，得p2∈(
3
2
，2)，
由题设知p＞0
6
2
p
<<
19．解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，则(2
214
111
()
a a a
=?，
得(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)．因为d≠0，所以d＝a1＝a．
所以a n＝na，
(1)
2
n
an n
S
+
=.
(2)因为
1211
()
1
n
S a n n
=-
+
，所以
123
111121
(1)
1
n
n
A
S S S S a n
=++=-
++
…+．
因为a2n－1＝2n－1a，
所以
21
1222
1
1()
111112
1
1
2
n
n
n
B
a a a a a
-
-
=+++=?
-
…+
21
(1)
2n
a
=-．
当n≥2时，012
2n n
n n n n
C C C C
=+++…+＞n＋1，
即
11
11
12n
n
-=-
+
，所以，当a＞0时，A n＜B n；
当a＜0时，A n＞B n.
20．解：方法一：
(1)证明：如图，以O为原点，以射线OP为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O－xyz. 则O(0，0，0)，A(0，－3，0)，B(4，2，0)，C(－4，2，0)，P(0，0，4)，
A P＝(0，3，4)，BC＝(－8，0，0)，由此可得A0
P BC
?=，
所以A P BC
⊥，即AP⊥BC．
(2)解：设PM PA
λ
=，λ≠1，则PM＝λ(0，－3，－4)．
BM BP PM BP PA
λ
=+=+
＝(－4，－2，4)＋λ(0，－3，－4)＝(－4，－2－3λ，4－4λ)，
AC＝(－4，5，0)，BC＝(－8，0，0)．
设平面BMC的法向量n1＝(x1，y1，z1)，平面APC的法向量n2＝(x2，y2，z2)．
由1
1
·0,
·0,
BM n
BC n
?=
?
?
=
??
得111
1
423440,
80,
x y z
x
λλ
--(+)+(-)=
?
?
-=
?
即
1
11
0,
23
,
44
x
z y
λ
λ
=
?
?
+
?
=
?-
?
可取n1＝(0，1，
23
44
λ
λ
+
-
)．
由2
2
0,
0,
AP
AC
??=
?
?
?=
??
n
n
即22
22
340,
450,
y z
x y
+=
?
?
-+=
?
得
22
22
5
,
4
3
,
4
x y
z y
?
=
??
?
?=-
??
可取n2＝(5，4，－3)．由n1·n2＝0，得4－3×
23
44
λ
λ
+
-
＝0，解得
2
5
λ=，故AM＝3.
综上所述，存在点M符合题意，AM＝3.
方法二：
(1)证明：由AB＝AC，D是BC的中点，得AD⊥BC．
又PO⊥平面ABC，得PO⊥BC．
因为PO∩AD＝O，所以BC⊥平面P AD，故BC⊥P A．
(2)解：如图，在平面P AB内作BM⊥P A于M，连结CM.
由(1)知AP⊥BC，得AP⊥平面BMC．
又AP?平面APC，
所以平面BMC⊥平面APC．
在Rt△ADB中，AB2＝AD2＋BD2＝41，得41
AB=
在Rt△POD中，PD2＝PO2＋OD2，
在Rt△PDB中，PB2＝PD2＋BD2，
所以PB2＝PO2＋OD2＋DB2＝36，得PB＝6.
在Rt△POA中，P A2＝AO2＋OP2＝25，得P A＝5.
又cos∠BP A＝
222
2
PA PB AB
PA PB
++
?
＝
1
3
，
从而PM＝PB cos∠BP A＝2，所以AM＝P A－PM＝3.
综上所述，存在点M符合题意，AM＝3.
21．解：(1)由题意可知，抛物线的准线方程为：
1
4
y=-，所以圆心M(0，4)到准线的距离是
17
4
.
(2)设P(x0，2
x)，A(x1，2
1
x)，B(x2，2
2
x)，由题意得x0≠0，x0≠±1，x1≠x2.
设过点P的圆C2的切线方程为y－2
x＝k(x－x0)，
即y＝kx－kx0＋2
x.①
2
00
2
1k
+
＝1，
即(x0－1)k2＋2x0(4－x02)k＋(x02－4)2－1＝0.
设P A，PB的斜率为k1，k2(k1≠k2)，则k1，k2是上述方程的两根，所以
k1＋k2＝
2
00
2
24
1
x x
x
(-)
-
，k1k2＝
22
2
41
1
x
x
(-)-
-
.
将①代入y＝x2，得x2－kx＋kx0－x02＝0，
由于x0是此方程的根，故x1＝k1－x0，x2＝k2－x0，所以k AB＝
22
12
12
x x
x x
-
-
＝x1＋x2＝k1＋k2－2x0＝
2
00
2
24
1
x x
x
(-)
-
－2x0，k MP＝
2
4
x
x
-
.
由MP⊥AB，得k AB·k MP＝
22
000
2
00
244
(2)()
1
x x x
x
x x
(-)-
-?
-
＝－1，解得2
23
5
x=，即点P的坐标为(
23
5
23
5
)，所以直线l的方程为
3115
11
4
5
y x
=±+.
22．解：(1)求导得()
2
2()ln
x a
f
x
x a x
x
(-)
'＝－＋
()(2ln)
1
x a x
a
x
＝－＋－．
因为x＝e是f(x)的极值点，所以()e(e)(3
e
)0
f a
a
'＝－－＝，解得a＝e或a＝3e.经检验，符合题意，所以a＝e或a＝3e.
(2)①当0＜x≤1时，对于任意的实数a，恒有f(x)≤0＜4e2成立．
②当1＜x≤3e时，由题意，首先有f(3e)＝(3e－a)2ln(3e)≤4e2，
解得
ln(3
3e3
e)
e
a
≤≤
－＋
ln(3e)
.
由(1)知()()(2ln1)
f x x a x
a
x
'＝－＋－，
令h(x)＝2ln x＋1－
a
x，则h(1)＝1－a＜0，h(a)＝2ln a＞0，
且()()()
3e+
ln(3e)
3e2ln3e12ln3e1
3
a
h
e
≥
＝＋－＋－
3
2
l
(l
n3
n3e)0
e
>
＝－.
又h(x)在(0，＋∞)内单调递增，所以函数h(x)在(0，＋∞)内有唯一零点，记此零点为x0，则1＜x0＜3e，1＜x0＜A．
从而，当x∈(0，x0)时，f′(x)＞0；当x∈(x0，a)时，f′(x)＜0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0.即f(x)在(0，x0)内单调递增，在(x0，a)内单调递减，在(a，＋∞)内单调递增．