§1.1.1 正弦定理
学习目标 1. 掌握正弦定理的内容；
2. 掌握正弦定理的证明方法；
3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．
学习过程 一、课前准备 CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动． 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？
显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大
而 ．能否用一个等式把这种关系精确地表
示出来？
二、新课导学
※ 学习探究 探究1：在初中，我们已学
过如何解直角三角形，下面
就首先来探讨直角三角形
中，角与边的等式关系. 如
图，在Rt ?ABC 中，设
BC =a ，AC =b ，AB =c ，
根据锐角三角函数中正弦函数的定义，
有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c
C c
==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c
A B C ==
．
( 探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，
有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b
A B =
， 同理可得sin sin c b
C B =
， 从而sin sin a b A B =sin c
C
=． 类似可推出，当?ABC 是钝角三角形时，以上关系
式仍然成立．请你试试导.
新知：正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的 的比
相等，即 sin sin a b A B =sin c
C =
． 试试：
（1）在ABC ?中，一定成立的等式是（ ）． A ．sin sin a A b B = B .cos cos a A b B = C . sin sin a B b A = D .cos cos a B b A = （2）已知△ABC 中，a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于 ．
[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的
正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数
k 使sin a k A =， ，sin c k C =；
（2）sin sin a b A B =sin c C =
等价于 ，sin sin c b C B =，sin a A =
sin c
C
． （3）正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，
如sin sin b A a B
=；b = ． ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以
求其他角的正弦值，
如sin sin a
A B b =；sin C = ． （4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它
的边和角的过程叫作解三角形．
※ 典型例题
例1. 在ABC ?中，已知45A =o ，60B =o ，42a =cm ，解三角形．
变式：在ABC ?中，已知45B =o ，60C =o ，12a =cm ，解三角形．
例2.
在45,2,,ABC c A a b B C ?===o 中，求和．
变式
：在60,1,,ABC b B c a A C ?===o 中，求和．
三、总结提升
※ 学习小结
1. 正弦定理：
sin sin a b A B =sin c
C
=
2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义， 还有 ②等积法，③外接圆法，④向量法. 3．应用正弦定理解三角形： ①已知两角和一边；
②已知两边和其中一边的对角．
※ 知识拓展 sin sin a b A B =2sin c
R C
==，其中2R 为外接圆直径.
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 在ABC ?中，若cos cos A b
B a
=，则ABC ?是（ ）
. A ．等腰三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．直角三角形 D ．等边三角形 2. 已知△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4， 则a ∶b ∶c 等于（ ）.
A ．1∶1∶4
B ．1∶1∶2
C ．1∶
1 D ．2∶2
3. 在△ABC 中，若sin sin A B >，则A 与B 的大小关系为（ ）.
A. A B >
B. A B <
C. A ≥B
D. A 、B 的大小关系不能确定 4. 已知?ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，则::a b c = ．
5. 已知?ABC 中，∠A 60=?
，a =
sin sin sin a b c
A B C ++++= ．
1. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120?，解此三角形．
2. 已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k ≠0)，求实数k 的取值范围为．
§1.1.2 余弦定理
1. 掌握余弦定理的两种表示形式；
2. 证明余弦定理的向量方法；
3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．
：在一个三角形中，各 和它所对角的 的 相等，即 = = ．
复习2：在△ABC 中，已知10c =，A =45?，C =30?，解此三角形．
思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？
二、新课导学
※ 探究新知 问题：在ABC ?中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b .
∵AC =u u u r ，
∴AC AC ?=u u u r u u u r
同理可得： 222
2cos a b c bc A =+-，
2222cos c a b ab C =+-．
新知：余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的
的积的两倍．
思考：这个式子中有几个量？
从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？
从余弦定理，又可得到以下推论：
222
cos 2b c a A bc +-=
， ， ．
[理解定理]
（1）若C =90?，则cos C = ，这时222c a b =+ 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．
（2）余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角．
试试：
（
1）△ABC 中，a =2c =，150B =o ，求b ．
（2）△ABC 中，
2a =，
b =，1
c ，求A ．
※ 典型例题
例1.
在△ABC 中，已知
a =
b =，45B =o ，求,A C 和
c ．
变式：在△
ABC 中，若AB ，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝________．
例 2. 在△ABC中，已知三边长3
a=，4
b=
，
c=，求三角形的最大内角．
变式：在?ABC中，若222
a b c bc
=++，求角A．
三、总结提升
※学习小结
1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
2. 余弦定理的应用范围：
①已知三边，求三角；
②已知两边及它们的夹角，求第三边．
※知识拓展
在△ABC中，
若222
a b c
+=，则角C是直角；
若222
a b c
+<，则角C是钝角；
若222
a b c
+>，则角C是锐角．
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 已知
a c＝2，B＝150°，则边b的长为（）.
A.
B.
C.
2
D.
2. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（）.
A．60o B．75o C．120o D．150o 3. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（）.
A
x<
B＜x＜5 C．2＜
x
D＜x＜5
4. 在△ABC中，|AB
u u r
|＝3，|AC
u u u r
|＝2，AB
u u u r
与AC
u u u r
的夹角为60°，则|AB
u u u r
－AC
u u u r
|＝________．
5. 在△ABC中，已知三边a、b、c满足
222
b a
c ab
+-=，则∠C等于．
1. 在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cos C＝
13
14
，求最大角的余弦值．
2. 在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，求AB BC
?
u u u r u u u r 的值.
§1.1 正弦定理和余弦定理（练习）
1. 进一步熟悉正、余弦定理内容；
2. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形．
已知三边求角，用 定理；
已知两边和夹角，求第三边，用 定理； 已知两角和一边，用 定理．
复习2：在△ABC 中，已知 A ＝6
π
，a ＝
b ＝
二、新课导学
※ 学习探究
探究：在△ABC 中，已知下列条件，解三角形.
① A ＝6
π
，a ＝25
，b ＝
② A ＝6
π
，a
，b ＝；
③ A ＝6
π
，a ＝50
，b ＝
思考：解的个数情况为何会发生变化？
新知：用如下图示分析解的情况（A 为锐角时）．
已知边a,b 和∠A
有两个解
仅有一个解
无解
CH=bsinA 试试： 1. 用图示分析（A 为直角时）解的情况？ 2．用图示分析（A 为钝角时）解的情况？ ※ 典型例题 例1. 在?ABC 中，已知80a =，100b =，45A ∠=?，试判断此三角形的解的情况． 变式：在?ABC 中，若1a =，1 2 c =，40C ∠=?， 则符合题意的b 的值有_____个． 例 2. 在?ABC 中，60A =?，1b =，2c =，求 sin sin sin a b c A B C ++++的值． 变式：在?ABC 中，若55a =，16b =， 且1 sin 2ab C =C ． 三、总结提升 ※ 学习小结 1. 已知三角形两边及其夹角（用余弦定理解决）； 2. 已知三角形三边问题（用余弦定理解决）； 3. 已知三角形两角和一边问题（用正弦定理解决）； 4. 已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用 正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、两解和 无解三种情况）． ※ 知识拓展 在?ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况 ：①当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解； ②当A 为锐角时， 如果a ≥b ，那么只有一解； 如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论： （1）若sin a b A >，则有两解； （2）若sin a b A =，则只有一解； （3）若sin a b A <，则无解． ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 已知a 、b 为△ABC 的边，A 、B 分别是a 、b 的 对角，且sin 2sin 3A B =，则 a b b +的值=（ ）. A. 13 B. 23 C. 43 D. 53 2. 已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是（ ）. A ．135° B ．90° C ．120° D ．150° 3. 如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为（ ）. A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加长度决定 4. 在△ABC 中，sin A :sin B :sin C ＝4:5:6，则cos B ＝ ． 5. 已知△ABC 中，cos cos b C c B =，试判断△ABC 的形状 ． 1. 在?ABC 中，a xcm =，2b cm =，45B ∠=?，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围． 2. 在?ABC 中，其三边分别为a 、b 、c ，且满足 222 1sin 24 a b c ab C +-=，求角C ． §1.2应用举例—①测量距离 学习目标 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决 一些有关测量距离的实际问题 学习过程 一、课前准备 复习1：在△ABC中，∠C＝60°，a＋b＝232 +， c＝22，则∠A为. 复习2：在△ABC中，sin A＝ sin sin cos cos B C B C + + ，判断三 角形的形状. 二、新课导学 ※典型例题 例1. 如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点 之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边 选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC=51?， ∠ACB=75?. 求A、B两点的距离(精确到0.1m). 提问1：?ABC中，根据已知的边和对应角，运用 哪个定理比较适当？ 提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？ 分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个 不可到达的点之间的距离的问题 题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边， 再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已 知角算出AC的对角， 应用正弦定理算出AB边. 新知1：基线 在测量上，根据测量需要适当确定的叫基线. 例2. 如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达）， 设计一种测量A、B两点间距离的方法. 分析：这是例1的变式题，研究的 是两个的点之间的距离 测量问题. 首先需要构造三角形，所以需要 确定C、D两点. 根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与 一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC， 再利用余弦定理可以计算出AB的距离. 变式：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得 ∠BCA=60°，∠ACD=30°，∠CDB=45°，∠BDA =60°. 练：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东60°，则A、B之间的距离为多少？ 三、总结提升 ※学习小结 1. 解斜三角形应用题的一般步骤： （1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图 （2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型； （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解 （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解. 2．基线的选取： 测量过程中，要根据需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度. ※自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 水平地面上有一个球，现用如下方法测量球的大 小，用锐角45?的等腰直角三角板的斜边紧靠球面，P为切点，一条直角边AC紧靠地面，并使三角板与地面垂直，如果测得P A=5cm，则球的半径等于（）. A．5cm B． C．1)cm D．6cm 2. 台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为（）. A．0.5小时B．1小时 C．1.5小时D．2小时 3. 在ABC ?中，已知 2222 ()sin()()sin() a b A B a b A B +-=-+， 则ABC ?的形状（）. A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 4.在ABC ?中，已知4 a=，6 b=，120 C=o，则sin A 的值是． 5. 一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60o，行驶４h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15o，这时船与灯塔的距离为km． 1. 隔河可以看到两个目标， 但不能到达，在岸边选 的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，A、B、C、D在同一个平面，求两目标A、B间的距离. 2. 某船在海面A处测得灯塔C与 A相距海里，且在北偏东30?方向；测得灯塔B与 A相距海里，且在北偏西75?方向. 船由A向正北方向航行到D处，测得灯塔B在南偏西60?方向. 这时灯塔C与D相距多少海里？ §1.2应用举例—②测量高度 学习目标 1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题； 2. 测量中的有关名称. 学习过程 一、课前准备 复习1：在?ABC中，cos5 cos3 A b B a ==，则?ABC的 形状是怎样？ 复习2：在?ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若:: a b c=1:1:3，求A:B:C的值. 二、新课导学 ※学习探究 新知：坡度、仰角、俯角、方位角 方位角---从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角； 坡度---沿余坡向上的方向与水平方向的夹角； 仰角与俯角---视线与水平线的夹角当视线在水平线之上时，称为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角. 探究：AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法. 分析：选择基线HG，使H、G、B三点共线， 要求AB，先求AE 在ACE ?中，可测得角，关键求AC 在ACD ?中，可测得角，线段，又有α故可求得AC ※典型例题 例1. 如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A 的俯角α=5440' ?，在塔底C处测得A处的俯角β=501'?. 已知铁塔BC部分的高为27.3 m，求出山高CD(精确到1 m) 例 2. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15?的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25?的方向上，仰角为8?，求此山的高度CD. 问题1： 欲求出CD，思考在哪 个三角形中研究比较 适合呢？ 问题2： 在?BCD中，已知BD或BC都可求出CD，根据条件，易计算出哪条边的长？ 变式：某人在山顶观察到地面上有相距2500米的A、B两个目标，测得目标A在南偏西57°，俯角是60°，测得目标B在南偏东78°，俯角是45°，试求山高. 三、总结提升 ※学习小结 利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化. ※知识拓展 在湖面上高h处，测得云之仰角为α，湖中云之 影的俯角为β，则云高为 sin() sin() h αβ αβ + - g. 学习评价 ※自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1. 在?ABC中，下列关系中一定成立的是（）. A．sin a b A >B．sin a b A = C．sin a b A a b A ≥ 2. 在?ABC中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC 上的高为（）. A． 32 2 B． 33 C． 3 2 D．33 3. D、C、B在地面同一直线上，DC=100米，从D、 C两地测得A的仰角分别为30o和45o，则A点离地 面的高AB等于（）米． A．100 B．503 C．50(31) -D．50(31) + 4. 在地面上C点，测得一塔塔顶A和塔基B的仰角 分别是60?和30?，已知塔基B高出地面20m，则 塔身AB的高为_________m． 5. 在?ABC中，22 b=，2 a=，且三角形有两 解，则A的取值范围是． 课后作业 1. 为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m 的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基 B的俯角为45°，则塔AB的高度为多少m？ 2. 在平地上有A、B两点，A在山的正东，B在山 的东南，且在A的南25°西300米的地方，在A 侧山顶的仰角是30°，求山高. §1.2应用举例—③测量角度 学习目标 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题. 学习过程 一、课前准备 复习1：在ABC △中，已知2c =，3C π =，且1sin 32 ab C =，求a b ，. 复习2：设ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A =60o ，3c =，求a c 的值. 二、新课导学 ※ 典型例题 例1. 如图，一艘海轮从A 出发，沿北偏东75?的 方向航行67.5 n mile 后到达海岛B ，然后从B 出发，沿北偏东32?的方向航行54.0 n mile 后达到海岛C.如果下次航行直接从A 出发到达C ，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离?(角度精确到0.1?，距离精确到0.01n mile) 分析： 首先由三角形的内角和定理求出角∠ABC ， 然后用余弦定理算出AC 边， 再根据正弦定理算出AC 边和AB 边的夹角∠CAB . 例2. 某巡逻艇在A 处发现北偏东45?相距9海里的C 处有一艘走私船，正沿南偏东75?的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14 海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私 船？ ※ 动手试试 练1. 甲、乙两船同时从B 点出发，甲船以每小时 1)km 的速度向正东航行，乙船以每小时20km 的速度沿南60°东的方向航行，1小时后甲、乙两船分别到达A 、C 两点，求A 、C 两点的距离，以及在A 点观察C 点的方向角. 练2. 某渔轮在A 处测得在北45°的C 处有一鱼群，离渔轮9海里，并发现鱼群正沿南75°东的方向以每小时10海里的速度游去，渔轮立即以每小时14海里的速度沿着直线方向追捕，问渔轮应沿什么方向，需几小时才能追上鱼群？ 三、总结提升 ※ 学习小结 1. 已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之.； 2．已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解. ※ 知识拓展 已知?ABC 的三边长均为有理数，A =3θ，B =2θ，则cos5θ是有理数，还是无理数？ 因为5C πθ=-，由余弦定理知 222 cos 2a b c C ab +-= 为有理数， 所以cos5cos(5)cos C θπθ=--=-为有理数. ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为（ ）. A ．α>β B ．α=β C ．α+β=90o D ．α+β=180o 2. 已知两线段2a =，b =a 、b 为边作三角形，则边a 所对的角A 的取值范围是（ ）. A ．(,)63ππ B ．(0,]6 π C ．(0,)2π D ．(0,]4 π 3. 关于x 的方程2 sin 2sin sin 0A x B x C ++=g g 有相等实根，且A 、B 、C 是?的三个内角，则三角形的三边a b c 、、满足（ ）. A ．b ac = B ．a bc = C ．c ab = D ．2b ac = 4. △ABC 中，已知a :b : c 则此三角形中最大角的度数为 . 5. 在三角形中，已知:A ，a ，b 给出下列说法: (1)若A ≥90°，且a ≤b ，则此三角形不存在 (2)若A ≥90°，则此三角形最多有一解 (3)若A ＜90°，且a =b sin A ，则此三角形为直角三角形，且B =90° (4)当A ＜90°，a (5)当A ＜90°，且b sin A 1. 我舰在敌岛A 南偏西50?相距12海里的B 处，发现敌舰正由岛沿北偏西10?的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？ 2. §1.2应用举例—④解三角形 1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题； 2. 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用； 3. 能证明三角形中的简单的恒等式． （1）若1,120a b B ===?，则A 等于 ． （2）若a =2b =，150C =?，则c = _____． 复习2： 在ABC ?中，a =，2b =，150C =?，则高BD = ，三角形面积= ． 二、新课导学 ※ 学习探究 探究：在?ABC 中，边BC 上的高分别记为h a ，那么它如何用已知边和角表示？ h a =b sin C =c sin B 根据以前学过的三角形面积公式S =1 2ah ， 代入可以推导出下面的三角形面积公式，S =1 2 ab sin C ， 或S = ， 同理S = ． 新知：三角形的面积等于三角形的任意两边以及它们夹角的正弦之积的一半． ※ 典型例题 例1. 在?ABC 中，根据下列条件，求三角形的面 积S （精确到0.1cm 2）： （1）已知a =14.8cm ，c =23.5cm ，B =148.5? ； （2）已知B =62.7?，C =65.8?，b =3.16cm ； （3）已知三边的长分别为a =41.4cm ，b =27.3cm ， c =38.7cm ． 变式：在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成室内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m ，88m ，127m ，这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm 2） 例2. 在?ABC中，求证： （1） 2222 22 sin sin sin a b A B c C ++ =； （2）2a+2b+2c=2（bc cos A+ca cos B+ab cos C）． 小结：证明三角形中恒等式方法：应用正弦定理或余弦定理，“边”化“角”或“角”化“边”． ※动手试试 练 1. 在?ABC中，已知28 a cm =，33 c cm =，45 B=o，则?ABC的面积是． 练2. 在?ABC中，求证： 22 (cos cos) c a B b A a b -=-． 三、总结提升 ※学习小结 1. 三角形面积公式： S=1 2 ab sin C= = ． 2. 证明三角形中的简单的恒等式方法：应用正弦定理或余弦定理，“边”化“角”或“角”化“边”．※知识拓展 三角形面积S= 这里 1 () 2 p a b c =++，这就是著名的海伦公式． ※自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1. 在ABC ? 中，2,60 a b C? ===，则 ABC S ? = （） . A. B. C. D. 3 2 2. 三角形两边之差为2，夹角的正弦值为 3 5 ，面积 为 9 2 ，那么这个三角形的两边长分别是（）. A. 3和5 B. 4和6 C. 6和8 D. 5和7 3. 在ABC ?中，若2cos sin sin B A C ?=，则ABC ?一 定是（）三角形． A. 等腰 B. 直角 C. 等边 D. 等腰直角 4. ABC ?三边长分别为3,4,6，它的较大锐角的平 分线分三角形的面积比是． 5. 已知三角形的三边的长分别为54 a cm =， 61 b cm =，71 c cm =，则?ABC的面积是． 2.已知在?ABC中，∠B=30?，b=6 ，c a及?ABC的面积S． 2. 在△ABC中，若 sin sin sin(cos cos) A B C A B +=?+，试判断△ABC 的形状. §1.2应用举例（练习） 1．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量的实际问题； 2．三角形的面积及有关恒等式． 为解三角形问题来解决． 复习2：基本解题思路是： ①分析此题属于哪种类型（距离、高度、角度）； ②依题意画出示意图，把已知量和未知量标在图中； ③确定用哪个定理转化，哪个定理求解； ④进行作答，并注意近似计算的要求． 二、新课导学 ※典型例题 例1. 某观测站C在目标A的南偏西25o方向，从A 出发有一条南偏东35o走向的公路，在C处测得与C相距31km的公路上有一人正沿着此公路向A走去，走20km到达D，此时测得CD距离为21km，求此人在D处距A还有多远？例2. 在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角 为θ，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A 的仰角为2 θ，再继续前进至D点，测得 顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高． 例3. 如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC=60°，AC=7，AD=6，S△ ADC ，求AB 的长． B C ※动手试试 练1. 为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m 的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，则塔AB的高度为多少m？ 练2. 两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东60°，则A、B之间的距离为多少？ 三、总结提升 ※学习小结 1. 解三角形应用题的基本思路，方法； 2．应用举例中测量问题的强化. ※知识拓展 秦九韶“三斜求积”公式： S= ※自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 某人向正东方向走x km后，向右转150o，然后朝新方向走3km ，km，则x等于（）. A B．C D．3 2.在200米的山上顶，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30,60 o o，则塔高为（）米． A． 200 3 B C． 400 3 D 3. 在?ABC中，60 A ∠=?，16 AC =，面积为 BC的长度为（）. A．25B．51 C．D．49 4. 从200米高的山顶A处测得地面上某两个景点 B、C的俯角分别是30o和45o，且∠BAC＝45o，则这两个景点B、C之间的距离． 5. 一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°相距20里处，随后货轮按北偏西30°的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东45?，则货轮的速度． 1. 3.5米长的棒斜靠在石堤旁，棒的一端在离堤足1.2米地面上，另一端在沿堤上 2.8米的地方，求堤对地面的倾斜角. 2. 已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的 对边，向量m1 -），n＝（cos A，sin A）. 若m⊥n，且a cos B+b cos A=c sin C，求角B. 第一章 解三角形（复习） 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题． （1）用正弦定理： ①知两角及一边解三角形； ②知两边及其中一边所对的角解三角形（要讨论解的个数）． （2）用余弦定理： ①知三边求三角； ②知道两边及这两边的夹角解三角形． 复习2：应用举例 ① 距离问题，②高度问题， ③ 角度问题，④计算问题． 练：有一长为2公里的斜坡，它的倾斜角为30°，现要将倾斜角改为45°，且高度不变. 则斜坡长变为___ ． 二、新课导学 ※ 典型例题 例 1. 在ABC ?中tan()1A B +=，且最长边为1， tan tan A B >，1 tan 2 B =，求角 C 的大小及△ABC 最短边的长． 例2. 如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方 向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30o ，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援（角度精确到1o ）？ 例3. 在?ABC 中，设tan 2,tan A c b B b -= 求A 的值． ※ 动手试试 练1. 如图，某海轮以60 n mile/h 的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行40 min后到达B点，测得油井P在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80 min到达C 点，求P、C间的距离． 练2. 在△ABC中，b＝10，A＝30°，问a取何值时，此三角形有一个解？两个解？无解？ 三、总结提升 ※学习小结 1. 应用正、余弦定理解三角形； 2. 利用正、余弦定理解决实际问题（测量距离、高度、角度等）； 3．在现实生活中灵活运用正、余弦定理解决问题. （边角转化）． ※知识拓展 设在ABC ?中，已知三边a，b，c，那么用已知边表示外接圆半径R的公式是 ※自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 已知△ABC 中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120?，则△ABC的面积为（）. A．9 B．18 C．9D． 2.在△ABC中，若222 c a b ab =++，则∠C=（）. A．60°B．90°C．150°D．120°3. 在?ABC中，80 a=，100 b=，A=30°，则B 的解的个数是（ ）. A．0个B．1个C．2个D．不确定的 4. 在△ABC中，a=b= 1 cos 3 C=， 则 ABC S= △ _______ 5. 在?ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C 的对边，若2222sin a b c bc A =+-，则A=___ ____. 1. 已知A、B、C为ABC ?的三内角，且其对边分别为a、b、c，若 1 cos cos sin sin 2 B C B C -=．（1）求A； （2）若4 a b c =+=，求ABC ?的面积． 2. 在△ABC中，,, a b c分别为角A、B、C的对边， 222 8 5 bc a c b -=-，a=3，△ABC的面积为6，（1）求角A的正弦值； （2）求边b、c. §2.1数列的概念与简单表示法(1) 1. 理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系； 2. 了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项； 3. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式. 2830 ，找出疑惑之处） 复习1：函数3x y =，当x 依次取1，2，3，…时，其函数值有什么特点？ 复习2：函数y =7x +9，当x 依次取1，2，3，…时，其函数值有什么特点？ 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务：数列的概念 ⒈ 数列的定义： 的一列数叫做数列. ⒉ 数列的项：数列中的 都叫做这 个数列的项. 反思： ⑴ 如果组成两个数列的数相同而排列次序不同， 那么它们是相同的数列？ ⑵ 同一个数在数列中可以重复出现吗？ 3. 数列的一般形式：123,,,,,n a a a a L L ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第 项. 4. 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用 来表示，那么 就叫做这个数列的通项公式. 反思： ⑴所有数列都能写出其通项公式？ ⑵一个数列的通项公式是唯一？ ⑶数列与函数有关系吗？如果有关，是什么关系？ 5．数列的分类： 1）根据数列项数的多少分 数列和 数列； 2）根据数列中项的大小变化情况分为 数列， 数列， 数列和 数列. ※ 典型例题 例1写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： ⑴ 1，－12，13，－1 4 ； ⑵ 1， 0， 1， 0. 变式：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4 项分别是下列各数： ⑴ 12，45，910，1617 ； ⑵ 1， －1， 1， －1； 小结：要由数列的若干项写出数列的一个通项公 式，只需观察分析数列中的项的构成规律，将项表示为项数的函数关系. 例2已知数列2，7 4 ，2，…的通项公式为2n an b a cn += ，求这个数列的第四项和第五项. 变式： …， 则 是它的第 项. 小结：已知数列的通项公式，只要将数列中的项代入通项公式，就可以求出项数和项. ※ 动手试试 练 1. 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： ⑴ 1， 13，15， 1 7 ； ⑵ 1 2 . 练2. 写出数列2 {}n n -的第20项，第n ＋1项. 三、总结提升 ※ 学习小结 1. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式； 2. 会用通项公式写出数列的任意一项. ※ 知识拓展 数列可以看作是定义域为正整数集的特殊函数. 思考：设()f n ＝1＋12＋13＋…＋131n -（n ∈*N ）那么(1)()f n f n +-等于（ ） A. 132n + B.11 331n n ++ C. 11 + D. 11133132n n n ++++ ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列说法正确的是（ ）. A. 数列中不能重复出现同一个数 B. 1，2，3，4与4，3，2，1是同一数列 C. 1，1，1，1…不是数列 D. 两个数列的每一项相同，则数列相同 2. 下列四个数中，哪个是数列{(1)}n n +中的一项 （ ）. A. 380 B. 392 C. 321 D. 232 3. 在横线上填上适当的数： 3，8，15， ，35，48. 4.数列(1)2{(1)}n n --的第4项是 . 5. 写出数列121-?，12 2?，123-?，1 24 ?的一个通项公式 . 1. 写出数列｛2n ｝的前5项. 2. （1）写出数列221 2-，231 3-，241 4-，25 1 5 -的一个通项公式为 . （2）… 那么是这个数列的第 项. (2) 1. 了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同； 2. 会由递推公式写出数列的前几项，并掌握求简单 《必修五 知识点总结》 第一章：解三角形知识要点 一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，，则有 2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为C ?AB 的外接圆的半径) 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； 3、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB = A == B ． 4、余弦定理：在 C ?AB 中，有2 2 2 2cos a b c bc =+-A ，推论：bc a c b A 2cos 2 22-+= B ac c a b cos 2222-+=，推论： C ab b a c cos 22 2 2 -+=，推论：ab c b a C 2cos 2 22-+= 二、解三角形 处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要多角度（几何作图，三角函数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度）去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解 1、三角形中的边角关系 （1）三角形内角和等于180°； （2）三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； ac b c a B 2cos 2 22-+= （3）三角形中大边对大角，小边对小角； （4）正弦定理中,a =2R ·sin A , b =2R ·sin B , c =2R ·sin C ，其中R 是△ABC 外接圆半径. （5）在余弦定理中:2bc cos A =222a c b -+. （6）三角形的面积公式有:S = 21ah , S =21ab sin C=21bc sin A=2 1 ac sinB , S =))(()(c P b P a P P --?-其中，h 是BC 边上高，P 是半周长. 2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形 （1）已知两角及一边，求其它边角，常选用正弦定理. （2）已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，常选用正弦定理. （3）已知三边，求三个角，常选用余弦定理. （4）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，常选用余弦定理. （5）已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，常选用正弦定理. 3、利用正、余弦定理判断三角形的形状 常用方法是：①化边为角；②化角为边. 4、三角形中的三角变换 （1）角的变换 因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。 2 sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+； （2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。 r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半 （3）在△ABC 中，熟记并会证明：∠A ，∠B ，∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A ，∠B ，∠C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列. 必修五综合测试题 一．选择题 1．已知数列{a n }中，21=a ，*11 ()2 n n a a n N +=+ ∈，则101a 的值为 （ ） A ．49 B ．50 C ．51 D ．52 2．2 1与21，两数的等比中项是（ ） A ．1 B ．1 C ． 1 D ． 12 3．在三角形ABC 中，如果()()3a b c b c a bc +++-=，那么A 等于（ ） A ．0 30 B ．0 60 C ．0120 D ．0 150 4．在⊿ABC 中， B C b c cos cos =，则此三角形为 （ ） A ．直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D.等腰或直角三角形 5.已知n a 是等差数列，且a 2+ a 3+ a 10+ a 11=48，则a 6+ a 7= ( ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．24 6．在各项均为正数的等比数列{}n b 中， 若783b b ?=， 则3132log log b b ++…… 314 log b +等于（ ） (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D)8 7．已知数列 是等差数列，若，且它的前n 项和有最大值，则使得 的n 的最大值为 A. 11 B. 12 C. 21 D. 22 8.一个等比数列}{n a 的前n 项和为48，前2n 项和为60，则前3n 项和为（ ） A 、63 B 、108 C 、75 D 、83 9．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N +)，那么a 4的值为( )． A ．4 B ．8 C ．15 D ．31 10．已知△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝6，b ＝4，那么满足条件的△ABC 的形状大小 ( )． A ．有一种情形 B ．有两种情形 C ．不可求出 D ．有三种以上情形 11．已知关于x 的不等式的解集为，则 的最大值是 高中数学必修5知识点总结 第一章 解三角形 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°-(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b 高一数学月考试题 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．已知数列{a n }中，21=a ，*11()2 n n a a n N +=+∈，则101a 的值为 （ ） A ．49 B ．50 C ．51 D ．52 211，两数的等比中项是（ ） A ．1 B ．1- C ．1± D ．12 3．在三角形ABC 中，如果()()3a b c b c a bc +++-=，那么A 等于（ ） A ．030 B ．060 C ．0120 D ．0150 4．在⊿ABC 中，B C b c cos cos =，则此三角形为 （ ） A ． 直角三角形； B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 5.已知{}n a 是等差数列，且a 2+ a 3+ a 10+ a 11=48，则a 6+ a 7= ( ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．24 6．在各项均为正数的等比数列 {}n b 中，若783b b ?=， 则31 32log log b b ++……314log b +等于（ ） (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D)8 7．已知b a ρρ,满足：a ρ=3，b ρ=2，b a ρρ+=4，则b a ρρ-=( ) A B C ．3 D 10 8.一个等比数列}{n a 的前n 项和为48，前2n 项和为60，则前3n 项和为（ ） A 、63 B 、108 C 、75 D 、83 9．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N +)，那么a 4的值为( )． A ．4 B ．8 C ．15 D ．31 10．已知△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝6，b ＝4，那么满足条件的△ABC 的形状大小 ( )． A ．有一种情形 B ．有两种情形 高二年级数学必修五综合检测试卷 姓名 得分 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）． 1．在等差数列{}n a 中，若210,a a 是方程2 1280x x +-=的两个根，那么6a 的值( ) A ．－12 B ．－6 C ．12 D ．6 2．△ABC 中， =cos cos A a B b ，则△ABC 一定是 ( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形 3.若 11 0a b <<，则下列不等式中，正确的不等式有( ) [ ①a b ab +< ②a b > ③a b < ④2b a a b +> 个 个 个 个 4.若}{n a 是等比数列，124,5128374=+-=a a a a 且公比q 为整数，则10a 等于（ ） A 、－256 B 、256 C 、－512 D 、512 5.已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于 ( ) A ．30° B ．30°或150° C ．60° D ．60°或120 6. 下列不等式中，对任意x ∈R 都成立的是 ( ) A ． 2111x <+ B ．x 2+1>2x C ．lg(x 2+1)≥lg2x D ．x x +244 ≤1 < 7. 二次不等式2 0ax bx c ++>的解集是全体实数的条件是（ ） A . 00a ?>??>? B. 0a >???? D. 0 0a 1．1．1正弦定理 ●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法； 会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系， 引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合 情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 一.课题导入 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。 能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 二.讲授新课 [探索研究] 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义， 有 sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==, 则sin sin sin a b c c A B C === 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == 思考1：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，（1）当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义， 有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = ， C 同理可得sin sin c b C B = ， b a 从而 sin sin a b A B = sin c C = A c B （2）当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导） 思考2：还有其方法吗？ 由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这问题。 C A B B C A 期末测试题 考试时间：90分钟 试卷满分：100分 一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分. 在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在等差数列3，7，11…中，第5项为( )． A ．15 B ．18 C ．19 D ．23 2．数列{}n a 中，如果n a ＝3n (n ＝1，2，3，…) ，那么这个数列是( )． A ．公差为2的等差数列 B ．公差为3的等差数列 C ．首项为3的等比数列 D ．首项为1的等比数列 3．等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝8，a 3＋a 4＝3，那么它的公差是( )． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 4．△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a ＝3，b ＝4，∠C ＝60°， 则c 的值等于( )． A ．5 B ．13 C ．13 D ．37 5．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N +)，那么a 4的值为( )． A ．4 B ．8 C ．15 D ．31 6．△ABC 中，如果A a tan ＝B b tan ＝C c tan ，那么△ABC 是( )． A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形 D ．钝角三角形 7．如果a ＞b ＞0，t ＞0，设M ＝b a ，N ＝t b t a ++，那么( )． A ．M ＞N B ．M ＜N C ．M ＝N D ．M 与N 的大小关系随t 的变化而变化 8．如果{a n }为递增数列，则{a n }的通项公式可以为( )． A ．a n ＝－2n ＋3 B ．a n ＝－n 2－3n ＋1 C ．a n ＝ n 21 D ．a n ＝1＋log 2n 高二数学必修五知识点归纳 第一章解三角形 1、三角形的性质： ①.A+B+C=, AB2 C2 sin AB2 cos C2 ②.在ABC中, ab＞c , ab＜c ; A＞BsinA＞sinB, A＞BcosA＜cosB, a ＞b A＞B ③.若ABC为锐角，则AB＞ ,B+C ＞ ,A+C ＞ a2b2＞c2，b2c2＞a2，a2＋c2＞b2 2、正弦定理与余弦定理：①. (2R为ABC外接圆的直径) a2Rsin A、b2Rsin B、c2RsinC sinA a2R 12 b2R 、 sinC 12 c2R 12 acsinB 面积公式：SABC absinC bcsinA ②.余弦定理：abc2bccosA、bac2accosB、cab2abcosC bca 2bc cosA、cosB ac b 2ac 222 、cosC abc 222 3第二章数列 1、数列的定义及数列的通项公式： ①. anf(n)，数列是定义域为N 的函数f(n)，当n依次取1，2，时的一列函数值② i.归纳法 若S00，则an不分段；若S00，则an分段iii. 若an1panq，则可设an1mp(anm)解得m,得等比数列anm Snf(an) iv. 若Snf(an)，先求a 1得到关于an1和an的递推关系式 Sf(a)n1n1Sn2an1 例如：Sn2an1先求a1，再构造方程组：（下减上）an12an12an Sn12an11 2.等差数列： ① 定义：a n1an=d（常数）,证明数列是等差数列的重要工具。② 通项d0时，an为关于n的一次函数； d＞0时，an为单调递增数列；d＜0时，a n为单调递减数列。 n(n1)2 ③ 前nna1 朝阳教育暑期辅导中心数学必修5测试题（B 卷） 考试时间：90分钟 满分：100分 出卷人：毛老师 考生姓名： 一、选择题（每小题5分，共50分） 1．在等比数列{n a }中,已知11 = 9 a ,5=9a ，则3=a （ ） A 、1 B 、3 C 、±1 D 、±3 2．在△ABC 中，若=2sin b a B ，则A 等于（ ） A ．006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0 015030或 3.在△ABC 中，若SinA ：SinB ：SinC=5:7:8，则B 大小为（ ） A 、30° B 、60° C 、90° D 、120° 4．已知点（3，1）和（- 4，6）在直线3x -2y +a =0的两侧，则a 的取值范围是（ ） A. a <-7或 a >24 B. a =7 或 a =24 C. -7的解集是11 (,)23 -，则a b +的值是（ ）。 A. 10 B. 10- C. 14 D. 14- 8 1 1，两数的等比中项是（ ） A ．1 B ．1- C ．1± D ． 12 9．设11a b >>>-,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A ． 11a b < B ．11 a b > C ．2a b > D ．22a b > 10.已知{}n a 是等差数列，且a 2+ a 3+ a 8+ a 11=48，则a 6+ a 7= ( ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．24 二、填空题（每小题4分，共20分） 11、在△ABC 中，=2,=a c B 150°，则b ＝ 12．等差数列{}n a 中, 259,33,a a ==则{}n a 的公差为______________。 13．等差数列{}n a 中, 26=5,=33,a a 则35a a +=_________。 高中数学必修五知识点汇总 第一章 解三角形 一、知识点总结 正弦定理: 1．正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C === (R 为三角形外接圆的半径). 步骤1. 证明：在锐角△ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c 。作CH ⊥AB 垂足为点H CH=a ·sinB CH=b ·sinA ∴a ·sinB=b ·sinA 得到b b a a s i n s i n = 同理，在△ABC 中， b b c c sin sin = 步骤2. 证明：2sin sin sin a b c R A B C === 如图，任意三角形ABC,作ABC 的外接圆O. 作直径BD 交⊙O 于D. 连接DA. 因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90° 因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D 等于∠C. 所以C R c D sin 2sin == 故2sin sin sin a b c R A B C === 2.正弦定理的一些变式： ()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R ==2c R =； ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===； （4）R C B A c b a 2sin sin sin =++++ 3．两类正弦定理解三角形的问题： （1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. （2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解） 4.在ABC ?中，已知a,b 及A 时，解得情况： 解法一：利用正弦定理计算 解法二：分析三角形解的情况，可用余弦定理做，已知a,b 和角A ，则由余弦定理得 即可得出关于c 的方程：0cos 2222=-+-a b Ac b c 分析该方程的解的情况即三角形解的情况 ①△=0,则三角形有一解 ②△>0则三角形有两解 ③△<0则三角形无解 余弦定理: 数学必修5试题 (满分：150分 时间：120分钟) 一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1、数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为 （ ） A ．12-=n a n B.)21()1(n a n n --= C ．)12()1(--=n a n n D.)12()1(+-=n a n n 2．已知{}n a 是等比数列，4 1 252==a a ，，则公比q =（ ） A ．2 1- B ．2- C ．2 D ．2 1 3．已知ABC ?中，?=∠==60,3,4BAC AC AB ，则=BC ( ) A. 13 B. 13 C.5 D.10 4．在△ABC 中，若 2sin b B a =，则A 等于（ ） A ．006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0015030或 5. 在ABC ?中，若cos cos a B b A =，则ABC ?的形状一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形 6．若?ABC 中，sin A :sin B :sin C =2:3:4，那么cos C =（ ） A. 14 - B. 14 C. 23 - D. 23 7．设数}{n a 是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为 48，则它的首项是（ ） A ．1 B ．2 C ．2± D ．4 8．等差数列}{n a 和{}n b 的前n 项和分别为S n 和T n ，且 1 32+= n n T S n n ， 则 5 5 b a =（ ） A 32 B 149 C 3120 D 9 7 9．已知{}n a 为公比q ＞1的等比数列，若20052006a a 和是方程24830x x -+=的两根， 加油吧，少年，拼一次，无怨无悔！ 高二数学必修五全套学案 §1.1.1 正弦定理 学习目标 1. 掌握正弦定理的内容； 2. 掌握正弦定理的证明方法； 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题． 学习过程 一、课前准备 试验：固定?ABC的边CB及∠B，使边AC绕着顶点C转动． 思考：∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 二、新课导学 ※学习探究 探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直 角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt?ABC中，设BC=a， AC=b，AB=c， 根据锐角三角函数中正弦函数的定义， 有 sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == ． ( 探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义， 有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B = ， 同理可得sin sin c b C B = ， 从而sin sin a b A B = sin c C =． 类似可推出，当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导. 新知：正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 sin sin a b A B = sin c C =． 试试： （1）在ABC ?中，一定成立的等式是（ ）． A ．sin sin a A b B = B .cos cos a A b B = 数学综合试卷 一、 选择题（共10题，每题3分，总计30分） 1、执行如图1所示的程序框图，如果输入的[2,2]t ∈-，则输出的S 属于（ D ） A. [6,2]-- B. [5,1]-- C. [4,5]- D. [3,6]- 2、一台机床有 的时间加工零件A ，其余时间加工零件B ，加工A 时，停机的概率是，加工零件B 时，停机的概率为 ，则这台机床 停机的概率为（ A ） A. B. C. D. 3、设集合{|32}M m m =∈-< §1.1.1 正弦定理 1. 掌握正弦定理的内容； 2. 掌握正弦定理的证明方法； 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题． CB 及∠B ，使边AC 绕着 顶点C 转动． 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而 ．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 二、新课导学 ※ 学习探究 探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ?ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ， 根据锐角三角函数中正弦函数的定义， 有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == ． ( 探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是 CD ，根据任意角三角函数的定义， 有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B = ， 同理可得sin sin c b C B = ， 从而sin sin a b A B =sin c C =． 类似可推出，当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导. 新知：正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 sin sin a b A B = sin c C =． 试试： （1）在ABC ?中，一定成立的等式是（ ） ． A ．sin sin a A b B = B .cos cos a A b B = C . sin sin a B b A = D .cos cos a B b A = （2）已知△ABC 中，a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于 ． [理解定理] （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =， ，sin c k C =； （2）sin sin a b A B =sin c C =等价于 ，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C ． （3）正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B =； b = ． ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值， 如sin sin a A B b =；sin C = ． （4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它 的边和角的过程叫作解三角形． ※ 典型例题 例1. 在ABC ?中， 已知45A =，60B =，42a =cm ，解三角形． 高中数学必修5 命题人：魏有柱 时间：100分钟 一、选择题 1.数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（） （A ）a n =n 2-(n-1) （B ）a n =n 2-1 （C ）a n =2)1(+n n （D ）a n =2 )1(-n n 2.已知数列3,3,15,…,)12(3-n ,那么9是数列的() （A ）第12项 （B ）第13项 （C ）第14项 （D ）第15项 3．已知等差数列{a n }的公差d ≠0,若a 5、a 9、a 15成等比数列,那么公比为 () A ． B ． C ． D ． 4.等差数列{a n }共有2n+1项，其中奇数项之和为4，偶数项之和为3，则n 的值是 () A.3 B.5 C.7 D.9 5．△ABC 中，cos cos A a B b =，则△ABC 一定是() A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形 6．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于() A ．30° B ．30°或150° C ．60° D ．60°或120° 7.在△ABC 中，∠A =60°,a=6,b=4,满足条件的△ABC( A ) (A)无解 (B)有解 (C)有两解 (D)不能确定 8．若110a b <<，则下列不等式中，正确的不等式有 () ①a b ab +< ②a b > ③a b < ④2b a a b +> A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9．下列不等式中，对任意x ∈R 都成立的是 () A ．2111x <+ B ．x 2+1>2x C ．lg(x 2+1)≥lg2x D ．244 x x +≤1 10.下列不等式的解集是空集的是(C) A.x 2-x+1>0 B.-2x 2+x+1>0 C.2x-x 2>5 D.x 2+x>2 11．不等式组 (5)()0,03x y x y x -++≥??≤≤?表示的平面区域是 ( ) 高中数学必修五第一章知识点总结 一．正弦定理（重点） １．正弦定理 （１）在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 ==sin sin sin a b c A B C =２Ｒ（其中Ｒ是该三角形外接圆的半径） （２）正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． ２．正弦定理的应用（重难点） （１）已知任意两角与一边：有三角形的内角和定理，先算出第三个角，再有正弦定理计算出另两边 （２）已知任意两边与其中一边的对角：先应用正弦定理计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边与角（注意：这种情况可能出现解的个数的判断问题，一解，两解，或无解） （３）面积公式 111s i n s i n s i n 222C S b c a b C a c ?A B =A ==B 二余弦定理（重点） １．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即 222 2cos a b c bc =+-A ， 2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-． 应用：已知三角形的两边及其夹角可以求出第三边 ２．推论 222 cos 2b c a bc +-A =， 222 cos 2a c b ac +-B =， 222 cos 2a b c C ab +-= 课题: §1．1．1正弦定理 授课类型：新授课 ●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定 义 ， 有 sin a A =， sin b B =，又s i n 1 c C == , A 则sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中， sin sin sin a b c = = C a B (图1．1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = ， C 同理可得sin sin c b C B = ， b a 从而 sin sin a b A B = sin c C = A c B 必修五数学知识点归纳资料 第一章 解三角形 1、三角形的性质： ①.A+B+C=π,?222A B C π+=-?sin cos 22 A B C += ②.在ABC ?中, a b +＞c , a b -＜c ; A ＞B ?sin A ＞sin B , A ＞B ?cosA ＜cosB, a ＞b ? A ＞B ③.若ABC ?为锐角?，则A B +＞2π,B+C ＞2π,A+C ＞2 π; 22a b +＞2c ，22b c +＞2a ，2a ＋2c ＞2b 2、正弦定理与余弦定理： ①.为ABC ?外接圆的直径) 2sin a R A =、2sin b R B =、2sin c R C = sin 2a A R =、 sin 2b B R =、 sin 2c C R = 面积公式：111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ?=== ②.余弦定理： 2222cos a b c bc A =+-、2222cos b a c ac B =+-、 2222cos c a b ab C =+- 222 cos 2b c a A bc +-=、222cos 2a c b B ac +-=、222 cos 2a b c C ab +-=补充：两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ --=+ ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； 必修5 第一章 解三角形 一、正弦定理 1.定理 2.sin sin sin a b c R A B C === 其中a ，b ，c 为一个三角形的三边，A ，B ，C 为其对角，R 为外接圆半径. 变式：a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C 二、余弦定理 1.定理 a 2= b 2+ c 2-2bc cos A 、b 2=a 2+c 2-2ac cos B 、c 2=a 2+b 2-2ab cos C 变形：222cos 2b c a A bc +-=、222cos 2a c b B ac +-=、222 cos 2a b c C ab +-= 2.可解决的问题 ①已知三边，解三角形； ②已知两边及其夹角，解三角形； ③已知两边及一边的对角，求第三边. 三、三角形面积公式 （1）111 222 a b c S ah bh ch ?===. 其中h a ，h b ，h c 为a ，b ，c 三边对应的高. （3）如果一个数列已给出前几项，并给出后面任一项与前面的项之间关系式，这种给出数列的方法叫做递推法，其中的关系式称为递推公式. （4）一个重要公式：对任何数列，总有 111, (2). n n n a S a S S n -??? ??==-≥ 注：数列是特殊的函数，要注意数列与函数问题之间的相互转化. 二、等差数列 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做数列的公差. （2）递推公式：a n +1=a n ＋d . （3）通项公式：a n =a 1+(n -1)d . （4）求和公式：11()(1).22 n n n a a n n S na d +-==+ （5）性质： 2014—2015学年度第一学期期中考试 高二文科数学试题（A ） （必修五） 一、选择题（每题5分，共10小题） 1．设a 、b 、c 、d∈R,且a ＞b,c ＞d,则下列结论正确的是（ ） A ．a+c ＞b+d B ．a-c ＞b-d C ．ac ＞bd D ． a d ＞ b c 2 1 1两数的等比中项是（ ） A ．2 B ．-2 C ．±2 D ．以上均不是 3．若三角形三边长的比为5∶7∶8，则它的最大角和最小角的和是（ ） A ．90° B ．120° C ．135° D ．150° 4．数列{a n }中，2 n a 2n 29n 3=-++，则此数列最大项的值是（ ） A ．103 B ．11088 C ．11038 D ．108 5．若△ABC 的周长等于20 ，面积是BC 边的长是 （ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 6．在数列{a n }中，a 1=1,a n a n-1=a n-1+（-1）n （n≥2,n∈N *）,则 3 5 a a 的值是（ ） A ． 15 16 B ． 15 8 C ． 3 4 D ． 38 7．在△ABC 中，角A ，B 均为锐角，且cosA ＞sinB ，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 8．在等差数列{a n }中，2（a 1+a 4+a 7）+3（a 9+a 11）=24,则此数列的前13项之和等于（ ） A ．13 B ．26 C ．52 D ．156 9．数列 2222222 35721,,,,122334(1)n n n +??????+的前n 项的和是 （ ） 高中数学必修5_教材电子课本（人教 版）.pdf 篇一：人教版高一数学必修一电子课本1 第一章集合和函数概念 1.1 集合 1.1.1 集合的含义和表示 1.1.2 集合间的基本关系 1.1.3 集合的基本运算 1.2 函数及其表示 1.2.1 函数的概念 1.2.2 函数的表示法 1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性和最大（小）值 1.3.2 奇偶性 第二章基本初等函数 2.1 指数函数 2.1.1 指数和指数幂的运算 2.1.2 指数函数及其性质 2.2 对数函数 2.2.1 对数和对数运算（一） 2.2.1 对数和对数运算（二） 2.2.2 对数函数及其性质 2.3 幂函数 第三章函数的使用 3.1 函数和方程 3.1.1 方程的根和函数的零点 3.1.2 用二分法求方程的近似解 3.2 函数模型及其使用1 2 3 4 5 篇二：人教版高一数学必修一至必修五教材目录 必修一、二、四、五章节内容 必修一必修四 第一章集合和函数的概念第一章三角函数1.1 集合 1.1 任意角和弧度制1.2 函数及其表示1.2 任意角的三角函数1.3 函数的基本性质第二章基本初等函数 2.1 指数函数2.2 对数函数2.3 幂函数第三章函数的使用 3.1 函数和方程3.2 函数模型及其使用必修五第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.2 使用举例第二章数列 2.1 数列的概念和简单表示方法2.2 等差数列2.3 等差数列的前n 项和2.4 等比数列2.5 等比数列前n 项和第三章不等式 3.1 不等关系和不等式3.2 一元一次不等式及其解法3.3 二元一次不等式(组) 及其解法3.4 基本不等式 1.3 三角函数的诱导公式 1.4 三角函数的图像和性质1.5 函数y=Asin(?x+?) 1.6 三角函数模型的简单使用第二章平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念2.2 平面向量的线性运算 2.3 平面向量的基本定理及坐标表 2.4 平面向量的数量积 2.5 平面向量使用举例第三章三角恒等变换 3.1 两角和和差的正弦、余弦3.2 简单的三角恒等变换必修二 第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构 1.2 空间几何体的三视图和直观图1.3 空间体的表面积和体积 第二章点、直线、平面间的关系2.1 空间点、直线、平面之间的位2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线和方程 3.1 直线的倾斜角和斜率3.2 直线的方程 3.3 直线的交点坐标和距离公式高中数学必修五 知识点总结【经典】
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