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一次函数与面积专题练习题与答案

一次函数与面积

例1：如图，一次函数的图像与x 轴交于点B （-6，0），交正比例函数的图像于点A ，点A 的横坐标为-4，△ABO 的面积为15，求直线OA 的解析式

【答案】A （-4，5） OA ：y=-4

5x 例2：直线y=x+3的图像与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线a 经过原点与线段AB 交于C ，把△ABO 的面积分为2：1的两部分，求直线a 的函数解析式

【答案】C （-2，1） a ：y=-2

1x 或C （-1，2）a ：y=-2x 例3：直线PA 是一次函数y=x+n 的图像，直线PB 是一次函数y=-2x+m （m>n>0）的图像，

（1）用m 、n 表示A 、B 、P 的坐标

（2）四边形PQOB 的面积是6

5，AB=2，求点P 的坐标

【答案】（1）A （-n ，0） B （21m ，0） P （3n m -，3

2n m +）（2）m=2，n=1，P （31，4

3）

练习：

1、△AOB 的顶点O （0，0）、A （2，1）、B （10，1），直线CD ⊥x 轴且△AOB 面积二等分，若D （m ，0），求m 的值

【答案】m=10210-

2、点B 在直线y=-x+1上，且点B 在第四象限，点A （2，0）、O （0，0），△ABO 的面积为2，求点B 的坐标

【答案】B （3，-2）

3、直线y=-3

3x+1与x 轴y 轴分别交点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC ，∠BAC=90°，点P （a ，2

1）在第二象限，△ABP 的面积与△ABC 面积相等，求a 的值

【答案】a=32

14- 4、如图，已知两直线y=0.5x+2.5和y=-x+1分别与x 轴交于A 、B 两点，这两直线的交点为P

（1）求点P 的坐标（2）求△PAB 的面积

【答案】P （-1，2） PAB S ?=6

5、已知直线y=ax+b （b>0）与y 轴交于点N ，与x 轴交于点A 且与直线y=kx 交于点M （2，3），如

图它们与y 轴围成的△MON 的面积为5，求

（1）这两条直线的函数关系式（2）它们与x 轴围成的三角形面积

【答案】（1）y=-x+5 y=1.5x （2）7.5

6、已知两条直线y=2x-3和y=5-x

（1）求出它们的交点A 的坐标（2）求出这两条直线与x 轴围成的三角形的面积

【答案】（1）A （38，37）（2）12

7、已知直线y=x+3的图像与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，直线l 经过原点，与线段AB 交于点C ，把△AOB 的面积分为2：1的两部分，求直线l 的解析式

【答案】l ：y=-

1x 或l ：y=-2x

8、已知直线y=2x+3与直线y=-2x-1与y 轴分别交于点A 、B

（1）求两直线交点C 的坐标

（2）求△ABC 的面积

（3）在直线BC 上能否找到点P ，使得△APC 的面积为6，求出点P 的坐标，若不能请说明理由

【答案】（1）点C （-1，1）

（2）S=2

（3）点P （2，-5）或（-4，7）

9、已知直线y=-x+2与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，另一直线y=kx+b （k≠0）经过点C （1，0），且把△AOB 分为两部分，

（1）若△AOB 被分成的两部分面积相等，求k 和b 的值

（2）若△AOB 被分成的两部分面积为1：5，求k 和b 的值

【答案】（1）k=-2，b=2

（2）)1(32-=

x y 或)1(7

10--=x y

10、直线y=-32x+3交x ，y 坐标轴分别为点A 、B ，交直线y=2x-1于点P ，直线y=2x-1交x ，y 坐标轴分别为C 、D ，求△PAC 和△PBD 的面积各是多少

【答案】4=PAC S ，3=PBD S

11、直线1l 的解析式为y=-3x+3，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A （4，0），B （3，-1.5），直线1l ，2l 交于点C

（1）求点D 的坐标（2）求直线2l 的解析式（3）求△ADC 的面积

（4）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得△ADP 与△ADC 的面积相等，直接写出P 的坐标

【答案】（1）D （1，0）

（2）2l ：y=1.5x-6

（3）S=6

（4）P （

320，4） P （3

4，-4）

12、已知直线1l ：11b x k y +=经过点（-1，6）和（1，2），它和x 轴、y 轴分别交于点B 和点A ，直线2l ：21b x k y +=经过点（2，-4）和（0，-3），它和x 轴、y 轴的交点分别是D 和C （1）求直线1l ，2l 的解析式（2）求四边形ABCD 的面积

（3）设直线1l ，2l 交于点P ，求△PBC 的面积

【答案】（1）1l ：y=-2x+4 2l ：y=-0.5x-3

（2）S=28

（3）S=

13、如图，直线y=kx+6与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，点E 的坐标为（-8，0），点A 的坐标为（-6，0）

（1）求k 的值

（2）若点P （x ，y ）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P 的运动过程中，试写出△OPA 的面积S 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围

（3）探究：当点P 运动到什么位置时，△OPA 的面积为8

27，并说明理由

【答案】（1）43=

k （2）184

9+=x S （-8

9）（4）

（5）

二次函数和三角形面积的综合

二次函数与三角形面积的综合寻找类 1、重点：中考压轴题的重点在于寻找分析问题，解决问题的思路和方法。能应对这部分题的关键需要熟练几部分知识点：（1）二次函数与一次函数，反比例函数的解析式（2）勾股定理（3）四边形（4）相似三角形和三角形全等（5）锐角三角函数（6）轴对称和中心对称（7）求交点的方法（8）知识的综合运用 2、难点：寻找联系是这部分内容的一个关键所在，也是一个难点。尤其是遇到二次函数与三角形面积的综合题的解题思路。运用面积求坐标等等的合理运用，以及运用的重要因素在哪里？ 3、易错点：面积中涉及求面积的方法，坐标漏找或错找，坐标与线段长度之间的联系，坐标在不在二次函数的图像上。这些都是在考试中容易失分的地方。 4、切入点：例如：根据已有条件求坐标，首先要想到平面直角坐标系与锐角三角函数的联系，尤其是正切的运用。这样直观的可以求出坐标（前提必须建立直角三角形），如果不是直角三角形可以想法构建直角三角形，这是求坐标的最好方法，此方法不通的情况下可以运用勾股定理进行求解，很少运用相似求。掌握了求解方法再做题的时候就知道如何下手了。而次部分求面积的时候要先找到点的坐标的具体位置以及如何通过面积求坐标。 5.求面积常用的方法 a.直接法b。简单的组合c。面积不变同底等高或等底等高的转换 d.相似 e.三角函数f。找面积的最大最小值利用二次函数的性质（1）直接法若题已经给出或能由已知条件推出个边的长度并且通过坐标能找到对应的

的高，那么三角形的面积能直接用公式算出来。此题中的三角形的面积就能直接求出。（2）通过简单的重新组合就能求出面积。第6题（2009年贵州安顺市）27、（本题满分12分）如图，已知抛物线与x交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y轴交于点B(0，3)。

一次函数与几何图形的面积专题

八年代数期末复习专题7 一次函数与几何图形的面积例1、面积公式的应用（1）已知直线y=k x+2与x轴、y轴围成的三角形面积为12,则k= ；（1）已知直线y=-4x+b与x轴、y轴围成的三角形面积为12,则b= 。小结：例2、求几何图形的面积或求点坐标如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2），动点M在线段OA和射线AC上运动．（1）求直线AB的解析式．（2）求△OAC的面积．（3）是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的？若存在求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由．小结：

例3、动点中的面积问题如图，直线l1：y1=﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P（m，3）为直线l1上一点，另一直线l2：y2=x+b过点P．（1）求点P坐标和b的值；（2）若点C是直线l2与x轴的交点，动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动．设点Q的运动时间为t秒． ①请写出当点Q在运动过程中，△APQ的面积S与t的函数关系式； ②求出t为多少时，△APQ的面积小于3；

当堂检测：如图直线l：y=kx+9与x轴，y轴分别交于点B，C，点B的坐标是（﹣12，0），点A的坐标为（﹣9，0），点P（x，y）是直线l上的一个动点．（1）求k的值；（2）当点P在线段BC上时，试求出△OPA的面积S与x的函数关系式；（3）请直接写出当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为27．能力提升： 1、如图，直角坐标系xOy中，A（0，5），直线x=﹣5与x轴交于点D，直线y=﹣x﹣ 与x轴及直线x=﹣5分别交于点C，E，点B，E关于x轴对称，连接AB．（1）求点C，E的坐标及直线AB的解析式；（2）设面积的和S=S△CDE+S四边形ABDO，求S的值；（3）在求（2）中S时，嘉琪有个想法：“将△CDE沿x轴翻折到△CDB的位置，而△CDB 与四边形ABDO拼接后可看成△AOC，这样求S便转化为直接求△AOC的面积不更快捷吗？”但大家经反复演算，发现S△AOC≠S，请通过计算解释他的想法错在哪里．

一次函数面积问题.doc

八年级数学【一次函数面积问题】一﹑要点回顾 1. 直线 y= －2x － 1 与 x 轴相交于点，与 y 轴相交于点。 2. 直线 y 3x 4与 y 2x 1相交于点 P ，则点 P 的坐标为。 3. 一次函数的图象经过 (3， 5)， (-4 ，-9) ，则此一次函数的解析式为。 4、距离问题（一）两点之间的距离（ 1）类型 1：A （ x 1，0）， B （ x 2， 0）， AB= ； C （ x 1， y ）， D （ x 2， y ），则 CD= ；（ 2）类型 2：A （ 0， y 1）， B （ 0， y 2）， AB= ； C （ x ， y 1）， D （ x ， y 2），则 CD= ；（ 3）类型 3：A （ x ， 0）， B （ 0， y ）， AB= ；（ 4）类型 4：A （ x 1，y 1）， B （ x 2， y 2）， AB= ；（二）点到坐标轴的距离 A(x,y) 到 x 轴的距离为，到 y 轴的距离为。二、培优讲解例 1：已知直线 l ： y 2x 2 ，（ 1）求直线 l 与坐标轴的交点坐标分别为； (2)此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积。变式 1：已知直线 l ： y 2 x 2 ，且点 T (t , 2 ) 在直线 l 上， 3 (1) 求 OT 所在直线的解析式； (2) 求直线 l 和直线 OT 与 x 轴所围成的图形面积。 y 变式 2：如图，已知直线 l ： y 2x 2 与 x 轴、 y 轴分别交于点 B 、 M, ，将变式 1 中的直线 OT 向上平移 1 个单位长度得到直线 PA ，点 Q 是直线 PA 与 y 轴的交点，求四边形 PQOB 的面积。 M P Q A O B x

一次函数面积问题专题(含答案)

一次函數面積問題 1、如图，一次函数的图像与x轴交于点B（-6，0），交正比例函数的图像于点A，点A的横坐标为-4，△ABC的面积为15，求直线OA的解析式。 — 2、直线y=x+3的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线a经过原点与线段AB交于C，把△ABO的面积分为2：1的两部分，求直线a的函数解析式。：￥

3、直线PA是一次函数y=x+n的图像，直线PB是一次函数y=-2x+m（m>n>0）的图像，（1）用m、n表示A、B、P的坐标 # （2）四边形PQOB的面积是，AB=2，求点P的坐标 ` 4、△AOB的顶点O（0，0）、A（2，1）、B（10，1），直线CD⊥x轴且△AOB 面积二等分，若D（m，0），求m的值、

5、点B在直线y=-x+1上，且点B在第四象限，点A（2，0）、O（0，0），△ABO 的面积为2，求点B的坐标。 / ' 6、直线y=-x+1与x轴y轴分别交点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，BAC=90°，点P（a，）在第二象限，△ABP的面积与△ABC 面积相等，求a的值. *

' 7、如图，已知两直线y=+和y=-x+1分别与x轴交于A、B两点，这两直线的交点为P （1）求点P的坐标（2）求△PAB的面积， 8、已知直线y=ax+b（b>0）与y轴交于点N，与x轴交于点A且与直线y=kx交于点M（2，3），如图它们与y轴围成的△MON的面积为5，求（1）这两条直线的函数关系式（2）它们与x轴围成的三角形面积 {

# 9、已知两条直线y=2x-3和y=5-x （1）求出它们的交点A的坐标（2）求出这两条直线与x轴围成的三角形的面积 ? 10、已知直线y=x+3的图像与x轴、y轴交于A、B两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分为2：1的两部分，求直线l的解析式。

一次函数与面积专题

一次函数与面积专题一、知识点睛 1.思考策略：数形结合和化不规则为规则图形； 2.处理面积问题的几种思路： ①割补法（分割求和、补形作差）； ②等积转换（例：同底等高）； ③面积比转化为线段比（等高不等底）二、精讲精练（1）割补法 1.如图，直线 5 3 y kx =+经过点A（-2，m），B（1，3）． 2.（1）求k，m的值； 3.（2）求△AOB的面积．（有一边在坐标轴上的三角形） } 2、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(2，4)，B(6，6)， C(8，2)，求四边形OABC的面积．（四边形面积常转化为可求图形面积之和或差） (

巩固练习： 3.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线PA是一次函数y=x+m（m＞0）的图象，直线PB是一次函数y=﹣3x+n（n＞m）的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点．（1）用m、n分别表示点A、B、P的坐标及∠PAB的度数；（2）若四边形PQOB 的面积是，且CQ：AO=1：2，试求点P的坐标，并求出直线PA与PB的函数表达式；（3）在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 4.如图，一次函数的函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC=30°． … （1）求△ABC的面积；（2）如果在第二象限内有一点P（m ，），试用含m的代数式表示△APB的面积，并求当△APB与△ABC面积相等时m的值； C O A B x y 6.如图，直线 1 1 2 y x =+经过点A(1，m)，B(4，n)，点C的坐标为(2，5)，求△ABC 的面积．（转化为平行于坐标轴的三角形）

二次函数与三角形

二次函数与三角形抛物线与三角形的结合是抛物线与平面几何结合生成综合性问题的一种重要形式，这类问题以抛物线为背景，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊图形，有以下常见的形式：（1）抛物线上的点能否构成特殊的线段；（2）抛物线上的点能否构成特殊的角；（3）抛物线上的点能否构成特殊三角形；（4）抛物线上的点能否构成全等三角形、相似三角形；这类问题把抛物线性质和平面图形性质有机结合，需综合运用待定系数法、数形结合、分类讨论等思想方法。 1、如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的坐标；（3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t 为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t值．

2、如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y的正半轴上，点B的坐标是（5，3），抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一个交点是点D，连接 BD．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是抛物线对称轴上的一点，以M、B、D为顶点的三角形的面积是6，求点M的坐标；（3）点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿D→B匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A→D匀速运动，当点P到达点B时，P、Q同时停止运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？请直接写出所有符合条件的值． 3、已知函数2 3 2 2 y kx x =-+（k是常数）

一次函数之面积问题专题

一次函数之面积问题班级姓名一、知识点睛坐标系中面积问题的处理方法举例 ①割补求面积（铅垂法）： 1()2APB B A S PM x x =??-△ ②转化求面积： l 1 l 2 如图，满足S △ABP=S △ABC 的点P 都在直线l 1，l 2上． ` 二、精讲精练 1、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A(-1，3)，B(3，-2)，则△AOB 的面积为___________．

。 2、如图，直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点P的坐标为 (-2，2)，则S△PAB=___________． 3、如图，直线AB：y=x+1与x轴、y轴分别交于点A，点B，直线CD：y=kx-2与x轴、y轴分别交于点C，点D，直线AB与直线CD交于点P．若S△APD=，则k=__________． 4、如图，直线 1 1 2 y x =+经过点A(1，m)，B(4，n)，点C的坐标为(2，5)，求△ABC的面积． 5、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(2，4)，B(6，6)， C(8，2)，求四边形OABC的面积． 6、如图，直线 1 1 2 y x =-+与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C的坐标为 (1，2)，坐标轴上是否存在点P，使S△ABP=S△ABC若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． ?

7、已知直线 1 1 2 y x =-+与x轴、y轴分别交于A，B两点，以A为直角顶点，线段AB为腰在第一象限内作等腰Rt△ABC，P为直线x=1上的动点，且△ABP的面积与△ABC的面积相等．（1）求△ABC的面积；（2）求点P的坐标．￥ 8、如图，点A在直线l1：y=2x上，过A作AB⊥x轴，交直线l2： 1 2 y x =于点B．若AB=3，求A点的坐标。）

专题：一次函数的图像与坐标轴围成的图形面积问题

专题：一次函数的图像与坐标轴围成的图形面积问题 1、填空：一次函数y=0.5x+2的图像与X轴的交点_______________ ;与y轴的交点_____________ ；一次函数y=-x-1 的图像与X轴的交点为_____________ ；与y轴的交点 _____________ ； 2、直线y=0.5x+2与直线y=-x-1的交点________________ ； 3、过点（2，0）（0，4）的直线解析式______________________ 例1 :已知直线y=3x-6， 1）画出函数图像，并求出一次函数图像与两坐标轴围成的三角形面积 2）求直线y=-x-1与y轴围成的三角形面积； 3）求直线y=-x-1与X轴围成的三角形面积；

1、求直线y=x-2与直线y=-2x+4与X轴围成的三角形面积？ 2、作业：直线y=4x—2与直线y= —x+13及X轴所围成的三角形的面积？ 1 1 3、作业：求直线y=2x—7,直线y -X -与y轴所围成三角形的面积. 例2已知一次函数的图像过点B（0，4）且与两坐标轴围成的三角形面积为 4, 求此一次函数的解析式?

变形1：已知直线y=kx-4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4,求直线解析式;

变形2:已知一次函数的图像经过点 A (2, 0),且与两坐标轴围成的三角形面积为4,求此一次函数的解析式? 例3: —次函数图像交于X轴于点A(6，0)，与正比例函数图像交于点B，且点B在第一象限，其横坐标是4,若厶ABO的面积等于15，求这个正比例函数和一次函数的解析式?

巩固练习：已知已知直线L i经过点A (-1 , 0)与点B (2, 3),另一条直线 L2经过点B,且与X轴相交于点P (m, 0)若若△ APB的面积等于3 ,求m 值和L i、L2的解析式？ X

二次函数与三角形最大面积3种求法

）））））））））二次函数与三角形最大面积的3种求法一．解答题（共7小题） 21．（2012?广西）已知抛物线y=ax+2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标；（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．茂名）如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与y2．（2013?轴交于点C，已知点B的坐标为（3，0）．（1）求a的值和抛物线的顶点坐标；（2）分别连接AC、BC．在x轴下方的抛物线上求一点M，使△AMC与△ABC的面积相等；（3）设N是抛物线对称轴上的一个动点，d=|AN﹣CN|．探究：是否存在一点N，使d的值最大？若存在，请直接写出点N的坐标和d的最大值；若不存在，请简单说明理

由． 3．（2011?茂名）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C （5，0），抛物线对称轴l与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）点P在抛物线上，且以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；（3）连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由．）．））））））））），）5，0，0），C（（黔西南州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点A0，4），B （1．4（2012?．x轴相交于点M抛物线的对称轴l与）求抛物线对应的函数解析式和对称轴；（1为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的PM、）上的一点，若以A、O、（2）设点P为抛物线（x＞5 的坐标；正整数，请你直接写出点P的面积最大？若存在，请你求NAC，使△，探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N（3）连接AC N的坐标；若不存在，请说明

一次函数面积知识点

教师: 陈晓静学生: 年级日期: 星期: 时段: 学情分析基础，对于知识不能灵活运用课题一次函数关于面积问题学习目标与考点分析学习目标：1、关于一次函数的面积问题利用面积求解析式 2、利用解析式求面积以及对于动点问题学会熟练的解决考点分析：1、一次函数的解析式与面积的充分结合学习重点重点：1、一次函数与面积的综合结合与运用 2、对于动点问题与一次函数的熟练结合与把握学习方法讲练结合练习巩固学习内容与过程一、本节内容导入一次函数相关的面积问题画出草图，把要求的图形构建出来，根据面积公式，把直线与坐标轴的交点计算出来，把坐标转化成线段，代入面积公式求解。规则图形（公式法）不规则图形（切割法）不含参数问题含参数问题（用参数表示点坐标，转化成线段）注意：坐标的正负、线段的非负性。求面积时，尽量使底或高中的一者确定下来（通过对图像的观察，确定底和高），然后根据面积公式，建立等式。二、典例精讲一、利用面积求解析式 1、直线b x y +=2与坐标轴围成的三角形的面积是9,则b =________. （分类讨论）由于b 值符号不确定，所以图形可能两种情况，引出分类讨论。 1922b S b ?= ?-=

21 36 2S b ?=-= 2、已知直线y=x+3的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线经过原点，与线段AB 交于点C ，把, △AOB 的面积分为2：l 两部分，求直线名的解析式．由于题目中的哪一部分的面积大，没有交代，引出分类讨论。 A( -3 , 0) B(0 , 3 ) Saob= 9/2 设L: y= kx 11113 232BOC AOB S OB C D S ??=??== 所以1C D =1， C1(-1 , y ) ,代入y=x+3 ， y = 2 所以C1(-1 , 2 ) 同理：C2(-2 , 1) 3、如图,已知直线PA ：)0(>+=n n x y 与x 轴交于A,与y 轴交于Q,另一条直线 x n m m x y 与)(2>+-=轴交于B,与直线PA 交于P 求: (1)A,B,Q,P 四点的坐标(用m 或n 表示) (2)若AB=2,且S 四边形PQOB= 6 5 ,求两个函数的解析式. 主要练习用字母表示其它的量，建立方程的思想。两点间的距离公式： AB= A B x x -或 AB=A B y y - AB=A B x x -=() 2m n --=2 再根据四边形面积公式建立等式。求解m ，n 4、已知直线2+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 点和B 点，另一条直线 b kx y +=)0(≠k 经过点)0,1(C ，且把AOB ?分成两部分（1）若AOB ?被分成的两部分面积相等，则k 和b 的值（2）若AOB ?被分成的两部分面积比为1：5，则k 和b 的值答案：（1）2,2=-=b k （2）①3 2 ,32=-=b k ②2,2-==b k 5、已知一次函数3 32 y x =- +的图象与y 轴、x 轴分别交于点A 、B ，直线y kx b =+经过OA 上的三分之一点D ，且交x 轴的负半轴于点C ，如果AOB DOC S S ??=，求直线y kx b =+的解析式． E D O C2 C1 B A

二次函数和三角形最大面积的3种求法

WORD格式整理版二次函数与三角形最大面积的3种求法一．解答题（共7小题） 1．（2012?广西）已知抛物线y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标；（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2013?茂名）如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，已知点B的坐标为（3，0）．（1）求a的值和抛物线的顶点坐标；（2）分别连接AC、BC．在x轴下方的抛物线上求一点M，使△AMC与△ABC的面积相等；（3）设N是抛物线对称轴上的一个动点，d=|AN﹣CN|．探究：是否存在一点N，使d的值最大？若存在，请直接写出点N的坐标和d的最大值；若不存在，请简单说明理由． 3．（2011?茂名）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线对称轴l与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）点P在抛物线上，且以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；（3）连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由．

4．（2012?黔西南州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线的对称轴l与x轴相交于点M．（1）求抛物线对应的函数解析式和对称轴；（2）设点P为抛物线（x＞5）上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；（3）连接AC，探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2013?新疆）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标． 6．（2009?江津区）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．

二次函数与三角形的面积问题

二次函数与三角形的面积问题【教学目标】 1.能够根据二次函数中不同图形的特点选择合适的方法解答图形的面积。 2.通过观察、分析、概括、总结等方法了解二次函数面积问题的基本类型，并掌握二次函数中面积问题的相关计算，从而体会数形结合思想和转化思想在二次函数中的应用。 3.掌握利用二次函数的解析式求出相关点的坐标，从而得出相关线段的长度，利用割补方法求图形的面积。【教学重点和难点】 1.运用 2铅垂高水平宽? = s； 2.运用y； 3.将不规则的图形分割成规则图形，从而便于求出图形的总面积。【教学过程】类型一：三角形的某一条边在坐标轴上或者与坐标轴平行例1.已知：抛物线的顶点为D（1，-4），并经过点E（4，5），求: （1）抛物线解析式；（2）抛物线与x轴的交点A、B，与y轴交点C；（3）求下列图形的面积△ABD、△ABC、△ABE、△OCD、△OCE。解题思路：求出函数解析式________________；写出下列点的坐标：A______；B_______；C_______；求出下列线段的长：AO________；BO________；AB________；OC_________。求出下列图形的面积△ABD、△ABC、△ABE、△OCD、△OCE。

一般地，这类题目的做题步骤：1.求出二次函数的解析式；2.求出相关点的坐标；3.求出相关线段的长；4.选择合适方法求出图形的面积。变式训练1.如图所示，已知抛物线()02 ≠++=a c bx ax y 与x 轴相交于两点A ()0,1x ， B ()0,2x ()21x x <，与y 轴负半轴相交于点 C ，若抛物线顶点P 的横坐标是1，A 、 B 两点间的距离为4，且△ABC 的面积为6。（1）求点A 和B 的坐标；（2）求此抛物线的解析式；（3）求四边形ACPB 的面积。类型二：三角形三边均不与坐标轴轴平行，做三角形的铅垂高。（歪歪三角形拦腰来一刀）关于2 铅垂高水平宽?= ?S 的知识点：如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 2 1 =?，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 想一想：在直角坐标系中，水平宽如何求？铅垂高如何求？例2．如图2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结P A ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ?；(3)是否存在一点P ，使S △P AB =8 9 S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由. 解题思路：求出直线AB 的解析式是为了求出D ．点的纵坐标．．．．．D y ；铅垂高，注意线段的长度非负性；分析P 点在直线AB 的上方还是下方? x A B O C y P B C 铅垂高水平宽 h a 图1 图-2 x C O y A B D 1 1

一次函数面积问题

专题复习:一次函数的面积问题教案教学时间：2016年5月25日许发明一、教学目标依据课标的要求和学生的认知特点，我制定如下三维教学目标： 1．知识与技能：能利用表达式求三角形或四边形的面积，能利用面积求点坐标或直线表达式。 2．过程与方法：通过对已知图形面积求值及解析式问题的探究，使学生理解一次函数图象特征与表达式的联系规律，体会分类思想、数形结合思想 3．情感、态度与价值观：培养学生主动探究，合作交流的意识，激发学生学习数学的热情，体验学数学的乐趣. 二、教学重点与难点： 1、重点：根据函数表达式求三角形或四边形的面积，会根据面积求点坐标或函数表达式。难点：不规则图形面积的计算，根据面积求点坐标三、教学方法高效6+1教学模式，让学生在自主、合作、探究中学习四、教学过程一、导：（创设情景，导入新课） 1、直线y=2x+5与y=0.5x+5的交点坐标是-----------。 2、点A（-1,2）到x轴的距离是------，到y轴的距离是--------。 3、y=2x+4与x轴交于A点，与y轴交于B点，则A的坐标为 ---------， B 点的坐标为---------。则该图像与两坐标轴围成的面积是--------。师生活动：学生先独立完成，学生口答结果后教师直接导入新课。设计意图：练习求直线与x轴y轴交点坐标，两直线交点坐标，为学习本节内容铺垫。（出示本节学习目标）设计意图:学生根椐学习目标使学习更有针对性。二、思：（利用表达式求面积）自学例1，独立完成下面两个题例1：已知直线l： 24 y x =-+ ，求此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积。

二次函数与三角形周长面积最值问题

二次函数与三角形周长，面积最值问题知识点：1、二次函数线段，周长问题 2、二次函数线段和最小值线段差最大值问题 3、二次函数面积最大值问题【新授课】考点1：线段、周长问题例1.(2018·)在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．拓展：在l上是否存在一点P，使PB-PA取得最大值？若存在，求出点P的坐标。练习 1、如图，已知二次函数24 =-+的图象与坐标轴交于点A（-1， 0）和点B（0，-5）． y ax x c （1）求该二次函数的解析式；

P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐 2、如图，抛物线y=ax2-5ax+4（a＜0）经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x 轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．（1）求抛物线的解析式．（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使|MA-MB|最大？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．例2. (2018?莱芜)如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，求线段DE长度的最大值；

练习 1、如图，抛物线y= 2 1 x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）． ⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标； ⑵判断△ABC的形状，证明你的结论； ⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．（4）过点F作FG垂直X轴，并与直线BC交于点H，求FH的最大值。 2、如图，在平面直角坐标系中，直线 33 42 y x =-与抛物线2 1 4 y x bx c =-++交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为-8．

与一次函数相关的面积问题专题复习说课稿

与一次函数相关的面积专题复习说课稿怀柔区第四中学刘长红尊敬的各位评委、老师：大家好！我是怀柔四中的数学教师刘长红，能够参加这次教学研讨活动，我深感荣幸，今天我说课的题目是《与一次函数相关的面积专题复习》，选自京教版第16册第15章小结，下面我将从五个方面进行说明：指导思想与理论依据、教学背景分析、教学目标设置、教学策略分析、教学过程设计与实施。一、指导思想与理论依据在《数学新课程标准》中强调要以学生发展为本，特别重视发挥学生主体在认识活动中的主动和能动作用。基于这样的思考，我设计了与一次函数相关的面积专题复习这节课。课标要求数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。本节课通过求与一次函数有关的三角形面积问题，调动学生关于一次函数已有的知识和求三角形面积的相关经验，在此基础上经过讨论，探究，进而给出证明，学生能清晰、有条理的表达自己的思考过程；能运用数学语言，合乎逻辑的进行讨论与质疑。在典例解析，合作探究这个环节引导学生积极参与合作、探究、解决问题的全过程，使学生在自主学习、探索、交流中会学数学和乐学数学，力求体现“以学生发展为本”的指导思想。二、教学背景分析（一）教材分析 “与一次函数相关的面积专题复习” 是北京版八年级数学教材第十五章小结中的内容。在此前，教材已经介绍了一次函数的概念、一次函数的图象、性质以及一次函数的简单应用等相关知识。本节既是在一次函数图象、性质的基础之上对平面直角坐标系内三角形面积的进一步研究，又是前面所学知识的深化和应用，还为研究二次函数中三角形面积或四边形面积奠定了基础。基于此，确定本节课的教学重点利用一次函数的图象和性质解决与一次函数相关的面积问题。（二）学情分析在本节课学习之前, 学生已较好地掌握了一次函数的定义，一次函数的图象和性质以及解决简单的函数面积的相关内容, 但对求平面直角坐标系中任意三角形面积的方法还没有灵活掌握，且方法单一。因此本节的学习中, 教师适当地引导之后，让学生合作交流,自主探索获得与一次函数相关的三角形面积的多种解法。通过本节课的学习学生还能获得求平面直角坐标系内任意三角形的面积的通用方法。在探索三角形面积的多种解法时，学生遇到的主要困难是求三角形面积的方法单一以及不能对三角型面积的各种方法进行系统的归纳和提升。

一次函数讲义解析式和面积

一次函数（解析式和面积）一、函数１．定义（１）在变化过程中有两个变量; （２）一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化; （３）自变量的每一个确定值,函数有且只有一个值与之对应，即单值对应。 2。自变量的取值范围 (１)整式时,自变量取全体实数; （2）分式时，自变量使分母不为零；（3）有偶次根式时，自变量必须使被开方数是非负数；（４)实际问题中,要使实际问题有意义； (5）在有些函数关系式中，自变量的取值范围应是其公共解。二、一次函数(——正比例函数) 1.定义（1）函数为一次函数?其解析式可化为y kx b =+（,k b 为常数,0k ≠）的形式。（2)一次函数y kx b =+结构特征：0k ≠；自变量x 次数为1;常数b 可为任意实数。（３)一般情况下,一次函数中自变量的取值范围是全体实数. (4）若0k =,则y b =(b 为常数),这样的函数叫做常函数,它不是一次函数; 若0b =,则y=kx (ｋ为常数）,这样的函数叫做正比例函数. 2。图像一次函数的图像是一条直线，确定两点,便能确定其图像。 3.性质（1)增减性：0k >时，y 随着x 的增大而增大；0k <时，y （2）图像位置：直线y kx b =+过两个象限或三个象限，由,k 回忆巩固： 1. 求出下列函数中自变量x 的取值范围 (1） 1 1 2y x = + （2） y = (3）y = （4)5 21 y x -= - 2. 已知 2 3 (2)3 m y m x -=-+,当m 为何值时,y 是x 的一次函数？ 3. 已知一次函数(2)(1)y m x m =++-，若y 随x 的增大而减小,且该函数图象与x 轴的交点在原点右侧,求m 的取值范围. 4. 若正比例函数ｙ=(1—2m ）x 的图象经过点Ａ(x 1，y 1）和点B(ｘ２，y 2)，当 x 1〈x 2时，y １＞ｙ2,则求ｍ的取值范围。 (一）求一次函数的解析式用待定系数法求一次函数解析式的步骤：设：设一般式y=kx+b (k≠０）; 列：根据已知条件，列出关于k 、b 的方程(组); 解:解出ｋ、b ; 1 2

二次函数与三角形面积专题学习

《专题学习二次函数与三角形面积》教学设计一、教学内容分析 1. 内容二次函数与三角形面积的专题学习 2. 内容解析二次函数中三角形面积问题是代数与几何有机结合的一个考点，是函数的综合应用能力的提升. 抛物线上点的运动与直线相结合而产生的三角形面积问题, 往往是二次函数的综合性问题. 这类问题知识面覆盖广, 难度较大，也常出现在中考压轴题中. 解决问题的途径常需要进行图形割补、等积变形等图形变换. 本节课引入“三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”，以此来解决抛物线上一动点与两定点所构成三角形面积的最值问题. 二、教学对象分析在九年级上学期学生已经学习了二次函数的相关知识，并能利用建模思想解决面积最值等问题，都为本节课的学习打下了基础. 学生对于求解平面直角坐标系中的三角形面积问题并不陌生，可以采用割补法解决. 在二次函数背景下的求解问题，也可以通过点的坐标来确定线段长进而求解，对知识进行了迁移. 但对于抛物线上一动点求解三角形面积最大值的问题，存在一定的难度，考察内容较多。因此，在教学过程中要把握好梯度，循序渐进，加深对函数知识的回顾，同时要注重数学思想的渗透，培养学生用数学的思想去思考问题、解决问题，发展学生的创新思维。三、教学目标及教学重难点 1. 教学目标【知识与技能】根据二次函数中不同图形的特点选择合适的方法解答图形的面积. 【过程与方法】通过观察、分析、概括、总结等方法了解二次函数面积问题的基本类型，并掌握二次函数中面积问题的相关计算，从而体会数形结合思想和转化思想在二次函数中的应用. 【情感态度与价值观】

由简单题入手逐渐提升，从而消除学生的畏难情绪，让学生有兴趣和积极性参与数学活动. 加强学生之间的合作交流，提高学生的归纳总结能力，培养学生不断反思的习惯. 2. 教学重点选择合适方法求图形面积. 3. 教学难点如何割补、转化图形求面积及利用“铅垂高法”解决面积最值问题. 四、教学环境多媒体教室结合使用电子白板. 五、教学方法、过程及整合点步骤目标与内容教学方法整合点与软件类型一三角形的某一边提问法幻灯片在坐标轴上. 教师引导学生回电子白板问题1：已知：抛物线的忆求二次函数解析式顶点为D（1，-4 ），并经过和与坐标轴交点坐标点E（4，5），的方法. 由学生独立完成，对二次函数的相关知识进行复习. 活动一求: （1）抛物线解析式; （2）抛物线与x 轴的交点 A、B ( A 在B 左侧) , 与y 轴交点C 的坐标; 引导发现法利用幻灯（3）求下列图形的面积教师以第一个三片中的动画功△ABD、△ABC、△ABE、△ 角形为例，引导学生能作出辅助OCD、△OCE; 找到底边，并把坐标线，更加直观.

专题：一次函数与三角形的面积

专题：一次函数与三角形的面积（一）一、两条边在坐标轴上 1、已知直线y=2x-6与x轴、y轴分别交于点A、B，求△AOB的面积. 二、一条边做坐标轴上 2、求直线y=2x-6和直线y=-2x+2与x轴围成的三角形的面积. 变式1：求直线y=2x-6和直线y=-2x+2与y轴围成的三角形的面积.三、没有边坐标轴上 3、如图，直线 5 3 y kx =+经过点A（-2，m），B（1，3）．（1）求k，m的值：（2）求△AOB的面积．

4、如图，直线 1 1 2 y x =+经过点A（1，m），B（4，n），点C（2，5），求△ABC的面积．四、求多边形的面积 5、如图，直线y=kx-2与x轴交于点B，直线y=1 2 x+1与y轴交于点C，这两条直线交于点A（2，a），求四边形ABOC的面积．综合运用 1、若y=（m-2）+m-1是一次函数。求（1）m的值（2）函数解析式（3）直线与两坐标围成的三角形面积 2．如图，直线l1：y=-2x+4与x轴、y轴分别交于A，B 两点，直线l2： 1 3 2 y x =--与x轴、y轴分别交于C，D 两点．（1）求四边形ABCD的面积；（2）设直线l1，l2交于点P，求△P AD的面积． y x C B A O y x C B A O l2 l1 O A B y x P D C

专题：一次函数与三角形的面积（二）一、求解析式 1、一次函数y=k x+b的图象过点A(3,0)且与两坐标轴围成的三角形的面积是9，求该一次函数的解析式. 变式1：一次函数y=k x+b的图象过点A（0，3）且与两坐标轴围成的三角形的面积是9，求该一次函数的解析式. 变式2：已知直线y=2x+b与x轴、y轴分别交于点A、B，且△AOB的面积是9，求b的值. 变式3：已知直线y=kx-6与x轴、y轴分别交于点A、B，且△AOB的面积是9，求k的值. 2、已知直线l1：y=2x-6和直线l2：y=k x+b交于点（-2，2）,两直线与x轴围成的三角形的面积2,求直线l2的解析式.

一次函数中的面积问题讲义(含答案)

一次函数中的面积问题讲义一、知识点睛 1. 坐标系中处理面积问题，要寻找并利用_____________的线，通常有以下三种思路： ①__________________（规则图形）； ②__________________（分割求和、补形作差）； ③__________________（例：同底等高）． 2. 坐标系中面积问题的处理方法举例 ①割补求面积（铅垂法）： B A h M a P P a M h A B 12△APB S ah = 1 2△APB S ah = ②转化求面积： h h l 1 l 2 A B C 如图，满足S △ABP =S △ABC 的点P 都在直线l 1，l 2上．二、精讲精练 1. 如图，在平面直角坐标系中，已知A (-1，3)，B (3，-2)，则 △AOB 的面积为___________． x A y B O

2. 如图，直线y =-x +4与x 轴、y 轴分别交于点A ，点B ，点P 的坐标为(-2，2)，则S △P AB =___________． O B y A P x P D O B y A C x 第2题图第3题图 3. 如图，直线AB ：y =x +1与x 轴、y 轴分别交于点A ，点B ，直线 CD ：y =kx -2与x 轴、y 轴分别交于点C ，点D ，直线AB 与直线CD 交于点P ．若S △APD =4.5，则k =__________． 4. 如图，直线1 12 y x =+经过点A (1，m )，B (4，n )，点C 的坐标为(2，5)，求△ABC 的面积． C O A B x y

中考数学复习二次函数与三角形的面积问题

中考数学复习二次函数与三角形的面积问题 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#

二次函数与三角形的面积问题 1.运用2 铅垂高水平宽?=s ； 2.运用y ； 3. 例1.已知：抛物线的顶点为D （1，-4），并经过点E （4，5），求: （1）抛物线解析式；（2）抛物线与x 轴的交点A 、B ，与y 轴交点C ；（3）求下列图形的面积△ABD 、△ABC 、△ABE 、△OCD 、△OCE 。解题思路：求出函数解析式________________；写出下列点的坐标：A______；B_______；C_______；求出下列线段的长：AO________；BO________；AB________；OC_________。求出下列图形的面积△ABD 、△ABC 、△ABE 、△OCD 、△OCE 。一般地，这类题目的做题步骤：1.求出二次函数的解析式；2.求出相关点的坐标；3.求出相关线段的长；4.选择合适方法求出图形的面积。训练1.如图所示，已知抛物线()02≠++=a c bx ax y 与x 轴相交于两点A ()0,1x ， B ()0,2x ()21x x <，与y 轴负半轴相交于点C ，若抛物线顶点P 的横坐标是1，A 、 B 两点间的距离为4，且△ABC 的面积为6。 P

（1）求点A 和B 的坐标；（2）求此抛物线的解析式；（3）求四边形ACPB 的面积。类型二：三角形三边均不与坐标轴轴平行，做三角形的铅垂高。（歪歪三角形拦腰来一刀）关于2铅垂高水平宽?= ?S 的知识点：如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高 (h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：的一ah S ABC 21=?，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积半. 想一想：在直角坐标系中，水平宽如何求铅垂高如何求例2．如图2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及出 CAB S ?；(3)是否存在一点P ，使S △PAB =89S △CAB ，若存在，求P 点的坐标；若不存在，请说明理由. 标．D y ；解题思路：求出直线AB 的解析式是为了求出D ．点的纵坐．．．．铅垂高D C y y CD -=，注意线段的长度非负性；分析P 点在直线AB 的上方还是下方