八年代数期末复习专题7 一次函数与几何图形的面积
例1、面积公式的应用
（1）已知直线y=k x+2与x轴、y轴围成的三角形面积为12,则k= ；
（1）已知直线y=-4x+b与x轴、y轴围成的三角形面积为12,则b= 。
小结：
例2、求几何图形的面积或求点坐标
如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2），动点M在线段OA和射线AC上运动．
（1）求直线AB的解析式．
（2）求△OAC的面积．
（3）是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的？若存在求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由．
小结：
例3、动点中的面积问题
如图，直线l1：y1=﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P（m，3）为直线l1上一点，
另一直线l2：y2=x+b过点P．
（1）求点P坐标和b的值；
（2）若点C是直线l2与x轴的交点，动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动．设点Q的运动时间为t秒．
①请写出当点Q在运动过程中，△APQ的面积S与t的函数关系式；
②求出t为多少时，△APQ的面积小于3；
当堂检测：
如图直线l：y=kx+9与x轴，y轴分别交于点B，C，点B的坐标是（﹣12，0），点A的坐标为（﹣9，0），点P（x，y）是直线l上的一个动点．
（1）求k的值；
（2）当点P在线段BC上时，试求出△OPA的面积S与x的函数关系式；
（3）请直接写出当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为27．
能力提升：
1、如图，直角坐标系xOy中，A（0，5），直线x=﹣5与x轴交于点D，直线y=﹣x﹣
与x轴及直线x=﹣5分别交于点C，E，点B，E关于x轴对称，连接AB．
（1）求点C，E的坐标及直线AB的解析式；
（2）设面积的和S=S△CDE+S四边形ABDO，求S的值；
（3）在求（2）中S时，嘉琪有个想法：“将△CDE沿x轴翻折到△CDB的位置，而△CDB 与四边形ABDO拼接后可看成△AOC，这样求S便转化为直接求△AOC的面积不更快捷吗？”但大家经反复演算，发现S△AOC≠S，请通过计算解释他的想法错在哪里．
2、如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的边AD在x轴上，点C在y轴的负半轴上，直线BC∥AD，且BC=3，OD=2，将经过A、B两点的直线l：y=﹣2x﹣10向右平移，平移后的直线与x轴交于点E，与直线BC交于点F，设AE的长为t（t≥0）．
（1）四边形ABCD的面积为；
（2）设四边形ABCD被直线l扫过的面积（阴影部分）为S，请直接写出S关于t的函数解析式；
（3）当t=2时，直线EF上有一动点P，作PM⊥直线BC于点M，交x轴于点N，将△PMF 沿直线EF折叠得到△PTF，探究：是否存在点P，使点T恰好落在坐标轴上？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3.2 与几何图形结合3.2.1 与等腰三角形结合1、如图，直线y=3x+3交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、B 两点的抛物线交 x 轴于另 一点C （3,0）. ⑴求抛物线的解析式 ; ⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的 Q 点坐标；若不存在，请说明理由 2、如图，已知直线y=x 与交于A 、B 两点． （1）求交点A 、B 的坐标；（2）记一次函数y=x 的函数值为y 1，二次函数 的函数值为y 2．若y 1＞y 2，求x 的 取值范围； （3）在该抛物线上存在几个点，使得每个点与AB 构成的三角形为等腰三角形？并求出不 少于3个满足条件的点 P 的坐标． y =x 2 y =x 2
3、如图，已知二次函数的图象经过点A （3，3）、B （4，0）和原点O 。P 为二次函数图象 上的一个动点，过点 P 作x 轴的垂线，垂足为 D （m ，0），并与直线OA 交于点C ． （1）求出二次函数的解析式； （2）当点P 在直线OA 的上方时，求线段PC 的最大值； （3）当m ＞0时，探索是否存在点P ，使得△PCO 为等腰三角形，如果存在，求出 P 的坐 标；如果不存在，请说明理由． 3.2.2 与直角三角形结合1、二次函数的图象的一部分如图所示．已知它的顶点 M 在第二象限，且经 过点A(1，0)和点B(0，l)．(1)试求，所满足的关系式；(2)设此二次函数的图象与x 轴的另一个交点为 C ，当△AMC 的面积为△ABC 面积的 倍时，求a 的值；(3)是否存在实数a ，使得△ABC 为直角三角形．若存在，请求出 a 的值；若不存在，请说 明理由． 2 y ax bx c a b 5 4
二次函数与图形面积 涉及图形：三角形、不规则四边形。 考查设问：（1）首先求出不规则三角形或者四边形的面积； （2）通过已知图形的面积确定未知三角形的面积； （3）通过未知三角形的面积求点坐标。 例1：（2009陕西24题10分） 如图，在平面直角坐标系中，OB OA ⊥，且2OB OA =，点A 的坐标(12)-，． （1）求点B 的坐标； （2）求过点A O B 、、的抛物线的表达式； （3）连接AB ，在（2）中的抛物线上求出点P ，使得ABP ABO S S =△△． 24．（本题满分10分） 解：（1）过点A 作AF x ⊥轴，垂足为点F ，过点B 作 则21AF OF ==，． OA OB ⊥， 90AOF BOE ∴∠+∠=°． 又 90BOE OBE ∠+∠=°， AOF OBE ∴∠=∠． Rt Rt AFO OEB ∴△∽△． 2BE OE OB OF AF OA ∴ ===． （第24题）
24BE OE ∴==，． (42)B ∴，． ················································································· （2分） （2）设过点(12)A -，，(42)B ，，(00)O ，的抛物线为2y ax bx c =++． 216420.a b c a b c c -+=??∴++=??=?，，解之，得12320a b c ? =?? ? =-?? =??? ，，． ∴所求抛物线的表达式为213 22 y x x = -． ············································ （5分） （3）由题意，知AB x ∥轴． 设抛物线上符合条件的点P 到AB 的距离为d ，则11 22 ABP S AB d AB AF = =△． 2d ∴=． ∴点P 的纵坐标只能是0，或4． ····················································· （7分） 令0y =，得 213 022 x x -=．解之，得0x =，或3x =． ∴符合条件的点1(00)P ， ，2(30)P ，． 令4y =，得 213 4 22 x x -=．解之，得32 x ±= ． ∴符合条件的点33 ( 4)2P ，43(4)2 P +． ∴综上，符合题意的点有四个： 1(00)P ， ，2(30)P ，，33 (4)2P ，43(4)2 P +． ···························· （10分） （评卷时，无1(00)P ， 不扣分） 1.能够根据二次函数中不同图形的特点选择合适的方法解答图形的面积。
二次函数结合定值及等面积问题 2 2 8 1.已知二次函数y =3x-3x+2的图像与x 轴交于A B 两点，A 在B 点的左边，与y 交 于点C ,点P 在第一象限的抛物线上，且在对称轴右边, S A PAC = 4，求点P 的坐标。 2.抛物线 y=-x 2 +bx+c 经过点 A B 、C,已知 A(- 1,0), C (0， 3). (1)求抛物线的解析式; (2)若P 为抛物线上一点，且S PBC =3,请求出此时点P 的坐标。 3.如图，已知直线 AB ： y = kx+ 2k + 4与抛物线y= ^x 2 -^-A (1)直线AB 总经过一个定点 C,请直接写出点 C 的坐标 1 (2)当k 二时，在直线AB 下方的抛物线上求点 P ,使S A ABP = 5 2 4. 如图，抛物线y x 2 2x 3与x 轴交A B 两点(A 点在B 点左侧)，直线l 与抛物线交 于A C 两点，其中C 点的横坐标为2。 (1 )求A B 两点的坐标及直线 AC 的函数表达式； (2) P 是线段AC 上的一个动点，过 P 点作y 轴的平行线交抛物线于 E 点，求△ EAC 面积的 最大值。 5. 如图，抛物线的顶点为 A (-3，-3 )，此抛物线交X 轴于O, B 两点 (1) 求此抛物线的解析式 (2) 求厶AOB 的面积 P C x O
(3) 若抛物线上另有一点P满足S B阳创，请求出P点的坐标 6.已知二次函数y x2 bx c，其图像抛物线交x轴的于点A (1, 0)、B (3, 0),交y 轴于点C. (1) 求此二次函数关系式； ⑵试问抛物线上是否存在点P(不与点B重合)，使得S BCP 2S ABC ?若存在，求出P点 坐标；若不存在，请通过计算说明理由．
一次函數面積問題 1、如图，一次函数的图像与x轴交于点B（-6，0），交正比例函数的图像于点A，点A的横坐标为-4，△ABC的面积为15，求直线OA的解析式。 — 2、直线y=x+3的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线a经过原点与线段AB交于C，把△ABO的面积分为2：1的两部分，求直线a的函数解析式。 ： ￥
3、直线PA是一次函数y=x+n的图像，直线PB是一次函数y=-2x+m（m>n>0）的 图像， （1）用m、n表示A、B、P的坐标 # （2）四边形PQOB的面积是，AB=2，求点P的坐标 ` 4、△AOB的顶点O（0，0）、A（2，1）、B（10，1），直线CD⊥x轴且△AOB 面积二等分，若D（m，0），求m的值 、
5、点B在直线y=-x+1上，且点B在第四象限，点A（2，0）、O（0，0），△ABO 的面积为2，求点B的坐标。 / ' 6、直线y=-x+1与x轴y轴分别交点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，BAC=90°，点P（a，）在第二象限，△ABP的面积与△ABC 面积相等，求a的值. *
' 7、如图，已知两直线y=+和y=-x+1分别与x轴交于A、B两点，这两直 线的交点为P （1）求点P的坐标 （2）求△PAB的面积 ， 8、已知直线y=ax+b（b>0）与y轴交于点N，与x轴交于点A且与直线y=kx交于点M（2，3），如图它们与y轴围成的△MON的面积为5，求 （1）这两条直线的函数关系式 （2）它们与x轴围成的三角形面积 {
# 9、已知两条直线y=2x-3和y=5-x （1）求出它们的交点A的坐标 （2）求出这两条直线与x轴围成的三角形的面积 ? 10、已知直线y=x+3的图像与x轴、y轴交于A、B两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分为2：1的两部分，求直线l的解析式。
1.如图，已知抛物线2 1y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ． （1）求A 、B 、C 三点的坐标; （2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积; （3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与?PCA 相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由． 解：（1）令0y =，得2 10x -= 解得1x =± 令0x =，得1y =- ∴ A (1,0)- B (1,0) C (0,1)- ……………………3分 （2）∵O A =O B =O C =1 ∴∠BAC =∠AC O=∠BC O= 45 ∵A P ∥CB ， ∴∠P AB = 45 过点P 作P E ⊥x 轴于E ，则?A P E 为等腰直角三角形 令O E =a ，则P E =1a + ∴P (,1)a a + ∵点P 在抛物线21y x =-上 ∴2 11a a +=- 解得12a =，21a =-（不合题意，舍去） ∴P E =3……………………………………………………………………………5分 ∴四边形ACB P 的面积S =12AB ?O C +12AB ?P E =11 2123422 ??+??=………………………………6分 (3)． 假设存在 ∵∠P AB =∠BAC =45 ∴P A ⊥AC ∵MG ⊥x 轴于点G ， ∴∠MG A =∠P AC =90 在Rt △A O C 中，O A =O C =1 ∴AC =2 在Rt △P AE 中，AE =P E =3 ∴A P= 32 ………8分 设M 点的横坐标为m ，则M 2 (,1)m m - ①点M 在y 轴左侧时，则1m <- (ⅰ) 当?A MG ∽?P CA 时，有 AG PA =MG CA ∵A G=1m --，MG=2 1m -即2322 = 解得11m =-（舍去） 23m =（舍去）………9分 G M C B y P A o x
实际问题与二次函数 柘城县牛城一中李中凯 一、知识和能力 能够根据二次函数中不同图形的特点选择方法求图形面积 二、过程和方法 通过观察、分析、概括、总结等方法了解二次函数面积问题的基本类型，并掌握二次函数中面积问题的相关计算，从而体会数形结合思想和转化思想在二次函数中的应用。 三、情感态度和价值观 由简单题入手逐渐提升，从而消除学生的畏难情绪，让学生有兴趣和积极性参与数学活动。 加强学生之间的合作交流，提高学生的归纳总结能力，培养学生不断反思的习惯。 四、教学重点和难点 重点：选择方法求图形面积 难点：如何割补图形求面积 教学方法 启发式、讨论式 教学用具： 多媒体课件 五、教学过程： 与二次函数有关的面积问题 小结方法 1、三角形的边在轴上或与轴平行 2、不规则图形或三角形三边均不与轴平行
教学活动 例题:已知：抛物线的顶点为D（1，-4），并经过点E（4，5），求（1）抛物线解析式 （2）抛物线与x轴的交点A、B，与y轴交点C 学生完成后展示过程、交流 （3）求下列图形的面积△ABD、△ABC、△ABE、△OCD、△OCE 思考：这几个图形求面积有何共同点？（三角形边特殊吗？） 小结： 教师活动追问：你能求四边形OCDB的面积吗？你有几种方法？ 你肯定行：△ADE的面积如何求呢？
小结：不规则图形或三边不具特殊性的三角形如何求面积 能力提升： （4）若点F（x,y)为抛物线上一动点，其 中-1≤x≤4，求当△AEF面积最大时点F的坐标及最大面积。 解决问题： （二次函数检测）17．已知平面直角坐标系xOy中, 抛物线2(1) =-+与直线y kx y a x a x =的一个公共点为(4,8) A. （1）求此抛物线和直线的解析式； （2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值； （3）记（1）中抛物线的顶点为M，点N在此抛物线上，若四边形AOMN 恰好是梯形，求点N的坐标及梯形AOMN的面积.
二次函数与几何图形综合题 类型 1 二次函数与相似三角形的存在性问题 1．(2015·昆明西山区一模)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(4，0)，C(0，2) 三点． (1)求这条抛物线的解析式； (2)P 为线段BC 上的一个动点，过P 作PE 垂直于x 轴与抛物线交于点E，设P 点横坐标为m，PE 长度为y，请写出y 与m 的函数关系式，并求出PE 的最大值； (3)D 为抛物线上一动点，是否存在点D 使以A、B、D 为顶点的三角形与△COB 相似？若存在，试求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
2．(2013·曲靖)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y＝x＋4 与坐标轴分别交于A，B 两点，过A，B 两点的抛物线为y＝－x2＋bx＋c.点D 为线段AB 上一动点，过点D 作CD⊥x 轴于点C，交抛物线于点E. (1)求抛物线的解析式； (2)当DE＝4 时，求四边形CAEB 的面积； (3)连接BE，是否存在点D，使得△DBE 和△DAC 相似？若存在，求出D 点坐标；若不存在，说明理由． 3．(2015·襄阳)边长为 2 的正方形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D 是边OA 的中点，连接CD，点E 在第一象限，且DE⊥DC，DE＝DC.以直线AB 为对称轴的抛物线过C，E 两点．
(1)求抛物线的解析式； (2)点P 从点C 出发，沿射线CB 以每秒 1 个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒．过点P 作PF⊥CD 于点F.当t 为何值时，以点P，F，D 为顶点的三角形与△COD 相似？ (3)点M 为直线AB 上一动点，点N 为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型 2 二次函数与平行四边形的存在性问题 1．(2014·曲靖)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c 与坐标轴分别交于A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)三点，D
一次函数之面积问题 班级 姓名 一、知识点睛 坐标系中面积问题的处理方法举例 ①割补求面积（铅垂法）： 1()2APB B A S PM x x =??-△ ②转化求面积： l 1 l 2 如图，满足S △ABP=S △ABC 的点P 都在直线l 1，l 2上． ` 二、精讲精练 1、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A(-1，3)，B(3，-2)，则△AOB 的面积为___________．
。 2、如图，直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点P的坐标为 (-2，2)，则S△PAB=___________． 3、如图，直线AB：y=x+1与x轴、y轴分别交于点A，点B，直线CD：y=kx-2与x轴、y轴分别交于点C，点D，直线AB与直线CD交于点P．若S△APD=，则k=__________． 4、如图，直线 1 1 2 y x =+经过点A(1，m)，B(4，n)，点C的坐标为(2，5)， 求△ABC的面积． 5、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(2，4)，B(6，6)， C(8，2)，求四边形OABC的面积． 6、如图，直线 1 1 2 y x =-+与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C的坐标为 (1，2)，坐标轴上是否存在点P，使S△ABP=S△ABC若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． ?
7、已知直线 1 1 2 y x =-+与x轴、y轴分别交于A，B两点，以A为直角顶点， 线段AB为腰在第一象限内作等腰Rt△ABC，P为直线x=1上的动点，且△ABP的面积与△ABC的面积相等． （1）求△ABC的面积； （2）求点P的坐标． ￥ 8、如图，点A在直线l1：y=2x上，过A作AB⊥x轴，交直线l2： 1 2 y x =于 点B．若AB=3，求A点的坐标。）
二次函数与几何综合--面积问题 知识点睛 1.“函数与几何综合”问题的处理原则：_________________，__________________． 2.研究背景图形：①研究函数表达式．二次函数关注____________，一次函数关注__________ ． 2___________________________．找特殊图形、特殊位置关系，寻求边长和角度信息． 3．二次函数之面积问题的常见模型①割补求面积——铅垂法： ②转化法——借助平行线转化：若S △ABP =S △ABQ ，若S △ABP =S △ABQ ，当P ，Q 在AB 同侧时，当P ，Q 在AB 异侧时，PQ ∥AB ．AB 平分PQ ． 例题示范例1：如图，抛物线y =ax 2+2ax -3a 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点 B 的左侧），与y 轴交于点 C ，且OA =OC ，连接AC ． （1）求抛物线的解析式． （2）若点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，求△ACP 面积的最大值． （3）若点E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F ，使以A ，B ， E ， F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的 点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 第一问：研究背景图形 【思路分析】 读题标注，注意到题中给出的表达式中各项系数都只含有字母a ，可以求解A (-3，0)，B (1，0)，对称轴为直线x =-1；结合题中给出的OA =OC ，可得C (0，-3)，代入表达式，即可求得抛物线解析式． 再结合所求线段长来观察几何图形，发现△AOC 为等腰直角三角形． 【过程示范】 解：（1）由2 23y ax ax a =+-(3)(1) a x x =+-可知(30)A -，，(10)B ，， ∵OA OC =， ∴(03)C -，， 将(03)C -，代入2 23y ax ax a =+-， 第二问：铅垂法求面积 【思路分析】 （1）整合信息，分析特征： 由所求的目标入手分析，目标为S △ACP 的最大值，分析A ，C 为定点，P 为动点且P 在1()2 APB B A S PM x x =??-△
“P+S自能发展教育”数学教学课案 学科：数学年级：九年级备课人：李龙 课题：二次函数与几何综合——面积问题课型：专题课课时数：1课时 教学目标1、掌握常见的面积问题模型及处理方法 2、灵活运用数形结合思想解决相关问题 教学重难点重点：面积问题的转化方法难点：数形结合思想的运用 教学辅工具多媒体、小白板 教学流程师生活动设计意图 课前预 习 一、课前预习，自能感知 1：已知A（-1，0），B（3，0），P（4，2），求PAB S ? ． 2：已知C（1，-3），D（1，1），P（4，2），求PCD S ? ． 3：已知抛物线223 y x x =--与x轴交于A、B两点（A左B右）， P为x轴上方抛物线上一点，若6 PAB S ? =，求P点坐标． 变式1：若P为抛物线上一点，6 PAB S ? =，求P点坐标． 变式2：C（m，1），D（n，1）（m 二次函数与几何图形综合题 类型 1二次函数与相似三角形的存在性问题 1． (2015 ·明西山区一模昆)如图，已知抛物线y＝ ax2＋bx＋ c(a≠0)经过 A(－ 1， 0)， B(4， 0)， C(0 ，2) 三点． (1)求这条抛物线的解析式； (2)P 为线段 BC 上的一个动点，过P 作 PE 垂直于 x 轴与抛物线交于点 E，设 P 点横坐标为 m， PE 长度为 y，请写出 y 与 m 的函数关系式，并求出PE 的最大值； (3)D 为抛物线上一动点，是否存在点 D 使以 A、B、D 为顶点的三角形与△ COB 相似？若存在，试求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由． 2． (2013 ·靖曲 )如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y＝ x＋ 4 与坐标轴分别交于A， B 两点，过A，B 两点的抛物线为y＝－ x2＋ bx＋ c.点 D 为线段 AB 上一动点，过点 D 作 CD⊥ x 轴于点 C，交抛物线于点 E. (1)求抛物线的解析式； (2)当 DE＝ 4 时，求四边形CAEB 的面积； (3)连接 BE，是否存在点 D ，使得△ DBE 和△ DAC 相似？若存在，求出 D 点坐标；若不存在，说明理由． 3．(2015 襄·阳 )边长为 2 的正方形O ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接 CD ，点 E 在第一象限，且DE⊥ DC ， DE ＝DC.以直线 AB 为对称轴的抛物线过C， E 两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点 P 从点 C 出发，沿射线 CB 以每秒 1 个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒．过点 P 作 PF ⊥ CD 于点 F .当 t 为何值时，以点P， F ，D 为顶点的三角形与△COD 相似？ (3)点 M 为直线 AB 上一动点，点N 为抛物线上一动点，是否存在点M， N，使得以点M，N， D， E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 专题：一次函数的图像与坐标轴围成的图形面积问题 1、填空：一次函数y=0.5x+2的图像与X轴的交点_______________ ;与y轴的交点_____________ ；一次函数y=-x-1 的图像与X轴的交点为_____________ ；与y轴的交点 _____________ ； 2、直线y=0.5x+2与直线y=-x-1的交点________________ ； 3、过点（2，0）（0，4）的直线解析式______________________ 例1 :已知直线y=3x-6， 1）画出函数图像，并求出一次函数图像与两坐标轴围成的三角形面积 2）求直线y=-x-1与y轴围成的三角形面积； 3）求直线y=-x-1与X轴围成的三角形面积； 1、求直线y=x-2与直线y=-2x+4与X轴围成的三角形面积？ 2、作业：直线y=4x—2与直线y= —x+13及X轴所围成的三角形的面积？ 1 1 3、作业：求直线y=2x—7,直线y -X -与y轴所围成三角形的面积. 例2已知一次函数的图像过点B（0，4）且与两坐标轴围成的三角形面积为 4, 求此一次函数的解析式? 变形1：已知直线y=kx-4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4,求直线解析式; 变形2:已知一次函数的图像经过点 A (2, 0),且与两坐标轴围成的三角形 面积为4,求此一次函数的解析式? 例3: —次函数图像交于X轴于点A(6，0)，与正比例函数图像交于点B， 且点B在第一象限，其横坐标是4,若厶ABO的面积等于15，求这个正比例函数和一次函数的解析式? 巩固练习：已知已知直线L i经过点A (-1 , 0)与点B (2, 3),另一条直线 L2经过点B,且与X轴相交于点P (m, 0)若若△ APB的面积等于3 ,求m 值和L i、L2的解析式？ X 二次函数与图形面积 练习题 基础题 知识点 二次函数与平面面积 1．如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m ，则所围成矩形ABCD 的最大面积是( ) A ．60 m 2 B ．63 m 2 C ．64 m 2 D ．66 m 2 2．用一根长为40 cm 的绳子围成一个面积为a cm 2的长方形，那么a 的值不可能为( ) A ．20 B ．40 C ．100 D ．120 3．用长8 m 的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图)，那么这个窗户的最大透光面积是 ( ) A.6425 m 2 B.43 m 2 C.83 m 2 D ．4 m 2 4．如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止，设小三角形移动的距离为x ，两个三角形重叠面积为y ，则y 关于x 的函数图象是( ) 5．如图，利用一面墙(墙的长度不超过45 m)，用80 m 长的篱笆围一个矩形场地．当AD ＝________时，矩形场地的面积最大，最大值为________． 6．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝8 cm ，BC ＝6 cm ，点P 从点A 开始沿AB 向B 点以2 cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 向C 点以1 cm/s 的速度移动，如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，当△PBQ 的面积为最大时，运动时间t 为________s. 7．将一根长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是________ cm2. 8．已知直角三角形两条直角边的和等于20，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大？最大值是多少？ 9．某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形，抽屉底面周长为180 cm，高为20 cm.请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少？(材质及其厚度等暂忽略不计) 二次函数与几何图形 模式1：平行四边形 分类标准：讨论对角线 例如：请在抛物线上找一点p 使得P C B A 、、、四点构成平行四边形，则可分成以下几种情况 （1）当边AB 是对角线时，那么有BC AP // （2）当边AC 是对角线时，那么有CP AB // （3）当边BC 是对角线时，那么有BP AC // 1、本题满分14分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点. (1)求抛物线的解析式； (2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S.求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值； (3)若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y=－x 上的动点，判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标. 2、如图1，抛物线322 ++-=x x y 与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D ． （1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴； （2）连结BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF //DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ． ①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？ ②设△BCF 的面积为S ，求S 与m 的函数关系． 模式2：梯形 分类标准：讨论上下底 例如：请在抛物线上找一点p 使得P C B A 、、、四点构成梯形，则可分成以下几种情况 （1）当边AB 是底时，那么有PC AB // （2）当边AC 是底时，那么有BP AC // （3）当边BC 是底时，那么有AP BC // 3、已知，矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A 的坐标为(4,0)，点C 的坐标为)20(-，，直线 x y 3 2 -=与边BC 相交于点D ． (1)求点D 的坐标； (2)抛物线c bx ax y ++=2 经过点A 、D 、O ，求此抛物线的表达式； (3)在这个抛物线上是否存在点M ，使O 、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 专题3: 二次函数中的面积计算问题 例1. 如图，二次函数 图象与 轴交于A,B两点(A在B的左边)，与 轴交于点C，顶点为M ， 为直角三角形, 图象的对称轴为直线 ，点 是抛物线上位于 两点之间的一个动点，则 的面积的最大值为（） A． B． C． D． 练习：1、如图，抛物线y＝－x 2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由． 例2.如图1，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B. （1）求抛物线和直线AB的解析式； （2）求△CAB的铅垂高CD及S△CAB ； （3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使 S△PAB＝ S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由. 练习：2、如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（0，2），O（0，0），B（4，0），把△AOB绕点O逆时针方向旋转90°得到△COD（点A转到点C的位置），抛物线y＝ax 2＋bx＋c(a≠0)经过C、D、B三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为P，求△PAB的面积； （3）抛物线上是否存在点M，使△MBC的面积等于△PAB的面积？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 因材教育二次函数中的面积最值问题 从近几年的各地中考试卷来看，求面积的最值问题在压轴题中比较常见，而且通常与二次函数相结合．使解题具有一定难度，本文以一道中考题为例，介绍几种不同的解题方法，供同学们在解决这类问题时参考． 如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由． 解答(1)抛物线解析式为 y＝－x2－2x＋3； (2)Q(－1，2)； 下面着重探讨求第(3)小题中面积最大值的几种方法． 一、补形、割形法 几何图形中常见的处理方式有分割、补形等，通过对图形的这些直观处理，一般能辅助解题，使解题过程简捷、明快．此类方法的要点在于把所求图形的面积进行适当的补或割，变成有利于表示面积的图形． 方法一 如图3，设P点（x，－x2－2x＋3）(－3 方法二如图4，设P 点(x ，－x 2－2x ＋3)(－3 与一次函数相关的面积专题复习说课稿 怀柔区第四中学刘长红尊敬的各位评委、老师： 大家好！我是怀柔四中的数学教师刘长红，能够参加这次教学研讨活动，我深感荣幸，今天我说课的题目是《与一次函数相关的面积专题复习》，选自京教版第16册第15章小结，下面我将从五个方面进行说明：指导思想与理论依据、教学背景分析、教学目标设置、教学策略分析、教学过程设计与实施。 一、指导思想与理论依据在《数学新课程标准》中强调要以学生发展为本，特别重视发挥学生主体在认识活动中的主动和能动作用。基于这样的思考，我设计了与一次函数相关的面积专题复习这节课。课标要求数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。本节课通过求与一次函数有关的三角形面积问题，调动学生关于一次函数已有的知识和求三角形面积的相关经验，在此基础上经过讨论，探究，进而给出证明，学生能清晰、有条理的表达自己的思考过程；能运用数学语言，合乎逻辑的进行讨论与质疑。在典例解析，合作探究这个环节引导学生积极参与合作、探究、解决问题的全过程，使学生在自主学习、探索、交流中会学数学和乐学数学，力求体现“以学生发展为本”的指导思想。 二、教学背景分析 （一）教材分析 “与一次函数相关的面积专题复习” 是北京版八年级数学教材第十五章小结中的内容。在此前，教材已经介绍了一次函数的概念、一次函数的图象、性质以及一次函数的简单应用等相关知识。本节既是在一次函数图象、性质的基础之上对平面直角坐标系内三角形面积的进一步研究，又是前面所学知识的深化和应用，还为研究二次函数中三角形面积或四边形面积奠定了基础。 基于此，确定本节课的教学重点利用一次函数的图象和性质解决与一次函数相关的面积问题。 （二）学情分析 在本节课学习之前, 学生已较好地掌握了一次函数的定义，一次函数的图象和性质以及解决简单的函数面积的相关内容, 但对求平面直角坐标系中任意三角形面积的方法还没有灵活掌握，且方法单一。因此本节的学习中, 教师适当地引导之后，让学生合作交流,自主探索获得与一次函数相关的三角形面积的多种解法。通过本节课的学习学生还能获得求平面直角坐标系内任意三角形的面积的通用方法。在探索三角形面积的多种解法时，学生遇到的主要困难是求三角形面积的方法单一以及不能对三角型面积的各种方法进行系统的归纳和提升。 如何求解二次函数中的面积最值问题 从近几年的各地中考试卷来看，求面积的最值问题在压轴题中比较常见，而且通常与二次函数相结合．使解题具有一定难度，本文以一道中考题为例，介绍几种不同的解题方法，供同学们在解决这类问题时参考． 题目（重庆市江津区） 如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由． 解答(1)抛物线解析式为 y＝－x2－2x＋3； (2)Q(－1，2)； 下面着重探讨求第(3)小题中面积最大值的几种方法． 一、补形、割形法 几何图形中常见的处理方式有分割、补形等，通过对图形的这些直观处理，一般能辅助解题，使解题过程简捷、明快．此类方法的要点在于把所求图形的面积进行适当的补或割，变成有利于表示面积的图形． 方法一 如图3，设P点（x，－x2－2x＋3）(－3 方法二 如图4，设P 点(x ，－x 2－2x ＋3)(－3 y A x B O C D 专题：二次函数与几何图形 一、二次函数与平行四边形 1．已知抛物线c bx ax y ++=2 )0(≠a 过点A （-3，0），B （1,0），C （0,3）三点 (1)求抛物线的解析式； (2) 若抛物线的顶点为P ，求∠PAC 正切值； (3)若以A 、P 、C 、M 为顶点的四边形是平行四边形， 求点M 的坐标. 2．已知一次函数1y x =+的图像和二次函数2 y x bx c =++的图像 都经过A 、B 两点，且点A 在y 轴上，B 点的纵坐标为5. （1）求这个二次函数的解析式； （2）将此二次函数图像的顶点记作点P ，求△ABP 的面积； （3）已知点C 、D 在射线AB 上，且D 点的横坐标比C 点 的横坐标大2，点E 、F 在这个二次函数图像上，且CE 、 DF 与y 轴平行，当CF ∥ED 时，求C 点坐标. 二、二次函数与相似三角形 3.如图，直线y ＝x ＋3与x 轴、y 轴分别交于点A 、C ，经过A 、C 两点的抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 与x 轴的负半轴上另一交点为B ，且tan ∠CBO=3． （1）求该抛物线的解析式及抛物线的顶点D 的坐标； （2）若点P 是射线BD 上一点，且以点P 、A 、B 为顶点的 三角形与△ABC 相似，求P 点坐标．【2014徐汇区】 1 2345 -1 -1-2 123456 x y O 图8 x y O O N C M B A 4.已知：在直角坐标系中，直线y=x+1与x 轴交与点A ，与y 轴交与点B ，抛物线 21 ()2 y x m n =-+的顶点D 在直线AB 上，与y 轴的交点为C 。 （1）若点C （非顶点）与点B 重合，求抛物线的表达式；（2015杨浦区） （2）若抛物线的对称轴在y 轴的右侧，且CD ⊥AB ，求∠CAD 的正切值； （3）在第（2）的条件下，在∠ACD 的内部作射线CP 交抛物线的对称 轴于点P ，使得∠DCP=∠CAD ，求点P 的坐标。 三、二次函数与特殊三角形（Rt △ 等腰△ 等腰Rt △） 5．如图，已知二次函数y=-x 2 +bx+c （c>0）的图像与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 左侧），与y 轴交于点C ，且OB=OC=3，顶点为M 。 （1）求二次函数的解析式。 （2）线段BM 上是否存在点N ，使得△NMC 为等腰三角形？ 若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说理。 6.已知二次函数y=ax 2 +bx+c (a ≠0)的图像经过点 (1)求此函数的解析式和对称轴. (2)试探索该抛物线在x 轴下方的对称轴上存在几个点P, 使△PAB 是直角三角形,并求出这些点的坐标. 二次函数与几何图形综合题 类型1二次函数与相似三角形的存在性问题 1．(2015·昆明西山区一模)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(4，0)，C(0，2)三点． (1)求这条抛物线的解析式； (2)P为线段BC上的一个动点，过P作PE垂直于x轴与抛物线交于点E，设P点横坐标为m，PE长度为y，请写出y与m的函数关系式，并求出PE的最大值； (3)D为抛物线上一动点，是否存在点D使以A、B、D为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 2．(2013·曲靖)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋4与坐标轴分别交于A，B两点，过A，B两点的抛物线为y＝－x2＋bx＋c.点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴于点C，交抛物线于点 E. (1)求抛物线的解析式； (2)当DE＝4时，求四边形CAEB的面积； (3)连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求出D点坐标；若不存在，说明理由． 3．(2015·襄阳)边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE＝DC.以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P从点C出发，沿射线CB以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．过点P作PF⊥CD 于点F.当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似？ (3)点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 二次函数——面积问题 〖知识要点〗 一．求面积常用方法： 1. 直接法（一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边） 2. 利用相似图形，面积比等于相似比的平方 3. 利用同底或同高三角形面积的关系 4. 割补后再做差或做和（三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形分解） 二．常见图形及公式 抛物线解析式y=ax 2 +bx+c (a ≠0) 抛物线与x 轴两交点的距离AB=︱x 1–x 2︱ =a ? 抛物线顶点坐标（-a b 2, a b ac 442 -） 抛物线与y 轴交点（0，c ） “歪歪三角形中间砍一刀” ah S ABC 21= ?，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. B C 铅垂高 水平宽 h a 图1 C B A O y x D B A O y x P 〖基础习题〗 1、若抛物线y=-x 2–x+6与x 轴交于A 、B 两点，则AB= ，此抛物线与y 轴交于点C ，则C 点的坐标为 ，△ABC 的面积为 . 2、若抛物线y=x 2 + 4x 的顶点是P ，与X 轴的两个交点是C 、D 两点，则△PCD 的面积是_____________. 3、已知抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于点A ，与x 轴的正半轴交于B 、C 两点，且BC=2，S △ABC =3，则b = ，c = ． 〖典型例题〗 面积最大问题 1、二次函数c bx ax y ++=2 的图像与x 轴交于点A （-1,0）、B （3 ，0），与y 轴交于点C ，∠ACB=90°. （1）求二次函数的解析式； （2）P 为抛物线X 轴上方一点，若使得△PAB 面积最大，求P 坐标 （3）P 为抛物线X 轴上方一点，若使得四边形PABC 面积最大，求P 坐标 (4) P 为抛物线上一点，若使得ABC PAB S S ??= 2 1，求P 点坐标。(完整版)二次函数与几何图形综合题.doc
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