数学建模一周论文论文题目：停车场的设计问题
姓名：唐磊
专业：自动化
班级：093121
学号：08312217
指导教师：乐励华
2012年11月9日
目录
1、摘要 (3)
2、问题的提出 (4)
3、模型假设和符号说明 (5)
3.1模型假设 (5)
3.2符号说明 (5)
4、问题分析 (6)
5、模型建立 (12)
5.1停车场泊位规划模型 (12)
5.1.1单辆车停车位最佳角度 (12)
5.1.2整体车位规划 (15)
6、模型的求解 (15)
7、结果的分析检验 (19)
8、建模心得体会 (21)
1、摘要
“停车难”的影响不仅仅局限于停车本身，还引发了一系列城市管理问题。“停车难”不仅加重了交通的拥堵，而且还带来了安全隐患问题。因此，解决停车与场地的问题已经成为城市发展的难题，已经迫在眉睫。对于如何设计好一个面积为100*200平方英尺的停车场，即设计在场地划线的方案问题已经是当今城市土地合理利用的一个重要方面。解决好了这样一个问题，就是给城市管理和城市建设带来了很大的作用。容易理解，如果将汽车按照与停车线构成直角的方向，一辆紧挨一辆地排列成行，则可以在停车场内塞进最大数量的汽车，但是对于那些缺乏经验的司机来说，按照这种方式停靠车辆是有困难的，它可能造成昂贵的保险费用支出。为了减少因停车造成意外损失的可能性，场主可能不得不雇佣一些技术熟练的司机专门停车；另一方面，如果从通道进入停车位有一个足够大的转弯半径，那么，看来大多数的司机都可以毫无困难地一次停车到位。当然通道越宽，场内所容纳的车辆数目也越少，这将使得场主减少收入。现在，有以下几个问题，问题一：对车子的一些车身结构和专业知识的了解。只有对汽车的知识有所了解还有一些数据的查询，就可以更好地更准确地建立停车的数学模型。当然，不同的车子的结构和参数是不一样的，我们通过假设将车子的大小长度都是固定不变的，这样才能够将问题更加具体直观。问题二：车子排放，因为停车的地方是以面积为100*200平方英尺大小地方，要合理安排车子的停放方向和过道宽窄度才能安全合理的将每辆车停好。问题三：停车场划线的数学方法和建立数学模型。通过问题一和问题二两个问题的讨论，将停车场划线设计跟数学建模联系一起，并通过数学模型解决现实中的实际问题。通过问题的确立，有些实际问题的变数很大，在建立数学模型之前，我们必须将现实问题模型化，即将现实中的问题具体化，统一化，数学化，那就需要对实际问题进行假设。我们是根据自己的思路和想法通过跟实际联系建立的这个数学模型，这个模型可能算不上是最优化的设计，但是我们通过这次设计学到了用数学模型解决一些问题的方法。也可以说我们是有收获的。
关键词：停车设计最优化数学模型
2、问题的提出
背景
“停车难”的影响不仅仅局限于停车本身，还引发了一系列城市管理问题。“停车难”不仅加重了交通的拥堵，而且还带来了安全隐患问题。因此，解决停车与场地的问题已经成为城市发展的难题，已经迫在眉睫。由于生活质量和收入水平的不断提高，越来越多的城市居民成为了“有车族”。在最近几年我国城市机动车的增长速度平均在15%左右，一个新的私家车消费高潮很快就要来到，而与此同时，城市的交通基础设施建设却相对落后，其中停车场地的缺乏和停车管理的不科学使得城市停车难的问题尤为突出，停车问题正在逐渐成为限制城市交通的“瓶颈”，给城市居民的生活带来了极大的不便。如何解决好城市停车问题，尤其是大型城市的停车问题，对维护城市交通系统的正常运作以及促进城市经济发展有着重要的现实意义。
问题
在New England的一个镇上，有一位于街角处面积100 200平方英尺的停车场，场主请你代为设计停车车位的安排方式，即设计在场地上划线的方案。
容易理解，如果将汽车按照与停车线构成直角的方向，一辆紧挨一辆地排列成行，则可以在停车场内塞进最大数量的汽车，但是对于那些缺乏经验的司机来说，按照这种方式停靠车辆是有困难的，它可能造成昂贵的保险费用支出。为了减少因停车造成意外损失的可能性，场主可能不得不雇佣一些技术熟练的司机专门停车；另一方面，如果从通道进入停车位有一个足够大的转弯半径，那么，看来大多数的司机都可以毫无困难地一次停车到位。当然通道越宽，场内所容纳的车辆数目也越少，这将使得场主减少收入。
问题一：我们需要对一些汽车的有关知识进行了解，我们需要考虑的有汽车长度，汽车的车宽还有转弯半径等等。只有对车辆的这些概念有所了解，我们才能更好的将实际问题跟数学模型建立起来，并通过数学假设，将实际的停车问题用数学模型予以模型化。
问题二：有了对问题一的了解后，我们就要考虑停车场的问题。停车场的大小和形状直接影响到车子停放的数量。怎样将最多的车子停放到固定的停车场内就需要考虑停车场内车子如何排放。合理安排车子的停放方向和过道宽窄度才能安全合理的将每辆车停好。
问题三：停车场设计划线方法和相应的数学模型建立联系，通过合理的数学模型将实际问题做到最优化。
对于问题三，我们需要对汽车的一些相关资料进行假设，我们将在假设的前提下对如何在固定的场地里停靠最多的汽车。
3、模型假设和符号说明
3.1模型假设
1）进入停车场的车型只考虑小型车，小型车的详细指标参见名词解释。
2）假设每辆车都能够按规定停车，不超出车位线。
3）每一位司机的驾驶能力都是一样的
4）每辆汽车的大小结构都是一样的
5）车子的车宽车长都是固定不变的
3.2符号说明
符号 符号说明
……………………………………车辆停放角度
n …………………………………………一区车位数
l ………………………………………………一区长度
a ………………………………………………车位长度
R ……………………准则层成对比较矩阵的特征向量
B …………………………各准则层下的成对比较矩阵
i b …………………………矩阵A 每行元素的积
i c …………………………(1,2,...,)i b n n 的次方根。
i ω……………………对向量12(,,,)T n C c c c = 作的归一化处理
max λ…………………………………………最大特征根
i U …………………………准则层第i 个因素的模糊综合评价向量
i R ………………………………准则层各因素的权向量
4、问题分析
（1）名词解释 轴距
简单的说,就是汽车前轴中心到后轴中心的距离。
在车长被确定后，轴距是影响乘坐空间最重要的因素，因为占绝大多数的2厢和3厢乘用车的乘员座位都是布置在前后轴之间的。长轴距使乘员的纵向空间增大，将大大增加影响车辆乘坐舒适性的脚部空间。虽然轴距并非决定车内空间的唯一因素，但却是根本因素。
不否认轴距短的车可以通过某些设计对内部空间狭小的问题加以弥补，但总的来说还是有限的。
图4.1
同时，轴距的长短对轿车的舒适性、操纵稳定性的影响很大。一般而言，轿车级别越高轴距越长。轴距越大，车厢长度越大，乘员乘坐的座位空间也越宽敞，抗俯仰和横摆性能越好，长轴距在提高直路巡航稳定性的同时，转向灵活性下降、转弯半径增大，汽车的机动性也越差。因此在稳定性和灵活性之间必须作出取舍，找到合适的平衡点。当然在高档长轴距的轿车上，这样的缺点已经被其他高科技装置所弥补
参考网址：https://www.doczj.com/doc/5e10721504.html,/shuyu/detail_3_4_132.html
转弯半径
转弯半径(RADIUS OF TURNING CIRCLE) 指当方向盘转到极限
位置时,外侧前轮轨迹圆半径.转弯半径在很大程度上代表了
汽车能够通过狭窄弯曲地带或绕开不可越过障碍物的能力。
图4.2 转弯半径直接影响汽车的机动性。转弯半径越小，汽车通过狭窄弯曲地带或绕开不可越过的障碍物的能力就越强，就越灵活。转弯半径与汽车的轴距、轮距
及转向轮的极限转角直接有关。轴距、轮距越大，转弯半径也越大；转向轮的极限转角越大，转弯半径就越小。
图4.3
转弯半径越小,汽车的机动性能越好.转向盘转到极限位置时的转弯半径为最小转弯半径。
参考网址：https://www.doczj.com/doc/5e10721504.html,/shuyu/detail_18_20_675.html
轮距
轮距是车轮在车辆支承平面(一般就是地面)
上留下的轨迹的中心线之间的距离。如果车
轴的两端是双车轮时，轮距是双车轮两个中
心平面之间的距离。
图4.4
汽车的轮距有前轮距和后轮距之分，前轮距是前面两个轮中心平面之间的距离，后轮距是后面两个轮中心平面之间的距离，两者可以相同，也可以有所差别。
一般来说，轮距越宽，驾驶舒适性越高，但是有些国产轿车没有方向助力的，如果前轮距过宽其方向盘就会很“重”，影响驾驶的舒适性。
此外，轮距还对汽车的总宽、总重、横向稳定性和安全性有影响。
一般说来，轮距越大，对操纵平稳性越有利，同时对车身造型和车厢的宽敞程度也有利，横向稳定性越好。但轮距宽了，汽车的总宽和总重一般也加大，而且容易产生向车身侧面甩泥的问题。因此，轮距应与车身宽度相适应。
参考网址：
https://www.doczj.com/doc/5e10721504.html,/shuyu/detail_3_4_132.html?lang=132
汽车长度
汽车之家产品库的长度数据是指的一款汽车从车头保险杠的最前端到车尾部保险杠车体最后端的距离。
注意：越野车的外置后备胎、前置拖车绞盘等设备不计入车身长度范围内。
图4.5
参考网址：https://www.doczj.com/doc/5e10721504.html,/shuyu/detail_18_20_275.html
（2）问题的背景分析
一般来说，想尽可能的把车塞进停车场，最好的办法就是以垂直停靠的方式将车一辆挤一辆地排成行，但是这样停放的后果就是车辆不能自由出入，只有后进入的车辆全部先出去了，先进入的车才可以离开停车场，显然不符合实际的需求。（如图1）因而，为了使汽车能够自由地出入停车场，必须设立一定数量具有足够宽度的通道，并且每个通道都应该有足够大的“转弯半径”，而通道越宽越多，就会使得容纳的车辆数越少。所以我们的问题就是要确定在满足车辆能够自由进出的实际需求下，如何进行停车位置和车行通道的设计，才能够停放更多的车辆，从而做到既方便停车又能获得最大的经济效益。通过对单个停车位进行分析，得到每辆车占据的停车场面积函数，由车辆所占的停车位面积和所占通道面积两部分组成，面积函数可以化为角度的一次函数，再对面积函数进行数学求解可以到车位最佳设计角度。把单个车位的设计模型拓展开到整个规划区域，排列得到规划区域的车位设计。
对停车场的效度评价，评价一个停车场停车位设计的好坏，还与整个停车场有关。对一个停车场的评价，首先考虑到停车是否安全，包括进出停车场行车过程的安全程度和停车安全程度，这里主要考虑停车过程的安全程度。其次，要考虑到停车场的效率，如果停车场空间利用率低，则不能充分利用停车场的资源，这样停车场的利用率肯定会比较低，效度评价也会不好，同样，如果进入停车场泊车需要等待很长时间，那么这个停车场肯定效度不好，所以时间和空间的利用率直接关系到停车场的效率性。另外，去停车场泊车的方便程度也与停车场的效度密切相关。
图4.6
（3）问题分析
车库设计成如下的正规长方形还是成一定度斜角型的
图4.7 用CAD 对车辆转弯半径做临界假设
5、模型建立
5.1停车场泊位规划模型
5.1.1单辆车停车位最佳角度
考虑到汽车从通车道驶入车位一般得转弯，所以车辆的最小转弯半径也是停车场设计所要考虑的重要参数。所谓最小转弯半径，就是汽车转弯时转向中心到汽车外侧转向车轮轨迹间的最小距离。根据实际调查，可设小轿车的最小转弯半径为1 5.5C =米，与此同时，汽车转弯时转向中心到汽车内侧转向车轮轨迹间的最小距离为21 1.7 3.8C C =-=米，如下图所示。
图5.1
对于每一个车位，为了便于该车位上的小轿车自由进出，必须有一条边是靠通道的，设该矩形停车位的长边与通道的夹角为(0)2
πθθ≤≤，其中2
πθ=便是车辆垂直从通道驶入车位，0θ=就是车辆从通道平行驶入车位，即平时所说的平行泊车。为了留出通道空间和减少停车面积，显然，我们可以假设该通道中的所有车位都保持着和该车位相同的角度平行排列，如图2所示。
车辆转弯图
上图中，小轿车是自东向西行驶顺时针转弯θ角度驶入车位的。我们来具体研究一下小轿车驶入车位的情况，见图3，其中1C 为最小转弯半径，R 为通道的最小宽度。我们假定小轿车的最外端在半径为1C 的圆周上行驶，
且此时轿车的最内端在半径为2C 的圆周上随之移动，然后以θ角度进入停车位，所以通道的最小宽度12cos R C C θ=-。
在保证车辆能够自由进出的前提下，本着要求通道宽度尽量小的原则，我们来看一下一排车位之间的各个数据，见下图。
图5.2 R
C2
C1
图5.3
每辆车均以角度θ停放，用W 表示小轿车停车位宽度，L 表示小轿车停车位长度（这里L 的最上方并没有取到最上端是考虑到车身以外的小三角形区域可以留给对面停车位使用），o L 表示停车位末端的距离，易见他们分别
是停车角θ的函数，且有
sin W C W θ
= 1sin cos 2
L W L C C θθ=+ 01(cot )cos 2
L W L C C θθ=+ 11cos 2W L C θ= 现在按照图4所示，计算一下每辆车占据的停车场面积()S θ.考虑最佳排列的极限情况，假设该排车位是无限长的，可以忽略该排车位两端停车位浪费掉的面积012
L L ?，因为它们被平均到每个车位上去的公摊面积很小，可以不计。从车辆所占的停车位来看，它占据的面积为W L ?，另外，它所占的通道的面积为W R ?。考虑到通道对面（也就是图4的下部）也可以有类似的一排车位可以相互借用此通道，所以可以对占用的通道面积减半，于是我们得到：
()212cos cos 122sin 2sin 2sin W W W W L C C C C C S WL WR C C θθθθθθ
=+=++- （1） 我们的目标就是求出()S θ的最小值。
将1 5.5C =米，2 3.8C =米，5L C =米， 2.5W C =米代人（1）式，可得 () 6.875 1.625cos 12.5sin sin S θθθθ=+-，()21.625 6.875cos sin S θθθ
-'=，
图5.4
所以当 1.62513cos 6.87555
θ==，即76.33θ?≈时，()S θ达到最小，且(){}min 19.18S θ=平方米。
需要说明的是，当0θ=时车位与车道平行，此时每辆车都得采用平行泊车的方式进入车位，这是现实生活中马路边的停车位常见的情况，在一般的停车场中几乎很少看到。平行泊车对驾驶员的技术要求较高，所以我们不考虑这样的情况。
上述对车位的局部分析表明，当停车位与通道夹角76.33θ?≈时，可以使每单位车辆占据停车场的面积达到最小。
5.1.2整体车位规划
根据中华人民共和国行业标准中汽车库建筑设计规范可知汽车与汽车、墙、柱、护栏之间最小净距如下表：
图5.5
6、模型的求解
图6为某公共场所附设的停车场，它是一个长90米，宽45米的矩形区域，该矩形区域的四个角落有照明灯设置，其占据矩形角上的形状为边长2.5米正方形，见图6的星号区域。区域南边，西边，北边是围墙，东边是马路，这是可以作为停车场出入口的唯一的一条边。根据对当地实际情况的调查，该停车场位设计应
考虑5至6个大型客车车位，其余都作为小轿车车位设计。现在我们就按照上述要求来对这块停车场进行车位的具体安排。
90米的停车场长边可以当作足够长的边来看待，我们将90米为一排来设计小轿车的车位，即每排车位与矩形的长边平行。在理想情况下，根据第一部分讨论可知，最佳设计下的车位长度为：
1sin cos 5sin 76.33 1.25cos 76.33 5.1542
L W L C C θθ??=+=+=（米） 停车场通道宽度为：
12cos 5.5 3.8cos76.33 4.602R C C θ?=-=-=（米）
， 所以，理想情况下的一组（即两排车位中间加一条行通车道）的宽度约为：
214.91L R +=（米）
于是，45米宽可以考虑安置三组这样的车位，如图6的Ⅰ，Ⅱ和Ⅲ。
在小轿车的总体布局确定下来后，我们再来具体确定大型客车的车位。考虑到大型车的转弯半径比较大，借用专门为小轿车车位设计的通道是肯定不行的。相对来说，大型客车停车位只占总停车位的很小一部分，在设计停车场的位置市，为了节省面积以增加车位数，应该将所有大客车位置放在一块，同样以矩形并排的形式放置。大客车在停车场中的停放方式也可以采用直角停放的停车方式，并按照其特殊的位置设置特殊宽度的通道。另外考虑到其进出上的困难情况，一般可安置在停车场的出口部分，例如，将其安排在东边靠马路处（注：东边临街，
没有围墙），且垂直东边的马路横向占用小轿车的车位设置6个大型客车车位，大客车可直接由马路开进停车位，见图6的右边6个横向车位。
剩下的事情就是得解决出入口问题了，由于只能在东边设置出入口，并且Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三组区域为相互能借助对方区域的车位排列位置设置，通道形式方向应该间隔，即Ⅰ向东，Ⅱ向西，Ⅲ向东，或者Ⅰ向西，Ⅱ向东，Ⅲ向西。为此，必须在停车场的最西边设置南北走向的一排通道，以便让Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ区车位的车辆都能够换向出入，具体可以参照图6的设置。
最后，考虑到既然在最西边已经设置了南北走向的一排通道，我们可以在该通道的西边设置一排车位，此时该车位设计的车辆出入可以占用南北通道，所以这排车位的设计是最合理的，如图6中的区域Ⅳ.
根据如上的分析，我们对该停车场的车位大致设计成图 6.东边的中部为入口，北部和南部为出口，这样，即使在车辆较多的时候不至于难以驶出，通道方向也如图6所示。大型客车的车位已经确定为6个，小轿车车位的个数我们将根据Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的车位角度θ进行变化。
由于东西走向的通道和南北走向通道已经是垂直拐弯，所以毫无疑问，区域Ⅳ的车位将垂直排列，去掉两边照明灯设置后西边宽度为40米，正好可以设置16个车位（2.5米宽和5米长），垂直于西边。我们可以计算出西边通道的宽度为12cos 5.52R C C π
=-=（米）。考虑到对称性质，我们设横向的6排的小轿车位
个数分别是1X ，2X ，2X ，2X ，2X ，1X 个，并建立如下的小轿车车位个数模型：
12max 2416X X X =++
1020325 2.5905 5.5290..63cos 450,1,202
W L W i B L X W L X W L B s t L R C X i θπθ≤??+++≤??++++≤??++≤?>=??≤≤??且为整数 （4）
将公式sin W C W θ=，1sin cos 2L W L C C θθ=+，01(cot )cos 2L W L C C θθ=+，12cos R C C θ=-和数据5L C =, 2.5W C =,1 5.5C =，2 3.8C =，12.5L B =，3W B =分
别代人（4）式，化简后可得：
12max 2416X X X =++ 21
221820sin 5cos 33sin 2sin cos 0.5cos 26.8sin 4sin cos cos ..300sin 14cos 2850,1,202
i X X s t X i θθθθθθθθθθθθπθ≤+??≤--??≤--??-≤?>=??≤≤??且为整数 （5） 对于模型（5），如直接利用计算机编程求解会遇到一些麻烦，先是涉及θ的变化，然后又涉及1X 和2X 。为此，我们先用微积分知识来讨论一下。
对于第一个限制条件1820sin 5cos θθ≤+，设()120sin 5cos f θθθ=+，易求
得
()120cos 5sin f θθθ'=- 当1tan 4θ=时，函数有唯一的驻点，所以()1f θ在0,4π??????
内的最大值为()1111max 0,arctan ,1844f f f π??????≥?? ? ??????
? 于是，θ的取值范围应限制在区间,42ππ??????内，容易发现当,42ππθ??∈????
时， 20sin 5cos θθ+，233sin 2sin cos 0.5cos θθθθ--
226.8sin 4sin cos cos θθθθ--，300sin 14cos θθ-
都为严格单调递增函数，这是求上面模型解的关键所在。只要求出
1820sin 5cos θθ≤+和300sin 14cos 285θθ-≤
的解集的交集，然后选取该交集中最大的θ即可，记此最大的θ为0θ，取
21000033sin 2sin cos 0.5cos 31X θθθθ??=--=??
和22000026.8sin 4sin cos cos 23X θθθθ??=--=??
模型的解就得到了（式中[]...表示取整运算）。
利用数值计算或者计算机编程容易求出1820sin 5cos θθ≤+的解集为
46.78890θ??≤≤，300sin 14cos 285θθ-≤的解集为45
74.288θ??≤≤，于是454.78874.28θ?≤≤
，取 74.288θ?=
21000033sin 2sin cos 0.5cos 31X θθθθ??=--=??
22000026.8sin 4sin cos cos 23X θθθθ??=--=??
所以最后得到小轿车车位数目应该为170个，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ区域的停车位方位角可取74?左右。
7、结果的分析检验
1、优点
1对现实中的停车库进行了模型的假想，有利于问题的简化工作。
2）在对停车场进行效度评价时把模糊综合评价法与层次分析法结合在一起，很巧妙地处理了复杂系统的评价，而且提高了评价的可靠性。
3）在度量不确定指标时采用了稳健性原则，对于不确定的指标给予较低的评价，以最大程度保证稳定性。
4）本文提出的模糊综合模型对停车场的效度进行评估可以将难以量化
的因素进行量化，且将各个指标的不确定性通过模糊数学的方法使其变为确定性指标。
2.缺点
1）在评价停车场效度时用的主要是主观评价法，难免可能产生误差，有失客观性。
2）在两两比较矩阵的确定上，存在一定的主观性。
3）本文是对模型的假设，但是现实生活中可能会出现更多复杂的问题，如果要运用到现实车库的建设上，还需根据实际车辆的大小及车型情况进行车库大小的改正。
参考文献：
[1] 何文章，宋作忠，数学建模与实验[M].哈尔滨工程大学出版社，2002
[2] 周明，孙树栋，遗传算法原理及应用[M]。北京：国防工业出版社，1999
[3] Williams H P. Model Building in Mathematical Programming. John Wiley &Sons, 1978
参考网址：
2.https://www.doczj.com/doc/5e10721504.html,/shuyu/detail_3_4_132.html
3. https://www.doczj.com/doc/5e10721504.html,/shuyu/detail_18_20_675.html
数学建模部分课后习题解答 中国地质大学 能源学院 华文静 1.在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？ 解： 模型假设 （1） 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形 （2） 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况）， 即从数学角度来看，地面是连续曲面。这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件 （3） 椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。为了保证这一点，要求对于椅脚的间 距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的。因为在地面上椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰（即使是连续变化的），此时三只脚是无法同时着地的。 模型建立 在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来。首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动。生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换。然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的。于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形。 注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地。把长方形绕它的对称中心旋转，这可以表示椅子位置的改变。于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置。为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题。 设椅脚连线为长方形ABCD,以对角线AC 所在的直线为x 轴，对称中心O 为原点，建立平面直角坐标系。椅子绕O 点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD 转至A1B1C1D1的位置，这样就可以用旋转角）0（πθθ≤≤表示出椅子绕点O 旋转θ后的位置。 其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地。由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数。 由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数，而由假设（3）可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0。因此，只需引入两个距离函数即可。考虑到长方形ABCD 是对称中心图形，绕其对称中心O 沿逆时针方向旋转180度后，长方形位置不变，但A,C 和B,D 对换了。因此，记A ，B 两脚与地面竖直距离之和为)(θf ，C,D 两脚之和为 )(θg ，其中[]πθ，0∈，使得)()(00θθg f =成立。 模型求解 如果0)0()0(== g f ，那么结论成立。
基于数学建模的停车场优化设计 张伟 江西旅游商贸职业学院江西南昌330000 摘要：停车场的优化设计就是在停车场大小确定的情况下，对停车区域进行优化设计，以便容纳更多的车辆。文章通过数学建模方法探讨停车场的优化设计，的目的就是希望找出缓解停车困难的有效办法。 关键词：数学建模；停车场优化；应用数学 一、引言 假设某公共场所附近有一块空地，如果不考虑建设地下或多层结构，我们该如何有效的设计停车位置呢？一般来说，想尽可能的把车塞进停车场，最好的办法就是以垂直停靠的方式将车一辆挤一辆地排成行，但是这样停放的后果就是车辆不能自由出入，只有后进入的车辆全部先出去了，先进入的车才可以离开停车场，显然不符合实际的需求。因而，为了使汽车能够自由地出入停车场，必须设立一定数量具有足够宽度的通道，并且每个通道都应该有足够大的“转弯半径”，而通道越宽越多，就会使得容纳的车辆数越少。 我们先来看看生活中非货运车辆大小的种类。根据实际调查和经验数据，这类车辆一般可分为小轿车，中型客车和大型客车三类。其中小轿车约占九成，大型客车约占一成，而中型客车一般不多于1%。根据这样的情况，我们可以免去对中型客车的车位设计，即便有中型客车停车的需要，可以使用大型车的车位，这也符合现实生活中绝大多数停车场的车位设计情况。我们设小轿车所占的比例为0.9α=,大型客车所占的比例为10.1α?=。 再来看看车位的大小。根据实际的调查，城市内比较普通的小轿车长度一般不超过4.7米，宽度一般不超过1.7米，而一般大型客车长度不超过12米，宽度不超过2.2米。另外，经实际考察可知，停车场中标志线的宽度大约为0.1米，所以我们可以假设停车场中停放轿车需要的车位长5L C =米，宽 2.5W C =米，这其中包括了0.1米的标志线宽度和至少0.3米的汽车间的横向间距。设停放大客车需要长12.5L B =米，宽3W B =米，其中包括0.1米的标志线宽度和必要的汽车之间的横向间距。 考虑到汽车从通车道驶入车位一般得转弯，所以车辆的最小转弯半径也是停车场设计所要考虑的重要参数。所谓最小转弯半径，就是汽车转弯时转向中心到汽车外侧转向车轮轨迹间的最小距离。根据实际调查，可设小轿车的最小转弯半径为1 5.5C =米，与此同时，汽车转弯时转向中心到汽车内侧转向车轮轨迹间的最小距离为21 1.7 3.8C C =?=米，如图1所示。
数学建模作业——实验1 学院：软件学院 姓名： 学号： 班级：软件工程2015级 GCT班 邮箱： 电话： 日期：2016年5月10日
基本实验 1.椅子放平问题 依照1.2.1节中的“椅子问题”的方法，将假设中的“四腿长相同并且四脚连线呈正方形”，改为“四腿长相同并且四脚连线呈长方形”，其余假设不变，问椅子还能放平吗？如果能，请证明；如果不能，请举出相应的例子。 答：能放平，证明如下： 如上图，以椅子的中心点建立坐标，O为原点，A、B、C、D为椅子四脚的初始位置，通过旋转椅子到A’、B’、C’、D’，旋转的角度为α，记A、B两脚，C、D两脚距离地面的距离为f(α)和g(α)，由于椅子的四脚在任何位置至少有3脚着地，且f(α)、g(α)是α的连续函数，则f(α)和g(α)至少有一个的值为0，即f(α)g(α)=0，f(α)≥ 0，g(α)≥0，若f(0)＞0，g(0)=0，
则一定存在α’∈（0，π），使得 f(α’)=g(α’)=0 令α=π（即椅子旋转180°,AB 边与CD 边互换），则 f(π)=0，g(π)＞0 定义h(α)=f(α)-g(α)，得到 h(0)=f(0)-g(0)＞0 h(π)=f(π)-g(π)＜0 根据连续函数的零点定理，则存在α’∈（0，π），使得 h(α’)=f(α’)-g(α’)=0 结合条件f(α’)g(α’)=0,从而得到 f(α’)=g(α’)=0，即四脚着地，椅子放平。 2. 过河问题 依照1.2.2节中的“商人安全过河”的方法，完成下面的智力游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米之一，而当人不在场时，猫要吃鸡、鸡要吃米，试设计一个安全过河的方案，并使渡河的次数尽量的少。 答：用i =1,2,3,4分别代表人，猫，鸡，米。1=i x 在此岸，0=i x 在对岸，()4321,,,x x x x s =此岸状态，()43211,1,1,1x x x x D ----=对岸状态。安全状态集合为 :
江西师范高等专科学校 论文题目：十字路口绿灯亮30秒，最多可以通过多少辆汽车？ 组长：肖根金学号：9015300135 班级：15数教1班 组员：叶强学号：9015300143 班级：15数教1班 组员：谭伟学号：9015300132 班级：15数教1班 2017年4月15日
目录 一、问题重述 (3) 1.1问题背景 (3) 1.2问题简述 (4) 二、模型假设 (4) 3.1 停车位模型 (5) 3.2 启动时间模型 (5) 3.3 行驶模型 (5) 三、模型建立 (5) 四、模型求解 (5) 五、模型的检验与应用 (6) 5.1调查一个路口有关红绿灯的数据验证模型是否正确 5.2分析绿灯亮后，汽车开始以最高限速穿过路口的时间 5.3给出穿过路口汽车的数量n随时间t变化的数学模型 六、模型的评价 (6) 6.1 模型的优点 (6) 6.2 模型的缺点 (7) 参考文献
一、问题重述 1.1问题背景 随着经济和社会快速发展,我国城市道路建设增多,出行车辆增加,城市交通进入了快速发展阶段,城市交通的几个问题,即交通阻塞、交通事故、公共交通问题城市，道路交通问题日益突出.,为城市交通建设和路网规划提供方案和依据,达到优化城市道路交通状况的目的.因此我们针对于交通问题事故，将“十字路口绿灯亮30秒问题”单独列出以建模的形式来进行合理的规划，让十字路口的交通，更安全。在每年的节假时间里，有很多的人喜欢去旅游，交通的拥挤阻塞已经是很大问题，好多事故的发生。这是我们不愿意见到的事实。“十字路口绿灯亮30时间”对于现在的这个新时代的我们来说，城市的汽车车水马龙，它的合理设计是十分重要的。在交通管理中，绿灯的作用是为了维持交通秩序。在十字路口行驶的车辆中，主要因素是机动车辆，驶近交叉路口的驾驶员，在看到绿色信号后要通过路口。利用数学模型解决绿灯在十字路口亮30秒的问题，可以减少交通事故的发生，也相对合理的运用社会科学知识解决实际问题。某一天一个式子路口的绿灯灯亮30秒，那么能通过几辆汽车呢？ 1.2问题简述 因为十字路口的交通现象较复杂，通过路口的车辆的多少依赖于路面上汽车的型号，数量和它们的行驶速度和方向以及同时穿过路口的非机动车辆的行人的状态等因素有关，因此，我们在求解“十字路
第一部分课后习题 1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学 生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。 （2）2.1节中的Q值方法。 （3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表： 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。 如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结果列表比较。 （4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。 2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。 （1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。 （2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么。 3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部 只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）： 先用机理分析建立模型，再用数据确定参数 4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角 应 多大（如图）。若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）。如果管道是其他形状呢。
医院停车场规划问题 摘要 本题是个优化设计问题，通过合理设计停车场的停车方式和通道大小使得停车场在有限的区域下能停放的下更多的车辆，为医院患者解决停车难的问题。 针对于问题1，由于该医院挂号是从7:30开始，但8:00之后医生才开始门诊，每个患者平均门诊时间为1小时30分钟。所以在7:30-8:00之间来的患者要到9:30才能离开医院，而在8:00之后来的患者只需门诊1小时30分钟就可离开医院。于是，可通过用Excel表对表1数据进行处理和分析，以每五分钟为单位，统计此时停车场停放的车辆数。因此，根据统计结果可知在周二9:30这个时刻医院的车辆数最多为229辆。所以，医院至少需要有229个车位才能够使得每一位患者的车到停车场就有车位停车。 对于问题2， 对于问题3，根据问题1结果可知医院至少要有229个车位才能使患者车到就有车位停车，而由问题2的结果可知，新建的停车场最多只有162个停车位，远远不能满足实际需要。所以问题可转化为从政府部门、医院以及患者的角度提出一些可行性的建议来解决这个问题。政府部门可以从建设新的停车场，开设便利的公交路线等方法来解决这一问题；医院可以通过合理利用医院内部的土地，为医护人员的上班提供便利等方法老解决这一问题；患者可以有意识的不占用停车位，按规定停车，尽可能的乘坐公交车或出租车来医院就诊。 关键词：
一、问题重述 问题背景： 随着现代技术的发展,人民生活条件的不断改善，小轿车的普及率越来越高. 患者自己开车到医院看病的情况也越来越普遍. 然而, 福州市的医院普遍存在停车位不足, 患者停车难的问题. 某医院原有若干个停车位, 零散分布于院内建筑楼房四周以及道路两侧. 现医院经重新规划整合，拆除部分旧楼，在门诊大楼旁整出一个长方形地块（见附录一），准备建公用停车场，用于患者停放小轿车. 该医院8:00开始门诊, 挂号从7:30开始, 每个患者平均门诊时间1小时30分钟(包括候诊、问诊、缴费和取药). 表1（见附录二）是某一周每天从7:30-11:30每5分钟统计的到达车辆数据。11:30-12:00以及下午，门诊患者相对较少，故未做统计. 问题提出： 问题1：假设患者取完药就开车离开，医院至少要有多少个车位能够使得患者车到就有车位停车? 问题2：根据图1的地块，设计停车场车位分布图. 设小轿车长度不超过5.2米，宽度不超过2.0米，因此，每个停车位的长度为5.6米，宽度为2.6米，车位标志线0.1米（不含在车位长、宽之内）. 小轿车的转弯最小外半径和内半径分别为6.0米和4.0米，这里转弯最小外、内半径分别是指汽车转向时转向中心到汽车外侧、内侧车轮轨迹的最小距离，为了安全起见，停车场内通道的设计宽度应比理论宽度多至少0.2米，这样在小车转弯时，内侧只需按内半径考虑，不用担心小车转向内侧是否会与相邻车位车辆刮擦问题. 停车场设计入口一个，设置在东面，设计出口两个，设计在南面，请问该小轿车停车场最多能设计多少停车位？ 问题3：按照目前的状况，新建的停车场是否能够满足患者停车需要？如果不能满足停车需要，请向政府部门或医院提出一些建议解决这一问题。
郑重声明： 本作业仅供参考，可能会有错误，请自己甄别。 应用运筹学作业 6.某工厂生产A，B，C，D四种产品，加工这些产品一般需要经刨、磨、钻、镗四道工序，每种产品在各工序加工时所需设备台时如表1-18所示，设每月工作25天，每天工作8小时，且该厂有刨床、磨床、钻床、镗床各一台。问：如何安排生产，才能使月利润最大？又如A，B，C，D四种产品，每月最大的销售量分别为300件、350件、200件和400件，则该问题的线性规划问题又该如何？ 1234 四种产品的数量，则得目标函数： Max=(200?150)x1+(130?100)x2+(150?120)x3+(230?200)x4 =50x1+30x2+30x3+30x4 生产四种产品所用时间： (0.3+0.9+0.7+0.4)x1+(0.5+0.5+0.5+0.5)x2+(0.2+0.7+0.4+ 0.8)x3+(0.4+0.8+0.6+0.7)x4≤25×8 即：2.3x1+2.0x2+2.1x3+2.5x4≤200 又产品数量不可能为负，所以：x i≥0(i=1,2,3,4) 综上，该问题的线性规划模型如下： Max Z=50x1+30x2+30x3+30x4 S.T.{2.3x1+2.0x2+2.1x3+2.5x4≤200 x i≥0(i=1,2,3,4) 下求解目标函数的最优解： max=50*x1+30*x2+30*x3+30*x4; 2.3*x1+2.0*x2+2.1*x3+2.5*x4<200; Global optimal solution found. Objective value: 4347.826 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X1 86.95652 0.000000 X2 0.000000 13.47826 X3 0.000000 15.65217
建模实习作业题 之红绿灯闪烁模型班级：计算1502
交通管理中非数字灯闪烁时间模型 摘要 本文在了解过车辆通过红绿灯所遇见的情况，以及对车型的分析下，重点通过常微分方程建立起时间，刹车距离，以及刹车制动因素相关的数学模型。 在问题中对红绿灯灯应闪烁时间做出等价转换，闪烁的意图是让车辆在黄灯前停在停止线前，对于影响车辆刹车距离的因素主要由车辆制动力控制，闪烁时间应为驾驶员观察到信号变换反应的时间与驾驶员制动使车辆停在停车线所需时间之和。在法定通过红绿灯的速度下对大型车辆进行讨论，因为小型车辆制动距离明显小于大型载货汽车。 对于模型的评价，本文采用与实际生活中数据以及对车辆理论数据进行对比，以此检验模型建立的合理性及正确性。 最后，本文分析了现有模型的缺陷，并提出进一步改进方法，使之与贴合生活方面进一步。 【关键词】微分方程；刹车制动力；制动因素
目录 一、问题重 述………………………………………………………………………………… …4 二、基本假 设………………………………………………………………………………… …4 三、符号说 明………………………………………………………………………………… …4 四、模型建立、分析与求 解 (5) 五、模型评价与改 进 (6) 六、参考文 献 (7)
一、问题重述 从2013年元月一日，国家开始实行新的交通法规。在十字路口的交通管理中，最大而且最有争议的改变是闯黄灯。在以前的交规中，亮红灯之前要亮一段时间黄灯，这是为了让那些行驶在十字路口或距十字路口太近以致无法停下来的车辆通过路口.现在规定闯黄灯也是违规行为，为了不违反交通法规，对有时间数字的交通灯，司机根据时间数字可以提前对自己的行动作出决策，但还有很多交通灯是非数字的，这就不可避免的对司机的判断造成障碍，为此，非数字的交通灯在变灯前加入了闪烁，以提醒司机。为了让司机在十字路口有足够的时间决定过不过马路，请你考察实际生活中的道路，给出最佳的闪烁时间。 二、基本假设 1.假设刹车途中，刹车制动力恒定 2.行驶过程中没有意外事故
西南大学2014年春《数学建模》作业及答案(已整理) 第一次作业 1：[填空题] 名词解释: 1．原型 2．模型 3．数学模型 4．机理分析 5．测试分析 6．理想方法 7．计算机模拟 8．蛛网模型 9．群体决策 10．直觉 11．灵感 12．想象力 13．洞察力 14．类比法 15．思维模型 16．符号模型 17．直观模型 18．物理模型19．2倍周期收敛20．灵敏度分析21．TSP问题22．随机存储策略23．随机模型24．概率模型25．混合整数规划26．灰色预测 参考答案： 1．原型：原型指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。2．模型：指为某个特定目的将原形的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。3．数学模型：是由数字、字母或其它数字符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法。4．机理分析：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律，建立的模型常有明显的物理意义或现实意义。5．测试分析：将研究对象看作一个"黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合得最好的模型。6．理想方法：是从观察和经验中通过想象和逻辑思维，把对象简化、纯化，使其升华到理状态，以其更本质地揭示对象的固有规律。7．计算机模拟：根据实际系统或过程的特性，按照一定的数学规律用计算机程序语言模拟实际运行情况，并依据大量模拟结构对系统或过程进行定量分析。8．蛛网模型：用需求曲线和供应曲线分析市场经济稳定性的图示法在经济学中称为蛛网模型。9．群体决策：根据若干人对某些对象的决策结果，综合出这个群体的决策结果的过程称为群体决策。10．直觉：直觉是人们对新事物本质的极敏锐的领悟、理解或推断。11．灵感：灵感是指在人有意识或下意识思考过程中迸发出来的猜测、思路或判断。12．想象力：指人们在原有知识基础上，将新感知的形象与记忆中的形象相互比较、重新组合、加工、处理，创造出新形象，是一种形象思维活动。13．洞察力：指人们在充分占有资料的基础上，经过初步分析能迅速抓住主要矛盾，舍弃次要因素，简化问题的层次，对可以用那些方法解决面临的问题，以及不同方法的优劣作出判断。14．类比法：类比法注意到研究对象与以熟悉的另一对象具有某些共性，比较二者相似之处以获得对研究对象的新认识。15．思维模型：指人们对原形的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接储存于人脑中，从而可以根据思维或直觉作出相应的决策。16．符号模型：是在一定约束条件或假设下借助于专门的符号、线条等，按一定形式组合起来描述原型。17．直观模型：指那些供展览用的实物模型以及玩具、照片等，通常是把原型的尺寸按比例缩小或放大，主要追求外观上的逼真。18．物理模型：主要指科技工作者为一定的目的根据相似原理构造的模型，它不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以用来进行模拟实验，间接地研究原型的某些规律。19．2倍周期收敛：在离散模型中，如果一个数列存在两个收敛子列就称为2倍周期收敛。20．灵敏度分析：系数的每个变化都会改变线性规划问题，随之也会影响原来求得的最优解。为制定一个应付各种偶然情况的全能方法，必须研究以求得的最优解是怎样随输入系数的变化而变化的。这叫灵敏性分析。21．TSP问题：在加权图中寻求最佳推销员回路的问题可以转化为在一个完备加权图中寻求最佳哈密顿圈的问题，称为TSP问题。22．随机存储策略：商店在订购货物时采用的一种简单的策略，是制定一个下界s和一个上界S，当周末存货不小于s时就不定货；当存货少于s 时就订货，且定货量使得下周初的存量达到S，这种策略称为随机存储策略。23．随机模型：如果随机因素对研究对象的影响必须考虑，就应该建立随机性的数学模型，简称为随机模型。24．概
案例16 停车场的优化设计 随着城市车辆的增加，停车位的需求量也越来越大，停车困难已逐渐成为市民们头疼的问题。要解决停车难问题，除了尽可能的增加停车场以外，对停车场进行优化设计也能在一定程度上缓解这一供需矛盾。停车场的优化设计就是在停车场大小确定的情况下，对停车区域进行优化设计，以便容纳更多的车辆。本文的目的就是希望分析一下这一情况，找出缓解停车困难的有效办法。 假设某公共场所附近有一块空地，如果不考虑建设地下或多层结构，我们该如何有效的设计停车位置呢一般来说，想尽可能的把车塞进停车场，最好的办法就是以垂直停靠的方式将车一辆挤一辆地排成行，但是这样停放的后果就是车辆不能自由出入，只有后进入的车辆全部先出去了，先进入的车才可以离开停车场，显然不符合实际的需求。因而，为了使汽车能够自由地出入停车场，必须设立一定数量具有足够宽度的通道，并且每个通道都应该有足够大的“转弯半径”， 而通道越宽越多，就会使得容纳的车辆数越少。所以我们的问题就是要确定在满足车辆能够自由进出的实际需求下，如何进行停车位置和车行通道的设计，才能够停放更多的车辆，从而做到既方便停车又能获得最大的经济效益。 我们先来看看生活中非货运车辆大小的种类。根据实际调查和经验数据，这类车辆一般可分为小轿车，中型客车和大型客车三类。其中小轿车约占九成，大型客车约占一成，而中型客车一般不多于1%。根据这样的情况，我们可以免去对中型客车的车位设计，即便有中型客车停车的需要，可以使用大型车的车位，这也符合现实生活中绝大多数停车场的车位设计情况。我们设小轿车所占的比例为0.9α=,大型客车所占的比例为10.1α-=，当然现实中也有不少全为小轿车设计的停车场，例如小区的地下车库。 再来看看车位的大小。根据实际的调查，城市内比较普通的小轿车长度一般不超过4.7米，宽度一般不超过1.7米，而一般大型客车长度不超过12米，宽度不超过2.2米。另外，经实际考察可知，停车场中标志线的宽度大约为0.1米，所以我们可以假设停车场中停放轿车需要的车位长5L C =米，宽 2.5W C =米，这其中包括了0.1米的标志线宽度和至少0.3米的汽车间的横向间距。设停放大客车需要长12.5L B =米，宽3W B =米，其中包括0.1米的标志线宽度和必要的汽
习 题 1 1. 请编写绘制以下图形的MA TLAB 命令，并展示绘得的图形. (1) 221x y +=、224x y +=分别是椭圆2241x y +=的内切圆和外切圆. (2) 指数函数x y e =和对数函数ln y x =的图像关于直线y=x 对称. (3) 黎曼函数 1, (0)(0,1) 0 , (0,1), 0,1 q x p q q x y x x x =>∈?=? ∈=?当为既约分数且当为无理数且或者 的图像（要求分母q 的最大值由键盘输入）. 3. 两个人玩双骰子游戏，一个人掷骰子，另一个人打赌掷骰子者不能掷出所需点数，输赢的规则如下：如果第一次掷出3或11点，打赌者赢；如果第一次掷出2、7或12点，打赌者输；如果第一次掷出4、5、6、8、9或10点，记住这个点数，继续掷骰子，如果不能在掷出7点之前再次掷出该点数，则打赌者赢. 请模拟双骰子游戏，要求写出算法和程序，估计打赌者赢的概率. 你能从理论上计算出打赌者赢的精确概率吗？请问随着试验次数的增加，这些概率收敛吗？
4. 根据表1.14的数据，完成下列数据拟合问题： (1) 如果用指数增长模型0()0()e r t t x t x -=模拟美国人口从1790年至2000年的变化过程，请用MATLAB 统计工具箱的函数nlinfit 计算指数增长模型的以下三个数据拟合问题： (i) 取定0x =3.9，0t =1790，拟合待定参数r ； (ii) 取定0t =1790，拟合待定参数0x 和r ； (iii) 拟合待定参数0t 、0x 和r . 要求写出程序，给出拟合参数和误差平方和的计算结果，并展示误差平方和最小的拟合效果图. (2) 通过变量替换，可以将属于非线性模型的指数增长模型转化成线性模型，并用MA TLAB 函数polyfit 进行计算，请说明转化成线性模型的详细过程，然后写出程序，给出拟合参数和误差平方和的计算结果，并展示拟合效果图. (3) 请分析指数增长模型非线性拟合和线性化拟合的结果有何区别？原因是什么？ (4) 如果用阻滞增长模型00 () 00()()e r t t Nx x t x N x --= +-模拟美国人口从1790年至2000年的变化过程，请用MA TLAB 统计工具箱的函数nlinfit 计算阻滞增长模型的以下三个数据拟合问题： (i) 取定0x =3.9，0t =1790，拟合待定参数r 和N ； (ii) 取定0t =1790，拟合待定参数0x 、r 和N ； (iii) 拟合待定参数0t 、0x 、r 和N . 要求写出程序，给出拟合参数和误差平方和的计算结果，并展示误差平方和最小的拟合效果图. 年份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890
十字路口红绿灯的合理设置 陈金康 检索词：红绿灯设置、红绿灯周期 一、问题的提出 作为城市交通的指挥棒，红绿灯对交通的影响起着决定性作用。如果红绿灯的设置不合理，不仅会影响到交通秩序；还有可能会影响到行人和自行车的安全。 目前杭城还有很多路口的红绿灯设置存在一些不合理的因素，我们以古墩路一个路口(界于天目山路和文苑路之间)的红绿灯设置为例，该路口是刚开通的，交管部门对路况和车流量的研究还不是很成熟，因此红绿灯的设置存在一些问题。该路口的车流量相对比较小，有几个方向的车流量特别小，但绿灯时间设置太长，经常出现路口空荡荡但是车辆必须长时间等待的情况；同时在这样的路口，右转红灯显得有些多余。另外，该路口不同时段的红绿灯设置没有什么区别，显然这是非常不合理的。 下面我们就针对该路口来研究一下红绿灯设置的合理方案。我们主要研究两个方面：红绿灯周期的设置以及一个周期内各个方面开绿灯的时间。 二、模型的建立 1、红绿灯周期 从《道路交通自动控制》中，我们可以找到有关红绿信号灯的最佳周期公式： s q L C ∑ -+= 15 其中 : C 为周期时间。 相位：同时启动和终止的若干股车流叫做一个相位。 L 为一个周期内的总损失时间。每一相位的损失时间I=启动延迟时间-结束滞后时间；而整个周期的总损失时间为各个相位总损失时间的和加上各个绿灯间隔时间R 。（通俗地讲，启动延迟时间即司机看到绿灯到车子启动的反应时间，结束滞后时间即绿灯关闭到最后一辆车通过的时间。） 即R I L +∑= q 为相应相位的车流量 s 为相应相位的饱和车流量。（当车辆以大致稳定的流率通过路口时，该流率即该相位的饱和车流量。） 2、南北方向和东西方向开绿灯时间的分配 不妨忽略黄灯，将交通信号灯转换的一个周期取作单位时间，又设两个方向的车流量是稳定和均匀的，不考虑转弯的情形。
09级数模试题 1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。（15分） 解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很 可能是否定的。 因此对这个问题我们假设： （1）地面为连续曲面 （2）长方形桌的四条腿长度相同 （3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的 （4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。 现在，我们来证明：如果上述假设 条件成立，那么答案是肯定的。以长方 桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图 所示，方桌的四条腿分别在A、B、C、D 处，A、、D的初始位置在与x轴平行，再 假设有一条在x轴上的线,则也与A、B，C、D平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线与x轴的夹角记为θ。 容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令() fθ为A、B离地距离之和，
()g θ为C 、D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。由假设（1）， ()f θ,()g θ均为θ的连续函数。又由假设（3） ，三条腿总能同时着地， 故()f θ()g θ=0必成立（?θ）。不妨设(0)0f =(0)0g >（若(0)g 也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为： 已知()f θ,()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存在某一0θ，使00()()0f g θθ=。 证明：当θ=π时，与互换位置，故()0f π>，()0g π=。作()()()h f g θθθ=-，显然，()h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定理，存在0θ，00θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。又由于00()()0f g θθ=，故必有00()()0f g θθ==，证毕。 2.学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。（15分） 解：按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设：A 宿舍的委员数为x 人，B 宿舍的委员数为y 人，C 宿舍的委员数为z 人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进1，其余取整数部分。 则 10； 10=235/1000；
分析，我们仅利用1x 和2x 来建立y 的预测模型。 四、模型建立 （显示模型函数的构造过程） （1）为了大致地分析y 与1x 和2x 的关系，首先利用表一的数据分别作出y 对1x 和2x 的散点图 y 与x1的关系 程序代码： x1=[ 0 0 ]; y=[ ]; A=polyfit(x1,y,1) y1=polyval(A,x1); plot(x1,y1,x1,y,'go') y 与x2的关系 x2=[ ]; y=[ ]; A=polyfit(x2,y,2) x3=::; y2=polyval(A,x3); plot(x2,y,'go',x3,y2)
图1 y 对x1的散点图 图2 y 与x2的散点图 从图1 可以发现，随着1x 的增加，y 的值有比较明显的线性增长趋势，图中的直线是用线性模型 011y x ββε=++ （1） 拟合的（其中ε是随机误差），而在图2中，当2x 增大时，y 有向上弯曲增长的趋势，图中的曲 线是用二次函数模型 2 01122y x x βββε=+++ （2） 拟合的。 综合上面的分析，结合模型（1）和（2）建立如下的回归模型 2 0112232y x x x ββββε=++++ (3) (3)式右端的1x 和2x 称为回归变量（自变量），2 0112232x x x ββββ+++是给定价格差1x ，广告费 用2x 时，牙膏销售量y 的平均值，其中的参数0123,,,ββββ称为回归系数，由表1的数据估计，影响y 的其他因素作用都包含在随机误差ε中，如果，模型选择的合适，ε应大致服从均值为0的正态分布。 五、模型求解 （2）确定回归模型系数，求解出教程中模型（3）； 程序代码：
交通路口红绿灯 十字路口绿灯亮30秒，最多可以通过多少辆汽车？一问题重述 因为十字路口的交通现象较复杂，通过路口的车辆的多少依赖于路面上汽车的型号，数量和它们的行驶速度和方向以及同时穿过路口的非机动车辆的行人的状态等因素有关，因此，我们在求解“十字路口绿灯亮30秒，最多可以通过多少辆汽车”时应综合考虑各方面因素二模型假设 (1)十字路的车辆穿行秩序良好不会发生阻塞； (2)所有车辆都是直行穿过路口，不拐弯行驶，并且仅考虑马路一侧的车辆。 (3)所有车辆长度相同，并且都是从静止状态开始匀加速启动； (4)红灯下等侍的每辆相邻车之间的距离相等； (5)前一辆车启动后同后一辆车启动的延迟时间相等。 另外在红灯下等侍的车队足够长，以至排在队尾的司机看见绿灯又转为红灯时仍不能通过路口。 参数，变量：车长L，车距D，加速度a，启动延迟T，在时刻 t 第n 辆车的位置 S n（t） 用数轴表示车辆行驶道路,数轴的正向为汽车行驶方向, 数轴原点为红绿灯的位置。于是, 当S n(30)>0时, 表明在第30秒第n辆车已通过红绿灯，否则，结论相反。
三模型建立 1.停车位模型： S n（0）=–(n-1)(L+D) 2. 启动时间模型: t n =(n-1)T 3. 行驶模型: S n(t)=S n(0)+1/2 a (t-t n) 2, t>t n 参数估计 L=5m，D=2m，T=1s，a=2m/s 四模型求解 解: S n(30)=-7(n-1)+(30-(n-1))2>0 得 n≤19 且 t19=18<30=t 成立。 答案: 最多19辆车通过路口. 改进：考虑到城市车辆的限速，在匀加速运动启动后，达到最高限速后，停止加速, 按最高限速运动穿过路口。 最高限速：校园内v*=15公里/小时=4米/秒，长安街上v*=40公里/小时=11米/秒，环城路上 v*=60公里/小时=17米/秒 取最高限速 v*=11m/s，达到最高限速时间t n*=v* /a+t n =5.5+n-1 限速行驶模型: S n(t)=S n(0)+1/2 a(t n *–t n )2+v*(t-t n*), t>t n* =S n(0)+1/2 a (t-t n) 2, t n*>t>t n = S n(0) t n>t 解：S n(30)=-7(n-1)+(5.5)2+11(30-5.5-(n-1))>0 得 n≤17 且 t17 * =5.5+16=21.5<30=t 成立。 结论: 该路口最多通过17辆汽车.
1.你要在雨中从一处沿直线走到另一处，雨速是常数，方向不变。 你是否走得越快，淋雨量越少呢？ 2.假设在一所大学中，一位普通教授以每天一本的速度开始从图书 馆借出书。再设图书馆平均一周收回借出书的1/10，若在充分长的时间内，一位普通教授大约借出多少年本书？ 3.一人早上6：00从山脚A上山，晚18：00到山顶B；第二天，早 6：00从B下山，晚18：00到A。问是否有一个时刻t,这两天都在这一时刻到达同一地点？ 4.如何将一个不规则的蛋糕I平均分成两部分？ 5.兄妹二人沿某街分别在离家3公里与2公里处同向散步回家，家 中的狗一直在二人之间来回奔跑。已知哥哥的速度为3公里/小时，妹妹的速度为2公里/小时，狗的速度为5公里/小时。分析半小时后，狗在何处？ 6.甲乙两人约定中午12：00至13：00在市中心某地见面，并事先 约定先到者在那等待10分钟，若另一个人十分钟内没有到达，先到者将离去。用图解法计算，甲乙两人见面的可能性有多大？ 7.设有n个人参加某一宴会，已知没有人认识所有的人，证明：至 少存在两人他们认识的人一样多。 8.一角度为60度的圆锥形漏斗装着10 端小孔的 面积为0.5 9.假设在一个刹车交叉口，所有车辆都是由东驶上一个1/100的斜
坡，计算这种情 下的刹车距离。如果汽车由西驶来，刹车距离又是多少？ 10. 水管或煤气管经常需要从外部包扎以便对管道起保护作用。包扎时用很长的带子缠绕在管道外部。为了节省材料，如何进行包扎才能使带子全部包住管道而且带子也没有发生重叠。 :顶=1：a:b ，选坐v>0,而设语雨速 L( 1q -+v x ),v≤x Q(v)= L( v x -q +1),v>x 2.解：由于教授每天借一本书，即一周借七本书，而图书馆平均每周
题目： 某种电子系统由三种元件组成，为了使系统正常运转，每个元件都必须工作良好，如果一个或多个元件安装备用件将会提高系统的可靠性，已知系统运转的可靠性为各元件可靠性的乘积，而每一个元件的可靠性是备用元件函数，具体数值见下表。 若全部备用件费用限制为150元，重量限制为20公斤，问每个元件安装多少备用件可使系统可靠性达到极大值？ 要求：①作出全局最优解 ②列出这个问题的整数规划模型
假设：系统在运转过程中相互间没有影响，并且系统在增加备用件后 可靠性可以相互叠加。 建模： 设原件1,2,3需要的备用件各为x,y,z，可靠性为p分别为xp,yp,zp，整 个设备的可靠性为p，则由题意可得到： p=xp*yp*zp; 2x+4y+6z<=20; 20x+30y+40z<=150; x,y,z均为整数； 求出适当的x,y,z使p的值最大。 运用穷举法，编写C++程序如下： #include 数学建模作业 ：成靖 学号：1408030311 班级：计科1403班 日期：2015.12.30 1.某班准备从5名游泳队员中选4人组成接力队，参加学校的4×100m混合泳接力比赛，5名队员4种泳姿的百米平均成绩如下表所示，问应如何选拔队员组成接力队？ 如果最近队员丁的蛙泳成绩有较大的退步，只有1′15"2；而队员戊经过艰苦训练自由泳成绩有所进步，达到57"5，组成接力队的方案是否应该调整？ 名队员4种泳姿的百米平均成绩 ij 若参选择队员i加泳姿j 的比赛，记x ij=1, 否则记x ij=0 目标函数: 即 min=66.8*x11+75.6*x12+87*x13+58.6*x14+57.2*x21+66*x22+66.4*x23+53*x24 +78*x31+67.8*x32+84.6*x33+59.4*x34+70*x41+74.2*x42+69.6*x43+57.2*x44+ 67.4*x51+71*x52+83.8*x53+62.4*x54; 约束条件: x11+x12+x13+x14<=1; x21+x22+x23+x24<=1; x31+x32+x33+x34<=1; x41+x42+x43+x44<=1; x51+x52+x53+x54<=1; x11+x21+x31+x41+x51=1; x12+x22+x32+x42+x52=1; x13+x23+x33+x43+x53=1; x14+x24+x34+x44+x54=1; ∑∑ == = 4 1 5 1 j i ij ij x c Z Min lingo模型程序和运行结果 因此，最优解为x14=1,x21=1,x32=1,x43=1,其余变量为0 成绩为253.2(秒)=4′13"2 即：甲~ 自由泳、乙~ 蝶泳、丙~ 仰泳、丁~ 蛙泳. 摘要 近年来随着机动车辆的迅猛增长，城市道路的交通压力日渐增大，各大城市对旧城改造及城市道路建设的投入也不断扩大，交通拥挤问题却仍旧日益严重。因此，科学全面地分析和评价城市的绩效，进而找到适合我国的城市交通规划模式，已成为我国城市交通迫切需要解决的课题。 本文通过大量查阅城市交通绩效评价指标，结合目前我国交通发展现状，以兰州为例，首先建立了绩效评价指标的层次结构模型，确定了目标层，准则层（一级指标），子准则层（二级指标）。 其次，建立评价集V=(优，良，中，差)。对于目标层下每个一级评价指标下相对于第m 个评价等级的隶属程度由专家的百分数u 评判给出，即U ＝[0,100]应用模糊统计建立它们的隶属函数A(u)， B(u)， C(u) ，D(u)，最后得出目标层的评价矩阵Ri ，（i=1,2,3,4,5）。利用A,B 两城相互比较法，根据实际数据建立二级指标对于相应一级指标的模糊判断矩阵P i （i=1,2,3,4,5） 然后，我们经过N 次试验调查，明确了各层元素相对于上层指标的重要性排序，构造模糊判断矩阵P ，利用公式 1 ,ij ij n kj k u u u ==∑ 1 ,n i ij j w u ==∑ 1 ,i i n j j w w w ==∑ []R W R W R W R W R W W R W O 5544332211,,,,==计算出权重值，经过一致性检验公式RI CI CR = 检验后，均有0.1CR <，由此得出各层次的权向量()12,,T n W W W W =K 。然后后， 给出建立绩效评价模型（其中O 是评价结果向量），应用模糊数学中最大隶属度原则，对被评价城市交通的绩效进行分级评价。 接着，为了优化兰州安宁区道路交通，我们建立了评价城市交通的指标体系，继而构造模糊判断矩阵P ，计算出相应的权重值。我们挑选了道路因素进行优化，以主干道利用率约束、红绿灯效率约束、公交站点数目约束、非负约束为约束条件建立了安宁区道路交通优化方案的权系数模型，最后利用实际测算数据给出最终优化模型，提出合理化的优化建议，希望能为更好的建设兰州交通体系作出贡献。 关键词：城市交通 层次分析 模糊综合评判 绩效评价 隶属度数学建模作业
数学建模--交通问题
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