二次根式的运算

二次根式的运算

编稿：庄永春审稿：邵剑英责编：张杨

一、目标认知

1.学习目标

(1)理解二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质及二次根式的除法法则和商的算术平方根的性

质，并能利用它们进行计算和化简；

(2)了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简；

(3)理解同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加

减运算；

(4)会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.

2.重点

(1)理解，及利用它们进行计算和化

简；

(2)理解，及利用它们进行计算和化简；

(3)最简二次根式的运用；

(4)合并同类二次根式；

(5)二次根式的混合运算.

3.难点

(1)发现规律，归纳出二次根式的乘除法则；

(2)会判定一个二次根式是否是最简二次根式，及二次根式的化简．

二、知识要点梳理

知识点一：二次根式的乘法

法则：，即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.

要点诠释：

(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数)

(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：

(3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.

知识点二、积的算术平方根的性质

，即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.

要点诠释：

(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须

满足才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；

(2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.

知识点三、二次根式的除法

法则：，即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.

要点诠释：

(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，其中，因为b在分母上，故b不能为0.

(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.

知识点四、商的算术平方根的性质

，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.

要点诠释：

运用次性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.

知识点五：最简二次根式

1.定义：当二次根式满足以下两条：

(1)被开方数不含分母；

(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

我们把符合这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.在二次根式的运算中，最后的结果必须化为最简二次根式或有理式.

要点诠释：

(1)最简二次根式中被开方数不含分母；

(2)最简二次根式被开方数中每一个因数或因式的次数都小于根指数2，即每个因数或因式从次数只能

为1次.

2.把二次根式化成最简二次根式的一般步骤：

(1)把根号下的代分数或绝对值大于1的数化成假分数，把绝对值小于1的小数化成分数；

(2)被开方数是多项式的要进行因式分解；

(3)使被开方数不含分母；

(4)将被开方数中能开得尽方的因数或因式，用它们的算术平方根代替后移到根号外；

(5)化去分母中的根号；

(6)约分.

知识点六、同类二次根式

1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.

要点诠释：

(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否

相同；

(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.

2.合并同类二次根式

合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)

要点诠释：

(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；

(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式；

(3)不是同类二次根式，不能合并.

知识点七、二次根式的加减

二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.

在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.

二次根式加减运算的步骤：

(1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；

(2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；

(3)合并同类二次根式.

知识点八、二次根式的混合运算

二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.

要点诠释：

(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算

括号里面的；

(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；

(3)二次根式混合运算的结果应写成最简形式，这个形式应是最简二次根式，或几个非

同类最简二次根

式之和或差，或是有理式.

三、规律方法指导

二次根式的运算，主要研究二次根式的乘除和加减.

(1)二次根式的乘除，只需将被开方数进行乘除，其依据是：

；；

(2)二次根式的加减类似于整式的加减，关键是合并同类二次根式.通常应先将二次根式化简，再把同类二次根式合并.

二次根式运算的结果应尽可能化简.

经典例题透析

类型一、二次根式的乘除运算

1、计算

(1)×；(2)×；(3)×；(4)×.

思路点拨：直接利用计算即可．

解：(1)×=；(2)×==；

(3)×==9；(4)×=

=.

2、计算：(1)；(2)；(3)；(4).

思路点拨：直接利用便可直接得出答案．

解：(1)===2；

(2)==×2=2；

(3)===2；

(4)===2.

3、化简

(1)；(2)；(3)；(4)；(5).

思路点拨：利用直接化简即可．

解：(1)=×=3×4=12；

(2)=×=4×9=36；

(3)=×=9×10=90；

(4)=×=××=3xy；

(5)==×=3.

举一反三

【变式1】判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：

(1)；

(2)×=4××=4×=4=8.

解：(1)不正确．

改正：=＝×=2×3=6；

(2)不正确．

改正：×=×===＝4.

4、化简：

(1)；(2)；(3)；(4).

思路点拨：直接利用就可以达到化简之目的．

解：(1)=；(2)=；

(3)=；(4)=.

举一反三

【变式1】已知，且x为偶数，求(1+x)的值．

思路点拨：式子=，只有a≥0，b＞0时才能成立．

因此得到9-x≥0且x-6＞0，即6＜x≤9，又因为x为偶数，所以x=8．

解：由题意得，即

∴6＜x≤9，∵x为偶数，∴x=8

∴原式=(1+x)=(1+x)=(1+x)=

∴当x=8时，原式的值==6．

5、计算

(1)·(-)÷(m＞0，n＞0)；

(2)-3÷()×(a＞0).

解：(1)原式=-÷=-=

=-；

(2)原式=-2=-2=- a.

类型二、最简二次根式的判别

6、下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？请说明理由.

(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).

思路点拨：判断一个二次根式是不是最简二次根式，就看它是否满足最简二次根式的两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；不满足其中任何一条的二次根式都不是最简二次根式.

解：和都是最简二次根式，其余的都不是，理由如下：

的被开方数是小数，能写成分数，含有分母；和的被开方数中都含有分母；

和的被开方数中分别含有能开得尽方的因数和因式.

总结升华：对于最简二次根式的判断，一定要把握其实质，既要注意其中的“似是而非”，

还要注意其中的“似非而是”，特别象这样的式子，带有很大的隐蔽性，更应格外小心.

7、把下列各式化成最简二次根式.

(1)；(2)；(3)；(4)；(5)

思路点拨：把被开方数分解因数或分解因式，再利用积的算术平方根的性质及

进行化简.

解：(1) ；

(2) ；

(3) ；

(4) ；

(5) .

类型三、同类二次根式

8、如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么a、b的值是( )

A.a=2，b=1

B.a=1，b=2

C.a=1，b=-1

D.a=1，b=1

思路点拨：根据同类二次根式的识别方法，在最简二次根式的前提下，被开方数相同.

解：根据题意，得

解之，得，故选D.

总结升华：同类二次根式必须满足两个条件：(1)根指数是2；(2)被开方数相同；由此可以得到关于a、b的二元一次方程组，此类问题都可如此.

举一反三

【变式1】下列根式中，能够与合并的是( )

A. B. C. D.

思路点拨：首先要把不是最简二次根式的化成最简二次根式，然后比较它们的被开方数是否相同，如果相同，就能进行合并，反之，则不能合并.

解：

合并，故选B.

总结升华：同类二次根式的判断，关键是能够熟练准确地化二次根式为最简二次根式.

【变式2】若最简根式与根式是同类二次根式，求a、b 的值．

思路点拨：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；?

事实上，根式不是最简二次根式，因此把

化简成

|b|·，才由同类二次根式的定义得3a-b=?2，2a-b+6=4a+3b．

解：首先把根式化为最简二次根式：

==|b|·

由题意得，∴，∴a=1，b=1.

类型四、二次根式的加减运算

9、计算

(1)+(2)-

思路点拨：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．

解：(1)+=2+3=(2+3)=5

(2)-=4-8=(4-8)=-4

总结升华：一定要注意二次根式的加减要做到先化简，再合并.

举一反三

【变式1】计算

(1)3-9+3；(2)(+)+(-)；

(3)；(4).

解：(1)3-9+3=12-3+6=(12-3+6)=15；

(2)(+)+(-)=++-=4+2+2-

=6+；

(3)

(4)

【变式2】已知≈2.236，求(-)-(+)的值．(结果精确到0.01)

解：原式=4---=≈×2.236≈0.45.

类型五、二次根式的混合运算

10、计算:

(1)(+)×；(2)(4-3)÷2.

思路点拨：二次根式仍然满足整式的运算规律，?所以直接可用整式的运算规律．

解：(1)(+)×=×+×=+=3+2；

(2)(4-3)÷2=4÷2-3÷2=2-.

11、计算

(1)(+6)(3-)；(2)(+)(-).

思路点拨：二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．

解：(1)(+6)(3-)=3-()2+18-6=13-3；

(2)(+)(-)=()2-()2=10-7=3.

类型六、化简求值

12、已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求(+y2)-(x2-5x)的值．

思路点拨：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得(2x-1)2+(y-3)2=0，

即x=，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，?再合并同

类二次根式，最后代入求值．

解：4x2+y2-4x-6y+10=0

4x2-4x+1+y2-6y+9=0

∴(2x-1)2+(y-3)2=0

∴x=，y=3

原式=+y2-x2+5x

=2x+-x+5

=x+6

当x=，y=3时，原式=×+6=+3.

举一反三

【变式1】先化简，再求值．(6x+)-(4y+)，其中x=，y=27．

解：原式=6+3-(4+6)=(6+3-4-6)=-，

当x=，y=27时，原式=-=-.

【变式2】已知=2-，其中a、b是实数，且a+b≠0，化简

+，并求值．

思路点拨：由于(+)(-)=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化简得结果即可．

解：原式=+

=+

=(x+1)+x-2+(x+1)+x+2

=4x+2

∵=2-

∴b(x-b)=2ab-a(x-a)

∴bx-b2=2ab-ax+a2

∴(a+b)x=a2+2ab+b2

∴(a+b)x=(a+b)2

∵a+b≠0

∴x=a+b

∴原式=4x+2=4(a+b)+2.

类型七、二次根式的应用与探究

13、一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，?现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？

解：设底面正方形铁桶的底面边长为x，

则x2×10=30×30×20，x2=30×30×2，

x=×=30．

答：铁桶的底面边长是30厘米.

14、如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿

BA边以1厘米/?秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC

边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方

厘米？PQ的距离是多少厘米？(结果用最简二次根式表示)

思路点拨：设x秒后△PBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，?根据三角形面积公式就可以求出x的值．

解：设x 后△PBQ的面积为35平方厘米．

则有PB=x，BQ=2x

依题意，得：x·2x=35，x2=35，x=

所以秒后△PBQ的面积为35平方厘米．

PQ==5

答：秒后△PBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为5厘米．

15、探究过程：观察下列各式及其验证过程．

(1)2=

验证：2=×==

==

(2)3=

验证：3=×===

=

同理可得：4

5，……

通过上述探究你能猜测出：a=_______(a＞0)，并验证你的结论．

解：a=

验证：a=

===.

总结升华：解答此类问题的特点是根据题目给出的条件，寻找内在联系和一般规律，然

后猜想所求问题的结果，有利于提高综合分析能力.

学习成果测评

基础达标

一、选择题

1.下列根式是最简二次根式的是（）

A． B． C．D．

2. 下列各式不是最简二次根式的是（）

A. B. C. D.

3.下列根式中，与是同类二次根式的为（）

A． B．C．D．

4.(江苏省无锡市)下列各式中，与是同类根式的是（）

A． B． C．D．

5.若最简二次根式与是同类二次根式，则a=（）

A．1 B．2 C．D．–2

6. 下面说法正确的是（）

A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式

B. 与是同类二次根式

C. 与不是同类二次根式

D. 同类二次根式是根指数为2的根式

7. 与不是同类二次根式的是（）

A. B. C. D.

8. 若，则化简的结果是（）

A. B. C. 3 D. -3

9. 若，则的值等于（）

A. 4

B.

C. 2

D.

10.(辽宁省大连市) 计算的结果是（）

A．B．2 C．D．1.4

11.(四川省攀枝花市) 下列计算中，正确的是（）

A． B．

C． D．

12.(山东省东营市)下列计算正确的是( )

A．B．==1 C． D．

13. 下列式子中正确的是（）

A. B.

C. D.

二、填空题

1.若最简根式与根式是同类二次根式，则a = ____________.

2. 计算：.

3. 计算：.

4.(广东省) 化简= ____________.

5.(安徽省) 计算的结果是___________.

6.(南昌) 计算：___________.

7.(重庆市) 化简： = ___________.

8.计算：___________.

9.计算：=___________.

10.计算：=___________.

11.一个三角形的三边长分别为，则它的周长是_________cm.

12.已知，则.

三、解答题

1. 计算：

2. 计算：

⑴⑵

⑶⑷

3.计算：(1)；(2).

能力提升

一、选择题

1. 已知，化简二次根式的正确结果为（）

A. B. C. D.

2. 对于所有实数，下列等式总能成立的是（）

A. B.

C. D.

3. 和的大小关系是（）

A. B. C. D. 不能确定

4.(山东省济南市)已知，则代数式的值为（）

A．B． C．D．

5.(山东省临沂市) 计算的值为( )

A．2 B．-2 C．-2-2D．-2＋2

6.化简甲，乙两同学的解法如下：

甲：=

乙：=

对他们的解法，正确的判断是（）

A．甲、乙的解法都正确B．甲的解法正确，乙的解法不正确

C．乙的解法正确，甲的解法不正确D．甲、乙的解法都不正确

7. 若的整数部分为，小数部分为，则的值是（）

A. B. C. 1 D. 3

二、填空题

1. 当，时，.

2.若，则___________.

3.若最简二次根式与是同类二次根式，则.

4. 已知，则.

5. 长方形的宽为，面积为，则长方形的长约为_______（精确到0.01）.

6.(天津市)已知x＝，则的值等于____________.

7.计算：___________.

三、解答题

1. 把根号外的因式移到根号内：

；.

2.计算：

3.(辽宁省锦州市)计算：.

4.(广西省贺州市) 计算：.

5.(江苏省南通市) 计算：.

6. 计算及化简：

⑴；⑵；

⑶；⑷.

7. 已知：，求的值.

综合探究

先观察下列等式，再回答问题：

①=

②=

③=

(1) 根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果，并进行验证；

(2) 请按照上面几个等式反映的规律，试写出用（为正整数）表示的等式.

答案与解析

基础达标

一、选择题

1.B

2.D

3.C

4.C

5.A

6.A

7.A

8.C

9.C 10.C 11.B 12.A 13.C

二、填空题

1.2；

2.，18；

3.-5；

4.；

5.-1；

6.；

二次根式的运算法则(讲义)

二次根式的运算法则（讲义） ? 课前预习 1. 已知a ，b 均为非负数，请根据幂的运算法则与算术平方根的定义，解决下 列问题： （1）①根据算术平方根的定义可知，ab 的算术平方根是____． ②2 =22? =_________ 是_________的算术平方根． 对比①②的结果，你能得到的结论是___________________． （2）类似（1 0b =≠）： ①根据算术平方根的定义可知，a b 的算术平方根是_______． ②2 ? =________ _________的算术平方根． 对比①②的结果，你能得到的结论是___________________． ? 知识点睛 1. ________________________________叫做二次根式，它具有 _________________________，即_______________________． 2. 最简二次根式（①②同时具备）： ①_________________________________________________； ②_________________________________________________． 3. 二次根式的乘除法则： ①_________________________________________________； ②_________________________________________________． 4. 同类二次根式：_____________________________________． 5. 二次根式的加减法则： ①______________________；②_______________________． ? 精讲精练

二次根式的性质及运算.

一、学习内容：二次根式的性质及运算. 1.二次根式的概念： 一般的，我们把形如式子叫做二次根式. 2.二次根式有意义的条件：当a 时，a有意义. 3. 当a≥0 4. 2= a（a≥0）反之:a= 2（a≥0）． ︳a︳=?? ? ? ? 6.二次根式的乘法： a≥0，b≥0 a≥0，b≥0） 7.二次根式的除法： a≥0，b>0 a≥0，b>0） 8.满足（1）（2） 上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. 9.分母有理化：化去分母中的根号 二、例题讲解： 1、化简：()25＝；()25-＝；()22.0 -＝； －()2л-＝；2 10-＝； 3 1 4= 2．计算：（1）14 2×7；（2）- 5 1 a3×10 3 b ； (3) (12+58)3 ?； (4) 2 224 40-； (5) ()22 3-（6）27 12 1 3 2 1 ? ÷； （7） 5 2 1 3 1 2 3 1 1? ÷； (8)； （9 ）（ （10 ）（ （11）50 5 1 12 2 1 8 3 2+ + -（12）12 ) 3 2 3 24 27 3 1 (? - - 例2. 已知，求的值。 413270 22 a b ab -+-= 例3. 已知，求的值。 x x x x =+ +- 31 12 2 2 例4. 化简： a a b a a b b a a b - -+ < 2 44 2 22 ()

三、练习： 1．等式2)1(-x ＝1－x 成立的条件是_____________． 2．当x ____________时，二次根式32-x 有意义． 3．比较大小：3－2______2－3． 4．计算：22)2 1 ()213(-等于__________． 5．当x>2 ______________. 6．实数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示： a o b 则 3a －2)43(b a -＝______________． 7．若8-x ＋2-y ＝0，则x ＝___________，y ＝_____________ 8．若最简二次根式132-+b a 与a b -4是同类二次根式，则a ＝_____________， b ＝______________． 9．下列变形中，正确的是……………………………………………………………（ ） （A ）(23)2＝2×3＝6 （B ）2)5 2 (-＝－52 （C ）169+＝169+ （D ）)4()9(-?-＝49? 10．下列各式中，一定成立的是……………………………………………………（ ） （A ）2)(b a +＝a ＋b （B ）22)1(+a ＝a 2＋1 （C ）12-a ＝1+a ·1-a （D ） b a ＝b 1ab 11．若式子12-x －x 21-＋1有意义，则x 的取值范围是……………………（ ） （A ）x ≥ 21 （B ）x ≤21 （C ）x ＝2 1 （D ）以上都不对 12．当a ＜0，b ＜0时，把 b a 化为最简二次根式，得………………………………（ ） （A ） ab b 1 （B ）－ab b 1 （C ）－ab b -1 （D ）ab b 13．当a ＜0时，化简|2a －2a |的结果是………………………………………（ ） （A ）a （B ）－a （C ）3a （D ）－3a 14．如果a 是任意实数，下列各式中一定有意义的是（ ） (A) a (B) 1a 2 (C) 3 －a (D)－a 2 15．下列二次根式中，是最简二次根式的是………………………………………（ ） (A)8x (B)_x 2－3 (C) x －y x (D)3a 2b 16 二次根式的个数是（ ）． A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 17 ）． A ．0 B ． 23 C ．42 3 D ．以上都不对 18．当a ≥0 正确的是（ ）． A C ．19.在实数范围内因式分解： （1）2x 2－4 （2）x 4 -9 20．计算：（1）1 3 (212 －75 )

二次根式综合计算题

实数的运算 （1）5032283-+ （2）48512739+- (3) 10 1252403-- （4） （5）20)21(82 1 )73(4--?++ （6）102006)21()23()1(-+--- （7）10)2 1()2006(312-+---+ （8）02)36(2218)3(----+-- （9）3 2 6? （10）4327-? （11）2)13(- （12）22)52()2511(- （13）3 6 （14）75.0125.204 1 12484--+- （15）1215.09002.0+ （16）250580?-? （17）3 721?

（18）)25)(51(-+ （19）2)3 13(- （20）8 92334?÷ （21）20032002)23()23(+?- （22）75.0421*******+-+ （23）333322227 1912105+-?--- （24）753131234+- （25）3 1 22112-- （26）5 1 45203-+ （27）48122+ （28）32509 2 -+ （29）2)231(-

30、))((36163--?-； 31、633 1 2?? 32、 )1021 (32531-?? 33、z y x 10010101??-．： 34、 20 245-； 35、 14425081010??..； 36、5 2 1312321?÷； 37、 38 39、 40、0.5 41 42 43、 44、 45、) 2 1 + 46、 47

一、认认真真选(每小题3分,共30分) 1. 下列各式中正确的是 ( ) A. 25 =±5 B. (-2)2 = -2 C. ±36=±6 D. 100-=10 2. 已知正方形的边长为a ，面积为S ，则（ ） A. S=a B. a 是S 的算术平方根 C. S 的平方根是a D. a=±S 3. 下列说法：①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；③a 2的算术平方根是a ；④（π-4）2的算术平方根是π-4；⑤算术平方根不可能是负数。其中，不正确的有（ ）A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 4. 5=，则x 为（ ） A. 5 B. -5 C. ±5 D. 以上都不对 5. 当0x ≤的值为（ ） A. 0 B. x - C. x D. x ± 6.下列说法中正确的是（ ） A.-4没有立方根 B.1的立方根是±1 C.361 的立方根是61 D.-5的立方根是3 5- 7.若m<0，则m 的立方根是（ ） A.3 m B.－ 3 m C.±3 m D. 3 m - 8．已知858.46.23=,536.136.2=，则00236.0的值等于( ) A ．485.8 B ．15360 C ．0.01536 D ．0.04858 9.若81 - x 3 x 的值是( ) A.0 B. 21 C. 81 D. 161 10.若9,422==b a ，且0

专题04 二次根式概念及其运算基础巩固+技能提升(原卷版)

专题04 二次根式概念及其运算基础巩固+技能提升 【基础巩固】 1．（2019·x 的取值范围是（ ） A ．0x ≥ B ．1≥x C ．1x > D ．1x ≤ 2．（2020·山西月考）计算：(2 1-=_____． 3．（2020· =______． 4．（2020·官成镇月考）使式子 x 有意义的实数x 的取值范围是__________． 5．（青岛月考）若2,,4m =__________． 6．（2020·=___________． 7．（2020·浙江杭州市模拟）一个长方形的面积为，其中一边长为边为_________． 8．（2019·威远县月考）当a ＜01a -=_______． 9．（2020·成都月考）若实数x ，y 满足3y =， 则x y +的立方根为_______． 10．（2020·四川月考）若24 y x = -，则x 的取值范围是__________． 11．当a=__________和可以合并． 12．（2020·辽宁锦州市期中）数轴上，点A 1，点B 表示3，则AB 间的距离___________ 13．（2020·平远县期中）(1 1224-?? ???

14．（2020·甘肃兰州市期中）计算 （1） （2） ﹣1） ）﹣（1﹣ 2． 15．（2019·广东月考）如图A ，B ，C 三点表示的数分别为a ，b ，c ．利用图形化简： a b - 16 ()() 2 2 3 3 +== =+ - 互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． （1 的有理化因式是________2的有理化因式是________． （2）将下列式子进行分母有理化：

二次根式的运算(基础)知识讲解

二次根式的运算（基础）知识讲解 【学习目标】 1、理解并掌握二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根 式加减运算； 2、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘 除运算； 3、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算. 【要点梳理】 要点一、二次根式的加减 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 要点诠释： （1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： 1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； 要点二、二次根式的乘法及积的算术平方根 1.乘法法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变， 只把被开方数相乘. 要点诠释： (1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数). (2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： ≥0，≥0，…..≥0）. (3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如. 2.积的算术平方根: （a≥0，b≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方 根的积. 要点诠释： (1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足a≥0，b≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分 解因数，把含有形式的a移到根号外面.

八年级下册二次根式的计算专题

八年级下册二次根式的计算专题 一．解答题（共30小题） 1．（2016?太仓市模拟）计算：（﹣1）3+﹣||． 2．（2016?丹东模拟）计算：．3．（2016?海南校级一模）（1）计算：（﹣1）3﹣（2﹣5）+×； （2）化简：?． 4．（2016?崇明县二模）计算：． 5．（2016春?罗定市期中）计算：（）﹣|| 6．（2016春?津南区校级期中）+3﹣5． 7．（2016春?萧山区期中）计算：（1）； （2）． 8．（2016春?台安县期中）（+）﹣2﹣． 9．（2016春?封开县期中）计算：．10．（2016春?中山市期中）计算：． 11．（2016春?江门校级期中）计算：5+2． 12．（2016春?浦东新区期中）计算：2﹣+． 13．（2016春?临沭县期中）（1）（+）（﹣）﹣（+3）2．（2）÷（﹣）﹣×+． 14．（2016春?新昌县校级期中）计算 （1）2﹣+2； （2）（+）2﹣（+）（﹣）． 15．（2016春?蓟县期中）计算： （1）（2） 16．（2016春?定州市期中）计算： （1）4+﹣+4 （2）（﹣2）2÷（+3﹣） 17．（2016春?固始县期中）（1）计算：4+﹣+4； （2）计算：÷2×． 18．（2016春?蚌埠期中）计算：

（1） （2）． 19．（2016春?泰兴市期中）计算： （1）+|﹣3|﹣（）2； （2）（﹣2）﹣． 20．（2016春?浦东新区期中）计算：（﹣）2﹣（+）2．21．（2016春?东湖区期中）计算： （1）（）﹣（3﹣） （2）﹣3+． 22．（2016春?邹城市校级期中）计算 （1） （2）（+1）2（2﹣3） 23．（2016春?安陆市期中）计算： （1）； （2）（）2． 24．（2016春?微山县期中）计算： （1）2﹣6+3 （2）（﹣）（+）+（2﹣3）2． 25．（2016春?天津校级期中）计算： （1）（）（）﹣（）2 （2）﹣． 26．（2016春?杭州期中）计算 （1）+﹣ （2）（3+）（3﹣）+（1+）2． 27．（2016春?召陵区期中）计算： （1）﹣（﹣） （2）（a2﹣） 28．（2016春?张家港市期中）计算与化简： （1）﹣+ （2）÷3× （3）÷﹣×+

新人教版数学八年级下册二次根式基础专项练习

新人教版数学八年级下册《二次根式》基础专项练习 一、二次根式的意义 1．下列式子一定是二次根式的是（） A．B．C．D． 2．下列式子是二次根式的有（） ①；②（a≥0）；③（m，n同号且n≠0）；④；⑤． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．下列根式中，属于最简二次根式的是（） A． B．C．D． 二、二次根式有意义的条件 4．若代数式﹣在实数范围内有意义，则x的取值范围是（） A．x≠﹣2 B．x≤5 C．x≥5 D．x≤5且x≠﹣2 5．已知y=，则的值为（） A．B．﹣ C．D．﹣ 6．若式子﹣+1有意义，则x的取值范围是（） A．x≥B．x≤C．x= D．以上都不对 三、二次根式的性质与化简 7．下列运算正确的是（） A．B． C．D． 8．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简﹣+b的结果是（）A．1 B．b+1 C．2a D．1﹣2a 9．若1＜x＜2，则的值为（） A．2x﹣4 B．﹣2 C．4﹣2x D．2 四、最简二次根式

10．下列二次根式是最简二次根式的是（） A． B．C． D． 11．在根式①②③④中，最简二次根式是（）A．①②B．③④C．①③D．①④ 12．下列根式中是最简二次根式的是（） A．B．C．（a＞0）D． 五、二次根式的乘除法 13．计算2×÷的结果是（） A．B．C．D．2 14．下列运算正确的是（） A．a+a=a2B．a2?2a3=2a6C．÷=3 D．（﹣ab3）2=a2b6 15．下列计算正确的是（） ①=?=6；②=?=6 ③=?=3；④=?=1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 六、分母有理化 16．﹣1的倒数为（） A．﹣1 B．1﹣C．+1 D．﹣﹣1 17．a=，b=，则a+b﹣ab的值是（） A．3 B．4 C．5 D． 七、同类二次根式 18．下列根式中，与为同类二次根式的是（） A．B．C．D． 19．下列二次根式中，能与合并的是（） A． B． C．D． 20．在根式、、、、中与是同类二次根式的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二次根式典型计算练习题

二次根式计算练习题 1. 2484554+-+ 2. 2332326-- 3. 214181 22 -+- 4. 3)154276485(÷+- 5.已知： 的值。求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y 6. ))((36163--?-； 7. 63312??； 8. )(102132531- ??； 9. z y x 10010101??-．

10. 20245-； 11. 144 25081010??..； 12. 521312321 ?÷； 13. )(b a b b a 1223÷?． 14. 2712135272 2-； 15. b a c abc 4322-． 16. 已知：2420-= x ，求221x x +的值． 17. ()1()2 ()(() 30,0a b -≥≥ ())40,0a b f f

()5()6?÷ ? 18. 化简： ())10,0a b ≥≥ ()2 ()3a 20. 21.. ( 231 ?+ ? 22.(()2771+-- 23.((((2222 1111+-

24. 22 - 28. 已知： x y ==32432232x xy x y x y x y -++的值。

29. 已知：11a a +=+221 a a +的值。 30. 已知：,x y 为实数，且3y p ，化简： 3y -- 31. 已知11 039322++=+-+-y x x x y x ，求的值。 32（1）－645×（－448）； （2）（－64）×（－81）；

二次根式的运算知识讲解

二次根式的运算（提高）知识讲解 【学习目标】 1、理解并掌握二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根 式加减运算； 2、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘 除运算； 3、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算. 【要点梳理】 要点一、二次根式的加减 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 要点诠释： （1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： 1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； 要点二、二次根式的乘法及积的算术平方根 1.乘法法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变， 只把被开方数相乘. 要点诠释： (1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数). (2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： ≥0，≥0，…..≥0）. (3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如. 2.积的算术平方根: （a≥0，b≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方 根的积. 要点诠释： (1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足a≥0，b≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分 解因数，把含有形式的a移到根号外面.

二次根式综合计算题

实数的运算 （1）5032283-+ （2）48512739+- (3) 10 1252403-- （4213 （5）20)21(82 1 )73(4--?++ （6）102006)21()23()1(-+--- （7）10)2 1()2006(312-+---+ （8）02)36(2218)3(----+-- （9）3 2 6? （10）4327-? （11）2)13(- （12）22)52()2511(- （13）3 6 （14）75.0125.204 1 12484--+- （15）1215.09002.0+

（16）250580?-? （17）3 721? （18）)25)(51(-+ （19）2)3 13(- （20）8 92334?÷ （21）20032002)23()23(+?- （22）75.0421*******+-+ （23）33 3322227 1912105+-?--- （24）753131234+- （25）3 1 22112-- （26）5 1 45203-+ （27）48122+

（28）325092-+ （29）2)2 31(- 30、))((36163--?-； 31、633 1 2?? 32、 )102 1 (32531-?? 33、z y x 10010101??-． ： 34、 20 245-； 35、 14425081010??..； 36、5 2 1312321?÷； 37 38 39、 40、0.5 41 42 43、 44、 45、) 2 1 +

46、 47 一、认认真真选(每小题3分,共30分) 1. 下列各式中正确的是 ( ) A. 25 =±5 B. (-2)2 = -2 C. ±36=±6 D. 100-=10 2. 已知正方形的边长为a ，面积为S ，则（ ） A. S=a B. a 是S 的算术平方根 C. S 的平方根是a D. a=±S 3. 下列说法：①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；③a 2 的算术平方根是a ；④（π-4）2 的算术平方根是π-4；⑤算术平方根不可能是负数。其中，不正 确的有（ ）A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 4. 5=，则x 为（ ） A. 5 B. -5 C. ±5 D. 以上都不对 5. 当0x ≤时， ） A. 0 B. x - C. x D. x ± 6.下列说法中正确的是（ ） A.-4没有立方根 B.1的立方根是±1 C.361的立方根是61 D.-5的立方根是3 5- 7.若m<0，则m 的立方根是（ ） A.3 m B.－ 3 m C.±3 m D. 3 m - 8．已知858.46.23=,536.136.2=，则00236.0的值等于( ) A ．485.8 B ．15360 C ．0.01536 D ．0.04858 9.若81 - x 3 x 的值是( ) A.0 B. 21 C. 81 D. 161 10.若9,422==b a ，且0

二次根式的基本运算

二次根式的基本运算（六） 班级 姓名 1.数轴上表示实数a 的点的位置如图所示，化简（a －5）2 ＋|a －2|的结果为___． 2. 若x≤0，则化简|1﹣x|﹣的结果是 A ．1﹣2x B ．2x ﹣1 C ．﹣1 D ．1 3．下列计算：（1）=2，（2） =2，（3）（﹣2）2 =12，（4）（ +）（ ﹣ ）=﹣1，其中结果正确的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 19．计算 （1）48212734+- （2）)23)(23()23(2 -++- 1. 函数2 y x = -中字母x 的取值范围是（ ） A ．x ≠2 B ．x ≥1 C．13x ≤≤ D ．13x ≤≤且x ≠2 19．计算：（1）（+）（﹣）﹣（+3）2 ． （2）； 2 2x =-，那么x 的取值范围是（ ） A.x ≤2 B.x ﹤2 C.x ≥2 D.x ﹥2 13．计算：20152014 )23() 23(+?-= . 11 ．在函数y = x 的取值范围是 11、若式子12+a 有意义，则a 的取值范围为 ； 16、计算：( )( ) 232 33 16 48-++- 22、阅读下面的材料，并解答问题： ( ) ( )( )()121 21 21 21 21 2112122 -=--= -+-? = +； ()()()()() 23232323232 31 23 1 2 2 -=--= -+-?=+ ；

( ) ( )( )()() 34343 43 4343 413 412 2 -=--= -+-? = +；…… （1）填空： =+4 51 ， =+2016 20171 ； =++n n 11 （n 为正整数） ； （2）化简：1 22- 1x 的取值范围为（ ） A ．x ≥2 B ．x ≠3 C ．x ≥2或x ≠3 D ．x ≥2且x ≠3 17．（6分）计算：+ （﹣1）﹣30 ﹣| ﹣2|． 19．计算：﹣|﹣2 |﹣ （2﹣π）0+（﹣1）2017 ． （1） （2） ． （1）计算：108965475-+- （2）计算：2)6235(+ 19．（2015春?铜仁市期末）计算：（）﹣1 +|2﹣|+（）0﹣（﹣1） 2016 ． 1．若代数式x ＋1（x －3） 2有意义，则实数x 的取值范围是() A ．x ≥－1 B ．x ≥－1且x ≠3 C ．x ＞－1 D ．x ＞－1且x ≠3 11． （2015 春 ?黔南州期末）若式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 x ≥0 且x ≠2 ．

二次根式的概念及运算

二次根式的概念及运算 二次根式 形如()0a a ≥的式子． 二次根式有意义 被开方数大于等于零（即若a 有意义，则0a ≥） 【例1】 1当x 取何值时，下列式子有意义？ ⑴2x - ⑵2x - ⑶2 x - ⑷213x x ++- ⑸1x - ⑹x 模块一 二次根式的概念 知识导航 知识互联网 夯实基础

2 若x ，y 为实数，且14411y x x =-+-+．求xy 的值． 3 设3 1221 x x y x -+-=+，求使y 有意义的x 的取值范围. ①0(0)a a ≥≥ ②2 ()(0)a a a =≥ ③（必考）2a a a a ?==?-?() ( )00a a <≥ 【例2】 化简下列各式 ⑴ ( ) 2 25 - ⑵ () 2 3a - 能力提升 夯实基础 知识导航 题型二 二次根式的性质

【例3】 ⑴已知数a b c 、、在数轴上的位置如图所示： 化简：() 2 2a a c c b b -++---的结果为________ ⑵已知01a <<，化简2 2 1144a a a a ??? ?-+++- ? ????? ⑶化简( ) 2 2 412912x x x -+- -得( ) A. 2 B.44x -- C.2- D.44x - ⑷若()2 2340a b c -+-+-=，则a b c -+= ． ⑸已知实数x 、y 满足480x y -+-=，则以x 、y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ） A ． 20或16 B ． 20 C ． 16 D ． 以上答案均不对 ⑹若a 、b 为实数，且|1|20a ab -+-=， 求1111(1)(1)(2)(2)(2012)(2012)ab a b a b a b +++++++++的值. 乘法 与积的算术平方根可互相转化：(0,0)a b ab a b ?=≥≥ 除法 与商的算术平方根可互相转化： (0,0)a a a b b b =>≥ 最简二次根式 ①被开方数不含分母 ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 知识导航 模块三 二次根式的运算 c a

二次根式基本运算

一、最简二次根式 【例1】下列二次根式中，最简二次根式的个数是（）． ． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 16 6x x -=是分式， 0.5中的1 3 是分数，它们都不满足条件1中有能开得尽方的因式2b， 2 2()22 x-，它们都 不满足条件2满足最简二次根式的两个条件．答：Ｂ． 点评：要牢记最简二次根式的两个条件，判断时只须看被开方数，注意当被开方数是多项式时要先 分解因式，找一找有没有能开得尽方得因式和因数，中虽有2a和2b，但2a和2b 不是2a＋2b的因式． 【答案】B 【例2】 中，最简二次根式有____________________. ． 【例3】下列根式） A．2个B．3个C．4个D．5个 【答案】C． 【例4】化简下列各式（字母均取正数）： 2) x≥． 【解析】 =5 14 9 ．== =3 == 【答案】（1）（2）5（3）14 9 ；（4（5）3 二、二次根式的乘除 【例5】把下列各式分母有理化： 2

【解析】 ===；

2 = =- 1= = =； = = 注：本题帮助学生练习最简单的“分母有理化”及性质．当分母中有根号时，要在分子和分母上同时乘以一个 式子，使相乘后的分母不再含根式．⑶、⑷主要运用“22()()a b a b a b +-=-”，进行分母有理化． 【答案】（1 ；（2）-（31；（4 【例6】 把下列各式分母有理化： ⑴⑵ ⑶÷ 【解析】= ⑵ = =- ⑶5÷=+ = - = 【答案】（1 （2）-（3）5+（4 【例7】 【解析】原式 【例8】 【解析】原式1 3=? 【例9】 =； 【答案】. 【例10】

二次根式的加减法知识讲解

二次根式的加减法 一、知识概述 1、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．同类二次根式与整式中的同类项类似． 2、二次根式的加减法法则 二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． 注意：(1)二次根式的加减常分为两大步骤进行，第一步化简；第二步合并； (2)在合并前应注意要先判断清楚它们中哪些二次根式的被开方数是相同的；在合并时类似于以前学过的合并同类项，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变． 3、二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)． 注意：(1)在运算过程中，每一个根式可以看作是一个“单项式”，多个被开方数不同的二次根式的和可以看作“多项式”； (2)有理数(或整式)中的运算律、运算法则及所有的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； (3)二次根式的运算结果必须是最简二次根式． 二、重难点知识 1、二次根式的加减法运算实质上是合并同类二次根式，在进行二次根式的加减法时，注意先把各个二次根式化为最简二次根式，再把同类项合并，合并同类二次根式的方法与合并同类项类似．

2、二次根式的混合运算中可以与有理数的混合运算及整式的混合运算及分式的运算作比较，使二次根式的混合运算易于理解和掌握，并能合理应用运算律及技巧进行计算．二次根式的除法运算转化为分母有理化的问题，同时可避免错误地使用运算律． 三、典型例题讲解 例1、计算： ． 分析：本组题中各个加数都不是最简二次根式，因此需先进行化简，然后再把被开方数相同的根式进行合并． 解： ． 例2、计算： 分析：先根据去括号的法则，去掉括号，再进行二次根式的加减运算．

二次根式计算题(简单)

二次根式 常用公式：0)>,0(), 0,0(b a b a b a b a b a ab ≥=≥≥?= 0)>,0(), 0,0(b a b a b a b a ab b a ≥=≥≥=? 2222)(b ab a b a +±=±,22))((b a b a b a -=-+ 一、计算： （1）3649? (2）516? （３) 4 3 （４）48 5）53 (6)5 1 (7）28 (8)90 （2）（9）5 8 (10）2.1 二、计算:

（1）644? (2)325? (3） 36 45 (４)125 （５)20 （6)14 3 （7）9816 （8)7 1 三、计算： （1）2510? (2)3 26? (３）73 （3）510? （5)5092? （6)4 3 12? （4）(7)2)223(- （８)2)2 1 8(?+

（9） 5 20 25- (10)1822- 四、计算: (1) 3 13? (2 ） 5 3 15? （3)2 )52(+ (2)21850-? (5) )25)(53(-+ (6)32583- (7)3137- (8) 1010 1 540+-

五、计算： (1) 4 334- (２）4 3 1227+ - (3)5)5 1 100(÷- (４)14 1 72- （5)48512739-+ (6)32)62(?- 六、计算: (1)5420- （2)6377 4+- （2）7)7 227(?+ (4）2)37(-

（5）)732)(732(-+ (６)48755 81 -+ （7） 53327-+(8) 6 5424+ （9)5002051 -+

(完整版)二次根式复习.doc

二次根式小结与复习 【主要内容】本单元是在学习了平方根和算术平方根的意义的基础上，引入一个符号“”．主要内容有：（ 1）二次根式的有关概念，如：二次根式定义、最简二次根式、?同类二次根式等；（ 2）二次根式的性质；（3）二次根式的运算，如：二次根式的乘除法、二次根式的加减法等． 【要点归纳】 1. 二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时， 才有意义． 2.二次根式的性质： ① ② ③ ④ 3.二次根式的运算 二次根式的运算主要是研究二次根式的乘除和加 减．（ 1）二次根式的加减： 需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方 数不变。 注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次 根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数． （2）二次根式的乘法： （3）二次根式的除法： 注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还 要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式． （4）二次根式的混合运算： 先乘方（或开方），再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行运 算的，可适当改变运算顺序进行简便运算． 注意：进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法与技巧，以便使运 算过程简便．二次根式运算结果应尽可能化简．另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成 带分数．例如不能写成．

【难点指导】 1、如果是二次根式，则一定有；当时，必有； 2、当时，表示的算术平方根，因此有；反过来，也可以将一个非负数写成的形式； 3、表示的算术平方根，因此有，可以是任意实数； 4、区别和的不同： 中的可以取任意实数，中的只能是一个非负数，否则无意义． 5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径： （ 1）因式的内移：因式内移时，若，则将负号留在根号外．即：． （ 2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．即： 6、二次根式的比较： （ 1）若，则有；（2）若，则有． 说明：一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小． 二次根式强化训练与复习巩固自测试题 1．化简：______；_________． 2 ．当______时，． 3 ．等式成立的条件是 ______． 4 ．当，化简_______． 5．比较与的大小： _______． 6．分母有理化： （ 1）__________；（ 2）__________；（ 3）__________． 7．已知，，，那么________． 8．计算_________．

二次根式基础测试题

二次根式基础测试题 一、选择题 1．当2a -有意义时，a 的取值范围是（ ） A ．a ≥2 B ．a ＞2 C ．a ≠2 D ．a ≠－2 【答案】B 【解析】 解：根据二次根式的意义，被开方数a ﹣2≥0，解得：a ≥2，根据分式有意义的条件：a ﹣2≠0，解得：a ≠2，∴a ＞2．故选B ． 2．当3x =-时，二次根2257m x x ++式的值为5，则m 等于（ ） A ．2 B ．22 C ．5 D ．5 【答案】B 【解析】 解：把x =﹣3代入二次根式得，原式=10m ，依题意得：10m =5，故 m=52210 =．故选B ． 3．实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a |＋2(a b )-的结果是（ ） A ．2a+b B ．-2a+b C ．b D ．2a-b 【答案】B 【解析】 【分析】 根据数轴得出0a <，0a b -<，然后利用绝对值的性质和二次根式的性质化简． 【详解】 解：由数轴可知：0a <，0b >， ∴0a b -<， ∴()()2 2a a b a b a a b -=-+-=-+， 故选：B ． 【点睛】 本题考查了数轴、绝对值的性质和二次根式的性质，根据数轴得出0a <，0a b -<是解题的关键．

4．12a =-，则a的取值范围是（） A． 1 2 a≥B． 1 2 a>C． 1 2 a≤D．无解 【答案】C 【解析】 【分析】 =|2a-1|，则|2a-1|=1-2a，根据绝对值的意义得到2a-1≤0，然后解不等式即可． 【详解】 =|2a-1|， ∴|2a-1|=1-2a， ∴2a-1≤0， ∴ 1 2 a≤． 故选：C． 【点睛】 此题考查二次根式的性质，绝对值的意义，解题关键在于掌握其性质. 5．下列计算结果正确的是() A3 B±6 C D．3＋＝ 【答案】A 【解析】 【分析】 原式各项计算得到结果，即可做出判断． 【详解】 A、原式=|-3|=3，正确； B、原式=6，错误； C、原式不能合并，错误； D、原式不能合并，错误． 故选A． 【点睛】 考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

二次根式基本运算(根式加减)分母有理化讲义

内容 基本要求 略高要求 较高要求 二次根式的 化简和运算 理解二次根式的加、减、乘、除运算法则 会进行二次根式的化简，会进行二次根式的混合运算（不要求分母有理化） 板块一 二次根式的乘除 最简二次根式： a 0a ≥）中的a 称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式： ⑴被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式） ⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 ⑶分母中不含二次根式 二次根式的计算结果要写成最简根式的形式． 二次根式的乘法法则a b ab 0a ≥，0b ≥） 二次根式的除法法则a a b b = （0a ≥，0b >） 利用这两个法则时注意a 、b ab a b =a 、b 都非负，否则不成立， (7)(5)(7)(5)-?--- 一、二次根式的加减 1.同类二次根式： 几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式． 合并同类二次根式：(x x a b x +=+ 【例1】 35a -3a +是可以合并的二次根式，则____a =。 【例2】 a ） A ．2a B ．23a C ．3a D ．4a 中考要求 例题精讲 二次根式基本运算、分母有理化

【巩固】判断下列各组二次根式是不是同类二次根式： 【例3】下列二次根式中，哪些是同类二次根式？（字母均为正数） ． 【例4】若最简二次根式a2b -的值． a 【巩固】若a b ，的值是（） ，为非负数，a a b A．02 a b ，或11 == ，D．20 == == ， a b == a b ，B．11 a b ，C．02 == a b 【例5】已知最简根式a a,b的值（） A．不存在B．有一组C．有二组D．多于二组 【巩固】若a a，b为整数，则a=______，b=________； 【例6】=的整数解有组.

二次根式综合计算题(已编辑)

实数的运算（1） （1）（2）48512739+- （3） 10 1252403-- （4）(2 72+ （5） (0 2 4 1 （6）()10 2006 112-?? -- + ??? （7()1 0120062-??--+ ??? （8）())0 2 313---- （9）3 2 6? （10）4327-?

（11）) 2 1 （13）36 （12 （14）75.0125.204 1 12 484--+- （15）1215.09002.0+ （16）250580?-? （17） 3 721? （18）()12 （19）2 （20） 8 9 2334?÷ （21） )) 2002 2003 2 2 ? （22） 75.0421*******+-+ （23）333322227 19 12105+-?---

（24）7531 312 34+- （25）3 122112-- （26）5 1 45203 - + （27）48122+ （28）325092 -+ （29）2 ?? 。 （34）753131234+- （35）3122112-- （36）5 145203-+ （37）48122+ （38）325092 -+ ()5 40、知2310x x -+= 41、12 27348- 42、,a b (10b -=，求20052006a b -的值。 一、认认真真选 1. 下列各式中正确的是 ( )

A. 25 =±5 B. (-2)2 = -2 C. ±36=±6 D. 100-=10 2. 已知正方形的边长为a ，面积为S ，则（ ） A. S=a B. a 是S 的算术平方根 C. S 的平方根是a D. a=±S 3. 下列说法：①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；③a 2的算术平方根是a ；④（π-4）2的算术平方根是π-4；⑤算术平方根不可能是负数。其中，不正确的有（ ）A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 4. 5=，则x 为（ ）。 A. 5 B. -5 C. ±5 D. 以上都不对 5. 当0x ≤的值为（ ）。 A. 0 B. x - C. x D. x ± 6.下列说法中正确的是（ ）。 A.-4没有立方根 B.1的立方根是±1 C.361的立方根是61 D.-5的立方根是3 5- 7.若m<0，则m 的立方根是（ ）。 A.3m B.－ 3m C.±3m D. 3 m - 8.若81 - x 3 x 的值是( )。 A.0 B. 21 C. 81 D. 161 9.若9,422==b a ，且0