带重节点的牛顿插值法
牛顿插值法是一种在给定数据点的情况下通过插值函数来逼近真实函数的方法。它属于插值法中的一种，是一种非常有用和广泛使用的数值计算方法。牛顿插值法使用一个多项式函数来逼近真实函数，该函数使用给定的数据点来确定多项式系数。带重节点的牛顿插值法是一种牛顿插值法的扩展形式，可以在数据点重复的情况下使用。
在牛顿插值法中，我们首先将给定的数据点按照节点值从小到大排序。然后我们需要计算每一个节点上的差商，通过差商可以得到一个多项式函数。差商的定义如下：
$f[x_0,x_1]=\frac {f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$
以此类推，差商的递归计算可以用以下公式表示：
$f[x_i,x_{i+1},\dots,x_{i+j}]=\frac
{f[x_{i+1},x_{i+2},\dots,x_{i+j}]-f[x_i,x_{i+1},\dots,x_{i+j-1}]}{x_{i+j}-x_i} $
使用差商的定义和递归公式，我们可以得到一个多项式函数：
$P_n(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)+\dots+f[x_0,x_1, \dots,x_n](x-x_0)(x-x_1)\dots(x-x_{n-1})$
其中，$f[x_0,x_1,\dots,x_n]$表示一个$n$阶的差商。
但是，如果在给定的数据点中有重复的节点，那么上述算法将不再适用。为了使用带重节点的牛顿插值法，我们需要使用多重差商（divided difference）来计算插值函数。在插值点为$x_0,x_1,\dots,x_n$且有$m+1$个插值点重复的情况下，$m+1$重差商（divided difference）定义为：
对于$m+1$个插值点重复的情况，用多重差商计算插值函数的公式如下：
其中，$f(x_0,x_0,\dots,x_0,x_i)$是$i+1$重差商，
$\prod_{j=0}^{i-1}(x-x_j)$是拉格朗日基函数。
带重节点的牛顿插值法可以用于曲线拟合、数据拟合等问题中。当给定的数据点中有重复的节点时，牛顿插值法无法适用，带重节点的牛顿插值法可以有效地应对这种情况。
牛顿插值法 插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，这在实际计算中很不方便。为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式： f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0 )...(x-xn-1)+Rn(x)。 插值函数 插值函数的概念及相关性质[1] 定义：设连续函数y-f(x) 在区间[a,b]上有定义，已知在n+1个互异的点 x0,x1,…xn上取值分别为y0,y1,…yn （设a≤ x1≤x2……≤xn≤b)。若在函数类中存在以简单函数P(x) ，使得P(xi)=yi,则称P(x) 为f(x)的插值函数. 称x1,x2,…xn 为插值节点，称[a,b]为插值区间。 定理：n次代数插值问题的解存在且唯一。
牛顿插值法C程序 程序框图#include 牛顿(newton)插值法 牛顿插值法是一种数值分析中的插值方法，它用于找到一个多项式函数，该函数会经过给定的一系列数据点。该方法最初由英国数学家艾萨克·牛顿（Isaac Newton）发明并称为插值多项式，它也被称作差分插值法。 插值是数学和工程学中的一项重要任务，它是用于在给定数据点之间构建连续函数的一种数值方法。插值方法通常涉及过渡从观察结果派生出抽象结果的过程，从而使得预测可能的结果取得更加准确。 下面介绍牛顿插值法的基本原理。 插值基础 插值基础是插值方法中的一个重要概念。在这里，我们将对牛顿插值法中用到的插值基础进行简要介绍。 一个插值基础是指一个已知数据点的集合，通常是一个 x 坐标和对应的 y 坐标。每个插值基础一般定义为一个数据点的函数，该函数包含了给定点的所有信息并将这些信息用于构建连续函数。 在牛顿插值法中，我们使用差分来定义插值基础。差分是指两个相邻数据点之间 y 坐标的差值。具体来说，若给定以下节点： x0, y0 x1, y1 x2, y2 ... xn, yn 我们则通过以下的 "+" 符号所示的不断进行差分的方式来构建一个插值基础： y0 y1-y0 … yn-yn-1 yn-yn-1 yn-yn-2 ... yn-y0 上述图表所展示的差分的值即为定义插值基础的差商（divided difference）。 牛顿插值公式 基于上述插值基础和差商，我们现在可以使用牛顿插值公式来实现插值。具体来说，牛顿插值公式可以表示为： f(x) = y0 + d1*f[x0,x1] + d2*f[x0,x1,x2] + ... + dn*f[x0,x1,...,xn] 其中 f(x) 是插值函数，x0, x1, ..., xn 是给定的节点，y0, y1, ..., yn 是对应的 y 值，f[x0,x1] 是差商 f(x0,...,x1) 的值，d1, d2, ..., dn 也是差商。请注意，插值函数的次数最高为 n - 1，这意味着插值函数与插值基础的次数相同。 函数 f(x) 的具体形式由差商的组合方式决定。例如，f[x0,x1,x2] 表示我们使用三个节点 (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2) 定义了一个差商，它的形式为： 这通常被称为二阶差商。我们可以通过唯一确定的数学方式来计算任意阶数的差商。 牛顿插值法的优点 牛顿插值法有许多优点。首先，它是一个非常简单的插值方法，易于实现。其次，由于它是一个多项式插值方法，因此对于任何连续函数，我们都可以使用有限数量的插值基础来表示它。此外，与其他插值方法相比，牛顿插值法的误差较小，因为它使用了一些特定的差商。 结论 题目：牛顿插值法在凸轮修正设计中 的应用 算法：Newton插值法 组号：6 组员：赵冬冬闫鹏田二方李婵娟张帅军郑亚军刘洋郭洋波 牛顿插值法在凸轮修正设计中的应用 赵冬冬，闫鹏，田二方，李婵娟，郭洋波，张帅军，郑亚军，刘洋（河南理工大学机械与动力工程学院,河南焦作 454000） 摘要：本文利用牛顿插值法，提出了一种简单实用的凸轮工作轮廓线的修正方法。首先对要进行修正的的曲线附近的一些离散点的数据进行分析处理，确定插值多项式的阶次以满足高精度和低运算量的要求。然后利用Matlab编程计算出插值点的值，并进行误差分析，实现对凸轮的局部工作廓线进行修正。 关键词：凸轮轮廓线；牛顿插值；修正 Interpolation method Newton inthe design of CAM fixed application ZHAO Dongdong,YAN Peng,TIAN Erfang,LI Chanjuan,,GUO Yangbo,ZHANG Shuaijun,ZHENG Yajun,LIU Yang (School of Machinery and power engineering Henan polytechnic uiversity ,Jiaozuo 454000) Abstract: Based on the Newton interpolation method, we put forward a simple but practical solution to the work of the cam contour correction. Firstly,we rehandle the discrete data nearby the premodifying curve and get the order of the polynomial to meet the demand of high precision and low computation.Then The Newton interpolation and error analysis are realized by matlab programming. SO far ,we’ve resolved the problem of the cam contour correction . Key words: Newton interpolation; cam contour;correction 0．问题背景 在自动包装机或包装线中，为保证各个机械间歇运动的快捷与准确，常常采用凸轮机构来实现。包装材料、产品和包装地间歇输送、翻转或转移、工作转台的间歇转位，工作机构带停留段的往复运动，有特定位移、速度或加速度要求的动作等，均属于简谐运动范围，正确设计或选用简谐运动机构，对包装机的运行性能具有关键性的作用。凸轮机构在高速包装机械设备中应用更广泛，是一种不可缺少和替代的重要机构。 1．问题分析及模型 高速包装机械中凸轮工作廓线的设计多采用解析法，这样既保证了凸轮的运动特性，又便于对凸轮机构进行运动学和动力学分析，因此这就使得在不同工况下，凸轮设计的解析方程式往往是不相同的。这样虽然能保证凸轮的精度，但同时也对凸轮在实际使用中的修正提高了难度，因为只有建立新的解析方程式才能对凸轮进行修正，尤其是只需对凸轮局部曲线进行修正时，也要建立相应的解析方程，这样就使曲线修正的工作量大增，工作效率降低[1]。 带重节点的牛顿插值法 牛顿插值法是一种在给定数据点的情况下通过插值函数来逼近真实函数的方法。它属于插值法中的一种，是一种非常有用和广泛使用的数值计算方法。牛顿插值法使用一个多项式函数来逼近真实函数，该函数使用给定的数据点来确定多项式系数。带重节点的牛顿插值法是一种牛顿插值法的扩展形式，可以在数据点重复的情况下使用。 在牛顿插值法中，我们首先将给定的数据点按照节点值从小到大排序。然后我们需要计算每一个节点上的差商，通过差商可以得到一个多项式函数。差商的定义如下： $f[x_0,x_1]=\frac {f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$ 以此类推，差商的递归计算可以用以下公式表示： $f[x_i,x_{i+1},\dots,x_{i+j}]=\frac {f[x_{i+1},x_{i+2},\dots,x_{i+j}]-f[x_i,x_{i+1},\dots,x_{i+j-1}]}{x_{i+j}-x_i} $ 使用差商的定义和递归公式，我们可以得到一个多项式函数： $P_n(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)+\dots+f[x_0,x_1, \dots,x_n](x-x_0)(x-x_1)\dots(x-x_{n-1})$ 其中，$f[x_0,x_1,\dots,x_n]$表示一个$n$阶的差商。 但是，如果在给定的数据点中有重复的节点，那么上述算法将不再适用。为了使用带重节点的牛顿插值法，我们需要使用多重差商（divided difference）来计算插值函数。在插值点为$x_0,x_1,\dots,x_n$且有$m+1$个插值点重复的情况下，$m+1$重差商（divided difference）定义为： 对于$m+1$个插值点重复的情况，用多重差商计算插值函数的公式如下： 其中，$f(x_0,x_0,\dots,x_0,x_i)$是$i+1$重差商， $\prod_{j=0}^{i-1}(x-x_j)$是拉格朗日基函数。 带重节点的牛顿插值法可以用于曲线拟合、数据拟合等问题中。当给定的数据点中有重复的节点时，牛顿插值法无法适用，带重节点的牛顿插值法可以有效地应对这种情况。 牛顿插值法是一种常用的数值分析方法，用于构造一个多项式函数， 以便在给定的数据点上进行插值。这个主题在数学和工程领域中有着 广泛的应用，特别是在数据拟合和函数逼近方面。牛顿插值法的核心 思想是通过不断地添加新的数据点来构造一个多项式，并利用已知数 据点来确定多项式的系数，从而实现对未知数据点的插值预测。 在Matlab中，实现牛顿插值法并不困难，我们可以利用已有的函数 和工具来简化计算过程。下面，我们将通过一个具体的例题来讲解如 何使用Matlab编写牛顿插值法的程序，并分析其结果。 我们需要明确牛顿插值法的数学原理。给定n个互不相同的节点\(x_0, x_1, ... , x_n\)，以及在这些节点上的函数值\(f(x_0), f(x_1), ... , f(x_n)\)，我们希望构造一个n次插值多项式p(x)，满足p(x_i) = f(x_i)， i=0,1,...,n。牛顿插值多项式的一般形式为： \[p(x) = a_0 + a_1(x - x_0) + a_2(x - x_0)(x - x_1) + ... + a_n(x - x_0)(x - x_1)...(x - x_{n-1})\] 其中，\[a_i\]表示插值多项式的系数。通过牛顿插值法的迭代过程，可以逐步求解出这些系数，进而得到插值多项式的表达式。 接下来，我们将以一个具体的例题来演示如何在Matlab中实现牛顿 插值法。假设我们有如下的数据点和函数值： \(x = [1, 2, 3, 4]\) \(f(x) = [1, 4, 9, 16]\) 我们希望利用这些数据点来构造一个插值多项式，并在给定的区间上 进行插值计算。在Matlab中，可以通过interp1函数来进行插值计算，该函数支持多种插值方法，包括牛顿插值法。下面是一个简单的Matlab程序示例： ```matlab x = [1, 2, 3, 4]; y = [1, 4, 9, 16]; xi = 2.5; yi = interp1(x, y, xi, 'spline'); disp(['在x=',num2str(xi),'处的插值结果为：',num2str(yi)]); ``` 在这段代码中，我们首先定义了给定的数据点x和对应的函数值y，然后利用interp1函数对x=2.5处的插值结果进行计算。在这里，我们 使用了'spline'选项来指定使用牛顿插值法进行计算。运行程序后，我 们可以得到在x=2.5处的插值结果，从而实现了对未知数据点的插值 预测。 插值法计算方法举例 插值法是一种数值逼近方法，用于在给定的一些数据点之间进行数值 求解。 插值法的基本思想是通过已知数据点的函数值来构建一个插值函数， 并利用该插值函数来估计未知数据点的函数值。以下是一些常见的插值方法。 1.线性插值： 线性插值是最简单的插值方法之一、假设我们有两个已知数据点 (x1, y1) 和 (x2, y2)，我们想要在这两个数据点之间估计一个新的点的函数值。线性插值方法假设这两个点之间的函数关系是线性的，即 y = f(x) = mx + c，其中 m 是斜率，c 是截距。通过求解这两个点的斜率和截距，我们可以得到插值函数的表达式，从而计算出新点的函数值。 2.拉格朗日插值： 拉格朗日插值是一种经典的插值方法，它利用一个多项式函数来逼近 已知数据点之间的关系。对于一组已知数据点 (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，拉格朗日插值方法构建一个函数 L(x) 来逼近真实的函数 f(x)。L(x) 的表达式为 L(x) = y1 * L1(x) + y2 * L2(x) + ... + yn * Ln(x)，其中 Li(x) 是拉格朗日插值基函数，定义为Li(x) = Π(j=1 to n, j≠i) (x - xj) / (xi - xj)。通过求解 L(x) 的表达式，我们可 以计算出任意新点的函数值。 3.牛顿插值： 牛顿插值是另一种常用的插值方法，它是通过一个递推的过程来构建插值函数。对于一组已知数据点 (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，牛顿插值方法定义一个差商表，然后根据该表构建一个递推的多项式函数来逼近真实的函数 f(x)。差商表的计算使用了递归的方式，其中第 i 阶差商定义为 f[xi, xi+1, ..., xi+j] = (f[xi+1, xi+2, ..., xi+j] - f[xi, xi+1, ..., xi+j-1]) / (xi+j - xi)。通过求解差商表，并构建递推的多项式函数，我们可以计算出任意新点的函数值。 4.样条插值： 样条插值是一种光滑的插值方法，通过利用已知数据点之间的曲线来构建插值函数。样条插值方法将数据点拟合成一组小的曲线段，并保证曲线段之间的连续性和光滑性。常见的样条插值方法包括线性样条插值、二次样条插值和三次样条插值。这些方法通过求解一组线性方程组的系数来计算插值函数，并保证曲线段之间的光滑性。样条插值是一种精确的插值方法，它通常比其他插值方法的误差更小。 这些举例的插值方法只是介绍了一些常见的插值方法，实际上还有很多其他的插值方法，如最小二乘法插值、Chebyshev 多项式插值等。每个插值方法都有其适用的场景和特点，选择合适的插值方法取决于数据的性质和应用的要求。 工程常用算法04插值方法 插值是指根据已知的数据点，通过一定的方法来估计数据点之间的未 知数据点的数值。在工程领域，插值方法常用于数据处理、图像处理、信 号处理、计算机图形学等方面。下面介绍一些常用的插值方法。 1.线性插值法： 线性插值法是最简单的插值方法之一，它假设两个相邻数据点之间的 数值变化是线性的。线性插值法的计算公式为： y=y1+(x-x1)*(y2-y1)/(x2-x1) 其中，y1和y2为已知数据点的数值，x1和x2为已知数据点的横坐标，x为待估计数据点的横坐标，y为待估计数据点的纵坐标。 2.拉格朗日插值法： 拉格朗日插值法是一种常用的插值方法，它通过一个多项式来逼近已 知数据点的取值。拉格朗日插值法的计算公式为： L(x) = Σ(yi * li(x)) 其中，yi为已知数据点的数值，li(x)为拉格朗日插值基函数，计算 公式为： li(x) = Π((x - xj) / (xi - xj))，其中i ≠ j 拉格朗日插值法的优点是简单易实现，但在数据点较多时计算量较大。 3.牛顿插值法： 牛顿插值法是一种递推的插值方法，通过不断增加新的数据点来逼近 已有的数据点。牛顿插值法的计算公式为： P(x) = f[x0] + f[x0, x1](x - x0) + f[x0, x1, x2](x - x0)(x - x1) + ⋯ + f[x0, x1, ⋯, xn](x - x0)⋯(x - xn) 其中，f[x0]为已知数据点的数值，f[x0,x1]为已知数据点间的差商，计算公式为： f[x0,x1]=(f[x1]-f[x0])/(x1-x0) 牛顿插值法的优点是计算效率高，但在增加新的数据点时需要重新计 算差商。 4.样条插值法： 样条插值法是一种光滑的插值方法，通过拟合一个或多个插值函数来 逼近已有的数据点。 S(x) = Si(x)，其中xi ≤ x ≤ xi+1 Si(x) = ai + bi(x - xi) + ci(x - xi)2 + di(x - xi)3 样条插值法的优点是插值函数的曲线平滑，可以更好地逼近原始数据，但需要寻找合适的节点和插值函数。 以上介绍了工程领域常用的插值方法：线性插值法、拉格朗日插值法、牛顿插值法和样条插值法。不同的插值方法适用于不同的场景，工程人员 可以根据需求选择合适的插值方法来估计未知数据点的数值。插值方法可 以有效地补充数据点之间的缺失数据，提高数据处理的准确性和可靠性。 (){}2 1 ()(11),5,10,20: 1252 1()1,(0,1,2,,)()2,(0,1,2,,)()()2 35,20:1100 (i i i i n n k k k Newton f x x n x f x x i i n f x n x y i n Newton N x S x n x k y f x =-≤≤=+=-+====-+ =L L 题目：插值多项式和三次样条插值多项式。 已知对作、计算函数在点处的值； 、求插值数据点的插值多项式和三次样条插值多项式；、对计算和相应的函数值),()() (1,2,,99)4:()max ()()max ()n k n k n k n k n k n k k k N x S x k E N y N x E S y S x ==-=-L 和； 、计算，； 解释你所得到的结果。 算法组织: 本题在算法上需要解决的问题主要是：求出第二问中的Newton 插值多项式 )(x N n 和三次样条插值多项式()n S x 。如此，则第三、四问则迎刃而解。计算两 种插值多项式的算法如下： 一、求Newton 插值多项式)(x N n ，算法组织如下： Newton 插值多项式的表达式如下： )())(()()(110010--⋅⋅⋅--+⋅⋅⋅+-+=n n n x x x x x x c x x c c x N 其中每一项的系数c i 的表达式如下： 1102110) ,,,(),,,(),,,(x x x x x f x x x f x x x f c i i i i i -⋅⋅⋅-⋅⋅⋅= ⋅⋅⋅=- 根据i c 以上公式，计算的步骤如下： ⎪⎪ ⎪⎩⎪ ⎪⎪ ⎨⎧⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅----) ,,,,(1) ,,,(),,,,(),(,),,(2)(,),(),(11101111011010n n n n n n n n x x x x f n x x x f x x x f n x x f x x f x f x f x f 、计算、计算、计算、计算 牛顿插值法例题求解 【原创版】 目录 1.牛顿插值法简介 2.牛顿插值法的基本原理 3.牛顿插值法的例题解析 4.牛顿插值法的优缺点 5.总结 正文 一、牛顿插值法简介 牛顿插值法是一种常用的数学插值方法，主要用于根据已知的函数值预测未知函数值。牛顿插值法的基本原理是通过求解各阶差分来逼近未知函数值。这种方法在增加插值节点时具有较好的计算稳定性，因此在实际应用中具有较高的价值。 二、牛顿插值法的基本原理 牛顿插值法的基本思想是利用差商的概念，将函数在某区间中若干点的函数值用适当的特定函数表示。通过求解各阶差分，可以得到这个特定函数的系数，从而得到插值多项式。在给定的插值节点上，这个插值多项式可以取到已知的函数值，而在其他点上，则可以用这个多项式作为函数的近似值。 具体来说，牛顿插值法的求解过程分为以下几个步骤： 1.设定插值多项式的形式，例如拉格朗日插值多项式、牛顿插值多项式等。 2.根据已知的函数值和插值节点，求解插值多项式的系数。 3.将求解得到的系数代入插值多项式，得到插值函数。 4.在给定的插值节点上，求解插值函数的值，作为预测的未知函数值。 三、牛顿插值法的例题解析 假设我们有三个样本点：（1，-2），（2，-1），（3，2），我们希望通过这三个点求解一个二次函数。我们可以用牛顿插值法来解决这个问题。 首先，我们设定插值多项式的形式为 y = ax^2 + bx + c。然后，将三个样本点带入该方程，得到以下三个方程： - -2 = a(1)^2 + b(1) + c - -1 = a(2)^2 + b(2) + c - 2 = a(3)^2 + b(3) + c 解这个方程组，我们可以得到 a = 1/2，b = 5/2，c = -3/2。因此，我们得到插值函数为 y = 1/2x^2 + 5/2x - 3/2。将x=1, 2, 3 代入该函数，我们可以得到 y=-2, -1, 2，与给定的样本点相符，说明我们的插值结果是正确的。 四、牛顿插值法的优缺点 牛顿插值法的优点是计算稳定性好，增加插值节点时公式结构紧凑，便于求解。同时，当插值节点较多时，牛顿插值法具有更好的计算性能。然而，牛顿插值法也有其缺点，例如在插值节点分布不均或插值节点数量较少时，其插值效果可能不如其他插值方法。 五、总结 牛顿插值法是一种常用的数学插值方法，在实际应用中具有较高的价值。通过求解各阶差分，可以得到适当的插值多项式，从而预测未知函数值。 newton插值法matlab 一、引言 在数值分析中，插值法可以用于在已知的一组数据中，根据数据间的数值规律推断出在某些未知数据点处的数值。牛顿插值法是一种常用的插值方法，适用于等距节点及非等距节点问题。 二、牛顿插值法的原理 假设已经有一组已知的n个节点(x0,y0)、(x1,y1)、...、(xn,yn)，其中x0 % 计算差商表 n = length(x); F = zeros(n,n); F(:,1) = y'; for j=2:n for i=j:n F(i,j) = (F(i,j-1)-F(i-1,j-1))/(x(i)-x(i-j+1)); end end % 计算插值结果 x0 = 2; result = F(1,1); for k=2:n result = result + F(k,k)*prod(x0-x(1:k-1)); end % 输出结果 fprintf('f(%g)= %g\n',x0,result); ``` 输出结果为f(2)= 1.28571428571428。 四、总结 牛顿插值法是一种常用的插值方法，可以应用于等距节点及非等距节点问题。Matlab的代码实现比较简单，只需要按照计算差商表和计算插值结果的步骤进行即可。在实际应用中，应注意选取合适的节点，以及判断牛顿插值多项式的误差范围。 牛顿插值法的原理和推导过程 一、引言 在科学计算和数值分析中，插值法是一种重要的数学工具，它可以通过已知的离散数据点来估计未知点的值。在众多插值法中，牛顿插值法以其形式简洁、计算方便而广受欢迎。本文将对牛顿插值法的原理和推导过程进行详细阐述。 二、牛顿插值法的基本原理 牛顿插值法是一种多项式插值方法，它的基本思想是通过构造一个n次多项式Pn(x)，使得该多项式在给定的n+1个插值节点上与被插值函数f(x)具有相同的函数值。这样，在插值节点之间，我们可以用Pn(x)来近似代替f(x)。 三、牛顿插值法的推导过程 差商与差分 为了构造插值多项式，首先需要引入差商的概念。设f[xi,xj]表示函数f(x)在点xi 和xj上的一阶差商，其计算公式为： f[xi,xj] = (f(xj) - f(xi)) / (xj - xi) 类似地，可以定义二阶、三阶乃至n阶差商。n阶差商f[x0,x1,...,xn]表示函数f(x)在点x0,x1,...,xn上的差商，可以通过低一阶的差商递归计算得到。 差分是差商的另一种表现形式，它与差商之间有一一对应的关系。在实际计算中，差分往往比差商更方便。 牛顿插值多项式的构造 有了差商的概念，我们就可以构造牛顿插值多项式了。设n次牛顿插值多项式 为： Pn(x) = f(x0) + fx0,x1 + fx0,x1,x2(x-x1) + ... + fx0,x1,...,xn(x-x1)...(x-xn-1) 其中，f[x0,x1,...,xk]表示k阶差商。可以看出，Pn(x)是一个形式简洁的多项式，其各项系数即为各阶差商。 为了证明Pn(x)满足插值条件，即Pn(xi) = f(xi) (i=0,1,...,n)，我们可以将xi代入Pn(x)中，逐项验证。由于差商的性质，当x取xi时，高于i阶的差商项都将为0，因此Pn(xi) = f(xi)。 牛顿插值法的计算步骤 （1）根据给定的插值节点，计算各阶差商； （2）根据牛顿插值多项式的公式，构造插值多项式Pn(x)； （3）将需要插值的点代入Pn(x)，得到插值结果。 四、牛顿插值法的性质 唯一性：对于给定的n+1个插值节点，满足插值条件的n次多项式是唯一的。插值误差：插值多项式与被插值函数之间的误差可以用高阶差商或导数来表示。一般来说，当插值节点越密集，插值误差越小。 收敛性：当插值节点的间距逐渐减小时，牛顿插值多项式在一定范围内收敛于被插值函数。 五、结论 牛顿插值法是一种基于差商的多项式插值方法，具有形式简洁、计算方便等优点。在实际应用中，牛顿插值法被广泛应用于数值计算、函数逼近等领域。通过深入理解牛顿插值法的原理和推导过程，我们可以更好地掌握这一数学工具，为解决实际问题提供有力支持。 2 ,X n 1] 在计算过程中，若需要再增加插值节点并求出 新的插值函数，则Lagrange 插值公式所有的基函 数都要重新计算，造成计算量的很大浪费。而以下 介绍的牛顿插值公式可以克服这一缺陷， 可在原有 插值多项式的基础上灵活的增加插值节点。 一、 差商及其性质： 1、相关定义 设给出函数f (X )在点X o ， x 1，…，x n ，…上 的函数值，则有： 称flX o ’xJ f (Xl) 一如应为函数f(x)在 X i X o X o 、X i 点的一阶差商。 一阶差商的差商 f [X o ,X 1,X 2] f [X o ,X 2] f [X o ,X 1] X 2 X 1 称为函数f (X)在X o ,X i 和X 2点的二阶差商 n 1阶差商的差商 f [X o , ,X n 2,X n ] f [X o , , X “ f [X o ,X i , ,X n ] X n X n 1 o i n f [X i ,X o , ,X n ] 见插商表4-1 2、性质： 性质1 :差商f[X °,X i ， ,X n ]可表示为函数值的线 n 性组合，即 f [x °,X i , ,X n ] a i f (X i )， i 0 n 其中：a i 1 / (X i X j )。 j 0, j i f [X i , ,X n ,X o ] 这就是差商的对称性 性质2 ，X n i] f[X o,X i ,L ,X n] f[X i, L ,X n] f[X o 丄 X n X o Q f [X o,X i ,L ,X n] X o,X n] f [X i 丄X n i, f[X i 丄，X n] f[X i 丄,X n i, X o] X n X o 牛顿插值matlab程序 牛顿插值是一种多项式插值方法，其基本思想是利用分差表来构造一个一次到n 次多项式，从而逼近给定的数据点集合。牛顿插值法有着计算简单，精度高，兼容性好等优点。在Matlab中，牛顿插值法的实现非常简单。接下来将介绍如何使用Matlab编写牛顿插值程序。 首先，我们需要明确牛顿插值法的基本思想，这可以用一个公式表示： f(x)≈Nn(x)=y0+C1(x−x0)+C2(x−x0)(x−x1)+⋯+Cn(x−x0)(x−x1)⋯(x−xn−1) 其中y0即为给定数据点中的第一个点的纵坐标，x0到xn-1为已知的节点，Ci 表示节点x0到xi的差商，x为我们要求解的插值点。 据此，我们可以编写如下的Matlab代码实现牛顿插值： matlab function [result] = newton_interpolation(x, y, z) % x, y为已知的节点，z为插值点 n = length(x); diff = zeros(n, n); diff(:, 1) = y'; for j = 2:n for i = j:n diff(i, j) = (diff(i, j-1) - diff(i-1, j-1)) / (x(i) - x(i-j+1)); end end result = diff(n, n); for k = n-1:-1:1 result = diff(k, k) + (z - x(k)) * result; end 我们首先定义一个函数newton_interpolation，其输入为已知节点x和纵坐标y，以及插值点z。接着，我们使用双重循环来计算分差表，并按照公式计算插值多项式的值。最后，我们得到了插值点z处的函数值。 需要注意的是，在计算分差表时，我们需要根据已知的节点计算出所有的差商，并记录在diff中。在计算插值点z处的函数值时，我们需要按照公式从n-1到0依次计算出多项式的各项系数。 使用Matlab进行牛顿插值操作时，我们需要准备好给定的已知数据点x和y，以及需要求解的插值点z。它们可以以数组的形式输入到我们编写的函数中。牛顿插值方法能够求解多项式函数在某一点处的函数值，如果想要求解函数在一段 sinx牛顿插值法拟合 牛顿插值法是一种求解数值逼近问题的方法，适用于已知一组数 据点的函数值的情况下，通过这些数据点来逼近函数的解。 牛顿插值法的基本思想是使用多项式来拟合已知的数据点，然后 利用这个多项式来近似求解其他数据点的函数值。多项式的系数可以 通过拉格朗日插值法或者牛顿插值法来确定。 牛顿插值法的优点是计算简单，且可以根据新的数据点的添加而 进行更快的求解。下面我们以求解sin(x)函数为例，来演示牛顿插值 法的具体过程。 假设我们已知以下几个离散数据点的函数值： x | 0 | π/6 | π/3 | π/2 | 2π/3 | 5π/6 | π | y | 0 | 1/2 | √3/2| 1 | √3/2 | 1/2 | 0 | 我们的目标是通过这些数据点来求解sin(x)函数在其他点的函数 值。 首先，我们可以根据已知的数据点得到差商表： x | 0 | π/6 | π/3 | π/2 | 2π/3 | 5π/6 | π | f(x) | 0 | 1/2 | √3/2 | 1 | √3/2 | 1/2 | 0 | f(x) | | 1/3 | 1 | 2/3 | 1/3 | | | f(x) | | | -1/6 | - 1/3 | | | | f(x) | | | | | | | | 然后，我们可以根据差商表利用牛顿插值公式来构造多项式。牛 顿插值多项式的形式为： Pn(x) = f[x0] + f[x0, x1](x - x0) + f[x0, x1, x2](x - x0)(x - x1) + ... + f[x0, x1, ..., xn](x - x0)(x - x1)...(x - xn-1) 其中，f[x0], f[x0, x1], f[x0, x1, x2]等为差商，可以通过差 商表计算得到。 对于我们的例子，我们可以得到拟合的多项式为： P6(x) = f[0] + f[0, π/6](x - 0) + f[0, π/6, π/3](x - 0)(x - π/6) + f[0, π/6, π/3, π/2](x - 0)(x - π/6)(x - π/3) + f[0, π/6, π/3, π/2, 2π/3](x - 0)(x - π/6)(x - π/3)(x - π/2) + f[0, π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6](x - 0)(x - π/6)(x - π/3)(x - π/2)(x - 2π/3) + f[0, π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π](x - 0)(x - π/6)(x - π/3)(x - π/2)(x - 2π/3)(x - 5π/6) 将差商代入多项式中，我们可以得到： P6(x) = 0 + 1/2(x - 0) + 1(x - 0)(x - π/6) + (-1/6)(x - 0)(x - π/6)(x - π/3) + (-1/3)(x - 0)(x - π/6)(x - π/3)(x 题目：牛顿插值法在图像处理中的应用 分析过程：已知函数f（x）在等距节点x i上的函数值为f(x i)=f i (i=0,1,…..n),一阶差分表示为△f i=f i+1-f i, k阶差分的表示为△kf i=△k-1f i+1-△k-1f i,n次牛顿插值公式表示为Nn(x0+th)=〈f o+t△f o+t(t-1)/2△2y o+……+t(t-1)(t-2)……(t-n+1)/n!〉△ny o,即目标像素点与原像素点之间的关系，h为步长x i+1-x i,已知一维函数f(x)的n+1个等距节点上的值，根据上式即可求出f(x)的任意一点的值，n值越大，计算结果误差越小,在数字图像处理中，可将离散的二维图像信号在水平方向进行一维插值，然后对所得的信号在垂直方向做一维插值即可完成二维信号的插值处理。假设没个像素点均与3个相邻的原像素点相关，并运用牛顿二阶插值公式进行图像插值计算。若要获得目标像素点p(x o,y o)的灰度值，可将f o,f1,f2代入二阶牛顿插值公式求出，也可以由另一组f1,f2,f3求的，若所取f o,f1,f2,f3处在图像均一的环境中，即个灰度值相差不大，则任取一组都能得到相差不大的结果，若f o,f1,f2,f3未能处于图像均一的环境中，考虑到图像细节或边缘上，则两组计算的结果将有很大的差别，如何选取原像素点是牛顿法解决的核心问题，两组原像素点代入二阶牛顿插值算法所得结果如下：△2f o=f2-2f1+f o,△2f1=f3-2f2+f1,通过比较∣△2f O∣∣△2f1∣可以较好地选取合适的一组源像素组，绝对值越小，则目标像素点与源像素组相关性越大，反之亦然，目标像素点可选取相关性较大的源像素组进行牛顿插值计算更为合理 牛顿插值法微课设计 一、引言 牛顿插值法是数值分析领域中的一种重要的插值方法。它通过已知数据点来构造一个多项式函数，从而在数据点之间进行插值。本微课将介绍牛顿插值法的原理、步骤和应用，并通过实例进行详细讲解。 二、课程目标 通过本微课的研究，学生应能够： 1. 了解牛顿插值法的基本原理； 2. 掌握牛顿插值法的计算步骤； 3. 理解牛顿插值法在实际问题中的应用。 三、教学内容和流程 1. 牛顿插值法的原理（10分钟） - 介绍插值的概念和目的； - 解释牛顿插值法的思想和基本原理。 2. 牛顿插值法的计算步骤（20分钟） - 介绍插值节点的选择； - 讲解构造差商表的方法； - 演示如何利用差商表进行插值计算。 3. 牛顿插值法的应用案例（30分钟） - 针对实际问题，给出一组数据点； - 按照步骤2中所学内容，引导学生完成插值计算；- 分析插值结果的精度和可行性。 4. 总结与拓展（10分钟） - 总结牛顿插值法的特点和优势； - 引导学生思考插值方法在其他领域的应用。 四、教学资源和评估方法 1. 资源准备 - 多媒体设备（投影仪、电脑等）； - 计算器或计算机。 2. 评估方法 - 学生课堂表现评价； - 课堂练和作业。 五、教学师生角色 - 教师：讲解牛顿插值法的原理和计算步骤，引导学生进行案 例分析，总结课程内容； - 学生：积极参与课堂讨论，理解并应用牛顿插值法解决实际 问题。 六、课程评价与反馈 - 听取学生对课程的反馈，了解其对牛顿插值法的理解和应用； - 根据学生的反馈，对微课进行评价，优化教学内容和流程。 七、参考资料 1. Burden, R., & Faires, D. (2010). 数值分析（第九版）. 机械工 业出版社. 2. Quarteroni, A., Sacco, R., & Saleri, F. (2006). 数值计算方法 （第二版）. 清华大学出版社. matlab牛顿插值法程序 牛顿插值法是一种数值分析方法，用于确定给定数据点之间的未知函数值。该方法使用一个插值多项式，该多项式使得插值多项式通过给定的插值点，并且在插值点周围的函数值接近已知函数值。该方法比其他插值方法更高，因为它使用被插值数据的微分。 下面是MATLAB中牛顿插值法的程序： function [f, c] = newton_interpolation(x, y) % x：插值节点不同的x值，必须有n个元素。 % y：相应在每个节点的y值，必须有n个元素。 % 返回：拟合的多项式和的权重向量c % 我们创建一个表格，其中包含x和y值的第一行 n = length(x); delta=zeros(n,n); % 先把第一列设置为y值： delta(:,1)=y'; %接下来，我们将使用牛顿插值法来填写余下的每个列 for j=2:n for i=j:n delta(i,j) = ( delta(i,j-1) - delta(i-1,j-1) )/( x(i) - x(i-j+1)); end end % 配置 c 数组 % 从差分表中得出k次递归系数矩阵，目标是多项式系数 c = zeros(1,n); c(1)=delta(1,1); % 获取插值多项式（通过牛顿插值法） syms t; L = c(1); for j=2:n prod = 1; for i=1:j-1 prod = prod * ( t - x(i) ); end L = L + c(j) * prod; end % 转换L成一个函数y=L(x) f = matlabFunction(L); end 现在，当我们调用这个函数并输入我们想要插值的节点和相应的y值，我们会得到拟合的多项式和传递插值节点的权重向量。 几种常用的插值方法 数学系 信息与计算科学1班 李平 指导老师：唐振先 摘要:插值在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科学研究中有许多直接的应用,在很多领域都要用插值的办法找出表格和中间值,插值还是数值积分微分方程数值解等数值计算的基础。本文归纳了几种常用的插值方法,并简单分析了其各自的优缺点。 关键词:任意阶多项式插值,分段多项式插值。 引言:所谓插值,通俗地说就是在若干以知的函数值之间插入一些未知函数值,而插值函数的类型最简单的选取是代数多项式。用多项式建立插值函数的方法主要用两种：一种是任意阶的插值多项式,它主要有三种基本的插值公式：单项式,拉格朗日和牛顿插值；另一种是分段多项式插值,它有Hermite 和spine 插值和分段线性插值。 一．任意阶多项式插值： 1.用单项式基本插值公式进行多项式插值： 多项式插值是求通过几个已知数据点的那个n-1阶多项式,即P n-1(X)=A 1+A 2X+…A n X n-1,它是一个单项式基本函数X 0,X 1…X n-1的集合来定义多项式,由已知n 个点（X,Y ）构成的集合,可以使多项式通过没数据点,并为n 个未知系数Ai 写出n 个方程,这n 个方程组成的方程组的系数矩阵为Vandermonde 矩阵。 虽然这个过程直观易懂,但它都不是建立插值多项式最好的办法,因为Vandermonde 方程组有可能是病态的,这样会导致单项式系数不确定。另外,单项式中的各项可能在大小上有很大的差异,这就导致了多项式计算中的舍入误差。 2.拉格朗日基本插值公式进行插值： 先构造一组插值函数L i （x ） =011011()()()() ()()()() i i n i i i i i i n x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+--------，其中i=0，… 标题：实验一拉格朗日插值法算法与牛顿插值算法 一、实验目的： 1.体会并了解拉格朗日插值法，用计算机插入x值，输出相应的 y值。 2.体会并了解牛顿插值法，用计算机插入x值，输出相应的y值。 二、实验原理： 1.拉格朗日插值法的插值公式： L n(x) =∑y k n k=0 (x−x0)(x−x1)⋯(x−x n) (x−x k)(x k−x0)⋯(x k−x k−1)(x k−x k+1)⋯(x k−x n) 2．牛顿插值法的插值公式： P n(x)=f(x0)+f[x0,x1](x−x0)+f[x0,x1,x2](x−x0)(x−x1)+⋯+f[x0,x1,⋯,x n](x−x0)⋯(x−x n−1) f[x0,x1,⋯,x k]=∑ f(x j) (x j−x0)⋯(x j−x j−1)(x j−x j+1)⋯(x j−x k) k j=0 三、算法设计与程序流程图： 1.拉格朗日插值法算法分析： a.输入节点的个数j。 b.输入节点的横纵坐标。 c.输入新插入的节点的横坐标。 d.通过两次循环求得新插入节点的纵坐标。程序流程图： 2.牛顿插值算法分析： a.输入节点的个数j。 b.输入节点的横纵坐标。 c.输入新插入的节点的横坐标。 d.通过两次循环求得新插入节点的纵坐标。 程序流程图： 四、源程序： #include "stdafx.h" #include "stdio.h" int main() { float x[20],y[20]; int k,j,i,flag; float a,b1,b2,c,d,e,f,w1,w2,l,L,newx,P;牛顿(newton)插值法
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