拉格朗日插值公式和牛顿插值公式

拉格朗日插值公式和牛顿插值公式

拉格朗日插值公式和牛顿插值公式是数值分析中常用的插值方法，用于根据给定的一些数据点，推断出未知点的近似值。本文将分别介绍这两个插值方法的原理和应用。

一、拉格朗日插值公式

拉格朗日插值公式是由法国数学家拉格朗日在18世纪提出的一种插值方法。它的基本思想是通过一个多项式函数来拟合已知的数据点，从而推断出未知点的值。

具体来说，假设有n+1个数据点(x0, y0),(x1, y1),...,(xn, yn)，其中x0,x1,...,xn是互不相同的实数，y0,y1,...,yn是对应的函数值。拉格朗日插值公式的表达式如下：

P(x) = ∑[i=0 to n] yi * Li(x)

其中，P(x)表示通过插值得到的多项式函数，Li(x)是拉格朗日基函数，定义为：

Li(x) = ∏[j=0 to n, j≠i] (x-xj) / (xi-xj)

拉格朗日插值公式的优点是简单易懂，计算方便。但是随着数据点的增多，计算量也会增大，且插值函数的阶数较高时容易产生龙格现象，导致插值结果不稳定。

二、牛顿插值公式

牛顿插值公式是由英国数学家牛顿在17世纪提出的一种插值方法。它的基本思想是通过差商的形式来表示插值多项式，从而推断出未知点的值。

具体来说，假设有n+1个数据点(x0, y0),(x1, y1),...,(xn, yn)，其中x0,x1,...,xn是互不相同的实数，y0,y1,...,yn是对应的函数值。牛顿插值公式的表达式如下：

P(x) = ∑[i=0 to n] fi(x) * wi(x)

其中，P(x)表示通过插值得到的多项式函数，fi(x)是牛顿插值基函数，定义为：

fi(x) = ∏[j=0 to i-1] (x-xj)

wi(x)是差商，定义为：

wi(x) = ∏[j=0 to i-1] (x-xj) / (xi-xj)

牛顿插值公式的优点是计算效率高，且插值函数的阶数较高时也能保持较好的精度。但是当数据点的间距较大或者插值点接近数据点时，插值结果可能不准确，出现振荡现象。

三、应用场景

拉格朗日插值公式和牛顿插值公式在实际问题中都有广泛的应用。

例如，在数值计算中，常常需要根据有限个已知数据点来推断出未知点的值。比如，通过已知的温度数据点来推断某一时刻的温度值，或者通过已知的销售数据点来预测未来的销售额。这时，可以使用拉格朗日插值公式或牛顿插值公式来进行数据的插值计算。

插值方法还可以用于图像处理中的图像放大和缩小。当需要将一幅图像放大或缩小时，可以先确定一部分已知的像素点，然后使用插值方法来推断其它未知的像素点的值，从而得到放大或缩小后的图像。

总结起来，拉格朗日插值公式和牛顿插值公式是数值分析中常用的插值方法，通过已知数据点来推断未知点的值。它们在实际问题中有广泛的应用，如数值计算、图像处理等领域。在使用这些插值方法时，需要根据具体的问题选择适合的插值公式，并注意插值结果的精度和稳定性。

牛顿插值法原理及应用

牛顿插值法 插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，这在实际计算中很不方便。为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式： f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0 )...(x-xn-1)+Rn(x)。 插值函数 插值函数的概念及相关性质[1] 定义：设连续函数y-f(x) 在区间[a,b]上有定义，已知在n+1个互异的点 x0,x1,…xn上取值分别为y0,y1,…yn （设a≤ x1≤x2……≤xn≤b)。若在函数类中存在以简单函数P(x) ，使得P(xi)=yi,则称P(x) 为f(x)的插值函数. 称x1,x2,…xn 为插值节点，称[a,b]为插值区间。 定理：n次代数插值问题的解存在且唯一。

牛顿插值法C程序 程序框图#include void main() { float x[11],y[11][11],xx,temp,newton; int i,j,n; printf("Newton插值:\n请输入要运算的值:x="); scanf("%f",&xx); printf("请输入插值的次数(n<11):n="); scanf("%d",&n); printf("请输入%d组值:\n",n+1); for(i=0;i

不等距节点下的牛顿插值公式以及拉格朗日插值公式实验课报告

数值分析实验报告三 插值法（2学时） 一实验目的 1．掌握不等距节点下的牛顿插值公式以及拉格朗日插值公式。二实验内容 1．已知函数表： 用牛顿插值公式求) (y的近似值。 102 2. 已知函数表： 用拉格朗日插值公式计算01 x以及所对应的近似值。 =y .5 4.1= 三实验步骤（算法）与结果 1．不等距节点下的牛顿插值公式 Ⅰ.按差商表计算n阶差商

12111[,,,][,,,] [,,,]i i i n i i i n i i i n i n i f x x x f x x x f x x x x x +++++-+++-= - 其中 Ⅱ.按以下公式，带入x 值 00010120101101()() ()[,] ()()[,,]()()()[,,] n n f x f x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x f x x -=+-+--++--- Ⅲ.得出结果()f x 程序代码： #include"stdio.h" #include"math.h" int main() { int a,i,j; printf("输入x 系数的个数："); scanf("%d",&a); float d,e=0,c; float x[a]; float y[a-1][a]; printf("输入x 的系数："); for(i=0;i

Lagrange 插值和Newton插值参考答案

Exp1 Lagrange 插值和Newton插值 参考答案 1 、Lagrange插值函数 function p=Lag_polyfit(X,Y) %Matlab函数文件Lag_polyfit.m % 拉格朗日插值法多项式拟合 % X 拟合自变量 % Y 拟合函数值 % p 所得的拟合多项式系数 if size(X)~=size(Y) error(' 变量不匹配'); end % 如果要拟合的函数值与自变量维数不一样, 则退出报错format long % 设置最合适的数字格式 r=size(Y); n=r(2); %n为要拟合的数据长度 p=zeros(1,n); % 保存所得多项式系数 p0=p; b=0; % 工作变量 W=poly(X); %W 为以X 为根的多项式 dW=polyder(W); %dW为对多项式W 求导后的多项式系数 z=polyval(dW,X); %z为以dW为系数的多项式对X 的值 A=[1 1]; r=A; %A,r为长度为2 的(1,2) 向量 for i=1:n A=[1,-X(i)]; %A为一次多项式x-x(i)系数 [p0,r]=deconv(W,A); % 进行多项式除法W/A,p0为商 b=Y(i)/z(i); p0=b.*p0; %p0 为累加项 p=p+p0; end 2 、Newton插值函数 1) 均差表计算及算法实现 function p=Newton_Polyfit(X,Y) %Matlab函数文件Newton_polyfit.m % 牛顿插值法多项式拟合 % X 拟合自变量 % Y 拟合函数值 % p 所得的拟合多项式系数 if size(X)~=size(Y) error(‘变量不匹配?’); end % 如果要拟合的函数值与自变量维数不一样, 则退出报错format long % 设置最合适的数字格式 n=size(X,2); %n为要拟合的数据长度

拉格朗日与牛顿插值法的比较

拉格朗日插值法与牛顿插值法的比较 一、 背景 在工程和科学研究中出现的函数是多种多样的。常常会遇到这样的情况：在某个实际问题中，虽然可以断定所考虑的函数)(x f 在区间],[b a 上存在且连续，但却难以找到它的解析表达式，只能通过实验和观测得到在有限个点上的函数值（即一张函数表）。显然，要利用这张函数表来分析函数)(x f 的性态，甚至直接求出其他一些点上的函数值可能是非常困难的。面对这些情况，总希望根据所得函数表（或结构复杂的解析表达式），构造某个简单函数)(x P 作为)(x f 的近似。这样就有了插值法，插值法是解决此类问题目前常用的方法。 如设函数)(x f y =在区间],[b a 上连续，且在1+n 个不同的点b x x x a n ≤≤,,,10 上分别取值n y y y ,,,10 。 插值的目的就是要在一个性质优良、便于计算的函数类Φ中，求一简单函数)(x P ，使 ),,1,0()(n i y x P i i == 而在其他点i x x ≠上，作为)(x f 的近似。 通常，称区间],[b a 为插值区间，称点n x x x ,,,10 为插值节点，称式i i y x P =)(为插值条件，称函数类Φ为插值函数类，称)(x P 为函数)(x f 在节点n x x x ,,,10 处的插值函数。求插值函数)(x P 的方法称为插值法。 插值函数类Φ的取法不同，所求得的插值函数)(x P 逼近)(x f 的效果就不同。它的选择取决于使用上的需要，常用的有代数多项式、三角多项式和有理函数等。当选用代数多项式作为插值函数时，相应的插值问题就称为多项式插值。本文讨论的拉格朗日插值法与牛顿插值法就是这类插值问题。 在多项式插值中，最常见、最基本的问题是：求一次数不超过n 的代数多项式 n n x a x a a x P +++= 10)( 使),,1,0()(n i y x P i i n ==，其中，n a a a ,,,10 为实数。 拉格朗日插值法即是寻求函数)(x L n （拉格朗日插值多项式）近似的代替函数)(x f 。相似的，牛顿插值法则是通过)(x N n （牛顿插值多项式）近似的求得函数的值。 二、 理论基础 （一）拉格朗日插值法 在求满足插值条件n 次插值多项式)(x P n 之前，先考虑一个简单的插值问题：对节点

拉格朗日插值公式和牛顿插值公式

拉格朗日插值公式和牛顿插值公式 拉格朗日插值公式和牛顿插值公式是数值分析中常用的插值方法，用于根据给定的一些数据点，推断出未知点的近似值。本文将分别介绍这两个插值方法的原理和应用。 一、拉格朗日插值公式 拉格朗日插值公式是由法国数学家拉格朗日在18世纪提出的一种插值方法。它的基本思想是通过一个多项式函数来拟合已知的数据点，从而推断出未知点的值。 具体来说，假设有n+1个数据点(x0, y0),(x1, y1),...,(xn, yn)，其中x0,x1,...,xn是互不相同的实数，y0,y1,...,yn是对应的函数值。拉格朗日插值公式的表达式如下： P(x) = ∑[i=0 to n] yi * Li(x) 其中，P(x)表示通过插值得到的多项式函数，Li(x)是拉格朗日基函数，定义为： Li(x) = ∏[j=0 to n, j≠i] (x-xj) / (xi-xj) 拉格朗日插值公式的优点是简单易懂，计算方便。但是随着数据点的增多，计算量也会增大，且插值函数的阶数较高时容易产生龙格现象，导致插值结果不稳定。

二、牛顿插值公式 牛顿插值公式是由英国数学家牛顿在17世纪提出的一种插值方法。它的基本思想是通过差商的形式来表示插值多项式，从而推断出未知点的值。 具体来说，假设有n+1个数据点(x0, y0),(x1, y1),...,(xn, yn)，其中x0,x1,...,xn是互不相同的实数，y0,y1,...,yn是对应的函数值。牛顿插值公式的表达式如下： P(x) = ∑[i=0 to n] fi(x) * wi(x) 其中，P(x)表示通过插值得到的多项式函数，fi(x)是牛顿插值基函数，定义为： fi(x) = ∏[j=0 to i-1] (x-xj) wi(x)是差商，定义为： wi(x) = ∏[j=0 to i-1] (x-xj) / (xi-xj) 牛顿插值公式的优点是计算效率高，且插值函数的阶数较高时也能保持较好的精度。但是当数据点的间距较大或者插值点接近数据点时，插值结果可能不准确，出现振荡现象。 三、应用场景

牛顿插值法原理及应用

牛顿插值法原理及应用

牛顿插值法 插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，这在实际计算中很不方便。为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式： f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x 0)...(x-xn-1)+Rn(x)。 插值函数 插值函数的概念及相关性质[1] 定义：设连续函数y-f(x) 在区间[a,b]上有定义，已知在n+1个互异的点 x0,x1,…xn上取值分别为y0,y1,…yn （设a≤ x1≤x2……≤xn≤b)。若在函数类中存在以简单函数P(x) ，使得P(xi)=yi,则称P(x) 为f(x)的插值函数. 称x1,x2,…xn 为插值节点，称[a,b]为插值区间。 定理：n次代数插值问题的解存在且唯一。

牛顿插值法C程序 程序框图#include void main() { float x[11],y[11][11],xx,temp,newton; int i,j,n; printf("Newton插值:\n请输入要运算的值:x="); scanf("%f",&xx); printf("请输入插值的次数(n<11):n="); scanf("%d",&n); printf("请输入%d组值:\n",n+1); for(i=0;i

拉格朗日牛顿插值法实验报告

标题：实验一拉格朗日插值法算法与牛顿插值算法 一、实验目的： 1.体会并了解拉格朗日插值法，用计算机插入x值，输出相应的 y值。 2.体会并了解牛顿插值法，用计算机插入x值，输出相应的y值。 二、实验原理： 1.拉格朗日插值法的插值公式： L n(x) =∑y k n k=0 (x−x0)(x−x1)⋯(x−x n) (x−x k)(x k−x0)⋯(x k−x k−1)(x k−x k+1)⋯(x k−x n) 2．牛顿插值法的插值公式： P n(x)=f(x0)+f[x0,x1](x−x0)+f[x0,x1,x2](x−x0)(x−x1)+⋯+f[x0,x1,⋯,x n](x−x0)⋯(x−x n−1) f[x0,x1,⋯,x k]=∑ f(x j) (x j−x0)⋯(x j−x j−1)(x j−x j+1)⋯(x j−x k) k j=0 三、算法设计与程序流程图： 1.拉格朗日插值法算法分析： a.输入节点的个数j。 b.输入节点的横纵坐标。 c.输入新插入的节点的横坐标。

d.通过两次循环求得新插入节点的纵坐标。程序流程图：

2.牛顿插值算法分析： a.输入节点的个数j。 b.输入节点的横纵坐标。 c.输入新插入的节点的横坐标。 d.通过两次循环求得新插入节点的纵坐标。 程序流程图：

四、源程序： #include "stdafx.h" #include "stdio.h" int main() { float x[20],y[20]; int k,j,i,flag; float a,b1,b2,c,d,e,f,w1,w2,l,L,newx,P;

python 插值法

python 插值法 插值法是一种利用已知数据点构建函数模型，并推导出未知数据点的方法。在数值分 析和科学计算的领域中，插值法是十分常见的一种数值方法，常常于信号处理、图像处理、计算机辅助设计等领域中得到应用。 插值法的核心思想是通过已知数据点上的函数值，去推导未知数据点上的函数值。此时，数据点可以看作是已知的坐标，函数值可以看作是已知的高度值。插值法的具体操作 方式就是在数据点上构建一个函数模型，该函数模型可以被愈加连续化，从而推导未知点 上的函数值。 在插值法中，函数模型有很多种，如拉格朗日插值法、牛顿插值法、分段线性插值法等。这些方法在不同的场合下有各自的优缺点。下面，我们将介绍几种常见的插值方法。 1、拉格朗日插值法 拉格朗日插值法利用一个 $n-1$ 次多项式连接已知数据点。具体来讲，设有 $n$ 个 不同的数据点 $(x_0,y_0),(x_1,y_1),\dots,(x_{n-1},y_{n-1})$。根据拉格朗日插值法，可以得到如下的 $n-1$ 次多项式： $$ f(x)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}y_iL_i(x) $$ 其中，$L_i(x)$ 是基函数，定义如下： $$ L_i(x)=\prod\limits_{j=0,j\neq i}^{n-1}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}\qquad i=0,1,\dots,n-1 $$ 举例来说，假设我们已知数据点 $(0,1),(1,3),(2,5),(3,7)$。那么相应的拉格朗日 插值多项式为： $$ f(x)=1\cdot\frac{(x-1)(x-2)(x-3)}{(0-1)(0-2)(0-3)}+3\cdot\frac{(x-0)(x-2)(x-3)

拉格朗日与牛顿插值法的比较

拉格朗日插值法与牛顿插值法的比较 一、 背景 在工程和科学研究中出现的函数是多种多样的。常常会遇到这样的情况：在某个实际问题中，虽然可以断定所考虑的函数)(x f 在区间],[b a 上存在且连续，但却难以找到它的解析表达式，只能通过实验和观测得到在有限个点上的函数值（即一张函数表）。显然，要利用这张函数表来分析函数)(x f 的性态，甚至直接求出其他一些点上的函数值可能是非常困难的。面对这些情况，总希望根据所得函数表（或结构复杂的解析表达式），构造某个简单函数)(x P 作为)(x f 的近似。这样就有了插值法，插值法是解决此类问题目前常用的方法。 如设函数)(x f y =在区间],[b a 上连续，且在1+n 个不同的点b x x x a n ≤≤,,,10 上分别取值 n y y y ,,,10 。 插值的目的就是要在一个性质优良、便于计算的函数类Φ中，求一简单函数)(x P ，使 ),,1,0()(n i y x P i i == 而在其他点i x x ≠上，作为)(x f 的近似。 通常，称区间],[b a 为插值区间，称点n x x x ,,,10 为插值节点，称式i i y x P =)(为插值条件，称函数类Φ为插值函数类，称)(x P 为函数)(x f 在节点n x x x ,,,10 处的插值函数。求插值函数 )(x P 的方法称为插值法。 插值函数类Φ的取法不同，所求得的插值函数)(x P 逼近)(x f 的效果就不同。它的选择取决于使用上的需要，常用的有代数多项式、三角多项式和有理函数等。当选用代数多项式作为插值函数时，相应的插值问题就称为多项式插值。本文讨论的拉格朗日插值法与牛顿插值法就是这类插值问题。 在多项式插值中，最常见、最基本的问题是：求一次数不超过n 的代数多项式 n n x a x a a x P +++= 10)( 使),,1,0()(n i y x P i i n ==，其中，n a a a ,,,10 为实数。 拉格朗日插值法即是寻求函数)(x L n （拉格朗日插值多项式）近似的代替函数)(x f 。相似的，牛顿插值法则是通过)(x N n （牛顿插值多项式）近似的求得函数的值。 二、 理论基础 （一）拉格朗日插值法 在求满足插值条件n 次插值多项式)(x P n 之前，先考虑一个简单的插值问题：对节点

拉格朗日插值法与牛顿插值法的比较

拉格朗日插值法与牛顿插值法的比较 [摘 要]在生产和科研中出现的函数是多样的。对于一些函数很难找出其解析表达式。即使在某些情况下，可以写出函数的解析表达式，但由于解析表达式的结构相当复杂，使用起来很不方便。插值法即是解决此类问题的一种古老的、然而却是目前常用的方法，它不仅直接广泛地应用于生产实际和科学研究中，而且也是进一步学习数值计算方法的基础。拉格朗日插值法和牛顿插值法则是二种常用的简便的插值法。本文即是讨论拉格朗日插值法和牛顿插值法的理论及二者的比较。 [关键词] 拉格朗日插值 牛顿插值 插值多项式 比较 一、 背景 在工程和科学研究中出现的函数是多种多样的。常常会遇到这样的情况：在某个实际问题中，虽然可以断定所考虑的函数)(x f 在区间],[b a 上存在且连续，但却难以找到它的解析表达式，只能通过实验和观测得到在有限个点上的函数值（即一张函数表）。显然，要利用这张函数表来分析函数)(x f 的性态，甚至直接求出其他一些点上的函数值可能是非常困难的。面对这些情况，总希望根据所得函数表（或结构复杂的解析表达式），构造某个简单函数)(x P 作为)(x f 的近似。这样就有了插值法，插值法是解决此类问题目前常用的方法。 如设函数)(x f y =在区间],[b a 上连续，且在1+n 个不同的点b x x x a n ≤≤,,,10 上分别取值n y y y ,,,10 。 插值的目的就是要在一个性质优良、便于计算的函数类Φ中，求一简单函数)(x P ，使 ),,1,0()(n i y x P i i == 而在其他点i x x ≠上，作为)(x f 的近似。 通常，称区间],[b a 为插值区间，称点n x x x ,,,10 为插值节点，称式i i y x P =)(为插值条件，称函数类Φ为插值函数类，称)(x P 为函数)(x f 在节点n x x x ,,,10 处的插值函数。求插值函数)(x P 的方法称为插值法。 插值函数类Φ的取法不同，所求得的插值函数)(x P 逼近)(x f 的效果就不同。它的选择取决于使用上的需要，常用的有代数多项式、三角多项式和有理函数等。当选用代数多项式作为插值函数时，相应的插值问题就称为多项式插值。本文讨论的拉格朗日插值法与牛顿插值法就是这类插值问题。 在多项式插值中，最常见、最基本的问题是：求一次数不超过n 的代数多项式 n n x a x a a x P +++= 10)( 使),,1,0()(n i y x P i i n ==，其中，n a a a ,,,10 为实数。