最短路径问题»
知识定位
讲解用时：5分钟
A、适用范围：人教版初二，基础较好；
B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习最短路径问题，现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，最值问题不仅使学生难以理解，也是中考中的一个高频考点。本节将利用轴对称知识探究数学史上著名的“将军饮马问题”。
知识梳理
讲解用时：20分钟
两点之间线段最短
C D
A B
E
A地到B地有3条路线A-C-D-B, A-B, A-E-B，那么选哪条路线最近呢? 选A-B，因为两点之间，直线最短
--- _ _
两点在一条直线异侧
相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位
久负盛名的学者，名叫海伦.有一天，位
将军专程拜访海伦，求教一个百思不得
其解的问题：
从图中的A地出发，到一条笔直的河边I
饮马，然后到B地•到河边什么地方饮马
可使他所走的路线全程最短？
两点在一条直线同侧
作法：
1、作B点关于直线L的对称点B'
2、连接AB'交直线L于点C;
3、点C即为所求.
证明：在直线L上任意选一点C'
（点C不与C重合），连接AC、BC、B' C'.
在厶AB' C'中，
AC +B' C' > AB'
••• AC +BC > AC+BC
所以AC+BC最短.
【例题1】
已知点A,点B都在直线I的上方，试用尺规作图在直线I上求作一点P,使得
PA+PB勺值最小，则下列作法正确的是（）
【答案】D
【解析】根据作图的方法即可得到结论.
解：作B关于直线I的对称点，连接这个对称点和A交直线I于P,则PA+PB勺值最小，
••• D的作法正确，
故选：D.
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了轴对称-最短距离问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键. 教学建议：学会处理两点在直线同侧的最短距离问题.
难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018
【练习1.1】
如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄.欲在L上的某处修建一个水泵站, 向P，Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需
管道最短的是（）
【答案】D
【解析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间
的距离.
解：作点P关于直线L的对称点P',连接QP交直线L于M
根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短.
故选：D.
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了最短路径的数学问题.这类问题的解答依据是“两点之间, 线段最短”.由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别.
教学建议：学会处理两点在直线同侧的最短距离问题.
难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018
【练习1.2 ］
如图，A、B在直线I的两侧，在直线I上求一点P,使|PA-PB|的值最大.
B
【答案］见解析
【解析］作点A关于直线I的对称点A'，则PA=PA，因而|PA- PB|=|PA'
-PB|，则当A', B、P在一条直线上时，|PA- PB |的值最大.
解：作点A关于直线I的对称点A'，连A B并延长交直线I于P.
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查的是作图-轴对称变换，熟知“两点之间线段最短”是解答此题
的关键.
教学建议：学会作对称点，通过“两点之间线段最短”进行解题•
难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018
【例题2】
如图，A、B在直线I的同侧，在直线I上求一点巳使厶PAB的周长最小.
【答案】
【解析】由于△ PAB的周长=PA+AB+P，而AB是定值，故只需在直线I上找一点P,使PA+PB最小.如果设A关于I的对称点为A',使PA+PB最小就是使PA +PB最小. 解：作法：作A关于I的对称点A'，
连接A B交I于点P.
则点P就是所要求作的点；
理由：在I上取不同于P的点P',连接AP、BP .
••• A和A关于直线I对称，
••• PA=PA，P' A=P A，
而 A ' P+BP^ A P' +BP
••• PA+B R AP' +BP
••• AB+AP+B R AB+AP +BP
即厶ABP周长小于△ ABP周长.
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了轴对称-最短路线问题解这类问题的关键是把两条线段的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决.
教学建议：把三角形的周长用线段表示出来，通过转化成一条线段利用两点之间线段最短进行解题•
难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018
【练习2.1 ］
(I)如图①，点A、B在直线I两侧，请你在直线I上画出一点P,使得PA+PB 的值最小；
(U)如图②，点E、F在直线I同侧，请你在直线I上画出一点P,使得PE+PF 的值最小；
(川)如图③，点MN在直线I同侧，请你在直线I上画出两点OP,使得0P=1cm 且MO+OP+P的值最小.
(保留作图痕迹，不写作法)
【答案］见解析
【解析］(I )图①，显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点；
(II )图2,作E关于直线的对称点，连接FE'即可；
(III )图③，画出图形，作N的对称点N',作NQ/直线I ， NQ=1cm连接MQ
得出点0即可.
解：（I）如图①，连接A、B两点与直线的交点即为所求作的点P,这样PA+PB 最小，理由是：两点之间，线段最短；
（II ）如图②，先作点E关于直线I的对称点E'，再连接E' F交I于点P,则
PE+PF=E P+PF=E F,由“两点之间，线段最短”可知，点P即为所求的点；
作N关于直线I的对称点N',过N'作线段N Q//直线I，且线段N Q=1cm
连接MQ交直线I于O,在直线I上截取0P=1cm如图，连接NP,
则此时MO+OP+PN值最小.
讲解用时：5分钟
解题思路：本题考查了轴对称-最短路线问题的应用, 题目比较典型，第三小题有一定的难度，主要考查学生的理解能力和动手操作能力.
教学建议：学会作对称点，通过“两点之间线段最短”进行解题• 难
度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018
【例题3】
如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是16,腰AC的垂直平分线EF分别交AC, AB边于E, F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，求△ CDM周长的最小值.
【答案】10
【解析】连接AC ，由于△ ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，故AD 丄BC ，
再根据三角形的面积公式求出 AD 的长，再再根据EF 是线段AC 的垂直平分线可 知，点C 关于直线EF 的对称点为点A ,故AD 的长为CM+M 的最小值，由此即可 得出结论.
解：连接AD •••△ ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点,
• ADL BC,
• - S A AB =j-
BC?AD=- ••• EF 是线段AC 的垂直平分线,
•••点C 关于直线EF 的对称点为点A,
••• AD 的长为CM+M 的最小值，
解题思路：本题考查的是轴对称-最短路线问题， 熟知等腰三角形三线合一的性 质是解答此题的关键.
教学建议：想办法利用对称的知识将两条线段转化成一条线段， 利用垂线段最短 进行解题.
难度：4适应场景：当堂例题 例题来源：无 年份：2018
【练习3.1 ]
如图，已知点D 点E 分别是等边三角形 ABC 中BC AB 边的中点，AD=5点F 是AD 边上的动点，求BF+EF 的最小值.
【答案】5
X 4X AD=16 解得
AD=8
X
4=8+2=10.
【解析】 过C 作CEL AB 于E ,交AD 于F ,连接BF,贝U BF+EF 最小，证△ ADB ◎ △ CEB 得 CE=AD=,即 BF+EF=5
解：过C 作CEL AB 于E ,交AD 于 F ,连接BF,则BF+EF 最小（根据两点之间线 段最短；点到直线垂直距离最短），由于C 和B 关于AD 对称，则BF+EF=CF •••等边△ ABC 中, BD=CD
••• ACL BC,
••• AD 是 BC 的垂直平分线（三线合一）,
••• C 和B 关于直线AD 对称，
••• CF=BF
即 BF+EF=CF+EF=CE
••• AD L BC, CEL AB
•••/ ADB 2 CEB=90 ,
在厶 ADB?3 CEB 中,
ZADB=ZCEB
ZABD=ZCBE ,
AB=CB
•••△ ADB^A CEB （AAS ,
CE=AD=5
即 BF+EF=5
讲解用时：4分钟
解题思路：本题考查的是轴对称-最短路线问题， 涉及到等边三角形的性质，轴 对称的性质，等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点的综合运用.
教学建议：想办法利用对称的知识将两条线段转化成一条线段， 利用垂线段最短 进行解题•
难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2018
[
【例题4】
如图所示，在一条河的两岸有两个村庄，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河
流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从A到B的距离最短？
【答案】见解析
【解析】虽然A、B两点在河两侧，但连接AB的线段不垂直于河岸•关键在于使AP+BD最短，但AP与BD未连起来，要用线段公理就要想办法使P与D重合起来，利用平行四边形的特征可以实现这一目的.
解：如图，作BB'垂直于河岸GH使BB等于河宽，
连接AB，与河岸EF相交于P,作PDL GH
贝U PD// BB且PD=BB，
于是PDBB为平行四边形，故PB =BD
根据“两点之间线段最短” ，AB最短，即AP+BD最短.
讲解用时：4分钟
解题思路：此题考查了轴对称 —— 最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”， 但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线 段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题•目前，往往利用对称性、平行四 边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法.
教学建议：将3条线段进行转化成一条线段•
难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：无 年份：2018
【练习4.1 ］
作图题
(1) 如图1, 一个牧童从P 点出发，赶着羊群去河边喝水，则应当怎样选择饮 水路线，才能使羊群走的路程最短？请在图中画出最短路线.
(2) 如图2,在一条河的两岸有A ，B 两个村庄，现在要在河上建一座小桥，桥 的方向与河岸方向垂直，桥在图中用一条线段 CD 表示•试问：桥CD 建在何处， 才能使A 至U B 的路程最短呢？请在图中画出桥CD 的位
【答案］见解析
【解析］(1)把河岸看做一条直线, 段最短的性质即可解决问题.
(2)先确定AA =CD 且AA // CD 连接BA ，与河岸的交点就是点 C,过点 C 作CD 垂直河岸，交另一河岸于点 D, CD 就是所求的桥的位置.
解：(1)根据垂直线段最短的性质，即可画出这条从草地到河边最近的线路，如 图1所示：
利用点到直线的所有连接线段中，垂直线
(2)先确定AA =CD且AA // CD连接BA，与河岸的交点就是点C,过点
C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D, CD就是所求的桥的位置•如图2,
讲解用时：4分钟
解题思路：此题考查了垂直线段最短的性质的在解决实际问题中的灵活应用，解题的关键是灵活运用垂直线段最短的性质作图.
教学建议：掌握求最短路径的几种基本题型和方法.
难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018
【例题5】
如图，MN是等边三角形ABC的一条对称轴，D为AC的中点，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，/ PCD勺度数是多少？
【答案】30°
【解析】由于点C关于直线MN勺对称点是B,所以当B P、D三点在同一直线
上时，PC+PD勺值最小
解：连接PB.
由题意知，••• B、C关于直线MN对称，
••• PB=PC
••• PC+PD=PB+PD
当B、P、D三点位于同一直线时，PC+PDR最小值，
连接BD交MN于P,
•••△ ABC是等边三角形，D为AC的中点，
••• BDL AC,
••• PA=PC
•••/ PCD M PAD=30
讲解用时：3分钟
解题思路：此题考查了线路最短的问题、等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型.
教学建议：学会转移对称线段，利用垂线段最短进行解题•
难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018
【练习5.1 ］
已知，如图△ ABC为等边三角形，高AH=10cmP为AH上一动点，D为AB的中点，则PD+PB勺最小值为多少？
【答案］10cm
【解析］连接PC,根据等边三角形三线合一的性质，可得PC=BP PD+PB要取最小值，应使 D P、C三点一线.
解：连接PC，
•••△ ABC为等边三角形，D为AB的中点，
••• PD+PB勺最小值为：PD+PB=PC+PD=CD=AH=10cm
解题思路：此题主要考查有关轴对称--最短路线的问题， 注意灵活应用等边三 角形的性质.
教学建议：学会转移对称线段，利用垂线段最短进行解题
难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2018
【例题6】
如图，/ AOB 勺内部有一点P ,在射线OA OB 边上各取一点P i , B ，使得△ PRB
，保留作图痕迹.
【解析】作点P 关于直线OA 的对称点E ,点P 关于直线OB 的对称点F ，连接
理由：••• RP=PE , RP=PF
,
EF 交OA 于P i ，交OB 于P 2, 连接PP , PR , △ PPP 2即为所求.
解：如图，作点P 关于直线 EF 交OA 于P i ,交OB 于P 2, OA 的对称点E, 连接PP , PR , 点P 关于直线OB 的对称点F ,连接 △ PPP 2即为所求
.
R,叙述作图过程（作法） 【答案】见解析
:.△ PRF2 的周长=PR+PF2+PP=ER+p i p2+p2F=EF,
根据两点之间线段最短，可知此时△ PPP2的周长最短.
讲解用时：5分钟
解题思路：本题考查轴对称-最短问题、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，属于中考常考题型.
教学建议：此类问题的解题技巧是做对称点，做定点关于动点所在直线的对称点• 难度：4适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018
【练习6.1 ］
知识拓展：如图2,点P在/AOB内部，试在OA 0B上分别找出两点E、F,使
△ PEF周长最短（保留作图痕迹不写作法）
【答案］见解析
【解析］作P关于OA 0B的对称点C D,连接CD角OA 0B于E、F.此时△
PEF周长有最小值；
作图如下：
解题思路：题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出对称点的位置是解题关键.
教学建议：此类问题的解题技巧是做对称点，做定点关于动点所在直线的对称点难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018
【例题7】
如图，/ AOB=30，点P是/AOB内一点，PO=8在/ AOB勺两边分别有点R、Q （均不同于O）,求厶PQF周长的最小值.
【答案】
【解析】根据轴对称图形的性质，作出P关于OA OB的对称点M N,连接MN 根据两点之间线段最短得到最小值线段，根据等边三角形的性质解答即可.
解：分别作P关于OA OB的对称点M N.
连接MN交OA OB交于Q 尺则厶PQF符合条件.
连接OM ON
由轴对称的性质可知，OM=ON=OR=8
/ MON H MOP主NOP=Z AOB=Z3O° =60°,
则A MO为等边三角形，
••• MN=8
••• QP=QMRN=RP
讲解用时：5分钟
解题思路：本题考查了轴对称-最短路径问题，根据轴对称的性质作出对称点是解题
的关键，掌握线段垂直平分线的性质和等边三角形的性质的灵活运用.
教学建议：对称之后，角度也是相同的，做定点关于动点所在直线的对称点.
难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018
【练习7.1 ］
如图，/ AOB=30，/ AOB内有一定点P,且OP=10 0A上有一点Q, 0B上有一
定点只若厶PQR周长最小，求它的最小值.
【答案］10
【解析］先画出图形，作PM L 0A与0A相交于M并将PM延长一倍到E,即
ME=PM作PN!0B与0B相交于N,并将PN延长一倍到F,即NF=PN连接EF与0A相交于Q,与0B相交于R,再连接PQ PR则厶PQR即为周长最短的三角形.再根据线段垂直平分线的性质得出△ PQR=EF再根据三角形各角之间的关系判断出△ E0F的形状即可求解.
解：设/ P0A羽，则/ P0B=30 作PML0A与0A相交于M,并将PM延长
一倍至U E, 即卩ME=P M
作PN10B与0B相交于N,并将PN延长一倍到F, 即卩NF=PN
连接EF与0A相交于Q,与0B相交于R,再连接PQ PR则A PQR即为周长最短的三角形.
v 0A是PE的垂直平分线，
••• EQ=QP
同理，0B是PF的垂直平分线，
••• FR=RP
•••△ PQR勺周长=EF.
v 0E=0F=0P=1（且/ E0F M E0P# P0F=2） +2（30°-9）=60°,
•••△ EOF是正三角形，
••• EF=10即在保持0P=1（的条件下△ PQR勺最小周长为10.
作出各点的对称点，即把求三角形周长的问题转化为求线段的长解答. 教学建议：做定点关于动点所在直线的对称点，利用轴对称的性质进行解题 难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2018 课后作业
【作业11
如图，在铁路I 的同侧有A 、B 两个工厂，要在铁路边建一个货场 C,货场应建 在什么地方，才能使A 、B 两厂到货场C 的距离之和最短？
A * J
«
【答案1见解析
【解析1作点B 关于直线I 的对称点B'，连接AB ，交I 于点C,则点C 即 为所求点.
解：如图所示：
A
\ ・
1 ■
■i I
—'
讲解用时：3分钟
【作业2】 解答此类题目的关键根据轴对称的性质
难度：3 适应场景：练习题 例题来源：无 年份：2018
故答案为：10.
13．4 课题学习 最短路径问题 1．能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．(重点) 2．利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．(难点) 一、情境导入 相传，古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？ 二、合作探究 探究点：最短路径问题 【类型一】 两点的所有连线中，线段 最短 如图所示，在河a 两岸有A 、B 两个村庄，现在要在河上修建一座大桥，为方便交通，要使桥到这两村庄的距离之和最短，应在河上哪一点修建才能满足要求？ (画出图形，做出说明) 解析：利用两点之间线段最短得出答案． 解：如图所示，连接AB 交直线a 于点P ，此时桥到这两村庄的距离之和最短．理由： 两点之间线段最短． 方法总结：求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这 两点，与直线的交点即为所求． 【类型二】 运用轴对称解决距离最短 问题 在图中直线l 上找到一点M ，使它 到A ，B 两点的距离和最小． 解析：先确定其中一个点关于直线l 的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直 线l 的交点M 即为所求的点． 解：如图所示：(1)作点B 关于直线l 的对称点B ′；(2)连接AB ′交直线l 于点M ；(3)点M 即为所求的点． 方法总结：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求，根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系求解． 【类型三】 最短路径选址问题 如图，小河边有两个村庄A ，B ， 要在河边建一自来水厂向A 村与B 村供水． (1)若要使厂址到A ，B 两村的距离相等，则应选择在哪建厂(要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明)? (2)若要使厂址到A ，B 两村的水管最短，应建在什么地方？ 解析：(1)欲求到A 、B 两村的距离相等，即作出AB 的垂直平分线与EF 的交点即可，
最短路径问题 解题技巧：先把立体图形展开成平面图形，再根据两点之间线段最短来解决问题 例1、如图，厨房里有一个圆柱体的糖罐，底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径．一只饥饿的蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C偷糖吃，试求出爬行的最短路程 1、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm。A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为 _________dm． 2、如图所示，无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度.
3、如图，A、B两个小城镇在河流CD同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元 (1)请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节约？ (2)求出总费用是多少？ 课后作业 1、在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB2+BC2+AC2的值是（） A.2 B.4 C.6 D.8 2、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（） A．B．C．D． 3、如图所示，一根旗杆于离地面12m处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m，旗杆在断裂之前高为______m
4、如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-6,0）、（0,8）。以点A为圆 心，AB的长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为___________ 5、如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60°，∠C=45°。 （1）求∠BAC的度数。 （2）若AC=2，求AD的长。 6、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=5，则BC=________ 7、如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED。 （1）△BEC是否为等腰三角形？为什么？ （2）若AB＝1，∠ABE＝45°，求BC的长。
人教版八年级数学13.4最短路径问题（包含答案） 13.4最短路径问题 知识要点： 1．求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置． 2．求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置． 一、单选题 1．A，B，C三个车站在东西方向笔直的一条公路上，现要建一个加油站使其到三个车站的距离和最小，则加油站应建在() A．在A的左侧B．在AB之间C．在BC之间D．B处 【答案】D 2．A、B是直线l上的两点，P是直线l上的任意一点，要使PA+PB的值最小，那么点P 的位置应在（） A．线段AB上B．线段AB的延长线上 C．线段AB的反向延长线上D．直线l上 【答案】A 3．如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（） A．B．C． D． 【答案】D 4．已知：如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，△A＜△B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM 沿直线CM折叠，点A落在点A1处，CA1与AB交于点N，且AN=AC，则△A的度数是（）
A．30° B．36° C．50° D．60° 【答案】A 5．如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是△BAC的平分线．若P，Q 分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（） A．2.4B．4 C．4.8D．5 【答案】C 6．如图所示,△ABC中,AB=AC,△EBD=20°,AD=DE=EB,则△C的度数为() A．70°B．60°C．80°D．65° 【答案】A 7．如图所示,在Rt△ABC中,△ACB=90°,△B=15°,AB边的垂直平分线交AB于点E,交BC于点D,且BD=13 cm,则AC的长是() A．13 cm B．6.5 cm C．30 cm D．cm 【答案】B 8．如图所示，从点A到点F的最短路线是() A．A→D→E→F B．A→C→E→F C．A→B→E→F D．无法确定
13．4课题学习最短路径问题 1．能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．(重点) 2．利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．(难点) 一、情境导入 相传，古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？ 二、合作探究 探究点：最短路径问题 【类型一】两点的所有连线中，线段最短 如图所示，在河a两岸有A、B两个村庄，现在要在河上修建一座大桥，为方便交通，要使桥到这两村庄的距离之和最短，应在河上哪一点修建才能满足要求？(画出图形，做出说明) 解析：利用两点之间线段最短得出答案． 解：如图所示，连接AB交直线a于点P，此时桥到这两村庄的距离之和最短．理由：两点之间线段最短．
方法总结：求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求． 【类型二】运用轴对称解决距离最短问题 在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小． 解析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点． 解：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′交直线l于点M；(3)点M 即为所求的点． 方法总结：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求，根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系求解． 【类型三】最短路径选址问题 如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水． (1)若要使厂址到A，B两村的距离相等，则应选择在哪建厂(要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明)? (2)若要使厂址到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？ 解析：(1)欲求到A、B两村的距离相等，即作出AB的垂直平分线与EF的交点即可，交点即为厂址所在位置；(2)利用轴对称求最短路线的方法是作出A点关于直线EF的对称点A′，再连接A′B 交EF于点N，即可得出答案． 解：(1)作出AB的垂直平分线与EF的交点M，交点M即为厂址所在位置；
教学时间授课班级初二（2）班授课人课题 13.4 课题学习 最短路径问题 课时第一课时课型新课 教学内容解析内容 利用轴对称研究某些最短路径问题 内容 解析 最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短” 为基础知识，有时候还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究. 本节课以数学史中的一个经典问题－“将军饮马问题”为载体展开对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段 和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最 短”（或“三角形两边之和大于第三边”）的问题. 基于以上分析，确定本节课的重点为：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题. 教学目标解析目标 知识与技能：能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在 解决最值问题中的作用. 过程与方法：在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解 决问题的能力及渗透感悟转化思想. 情感与价值观：通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的 过程中,体验数学学习的实用性. 目标 解析 目标的具体要求是：学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象成数学中 的“点”“线”，把实际问题中的最短路径抽象成数学中的线段和最小问题； 能利用轴对称将直线上的点与同侧两点所连线段和最小问题转化成直线 上的点与异侧两点所连线段和最小问题，即“两点之间，线段最短”问题； 能通过逻辑推理说明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对 称的“桥梁”作用，感悟转化思想.
学生学情分析 最短路径问题本质上就是最值问题，作为初中学生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚不足，特别是面对具有实际问题背景的最值问题，更会感到陌生. 解答“当点A,B在直线l的同侧时，如何在l上找C,使得AC与CB的和最小”需要将其转化为“直线l异侧两点，与l上的点的线段和最小”的问题，为什么需要这样转化，怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解上和操作上的困难. 在说明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求作的点不重合），说明所连线段和大于所求线段和，这里可以利用“三角形任意两边和大于第三边”来说明，也可以直观展示给学生.这种思路和方法，一些学生想不到. 教学过程中，首先让学生思考“直线l异侧两点，与l上的点的线段和最小”为学生搭建“脚手架”.在说明“最短”时，适当点拨学生，学生要体会到“任意”的作用. 因此，本节课的教学难点是：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题，如何说明“最短”． 教学准备多媒体课件教学方法自主学习，合作探究课堂教学程序设计设计意图 一、创设情景引入课题 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题,本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”. 出示问题情境 学生思考,并观察图片,获得感性认识. 二、自主探究合作交流建构新知 1、将实际问题抽象为数学问题 问题1、你能将这个问题抽象为数学问题吗？ 活动1:思考画图，将A,B 两地抽象为两个点,将河l抽象为一条直线. 引入课题，问题情境，激发学生学习兴趣和探究欲望.
B C D A L 图(3) C 中考专题复习——路径最短问题 一、具体内容包括： 蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题； 线段（之和）最短问题； 二、原理： 两点之间，线段最短；垂线段最短。（构建“对称模型”实现转化） 三、例题： 例1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A 沿木块侧面爬到点B 处，则它爬行的最短路径是 。 ②如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。 例2、①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。 ②如图，直线L 同侧有两点A 、B ，已知A 、B 到直线L 的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L 上找一个点P ，使PA+PB 的和最小。请在图中找出点P 的位置，并计算PA+PB 的最小值。 ③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km 和3Km ，张村与李庄的水平距离为3Km ，则所用水管最短长度为 。 四、练习题（巩固提高） （一）1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。 2、现要在如图所示的圆柱体侧面A 点与B 点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm ，底面圆周长为16cm ，则所缠金丝带长度的最小值为 。 3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A 点爬到点B 处吃到食物，知圆柱体的高为5 cm ，底面圆的周长为24cm ，则蚂蚁爬行的最短路径为 。 4、正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN 的最小值 第2题 张村 李庄 A B B 第1题 第3题
13.3等腰三角形 13.4课题学习最短路径问题 专题一等腰三角形的性质和判定的综合应用 1．如图在△ABC中，BF、CF是角平分线，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，DE经过点F．结论：①△BDF 和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长=AB+AC；④BF=CF．其中正确的是___________．(填序号) 2．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且BE=CF，AD+EC=AB． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数；
（3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？ （4）请你猜想：当∠A为多少度时，∠EDF+∠EFD=120°，并请说明理由． 3．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D．（1）请你写出图中所有的等腰三角形； （2）请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由．
（3）如果BC=10，求AB+AE的长． 专题二等边三角形的性质和判定 4．如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上一动点，连接OP，以O为圆心，OP 长为半径画弧交BC于点D，连接PD，如果PO=PD，那么AP的长是__________．
5．如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由； （2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．
6．如图，△ABC中，AB=BC=AC=12 cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1 cm/s，点N的速度为2 cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． （1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？ （2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？ （3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
人教版八年级数学上册13.4 课题学习最短路径问题 一、选择题（共16小题；共80分） 1. 如图，直线是一条河，，是两个村庄．欲在上的某处修建一个水泵站， 向，两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是 A. B. C. D. 2. 如图，四边形是直角梯形，，，点是腰上的 一个动点，要使最小，则点应该满足 A. B. C. D. 3. 四边形中，，，在，上分别找一 点，，使三角形周长最小时，则的度数为 A. B. C. D. 4. 如图，直线外存在不重合的两点，，在直线上求作一点，使得 的长度最短，作法为：① 作点关于直线的对称点；②连接
与直线相交于点，则点为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是 A. 转化思想 B. 三角形的两边之和大于第三边 C. 两点之间，线段最短 D. 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角 5. 如图，牧童在处放牛，其家在处，，到河岸的距离分别为和， 且，若点到河岸的中点的距离为米，则牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是 A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 如图，已知直线，且与之间的距离为，点到直线的距离为， 点到直线的距离为，．试在直线上找一点，在直线上找一点，满足且的长度最短，则此时 A. B. C. D. 7. 如图，正的边长为，过点的直线，且与 关于直线对称，为线段上一动点，则的最小值是
A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，是的两条中线，是 上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是 A. B. C. D. 9. 如图，在四边形中，，，在，上分别找 一点，，使的周长最小，此时， A. B. C. D. 10. 如图，，内有一定点，且，在上有一动点 ，上有一动点．若周长最小，则最小周长是 A. B. C. D. 11. 如图，四边形中，，，，分别是， 上的点，当的周长最小时，的度数为
课题学习最短路径问题 13.4 课题学习最短路径问题 一、内容和内容解析 1．内容 利用轴对称、平移变化研究某些最短路径问题． 2．内容解析 最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究． 本节课以“牧马人饮马问题”和“造桥选址问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称、平移等变化将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题．基于以上分析，确定本节课的教学重点：利用轴对称、平移变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题． 二、目标和目标解析 1．目标 能利用轴对称、平移变化解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最短路径问题中的作用，感悟化归思想． 2．目标解析 达成目标的标志是：学生能将实际问题中的“地点”“河边”抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象为数学的线段和最小问题；能利用轴对称、平移变化，将不共线的点、线转化到一条直
线上，从而将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称、平移的“桥梁”作用，感悟化归思想． 三、教学问题诊断分析 最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中学生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手. 解答“当点A，B在直线l的同侧时，如何在l上找到点C，使AC与CB的和最小”，需要将其转化为“直线l异侧的两点，与l上的点的线段和最小”的问题，为什么需要这样转化、怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解上和操作上的困难． 在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求作的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路和方法，一些学生想不到． 教学时，教师可以让学生首先思考“直线l异侧的两点，与l上的点的线段和最小”，为学生搭建桥梁. 在证明“最短”时，教师要适时点拨学生，让学生体会“任意”的作用．本节课的教学难点是：如何利用轴对称、平移变化将最短路径问题转化为线段和最小问题．四、教学过程设计 回顾 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，同学们通过讨论下面两个问题：“牧马人饮马问题”和“造桥选址问题”，可以体会如何运用所学知识选择最短路径. 1．将实际问题抽象为数学问题 问题1 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
人教版八年级数学上册13.4 课题学习最短 路径同步培优 一、选择题 1. 如图，A，B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上的点P处建一个服务中心，使P A＋PB最短．下面四种选址方案符合要求的是() 2. 如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝7，AC＝4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，P是直线m上的一动点，则△APC的周长的最小值为() A．10 B．11 C．11.5 D．13 3. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，P是AD边上的一动点，要使PC＋PB的值最小，则点P应满足() A．PB＝PC B．P A＝PD C．∠BPC＝90°D．∠APB＝∠DPC 4. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小，则∠AMN＋∠ANM的度数为() A．130°B．120°C．110°D．100°
5. 如图，平行河岸两侧各有一城镇P，Q，根据发展规划，要修建一条公路连接P，Q两镇．已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案() 6. 如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄.欲在直线l上的某处修建一个水泵站M，向P，Q两村供水，现有如下四种铺设方案，图中PM，MQ表示铺设的管道，则所需管道最短的是() 7. 如图，点P，Q在直线AB外，在点O沿着直线AB从左往右运动的过程中，形成无数个三角形:△O1PQ，△O2PQ，…，△O n PQ，在这样的运动变化过程中，这些三角形的周长() A.不断变大 B.不断变小 C.先变小再变大 D.先变大再变小 8. 如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4，面积为24，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为()
专题13.4最短路径问题 1.最短路径问题 (1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求. 如图所示，点川，万分别是直线2异侧的两个点，在2上找一个点G使CA^CB最短，这时点Q是直线』与初的交点. ⑵求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条宜线的对称点, 连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求. 如图所示，点月，万分别是直线2同侧的两个点，在』上找一个点G使CA+CB最短，这时先作点〃关 为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C',连接EG、BC「、证明M -\-CB 问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点「到直线上某点的距离和最小越 个核心，所有作法都相同. 利用轴对称解决最值问题应注意题目要球根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法.解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，「审题不淸导致答非所问. 3.利用平移确左最短路径选址 选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上.如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决. 解决连接河两岸「的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题. 在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题. 4.生活中的距离最短问题 由两点之间线段最短（或三角形两边之和大于第三边）可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法转化在一条线段上，从而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段通过类似于镜而反射的方式转化成一条线段，如图，AO+BO=AC的长.所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法. Cy __-7 B 5.运用轴对称解决距离之差最大问题 利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键.先做出其中一点关于对称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，所得直线与对称轴的交点，即为所求.根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值. 破疑点解决距离的最值问题的关键运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离的最值问题的有效方法. 对点例题解析 【例题1】在图中直线/上找到一点M使它到儿万两点的距离和最小. 第6讲最短路径问题 知识定位 讲解用时：5分钟 A、适用范围：人教版初二，基础较好； B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习最短路径问题，现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，最值问题不仅使学生难以理解，也是中考中的一个高频考点。本节将利用轴对称知识探究数学史上著名的“将军饮马问题”。 知识梳理 讲解用时：20分钟 两点之间线段最短 C D A B E A地到B地有3条路线A-C-D-B，A-B，A-E-B，那么选哪条路线最近呢？ 选A-B，因为两点之间，直线最短 垂线段最短 如图，点P是直线L外一点，点P与直线上各 点的所有连线中，哪条最短？ PC最短，因为垂线段最短 课堂精讲精练 【例题1】 已知点A，点B都在直线l的上方，试用尺规作图在直线l上求作一点P，使得PA+PB的值最小，则下列作法正确的是（） A．B． C．D． 【答案】D 【解析】根据作图的方法即可得到结论． 解：作B关于直线l的对称点，连接这个对称点和A交直线l于P，则PA+PB的值最小， ∴D的作法正确， 故选：D． 讲解用时：3分钟 解题思路：本题考查了轴对称﹣最短距离问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 教学建议：学会处理两点在直线同侧的最短距离问题. 难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018 【练习1.1】 如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需 管道最短的是（） A． B． C．D． 【答案】D 【解析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 解：作点P关于直线L的对称点P′，连接QP′交直线L于M． 根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短． 故选：D． 讲解用时：3分钟 解题思路：本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别． 教学建议：学会处理两点在直线同侧的最短距离问题. 难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018 【练习1.2】 如图，A、B在直线l的两侧，在直线l上求一点P，使|PA﹣PB|的值最大． 【答案】见解析 【解析】作点A关于直线l的对称点A′，则PA=PA′，因而|PA﹣PB|=|PA′﹣PB|，则当A′，B、P在一条直线上时，|PA﹣PB|的值最大． 解：作点A关于直线l的对称点A′，连A′B并延长交直线l于P． 2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编 最短路径问题 考试时间：120分钟试卷满分：100分 一．选择题（共10小题满分20分每小题2分） 1．（2分）（2021八上·花都期末）如图点E在等边△ABC的边BC上BE＝4 射线CD⊥BC 垂足为点C 点P是射线CD上一动点点F是线段AB上一动点当EP+FP的值最小时BF＝5 则AB的长为（） A．7B．8C．9D．10 【答案】A 【完整解答】解：作E点关于CD的对称点E' 过E'作E'F⊥AB交于点F 交CD于点P 连接PE ∴PE=PE' ∴EP+FP=PE'+PF≥E'F 此时EP+FP的值最小 ∵△ABC是正三角形 ∴∠B=60° ∵E'F⊥AB ∴∠FE'B=30° ∴BE'=2BF ∵BF=5 BE=4 ∴E'B=10 ∵CE=CE' ∴10=2CE+BE=2CE+4 ∴CE=3 ∴BC=7 故答案为：A． 【思路引导】作E点关于CD的对称点E' 过E'作E'F⊥AB交于点F 交CD于点P 连接PE 此时EP+FP 的值最小由题意得出∠FE'B=30° 则BE'=2BF 再由BF=5 BE=4 得出10=2CE+BE=2CE+4 解出CE=3 即可得出BC=7。 2．（2分）（2022春•定海区期末）如图直线l1l2表示一条河的两岸且l1∥l2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直）使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短应该选择路线（） A．路线：PF→FQ B．路线：PE→EQ C．路线：PE→EF→FQ D．路线：PE→EF→FQ 【思路引导】根据两点间直线距离最短使FEPP′为平行四边形即可即PP′垂直河岸且等于河宽接连P′Q即可． 【完整解答】解：作PP'垂直于河岸l2使PP′等于河宽 连接QP′ 与另一条河岸相交于F作FE⊥直线l1于点E 则EF∥PP′且EF＝PP′ 于是四边形FEPP′为平行四边形故P′F＝PE 根据“两点之间线段最短” QP′最短即PE+FQ最短． 专题09 最短路径问题 一、单选题 1．（2021·湖北随县·）如图，在ABC ∆中，点D 是AB 边的中点，过点D 作边AB 的垂线l ，E 是l 上任意一点，5cm AC =，8cm BC =．则AEC ∆的周长的最小值为（ ） A ．8cm B ．5cm C ．18cm D ．13cm 【答案】D 【分析】 连接BE ，依据是AB 的垂直平分线，可得AE =BE ，进而得到AE +CE =BE +CE ，依据BE +CE ≥BC ，可知当B ，E ，C 在同一直线上时，BE +CE 的最小值等于BC 的长，而AC 长不变，故△AEC 的周长最小值等于AC +BC ． 【详解】 如图，连接BE ， △点D 是AB 边的中点， l △AB ， △l 是AB 的垂直平分线， △AE =BE ， △AE +CE =BE +CE ， △BE +CE ≥BC ， △当B ，E ，C 在同一直线上时，BE +CE 的最小值等于BC 的长，而AC 长不变， △△AEC的周长最小值等于AC+BC=5+8=13． 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了最短距离问题，利用线段垂直平分线的性质定理是解题的关键． 2．（2021·北京朝阳区·和平街第一中学）如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，EF是BC的垂直平分线，P 是直线EF上的任意一点，则PA+PB的最小值是（） A．3B．4C．5D．6 【答案】B 【分析】 根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P-为EF和AC的交点时，AP+BP值最小为AC的长为4．【详解】 解：如图： △EF垂直平分BC， △B、C关于EF对称， △当AC交EF于P时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长为4， 故选：B. 【点睛】 本题考查轴对称——最短路线问题的应用.解决此题的关键是能根据轴对称的性质和两点之间线段最短找出P点的位置. 菱形和正方形中的最短路径问题 一、 复习回顾 1、P 是直线l 上一动点，试找到一个点P ，使得PA+PB 的值最小 ①、两个点在直线l 的异侧 方法：连接两个固定点的线段，与动点所在直线的交点即为路径最短的点 ②、两个点在直线l 的同侧 方法：找出其中一个点关于动点所在直线的对称点，连接对称点与另一个点的线段，与已知直线的交点即为所求。 2、菱形是轴对称图形，对称轴是对角线所在的直线 正方形是轴对称图形，有4条对称轴 二、 知识要点 （1）菱形中的最短路径问题 例1：如图, 菱形ABCD 中, ∠BAD=60°, P 是对角线AC 上的一个动点，若PD+PB 的最小值是3，则AB 长为____ 解析：点B 和D 在AC 的同侧：PD+PB 最短路径为线段 巩固：如图, 菱形ABCD 中, ∠BAD=60°,M 是AD 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，若PM+PB 的最小值是3，求AB 的长 例2：菱形ABCD 中, AB=2, ∠BAD=60°, E 是AB 的中点, P 是对角线AC 上的一个动点, 求PE+PB 最小值. 巩固：如图，在周长为12的菱形ABCD 中，AE=1，AF=2，若P 为对角线BD 上一动点，则EP+FP 的最小值为多少？ （2）正方形中的最短路径问题 例3：如图，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，求PD+PE 最小值 B D A C A B D C E P A B P A A ’ P B A B C D P A D M B C P A B D F E P 精讲练06 轴对称与最短路径问题 必考点1 轴对称： ⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. ⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.这条直线称为这两个图形的对称轴. 【典例1】（2019·山西初二月考）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（） A．B．C．D． 【答案】B 【解析】 根据轴对称图形的概念可知： A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项正确． 故选B． 【举一反三】 1．（2019·湖北）下列几何图形一定是轴对称图形的是（） A．三角形B．梯形C．等腰三角形D．直角三角形 【答案】C 【解析】 A. 三角形不一定是轴对称图形，故A不符合题意； B. 梯形不一定是轴对称图形，故B不符合题意； C. 等腰三角形沿着底边上的高折叠，两边能够重合，一定是轴对称图形，故C符合题意； D. 直角三角形不一定是轴对称图形，故D不符合题意； 故选C. 的方格中涂有阴影图形，下列阴影图形不是轴对称图形的是（）2．（2019·福建初二月考）在33 A．B．C．D． 【答案】D 【解析】 A.是轴对称图形,不合题意; B.是轴对称图形,不合题意; C.是轴对称图形,不合题意; D. 不是轴对称图形,符合题意; 故选:D. 3．（2019·辽宁初一期末）如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列说法中不一定正确的是( ) A．AC＝A′C′ B．AB∥B′C′ C．AA′⊥MN D．BO＝B′O 【答案】B 【解析】 若△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，则说明两三角形全等。故AD为对应边相等，正确。A点关于直线MN对称得到A'，故C正确。故选B 必考点2 最短路径问题 【典例2】（2019·福建初二期中）如图，在△AB C中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP＋BP的最小值是（） 1、 如图，在直角坐标系中有线段AB，AB=50cm，A、B到x轴的距离分别为10cm和40cm，B点到y轴的距离为30cm，现在在x轴、y轴上分别有动点P、Q，当四边形PABQ的周长最短时，则这个值为（） A．50 B．50 C．50﹣50 D．50+50 D 过B点作BM⊥y轴交y轴于E点，截取EM=BE，过A点作AN⊥x轴交x轴于F点，截取NF=AF，连接MN交X，Y轴分别为P，Q点，此时四边形PABQ的周长最短，根据题目所给的条件可 求出周长． 解：过B点作BM⊥y轴交y轴于E点，截取EM=BE，过A点作AN⊥x轴交x轴于F点，截取 NF=AF，连接MN交x，y轴分别为P，Q点， 过M点作MK⊥x轴，过N点作NK⊥y轴，两线交于K点． MK=40+10=50， 作BL⊥x轴交KN于L点，过A点作AS⊥BP交BP于S点． ∵LN=AS==40． ∴KN=60+40=100． ∴MN==50． ∵MN=MQ+QP+PN=BQ+QP+AP=50． ∴四边形PABQ的周长=50+50． 故选D． 2、 如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，4），B（4，2），在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是（） A．（﹣2，0） B．（4，0） C．（2，0） D．（0，0） C 作A关于x轴的对称点C，连接AC交x轴于D，连接BC交交x轴于P，连接AP，此时点P 到点A和点B的距离之和最小，求出C（的坐标，设直线CB的解析式是y=kx+b，把C、B 的坐标代入求出解析式是y=x﹣2，把y=0代入求出x即可． 解：作A关于x轴的对称点C，连接AC交x轴于D，连接BC交交x轴于P，连接AP， 则此时AP+PB最小， 即此时点P到点A和点B的距离之和最小， ∵A（﹣2，4）， ∴C（﹣2，﹣4）， 设直线CB的解析式是y=kx+b， 把C、B的坐标代入得：， 解得：k=1，b=﹣2， ∴y=x﹣2， 把y=0代入得：0=x﹣2， x=2， 即P的坐标是（2，0）， 故选C． 3、 如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数��（） 轴对称：最短路径问题 【知识导图】 1.两点之间，线段最短。 2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 3.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题 讲解内容：只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置。 讲解内容：只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置。 如图所示，点A ，B 分别是直线l 同侧的两个点，在l 上找一个点C ，使CA ＋CB 最短 【答案】作点B 关于直线l 的对称点B'，连接AB'与l 交于点C ，则点C 为所求的点。 【解析】在直线l 上任取不同于C 点的C'点，连接AC’,BC’∵点B 和B'关于直线l 对称∴CB=CB’、C'B=C'B'∴CA+CB=CA+CB'=AB'∵CA+CB’ 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AM+NB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 【答案】1.将点A沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到A'， 2.连接A'B交河对岸于点N, 则点N为建桥的位置，MN为所建的桥。 【解析】由平移的性质，得 AM∥A'N且AM=A'N, MN=M'N'，AM'∥A'N'，AM'=A'N' 所以A、B两地的距:AM+MN+BN=AA'+A'N+NB=AA'+A'B 若桥的位置建在M'N'处，则AB两地的距离为： AM'+M'N'+N'B=A'N'+M'N'+N'B 在△A'N'B中，∵A'N'+N'B>A'B ,M'N'=AA'∴M'N'+A'N'+N'B＞AA'+A'B 所以桥的位置建在MN处，AB两地的路程最短。 如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小. 2 例题3人教版 八年级数学讲义 最短路径问题 (含解析)
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