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大学数学易考知识点微分方程求解方法微分方程是大学数学中的重要内容之一。
在数学考试中，微分方程求解方法经常出现，因此熟练掌握微分方程的求解方法对于学生来说非常重要。
本文将介绍一些大学数学中常见的微分方程求解方法。
一、常微分方程的一阶线性微分方程求解方法形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的一阶线性微分方程可以通过积分因子法求解。
积分因子法的步骤如下：1. 将方程变形，使得系数前的y项系数为1，即dy/dx + P(x)y =Q(x)。
2. 求解方程dy/dx + P(x)y = 0，得到通解y = Ce^(-∫P(x)dx)，其中C为常数。
3. 计算积分因子μ(x) = e^(∫P(x)dx)。
4. 将原方程乘以积分因子μ(x)，得到d(μ(x)y)/dx = μ(x)Q(x)。
5. 对上式两边求积分，得到μ(x)y = ∫μ(x)Q(x)dx + C，其中C为常数。
6. 解出y = (∫μ(x)Q(x)dx + C)/μ(x)，即为原方程的解。
二、常微分方程的二阶齐次线性微分方程求解方法形如d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = 0的二阶齐次线性微分方程可以通过特征方程法求解。
特征方程法的步骤如下：1. 将方程变形，使得系数前的y项系数为1，即d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = 0。
2. 求解特征方程λ² + P(x)λ + Q(x) = 0，得到特征根λ1和λ2。
3. 若特征根为实数不相等，则原方程的通解为y = C₁e^(λ₁x) +C₂e^(λ₂x)，其中C₁和C₂为常数。
4. 若特征根为实数相等，则原方程的通解为y = (C₁+ C₂x)e^(λx)，其中C₁和C₂为常数。
5. 若特征根为复数，设特征根为α ± βi，则原方程的通解为y =e^(αx)(C₁cos(βx) + C₂sin(βx))，其中C₁和C₂为常数。
常见抽象函数题的解法作者：张春林来源：《高中生·高考指导》2013年第09期一、几种常见的抽象函数1.一次函数型抽象函数： f（x+y）= f（x）+ f（y），f（x-y）= f（x）- f（y）.对应函数模型： f（x）=kx（k≠0）.2.二次函数型抽象函数： f（a+x）= f（a-x）.对应函数模型： f（x）=k（x-a）2+m（k≠0）.3.指数函数型抽象函数： f（x+y）= f（x） f（y），f（x-y）=.对应函数模型： f（x）=ax（a>0且a≠1）.4.对数函数型抽象函数：f（xy）= f（x）+ f（y），f（）=f（x）- f（y）.对应函数模型：f（x）=loga x（a>0且a≠1）.5.余弦函数型抽象函数： f（x1）+ f（x2）=2 f（）· f（）.对应函数模型： f（x）=cos x.6.正切函数型抽象函数： f（x+y）=.对应函数模型： f（x）=tan x（x≠+kπ，k∈Z）.7.幂函数型抽象函数： f（xy）= f（x） f（y）， f（）=.对应函数模型： f（x）=xa（a为常数）.二、常见抽象函数的题型及解法1.利用函数的概念，整体换元，求解函数的定义域、值域问题.例1 ①若函数f（1+x）的定义域是[0，1]，则函数f（x-1）的定义域是 .②已知函数 f（x）的值域是[-1，1]，则函数 f（x+2）的值域是 .分析第①题中的两个函数有相同的法则，括号中的1+x和x-1的地位相同，范围相同，可用换元法求解.第②题中的两个函数有相同的法则，括号中的x与x+2的地位相同，范围相同，则两个函数的值域相同.解①令函数f（1+x）中的1+x=t.由函数f（1+x）的定义域为[0，1]，可得l+x=t∈[1，2].令函数f（x-1）中的x-1=m，则m与t的范围相同.因为x-1=m∈[1，2]，所以x∈[2，3].故函数f（x-1）的定义域是[2，3].②函数 f（x）与函数f（x+2）的值域相同，所以函数f（x+2）的值域为[-1，1].2.利用抽象关系式，巧妙赋值，求解有关函数值问题.例2 设函数 f（x）的定义域是（-∞，+∞），满足条件：①存在x1≠x2，使得 f（x1）≠ f （x2）；②对任何x和y，f（x+y）= f（x）f（y）成立.（1）求 f（0）；（2）对任意实数x，判断f（x）值的正负.分析只要将f（x+y）= f（x） f（y）中的y赋值为0，就可以得到f（0）和 f（x）的关系式.解（1）将y=0代入f（x+y）= f（x） f（y），得 f（x）=f（x）f（0），即 f（x）=0或f （0）=1.若 f（x）=0，则对任意x1≠x2，都有 f（x1）= f（x2），这与题设矛盾.所以f（0）=1.（2）将y=x代入f（x+y）= f（x） f（y）.因为 f（x）≠0，所以f（2x）= f 2（x）>0，即f（x）>0.所以对任意实数x，f（x）>0.注：如果知道f（x+y）= f（x） f（y）为指数函数型抽象函数，就可以根据对应函数模型f（x）=ax（a>0且a≠1）直接得到相应结论.3.利用抽象关系式，灵活构造，判断函数的单调性、奇偶性等性质.例3 已知函数 f（x）对任意实数x，y，均有 f（xy）= f（x） f（y），且 f（-1）=1.当0≤x（1）判断 f（x）的奇偶性.（2）判断f（x）在[0，+∞）上的单调性，并给出证明.分析根据函数的奇偶性的判定式和单调性的定义构造关系式.解（1）令y =-1，将其代入 f（xy）= f（x） f（y）中，得f（-x）= f（x） f（-1）= f （x）.所以， f（x）为偶函数.（2）设x1，x2是[0，+∞）上的任意两个实数，且0≤x1所以，函数 f（x）在[0，+∞）上为增函数.例4 已知函数 f（x）对任意实数x，y，均有f（x+y）= f（x）+ f（y），且当x>0时，f （x）>0，f（-1）=-2，求f（x）在[-2，1]上的值域.分析由题意可知，要求f（x）在[-2，1]上的值域，先要判断函数f（x）的单调性和奇偶性.解设对任意的实数x1，x2，有x10.因为当x>0时，f（x）>0，所以f（x2-x1）>0.因为f（x2）= f [（x2-x1）+x1]= f（x2-x1）+ f（x1），所以f（x2）- f（x1）= f（x2-x1）>0，即 f（x1）< f（x2）.可知f（x）为增函数.令y=-x，将其代入f（x+y）= f（x）+ f （y），得f（0）= f（x）+ f（-x），再令x=y=0，则f（0）= 2f（0），即f（0）= 0.所以，f （x）为奇函数，f（1）=- f（-1）=2.又f（-2）=2 f（-1）= -4，所以f（x）在[-2，1]上的值域为[-4，2].例5 若对任意实数x和不为0的常数a都有f（x+a）=成立，请问： f（x）是不是周期函数？为什么？分析根据周期函数的定义来判断.解由已知得f（x+2a）=== -，则f（x+4a）=-= f（x）.所以， f（x）为周期函数，周期为4a.4.利用模型函数，类比联想，解决函数的相关问题.例6 如果 f（x+y）= f（x） f（y），且 f（1）=2，那么+++…+的值为 .分析由 f（x+y）= f（x） f（y），类比联想到指数函数 f（x）=ax（a>0且a≠1）的性质.解根据题设条件，令 f（x）=2x，则+++…+=2×1 005=2 010.例7 已知函数 f（x）的定义域为（0，+∞），且函数 f（x）为增函数， f（4）=1， f （xy）= f（x） + f（y）.（1）求 f（1）和 f（16）.（2）若 f（x） + f（x-3）≤1，求x的范围.分析由 f（xy）= f（x） + f（y）联想到对数函数f（x）= loga x（a>0且a≠1）.解（1）根据题设条件，令f（x）= log4 x，则f（1）= log41=0， f（16）= log416=2.（2）由已知得f（x） + f（x-3）= f [x（x-3）]≤1= f（4）.因为f（x）是增函数，所以x（x-3）≤4，x-3>0，x>0，即3。
抽象函数问题求解的常用方法抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识．可以说，这一类问题，是考查学生能力的较好途径，因此，在近年的高考中，这一类题目有增多和分量加重的趋势．【方法荟萃】1．函数原型法【例1】给出四个函数，分别满足①()()()f x y f x f y+=+；②()()()g x y g x g y+=；③()()()h x y h x h y=+；④()()()t xy t x t y=，又给出四个函数图象正确的匹配方案是（）（A）①—丁②—乙③—丙④—甲（B）①—乙②—丙③—甲④—丁）①—丙②—甲③—乙④—丁（D）①—丁②—甲③—乙④—丙的函数抽象而成的。
如正比例函数()(0)f x kx k=≠可抽象为()()()f x y f x f y+=+。
因此，我们可得知如下结论：（1）抽象函数()()()f x y f x f y+=+可由一个特殊函数正比例函数()(0)f x kx k=≠抽象而成的；（2）抽象函数()()()t xy t x t y=可由一个特殊函数幂函数()t x xα=抽象而成的；（3）抽象函数()()()g x y g x g y+=可由一个特殊函数指数函数()(0,1)xg x a a a=>≠抽象而成的；（4）抽象函数()()()h xy h x h y=+可由一个特殊函数对数函数()log(0,1)ah x x a a=>≠抽象而成的；（5）抽象函数()f x y+=()()1()()f x f yf x f y+-可由一个特殊函数正切函数()tanf x x=抽象而成的；根据上述分析，可知应选D。
2．代数演绎法【例2】设定义在R上的函数()f x对于任意,x y都有()()()f x y f x f y+=+成立，且(1)2f=-，当x>时，()0f x<。
微分方程的求解原理
微分方程的求解原理主要分为两种方法：解析法和数值法。
1. 解析法
解析法是指通过数学分析和推理，将微分方程转化为代数方程或三角方程等形式，然后通过求解这些方程得到微分方程的解。
对于一阶微分方程，其解析解可以通过分离变量法、积分因子法、幂级数法等方法求解。
例如，对于形如y'=f(x)y的一阶微分方程，可以通过分离变量法得到y=，其中f(x)为已知函数。
对于二阶及以上阶数的微分方程，其解析解通常比较复杂，需要通过特殊的技巧和方法求解。
例如，对于二阶微分方程y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)，可以通过常数变易法、特征方程法、积分因子法等方法求解。
2. 数值法
数值法是指将微分方程转化为差分方程，通过数值计算方法求解得到近似解。
对于一阶微分方程，可以通过欧拉法、龙格-库塔法等数值方法求解。
对于非线性微分方程，可以通过隐式方法、显式方法、自适应方法等数值方法求解。
对于高阶微分方程，可以通过矩阵方法、迭代法、谱方法等数值方法求解。
例如，对于二阶微分方程y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)，可以通过矩阵方法得到y(x)=，其中c_n为待定系数，需要通过数值计算求解。
无论是解析法还是数值法，都需要遵循一些基本的原则，例如对于线性微分方程，需要满足线性叠加原理和齐次解原理；对于非线性微分方程，需要通过分析其特征方程和根的性质，确定其解的存在性和唯一性等。
同时，在求解过程中还需要注意数值计算的精度和稳定性等问题，以保证解的准确性和可靠性。
两个函数的微分方程
微分方程是用来描述物理系统变化的一种数学方法，它可以用来描述物理系统及其变化的规律。
本文将介绍两个函数的微分方程，并详细介绍它们的特点及应用。
首先，介绍第一个函数的微分方程，它是一个常微分方程，它的形式为：y′=f(x,y)。
这个方程的参数可以是常数、函数、
常微分方程等。
它的特点是参数都是可以变化的，而它的解可以通过积分或者求解方程求得。
其次，介绍第二个函数的微分方程，它是一个非线性微分方程，它的形式为：y′=f(x,y,y′)。
这个方程的参数包括常数、
函数、非线性微分方程等。
它的特点是参数不仅可以变化，而且还可以根据非线性微分方程进行变化。
它的解可以通过求解方程或者求积分求得。
最后，介绍这两个函数的微分方程的应用。
这两个函数的微分方程可以用来描述物理系统的变化，比如电磁学、力学、热力学等。
它们可以用来求解物理系统中复杂的问题，从而获得物理系统的变化规律。
总之，微分方程是一种重要的数学工具，它可以用来描述物理系统的变化规律。
本文介绍了两个函数的微分方程的特点及应用，希望对读者有所帮助。
抽象函数一般形式不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数即抽象函数。
一般形式为y=f(x)，或许还附有定义域、值域等，如：y=f(x), (x>0, y>0)。
抽象函数形式幂函数：f(xy)=f(x)f(y)正比例函数：f(x+y)=f(x)+f(y)对数函数：f(x)+f(y)=f(xy)三角函数：f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) f(x)=cosx指数函数：f(x+y)=f(x)f(y)周期为n的周期函数：f(x)=f(x+n)证明例题：f(xy)=f(x)+f(y),f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增，f(2)=1。
求证：f(x)=lgx/lg2即以二为底x的对数。
证明：定义域：相同∵f(2*1)=f(2)+f(1)∴f(1)=0∵f(1)=f(2)+f(1/2)∴f(1/2)=-1同理f(1/x)=-f(x)∵f(x^k)=f(x*x*……*x*x)【k个x】=f(x)+f(x)+……+f(x)+f(x)【k个】=k*f(x),k∈Z且k>0(x=2时f(x^k)=k) ①f(x^k)=f((1/x)^(-k))=f((1/x)*(1/x)*……*(1/x)*(1/x))【-k个x】=f(1/x)+f(1/x)+……+f(1/x)+f(1/x)【-k个】=(-k)*f(1/x),k∈Z且k<0（x=2时，f(x^k)=-k*f(1/2)=k）f(x^0)=f(1)=0=0*f(x)(x=2时，f(x^k)=k=0)∴f(2^k)=k,k∈Z②∵p*f(2^(1/p))=f((2^(1/p))^p)=f(2^(1/p*p))=f(2)=1,k<>0且p∈Z(①)∴f(2^(1/p))=1/p,p∈Z且p<>0又∵②∴f(2^(k/p))=f((2^(1/p))^k)=k*f(2^(1/p))=k*(1/p)*f(2)=k/p即f(2^m)=m对所有有理数成立③任取z∈R，{1}若f(2^z)<z,z必定为f(y),y>2^z(由于单调性以及③)，在(2^z,y)上必定有q=2^(z+n),z+n为有理数，n>0,f(q)=z-n<f(y)=z(单调性)与n>0矛盾，导出矛盾所以f(2^z)<z不成立{2}同理f(2^z)>z不成立又∵2^z>0，有定义域所以f(2^z)=z令x=2^z>0,f(x)=z=以二为底2^z的对数=以二为底x的对数证毕。
微分方程求解方法总结在数学中，有许多重要的方法，但每种方法都有自己的特点。
下面我就从几个方面来讲一下微分方程求解的方法。
根据某一具体问题的需要，可以使用变量替换法、分离常数法、方程组求解法等。
如果方程有两个未知数，则将二者同时代入，消去一个未知数，求出另一个未知数；或者设出一个变量，使得原方程能够表示为：y=x+e(k)，或者将它化成含参数为y=x(k)(t)dt的标准形式。
在初等微分方程中，一般先设解析函数(y=f(x))，然后用变量替换法或者分离常数法即可求得。
在建立方程时，如果没有足够的条件，可以假设某些因素来达到目的，常用的方法有整理变量法、降次法、分离参数法等。
假设有两个或两个以上的方程不能同时给出解析解，则可以降低方程的次数(系数)来得到解析解。
这时应该注意的是，所建立的方程必须有实数解，否则就不可能用于实际问题。
求解微分方程的基本思想就是把方程化为标准形式，并利用标准形式的解。
对于一个含有复杂变量的方程来说，利用微分方程理论可以分析解的性质和结构，找出一些重要关系式，进而推导出通解公式或者近似公式。
当把方程降次后，可以利用解的叠加性，将解的集合逐步地“叠加”起来，直至叠加出所需要的解。
对于简单的方程，有时还可以利用初等函数方法，使方程化为线性方程，再求解即可。
而对于含有非线性方程的方程组来说，可以考虑适当地选择一些辅助未知函数，建立辅助方程，求得未知函数的近似值，再利用微分方程的性质进行迭代求解，从而得到原方程组的解。
对于具有多个方程的方程组来说，除了可以使用上述方法外，还可以利用差分的思想进行处理。
求解方程的主要方法包括了最小二乘法、数值解法等。
最小二乘法是指在建立数学模型的基础上，尽量使用近似解。
它首先把各方程组解进行比较，选出误差最小的一个，然后用此方程组的解进行拟合，得到满足精度要求的预测值。
数值解法则主要是通过近似方法来求得方程的解，其解决思路是寻找误差最小的一个，然后采用微分方程的性质，通过计算，将方程化为简单方程，再利用标准形式进行计算。
推导微分方程的基本概念与解法微分方程是数学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域，如物理学、生物学、经济学等。
本文将介绍微分方程的基本概念与解法，帮助读者对此有一个清晰的认识。
一、微分方程的基本概念微分方程是包含未知函数及其导数的方程。
一般形式可表示为：dy/dx = f(x)。
其中，y表示未知函数，x表示自变量，dy/dx是y对x的导数，f(x)是已知函数。
微分方程根据未知函数的阶数进行分类，分为一阶微分方程和高阶微分方程。
1. 一阶微分方程一阶微分方程的一般形式为dy/dx = f(x, y)，其中f(x, y)是x和y的已知函数。
解一阶微分方程的基本方法有分离变量法、齐次方程法、线性方程法等。
- 分离变量法：将方程两边的变量分离，形成dy/y = f(x)dx的形式，再对两边分别积分求解。
- 齐次方程法：对于形如dy/dx = f(x, y)/g(x, y)的方程，若f(x, y)和g(x, y)具有相同的次数，且g(x, y)不为0，则可通过变量代换将其转化为分离变量法解。
- 线性方程法：对于形如dy/dx + p(x)y = q(x)的方程，可使用积分因子法将其转化为可分离变量的形式，然后通过分离变量法解。
2. 高阶微分方程高阶微分方程是包含高阶导数的方程。
解高阶微分方程的常见方法有常系数线性齐次微分方程的解法、常系数非齐次微分方程的解法等。
- 常系数线性齐次微分方程的解法：对于形如a_n*y^(n) + a_(n-1)*y^(n-1) + ... + a_1*y' + a_0*y = 0的方程，其中a_i为常数，可通过猜测法得出通解。
- 常系数非齐次微分方程的解法：对于形如a_n*y^(n) + a_(n-1)*y^(n-1) + ... + a_1*y' + a_0*y = f(x)的方程，其中f(x)为已知函数，可通过求齐次方程和特解的和作为通解。
二、微分方程的解法举例下面通过具体的例子来说明微分方程的解法。
教你轻松求解抽象函数作者：陈杰来源：《教育研究与实践》2008年第11期抽象函数是指没有确定的解析式的函数。
很多同学都觉得此类问题较难，没有思路，不知如何求解。
其实，此类问题并非想象中的那样抽象，它也有一定的规律和方法，掌握这些规律和方法，我们就能轻松求解抽象函数问题。
下面就几个例子来说明抽象函数中的常见问题及解题策略。
一. 求值问题此类问题较简单,一般利用赋值法即可得解。
例1.定义在实数集R上的函数，对任意的实数x和y，都有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f （y）且f（0）≠0求f（0）的值分析：在这里，我们把条件中的“f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）”称为核心条件，请大家记住：抽象函数问题都是从“核心条件”找到突破口，再用赋值法、代换法去求解。
解析：在f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)中，令x=y=0，得f(0)+f(0)=2f(0)f(0)，即f(0)=f 2(0)，又f(0)≠0，所以f(0)=1。
二. 函数的奇偶性问题判断抽象函数的奇偶性，均是利用定义法。
即先看定义域是否关于原点对称，再将“核心条件”中的参数代换为同一参数（如x），确定出f（-x）与f（x）的关系，从而判断出函数的奇偶性。
例2. （条件同例1）. 问题：判断函数y=f（x）的奇偶性。
分析：首先由已知f（0），可知f（x）不是奇函数。
下面我们只需判断f（-x）是否等于f（x）（或者f（-y）是否等于f（y）），方法还是在“核心条件”中利用赋值，将y代换掉或将x代换掉。
解析：在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）中，令x=y=0得f（y）+f（-y）=2f（0）f（0）（同例1解法求出f（0）=1），∴f（-y）=f（y）,∴f（x）为偶函数，由已知（0）≠0可知f（x）不是奇函数，综上，f（x）为偶函数。
三. 函数的单调性问题判断抽象函数的单调性，也是利用定义法，即在定义域中任取x1，x2,且x1＜x2,然而后判断出f（x1）与f（x2）的大小关系（通常采用作差法或作商法），做差或作商后，均是利用核心条件作变形代换。
微分方程几种求解方法微分方程是数学中的重要工具，用于描述自然界中关于变化的数学模型。
微分方程的求解方法有多种，可以根据不同的特征和条件选择不同的方法。
下面将介绍微分方程的几种常见求解方法。
1.可分离变量法可分离变量法适用于形如 dy/dx = f(x)g(y) 的一阶微分方程。
该方法的基本思路是将变量分离，即将方程写成 dx / f(x) = dy / g(y)，然后两边同时积分，从而得到方程的解。
2.齐次方程法齐次方程指的是形如 dy/dx = f(x / y) 的一阶微分方程。
齐次方程法的基本思路是变量替换，令 y = vx，然后将方程转化为关于 v 和 x 的一阶微分方程，再用可分离变量法求解。
3.线性方程法线性方程是指形如 dy/dx + p(x)y = q(x) 的一阶微分方程。
线性方程法的基本思路是找到一个积分因子，使得原方程变为恰当方程，然后进行积分求解。
常见的积分因子有e^(∫p(x)dx) 和 1 / (y^2)，选择合适的积分因子可以简化计算。
4.变量替换法变量替换法适用于一些特殊形式的微分方程。
通过合适的变量替换，可以将原方程转化为标准的微分方程形式，从而便于求解。
常见的变量替换包括令 y = u(x) / v(x)，令 v = dy/dx等。
5.常数变易法当已知一个特解时，可以利用常数变易法求解更一般的微分方程。
该方法的基本思路是令y=u(x)y_0，其中y_0是已知的特解，然后将y代入原方程得到一阶线性非齐次方程，再用线性方程法进行求解。
6.欧拉法欧拉法是一种数值求解微分方程的方法。
它通过在函数的变化区间内分割小区间，并在每个小区间上用直线逼近函数的变化情况，从而得到微分方程的近似解。
欧拉法的计算公式为y_(n+1)=y_n+h*f(x_n,y_n)，其中h为步长，f(x,y)为微分方程的右端。
7.泰勒级数法泰勒级数法是一种近似求解微分方程的方法，利用函数的泰勒级数展开式进行计算。
常见的几种简单的微分方程的解法-精选资料
常见的几种简单的微分方程的解法
一、微分方程的定义
凡是含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程.
微分方程的解：能使微分方程成为恒等式的函数y=f（x），称为微分方程的解.
微分方程分为常微分方程和偏微分方程.
常微分方程的定义：如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样的微分方程称为常微分方程.
二、常见的几种简单的微分方程的解法
1.可分离变量的微分方程=f（x）·g（y）的解法：分离变
量法.
解题步骤：①分离变量=f（x）dx；
2.可化为分离变量的微分方程的方程+p（x）·q（y）=0的解题步骤：
①移项=p（x）·q（y）（化为可分离变量的微分方程）；
②用分离变量法得微分方程的通解.
3.一阶线性齐次微分方程+p（x）y=0的解法：
（方法一）这是一个可化为分离变量的微分方程的方程，故可用分离变量法.
（方法二）公式法
只需代入通解公式y=ce计算一下即可.
4.一阶线性非齐次微分方程+p（x）y=q（x）（q（x）≠0）的解法：
（方法一）公式法
（方法二）常数变易法：把齐次线性方程通解中的任意常数变易为待定函数c（x），使其满足非齐次线性微分方程，需求出c（x），从而得到非齐次微分方程通解的方法称为常数变易法.具体步骤：
①求出一阶线性齐次微分方程的通解
三、结论
以上是几种较为简单的微分方程的解法，掌握这些解法的关键是记住各种方程的特征，并采用相应的方法解决.微分方程的熟练求解，能为专业课程及力学、电学的学习等打下坚实的基础.。
一、求解析式的一般方法 1、换元法例1：已知f(x+1)=x 2-2x 求f(x)解：令t=x+1则x=t-1 f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t 2-4t-3∴f(x)=x 2-4x-3换元法是解决抽象函数问题的基本方法，换元法包括显性换元法和隐性换元法。
2、方程组法例2：若函数f(x)满足f(x)+2f(x1)=3x ，求f(x) 解：令x=x 1则f(x 1)+2f(x)= x 3 f(x)+2f(x 1)=3x ＝＞f(x)= x 2-x2f(x)+f(x 1)=x 3∴f(x)= x2-x例3 .例43、待定系数法例5：如果f[f(x)]=2x-1则一次函数f(x)=______ 解：f(x)是一次函数∴不妨设f(x)=ax+b(a ≠0)则f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b 又已知f[f(x)]=2x-1例6：已知f(x)是多项式函数，解:由已知得f(x)是二次多项式，设f(x)=ax2+bx+c (a≠0)代入比较系数得过且过:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x2-2x-1.如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。
二、判断奇偶性的一般方法在奇偶性的求解中，常用方法是赋值法，赋值法中常见的赋值有-1、0、1。
例7 定义在（-1、1）上的函数f(x)满足。
（1）对任意x、y∈ (-1、1) 都有f(x)+f(y)=f()（2）当x∈ (-1、0) 时,有f(x)＞0求证（I）f(x)是奇函数,（II）f(证明：（1）令x=y=0，则2f(0)=f(0) ∴f(0)=0令y=-x，则f(x)+f(y)=f(x)+f(-x)=f(=f(0)=0∴f(-x)=-f(x) ∴f(x)是奇函数例8定义在R上的函数f(x)，对任意 x,y属于R,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)≠0（1）求证f(0)=1 （2）求证y=f(x)是偶函数证明：（1）令x=y=0∴f(0)+f(0)=2×f(0)2∵f(0)≠0∴f(0)=1(2)令x=0则f(0+y)+ f(0-y)=2 f(0)f(y)f(y)+f(-y)=2f(y) ＝＞f(-y)=f(y) ＝＞y=f(x)是偶函数例9.对任意实数x,y ，均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______.解:令x=y=0,得：f(0)=0,令x=0,y=1,得f(0+1)=f(0)+2f[(1)]2,三、单调性的求解方法例6：定义域为R 的函数f(x)满足：对于任意的实数x 、y 都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x ＞0时，f(x)＜0恒成立。
抽象函数的常见解法抽象函数是指函数的三种表示法：列表法、图象法、解析法均未给出，只给出函数记号f(x)的一类函数.这类函数解决起来较抽象，但却能有效地反映学生对知识的掌握、理解、应用及迁移的能力，对培养、提高学生的发散思维和创造思维等能力有很好的促进作用。
因此，这类问题在高中数学的各类考试中经常出现。
下面谈谈这类问题常见的几种解法：一、赋值法先以特殊值作尝试，在探索中发现题中条件遵循某些规律或特点,从而使问题得以解决。
这类问题经常出现,要认真理解其解题的要领和方法。
例1设函数f(x)的定义域为自然数集，若f(x+y) = f(x)+f(y)+x 对任意自然数x,y恒成立，且f(1) = 1，求f(x)的解析式。
分析:当令y=1时,可得f(x＋1)=f(x)＋x＋1,这相似于数列中的递推关系,再利用相应的递推关系可求出函数的解析式。
解：令y = 1, 则f(x+1) = f(x)+f(1)+x = f(x)+x+1，∴ f(1) = 1f(2)= f(1) +2f(3) = f(2) +3…f(n) = f(n－1) +n各式相加得：f(n) = 1+2+3+…+n =∴ f(x) =例2已知函数f(x)满足f(x+y)＋f(x－y) = 2 f(x) · f(y)，x∈R,y∈R,且f(0)≠0，求证：f(x)是偶函数。
分析: 当令 x=y=0时,可得f(0)=1,再利用题中条件变形求解。
证明：令x = y = 0∴ f(0) +f(0) = 2f 2 (0)∵ f(0) ≠ 0, ∴ f(0) = 1令 x = 0 , 则 f(y) + f(－y) = 2f(0) · f(y)∴ f(－y) = f(y), ∵ y∈R,∴ f(x)是偶函数例3 已知函数f(x)的定义域为(0 , + ∞ )，对任意x > 0, y> 0恒有f(xy) = f(x) + f(y)求证：当x > 0时, f( ) = －f(x)分析:当令x=y=1时,可得f(1)=0,再灵活运用f(1)=f(x·)可求得。
高等数学中的微分方程及解题方法在高等数学中，微分方程是一个重要的分支，被广泛应用于各个领域。
其中，微分方程的解题方法也是非常重要的，因为只有掌握了解题方法，才能更好地理解和应用微分方程。
一、微分方程的定义和分类微分方程是描述自变量和导数之间关系的方程。
通常情况下，微分方程是一类函数方程，其中包含未知函数和其相应的导数。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两大类。
常微分方程是由一元函数构成的常微分方程组成的，例如导数、微分方程组和微分方程的系数或函数等。
根据求导次数的不同，常微分方程又可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
偏微分方程是由多元函数构成的偏微分方程组，其中包含未知函数的偏导数和偏微分方程组的系数或函数等。
二、微分方程的解题方法在解微分方程时，最常用的方法是分离变量法、全微分方程法、霍普夫变换法、变量分离法、变换微分方程法、级数展开法等。
接下来，我们将详细介绍这些方法。
1.分离变量法分离变量法是解一阶常微分方程的常用方法。
它的基本思想是将微分方程中的未知函数和其导数分开，然后两边同时积分，最后得到原微分方程的解。
例如，我们考虑如下的一阶常微分方程：$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$首先，我们将方程分离成 $g(y)dy=f(x)dx$ 的形式，然后两边同时积分，得到$\int g(y)dy=\int f(x)dx + C$其中 $C$ 是积分常数，由初值条件决定。
2.全微分方程法全微分方程法是解一阶常微分方程的另一种方法。
它的基本思想是通过变换原微分方程的形式，使其可以化为全微分方程的形式。
例如，我们考虑如下的一阶常微分方程：$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$首先，我们对原方程进行变形，得到$\frac{d}{dx}(e^{P(x)}y)=e^{P(x)}Q(x)$这是一个全微分方程，我们只需要对其进行积分即可得到原微分方程的解。
3.霍普夫变换法霍普夫变换法是解一阶常微分方程的另一种方法。
抽象函数解题方法与技巧函数得周期性:1、定义在x∈R上得函数ｙ=f(ｘ),满足f(x+a)=f(ｘ—a)(或f(x-2a)＝f(x))(ａ＞０)恒成立,则y＝f(ｘ)就是周期为2ａ得周期函数;２、若y=ｆ(x)得图像关于直线x＝ａ与x=ｂ对称,则函数ｙ=f(x)就是周期为２｜a-ｂ｜得周期函数;３、若y=ｆ(x)得图像关于点(ａ,０)与(b,0)对称,则函数ｙ=f(x)就是周期为２｜ａ—b｜得周期函数;4、若y=f(x)得图像有一个对称中心A(a,0)与一条对称轴ｘ=b(a≠b),则函数ｙ＝ｆ(x)就是周期为４｜ａ-b|得周期函数;5、若函数y=f(x)满足f(a+ｘ)=f(ａ-x),其中a>0,且如果y=f(x)为奇函数,则其周期为4a;如果y=f(ｘ)为偶函数,则其周期为2a;６、定义在x∈R上得函数ｙ＝f(ｘ),满足f(x+a)=—f(x),则y=ｆ(x)就是周期为2|a｜得周期函数;7、若在x∈R恒成立,其中ａ>０,则ｙ＝f(x)就是周期为4ａ得周期函数;8、若在ｘ∈R恒成立,其中a>０,则ｙ=f(x)就是周期为2a得周期函数。
(7、8应掌握具体推导方法,如7)函数图像得对称性:1、若函数y=ｆ(ｘ)满足f(a+x)=f(b-x),则函数y=ｆ(ｘ)得图像关于直线对称;2、若函数ｙ=f(x)满足f(x)=ｆ(２a－x)或f(x＋a)=ｆ(a－x),则函数y＝f(x)得图像关于直线x=a对称;３、若函数ｙ＝f(x)满足f(a+x)＋f(ｂ-x)=c,则y＝f(x)得图像关于点成中心对称图形;4、曲线f(x,y)=0关于点(a,ｂ)得对称曲线得方程为f(2a-x,2b—y)=0;５、形如得图像就是双曲线,由常数分离法知:对称中心就是点;6、设函数y=ｆ(x)定义在实数集上,则y=f(x+ａ)与y=f(b-x)得图像关于直线对称;7、若函数y=f(ｘ)有反函数,则y=f(a+x)与ｙ=f -１(ｘ＋a)得图像关于直线y=x+a对称。
【包哥数学】抽象函数专题抽象函数简介抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力。
抽象函数一些模型根据抽象函数的一些性质，联想到所学的基本初等函数模型，将抽象具体化，有助于分析问题。
例1：f (x)在R +上是增函数，且f (x)=f (yx )+f (y),若f (3)=1,f (x)－f (51 x )≥2，求x 的范围 。
例2：设函数f(x)的定义域为R ，对于任意实数m 、n ，总有f(m+n)=f(m)·f(n)，且x>0时，0<f(x)<1.（1）证明：f(0)=1；且x<0时，f(x)>1;（2）证明：f(x)在R 上单调递减；（3）设A=｛(x,y)│f (x 2)·f(y 2)>f(1),B=｛(x,y)│f (ax -y+2)=1,a ∈R ｝，若A∩B=∅，确定a 的范围。
抽象函数的对称性（中心对称、轴对称）和周期性①先深刻理解奇函数，偶函数概念②方法：用哪个数代替x一、 抽象函数的对称性定理1. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)=f (b －x)，则函数y=f (x) 的图象关于直线x= 对称。
推论1. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)=f (a －x)（或f (2a －x)= f (x) ),则函数y=f (x) 的图像关于直线x= a 对称。
推论2. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)=f (a －x)， 又若方程f (x)=0有n 个根，则此n 个根的和为na 。
定理2. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)+f (b －x)=c ，（a,b,c 为常数），则函数y=f (x) 的图象关于点 对称。
