角平分线与平行线构造等腰三角形问题
基本图形1
已知：AB∥CD, （1）CE平分∠ACD交AB于E.问⊿ACE是什么特殊三角形
（2）反过来，若AC＝AE,问CE是∠ACD的平分线吗
基本图形2
已知：△ABC,AB＝AC,（1）AE是外角∠BAD的平分线.问AE与BC平行吗
（2）若AE∥BC，问∠DAE＝∠BAE吗（3）若AE是外角∠BAD的平分线，且AE∥BC，
AB＝AC吗
问题举例
1.已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：四边形AEDF 是菱形。
2．（2016?泰安）如图，在□ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F ，则AE+AF的值等于（）
A．2 B．3 C．4 D．6
3．如图，CD、BD平分∠BCA及∠ABC，EF过D点且EF∥BC，AB＝8，AC＝6 。则△AEF的周长是______
4.（2013泰安）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（）A．2B．4C．4 D．8
5.（2013菏泽）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP 交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=
3
CE时，EP+BP= ．
6.如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边C D上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC ＝3．其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
7.已知：□ABCD,BE平分∠ABC, CF平分∠BCD,BE、CF分别交AD于E、F，BE与CF交于点G．
(1)求证：BE⊥CF．
(2)若AB=5，BC=8，求EF的长．
8.（2013?张家界）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB 的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.求证：OE=OF；
9.（2013泰安）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，
（1）求证：AC2=AB?AD；
（2）求证：CE∥AD；
10.已知：△ABC，AB＝AC，AE是外角∠BAD的平分线，点D为BC的
中点，DE∥AC交AE于E,连接BE.求证：四边形AEBD是矩形.
11.（2017.岱岳区）如图，已知一次函数y=23x-3与反比例函数y=x k
的图象相交于点A （4，n ），与X
轴相交于点B.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将线段AB 沿X 轴向右平移5个单位到DC ，设DC 与双曲线交于点E ，求点E 到x 轴的距离.
角平分线和平行线构成等腰三角形的探究 -----李春蕊北京市育英学校 一、教材分析：《等腰三角形》是“人教版八年级数学（上）”第十二章第三节的内容。等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具备一般三角形的所有性质外，还有许多特殊的性质，由于这些特殊性质，使它比一般的三角形应用更广泛。这一单元的主要内容是等腰三角形的性质和判定，以及等边三角形的相关知识，尤其是等腰三角形的性质和判定，它们是研究等边三角形、证明线段等和角等的重要依据. 学情分析：本节课在学生已经学习了轴对称、等腰三角形性质及判定基础上，进一步探究角平分线和平行线形成等腰三角形的问题。学生具有一定说理能力，整体几何感观比较清晰，在探究活动中，能够根据老师的问题进行有切入的思考。 二、教学目标： （1）掌握角平分线和平行线形成等腰三角形的基本规律； （2）体会研究问题中用到的分类思想，经历由特征图形问题的解决，发展对问题的进一步探究，认识到在几何问题中，位置关系可得出一定数量关系，特殊的数量关系也能推出一定位置关系. （3）通过交流和研讨，使学生在探索的同时获得解决问题的一种方法，提高学生学习数学的兴趣和信心. 教学重点：掌握角平分线+平行线能形成等腰三角形这个基本规律，利用这个规律解决等腰三角形方面的有关问题. 教学难点：灵活运用角平分线和平行线形成等腰三角形这个基本规律解决有关问题. 突出重点方法:观察，思考，证明. 突出难点方法:自主探究 教学方法：启发与探究相结合 教学准备：PPT，课本，作图工具 三、教学设计： （一）复习等腰三角形相关知识 1、请同学们对等腰三角形的知识要点进行自我回顾： （由学生先进行回顾，教师补充） （二）探究过程 问题1：已知∠ABC，BD平分∠ABC，ED//BC.思考：△EBD是等腰三角形吗？ 解：是；EB=ED
义恒教育 备战中考答疑群：287502135 免费答疑自习室：41对过未来城23号楼601室 1 平行线与内角和（一） 1.把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则∠A 与∠AEB+∠ADC 之间有一种数量关 系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发 现的规律是（ ） A.∠A=∠AEB+∠ADC B. 2∠A=∠AEB+∠ADC C. 3∠A=2∠AEB+∠ADC D. 3∠A=2（∠AEB+∠ADC ） 2.如图（2），把△ABC 纸片沿DE 折叠，使点A 落 在四边形BCDE 外部点A'的位置，则∠A'、∠1与 ∠2的数量关系，结论正确的是（ ） A. ∠1=∠2+∠A ′ B. ∠1=2∠2+2∠A ′ C. 2∠1=∠2+∠A ′ D. ∠1=2∠A ′+∠2 3.如图，D 为等边△ABC 内的一点，DB ＝DA ，BP ＝AB ， ∠DBP ＝∠DBC ．∠BPD 的度数为_______． （图1） （图2） （图3） 4.如图，∠A=48°，则∠1+∠2+∠3+∠4的度数为 A.48° B.132° C.264° D.96° 5.如图，点O 是△ABC 的两条角平分线的交点，若 ∠BOC=118°，则∠A 的大小是__________. （第4题） （第5题） 6.在△ABC 中，∠A=47°，高BE ，CF 所在直线交于 点O ，且点E ，F 不与点B ，C 重合，则∠BOC=_____. 7.将一副直角三角板如图摆放，点C 在EF 上，AC 经过点D ．已知∠A=∠EDF=90°，AB=AC ．∠E=30°， ∠BCE=40°，则∠CDF=________． 8.如图，∠ABD ，∠ACD 的∠平分线交于点P ，若 ∠A=50°，∠D= 10°，则∠P=_______. （第7题） （第8题） （第9题） 9.如图，∠ABC 与∠ACD 的平分线相交于点P ，若 ∠A=60°，则∠P=_________. 10.如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，垂足 为点D ，E 为AD 上一点，连接BE. 求证：∠BED ＞∠C 11.如图，在等腰ΔABC 中，CH 是底边上的高 线，点P 是线段CH 上不与端点重合的任意 一点，连结AP 交BC 于点E ，连结BP 交AC 于点F. 证明：∠CAE=∠CBF 12.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数.
14，6复习课1：2008-4-30 一、巩固运用---熟识基本图形“角平分线--平行线--等腰三角形” 1、根据以下各图及已知条件，分别指出图形中的等腰三角形，并说明理由 . （l）如图7，OC平分∠A OB，C D∥OB. （2）如图8，OC平分∠AOB，OC∥BD. （3）如图9，AD平分∠BAC，C E∥AD. （4）如图10，AD平分∠BAC，G E∥AD. [说明]要求不但巩固“等角对等边”，而且从中归纳出一个“基本图形”：角平分线加平行线、出现等腰三角形.（戏称此图为“抱孩子图形”）.这个多题归一的题组练习以“抱孩子图形”为载体，有益于探究意识的增强. 2、根据教学实际情况，可酌情进一步训练（选用） （l）如图11，已知BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，EF∥BC 说明EF=BE+CF； （2）如图12，已知BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，DE∥AB ，DF∥AC 说明△DEF的周长为BC； （3）如图13，已知BD平分∠ABC，CD平分△ABC的一个外角，DE∥BC ，说明EF=BE–CF；（4）如图14，已知AB平分∠DAE，AC平分∠DAF，BC∥EF 说明AD= 2 1 BC.
[说明]在学习几何说理表达规范的同时，初步感知从复杂图形中区分出基本图形的分解与组合思想；另外，由第4小题引导学生得出直角三角形的一个性质定理，以此鼓励学生在实践应用中逐步积累有关发现、叙述、总结数学规律的经验. 14．6复习课2：2008-4-30 二、拓展运用---质疑等腰三角形三线合一的逆命题的正确性 由等腰三角形的性质“等边对等角”与判定“等角对等边”的关系，自然会联想另一性质“等腰三角形的三线合一”的逆命题及其正确与否. 习题1：如图15，根据以下条件，能否判断△ABC是等腰三角形？并说明理由. （l）已知∠BAD=∠DAC，AD⊥BC， （2）已知BD=DC，AD⊥BC， （3）已知∠BAD=∠DAC ，BD=DC，
期中考试复习——全等三角形的复习（3） 一线三等角 班级： 姓名： 一． 学习目标 1. 掌握“一线三等角”的基本图形. 2. 能在复杂图形中找出“”的基本图形，并能利用其解决问题. 二． 自学指导 【基本图形】一线三等角 如图1，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，直线l 经过顶点C ，过A 、B 两点分别作l 的垂线AE 、BF ，E 、F 为垂足． （1）求证：△AEC ≌△CFB ． （2）还能得到EF 、AE 、BF 三者之间怎样的关系？ 【变式1】如图，将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB=AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α． C B A C B A C B A C B A
（1）求证：△AEC≌△CFB． （2）还能得到EF、AE、BF三者之间怎样的关系？ 【变式2】如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状． 【变式3】如图，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点．
编号28 全等三角形的复习（2）当堂训练 班级： 姓名： 1.如图所示，Rt △ABE ≌Rt △ECD ，点B 、E 、C 在同一直线上，则结论：①AE =ED ；②AE ⊥DE ； ③BC =AB +CD ； ④AB ∥DC 中成立的是 ． 2．如图，等边三角形ABC 中，ED =DF ，∠EDF =60°，求证：BC =BE +CF ． 3.如图，AE ⊥AB ，且AE =AB ，BC ⊥CD ，且BC =CD ，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S 是 ． E D C B A F E D C B A 436 H C B G A F D E
平行线及角平分线类相似 中考要求 重难点 1．相似定义，性质，判定，应用和位似 2．相似的判定和证明 3．相似比的转化 课前预习 上一节课我们知道了相似三角形的由来，那你是否知道其他跟金子塔有关的不可思议的事实呢？ 不仅建造金字搭的技术中，表现了古埃及人的非凡的数学天才；而且，它本身的许多数据，也说明了古埃及人的数学才华，巧夺天工，比如，胡夫金字塔底面周长365米，恰好是一年的天娄；周长乘以2，正是赤道的时分度；搭高乘以10九次方，正是地球到太阳的距离；周长除以塔塔高的2倍，正是圆周率3．1415926……；塔的自重乘以10的15次方，正好是地球的重量；塔里放置的棺材內部尺寸，正好是几千年后希腊数学家华连哥拉斯发现华连哥拉斯数——345 ∶∶． 数学的趣味是无法言语的，同学们可以从身边的点滴去发现其中的奥秘．
例题精讲 模块一 平行线类相似问题 平行线类相似的基本模型有 ?模型一、二类综合题 【例1】 如图，在ABC △中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且1 4 AE AB = ，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则 BC CD =____ ___． M E C B A 【难度】3星 【解析】先介绍常规的解法： B C F E D M A B C F E D M A 如图，过点C 作DE 或AB 的平行线均可，不妨以左图为例来说明． 过点C 作//CF DE ，交AB 于点F ． ∵AM MC =，//CF DE ∴AE EF = ∵14AE AB = ∴2BF EF = ∵//CF DE ∴ 2BC BF CD EF == 当然，过点M 、点E 作适当的平行线，均可作出此题，这里不再给出．
全等三角形 知识梳理 一、知识网络 ???? ?? ????→??????? ?? ?? ???? ? ?对应角相等 性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理 二、基础知识梳理 （一）、基本概念 1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形； 即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2、全等三角形的性质 （1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等； 3、全等三角形的判定方法 （1）三边对应相等的两个三角形全等。 （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 4、角平分线的性质及判定 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上
（二）灵活运用定理 1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等， 因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。 2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。 3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。 （1）已知条件中有两角对应相等，可找： ①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS) （2）已知条件中有两边对应相等，可找 ①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS) （3）已知条件中有一边一角对应相等，可找 ①任一组角相等(AAS 或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS) 证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤： 1.确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系）； 2.回顾三角形判定公理，搞清还需要什么； 3.正确地书写证明格式（顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题）。 常见考法 （1）利用全等三角形的性质：①证明线段（或角）相等；②证明两条线段的和差等于另一条线段；③证明面积相等； （2）利用判定公理来证明两个三角形全等； （3）题目开放性问题，补全条件，使两个三角形全等。 误区提醒 （1）忽略题目中的隐含条件；
8765432 1a b c b c a 1234567822211121 D. C.B.A.相交线与平行线 一、知识提要 1． 有一条公共边,另一边互为反向延长线,具有这样关系的两个角互为邻补角; 有公共顶点,另两条边互为反向延长线,具有这样位置关系的两个角互为对顶角; 与为90度的两个角互为余角,与为180度的两个角互为补角; 余角与补角都就是大小角、同位角、内错角、同旁内角就是位置角、 2． 定理①对顶角相等;②同角或等角的余角相等;③同角或等角的补角相等、 3． 平行的两个定理 ① 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行; ② 如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也平行、 简记为:如果b //a ,c //a ,那么b //c 、 4． 垂直的两个定理 ① 平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; ② 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短、 5． 认识同位角、内错角、同旁内角、 二、精讲精练 1. 如图,∠1与∠2就是对顶角的就是( ) 2. 下列说法正确的个数就是( ) ①若∠1与∠2就是对顶角,则∠1＝∠2; ②若∠1与∠2就是邻补角,则∠1＝∠2; ③若∠1与∠2不就是对顶角,则∠1≠∠2; ④若∠1与∠2不就是邻补角,则∠1＋∠2≠180°、 A .0个 B .1个 C .2个 D .3个 3. 下列说法中正确的个数为( ) ①在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线 ②经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ③经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 ④平行同一直线的两直线平行 A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 4. 下列推理正确的就是( ) A .因a ⊥b ,b ⊥c ,故a //c B .因a ⊥b ,b //c ,故a //c C .因a //b ,b ⊥c ,故a //c
图1（1） B 图1（2）B 图1（3）B 图3 角分线、平行线与等腰三角形 （认识基本图形） 请你完成以下2个问题，通过完成1和2你有什么发现？ 1.如图1，以下三个语句，把其中两个作为已知条件，另一个作为结论，请你说明你的结论是否成立，并总结出你发现的规律. ①BD 平分∠AOC ； ②ED ∥BC ； ③BE=ED 已知: 已知 已知: 求证: 求证: 求证: 证明： 证明： 证明： 结论： 2.如图2, ∠EAC 为△ABC 的外角，以下三个语句： ① AD 平分∠EAC ； ②AD ∥BC ； ③AB=AC ，是否也可以有1中的结论呢? 图2（1） C B 图2（2） C B 图2（3） C B 结论： （图形的识别） 已知：如图3,在△ABC 中∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点O ，过点O DE//BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E . （1）求证：DE=BD+CE （2）AB=7，AC=5，△ADE 的周长= . （1）证明：
图4 B 图5 B M 图7 B 图 6 B 已知：如图4,∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点O , DO//AB 交BC 于点D ，EO//AC 交BC 于E,BC=8. 则： △DOE 的周长= 已知：如图5,在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线 交于点D ，DE//BC ，交AB 于点E ，交AC 于点F. 求证：BE= EF+ CF 证明： （图形的构造） 例2 已知：如图6,在△ABC 中，AB=AC,E 为CA 延长线上一点，F 为AB 上点， EF ⊥BC 于点H ． 求证：AF=AE （至少用2种方法证明） ： 谈谈本节课你的收获与感悟 . 1. 把专题整理在笔记本上. 2. 已知：如图7，∠1=∠2，CD=DF ，EF//AB. 求证：EF=AC
一线三角与全等三角形 探究： 在ABC Rt ?中，?=∠90ACB ，BC AC =，直线l 经过点C ，且l AE ⊥于点E ， l BF ⊥于点F . （1）当直线l 绕点C 旋转到如图1的位置时， ○图中有几对相等的锐角 ○求证：AEC ?≌CFB ?； ○试探究AE 、BF 、EF 之间的数量关系，并说明理由； （2）当直线l 绕点C 旋转到如图2的位置时，试探究AE 、BF 、EF 之间的数量关系，并说明理由； 、 结论： 巩固提高： 1.如图，ABC ?是等腰三角形，DE 过直角顶点A ，?=∠=∠90E D ，则下列结论正确的个数有（ ） ○AE CD =；○21∠=∠；○?=∠+∠9043；○BE AD =.
（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 （第1题图） （第2题图） 2.如图，在ABC Rt ?中，?=∠90ACB ，BC AC =，直线l 经过点C ，且l AE ⊥于点 E ，l B F ⊥于点F .若25=AB ，4=AE ，则=EF _______________. 3.如图，在ABC Rt ?中，?=∠90ACB ，BC AC =，点D 为斜边AB 上一点，且 CD AE ⊥于点E ，CD BF ⊥交CD 的延长线于点F .若2:1:=AE BF ，4=AE ， 则=AB _______________. 4.如图，在ABC Rt ?中，?=∠90ACB ，BC AC =，点D 为斜边AB 上一点，连接CD ，过点A 作CD AE ⊥于点E .若?=∠45BED ，4=AE ，则=AB _______________. （第3题图） （第4题图） 5.在ABC Rt ?中，?=∠90ACB ，BC AC =，直线l 经过点C ，且l AE ⊥于点E ， l BF ⊥于点F .若25=AB ，4=AE ，则=EF _______________. 6.在ABC Rt ?中，?=∠90ACB ，25==BC AC ，直线l 经过斜边AB 的中点D ，且l AE ⊥于点E ，l CF ⊥于点F .若4=AE ，则=EF _______________. F
角与角平分线 典题探究 例1 把15°30′化成度的形式，则15°30′＝____度． 例2 命题“相等的角是对顶角”是______命题.（填“真”或“假”） 例3 已知∠A =67°，则∠A 的余角等于 度. 例4 如图，BD 是∠ABC 的平分线，P 是BD 上的一点，PE ⊥BA 于点E ，PE =4㎝，则点P 到边 BC 的距离为 ㎝. E P D C B A 课后练习 A 组 1．如图，表示下列各角： （1） （2） （3） 2．下列各图中有多少个小于180度的角？并把它们表示出来。 （1） （2） 3.下列四个图中，能用∠1、∠AOB 、∠O 三种方法表示同一个的是（ ） 4. 计算：① 57.3°=______°=______′； ②18°15′= ° ；
③ 33°52′+21°54′=__________； ④28°23′×2 － 6°2′= __________； ⑤ 90°—43°18′= __ ； ⑥360°÷7≈ ___ （精确到分） 5.按图填空： 6.下列四个图形中2∠大于1∠的是（ ） 7.如图，OC 平分∠AOB ，如果∠COB=42°,那么∠AOB=_________° B 组 8.尺规作图：求作一个角，使它等于已知角∠AOB ，不写作法，保留作图痕迹。 结论： 9.尺规作图：已知∠AOB ，求作∠AOB 的角平分线。不写作法，保留作图痕迹。 结论： 10. Rt 90ABC C BAC ∠∠在△中，＝，的角平分线AD 交BC 于点D ，2CD ＝， 则点D 到AB 的距离是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
线三等角在全等三角形中的应用一图形特征:一条直线上有三个相等的角，三个角可以是锐角，直角，钝角。二解题方法:利用两角一边证三角形全等找到边之间的关系。 三例题讲解 图形一，三等角为锐角
图形二，三等角为直角钝角
(1)已知,如图①’在^ABC中,ABAC = 90o I AB = 4C,直线m经过点A, BD丄直线m, CEA.直线m,垂足分别为点D、E,求证： DE = BD + CE. ⑵如图②将⑴中的条件改为:在AAEC Φ, AB = AC l O. A、E三点都在直线m上,并且有ABDA = ZAEC = ABAC =α,其中Q 为任意钝角，请问结论DE = ED + CE是否成立?若 成 立,请你给出证明:若不成立,请说明理由. m ①D AE^ 图②
.?ΛCAE= ΛABD, ?∕^±ΔADB 和 ACEA 中 AABD = ACAE ΔBDA = ΔCEA I AB = AC :AADB=^CEA{AAS^ 证明:(1) ??BD 丄直线g CEL 直线叽 90O l -.ABAC= 9()。, .??ZBW+∕C4E = 9() ?^BAD^ AABD =
四八年级期中期末考试题型 八年级期中考试卷，变形后的应用
如图①,在zMBC中，乙ACB= 90。MC = BC,过点C 在ZUBC外作直线I1AMLl于点M,BN丄2于点N. (1) 求证:MN=AM + BN?j (2) 如图②,若过点C作直线I与线段AB相交UM ■ 丄/于点M J BNlI于点7V(4Λf>BΛΓ),(l)? 的 结论是否仍然成立？说明理由. I
1.角平分线遇平行线出现等腰三角形。分a 、b 两种情形： a 、 如图甲：一直线与角的一边平行 b 、 如图乙：一直线与角的平分线平行 2．等腰三角形与角平分线往往出现平行线 a 、如图甲：等腰三角形的一腰与角的一边平行 b 、如图乙：等腰三角形的底边与顶角的外角平分线平行 3．等腰三角形与平行线往往出现角平分线 a 、如图甲：与一腰平行 b 、如图乙：与底边平行 角平分线、平行线、等腰三角形关系密切，在题设中若见其一，应思其二，想其三；或作其二，寻找发现其三，这种解题思路方法往往能得到打开第一道大门的金钥匙，突破解题的一个难点，使一类题目变难为易成为可能，使学生对题目一看就会成为可能。这种思维方法称为“知识板块”思维。 角平分线、平行线、等腰三角形“知识板块”的应用举例： 例1、如图1：已知在△ABC 中∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，过点I 作DE//BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E 。求证：DE=BD+CE 。 证明： 例2、如图2：已知I 是△ABC 的内心，DI//AB 交BC 于点D ，EI//AC 交BC 于E 。求证： △DIE 的周长等于BC 。 证明： 31∠=∠?? ??∠=∠∠=∠?2123//OA CD DC DO =?() DOC 等腰三角形()ODE 等腰三角形?? ? ?? ∠=∠?? ?∠=∠∠=∠?214231//OC DE OE OD =?∠=∠?43???∠=∠∠=∠?=2131DC CO OA CD //32?∠=∠????∠+∠=∠∠=∠?=4343AOB OE OD ??? ???? ∠=∠∠=∠?AOB AOB 21 1213DE OC //31?∠=∠?? ?? ∠=∠?=∠=∠?1323//DC CO DC OA 21∠=∠?214231//43∠=∠?? ? ?? ? ???∠=∠∠=∠?∠=∠?=OC DE OE OD ??? ∠=∠∠=∠?1232//BC DE 31∠ =∠????==?EI CE DI BD 同理：CE BD IE DI DE +=+=?? ?? ∠=∠∠=∠?2131//AB DI BD DI =?∠=∠?23图甲 1 3 A B C D E I 图（2） 2 3 2 1 I E D A B C 4 3 2 O D E C B A 1 图乙
全等三角形中考真题汇编[解析版] 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，在△ABC和△DBC中，∠A=40°，AB=AC=2，∠BDC=140°，BD=CD，以点D为顶点作∠MDN=70°，两边分别交AB，AC于点M，N，连接MN，则△AMN的周长为 ___________． 【答案】4 【解析】 【分析】 延长AC至E，使CE=BM，连接DE．证明△BDM≌△CDE（SAS），得出MD=ED， ∠MDB=∠EDC，证明△MDN≌△EDN（SAS），得出MN=EN=CN+CE，进而得出答案． 【详解】 延长AC至E，使CE=BM，连接DE． ∵BD=CD，且∠BDC=140°， ∴∠DBC=∠DCB=20°， ∵∠A=40°，AB=AC=2， ∴∠ABC=∠ACB=70°， ∴∠MBD=∠ABC+∠DBC=90°， 同理可得∠NCD=90°， ∴∠ECD=∠NCD=∠MBD=90°， 在△BDM和△CDE中，
BM CE MBD ECD BD CD ? ? ∠∠ ? ? ? ＝ ＝， ＝ ∴△BDM≌△CDE（SAS）， ∴MD=ED，∠MDB=∠EDC， ∴∠MDE=∠BDC=140°， ∵∠MDN=70°， ∴∠EDN=70°=∠MDN， 在△MDN和△EDN中， MD ED MDN EDN DN DN ? ? ∠∠ ? ? ? ＝ ＝， ＝ ∴△MDN≌△EDN（SAS）， ∴MN=EN=CN+CE， ∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+CN+CE+AN=AM+AN+CN+BM=AB+AC=4； 故答案为：4． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；证明三角形全等是解题的关键． 2．我们知道，经过三角形一顶点和此顶点所对边上的任意一点的直线，均能把三角形分割成两个三角形 （1）如图，在ABC ?中，25,105 A ABC ∠=?∠=?，过B作一直线交AC于D，若BD 把ABC ?分割成两个等腰三角形，则BDA ∠的度数是______． （2）已知在ABC ?中，AB AC =，过顶点和顶点对边上一点的直线，把ABC ?分割成两个等腰三角形，则A ∠的最小度数为________． 【答案】130? 180 7 ? ?? ? ?? 【解析】 【分析】 （1）由题意得：DA=DB，结合25 A ∠=?，即可得到答案； （2）根据题意，分4种情况讨论，①当BD=AD，CD=AD，②当AD=BD，AC=CD，
一线三角与全等三角形 探究： 在ABC Rt ?中，?=∠90ACB ，BC AC =，直线l 经过点C ，且l AE ⊥于点E ，l BF ⊥于点F . （1）当直线l 绕点C 旋转到如图1的位置时， ○ 1图中有几对相等的锐角？ ○ 2求证：AEC ?≌CFB ?； ○ 3试探究AE 、BF 、EF 之间的数量关系，并说明理由； （2）当直线l 绕点C 旋转到如图2的位置时，试探究AE 、BF 、EF 之间的数量关系，并说明理由； 、 巩固提高： 1.如图，ABC ?是等腰三角形， DE 过直角顶点A ，?=∠=∠90E D ，则下列结论正确的个数有（ ） ○1AE CD =；○2 21∠=∠；○ 3?=∠+∠9043；○4BE AD =. （A ）1个 （B ）2个 （C ） 3个 （D ）4个 （第1题图） （第2题图） 2.如图，在ABC Rt ?中，?=∠90ACB ，BC AC =，直线l 经过点C ，且l AE ⊥于点E ， l BF ⊥于点F .若25=AB ，4=AE ，则=EF _______________. 3.如图，在ABC Rt ?中，?=∠90ACB ，BC AC =，点D 为斜边AB 上一点，且CD AE ⊥于 点E ，CD BF ⊥交CD 的延长线于点F .若2:1:=AE BF ，4=AE ，则=AB _______________. 4.如图，在ABC Rt ?中，?=∠90ACB ，BC AC =，点D 为斜边AB 上一点，连接CD ，过点A 作CD AE ⊥于点E .若?=∠45BED ，4=AE ，则=AB _______________. （第3题图） （第4题图） 5.在ABC Rt ?中，?=∠90ACB ，BC AC =，直线l 经过点C ，且l AE ⊥于点E ，l BF ⊥于点F .若25=AB ，4=AE ，则=EF _______________. 6.在ABC Rt ?中，?=∠90ACB ，25==BC AC ，直线l 经过斜边AB 的中点D ，且l AE ⊥于点E ，l CF ⊥于点F .若4=AE ，则=EF _______________. （第6题图） 7.如图，在等边ABC ?中，点D 为边AB 上一点，连接CD ，点E 在CD 上，连接AE ， ?=∠60AED ,过点B 作BF ∥AE 交CD 的延长线于点F . 求证：EF AE =. （第7题图） F
第27课时线段、角、相交线与平行线 ◆考点聚焦 1．运用两点确定一条直线解决实际问题． 2．会比较角的大小，掌握角的表示法，能进行角的有关计算． 3．明确线段、直线、射线的概念及区别与联系，线段的表示方法，?会进行有关线段的计算． 4．掌握角平分线的定义及性质． 5．掌握两角互余、互补的概念，并能进行有关计算． 6．掌握对顶角、同位角、内错角、同旁内角等概念． 7．掌握平行线的性质与判定，并能运用这些知识进行有关计算或推理． 8．掌握两条直线垂直的概念． ◆备考兵法 1．能运用方程思想解决互余、互补、平行线的性质以及三角形内、?外角和等知识和一些有关计算线段、角的问题． 2．在进行角的计算时，要注意单位的换算，即1°=60′，1′=60″． 3．要注意区分平行线的判定与性质，不要混淆滥用． ◆识记巩固 1．直线公理是指____________． 2．在田径比赛中，裁判测量跳远成绩的依据是______，?测量铅球成绩的依据是______________________． 3．两点之间_______最短，_________叫做两点间的距离． 4．线段的中点：由点M是线段AB的中点可得到__________． 5．角是___________________． 6．角平分线及性质：（1）如图1，OC平分∠AOB,可推出___________．
图1 图2 （2）如图2，由OC 平分∠AOB ，PM OA PN OB ⊥??⊥? 可得___________． 7．两直线相交，________相等；同角（或等角）的余角_______；同角（或等角）的补角________．两个角的和为90°，称这两个角_________；两个角的和为180°，称这两个角________． 8．点到直线的距离是_____________． 9．线段的垂直平分线的性质是_________． 10．两直线平行，同位角_______；两直线平行，内错角______；两直线平行，?同旁内角_______． 识记巩固参考答案: 1．两点确定一条直线 2．垂线段最短 两点之间，线段最短 3．线段 ?连结两点之间线段的长度 4．AM=BM=AB 5．由有公共端点的两条射线组成的图形或一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 6．（1）∠AOC=∠BOC=∠AOB （2）PM=PN 7．对顶角 相等 相等 互余 互补 8．从直线外一点向已知直线作垂线，?这一点和垂足之间线段的长度 9．?线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 ? 10．相等 相等 互补
一、角平分线的三种“模型” 模型一：角平分线+平行线→等腰三角形 如图1，过∠AOB平分线OC上的一点P，作PE∥O B，交OA于点E，则EO=EP. AAA EPCEC DFEP OBBCOFB 图1图2图3 例1 如图2，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E.求证：BD+EC=DE. 模型二：角平分线+垂线→等腰三角形 如图3，过∠AOB平分线OC上的一点P，作 EF⊥OC，交OA于点E，交OB于点F，则OE=OF， PE=PF. 例2 如图4，BD是∠ABC的平分线， AD⊥BD，垂足为D，求证：∠BAD=∠DAC+∠C. 模型三：角平分线+翻折→全等三角形 在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，沿角平分线AD将△ABD往右边折叠就得到如图5的图形.此时有：△ABD≌△AB/D.此翻折相当于
在三角形的一边截取线段等于另一边，或延长一边等于另一边构造出相等的线段.用此方法可解决一些不相等的线段和差类问题. D A E AP / BC DB /BC 图5图6 例3 如图6，点P 是△ABC 的外角∠CAD 的平分线上的一点. 求证：PB+PC>AB+AC. 二、角平分线定理使用中的几种辅助线作法 一、已知角平分线，构造三角形 1、如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F 。 求证：1()2 BE AC AB =- 2、在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于E ．求证：∠ACE=∠B+∠ ECD ． 二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段 1、如图所示，∠1=∠2，P 为BN 上的一点，并且PD ⊥BC 于D ，AB ＋BC=2BD 。 2 1F E D C B A N P E D C B A A B D C E F 图
全等三角形题型总结 题型一、一线三垂直 1、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，若MN是经过点A的直线，BD⊥MN于D，CE⊥MN于E，（1）求证：BD=AE。 （2）若将MN绕点A旋转，使MN与BC相交于点O，其他条件都不变，BD与AE边相等吗？为什么？（3）BD、CE与DE有何关系？ 2、如图，两根旗杆间相距12m，某人从点B沿BA走向点A，一段时间后他到达点M，此时他仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM＝DM．已知旗杆AC的高为3m，此人的运动速度为1m/s，求这个人运动了多长时间． 27、王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以 放进一个等腰直角三角板(AC=BC, ∠ABC=90°)，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵 木墙之间的距离．
题型二、角平分线与全等 1、如图所示，四边形ABCD中AB=AD，CA平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，图中有无和△ABE全等的三角形？请说明理由。 2.如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，F是OC上除点P、O外的一点，连接DF，EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论． 图 题型三、旋转与全等 1、如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG，（1）观察猜想BE与DC之间的大小关系，并证明你的结论。（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请说出旋转过程，若不存在，说明理由。
B A C D E 2、图17，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，CE 与BD 相交于点M ，BD 交AC 于点N ． 证明：（1）BD ＝CE ； （2）BD ⊥CE ． 图17 3、如图，ABC ?为等边三角形，D 为边BA 延长线上一点，连接CD ，以CD 为一边作等边三角形 CDE ?，连接AE ． （1）求证：CBD ?≌CAE ?． （2）判断AE 与BC 的位置关系，并说明理由． 4、如图，AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，具有BF=AC ，FD=CD ，试探究BE 与AC 的位置关 系. A B D C E F
七年级数学学情监测卷 （时间90分，总分120分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1、 下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的图形的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 12 1 2 1 2 1 2 2、在下面四个图形中，能用三种方法表示同一个角的图形是（ ） A B C D 3、点P 为直线l 外一点，点A 、B 、C 为直线l 上三点，PA ＝4cm ，PB=5cm ，PC=3cm ， 则点P 到直线l 的距离为（ ） A ．4cm B ．5cm C ．小于3cm D ．不大于3cm 4、如右图，已知∠AOC=∠BOD=90o，∠AOD=150o， 则∠BOC 的度数为（ ） A 、30o B 、45o C 、50o D 、60o 5、已知OC 是∠AOB 内部一条射线，下列所给条件中，不能判定OC 为∠AOB 的角平分线的是（ ） A. ∠AOC+∠BOC=∠AOB B. ∠AOC=2 1 ∠AOB C. ∠AOB =2∠AOC D. ∠AOC=∠BOC 6、下列所示的四个图形中，1∠和2∠是同位角的是（ ） A. ②③ B. ①②③ C. ①②④ D. ①④ 7、下列说法不正确的是( ) A ．平面内两条不想交的直线叫做平行线 B ．一条直线的平行线有且只有一条 C ．过直线外一点能画一条直线与已知直线平行 D ．过直线外一点能画一条直线与已知直线垂直 8、如图所示,已知DE ∥BC,CD 是∠ACB 的平分线, ∠B=72°,∠ACB=40°,那么∠BDC 等于( ) A.78° B.90° C.88° D.92° 9、如图，直线a ，b 都与直线c 相交，给出下列条件： ①∠1＝∠5；②∠3＝∠5；③∠1＝∠6 ； ④∠2＝∠7；⑤∠4＝∠8．其中，能够得出 a ∥ b 的条件是 （ ） A ．①②⑤ B ．②③⑤ C ．③④⑤ D ．①②④ 10．已知AB ∥CD ∥EF ，BC ∥AD ，AC 平分∠BAD ，那么图中与∠AGE 相等的角有( ) A 5个． B 4个． C 3个． D 2个． C D B O （第10题） ①2 12 1②12 ③1 2 ④ c 3 b a 4 1 2 5 6 7 8 （第9题） 第8题
课题：等腰三角形复习 ----角平分线和平行线构成等腰三角形的探索 一、复习目标： 1、知识与技能： （1）理解等腰三角形的有关概念。 （2）掌握等腰三角形的性质和判定。 （3）探索角平分线和平行线构成等腰三角形。 2、能力目标：通过复习进一步培养考虑问题、解决问题的思维能力，发展推 理能力及添加辅助线的思想，培养学生探索问题及总结知识点的能力。 3、情感目标：敢于面对学习生活中的困难，在独立思考的基础上，积极参与 讨论，大胆发表自己的观点，尊重和理解他人，从交流中获益。 二、重点：探索一条角平分线和一条平行线构成等腰三角形。 难点：具体情景中知识的应用及数学思想的渗透。 三、板书设计： 四、教学过程： （一）、导入： 1、请同学们对等腰三角形的知识要点进行自我回顾： （由学生先进行回顾，教师补充） 问：等腰三角形的性质有哪些？ (1)：等腰三角形的两个底角相等。 (2)：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 2、问：等腰三角形判定方法呢？ (1)定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。 (2)判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。 （二）、例题讲解： 例：如图，△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB。过D作EF∥BC 问：(1) 图中有几个等腰三角形？ (2) 线段EF与线段BE，CF有何数量关系？
解：（1）∵BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，EF ∥BC ∴∠EBD=∠DBC ，∠EDB=∠DBC ，∠FCD=∠BCD ，∠FDC=∠BCD ∴∠EBD=∠EDB ，∠FCD=∠FDC ∴△DEB ，△DFC 是等腰三角形（有两个角相等的三角形是等腰三角形） （2）∵△DEB ，△DFC 是等腰三角形 ∴BE=DE ，FC=FD 又∵EF=DE+DF ∴EF=BE+FC 变式练习1 如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB 外角。过D 作EF ∥BC ，问：(1)△BEF 与△CFD 的等腰三角形吗？(2)线段EF 、BE 、CF 有何数量关系？ 变式练习2（教学要求：要求学生自己分析、思考，并写下完整的解题过程） 如图，AF 是△ABC 的角平分线，BD ⊥AF 交AF 于D ，DE ∥AC 交AB 于E 点，说明AE=BE 。 A C D F B E B 教师分析：要找等腰三角形，看有没有两个角相等或是两条边相等。这道题只是告知了角平分线和平 行线，不存在线段的数量关系，所以我们来找角的关系。若有两个角相等，则可根据等腰三角形的性质或 是判定方法，可得到这个三角形是等腰三角形。 要找线段EF 与线段BE ，CF 的数量关系，我们不能直接得到他们有和数量关系，但是由第一题得到△BED 和△CFD 是等腰三角形，则可得到DE=BE ，DF=CF ，易得DE+DF=EF 。 A E F D C
平行线与三角形 1、 如图，直线l 分别与直线a 、b 相交，已知∠1=1100，∠2=700， 说明a ∥b 的理由. 2、如图，已知 ∠A=∠C ，AB ∥CD,请说明∠E=∠F 的理由. 3、 如图：已知 AB ∥CD,∠EAB+∠FDC=180°, 求证：AE ∥DF. 4、 如图：已知 ∠A=64 ，∠C=28°，∠AEC=36 , 求证： AB ∥CD. 5、如图；已知 BD 平分∠ABC,AB=AD, 求证：AD ∥BC. 6、如图，已知AD ∥BC,∠ADE=∠CBF,那么DE ∥BF,为什么？ A C F B E D D B F G A E C A B D C 1 l b a 2 F D C E B A C B
H G 2 1 E D C B A P Q M N 2 1F E D C B A 7、如图，已知AF ∥DE ，BE ∥FC ，求证：∠E=∠F 8、如图，已知∠DAC=∠B+∠C ，AE 平分∠DAC ， 求证：AE ∥BC. 9、如图：已知直线AB 、CD 被直线EF 所截，如果∠BMN ＝∠DNF ，∠1＝∠2， 求证：MQ ∥NP. 10、如图：已知AC 、BC 分别平分∠DAB 、∠ABE ，且∠1与∠2互余， 求证：GD ∥HE. 11、如图：AF BD CE B AC E DF ,,,,,是直线在直线上在直线上∠1＝∠2， ∠C ＝∠D ．求证：∠A ＝∠F ． 12、如图：已知在△ABC 中，AD ⊥BC,EF ⊥BC,∠ADH=∠FEC, 求证：∠BHD=∠BAC. E A B D C H F D E