数学的信仰、内在统一性与哲学思量
记得当年刚接触高等数学时，赵育林教授曾在班里问过：你们觉得数学是科学吗？显然当时我并没能领会这个问题的深刻含义，即使时至今日，我仍然没有能力来充分论述这个问题。现代研究手段主要有：论证、实验与科学计算。研究手段决定了任何一门学科，只要有明确的可具体界定的可实证的研究对象，能够建立起完整严密的逻辑体系，都可以成为科学。虽然探索过程中的不够完整缜密会成为某些异见人士攻击的借口（数学三次危机即是明佐），但无数前辈同仁们在曲折中不断进取、去伪存真的过程中，还是逐渐建立了现代科学大厦。现在把眼光放回至数学，现代数学所研究的对象自然是明确而众多的，我们的公理化系统建立在定义、公理和未定义项上，而后繁衍。而公理可谓是上帝禁区，没人染指。莱布尼茨（Leibniz）曾说：“对于那些试图证明一切，甚至连最初的原则也想加以证明的人们的努力，我给予很同的评价，而且我自己也常常参与其事。但是我不赞同因过分的细密而阻碍了创造的技巧，或者在这种借口下抛弃了最好的创造而剥夺其结果。”由此我们可见数学研究的某些特征，这些特征导致了GH 哈代（Hardy）所言的“证明只不过是指指点点”的客观性。因此，我更倾向于认为数学是一种信仰，信仰其体系的公正性，信仰其研究的有效性和必要性，信仰其核心价值－－剥离抽象以保其强大的生命力与通用价值。对数学的热爱与追求，源于对其操作手法及其带来的思想冲击的认同与维护。
在上述的说明下，我们来讨论一下数学的统一性，首先必须阐明的是，颇具影响力的数学统一性研究可能需要查看Hilbert在上世纪三十年代左右所从事的数学大统一的探索，作为二十世纪数学进展的执牛耳者，正如物理学巨擘爱因斯坦（Einstein）也追求大统一一样，希尔伯特（Hilbert)亦想在若干简练的公理体系下建立起现代枝繁叶茂的数学大厦。当然，凡是高瞻远瞩者，有此构想，理属自然。而结果也是大家所明了的：爱因斯坦的助手、奥地利年轻的逻辑学家和数学家哥德尔（Godel）关于不完备性的证明着实将希尔伯特的梦想打得粉碎。
即使如此，我们仍然追求数学众多分支内在的和谐性与统一性，和谐性内蕴于统一性之间。自然我们所说的统一性，并不能再意指可以在一两个公理体系下通过如《几何原本》式的模式来论述整个数学，而是指在现存的众多的数学分支，包括将来可能出现的新领域里，都能看到或嗅到其他领域的味道。说得更确切点，没有完全独立于其他分支的数学学科，数学各支所研究的对象可能不甚相关，但每个领域的众多数学方法、思想却是相通的，包括一些常用的学习手段和研究方法。一个分支只有与其他分支相融时，才能爆发出强大的生命力，于数学问题亦是如此，这也是为什么庞加莱猜想远比孤家寡人的数学王冠哥德巴赫猜想更有价值的原因所在。形式逻辑体系下的数学，虽然用布尔巴基（Bourbaki）学派的结构化数学来囊括不尽科学，但至少在某种程度上这也反映了数学的内在规律。
或许我们可以看一下阿蒂亚（Atiyah）的观点：“数学存在的主要原因是它具有抽象过程，将一个领域的思想转移到另一个领域的能力。”数学的内在统一性的主要工具是发展更精致、更抽象的概念－－使大量特殊事实成为某种基本原理的不同表现。此举亦使数学保持了形式上的完整，至少在今天我们所关注的几个少数的关键学科体现了这一点：群论体现了对称性的研究，拓扑学体现了连续性的研究，概率体现了随机事件的研究。而这几个分支亦是处于统治地位。
这种统一性保证了数学的生命力，规范了数学的前进发展和手法，促进了数学分支之间的相互交流与共同发展，均衡而致、相辅相成的哲学之道于此彰显无遗。此举实质已然上升至metamathematics层次，说白了，就是数学哲学层次。
有人指，数学即是哲学。对此，我表示部分赞同，但反之显然不合适。
说数学是哲学，并不是指数学的研究内容是哲学，确切地讲，是源于对数学的深层次思想理念和研究方法的一种觉悟。为了表述问题的方便与清晰，我们先简单讨论一下哲学（philosophy）。原则上，我认为哲学理应超越任何自然科学之上，是研究世界观、方法论的体系，是关于世界的本质、发展的根本规律、人的思维和存在的根本关系的理论体系。哲学的科学化程度同哲学的世界观和方法论的地位成正比。哲学之下才是自然科学，而数学又是自然科学的基础。这里其实并没有讲清数学与哲学的关系，因为无论我们从何角度剖析，都不能很好地定位此二者的关系，根本原因源自我们对数学和哲学本身都缺乏足够的了解，勿逞把握与理解。许多哲学家把哲学的核心思想放在了研究宇宙万物统一的，最普遍最一般的本质或共相上，认为它是万物存在的根本根据。这个问题自然够所有哲学家绞尽脑汁而进展缓慢，另一方面，这个问题或许或多或少让你感觉到了某种“似曾相识”，不错，数学模式亦是如此，最本质的东西才是最值得研究、最难追求也最有生命力。从这个角度来看，我们说数学透露了一种哲学之道，是不过份的。我不清楚其他学科，但私窥《费曼物理学讲义》，窃以为物理学的内核或许也是如此。当年，亚里士多德在写完《physics》后，写了另一卷《metaphysics》，后者即是今天人们所称的形而上学……讲到这里，或许很多人明白过来了。
既然已经引出形而上学，我们不妨再多费一些口舌，很多受马列影响多年的同学对形而上学很是排斥，认为这是一种孤立、静止、片面看待问题的方法。形而上学在年轻的理科生中声名狼藉，更有甚者将之与玄学、神鬼之学打入一类。当然，更多的国内理科生并不关心这些，纠结在知识层次是他们最大的快感与痛苦。考虑到当前敏感词盛行，因言获罪者比比皆是，这里我并不打算对此类患者作过多解释，只是提醒他们一句：行而上学在哲学史上意指哲学中探究宇宙根本原理的部分，对行而上学的攻讦，源自科学史上的错误与曲折，国内的话更多的是因为其与马克思那一套体系相悖。而我之所以特别提之，自然是因为其有助于我们更
好地把握形式逻辑与数学哲学，亦有助于我们在更高的层次上高屋建瓴式地对数学加以理解。
国内的很多高校已经很多年不开设数理逻辑这门课程，教点离散数学就了事，而方法论及与之相关的教材基本上已经绝迹（当然大家可以在平时学习时深入挖掘并零散吸收，我这里指的是系统学习），取而代之的是四本思想教育方面的书，有人称为政治，有人称为@@，此处不语。这类课程不开设有什么影响呢？打个不恰当的比喻，这就像邓@@在胡@@和赵@@后，选择了他们的经济改革而抛弃了政治改革一样，导致今天的天朝@@@@。好吧，提政治有风险，我们举另外一个大家感兴趣的比喻－－剑宗与气宗。不错，我们现在干的这些勾当就是完全抛弃气宗那一套来练剑。结果就是大家都学得像那么回事，但就是提不上劲，没什么威力。
这关哲学和数学什么事？这里讲的就是缺乏哲学的修养来学习数学的结果。如果只是一般的数学工作者，当然影响不大，反正知识点都还没怎么弄明白，真正的影响是高层次的创作与研究。其实数学史上众多璀璨的明星，多是有深厚哲学修养者，如Leibniz,Fermat,Hilbert 等，虽然他们并没有专门的哲学著作，但他们的哲学理念已经深深地烙入了他们的数学成果和工作中。哲学的修为可以有助于他们更好地把握理解数学，而反过来，理解数学的过程其实也可以深化哲学学习，只是我们没有这方面的基础，所以效果不大。
国人不喜欢哲学，更谈不上什么信仰，如果一定要说中国人有什么普适信仰，那可能是信仰因过度务实而导致的肌浅与投机倒把。黑格尔的入职演讲或许可以为大家表心迹：时代的艰苦使人们对于日常生活中平凡的琐屑兴趣予以大的重视，现实中很高的利益和为了这些利益而作的斗争，大大地占据了人们的精神上一切的能力和力量以及外在的手段。我们已经没有自由而炽热的心，去探索较高的内心生活和较纯洁的精神活动。这也是当今数学和哲学领域所遇到的人才凋谢尴尬。
同属基础学科，还可能被冠以无用的学科，数学与哲学的处境让人担忧，因为并不像其他重赏之下必有勇夫或有现实经济诱惑的学科，基础学科的特点决定了我们需要舍弃该舍弃的，以一颗真挚而纯洁的心，去追求、体会并欣赏她们的美丽，去感叹她们的神奇。也就是说，除非是真正狂热的追随者，以追求非数学本身为目的来学习数学只会被数学玩得很惨，于数学本身亦毫无益处。除此之外，由于这个群体在现实社会中多是脆弱不成熟的，需要良好的社会制度来保障，所以，尊重并崇尚知识的社会才能允许他们生根发芽。哲学亦是如此。
数学与哲学的关系论文【数学和哲学的关系优秀参考论文】 数学和哲学之间的关系，一直受到人们的探讨，有很多的论文都对数学和哲学作出了深刻的描写。以下是小编精心整理的数学和哲学的关系论文的相关资料，希望对你有帮助! 数学和哲学的关系论文篇一 摘要：本文首先介绍柏拉图的数学哲学思想，接着讲述一下数学哲学，再介绍必然性和先天性知识，接着介绍三大主义，以及数学哲学的现代发展，最后简单总结数学哲学。关键词：柏拉图数学哲学先天性必然性知识三大主义 正文： 一：柏拉图的数学哲学思想 柏拉图的数学哲学思想主要体现在数学本体论的问题上，而在数学的本体论问题上他采取了实在论的立场，即认为数学的对象是他所说的“理念世界”中的真实存在。柏拉图的这一认识是建立在对数学绝对真理性的信念之上的。他认为数学对象就是一种独立的、不依赖于人类思维的客观存在。 除去实在论的观点外，柏拉图还强调了数学认识活动的先天性。按柏拉图的观点，理念世界是理性认识的对象，而且，这种认识只能通过“对先天的回忆”得到实现;由于对象也是理念世界中的存在，因此，在柏拉图看来，数学就从属于研究理念的科学——“辨证法”，即是一种先天的认识。 另外，除去数学的先天性以外，柏拉图还强调数学认识在一般的理性认识中的作用：由于数学对象被说成是感性事物与理念之间的“中介对象”，因此，数学的认识也就具有一种“桥梁”作用，它能刺激人们，从而引起灵魂对“先天知识”的回忆。柏拉图说：“几何会把灵魂引向真理，产生哲学精神……。” 二：数学哲学 数学在形式化和抽象化方向上的发展，数理逻辑和数学基础研究的进展，以及悖论的发现，开创了数学哲学的研究的新时期。 数学家们认为，数学是建立在一系列自明原则基础上的。一个数学家的责任是尽可能完全地发现由这些原则所得出的结论。他应该坦率地承认这些原则本身是一些明显的洞察，因而它们形成一个无可懈击的、永恒的基础。与此相反，哲学家会听任数学家去探索由这些原则得出结论;他对这些结论并不感兴趣。然而他必须对下述事实作出解释，即我们具有供我们使用的、此类自明性所适用的一些洞察力，他还需要说明与这些洞察有关的对象。他们同意数学的对象不属于物质世界，数学洞察不可能以经验作为依据，因为适合于数学原则的这类自明性决不属于我们的经验知识而是数学原则所特有的。 三：必然性和先天性知识 数学哲学在很大程度上是认识论——在哲学中处理认知和知识的部分——的一个分支。但是，数学至少表面上与其他求知的努力不同。特别是与科学追求的其他方面不同。数学命题，像7+5=12有时被当做必然真理的范例，简直不可能有其他情况。 科学家会乐意承认她的较为基本的论题可能是假的。这种谦恭被科学革命的历史所印证，在革命中，长期存在且深信不疑的信念被推翻了。数学也能严肃地支持这种谦恭吗?能怀疑数学归纳法对自然数成立吗?能怀疑5+7=12吗?有没有数学革命，其结果是推翻长期存在的核心的数学概念?恰恰相反，数学方法论似乎并不像科学那样是或必然性的。与科学不同，数学通过证明展开，一个成功的、正确的证明扫除了所有基于理性的怀疑，不仅仅是所有有理由的怀疑。一个数学证明要表明它的前提逻辑地蕴涵它的结论。前提为真而结论为假是不可能的。 “先天”这个词的意思差不多是“先于经验”或“独立于经验”。它是一个认识论的概念，如
《数学与哲学》读后感 建华镇初级中学陈志峰 本学期，我看了张景中院士献给数学爱好者的礼物----《数学与哲学》一书，书中主要内容包括了“万物皆数”观点的破灭与再生、哪种几何才是真的、变量·无穷小·量的鬼魂、自然数有多少、罗素悖论引起的轩然大波、数是什么、是真的但又不能证明等。 由于具体的数学问题多如繁星，数学家往往整天埋头于解决数学问题，无暇关注数学发展中出现的“矛盾”。但数学史告诉我们，恰好是“矛盾”的一次次解决，才导致数学发展的飞跃与深化。张景中的书《数学与哲学》就是对数学发展中这些重大的历史事件，用通俗的讲法向大众展示当时的争论内容与形势，及以后的解决办法及数学的飞跃发展。 例如关于数，是否仅有自然数及由它产生的有理数就够了。那么√2是什么？这就导致无理数的产生。在欧氏几何中，不少人企图给出第五公设的证明，但都失败了。这导致非欧几何的产生；无穷小量的应用与定义，导致严格实数极限理论的建立；无穷集合的比较；集合定义的确定及哥德尔定理，等等。每经过这些重大的历史事件，数学思想都得到飞跃，从而使数学得到质的发展与飞跃。 翻开西方数学史或哲学史，人们会发现一个有趣而重要的现
象：西方数学与哲学有着千丝万缕的联系。这种联系不但源源流长，而且绵延至今。 追溯起来，数学与哲学自西方哲学诞生之日起就结下了不解之缘。西方第一位哲学家泰勒斯是数学家；著名数学家毕达哥拉斯在对数学的深入研究上得出了“万物皆数”的著名哲学命题；大哲学家柏拉图相信数是一种独特的客观存在，由此产生了数学上的“柏拉图主义”……进入20世纪，围绕着数学基础研究所产生的三大流派更是把两者的关系推向了高峰。 在这两千多年结伴而行的漫长岁月里，哲学与数学相互影响，相互促进，与此同时也产生了许多介于两者之间的问题。比如：如何理解数学的真理性？什么是数？如何理解无穷、连续概念？等等。对这一系列问题的研究与探讨，促成了对数学进行哲学分析的数学哲学分支的确立。然而，由于问题的复杂，涉及面的广泛，分歧的众多，一般人对之只能望而却步，对有关数学哲学研究有一个概貌了解都成为一件困难的事情。 书中，对有关数学哲学问题及数学与哲学的关系等都能以浅显平易的话语娓娓道来，做出极为清晰的解释。为了把深奥的道理变得更容易为一般人所理解，作者还不时加入非常恰当的比喻。比如在论述数学的真理性问题时，指出对现在的数学家来说问题不在数
哲学的故事读后感 哲学的故事读后感 品味完一本名著后，大家一定收获不少吧，让我们好好写份读后感，把你的收获感想写下来吧。读后感你想好怎么写了吗？以下是我精心整理的哲学的故事读后感，欢迎大家分享。 《哲学的故事》是杜兰特所著。杜兰特身上有着非常优良的人格质量。在这本书中，给我留下印象最深刻的是第七卷。杜兰特带领我们思考了人要获得幸福感应该具有的思考方式。不管别人做什么说什么，我们都必须行善，毕竟在当今社会，发生如“小悦悦事件”也并不奇怪了。人们已习惯于做冷眼的看客，但其实选择麻木或伸出善意的援手只在一念之间；同时要爱护、宽容犯错之人，多做有益他人之事，自己也从中受益，并常行不辍，永不倦怠。审视自身，当我们看到对犯错之人的处罚从重从严，岂不大快人心。中国人不缺乏同情心，但缺乏广泛的同情心。 他能虚心发现他人身上的优秀的品格，为己所用，摒除傲气和骄妄，排除利欲的驱使和冲动，时刻沉思自身能力修养。他在自己的书中阐述了灵魂与死亡的关系，甚至宇宙万物之间的关系，非常深刻地解析了人的德行，个人的解脱以及社会责任，如何达到内心的平静。杜兰特还告诫我们，不仅要处处思考，还要付诸行动。一个君主更应该是一个实干家，而不是空想家。这是一本用灵魂写成的书。人可以通过双眼看世界，但是有个死角就是自己，所以看清自己、与自己对话从来就不是用眼睛能够做到的，唯有用心灵去审视过去，去反省过往。而反省自己，与自己对话从来就不是一件容易的事，它需要绝对真诚、平和的心态，需
要超凡、决绝的勇气。《哲学的故事》原著并非英文，而由拉丁文翻译为英文再译为中文，其中有不少生涩的语句，英文也多为古语，读起来并非易事。但是杜兰特留给我们的精神财富却是了然于心的。思想决定人生，思想决定命运。杜兰特几乎无法用帝位改变所统治的世界，但他最终用思想改变着人类世界。《哲学的故事》并非时髦之书，但它是经久之书。若每一个君主都如一个真正的哲学家一样思考，那国家的政治与智慧也就合二为一了；如果个人实现了真正的内心宁静，那么幸福之感也就油然而生了。 要忍耐痛苦，看淡虚名，要朴素，视死亡为宇宙之变化，是自然而然的。杜兰特虽是奴隶社会的君主，却把死亡视之平常。回想我国封建社会的君主却个个炼丹求佛，幻想长生不老。这种超然的境界就是源自于他宁静而致远的心路历程。他关注内在，因为善的源泉就在其中，善随时都会喷涌而出，要追求自由、谦虚、友好。除此之外，书中还教导人们按照你的本性度过你的余生。在人的本性中，最重要的就是社会性，因为人是生活在社会中的人，仰仗于社会性的人的自然性才能得到诠释。其中想要获得幸福之感并不需要占有过多的物质，只要有能力活得没有压力，内心宁静。 假期我读了美国哲学家威尔·杜兰特的《哲学的故事》，受益匪浅。哲学，这种让人觉得很深奥的东西，它却用简洁的故事娓娓道来，给人以启迪和警醒，给我留下深刻难忘的印象。 哲学就在我们身边，关键在于你能不能发现，能不能细细地去体会，能不能去行动。这本讲哲学的书和我以前所接触的哲学书不同，它用一种近似讲故事的方法，介绍了许多哲学家的生平、观点以及他们生活的时代背景、生活境遇和情感，在这些故事中让我们体会着深奥的哲学。
数学与哲学 何晓川 材料学院材料1005班 201065041 摘要：本文首先介绍了数学与哲学的本源关系，然后讲述了数学与哲学在东西方发展进程中的表现，以及数学的三大危机，接下来介绍了数学与哲学研究所面临的六大问题，最后形象化总结数学与哲学的关系。 一：数学与哲学 现代的数学家大都很少关心哲学文题，甚至对基础问题一般都不闻不问。从二十世纪三十年代之后，数理逻辑成为一门极为专门的学科，象几何、拓扑、分析、代数、数论一样，成为专家研究的对象，外行简直难于理解。 任何一门学问，必然是反映着哲学的探索与诉求，数学作为一种同经验无关的人类思维的结晶，更需要哲学的支撑。 哲学是人类认识世界的先导，哲学关心的首先是科学的未知领域，哲学倾听着科学的发现，准备提出新的问题。哲学，从某种意义上说，是自然学科的望远镜，数学就产生在哲学已探索的未知领域。数学本身源于自然哲学，虽然在历史的进程中，数学学科逐渐从哲学中分离出来，但是数学基础仍带有浓厚的哲学味道。 柏拉图有句名言：“没有数学就没有真正的智慧。”智慧是被运用于生活中的哲学，是哲学的生活化、实际化。历史上，许多著名的学者，如英国的罗素、德国的数学家康托尔，正是踏着数学的阶梯步入哲学堂奥的。 二：数学与哲学在东西方的表现 哲学与数学在东西方世界的表现有着不同。 西方哲学与数学有着密切的关系。追溯起来，数学与哲学自西方哲学诞生之日起就结下了不解之缘。西方第一位哲学家泰勒斯是数学家；著名数学家毕达哥拉斯在对数学的深入研究上得出了“万物皆数”的著名哲学命题；大哲学家柏拉图相信数是一种独特的客观存在，由此产生了数学上的“柏拉图主义”……进入20世纪，围绕着数学基础研究所产生的三大流派更是把两者的关系推向了高峰。在古希腊罗马时期，哲学尚未与其他的学科明确分开，许多哲学家本身就是自然数学家，哲学与数学是一个学科，无疑他们是联系在一起的。这个时期的哲学家探讨的主要是自然哲学和本体论的问题，为了搞清客观世界及其原因和规律究竟是什么，人们创造了数学方法、辩证法和逻辑，这是西方理性思维的萌芽时期。 亚里士多德后，哲学与其他学科分开了，但西方哲学与数学仍然紧密联系，近代西方的许多哲学家，其本身也是数学家。而中国的哲学与数学联系很少，历史上鲜有集数学家与哲学家于一身的人。中国传统哲学子孔子以来就培养了一种深厚的“实用理性精神”，总是同做人即人格修养联系在一起。这实际上体现了东西方哲学思维方式的一种不同。 这种不同的表现，对近代的科学在东西方的兴起发展起了不同的影响作用。对于今天的我们，又该如何看待呢？我们国家正处于社会主义现代化建设时期，个人认为，我们应该学习西方的哲学思想，并改造中国的传统哲学，努力养成一种与数学思维方式相似的注重严密推理和论证的思维方式和习惯。 在这两千多年结伴而行的漫长岁月里，哲学与数学相互影响，相互促进，与此同时也产生了许多介于两者之间的问题。比如：如何理解数学的真理性？什么是数？如何理解无穷、连续概念？等等。对这一系列问题的研究与探讨，促成了对数学进行哲学分析的数学哲学分支的确立。然而，由于问题的复杂，涉及面的广泛，分歧的众多，一般人对之只能望而却步，对有关数学哲学研究有一个概貌了解都成为一件困难的事情。 三：数学的三大危机
数学与哲学 从1900年到1930年左右，数学的危机使许多数学家都卷入到一场大辩论当中。他们看到这次危机涉及数学的根本，必须对数学的哲学基础加以严密的考察。在这场大辩论中，原来的不明显的意见分歧扩展成为学派的争论，以罗素为代表的逻辑主义，以布劳威尔为代表的直觉主义，以希尔伯特为代表的形式主义三大学派应运而生。他们在争论过程中尽管言语尖刻，好象势不两立，其实他们各自的观点在争论过程中都吸收了对立面的看法而有很多变化。 1930年，哥德尔不完全性定理的证明暴露了各派的弱点，哲学的争论冷淡了下去。此后各派力量沿着自己的道路发展演化。尽管争论的问题远未解决，但大部分数学家并不太关心哲学问题。近年来数学哲学问题又激起人们的兴趣，因此我们有必要了解一下数学哲学的来龙去脉。 1、逻辑主义 罗素在1903年出版的《数学的原理》中对于数学的本性发表了自己的见解。他说：“纯粹数学是所有形如…p蕴涵q?的所有命题类，其中p和q都包含数目相同的一个或多个变元的命题，且p和q除了逻辑常项之外，不包含任何常项。所谓逻辑常项是可由下面这些对象定义的概念：蕴涵，一个项与它所属类的关系，如此这般的概念，关系的概念，以及象涉及上述形式一般命题概念的其他概念。除此之外，数学使用一个不是它所考虑的命题组成部分的概念，即真假的概念。” 这种看法是罗素自己最早发表的关于逻辑主义的论点。这种看法在以前也不同程度被戴德金、弗雷格、皮亚诺、怀特海等人表达过。戴德金在1872年出版了《连续性及无理数》一文，在这篇文章中，他把有理数做为已知，进而分析连续性这个概念。为了要彻底解决这个问题，必须考虑有理数乃至自然数产生的问题。他认为应该建立在逻辑基础上，但没有实行。 弗雷格在1884年《算术基础》中认为每个数是一个独立的对象。他认为算术规则是分析判断，因此是先验的。根据这点，算术只是逻辑进一步发展的形式，每个算术定理是一个逻辑规律。把算术应用到自然现象上的解释只是对所观察到的事实的逻辑加工，计算就是推理。数字规律无须实践检验即可应用于外在世界，而在外在世界、空间总体及其内容物，并没有概念、没有数。因此，数字规律实际上不能应用于外在世界，这些规律并不是自然规律。不过它们可以应用于对外在世界中的事物为真的判断上，这些判断即是自然规律。它们反映的不是自然现象之间的关系，而是关于自然现象的判断之间的关系。 早在罗素发现悖论之前，他在写作《数学的原理》时就企图把数学还原为逻辑，由于发现悖论，这个计划遭到了困难。他发现消除悖论的方法之后，又开始具体实现他的计划，这就是他和怀特海合著的《数学原理》。 既然罗素、怀特海的《数学原理》原来的目的是企图把数学建立在逻辑的基础上，因此，书一开始就提出几个不加定义的概念和一些逻辑的公理，由此推出逻辑规则以及数学定性。 不加定义的概念有基本命题、命题函数、断言、或、否(非)；这里讲的命题是指陈述一件事实或描述一种关系的一个语句，如“张三是人”，“苹果是红的”等等，由这些概念可定义逻辑上最重要的概念“蕴涵”。 要想由逻辑推出数学，第一步是推出“数”来，这件事皮亚诺及弗雷格都做了。罗素在消除悖论之后，成功地用“类”来定义1。这个过程极为繁琐费力，一直到《数学原理》第一卷的363页才推出“1”的定义，而第二卷费了很大力气证明了n×m＝m×n。 在《数学的原理》及《数学原理》中，罗素的目标在于证明“数学和逻辑是全等的”这个逻辑主义论题，它可以分析为三部分内容：
数学日记读后感言 ——致可爱的高数弟子们 因为琐事的纷纷扰扰，因为班车的匆匆忙忙，因为一个加强排研究生的嗷嗷待哺，还因为()ο教学＝科研（o 这个符号大家学过的，不足为外人道也）这个公式的威逼利诱，对于手头那些规定作为作业上交的可爱的、精彩纷呈的数学日记，我竟没能在某一个时间闭区间上构造出阅读的连续函数，最后，退而求其次，用了个分段函数，段数4n ≥。 在拥有自己的时间的时候，总是会仔细地翻阅那些数学日记，在静夜的书房里、在颠簸的校车上。仿佛倾听每一位弟子的诉说，诉说自己的数学故事、回溯自己的心路历程、流露自己的数学情感、评述自己的学习得失、表达自己的困惑与迷茫、憧憬自己的数学未来。苦乐相伴、悲喜共存、爱恨交加，忧惧与期待并行，无奈共憧憬同在。利用不完全归纳法，得到以下关于高数学习之不等式： 苦 ≥ 乐；悲 ≥ 喜；恨 ≥ 爱；忧惧 ≥ 期待；无奈 ≥ 憧憬。 说到苦处，高数恰似美军之牢狱，我老人家恰似虐囚之士兵；说到恨时，高数直似恐怖大亨拉登，主人公自比美国总统布什；说到忧惧时，战战惶惶，汗出如浆；说到无奈时，与高数执手相看泪眼，竟无语凝噎；说到悲情处，风潇潇兮易水寒！在每一个阅读日记的时间闭区间上，至少有一点 ξ ，使得我在该点处的阅读函数值为“先昏过去再说”。 但我的阅读函数值中更有一些感动和一些震动。感谢诸位愿意与我作真心的交流，如果以A 、B 、C 、D 四级制来评定诸位所撰数学日记之成绩（主要以数学情感之真实性为依据），则四级人数之比约为A : B : C : D = 75 : 20 : 5 : 0。这就使我可以真实、深入地了解大家，并据此对自己的教学进行深入的反思。我也看到，大家对高数之教学方式基本持肯定看法，使我依然可以从容、自信地面对大家。但高数带给部分同学的痛苦、恐惧、忧虑和无奈亦深深震撼我的心灵。在大学，由于师生关系之疏远、师生交流之贫乏、对学生认知研究之不足，讲台上的教师往往自作多情、滔滔不绝、唾沫飞溅、满黑板定理与证明、大有讲不足舞之、舞不足蹈之之势，殊不知台下已然危机四伏：或如身堕五里云雾、或似眼观天外之书、或睡眼朦胧、或鼾声暗起、或窃窃私语、或置身局外、或冷眼旁观。纵有若干记笔记者，亦不过为抗拒瞌睡虫之猖獗不得已而为之。悲夫！密密麻麻的数字、符号、定理、公式，不过推销无果、供自我欣赏的廉价产品而已。而今，诸位的数学日记使我明白，我所爱者未必人人爱之，我所善者未必人人善之，我所感觉容易者未必人人易之，我
数学与哲学的关系 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
论数学与哲学的关系 【摘要】哲学，在里，对于这一词并无普遍接受的定义，也预见不到有达成一致定义的可能。单就西方学术史来说，哲学是对一些问题的研究，涉及等。数学，是研究现实世界中数量关系和空间形式的，简单地说，是研究数和形的科学。数学是社会科学和自然科学的基础，哲学是社会科学和自然科学的概括。 关键词：哲学；数学；原理；关系 哲学是对普遍而基本的问题的研究，这些问题多与实在、存在、知识、价值、、心灵、语言等有关。在东方，哲学一词通常用来说明一个人对生活的某种看法（例如某人的“人生哲学”）和基本原则（例如、、）。而在学术上的哲学，则是对这些基本的理性根据的质疑、反思，并试图对这些基本原则进行的重建。在日常用语中，“哲学”一词可以引申为个人或团体最基本的信仰、概念和态度，哲学一词可以是指一种、或者。 而对于我的专业-——基础数学，我认为我的这个专业，必然和哲学有着千丝万缕的关系，我发现了张景中院士献给数学爱好者的礼物——《数学与哲学》一书，书中主要内容包括了“万物皆数”观点的破灭与再生、哪种几何才是真的、变量·无穷小·量的鬼魂、自然数有多少、罗素悖论引起的轩然大波、数是什么、是真的但又不能证明等内容，使我开阔了视野，对于研究生期间要学习的内容，也有了更深层次的见解。 由于具体的数学问题多如繁星，数学家往往整天埋头于解决数学问题，无暇关注数学发展中出现的“矛盾”。但数学史告诉我们，恰好是“矛盾”的一次次解决，才导致数学发展的飞跃与深化。张景中的书《数学与哲学》就是对数学发展中这些重大的历史事件，用通俗的讲法向大众展示当时的争论内容与形势，及以后的解决办法及数学的飞跃发展。 例如关于数，是否仅有自然数及由它产生的有理数就够了。那么√2是什么？这就导致无理数的产生。在欧氏几何中，不少人企图给出第五公设的证明，但都失败了。这导致非欧几何的产生；无穷小量的应用与定义，导致严格实数极限理论的建立；无穷集合的比较；集合定义的确定及哥德尔定理，等等。每经过这些重大的历史事件，数学思想都得到飞跃，从而使数学得到质的发展与飞跃。 翻开西方数学史或哲学史，我们会发现一个有趣而重要的现象：西方数学与哲学有着千丝万缕的联系。这种联系不但源源流长，而且绵延至今。追溯起来，数学与哲学自西方哲学诞生之日起就结下了不解之缘。西方第一位哲学家泰勒斯是数学家；着名数学家毕达哥拉斯在对数学的深入研究上得出了“万物皆数”的着名哲学命题；大哲学家柏拉图相信数是一种独特的客观存在，由此产生了数学上的“柏拉图主义”……进入20世纪，围绕着数学基础研究所产生的三大流派更是把两者的关系推向了高峰。 在这两千多年结伴而行的漫长岁月里，哲学与数学相互影响，相互促进，与此同时也产生了许多介于两者之间的问题。比如：如何理解数学的真理性？什么是数？如何理解无穷、连续概念？等等。对这一系列问题的研究与探讨，促成了对数学进行哲学分析的数学哲学分支的确立。然而，由于问题的复杂，涉及面的广泛，分歧的众多，一般人对之只能望而却步，对有关数学哲学研究有一个概貌了解都成为一件困难的事情。 再比如，“模糊的哲学与精确的数学——人类的望远镜与显微镜”来描述数学与哲学各自的特点；“数学的领域在扩大。哲学的地盘在缩小”等等。值得注意的是我们可以对自己的部分数学研究工作做出新颖的哲学分析。例如从常微分方程的
数学哲学对于数学教育的价值 数学哲学对于数学、数学教育和数学教学的意义何在?其实这一直是一个没有定论的问题。具体说来，人们大概不会否认数学哲学对于数学和数学教育的作用，无论这种作用是大还是小，是积极的还是消极的，是长期的还是短期的，是直接的还是间接的。然而人们难以有共识的是，数学哲学在何种程度上，以何种方式对数学和数学教育起着作用。本文将从数学哲学的一个核心与重要的领域――数学观出发，对相关话题予以初步论述，以期引起中小学数学教师对此话题的关注。 一、数学观演变的历史掠影 自从数学产生以来，人们就形成了关于数学的许多认识。人们关于数学的理解和看法在相当程度上取决于当时数学知识发展的水平。例如，无论是在中国古代还是古希腊，万物固有的量性特征都促使人们思考了物质世界与数量之 间的关系。在《道德经》中，老子提出了“道生一，一生二，二生三，三生万物”的思想，而古希腊的毕达哥拉斯学派的信念则是“万物皆数”。再比如，物质存在的空间形态促使
人们对几何形体进行了研究，几何学因而成为所有数学文化的共同对象，尽管所采取的研究方法各不相同。 在数学发展早期，由于数学知识的特点，这种对于数量与空间形式的认识可能是初步的、幼稚的，甚至是错误的。例如，无论是在中国古代、古巴比伦、古埃及还是古代印度，数字与神秘主义一直有着千丝万缕的联系。在古希腊，由于受所有的数都是整数之比这一观念的影响，无理数的发现竟然被认为是一场灾难。 与古埃及、巴比伦和其他的经验主义数学范式不同的是，古希腊数学在许多基本和重大的观念上都是开创性的。在本体论方面，古希腊人把数学研究对象加以抽象化和理想化，使之成为与现实对象不同的具有永恒性、绝对性、不变性的理念对象。在认识论方面，对于数学真理的判定，古希腊人坚持运用演绎证明而不是经验感知，并赋予数学真理以与其本体论性质相当的价值观念。古希腊人把数学加以观念化，使之成为一种形而上学的学问，而不仅仅停留在实用的、技术的、巫术的、技艺的等形而上学的层面。在方法论方面，古希腊人赋予数学以严密的逻辑结构，使数学知识以一种体系化的形式呈现，并坚持通过论证的方法获得数学命题的可靠性。 演绎数学作为古希腊所开创的数学范式，其基本观念在毕达哥拉斯学派和柏拉图的数学世界中达到了顶点。毕达哥
浅谈数学与哲学 哲学是是自然知识和社会知识的囊括和总结，是研究世界观的学问，是人类思维的结晶和提炼，它作为一种理论思维，在人类进步的漫长过程中，已经形成一系列的基本概念和范畴，构建了博大宽宏的理论体系．它与自然科学是辩证统一的而又有所区别的．它们的统一性在于，所研究的都是不依赖于它们本身的客观世界．它们的区别在于，每门自然科学都是以自然界的一定领域为其研究对象，研究物质某一种运动形式的特殊规律；而哲学则揭示现象中共同的东西，揭示客观世界中各种运动形式所固有的普遍规律和联系．数学，是研究研究客观世界数量关系和空间形式的自然科学．它不仅提供计算的方法，而且还是思维的工具，科学的语言，更是简历辩证唯物主义哲学的科学基础之一．数学通过精细的概念，严密的推理，奇妙的方法，简单的形式，去描绘细节，扩展内容，揭示规律，形成整体认识．数学反映了哲学范畴或基本矛盾的数量方面，数学有其逻辑严密性，高度抽象性，应用广泛性等特点，自然与哲学有很多相近之处，因而就决定了其与哲学必然有更为密切的关系．本文就数学与哲学的关系进行了粗浅的分析． 数学是表述简洁、清晰、歧义较少的逻辑体系。在数学中，不仅各种数字、函数，就连加、减、乘、除，大于、小于、等于，以及指数、导数、积分等符号本身，也都是约定俗成、极少歧义的概念。特别是几何方法，能用清晰、直观的坐标或图形，表达比较复杂的逻辑关系。在学校的学习中，我们常常把各门学科的应用题，用几何的方法描述出来，以便清晰地看出其中各个因素的相互逻辑关系，然后列出适当的数学公式，解出要求的问题。 形式逻辑可以用几何图形，表示各种概念复杂的逻辑关系。哲学也是一门科学，它当然也可以使用这种科学的方法来进行表述。 形式逻辑要求概念都是确定的，以便它进行正常的推理和运算。 辩证法认为，任何概念都是在一定的条件下确定的，不同的条件可能导致不同的结果，所以它必须研究确定概念的不同条件和不同结果。而具体研究几个不同条件和不同结果，也只能是运用有限的手段，遵循形而上学的方法，一个一个去研究。 简单一点说，辩证法的本质就是指出事物在不同条件下的不同结果。 确定概念的条件和被确定的概念之间的关系，类似于数学中的函数关系。 y = f ( x ) 用数学的术语，马克思这样表述。“一个变量的函数是另外一个变量，它的值随着前者的值而变化，也就是依赖于前者。” 我们可以具体举例用公式来表述上述概念。比如 在Y=X+1中，当X大于1时，那么Y大于2。 在Y=X+1中，当X小于1时，那么Y小于2。 在Y=X+1中，当X等于1时，那么Y等于2。 在上述三句话中，每一句都是形而上学的表述，在确定的条件下，表述确定的概念。 当我们把上述三个形而上学的表述放在一起分析时，就有了质的变化。我们说这既是形而上学的表述，又是辩证的表述。因为它指出了事物在不同条件下的不同结果。 我们还可以说，Y 在有的条件下大于2，在有的条件下小于2，在有的条件下等于2。这也是一种辩证的表述。可见有些所谓辩证的表述，不过是省略了几个形而上学表述中具体的条件，而用一个不确定的概念取而代之而已。科学进步正是要通过研究，把这些所谓辩证的、还没有确定的概念，变成确定的、形而上学的形式才能实现。
《数学史》读后感 《数学史》读后感 今年的寒假出奇的漫长，在这漫长的寒假里，我读了一本我不怎么喜欢的书--《数学史》，为什么不喜欢呢?是因为我很多不懂，但是读着读着我就喜欢上了，《数学史》记录着人类数学历史发展的进程，读了它，我有一点肤浅的体会。 体会一：数学源自于与生活的需要与发展。 书中写到：人类在很久之前就已经具有识辨多寡的能力，从这种原始的数学到抽象的“数”概念的形成，是一个缓慢渐进的过程。人们为了方便于生活便有了算术，于是开始用手指头去“计算”，手指头计数不够就开始用石头，结绳，刻痕去计计数。例如：古埃及的象形数字;巴比伦的楔形数字;中国的甲骨文数字;希腊的阿提卡数字;中国筹算术码等等。虽然每种数字的诞生都有不同的背景与用途，以及运算法则，但都同样在人类历史发展和数学发展起着至关重要的作用，极大地推动了人类文明的前进。 体会二：河谷文明和早期数学在历史的长河一样璀璨夺目。 历史学家往往把兴起于埃及，美索不达米亚，中国和印度等地域的古文明称为“河谷文明”，早期的数学，就是在尼罗河，底格里斯河与幼发拉底河，黄河与长江，印度河与恒河等河谷地带首先发展起来的。埃及人留下来的两部草纸书--莱茵徳纸草书
和莫斯科纸草书，还有经历几千年不倒的神秘金字塔，给后人诠释了古埃及人在代数几何的伟大成就，也给后人留下了辉煌的文化历史，而美索不达米亚在代数计算方面更是达到令人不可思议的程度。三次方程，毕达哥拉斯都是它创造的不朽的历史，在数学史上的地位是至关重要的。 古人云：读史使人明智。读了《数学史》让我明白：数学源于生活，高于生活，最终服务于生活，运用于生活。-- 《《数学史》读后感》
有关“物理的尽头是数学,数学的尽头是哲学,哲学的尽头是神学”这句话 我是学数学的，发表下浅见：同意这种说法。（不过这句话出处不明，但肯定不是“三体”这本书） 物理是对客观世界的具体事物的数学描述。比如中学物理中的经典物理学有力学、光学什么的，外在世界能实实在在地感受到的东西，然后用一个数学公式来加以归纳总结。但是再往深层次研究，涉及到量子物理（物理世界的根本问题），这些东西客观世界无法感知，就不得不用纯抽象的数学来研究，所以许多理论物理学家的论文跟数学论文也没啥太大区别，基础数学中的量子群、李代数也经常被应用到物理当中来。所以说物理学的尽头是数学。 这里插一句，有的人把数学当做是物理化学等应用学科的工具，认为数学是好用的“奴隶”，这里我作为一个学数学的人提出严正抗议！数学和其他理科科学之前确实存在许多相容的地方（那是因为数学本身就是对它们最简洁最有效的描述），但是数学不仅仅是服务者，很多人会问：数学有什么用？的确，有的理论知识被研究出来，仅仅是因为体系的自我完备和相容，具体的应用前景还无法估测。打个比方，物理学家是唐僧，他到了印度取得真经就要往回走，因为目的已经达到；但是数学家可能到了西天他还要往前走，前面是什么？是不是还有我们不知道的新东西？很纯粹的探险者。你要问数学有什么用，你可能要问问你的后人。所以请不要单纯用功利化的眼光看待数学。 物理走到这里为止，接下来他就要把接力棒传给数学工作者了。因为前方的道路不是实实在在的，忽悠的说法是：脚下无路，胸中有路。因为数学就是抽象，抽象就是这个东西它什么都不是，但它又能代表很多很多东西。比如说1,你说它是1个苹果、1块饼干、1根香蕉？都不是，它就是1，一个符号而已。没学过数字的小朋友是无论如何也不会对1产生什么想法的，只有我们告诉他，我们用这个符号概括你说知的一切具有“1”的特征的东西，他才会对这个符号赋予意识。这是最简单的抽象，简单到我们都以为它很具体。（如果你问我1到底是什么？那要归结到集合论，简单说来我可以用一个特定的集合来定义1，我还可以用集合来定义所有的数字、运算等等，所以高中第一堂课，我们就学习集合，老师还说集合是数学的基础，就是因为无论什么你都能用集合来定义，当然一般人是不用纠结这个问题的。）这里我再插一句，有关哥德巴赫猜想的“1+1=2”，它也不是小学生所理解的加法。关于这个加法的证明任何一个学习过抽象代数或集合论的本科生都能给出。（有关哥德巴赫的具体内容，大家可以百度或谷歌一下，也是小学生可以理解的。）当数学的最初就跟哲学有着千丝万缕的联系，所以有人说哲学和数学是两种描述世界的方法，二者互通，也是有道理的。比如大家都熟悉的根号2，你说它是多少？1.414？差不多，但不是，1.414...恩，无限不循环小数对吧，好吧有这么一个数，你永远也无法准确说出它具体的数值（即使你巨牛无比永世长存地说出这个数值，也没有一个人能活着听你把它具体说出来），好了现在的问题是根号2存在吗？“存在”的问题显然是个哲学问题！（证明存在可以有两种方法：找到它或从反面出发证明如果不存在会有矛盾，这里矛盾又是一个哲学概念！）当然我们已经知道根号2是存在的了（注意：你可以对此产生怀疑，但是万万不可否定）。还有中学学习数学的同学一定会被老师叮嘱各种数学思想，其实大多数数学思想就是哲学思想，比如函数思想里就蕴含了特殊与一般的联系、变化与静止的联系等等，函数的本质就是“变”。凡是涉及到本质或思想的东西，大都会和哲学搭上边，而我们总说的学好哲学能帮助我们认清事物的本质就是这个道理。 学了数学就会发现，有些东西是约定俗成的（1+1=2不是约定俗成，是可以证明的！）比如我们所说的公理，没有人去证明任何公理，因为公理约定俗成。好了，“约定俗成”这个词是不是听上去不太爽？什么搞科学也要约定俗成？！一点都不严谨嘛！那我们约定俗成地承认上帝是存在的好了。恩，
论数学与哲学的关系 【摘要】哲学，在学术界里，对于这一词并无普遍接受的定义，也预见不到有达成一致定义的可能。单就西方学术史来说，哲学是对一些问题的研究，涉及等概念。数学，是研究现实世界中数量关系和空间形式的，简单地说，是研究数和形的科学。数学是社会科学和自然科学的基础，哲学是社会科学和自然科学的概括。 关键词：哲学；数学；原理；关系 哲学是对普遍而基本的问题的研究，这些问题多与实在、存在、知识、价值、理性、心灵、语言等有关。在东方，哲学一词通常用来说明一个人对生活的某种看法（例如某人的“人生哲学”）和基本原则（例如价值观、思想、行为）。而在学术上的哲学，则是对这些基本原则的理性根据的质疑、反思，并试图对这些基本原则进行理性的重建。在日常用语中，“哲学”一词可以引申为个人或团体最基本的信仰、概念和态度，哲学一词可以是指一种宗旨、主张或者理念。 而对于我的专业-——基础数学，我认为我的这个专业，必然和哲学有着千丝万缕的关系，我发现了张景中院士献给数学爱好者的礼物——《数学与哲学》一书，书中主要内容包括了“万物皆数”观点的破灭与再生、哪种几何才是真的、变量·无穷小·量的鬼魂、自然数有多少、罗素悖论引起的轩然大波、数是什么、是真的但又不能证明等内容，使我开阔了视野，对于研究生期间要学习的内容，也有了更深层次的见解。 由于具体的数学问题多如繁星，数学家往往整天埋头于解决数学问题，无暇关注数学发展中出现的“矛盾”。但数学史告诉我们，恰好是“矛盾”的一次次解决，才导致数学发展的飞跃与深化。张景中的书《数学与哲学》就是对数学发展中这些重大的历史事件，用通俗的讲法向大众展示当时的争论内容与形势，及以后的解决办法及数学的飞跃发展。 例如关于数，是否仅有自然数及由它产生的有理数就够了。那么√2是什么？这就导致无理数的产生。在欧氏几何中，不少人企图给出第五公设的证明，但都失败了。这导致非欧几何的产生；无穷小量的应用与定义，导致严格实数极限理论的建立；无穷集合的比较；集合定义的确定及哥德尔定理，等等。每经过这些重大的历史事件，数学思想都得到飞跃，从而使数学得到质的发展与飞跃。 翻开西方数学史或哲学史，我们会发现一个有趣而重要的现象：西方数学与哲学有着千丝万缕的联系。这种联系不但源源流长，而且绵延至今。追溯起来，数学与哲学自西方哲学诞生之日起就结下了不解之缘。西方第一位哲学家泰勒斯是数学家；著名数学家毕达哥拉斯在对数学的深入研究上得出了“万物皆数”的著名哲学命题；大哲学家柏拉图相信数是一种独特的客观存在，由
《数学史》读后感 《数学史》读后感今年的寒假出奇的漫长，在这漫长的寒假里，我读了一本我不怎么喜欢的书——《数学史》，为什么不喜欢呢 ?是因为我很多不懂，但是读着读着我就喜欢上了，《数学史》记录着人类数学历史发展的进程，读了它，我有一点肤浅的体会。 体会一： 数学源自于与生活的需要与发展。 书中写到： 人类在很久之前就已经具有识辨多寡的能力，从这种原始的数学到抽象的“数”概念的形成，是一个缓慢渐进的过程。人们为了方便于生活便有了算术，于是开始用手指头去“计算”，手指头计数不够就开始用石头，结绳，刻痕去计计数。例如： 古埃及的象形数字 ;巴比伦的楔形数字 ;中国的甲骨文数字 ;希腊的阿提卡数字 ;中国筹算术码等等。虽然每种数字的诞生都有不同的背景与用途，以及运算法则，但都同样在人类历史发展和数学发展起着至关重要的作用，极大地推动了人类文明的前进。
体会二： 河谷文明和早期数学在历史的长河一样璀璨夺目。 历史学家往往把兴起于埃及，美索不达米亚，中国和印度等地域的古文明称为“河谷文明”，早期的数学，就是在尼罗河，底格里斯河与幼发拉底河，黄河与长江，印度河与恒河等河谷地带首先发展起来的。埃及人留下来的两部草纸书——莱茵徳纸草书和莫斯科纸草书，还有经历几千年不倒的神秘金字塔，给后人诠释了古埃及人在代数几何的伟大成就，也给后人留下了辉煌的文化历史，而美索不达米亚在代数计算方面更是达到令人不可思议的程度。三次方程，毕达哥拉斯都是它创造的不朽的历史，在数学史上的地位是至关重要的。 古人云： 读史使人明智。读了《数学史》让我明白： 数学源于生活，高于生活，最终服务于生活，运用于生活。
数学与社会的发展 经数2班杨智琴41026116 有一门科学，它在人类文明进步的整个历史过程中作出了无与伦比的巨大贡献，然而却又全然不被大众所熟知。它就是数学。在大众意识里，经济的繁荣、社会的进步完全是由现代自然科学和工程技术带来的，孰不知现代自然科学和工程技术的发展和变革在很大程度上根源于数学的发展和变革。从最根本的意义上讲，正是数学的革命与发展繁荣了人类的经济、改变了人类的社会、促进了人类·文明的进步。 那什么是数学呢我国古代把数学叫算术，又称算学，最后才改为数学。就是要想学好数学，必须勤练才可以。数学是一种特定的语言,它是通过对人们可以想象出来的抽象的“事物”中某些具有特色的范畴,规定了一些合理的、系统的、被讨论者普遍接受的、特定的规则和符号,来进行交流的特定的语言。其研究的意义是否具有“社会”属性,作为语言的载体———数学本身似乎并不关心.这样说是否合适可以讨论,但是,数学的确是定量、定性的研究一切“事物”外在的、内在的、逻辑上的、甚至是抽象的关系的理论基础。 数学虽然是抽象的，但是他在我们的社会生活中确实是不可缺少的，在社会生活中的应用更是及其广泛的。 早期数学应用的重要方面有：食物、牲畜、工具以及其他生活用品的分配与交换，房屋、仓库等的建造，丈量土地，兴修水利，编制历法等。随着数学的发展和人类文化的进步，数学的应用逐渐扩展和深入到更一般的技术和科学领域。从古希腊开始，数学就与哲学建立了密切的联系，近代以来，数学又进入了科技，经济，生物学，人文社会科学等众多的领域，并在当代使社会科学的数学化成为一种强大的趋势。与此同时，数学在提高全民素质、培养适应现代化需要的各级人才方面也显现出特殊的教育功能。数学在当代社会中有许多出人意料的应用，在许多场合，它已经不再单纯是一种辅助性的工具，它已经成为解决许多重大问题的关键性的思想与方法，由此产生的许多成果，又早已悄悄地遍布在我们身边，极大地改变了我们的生活方式。 数学从根本上说来源于实际。它是描了自然现象和社会现象中的空间形式与数量关系。从而数学有最广泛的应用性。它为人们日常生活、生产以及科学、技术、经济、管理、医药等诸多方面的工作提供方法和工具；为各种创新提供数学思想、模型和方法。有时数学还能够超前地抓住自然和社会发展过程的一些本质问题，帮助人类获得突破性的进展。数学对社会的应用是多方面的、广泛的、深刻的，对社会发展起着普遍的、巨大的推动作用。 由此可见数学与社会之间的关系是双向的，。就是数学的发展依赖于社会环境，比如说受到社会的政治，经济，文化等多方面的因素所制约的，而随着社会的发展，数学在社会需求中发挥着越来越重要的作用。 数学也应随着时代的变化而变化，逐渐变得越来越抽象化。现代的数学被用来解决各方面各个领域的问题。为社会做出了巨大的贡献。
数学与哲学的关系 数学是探讨数与形运动规律的学科，数学教学法是研究数学规律的，即研究在教学过程中如何最有效地向学生传授数学知识、发展学生思维、培养学生能力和个性的学科。这些都是研究数学和数学教学过程中的特殊规律的科学，而马克思主义哲学是研究数学、自然科学、社会科学和思维科学的最一般、最普遍规律的科学。马克思主义哲学来源于实践，同时又对实践具有重要的指导意义。它来自于具体学科的最普遍规律、方法的高度抽象和概括，同时又对具体学科有着重要的指导作用。 因此，数学教育工作者只有将马克思主义哲学的唯物辩证法思想、认识论思想贯彻于认识数学、研究数学及数学教学的过程中，以马克思主义哲学思想为武器，用马克思主义哲学的观点去分析、解剖数学内容和数学的教学过程，用马克思主义哲学的思想去统帅数学的思想和方法，才能透彻明了地看待数学问题的思路，清晰、辩证地讲解数学演泽的逻辑过程，才能掌握好数学的思想和精神。这就需要研究数学与哲学的联系，将马克思主义哲学与数学有机的辩证的结合在一起，用马克思主义哲学指导数学学习和数学教学。 1、数学对哲学的作用 美国数学家罗滨逊给出了实数的非标准模型，为无限大、无限小提供了严格的理论依据，为微积分增添了直观的因素，从而创立了新的微积分理论——非标准分析。 在非标准分析中，构建非标准实数轴并引入单子概念，使非标准实数轴成为一个层次结构空间。在该空间中，单子外部表现为不同数量层次之间质的差异；单子内部是无穷小量，其间只是量的差异，其比值是有限数量，其运算性质是同单子外普通实数是一样的，可重新作为微分运算的出发点。因而非标准分析的建立就为阐明质量互变规律在“无限”领域的具体表现提供了一个适宜的数学模型。而在这之前，人们在讨论质量互变规律中的量时，还没有涉及到无限数量的变化发生质变的情形，因而非标准分析的创立丰富了质量互变规律的内容。 法国数学家托姆，在考察自然界、社会领域大量存在不连续现象的基础上，运用微分映射的奇点理论，为这类客观现象建立了数学模型，用以预测和控制该类客观对象，这就是突变论的产生。 突变论提供的模型表明，在一定条件下，质变可以通过飞跃的形式来实现，也可以通过渐变的方式来实现。在给定的条件下，只要改变控制因素，一个飞跃过程可以转化为渐变；反过来，一个渐变过程也可以转化为飞跃。突变模型还表明，在奇点(质变点)领域事物状态的变化，不仅具有多种可能性，而且有它的随机性。 2、数学的发展促进了逻辑的模式一合情推理的发现 美籍匈牙利数学家波利亚在数学领域里观察分析众多典型事例基础上，经过比较综合，概括出合情推理的这一发现模式。 波利亚把科学推理分成论证推理和合情推理两种。论证推理是一种必然推理，有逻辑所制定和阐明的严格标准，每一步推理步骤都须经的住逻辑规则检验。合情推理则是一种或然推理，它由一些猜想构成的，因而它的标准是不固定的。事实上，人类的认识都是经过合情推理才得到，而论证推理的主要作用在于肯定或解释我们所得到的知识。波利亚给出了三种合情推理类型：渐弱证明式、渐弱启发式、以及启发式。
《数学教育哲学的理论与实 践》读书心得 最近，我阅读了郑毓信著的《数学教育哲学的理论与实践》这本书。这本书包括数学教育哲学概论，多元的、辩证的数学观，数学教育目标的现代发展，数学教育的文化相关性，学习理论的现代发展，数学教学的现代研究，关于课程改革的若干深层次思考等内容。本书集中反映了作者在数学教育哲学领域内的最新工作，一方面从理论高度对数学教育的一些重大问题 (如数学课程改革、数学教育的国际比较研究和中国数学教育的界定与建设等)作出具体分析，从而充分发挥数学教育哲学的实践功能；另一方面，又以相关实践为背景对数学教育哲学的各个基本问题作出更为深入的思考，从而进一步促进数学教育哲学的理论建设。理论与实践的密切结合是这一著作的主要特点，也可被看成是中国数学教育哲学未来发展的必然途径。 读了《数学教育哲学的理论与实践》这本书，我有以下几点感受：一、从精英教育到大众数学。长期以来我国的数学教育是一种典型的精英教育。现代社会的发展又需要精英，需要有专业知识和专业精神的人，全盘否定精英教育的价值也是不可取的。因此大众数学教育强调“不同的人在数学上得到不同的发展”就有解决大 众数学教育和精英数学教育的矛盾冲突的意思，认为大众数学与精
英教育并不对立。“恰恰相反，大众数学意义下的数学课程提供了更为广泛的现代数学分支的原始生长点，它为对数学有特殊才能和爱好的学生提供了更多的发展机会。”从精英教育到大众数学：如果新的改革是以降低要求、放慢进度来实现“人人都能获得必需的数学”，那么，无论对此作出怎样的辩护，我们都不应回避必然会对我国的未来发展造成严重的消极影响这样的事实。显然，大众数学教育和精英数学教育之间的矛盾并没有那么容易解决。稍有一点专业知识的人都明白，一个人如果没有精深的数学专业素养是不可能领略数学之美、透彻领会数学内蕴之深厚的。大众数学教育所倡导的数学教育思想必须依托于数学学科的成熟发展。 二、奥赛难题要不要做。现在那么多数学家反对奥赛，认为目前奥数教育的泛滥已经成为一种社会公害，不仅损害了青少年的休息健康，更让家庭背上沉重的经济负担;而且是完全违反教育规律的。而我们的社会、家长和一部分教师却乐此不疲，一个班级只要有一位学生家长送自己的孩子去校外学习，保证其他孩子的家长里就坐不住了。奥数的培训与竞赛属于面向少数有天分学生的精英教育，中高考加分政策的出现是人才选拔机制的优化，如果以这两个没有悬疑的概念本身为基点，把话题纠结在哪个年龄段涉足奥数为宜、奥数摧残中小学生的表现有哪些，如此就“奥数”说“奥数”，那么争论就会沿着这些枝蔓“跑偏”以至无解。孩子千辛万苦换来的奥赛成绩，只要能在小升初、中高考的竞争中起到百分之一的作用，家长就愿付出百分之百的努力。我们又有什么必要加以阻止呢。