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微积分在高中物理中的应用

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知识文库 第11期

121 2018.6（上） 知识文库微积分在高中物理中的应用

邓圭恩

微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概

念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。微积分是

指求函数曲线的切线斜率、求函数图形的面积、求图形的体

积的一种方法和过程，在高中物理概念、物理定律都包涵微

积分的思想。本文分析了微积分在高中物理的一些具体应

用，目的是理解微积分思想的同时也能熟练地运用微积分来

解决物理中的问题。

数学作为物理学中的重要工具，它即能准确而又简洁地

表达物理概念和规律，也能为物理提供思维语言和方法。运

用数学方法解决物理问题是高中阶段学习目标之一，高中生

掌握求导和积分的思想及方法，是为物理学习提供了即方便

实用又强大的工具。

1微积分在高中动力学中的应用

1.1利用微积分解决变速运动问题

在高中阶段，变速运动问题往往是许多同学的难点，很

多变速运动问题的模型都很难建立，对许多同学甚至是教师

的思维能力都是一个很大的考验。但微积分知识和思想能帮

助大家用更简洁普适的模型来解决这方面的问题，比如对于

下面这一道题：

例2：狐狸沿半径R的圆轨道以恒定速率v奔跑，在狐

狸出发的同时，猎犬从圆心O出发以相同的速率v追击过程

中，圆心、猎犬和狐狸始终连成一直线。

（1）建立相应坐标系，求出猎犬运动的轨道方程，并

画出轨道曲线。

（2）判断猎犬能否追上狐狸。

这道题是一道经典的物理竞赛题，现在也是被选入许多

高校的自招理论试题，其经典解法有很多，但绝大多数都复

杂冗长，很多同学并不能很好的理解。而如果我们选用微积

分的方法，就会得到很容易为大家所接受，也较容易的解法了。

取圆心O为坐标原点，从O到狐狸的初始位置设置极轴，

建立极坐标系。

我们先得到猎犬切向、径向加速度、速度与猎犬所在的

r、θ的关系 狐狸的圆运动角速度为：Rv

dtd



当狐狸在θ角位置时，圆心O、猎犬D及狐狸F共线，

如图所示故猎犬的横向速度为

猎犬的径向与切向速度为：r

Rv

dtdrv

，

v

Rrvvvr22221

径向与切向加速度为： Rr

Rvv

dtdr

dtd

dtdr

ra1222

22

vra

Rr

dtdr

drdv

r

dtdv

dtdr

drdrr

r2222

2222)(

 由rR

vvr

ddr

r22

积分：





022d

rRdrr 可得猎犬的轨道方程为: 

Rrarcsin即sinRr

猎犬的轨道曲线如图中虚线所示。是半径为2R

且与原R

圆相切于(Rr,2)点的半圆。

猎犬、狐狸以相同速率v，在相同时间内分别经过半径为2R

的半圆和半径为R的四分之一圆，一起到达图中的P

点，猎犬在此追上狐狸。

从这道题的解题中，能明显看出微积分工具的优越性，

追击的复杂模型用微积分很清晰的表达了出来，我们可以省

略掉运动过程中对一些我们难以描述的状态的研究，使我们

很轻松的解出了此题。

1.2利用微积分解决变力功率问题

高中阶段物理对于功与功率的探究在课本中内容较少，

但却引申出了许多高考难题。很多同学对此不得不以刷很多

的相关题型来记背，这对同学们对物理的热情产生了很大的

打击，更损伤了同学们了学科思维。如果我们借助微积分来

解决相关问题，不仅能较快解出问题，更能深化对相关物理

量如力、速度的理解。我们分析一下下题：

例1：系统如图所示，很小的定滑轮与轻绳间无摩擦，

绳的A端由变力F拉动，使A始终具有水平匀速度v

0;系统

的其他参量均已在图中示出，求F的功率P。

如图所示，所求功率为：

lhlFFFpvvv22

000cos

轻绳A端质量为零，F与绳张.力T平衡，即有：TF

左侧悬挂物上升加速度记为a

m,则有：a

mmmgT

a

m需与A点运动量关联后方能获解，以小滑轮为原点

的竖直平面极坐标系中，A点径向加速度为：



dtdl

dtlda

r2

22

A点运动匀速，便得0ar

dtdl

dtld2

22

dtld

22即为a

m,

dtld即为图中v

0分速度sin

0v , 于是有 .com.cn. All Rights Reserved.知识文库 第11期

122 知识文库 2018.6（上）



lhv

lv

ldtd

la

m322

022

02

sin2





lhvgmTF

322

0lhl

lhvgmPv22

322

0

0







显然，此题我们紧扣P与vF、的关系来解，由受力

与牛顿第二定律解出F便解出了此题。以此推论，我们在

处理高中的功与功率时紧扣住公式dttPW与vFP



即可。用这种方法也更方便我们去理解物理在这方面的理论

与思想。

2微积分在高中电磁学中的应用

2.1利用微积分理解交流电有效值

课本上我们了解到交流电的有效值由其热效应来定义，并直接告诉了大家正弦交流电的有效值为其电流峰值的

22，但并没有给我们能轻松理解的解释，其实，只要利用

简单微积分知识就可以得出这个结论。

例3：求正弦交流电tcos

mII的有效值。

我们通过定义可知，关键在于求出该电流在一个周期之

内产生的热量。我们知道焦耳定律t2RIQ是用来求电流产

生热量的。

在电流为变量时，我们考虑极短时间内的情况：

dtd2

tRIQ

对该式进行积分：dttcosdQ

0022

mRITT 即：

RTItRIRI

IQTT

2202022

m2

m2

m2

mdt2costRdtcos）（

设一恒定电流I

x在交流电的一个周期时间内产生的热

量与上式的结果相同，那么，这个恒定电流的值即为该交流

电的有效值。 即RTIRTI

x222

m

解得这个恒定电流的值II

xm22

这就得出了书上的结论了，而且这个方法相对来说十分

容易理解，并且，我们可以推论其他交流电电流有效值的求法同样是设好I

t在进行简单的积分即可。

2.2利用微积分快速求解场强

求解场强的问题向来是竞赛入门与自招的热点，同时，

也是对很多同学物理概念理解的考察。学会利用微积分来求

解场强问题让我们在学会一种快速解题方法的同时，也更能

让我们更好的理解场强的产生。

例4：一半径为R、厚度不计且均匀带电的圆环，环上

线电荷密度为，求过环心垂直于环面的中轴线上的一点A(0,0,z)的电场强度。

如图，在圆环上任取一线电荷元dl，它在A点产生的

电场强度为Ed

.

由对称性可知，整个圆环在A点产生的电场强度只有沿

z轴的分量.于是，只需要求的Ed

的z轴分量即可. 易得：

）（）（

z4zd

rr4rrdl

d

222/3

03

0z



RR

E







对它积分即可求得圆环在A点产生的电场强度

）（）（z2z

d

z4z

222/3

02

0222/3

0z



RR

RR

EE





由这里我们很容易看到微积分在求解这类电场强度问

题时的优越性，原本很难理解的模型进行微分后便十分容易

描述了，在进行积分即可求出我们想要的东西。其实对于类

似的物理量如磁场都可以如此求解。

结语：从以上我们可以很明显的认识到微积分在高中物

理中的重要作用。然而笔者从日常学习中发现很多同学即使

在数学中学习了一定的微积分知识后仍然不会在物理学科

中去使用。而数学作为理科中作为基础的学科，其知识在其

他学科中的应用是非常重要的。希望本文能让大家更乐于去

在物理中使用微积分或其他的数学知识。

（作者单位：湖南师范大学附属中学）

（上接第154页）

九大精神、习近平新时代中国特色社会主义思想、习总书记

系列讲话精神、全国高校思政课2018版新教材、全国高校

思政教育工作会议精神以及中国优秀传统文化、革命文化和

先进文化，加深广大学生党员对社会主义核心价值观的内涵

以及其与高校人才培养、思政教育的理解和认知，让社会主

义核心价值观入脑入心，增强广大学生党员的情感认同。

3.2 实践养成发挥示范引领作用

在培育和践行社会主义核心价值观的过程中情感认同

是基础，实践养成是关键，充分利用大学生暑期“三下乡”

社会实践活动、“互联网+”—青年红色筑梦之旅、各类志愿

服务活动等活动中将培育和践行社会主义核心价值观转化

为自觉行为。同时发挥榜样的示范引领作用，积极宣传优秀

身边优秀共产党员的事迹，形成人人学先进、人人做先进的

良好氛围。通过开展重走长征路、党史党情宣讲、重温入党

誓词、我是党员我是旗帜等活动，增强广大学生党员的责任

意识和使命意识，进而影响和带动身边学生。

3.3 制度保障形成长效机制

大学生党员培育和践行社会主义核心价值观是一个长

期坚持的使命和任务，在坚持开好“三会一课”的同时，继续深入开展“两学一做”学习教育活动，不断丰富学习和实

践的形式和内容。同时根据学生党员流动性大的具体情况，

制定“学生党员全程化、目标化教育和管理”机制，围绕培养

具有远大理想和坚定政治信仰、适应社会发展的高素质人才，

将培育和践行社会主义核心价值观贯穿在党员培养和教育的

“六大工程”中，即新生党员“提升工程”、入党积极分子“启

迪工程”、预备党员“升华工程”、学生党员“引领工程”、毕

业生党员“旗帜工程”、党支部书记“领航工程”。在坚持全过

程育人的同时，做好监督检查工作，使社会主义核心价值观真

正如脑入心并最终转化为大学生党员的自觉行为。

习总书记寄语青年人树立和培养社会主义核心价值观

要勤学、修德、明辨、笃实，大学生党员是青年学生中的佼

佼者，在面对“两个一百年”奋斗目标和中华民族伟大复兴

“中国梦”的伟大实践中要锤炼扎实作风、练就过硬本领，

真正做到因事而化、因时而进、因势而新，在广大学生中当

好“排头兵”。

基金项目：西安工业大学2014年校长科研基金项目《大

学生党员培育和践行社会主义核心价值观研究》最终理论成

果，项目编号：XAGDXJJ14030

（作者单位：西安工业大学）

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高中物理教学中的微积分

高中物理教学中的微积分

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高中物理教学中的微积分

作者：丁丹华 邱国民

来源：《科教导刊·电子版》2017年第07期

摘 要 微元法是高中物理教学中经常用到的一种方法，因此，教师在物理学科教学中渗透微积分的思想，有助于学生理解高中物理的很多知识，它能大幅提高学生的科学素养，更好地把握物理的本源。

关键词 高中物理 微积分 科学素养

微积分是现代物理的基石，自牛顿和莱布尼茨以来，根据前人的经验，总结出微积分的基本定理后，物理学有了长足的进步，一系列重大发现基本上都或多或少建立在微积分这块基石上。微元法是高中物理教学中经常用到的一种方法，因此，很多优质高中将微积分作为选修课列入课程体系，供学习潜力较大的学生选择，这既对学生更好地理解高中物理规律很有帮助，也对学生将来步入大学理工科打了基础。

1问题引入：加速度、速度与位移间的关系

一般来说，中学生第一次接触到微积分是在运动学的时候，老师会带领学生仔细分辨v-t、a-t、s-t图像的区别。如图1-1，v-t图象，对于一个速度在不断变化的运动过程，会将这个过程肢解成无数多个匀速运动叠加的成果，在某个小dt内当作匀速运动，求出图中所有小矩形的面积，也就是t=t0与t轴和图象包围的面积，作为位移。这是潜意识中第一次接触积分时的景象。而将每个dt内变化的dv连成一个的函数，我们也就得到了斜率的微分意义。

所以，小小的速度片断通过时间的积累便成了位移：ds=v€I6dt

同理：小小的加速度片断也可由时间的积累便成了速度：dv=a€I6dt

因此便得出了最简单且最伟大的运动学微分公式： =v和=a 。

它们在运动学上和谐统一，通过解微分方程，可以几乎胜任一切涉及到牛二定律的问题。接下来，我们把它们进行推广应用到研究物体运动的情景，通常将之视为理想情况，而实际上还有空气阻力。

专题微积分在物理竞赛中的应用

专题微积分在物理竞赛中的应用

专题微积分在物理竞赛中的应用

1 / 11 / 1 专题：微积分在物理竞赛中的应用

求解在立体斜面上滑动的物体的速度

一物体放在斜面上，物体与斜面间的摩擦因数恰好满足tg，为斜面的倾角。今使物体获得一水平速度0V而滑动，如图一，求：

物体在轨道上任意一点的速度V与的关系，设为速度与水平线的夹角。

运用积分法求解链条的速度及其时间

一条匀质的金属链条，质量为m，挂在一个光滑的钉子上，一边长度为1L，另一边长度为,2L而且120LL，如图一。试求：

链条从静止开始滑离钉子时的速度和所需要的时间。

解：

专题微积分在物理竞赛中的应用

1 / 11 / 1

求解棒下落过程中的最大速度

在密度为1的液体上方有一悬挂的长为L,密度为2的均匀直棒，棒的下端刚与液面接触。今剪断细绳，棒在重力和浮力的作用下下沉，若21，求：

棒下落过程中的最大速度。

运用微分法求解阻尼平抛

质量为m的物体，以初速为0V，方向与地面成0角抛出。如果空气的阻力不能忽略，并设阻力与速度成正比，即Vkf，k为大于零的常数。求：

物体的运动轨道。

专题微积分在物理竞赛中的应用

1 / 11 / 1

在非惯性系中求解球环系统的运动情况

一轻绳的两端分别连接小球A和小环B，球与环的质量相等，小环B可在拉紧的钢丝上作无摩擦的滑动，如图一。现使小球在图示的平面内摆动。求：

小球摆离铅垂线的最大角度时小环和小球的加速度。

。

高中物理微积分应用(完美)

高中物理微积分应用(完美)

eir being

1高中物理中微积分思想 伟大的科学家牛顿，有很多伟大的成就，建立了经典物理理论，比如：牛顿三大定律，万有引力定律等；另外，在数学上也有伟大的成就，创立了微积分。 微积分（Calculus）是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近"，好像一个事物始终在变化你很难研究，但通过微元分割成一小块一小块，那就可以认为是常量处理，最终加起来就行。 微积分学是微分学和积分学的总称。 它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。在高中物理中，微积分思想多次发挥了作用。1、解决变速直线运动位移问题匀速直线运动，位移和速度之间的关系x=vt；但变速直线运动，那么物体的位移如何求解呢？ 例1、汽车以10m/s的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速2m/s2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少公里？【解析】 现在我们知道，根据匀减速直线运动速度位移公式atvv0 2021attvx就可以求得汽车走了0.025公里。但是，高中所谓的的匀变速直线运动的位移公式是怎么来的，其实就是应用了微积分思想：把物体运动的时间无限细分。在每一份时间微元内，速度的变化量很小，可以忽略这种微小变化，认为物体在做匀速直线运动，因此根据已有知识位移可求；接下来把所有时间内的位移相加，即“无限求和”，则总的位移就可以知道。现在我们明白，物体在变速直线运动时候的位移等于速度时间图像与时间轴所围图形的“面积”，即2021attvx。【微积分解】汽车在减速运动这段时间内速度随时间变化的关系tatvv2100，从开始刹车到停车的时间t=5s， 所以汽车由刹车到停车行驶的位移 kmtttatvdtatvdttvx025.0)10()2()()(502502050050小结：此题是一个简单的匀变速直线运动求位移问题。对一般的变速直线运动，只要结合物理知识求速度关于时间的函数，画出v－t图像，找“面积”就可以。或者，利用定积分就可解决.2、解决变力做功问题 恒力做功，我们可以利用公式直接求出FsW；但对于变力做功，我们如何求解呢？ 例2：如图所示，质量为m的物体以恒定速率v沿半径为R的竖直圆轨道运动，已知物体与竖直圆轨道间的摩擦因数为，求物体从轨道最低点运动到最高点的过程中，摩擦力做了多少功。【解析】物体沿竖直圆轨道从最低点匀速率运动到最高点的过程中，在不同位置与圆环间的正压力不同，故而摩擦力为一変力，本题不能简单的用sFW来求。 可由圆轨道的对称性，在圆轨道水平直径上、下各取两对称位置A和B，设OA、OB与水平直径的夹角为θ。在RS的足够短圆弧上，△S可看作直线，且摩擦力可视为恒力，则在A、B两点附近的△S内，摩擦力所做的功之和可表示为：)(RNRNWBAf又因为车在A、B两点以速率v作圆周运动，所以：v.xyOmgmgNANBBAa=-2m/s2L（弧长）=α(弧度)x r(半径) (弧度制) time and All things in th g are good for some

微积分在大学物理中的应用分析

微积分在大学物理中的应用分析

笫２５卷　４期　２０ｌ５年ｌ２月　天津职业技术师范大学学报　Ｊ０ＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＴＩＡＮＪＩＮ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ　ＯＦ　ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ　ＡＮＤ　ＥＤＵＣＡＴＩＯＮ　Ｖｏ１．２５　Ｎｏ．４　Ｄｅｅ．　２０ｌ５　

微积分在大学物理中的应用分析　

王金华　

（天津职业技术师范大学理学院，天津３００２２２）　

摘要：结合大学物理中的一些实例，具体分析了微分、导数、积分、微分方程、近似等在大学物理中的应用，旨在为　学生应用微积分研究分析和解决物理问题提供思路，更好地促进大学物理的学习。　关键词：大学物理；微积分；微分方程；近似法；导数　中图分类号：０１７２　文献标识码：Ａ　文章编号：２０９５—０９２６（２０１５）０４—００５０—０４　

Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｃａｌｃｕｌｕｓ　ｉｎ　ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｐｈｙｓｉｃｓ　

ＷＡＮＧ　Ｊｉｎ—ｈｕａ　

（ＳｃｈｏｏｌｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，ＴｉａｎｊｉｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　ａｎｄＥｄｕｃａｔｉｏｎ，Ｔｉａｎｊｉｎ　３００２２２，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｓｏｍｅ　ｓｐｅｃｉｆｉｃ　ｅｘａｍｐｌｅｓ，ｔｈｅ　ａｐｐｌｉｅａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ，ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ，ｉｎｔｅｇｒａｌ，ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ，ａｐ—　ｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ　ｉｓ　ａｎａｌｙｚｅｄ　ｉｎ　ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｐｈｙｓｉｃｓ．Ｔｈｅ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｐｒｏｖｉｄｅｓ　ｕｓｅｆｕｌ　ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎｓ　ｏｎ　ｒｅｓｅａｒｃｈｉｎｇ，ａｎａｌｙｚｉｎｇ　ａｎｄ　ｓｏｌｖｉｎｇ　ｐｈｙｓｉｃａｌ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｔｂｒ　ｓｔｕｄｅｎｔｓ，ａｎｄ　ｍｅａｎｗｈｉｌｅ　ｐｒｏｍｏｔｅｓ　ｔｈｅ　ｌｅａｒｎｉｎｇ　ｏｆ　ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｐｈｙｓｉｃｓ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｐｈｙｓｉｃｓ；ｃａｌｃｕｌｕｓ；ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ；ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ　ｍｅｔｈｏｄ；ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ