行列式
1. 行列式的性质
性质1 行列式与它的转置行列式相等T D D =.
性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号.
推论1 如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式的值为零.
如a b c
a b c 0a b c
'''= 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式.
如11
121311121321
222321
222331
32
33
31
32
33
a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a = 推论2 如果行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值为零．
如a b c
a b c 0ka kb kc
'''= 性质4 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和.
如11
121311121311
12
13
2121
2222
2323
21222321
222331
32
33
31
32
33
31
3233
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''''''+++=+ 性质5 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变.
如11
121311121321
222321222331
32
33
3111
3212
3313
a a a a a a a a a a a a a a a a ka a ka a ka =+++
2. 余子式与代数余子式
在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij M ，i j
ij ij A (1)
M +=-叫做元素ij a 的代数余子式．
如11
1213
21
222331
32
33
a a a a a a a a a ，元素23a 的余子式为11122331
32a a M a a =
，
元素23a 的代数余子式为111223
232331
32
a a A (1)M a a +=-=-
.
3. 行列式按行（列）展开法则
定理1 行列式的值等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
1122i i i i in in D a A a A a A =+++ 或 1122j j j j nj nj D a A a A a A =+++
()1,2,,;1,2i n j n ==
如11
1213
21
222331
32
33
a a a a a a a a a 111112121313a A a A a A =++ 定理2 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
12120,j j i i jn i n a A a A a A +++= 或,11220.j j j j nj nj a A a A a A i j +++=≠
()1,2,,;1,2i n j n ==
4. 行列式的计算 （1）二阶行列式11121122122121
22
a a a a a a a a =-
（2）三阶行列式
111213
21222331
32
33
a a a a a a a a a 112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++--- （3）对角行列式
1
2
12n n
λλλλλλ=
，
n(m 1)2
1
2
12n n
(1)
λλλλλλ-=-
（4）三角行列式
11
11
121n 21
22
222n
1122nn n1
n2nn
nn a a a a a a a a a a a a a a a =
=
111,n 11n 1n
n(n 1)21
2,n 1
2,n 12n
2
1n 2,n 1n1n1
n1
n2
nn
a a a a a a a a (1)
a a a a a a a -----=
=-
（5）消元法：利用行列式的性质，将行列式化成三角行列式，从而求出行列式的值.
（6）降阶法：利用行列式的性质，化某行（列）只有一个非零元素，再按该行（列）展开，通过降低行列式的阶数求出行列式的值.
（7）加边法：行列式每行（列）所有元素的和相等，将各行（列）元素加到第一列（行），再提出公因式，进而求出行列式的值.
矩阵
1. 常见矩阵
1）对角矩阵：主对角线以外的元素全为0的方阵，称为对角矩阵.记作Λ. 2）单位矩阵：主对角线上的元素全为1的对角矩阵，称为单位矩阵.记作E.
3）上三角矩阵：对角线以下的元素全为0的方阵.如11121n 22
2n nn a a a a a a ??
?
? ?
??? 4）下三角矩阵：对角线以上的元素全为0的方阵.如112122
n1
n2
nn a a a a a a ?? ? ? ? ?
??
5）对称矩阵：设A 为ｎ阶方阵，若T A A =，即ij ji a a =，则称A 为对称矩阵. 6）反对称矩阵：设A 为ｎ阶方阵，若T A A =-，即ij ji a a =- ，则称A 为反对称矩阵. 7）正交矩阵：设A 为ｎ阶方阵，如果T AA E =或T A A E =，则称A 为正交矩阵. 2. 矩阵的加法、数乘、乘法运算 （1）矩阵的加法
如a b c a b c a a b b c c d e f d e f d d e e f f ''''''+++??????
+=
?
?
?''''''+++??????
注：① 只有同型矩阵才能进行加减运算；
② 矩阵相加减就是对应元素相加减. （2）数乘矩阵 如a b c ka kb kc k d e f kd ke kf ????
=
? ?????
注：数乘矩阵就是数乘矩阵中的每个元素.
（3）矩阵的乘法：设ij m ij n s s A (a ),B (b )??==，规定ij m n AB C (c ),?== 其中s
ij i11j i22j is sj ik kj
k 1
c a b a b a b a
b ==+++=
∑ (i 1,2,,m,j 1,2,,n.)==
注：①左矩阵A 的列数等于右矩阵B 的行数；
②左矩阵A 的第i 行与右矩阵B 的第j 列对应元素乘积的和是矩阵乘积C 的元素ij c . ③左矩阵A 的行数为乘积C 的行数，右矩阵B 的列数为乘积C 的列数. 如行矩阵乘列矩阵是一阶方阵（即一个数），即
()112111
12
1s 111112211s s1s1b b
a a a a
b a b a b b ?? ? ?=++ ? ???
列矩阵乘行矩阵是s 阶方阵，即
()1111111112111s 212111
2112211s 11121s
s1s111
s112s11s a a b a b a b a a b a b a b b b b a a b a b a b ????
? ?
? ?
= ? ? ? ?
????
3. 逆矩阵
设n 阶方阵A 、B ，若AB=E 或BA=E ，则A ，B 都可逆，且1
1A B,B A --==.
（1）二阶方阵求逆，设a b A c d ??=
?
??
，则1
*d b 11A A c a A ad bc --??== ?--??（两调一除法）. （2）对角矩阵的逆1
11
11
2
21n n a a a a a a ----??
??
?
?
?
?= ? ? ? ? ????
?
， 1
11n 2
1
2
1
n
1
a a a a a a ----?
?
?? ? ?
? ?= ? ?
? ? ?????
.
（3）分块对角阵的逆1
1111
2
21s s A A A A ;A A ----??
??
?
?
?
?= ? ? ? ? ????
?
1
11s 2
1
21
s
1
A A A A A A ----?
?
?? ? ?
? ?= ? ?
? ? ?????
. （4）一般矩阵求逆，初等行变换的方法：()()ERT
1A E E
A -???→.
4. 方阵的行列式
由ｎ阶方阵A 的元素所构成的行列式（各元素的位置不变）叫做方阵A 的行列式.记作A 或det （A ）. 5. 矩阵的初等变换
下面三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：
（1）互换两行（列）；（2）数乘某行（列）；（3）某行（列）的倍数加到另一行（列）. 6. 初等矩阵
单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵.
如001100100010,0k 0,010100001k 01?????? ? ? ?
? ? ? ? ? ???????
都是初等矩阵. 7. 矩阵的秩
矩阵A 的非零子式的最高阶数，称为矩阵A 的秩.记作R （A ）或r （A ）. 求矩阵的秩的方法：
（1）定义法：找出A 中最高阶的非零子式， 它的阶数即为A 的秩.
（2）初等行变换法：ERT
A ???→行阶梯形矩阵，R （A ）=R （行阶梯形矩阵）=非零行的行数. 8. 重要公式及结论
（1）矩阵运算的公式及结论
()
()
12121212k k k k k k k k k k k k k
k 1
0A B B A,(A B )C A (B C ),(A B )A B (AB )C A(BC ),
(A B )C AC BC ,(AB )(A )B A(B )
A A A ,
(A )A ,(A )A ,E E
AB A BA B ,
EA AE A,
A E
λλλλλλλλ+-+=+++=+++=+=+=+==?========
()()
()
()()()
T T
T
T T T T T T T
T
T n
T n n A A,
(A B )A B ,
A A ,
AB B A A A ,
AB B A ,AA A A A E
A A ,
A A ,
AB A B BA ,
A A ,
A B A B
λλλλ*
*
*****=+=+===========+≠+
矩阵乘法不满足交换律，即一般地A B ≠AB;
矩阵乘法不满足消去律，即一般地若AB=AC ，无B=C ；只有当A 可逆时，有B=C.
一般地若AB=O ，则无A=O 或B=O.
()2
22A B ?A 2AB B +++ .
（2）逆矩阵的公式及定理
()()
()
()()
()
()
()
1
1
1
11111
n 1
111
1
k
1k
1T
1
1T 1
A A ,
A A ,
,
A A 1A A
,
A A
,
A A ,A A A
B B A
1A A A A
A
A A ,A
λλ
----------*-*
*--*
*-----==
=====
====
A 可逆?|A |≠0?A ～E （即A 与单位矩阵E 等价） （3）矩阵秩的公式及结论
()()()
T m n R(O )0,
R(A )min{m,n },
R(A )R(A ),R(kA )R(A ),k 0
A 0R(A )n ,
R A B R A R B ?=≤==≠≠?=+≤+
R ( AB ) ≤R ( A ), R ( AB ) ≤R ( B ).
特别地，当A 可逆时，R(AB)=R(B)；当B 可逆时，R(AB)=R(A).
()()ET
A B A ~B R A R B ??→??= 即等价矩阵的秩相等或初等变换不改变矩阵的秩.
9. 矩阵方程
（1）设 A 为n 阶可逆矩阵，B 为n ×m 矩阵，则矩阵方程AX=B 的解为1X A B -=；
解法：① 求出1A -，再计算1A B -； ② ()()ERT
A
B E
X ???→ .
（2）设 A 为n 阶可逆矩阵，B 为m ×n 矩阵，则矩阵方程XA=B 的解为1X BA -=；
解法：① 求出1A -，再计算1BA -； ② ECT A E B X ????
???
→
? ?????
. 10. 矩阵间的关系
（1）等价矩阵：如果矩阵A 经过有限次初等变换变成矩阵B ，那么称矩阵A 与B 等价.
即存在可逆矩阵P ，Q ，使得PAQ=B.
性质：等价矩阵的秩相等.
（2）相似矩阵：如果存在可逆矩阵P ，使得1P AP B -=,那么称A 与B 相似. 性质：相似矩阵有相同的特征多项式，相同的特征值，相同的行列式，相同的迹. （3）合同矩阵：如果存在可逆矩阵P ，使得T
P AP B =，那么称A 与B 合同. 性质：合同矩阵的秩相等.
向量空间
1. 线性组合
（1）若α＝k β，则称向量α与β成比例． （2）零向量Ｏ是任一向量组的线性组合．
（3）向量组中每一向量都可由该向量组线性表示． 2. 线性相关与线性无关
（1） 单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量． （2） 单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量． （3） 两向量线性相关当且仅当两向量对应成比例. （4） 两向量线性无关当且仅当两向量不对应成比例. （5） 含有Ｏ向量的向量组一定线性相关．
（6） 向量组12m ,,,ααα 线性相关的充分必要条件是
① 齐次线性方程组22m m 11k k 0k ααα+++= 有非零解.
② 以向量组为列作的矩阵()12m ,,,ααα 的秩<向量的个数m. （7）n 个n 维向量12n ,,,ααα 线性相关的充分必要条件是
以向量组为列作的行列式的值()12n ,,,ααα =0. （8） 向量组12m ,,,ααα 线性无关的充分必要条件是
① 齐次线性方程组22m m 11k k 0k ααα+++= 只有零解. ② 以向量组为列作的矩阵()12m ,,,ααα 的秩=向量的个数m. （9） n 个n 维向量12n ,,,ααα 线性无关的充分必要条件是
以向量组为列作的行列式的值()12n ,,,ααα ≠0. （10）当m>n 时，m 个n 维向量一定线性相关.
定理1：向量组 a 1 , a 2 ,……, a m （m ≥2）线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示.
向量组线性无关的充分必要条件是向量组中任何一个向量都不能由其余向量线性表示． 定理2：如果向量组A ：a 1 , a 2 ,……, a r 线性无关，而向量组 a 1 , a 2 ,……, a r ，α线性相关，则α可
由A 线性表示，且表示式唯一.
定理3：设向量组2r 1A :,,,ααα ，12r r 1m B :,,,,,,ααααα+
若A 线性相关，则向量组B 也线性相关；反之，若向量组B 线性无关，则向量组A 也线性无关.
（即部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关）. 定理4：无关组的截短组无关，相关组的接长组相关. 3. 极大无关组与向量组的秩
定义1 如果在向量组 T 中有 r 个向量 a 1 , a 2 ,……, a r ，满足条件： ⑴ 向量组 a 1 , a 2 ,……, a r 线性无关， ⑵ T α?∈，2r 1,,,,αααα 线性相关.
那么称向量 a 1 , a 2 ,……, a r 是向量组 T 的一个极大无关组.
定义2 向量组的极大无关组中所含向量的个数，称为向量组的秩.
定义3 矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩；矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩。 结论1 线性无关的向量组的极大无关组就是它本身。
结论2 如果向量组的秩是r ，那么该向量组的任意 r 个线性无关的向量都是它的一个极大无关组。 定理1 设向量组A:a 1,a 2, …,a r ；及向量组B:b 1,b 2, …, b s ，如果组A 能由组B 线性表示，且组A 线性无关，则r ≦s.
推论1 等价的向量组有相同的秩.
定理2 矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩＝矩阵行向量组的秩. 4. 向量空间
定义1 设V 为n 维向量的集合，如果集合V 非空，且集合V 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合V 为向量空间.
5. 基与向量在基下的坐标
定义2 设V 是向量空间，如果向量组a 1 , a 2 ,……, a r ，满足条件： （1）向量组 a 1 , a 2 ,……, a r 线性无关； （2）T α?∈，2r 1,,,,αααα 线性相关.
那么称向量组a 1 , a 2 ,……, a r 是向量空间V 的一个基， 基中所含向量的个数称为向量空间V 的维数，记作dimV ，并称V 为r 维向量空间．
定义3 设向量组 a 1 , a 2 , … , a r 是向量空间V 的一个基，则V 中任一向量x 可唯一地表示为基的一个
线性组合，即 1122r r x a a a λλλ=+++ ，
称有序数组12r ,,,λλλ 为向量x 在基 a 1 , a 2 , … , a r
下的坐标.
线性方程组
1. 线性方程组解的判定
（1） 线性方程组Ax=b 有解的充分必要条件是它的系数矩阵A 和增广矩阵（A,b ）的秩相同，
即R （A ）=R （A ，b ）. 当R （A ）=R （A ，b ）=r
① 方程组AX=b 有惟一解的充分必要条件是r=n; ② 方程组AX=b 有无穷多解的充分必要条件是r < n.
（2） 方程组AX= b 无解的充分必要条件是R(A ) ≠R （A ，b ）. 2. 齐次线性方程组有非零解的判定
（1） 齐次方程组AX=0有非零解的充分必要条件是系数矩阵A 的秩 R (A ) < 未知量的个数n . （2） 含有n 个方程，n 个未知量的齐次线性方程组AX=0有非零解的充分必要条件是方程组的系数行
列式等于零.（即|A |=0）
（3） 齐次线性方程组AX=0中，若方程的个数m<未知量的个数n ，则方程组有非零解 3. 齐次线性方程组解的性质
（1） 若12,ξξ是Ax=0的解，则12ξξ+也是Ax=0的解； （2） 若ξ是Ax=0的解，则k ξ也是Ax=0的解.
4. 齐次线性方程组的基础解系与通解 （1） 解空间
齐次线性方程组Ax=0的全体解向量所组成的集合，是一个向量空间，称为方程组 Ax=0的解空间．记作V ，即V={ x | Ax=0，x ∈R }. （2） 基础解系
齐次方程组AX=0的解空间 V 的一个基，称为齐次方程组AX=0 的一个基础解系. 基础解系中解向量的个数是n-r （A ）.
方程组AX=0的任意n-r 个线性无关的解都是AX=0的基础解系.
（3）齐次线性方程组的通解为1122n r n r k k k ξξξ--+++ ，其中12n r ,,,ξξξ- 是Ax=0的一个基础解系. 5. 非齐次线性方程组解的性质
（1）若12,ηη是Ax=b 的解，则12ηη-是Ax=0的解； 即Ax=b 的任意两个解的差必是其导出组A x =0的解.
（2）若η是Ax=b 的解，ξ是Ax=0的解，则ηξ+是Ax=b 的解.
即Ax=b 的任意一个解和其导出组 A x =0 的任意一个解之和仍是 Ax=b 的解. 6. 非齐次线性方程组的通解
非齐次线性方程组AX=b 的通解为*
1122n r n r k k k ξξξη--++++
其中12n r ,,,ξξξ- 为对应的齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系， *
η为非齐次线性方程组AX=b 的任意一个解，称为特解.
方阵的特征值
1. 向量的内积
设112
2n n x y x y x ,y x y ????
? ? ? ?== ? ? ? ?????
，则x ，y 的内积为[]1122n n x,y x y x y x y =+++ .
（1）向量x 的长度：
x =
=
（2）非零向量的单位化：若向量 x ≠0 , 1
x .x
则是单位向量 （3）当[]x,y 0,x y =时称向量与正交.
（4）若非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交组． （5）若正交组中每个向量都是单位向量，则称它为标准正交组. 定理1 正交向量组必线性无关
定理2 A 为正交矩阵的充分必要条件是 A 的列（行）向量都是单位向量且两两正交． （6）施密特正交化过程
设123,,ααα是一个线性无关的向量组，
① 正交化：令11,βα=[][]1222111,a ,,ββββββ=-
[][][][]13233312
1122,a ,a a ,,βββββββββ=--；
② 单位化：取312123123
e ,e ,e βββ
βββ=
==. 则123e ,e ,e 是与123,,ααα等价的标准正交组. 2. 特征值与特征向量
（1）方阵A 的特征值λ是特征方程A E 0λ-=的根. （2）三角矩阵和对角矩阵的全部特征值就是它的全部对角元．
（3）方阵和它的转置方阵有相同的特征值.
（4）设12n ,,,λλλ 是n 阶方阵A 的全部特征值，则()12n tr A λλλ=+++ ，12n A λλλ=?? . 即方阵A 的对角线上元素之和等于A 的全部特征值之和，方阵A 的行列式等于A 的全部特征值的乘积. （5）若λ是方阵A 的特征值，则()f λ是方阵()f A 的特征值. 特别地，当()f A 0=时，方阵A 的特征值是()f 0λ=的根. 说明：m m 1
m m 110f (x )a x a x
a x a --=++++ ，m m 1m m 110f (A )a A a A a A a E --=++++ .
例如λ是方阵A 的特征值，则方阵()f A A 2E =+的特征值是()f 2λλ=+.
方阵()2
f A A 3A 4E =--的特征值是()2
f 34λλλ=--.
例如若2A 3A 4E 0--=，则方阵A 的特征值是2
340λλ--=的根，即121,4λλ=-=.
（6）设12P ,P 都是方阵A 的属于同一特征值0λ的特征向量，则()
112212k P k P k ,k +不全为零也是0λ的特征向量.
（7）属于不同特征值的特征向量线性无关.
（8）属于不同特征值的线性无关的特征向量的并集仍线性无关. 3. 方阵的对角化
（1）若方阵A 与对角矩阵Λ相似，则说A 可以对角化．即存在可逆矩阵P ，使得1
P AP Λ-=. （Λ是以A 的n 个特征值为对角元素的对角矩阵.） （2）n 阶方阵A 可以对角化的充分必要条件是
①A 有n 个线性无关的特征向量；
②属于每一个特征值的线性无关的特征向量的个数与该特征值的重数相同． （3）n 阶方阵A 可以对角化的充分条件是n 阶方阵A 的n 个特征值互不相等． （4）若A 与B 相似，则()f A 与()f B 相似.
4. 实对称矩阵的对角化
（1）实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交.
（2）实对称矩阵一定可以对角化. 即存在正交矩阵P ，使得1
P AP Λ-=.
（Λ是以A 的n 个特征值为对角元素的对角矩阵.） （3）利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵的步骤：
(1)求特征值；(2)求特征向量；(3)将特征向量正交化，单位化；(4)最后将这些特征向量做成矩阵．
二次型
1. 二次型的标准化
（1） 用正交变换化二次型为标准形的具体步骤: ① 写出二次型T
f x Ax =的对称矩阵A ； ② 求A 的全部特征值12n ,,,λλλ ；
③ 求每个特征值的线性无关的特征向量12n ,,,ξξξ ； ④ 将特征向量正交化，单位化，得12n ,,,ηηη ；
⑤ 将这些特征向量做成矩阵，记()12n C ,,,ηηη= ，最后做正交变换x=Cy ，得到f 的标准形为
2221122n n f y y y λλλ=+++ .（其中12n ,,,λλλ 是T
f x Ax =的矩阵A 的特征值.）
（2） 用配方法化二次型为标准形的具体步骤:
① 若二次型含有i x 的平方项，则先把含有i x 的项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过可逆的线性变换，就得到标准形;
② 若二次型中不含有平方项，则先作可逆线性变换，令i i j
j i j k
k x y y x y y x y
=-??
=+??=?，（k=1,2,…,n ，i≠j ）
化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.
2. 规范二次型
设二次型T
f x Ax =的标准形为2
2
2
2
11p p p 1p 1r r f d y d y d y d y ++=++--- ，（i d 0>，r 是f 的秩）
令11p
p p 1p 1
r r y z y z y z y z ++?
=????
?=
???
?=????
?=??
，得2222
1p p 1r f z z z z +=++--- ，称为二次型T
f x Ax =的规范形.
注：规范形是唯一的.其中正平方项的个数p 称为T
f x Ax =正惯性指数，负平方项的个数r-p 称为
T f x Ax =负惯性指数，它们的差p-(r-p)=2p-r 称为T f x Ax =符号差.
3. 正定二次型
二次型T
f x Ax =正定?矩阵A 正定?A 的特征值全为正?A 的各阶顺序主子式都为正. 二次型T f x Ax =负定?矩阵A 负定?A 的奇数阶顺序主子式为负，偶数阶顺序主子式为正.
2015年10月高等教育自学考试全国统一命题考试 线性代数(经管类) 试卷 (课程代码04184) 本试卷共3页，满分l00分，考试时间l50分钟。 考生答题注意事项： 1．本卷所有试题必须在答题卡上作答。答在试卷上无效，试卷空白处和背面均可作草稿纸。2．第一部分为选择题。必须对应试卷上的题号使用2B铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑。3．第二部分为非选择题。必须注明大、小题号，使用0．5毫米黑色字迹签字笔作答。4．合理安排答题空间。超出答题区域无效。 说明：在本卷中。A T表示矩阵A的转置矩阵。A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，︱A ︱表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。 第一部分选择题 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题卡”的相应代码涂黑。未涂、错涂或多涂均无分。 1．已知2阶行列式 A．-2 B．-l C．1 D．2 3．设向量组可由向量组线性表出，则下列结论中 正确的是 A．若s≤t，则必线性相关 B．若s≤t，则必线性相关 C．若线性无关，则s≤t D．若线性无关，则s≤t 4．设有非齐次线性方程组Ax=b，其中A为m×n矩阵，且r(A)=r1，r(A，b)=r2，则 下列结论中正确的是 A．若r1=m，则Ax=O有非零解 B．若r1=n，则Ax=0仅有零解 C．若r2=m，则Ax=b有无穷多解 D．若r2=n，则Ax=b有惟一解 5. 设n阶矩阵A满足︱2E-3A︱=0，则A必有一个特征值=
第二部分非选择题 二、填空题 (本大题共l0小题。每小题2分，共20分) 请在答题卡上作答。 6．设行列式中元素a ij的代数余子式为A ij(i,j=1,2)，则a11A21+a12+A22=__________．7．已知矩阵，则A2+2A+E=___________． 8．设矩阵，若矩阵A满足AP=B，则A=________． 9．设向量，，则由向量组线性表出的表示式为=____________． 10．设向量组a1=(1，2,1)T，a2=(-1，1，0)T，a3=(0，2，k)T线性无关，则数k的取值应 满足__________． 11．设3元非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵(A，b)经初等行变换可化为 若该方程组无解，则数k=_________． 12．设=-2是n阶矩阵A的一个特征值，则矩阵A—3E必有一个特征值是________．13．设2阶矩阵A与B相似，其中，则数a=___________． 14．设向量a1=(1，-l，0)T，a2=(4，0，1)T，则=__________． 15．二次型f(x1，x2)=-2x12+x22+4x1x2的规范形为__________． 三、计算题(本大题共7小题，每小题9分，共63分) 请在答题卡上作答。 16. 计算行列式的值． 17. 已知矩阵，若矩阵x满足等式AX=B+X，求X．
线性代数知识点总结 第一章 行列式 1. n 阶行列式()() 12 1212 11121212221212 1= = -∑ n n n n t p p p n p p np p p p n n nn a a a a a a D a a a a a a 2.特殊行列式 () () 1112 11222211221122010 n t n n nn nn nn a a a a a D a a a a a a a = =-= 1 2 12 n n λλλλλλ=， () ()1 12 2 121n n n n λλλλλλ-=- 3.行列式的性质 定义 记 11121212221 2 n n n n nn a a a a a a D a a a =，11211 1222212n n T n n nn a a a a a a D a a a = ，行列式T D 称为行列式D 的转置行列式。 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 互换行列式的两行() ?i j r r 或列() ?i j c c ，行列式变号。 推论 如果行列式有两行（列）完全相同（成比例），则此行列式为零。 性质3 行列式某一行（列）中所有的元素都乘以同一数()?j k r k ，等于用数k 乘此行列式； 推论1 D 的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D 的外面; 推论2 D 中某一行（列）所有元素为零，则=0D 。 性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则 1112111212222212 () ()()i i n i i n n n ni ni nn a a a a a a a a a a D a a a a a '+'+='+11121111121121222221222212 12 i n i n i n i n n n ni nn n n ni nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''=+ ' 性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，
《线性代数》课程教案大纲 课程代码：课程性质：专业基础理论课必修 适用专业：工科类各专业总学分数： 总学时数：修订年月： 编写年月：执笔：韩晓卓、李锋 课程简介(中文)： 线性代数是理、工、经管各专业重要的基础课之一。它是以讨论有限维空间线性理论为主，具有较强的抽象性与逻辑性，是数学的一个重要分支，其理论与方法已广泛应用于其它科学领域中。主要包括：矩阵、行列式、线性方程组、秩问题、矩阵的特征值和特征向量、二次型等内容。 课程简介(英文)： , . , , . . , , , , , , . 一、课程目的 《线性代数》是高等院校工科专业学生必修的一门基础理论课。它是以讨论有限维空间线性理论为主，具有较强的抽象性与逻辑性。通过本课程的学习，使学生比较系统地获得线性代数中的行列式、矩阵、线性方程组、矩阵和向量组的秩，矩阵的特征值和特征向量等方面的基本概念、基本理论和基本方法，培养学生独特的代数思维模式和解决实际问题的能力，同时使学生了解线性代数在经济方面的简单应用,并为学生学习后继课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。 二、课程教案内容及学时分配 (一）教案内容 第一章行列式(学时) 教案内容：
二阶三阶行列式；阶行列式的定义；行列式的性质（证明选讲）；行列式按行(列)展开（定理证明选讲，行列式按某行（列）展开选讲）；克莱姆法则。 本章的重点与难点： 重点：行列式的性质；行列式按一行（列）展开定理；克莱姆法则的应用。 难点：阶行列式的定义的理解；阶行列式计算。 第二章矩阵(学时) 教案内容： 矩阵的概念；矩阵的运算（矩阵的加、减法；数乘；乘法；矩阵转置；方阵的幂；方阵的行列式）；几种特殊的矩阵（对角矩阵，数量矩阵，三角形矩阵，单位矩阵，对称矩阵与反对称矩阵）；分块矩阵（分块阵及其运算，分块对角阵）；逆矩阵（可逆阵的定义；奇异阵，伴随阵与逆阵的关系；逆阵的性质，二阶上三角分块阵的求逆方法）；本章的重点与难点： 重点：矩阵的运算规律；逆矩阵的性质以及求法； 难点：矩阵的乘积及分块矩阵的乘积；逆矩阵（抽象矩阵的逆矩阵）的求法。 第三章矩阵的初等变换与线性方程组(学时) 教案内容： 矩阵的初等变换（初等矩阵定义；初等矩阵与矩阵初等变换的关系。用初等变换求矩阵的逆）；矩阵的秩（矩阵的秩的定义；矩阵的秩与其子式的关系；初等变换求矩阵的秩）。线性方程组的消元解法（消元解法与初等行变换的关系；线性方程组有唯一解、无穷多组解和无解的讨论；线性方程组有解的判别定理；齐次线性方程组有非零解的充分和必要条件）； 本章的重点与难点： 重点：利用初等变换求矩阵的逆矩阵与矩阵的秩；利用初等变换求线性方程组的通解。 难点：利用初等变换求线性方程组的通解。
2017年10月高等教育自学考试全国统一命题考试 线性代数(经管类)试卷 (课程代码04184) 本试卷共4页,满分100分,考试时间150分钟。 考生答题注意事项: 1.本卷所有试题必须在答题卡上作答。答在试卷上无效,试卷空白处和背面均可作草稿纸。 2.第一部分为选择题。必须对应试卷上的题号使用2B 铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑 3.第二部分为非选择题。必须注明大、小题号,使用0.5毫米黑色字迹签字笔作答。 4.合理安排答题空间,超出答题区域无效。 说明：在本卷中，T A 表示矩阵A 的转置矩阵，* A 表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A|表示方阵A 的行列式，r(A)表示矩阵A 的秩。第一部分选择题 一、单项选择题：本大题共5小题，每小题2分，共10分。在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。 1.设B A ,是n 阶可逆矩阵，下列等式中正确的是 A.() 111---+=+B A B A B.()111---=B A AB C.()111----=-B A B A D.()111 ---=A B AB 2.设A 为3阶矩阵且???? ? ??==100610321,1)(B A r 则=)(BA r A.0 B.1 C.2 D.3 3.设向量组),6,3,1(),1,0,0(),2,1,0(),3,2,1(321====βa a a 则 A.β,,,321a a a 线性无关 B.β不能由321,,a a a 线性表示 C.β可由321,,a a a 线性表示，且表示法惟一
22.已知()31212322213212224,,x x x tx x x x x x x f -+++=为正定二次型，（1）确定t 的取值范围；（2）写出二次型()321,,x x x f 的规范形。 四、证明题：本题7分。 23.证明矩阵????? ??=111011001 A 不能对角化。
线性代数复习要点 第一部分 行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 1. 行列式的计算： ① (定义法)12 1212 11 12121222() 121 2 ()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ 1 ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.
④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 ==()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *==**=-1 例 计算 2-100-1 300001100-25 解 2-100 -1 30000110 -2 5 =2-1115735-13-25?=?= ⑤ 关于副对角线： (1) 2 1121 21 1211 1()n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* = =-1 ⑥ 范德蒙德行列式：()1 2 2 22 12 11 1112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏111 例 计算行列式
⑦ a b - 型公式：1 [(1)]()n a b b b b a b b a n b a b b b a b b b b a -=+-- ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和， 使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法) 2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1)n n k n k k k E A S λλ λ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 3. 证明 0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=-
全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．已知2阶行列式m b b a a =2121，n c c b b =2121，则=++2 21 12 1 c a c a b b （ B ） A ．n m - B ．m n - C ．n m + D ．)(n m +- m n n m c c b b a a b b c a c a b b -=+-=+=++2 12 12121 221121． 2．设A , B , C 均为n 阶方阵，BA AB =，CA AC =，则=ABC （ D ） A ．ACB B ．CAB C ．CBA D ．BCA BCA CA B AC B C BA C AB ABC =====)()()()(． 3．设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵，且1||=A ，2||-=B ，则行列式||||A B 之值为（ A ） A ．8- B ．2- C ．2 D ．8 8||)2(|2|||||3-=-=-=A A A B ． 4．????? ??=3332 312322 211312 11a a a a a a a a a A ，????? ??=3332 312322 211312 11333a a a a a a a a a B ，????? ??=100030001P ，??? ? ? ??=100013001Q ，则=B （ B ） A ．PA B ．AP C ．QA D ．AQ ????? ??=3332 31 232221 131211 a a a a a a a a a AP ????? ??100030001B a a a a a a a a a =??? ? ? ??=3332312322 211312 11333． 5．已知A 是一个43?矩阵，下列命题中正确的是（ C ） A ．若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩(A )=2 B ．若A 中存在2阶子式不为0，则秩(A )=2 C ．若秩(A )=2，则A 中所有3阶子式都为0 D ．若秩(A )=2，则A 中所有2阶子式都不为0 6．下列命题中错误．．的是（ C ） A ．只含有1个零向量的向量组线性相关 B ．由3个2维向量组成的向量组线性相关
中国海洋大学本科生课程大纲 课程属性：公共基础课 课程性质：必修 一．课程介绍 1.课程描述： 线性代数课程是高等院校理科(非数学类专业)、工科、经济和管理各专业（特别是需要数学基础知识较强的相关专业）的一门公共基础课。线性代数主要处理线性关系问题，它的基本概念、理论和方法，具有较强的逻辑性、抽象性和广泛的应用性。通过线性代数课程学习，要求学生掌握该课程的基本理论与方法，为学习相关课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的基础。同时，培养学生的逻辑思维能力以及解决实际问题的能力等，还可以提升学生相应的数学素养。 2.课程内容： 主要内容包括：行列式、矩阵、线性方程组、向量空间与线性变换、特征值和特征向量及矩阵的对角化、二次型。 行列式和矩阵是学习解线性方程组的基础，利用行列式，根据克拉默法则可以求解某些非齐次方程组的解；利用行列式可以判定某些齐次线性方程组是否有非零解。行列式也可以判定矩阵是否可逆，并用之求可逆矩阵的逆矩阵；利用矩阵可以判定和求非齐次方程组的解，以及可以求齐次线性方程组的非零解；建立R n的基与向量在基下的坐标及坐标变换，并讨论欧式空间及其结构；讨论矩阵的特征值和特征向量及矩阵 - 1 -
的对角化问题；利用以上理论讨论二次型及其矩阵表示，合同变换与合同矩阵，二次型的秩、惯性定理、标准形和规范形，用正交变换和配方法化二次型为标准形等。 3. 课程与其他课程的关系： 先修课程：无； 并行课程：微积分，高等数学等； 后置课程：概率论与数理统计。在计算机数据结构、算法、计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、经济学、网络技术、虚拟现实等课程中，都会涉及到线性代数的相关基础知识。由于理解及知识储备的原因，建议在一年级下学期或者二年级时，学生开始选修《线性代数》。 二、课程目标 本课程目标是为非数学类专业学生学习有关专业课程和扩大数学知识面提供必要的数学基础和基本技能，更旨在通过本课程的学习培养学生的逻辑推理和抽象思维能力、空间直观和想象能力。到课程结束时，学生应能： （1）掌握行列式、矩阵的基本定义及性质等，能够计算行列式的值； （2）理解线性方程组求解理论，掌握向量组的秩、矩阵的秩、线性相关、线性无关等概念，会分析并求解齐次、非齐次线性方程组。 （3）熟练掌握向量的运算，理解R n中的基、坐标、基变换与坐标变换及内积的相关知识； （4）掌握矩阵的特征值和特征向量，矩阵的对角化理论； （5）掌握二次型的标准型和正定二次型的基本概念和理论； （6）能够借助Matlab等计算机软件进行行列式的计算、求解线性方程组等。 三、学习要求 要完成所有的课程任务，学生必须： - 1 -
2006年10月高等教育自学考试课程代码：2198 1．设A 是4阶矩阵，则|-A|=（ ） A ．-4|A| B ．-|A| C ．|A| D ．4|A| 2．设A 为n 阶可逆矩阵，下列运算中正确的是（ ） A ．（2A ）T =2A T B ．（3A ）-1=3A -1 C ．[（A T ）T ]-1=[（A -1）-1]T D ．（A T ）-1=A 3．设2阶方阵A 可逆，且A -1=??? ??--2173，则A=（ ） A ．??? ??--3172 B ．??? ??3172 C ．?? ? ??--3172 D ．?? ? ??2173 4．设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性无关的是（ ） A ．α1，α2，α1+α 2 B ．α1，α2，α1-α2 C ．α1-α2，α2-α3，α3-α 1 D ．α1+α2，α2+α3，α3+α1 5．向量组α1=（1，0，0），α2=（0，0，1），下列向量中可以由α1，α2线性表出的是（ ） A ．（2，0，0） B ．（-3，2，4） C ．（1，1，0） D ．（0，-1，0） 6．设A ，B 均为3阶矩阵，若A 可逆，秩（B ）=2，那么秩（AB ）=（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 7．设A 为n 阶矩阵，若A 与n 阶单位矩阵等价，那么方程组Ax=b （ ） A ．无解 B ．有唯一解 C ．有无穷多解 D ．解的情况不能确定 8．在R 3中，与向量α1=（1，1，1），α2=（1，2，1）都正交的单位向量是（ ） A ．（-1，0，1） B ．21 （-1，0，1） C ．（1，0，-1） D ．21 （1，0，1） 9．下列矩阵中，为正定矩阵的是（ ） A ．??? ? ??003021311 B ．??? ? ??111121111
行列式 1.为何要学习《线性代数》？学习《线性代数》的重要性和意义。 答：《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程，它是初等代数理论的继续和发展， 它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。 2.《线性代数》的前导课程。 答：初等代数。 3.《线性代数》的后继课程。 答：高等代数，线性规划，运筹学，经济学等。 4.如何学习《线性代数》？ 答：掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做 练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联 系。在学完本课程后，将各章的内容做一个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的 概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。 第一章行列式 5.什么是一个n阶全排列？【知识点】：n阶全排列。 答：由n个数1,2,…，n组成的一个有序数组。 6.什么是标准排列？【知识点】：n阶全排列。 答：按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123, n。 7.什么是n阶全排列的逆序？【知识点】：n阶全排列的逆序。 答：在一个n阶排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。例如：排列45312中，数4与3 ,数4与1,数4与2 ,数5与3,数5与1 ,数5与2, 数3与1,数3与2都构成逆序。数4与5,数1与2不构成逆序。 & 什么是n阶排列的逆序数？【知识点】：n阶排列的逆序数。 答：在一个n阶排列中，所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如：上问中的排列45312 的逆序数为8。 9.什么是奇排列和偶排列？【知识点】：排列的奇偶性。
线性代数知识点总结 第一章行列式 （一）要点 1、 二阶、三阶行列式 2、 全排列和逆序数，奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理） ，n 阶行列式的定义 3、 行列式的性质 4、 n 阶行列式 ^a i j ，元素a j 的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理 5、 克莱姆法则 （二）基本要求 1 、理解n 阶行列式的定义 2、掌握n 阶行列式的性质 3 、会用定义判定行列式中项的符号 4、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法，即 a 1i A Ij ' a 2i A 2 j ' a ni A nj ^ 5、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法： 归化为上三角或下三角行列式， 各行（列）元素之和等于同一个常数的行列式， 利用展开式计算 6、 掌握应用克莱姆法则的条件及结论 会用克莱姆法则解低阶的线性方程组 7、 了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件 第二章矩阵 （一）要点 1、 矩阵的概念 m n 矩阵A =（a j ）mn 是一个矩阵表。当 m =n 时，称A 为n 阶矩阵，此时由 A 的 元素按原来排列的形式构成的 n 阶行列式，称为矩阵 A 的行列式，记为 A . 注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。 2、 几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵 a i 1A j 1 ■ a i2A j 2 ? a in A jn = 〔 D '
3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法 (1矩阵的乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。如果两矩阵A与B相乘，有AB = BA ,则称矩阵A与B可换。注：矩阵乘积不一定符合交换 (2)方阵的幕：对于n阶矩阵A及自然数k， A k=A A A , 1 k个 规定A° = I ,其中I为单位阵. (3) 设多项式函数(J^a^ k?a1?k^l Z-心律??a k，A为方阵，矩阵A的 多项式(A) = a0A k?a1A k' …-?-a k jA ■ a k I ,其中I 为单位阵。 (4)n阶矩阵A和B ,贝U AB=IAB . (5)n 阶矩阵A ,则∣∕Λ =λn A 4、分块矩阵及其运算 5、逆矩阵：可逆矩阵(若矩阵A可逆，则其逆矩阵是唯一的)；矩阵A的伴随矩阵记 * 为A , AA* = A*A = AE 矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质。 6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价 意义下的标准形；矩阵A可逆的又一充分必要条件：A可以表示成一些初等矩阵的乘积； 用初等变换求逆矩阵。 7、矩阵的秩：矩阵的k阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩 8、矩阵的等价 (二)要求 1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等 2、了解几种特殊的矩阵及其性质 3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质 4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时，会用伴随矩阵求逆矩阵 5、了解分块矩阵及其运算的方法 (1)在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下，其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。 (2)特殊分法的分块矩阵的乘法，例如A m n, B nl,将矩
线性代数（B 类）课程教学大纲
理解矩阵的特征值与特征向量的概念并掌握其性质与求法。 理解相似矩阵的概念及性质以及n 阶方阵能相似于对角矩阵的充要条件。掌握求矩阵的相似对角矩阵的方法。 理解正交矩阵的概念及其性质。 了解实对称矩阵的特征值与特征向量的性质。掌握实对称矩阵正交相似于对角矩阵的方法。 对于相似于对角矩阵的方阵，能由方阵的特征值与特征向量构造出对应的方阵。 6.第六章实二次型（学时数：2.5 次课5 学时，对应代码：A3、A4、A5、B1、B2、 B3、C1、C2、C4 ） 理解实二次型和它的矩阵、秩等概念。了解实二次型经非退化的线性代换仍为二次型且秩不变的性质。 知道矩阵的合同的概念及简单性质。 理解二次型的标准形与规范标准形的概念。熟练掌握用正交代换化二次型为标准形。会用配方法化二次型为标准形。能用非退化的线性代换化二次型的标准形为规范标准形。 了解惯性定理。理解正定二次型与正定矩阵的概念及其性质。掌握正定二次型的判别方法。 7.第七章线性变换（学时数：4 ～6，对应代码：A3、A4、A5、B1、B2、B3 C1、C2、C4 ）（由于课时所限，课堂教学不讲授该章的内容） 了解线性变换、变换的象与原象等概念。知道线性变换的简单性质。 了解线性变换与矩阵之间的关系，知道线性变换的矩阵。 掌握Ｒ^n 中线性变换在一组基下的矩阵的求法与已知向量在一组基下的坐标求向量在线性变换下的象的坐标的方法。 了解线性变换在不同基下的矩阵之间的关系。掌握在Ｒ^n 中利用过渡矩阵求线性变换在不同基下的矩阵的方法。 了解在一般的线性空间中线性变换在一组基下的矩阵的求法与已知向量在一组基下的坐标求向量在线性变换下的象的坐标的方法。了解线性变换在不同基下的矩阵的求法。
线性代数知识点总结 1 行列式 （一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式） （1）行列互换（转置），行列式的值不变 （2）两行（列）互换，行列式变号 （3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式 （4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。 （5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。 （6）两行成比例，行列式的值为0。 （二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则 7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式
数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值： （三）按行（列）展开 9、按行展开定理： （1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式： （1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则 （7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则： （1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解
（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0（3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。 2 矩阵 （一）矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项： （1）矩阵乘法要求前列后行一致； （2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律） （3）AB=O不能推出A=O或B=O。 2、转置的性质（5条） （1）（A+B）T=A T+B T （2）（kA）T=kA T （3）（AB）T=B T A T （4）|A|T=|A| （5）（A T）T=A （二）矩阵的逆 3、逆的定义： AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1 注：A可逆的充要条件是|A|≠0 4、逆的性质：（5条） （1）（kA）-1=1/k·A-1 (k≠0) （2）（AB）-1=B-1·A-1 （3）|A-1|=|A|-1 （4）（A T）-1=（A-1）T （5）（A-1）-1=A
线性代数复习要点 第一部分行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 行列式的定义 1.行列式的计算： ①(定义法) ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.
③(化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④若都是方阵（不必同阶）,则 ⑤关于副对角线： ⑥范德蒙德行列式： 证明用从第n行开始，自下而上依次的由下一行减去它上一行的倍，按第一列展开，重复上述操作即可。 ⑦型公式： ⑧(升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨(递推公式法) 对阶行列式找出与或,之间的一种关系——称为递推公式，其中 ,,等结构相同，再由递推公式求出的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算. ⑩(数学归纳法) 2. 对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；
3. 证明的方法： ①、； ②、反证法； ③、构造齐次方程组，证明其有非零解； ④、利用秩，证明； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系： 第二部分矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆 3.矩阵的秩的性质 4.矩阵方程的求解 1.矩阵的定义由个数排成的行列的表称为矩阵. 记作：或 ①同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等. ②矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等. ③矩阵运算 a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）. b. 数与矩阵相乘：数与矩阵的乘积记作或，规定为. c. 矩阵与矩阵相乘：设, ,则， 其中 注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式不成立.
线性代数知识点 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；
线性代数教学大纲 一.课程基本要求 （一）矩阵 1. 理解矩阵概念。了解单位矩阵，对角矩阵，对称矩阵等特殊矩阵。 2. 熟练掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置运算及其运算规律。 3. 了解行列式的定义和性质，掌握行列式的计算。 4. 掌握克拉默(Cramer)法则。 5. 熟练掌握矩阵的初等变换，理解初等矩阵的概念。 6. 熟练掌握矩阵秩的求法，了解满秩矩阵的性质。 7. 理解逆矩阵的概念及其存在条件，熟练掌握求逆的方法。 8. 掌握分块矩阵的运算并能利用矩阵分快法简化矩阵运算。 （二）n维向量 1. 理解n维向量的概念。掌握向量的线性运算。 2. 理解向量组线性相关，线性无关的定义。了解有关的定理结论。 3. 理解向量组的极大无关组与向量组的秩的概念，熟练掌握向量组的的秩与极大无关组的求法。 4. 理解向量的内积及正交的定义，掌握线性无关向量组正交规范化的方法及正交矩阵的判定及性质。 5. 了解n维向量空间、子空间、基、维数、坐标等概念。 （三）线性方程组 1. 理解齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件。 2. 理解齐次线性方程组的基础解系及通解的概念。熟练掌握其求法 3. 理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念。 4. 熟练掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法。 （四）矩阵的特征值与特征向量 1. 理解矩阵的特征值与特征向量的概念及性质，熟练掌握特征值与特征向量的
求法。 2. 理解相似矩阵的概念、性质，掌握矩阵相似对角化的充要条件及求法。（五）二次型 1. 掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形，规范形的概念及惯性定理。 2. 熟练掌握用正交变换法化二次型为标准型的方法。 3. 了解二次型的分类，熟练掌握二次型及其矩阵的正定性与判别法。 二. 课程内容 第一章矩阵(8-10学时) §1 矩阵的概念 §2 矩阵的线性运算 §3 方阵的行列式及其性质 §4 初等变换与矩阵的秩 §5 初等矩阵与逆矩阵 §6 分块矩阵 习题课 第二章 n维向量(7-8学时) §1 n维向量及其运算 §2 向量组的线性相关性 §3 向量组的秩 §4 向量空间 §5 向量组的正交性与正交矩阵 习题课 第三章线性方程组(3-4学时) §1 齐次线性方程组 §2 非齐次线性方程组 习题课 第四章矩阵的特征值与特征向量(4-6学时) §1 矩阵的特征值与特征向量
线性代数Ⅰ课程教学大纲 一课程基本情况 课程名称：线性代数。 课程名称（英文）： Linear Algebra。 课程编号：B11071。 课程总学时：40学时（全部为课堂讲授）。 课程学分：2学分。 课程分类：必修，考试课。 开课学期：第3学期。 开课专业：适合对数学类基础课要求较高的理工类本科专业，包括物理学(S)、计算机科学与技术(S)、农业机械化及其自动化、机械设计制造及其自动化、电气工程与自动化、电子信息工程、土木工程、工程管理等专业。 先修课程：无。 后续课程：大学物理等基础课和各专业相应专业课。 二课程的性质、地位、作用和任务 《线性代数》是高等学校上述各专业的重要基础课。由于线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，某些非线性问题在一定条件下可以转化为线性问题，尤其是在计算机日益普及的今天，解大型线性方程组、求矩阵的特征值与特征向量等已成为科学技术人员经常遇到的课题，因此学习和掌握线性代数的理论和方法是掌握现代科学技术以及从事科学研究的重要基础和手段，同时也是实现我院上述各专业培养目标的必备前提。本课程的主要任务是学习科学技术中常用的矩阵方法、线性方程组及其有关的基本计算方法。使学生具有熟练的矩阵运算能力及用矩阵方法解决一些实际问题的能力。从而为学生进一步学习后续课程和进一步提高打下必要的数学基础。 三主要容、重点及深度 了解行列式的定义，掌握行列式的性质及其计算。理解矩阵（包括特殊矩阵）、逆矩阵、矩阵的秩的概念。熟练掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置及其运算规律。理解逆矩阵存在的充要条件，掌握矩阵的求逆的方法。掌握矩阵的初等变换，并会求矩阵的秩。理解n维向量的概念。掌握向量组的线性相关和线性无关的定义及有关重要结论。掌握向量组的极大线性无关组与向量组的秩。了解n 维向量空间及其子空间、基、维数等概念。理解克莱姆（Cramer）法则。理解非齐次线性方程组有解的充要条件及齐次线性方程组有非零解的充要条件。理解齐次线性方程组解空间、基础解系、通解等概念。熟练掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法。掌握矩阵的特征值和特征向量的概念及其求解方法。了解矩阵相似的概念以及实对称矩阵与对角矩阵相似的结论。了解向量积及正交矩阵的概念和性质。了解二次型及其矩阵表示，会用配方法及正交变换法化二次型为标准形。了解惯性定理、二次型的秩、二次型的正定性及其判别法。
全国2010年10月高等教育自学考试 线性代数(经管类)试题 课程代码：04184 说明:在本卷中,A T 表示矩阵A 的转置矩阵,A *表示矩阵A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,|A|表示方阵A 的行列式,r(A)表示矩A 的秩. 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分,共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设A 为3阶矩阵,|A|=1,则|-2A T |=( A ) A.-8 B.-2 C.2 D.8 2.设矩阵A=??? ? ??-11,B=(1,1),则AB=( D ) A.0 B.(1,-1) C. ???? ??-11 D. ??? ? ??--1111 3.设A 为n 阶对称矩阵,B 为n 阶反对称矩阵,则下列矩阵中为反对称矩阵的是( B ) A.AB-BA B.AB+BA C.AB D.BA 4.设矩阵A 的伴随矩阵A *=??? ? ??4321,则A -1= ( C ) A.21- ???? ??--1234 B. 21- ??? ? ?? --4321 C. 21- ???? ?? 4321 D. 21- ??? ? ??1324 5.下列矩阵中不是．．初等矩阵的是(A ) A.????? ??000010101 B. ???? ? ??0010101 00 C. ????? ??100030001 D. ???? ? ?? 102010001 6.设A,B 均为n 阶可逆矩阵,则必有( B ) A.A+B 可逆 B.AB 可逆 C.A-B 可逆 D.AB+BA 可逆 7.设向量组α1=(1,2), α2=(0,2),β=(4,2),则 ( D ) A. α1, α2,β线性无关 B. β不能由α1, α2线性表示 C. β可由α1, α2线性表示,但表示法不惟一 D. β可由α1, α2线性表示,且表示法惟一
线性代数知识点总结 第二章 矩阵及其运算 第一节 矩阵 定义 由m n ?个数() 1,2,,;1,2,,ij a i m j n ==L L 排成的m 行n 列的数表 11 12 1212221 2n n m m mn a a a a a a a a a L L M M M L 称为m 行n 列矩阵。简称m n ?矩阵，记作111212122 211 n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ??? L L L L L L L ，简记为() ()m n ij ij m n A A a a ??===，,m n A ?这个数称为的元素简称为元。 说明 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。 扩展 几种特殊的矩阵： 方阵 ：行数与列数都等于n 的矩阵A 。 记作：A n 。 行(列)矩阵：只有一行(列)的矩阵。也称行(列)向量。 同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。 相等矩阵：AB 同型,且对应元素相等。记作：A ＝B 零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同） 对角阵：不在主对角线上的元素都是零。 单位阵：主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作：E n (不引起混淆时，也可 表示为E )（课本P29—P31） 注意 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。 第二节 矩阵的运算 矩阵的加法 设有两个m n ?矩阵() () ij ij A a B b ==和，那么矩阵A 与B 的和记作A B +， 规定为111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++?? ? +++ ? += ? ? +++?? L L L L L L L 说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。（课本P33） 矩阵加法的运算规律 ()1A B B A +=+； ()()()2A B C A B C ++=++
《线性代数》（经管类）教学大纲 大纲说明 课程代码：4925061 总学时：48学时讲课48学时） 总学分：3学分 课程类别：必修 适用专业：经管本科专业 预修要求：初等数学 一、课程的性质、目的、任务： 《线性代数》是我校重要的必修公共基础课，它是以变量的线性关系为主要研究对象的数学学科。从本校财经类本科的专业特色出发，该课程介绍行列式，矩阵，线性方程组，二次型等有关的概念，理论及方法，并简要介绍在现代经济管理中的应用———投入产出模型及其解法。本课程不仅是许多后续相关学科的理论基础，同时也是科学技术和经济管理领域的重要数学工具。 内容的抽象性，逻辑的严密性是《线性代数》的基本特点，在教学过程中应特别注意对学生抽象思维，逻辑思维以及归纳推理能力的培养。通过本课程的教学，要求学生对基本概念，基本理论和重要方法有正确的理解，并能比较熟练地掌握和应用。 通过本课程的学习，使学生获得线性代数的基本知识，培养学生的基本运算能力，增强学生处理问题的初步能力。另外通过本课程的学习，为学生学习后续课程和进一步深造以及今后工作奠定必要的数学基础。 二、课程教学的基本要求： 教学要求由低到高分三个层次，有关定义、定理、性质、特征概念的内容为“知道、了解、理解”；有关计算、解法、公式、法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握”。 三、教学方法和教学手段的建议： 以教师讲授为主，学生课堂练习为辅，再适当辅以课件协助教学；通过批改作业动态了解学生的学习状况，对个别的学生课外加以辅导。 四、大纲的使用说明： 本大纲参照中国人民大学出版社出版的《线性代数》（第三版）制订，适用经济类本科专业，不同的专业可根据需要适当删节处理。 大纲正文 第一章行列式学时：8学时（讲课8学时） 本章讲授要点：行列式的概念和基本性质、行列式的计算、行列式按行（列）展开定理、克莱默法则。 重点：行列式的计算、克莱默法则 难点：行列式的计算、克莱默法则。