§ 3.2 刚体转动的动能定理
一、力矩的功 1 力矩的定义
若作用的质点上的力为F ,则将r ×F 定义为力F 对O 点的力矩，记为M 。 M r F =?
M 、F 、r 三者的方向构成右手螺旋关系。大小：
方向：右手法则
2 力矩的功
设：；转盘上的微小质量元Δm 在力F 作用下以R 为半径绕O 轴转动，在dt 时间内转过角度d θ， 对应位移d r,路程ds,此时F 所做的元功为
则总功为
二、转动惯量
设初速为零，质量元Δm 的动能为
转盘的总动能
1 定义：
为物体的转动惯量。
F
t
F n
F t
F d r
t t d d d d A F r F s F r θ
=?==d d A M θ=2
1
d A M θθθ
=?α
sin t M Fr F r
α==t
F d r
12
ki i i
E m v =21
2
k ki i i i i E E m ==?∑∑v 22
1()2i i i m r ω=?∑2i i i
I m r =?∑
意义：由质量和质量对于转轴的分布情况决定。描述转动的惯性。 例：一头粗，一头细的杆以不同端作轴转动是，其转动惯量不同。 单位：SI 制 kg m 2
2 定轴转动物体转动惯量的计算 质量不连续分布的质点系：转动惯量定义为各个质点对该定轴的转动惯量之和
2i i i
I m r =∑
质量连续分布的刚体：转动惯量定义为各个质点对该定轴的转动惯量的积分。
2m
I r dm =?
转动惯量的大小不仅取决于物体的质量，还与质量的分布和轴线的位置有关。 例1 求小球m 的转动惯量。 解：m 看作质点 I = m R 2
例2 质量为m 的细圆环，求I 。
解：把环分成无限多个质量为dm 的小段，对每个d m 有
d J = R 2
对整个环有
I = ? R 2d m = mR 2
例3质量m ，半径 R 的薄圆盘，求I 。
解：把盘分成无限多个环。取其中的一个环(半径r ，宽d r ，质量 d m )，
d m
R
?
R
? m
其转动惯量 d I = r 2d m
2
2m
dm rdr R
ππ=
整个盘的转动惯量
2
2
3222000
021
22R R R
R
m m I dI r dm r rdr r dr mR R R ππ=====????
例4 长为L 、质量为m 的细长直杆，转轴垂直于细杆且通过杆中心 解：杆长为L,质量为m, 则密度为 ρ＝m / L 。
以杆中心O 点为转轴，在距o 点为r 处取微小质量元dm =ρdr, 杆的转动惯量为
例5 转轴垂直于细杆且通过杆的一端 以杆中心O /点为转轴，同上
2
22
2
22
322
13l l l
l l
l
I r dm r dr r ρρ---=
=
=??
2
112
I mL
=
2
1
3
I mL
=
2020
313
l
l
l
o I r dm
r dr
r
ρρ===??
3 几种典型的匀质刚体的转动惯量
4 影响转动惯量的三个因素
(1)刚体自身的性质如质量、大小和形状；
(2)质量的分布； (质量分布越靠近边缘转动惯量越大) (3)转轴的位置。（同一个刚体对不同的轴转动惯量不同） 5 平行轴定理和转动惯量的可加性 1） 平行轴定理
设刚体相对于通过质心轴线的转动惯量为Ic ，相对于与之平行的另一轴的转动惯量为I ，则可以证明I 与Ic 之间有下列关系 2c I I md =+ 2）转动惯量的可加性
对同一转轴而言，物体各部分转动惯量之和 等于整个物体的转动惯量。
例6质量m ，长为l 的均匀细棒，求对于通过质心的垂直轴的转动惯量Jc 和通
2
c I I m
d =+
过端点a 的垂直轴的转动惯量J.
解：建立如图坐标Ox
2
2222
2
2
112
l l c l l m J x dm x dx ml l
++
--
=
=
=
?
?
由平行轴定理有
2
2211
1223a l J ml m ml ??=+= ???
2
c 1
2I mR =2c 12
I mR =
如果刚体偏心转动，转轴通过半径的中点且垂直于盘面。求盘对此轴的转动惯量I 。
解：题给两平行轴之间的距离
1
2
d R =
2
c I I m
d =+得刚体绕偏心轴的转动惯量
22213
()224
R I mR m mR =
+=由平行轴定理
例 3-2 如图所示，一圆盘状刚体的半径为 R ，质量为 m ，且均匀分布。
它对过质心并且垂直于盘面的转轴的转动惯量用Ic 表示。 例3-3 如图所示，某装置由均质细杆和均质圆盘构成。杆的质量为 ，长 L 。
杆对O 轴的转动惯量 2
111
3
I m L =1
m
圆盘质量是 ，半径为R 。，得知它对过质心C 且垂直于盘面的转轴的转动
惯量为 2m
22c 21
2I m R
=求此装置对轴O 的转动惯量I 。 x
三、刚体绕定轴转动的动能定理 1 刚体绕定轴转动的转动动能
2 动能定理
合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。
刚体作为一个特殊的质点系，此质点系的动能定理为
21
e k k A E E =-2
1
2 2 2 111d θωω22
θM I I =
-? θ
刚体定轴转动的动能定理
解：已知杆对轴O 的转动惯量
盘对轴C 的转动惯量
22c 21
2
I m R =
由平行轴定理得盘对轴O 的转动惯量
22c 2(I I m R L =++2221
(2
m R m R L =
++由转动惯量的可加性，得整个装置对轴 O 222
1212211
()32
I I I m L m R m R L =+=+++2111
3
I m L =
222
2k 111222
i i i i
i i E m v m r I ωω=
==∑∑ 由于刚体的大小、形状不变，其上任何两质点间没有相对位移。即： i 0
A =
一、力矩的功 1 力矩的定义 若作用的质点上的力为F ,则将r ×F 定义为力F 对O 点的力矩，记为M 。 M r F =?r r r M 、F 、r 三者的方向构成右手螺旋关系。 M 大小： 方向：右手法则 2 力矩的功 设：；转盘上的微小质量元Δm 在力F 作用下以R 为半径绕O 轴转动，在dt 时间内转过角度d ， 对应位移d r,路程ds,此时F 所做的元功为 则总功为 二、转动惯量 设初速为零，质量元Δm 的动能为 转盘的总动能 1 定义： 为物体的转动惯量。 意义：由质量和质量对于转轴的分布情况决定。描述转动的惯性。 o z F v t F v n F v t F v o r d r v d θ t t d d d d A F r F s F r θ=?==v v d d A M θ=2 1 d A M θθθ =?αr sin t M Fr F r α== d θ F t F v o r d r v 12 ki i i E m v =21 2 k ki i i i i E E m ==?∑∑v 22 1()2i i i m r ω=?∑2i i i I m r =?∑
单位：SI 制 kg m 2 2 定轴转动物体转动惯量的计算 质量不连续分布的质点系：转动惯量定义为各个质点对该定轴的转动惯量之和 2i i i I m r =∑ 质量连续分布的刚体：转动惯量定义为各个质点对该定轴的转动惯量的积分。 2m I r dm =? 转动惯量的大小不仅取决于物体的质量，还与质量的分布和轴线的位置有关。 例1 求小球m 的转动惯量。 解：m 看作质点 I = m R 2 例2 质量为m 的细圆环，求I 。 解：把环分成无限多个质量为dm 的小段，对每个d m 有 d J = R 2 对整个环有 I = R 2d m = mR 2 例3质量m ，半径 R 的薄圆盘，求I 。 解：把盘分成无限多个环。取其中的一个环(半径r ，宽d r ，质量 d m )， 其转动惯量 d I = r 2d m 2 2m dm rdr R ππ= 整个盘的转动惯量 d r d m d S r R d m R R m
§ 3.2 刚体转动的动能定理 一、力矩的功 1 力矩的定义 若作用的质点上的力为F ,则将r ×F 定义为力F 对O 点的力矩，记为M 。 M r F =? M 、F 、r 三者的方向构成右手螺旋关系。 大小： 方向：右手法则 2 力矩的功 设：；转盘上的微小质量元Δm 在力F 作用下以R 为半径绕O 轴转动，在dt 时间内转过角度d θ， 对应位移d r,路程ds,此时F 所做的元功为 则总功为 二、转动惯量 设初速为零，质量元Δm 的动能为 转盘的总动能 1 定义： 为物体的转动惯量。 意义：由质量和质量对于转轴的分布情况决定。描述转动的惯性。 t t d d d d A F r F s Fr θ=?== d d A M θ=2 1 d A M θθθ =?sin t M Fr Fr α==12 ki i i E m v = 21 2 k ki i i i i E E m ==?∑∑v 22 1()2i i i m r ω=?∑2i i i I m r =?∑
例：一头粗，一头细的杆以不同端作轴转动是，其转动惯量不同。 单位：SI 制 kg m 2 2 定轴转动物体转动惯量的计算 质量不连续分布的质点系：转动惯量定义为各个质点对该定轴的转动惯量之和 2i i i I m r =∑ 质量连续分布的刚体：转动惯量定义为各个质点对该定轴的转动惯量的积分。 2m I r dm =? 例1 求小球m 的转动惯量。 解：m 看作质点 I = m R 2 例2 质量为m 的细圆环，求I 。 解：把环分成无限多个质量为dm d J = R 2 对整个环有 I = ? R 2d m = mR 2 例3质量m ，半径 R 的薄圆盘，求I 。 解：把盘分成无限多个环。取其中的一个环(半径r ，宽d r ，质量 d m )， 其转动惯量 d I = r 2d m m
《大学物理》综合练习(二) ——刚体定轴转动 班级学号： 姓 名： 日 期： 一、选择题(把正确答案的序号填入括号内) 1．两个小球质量分别为m 和m 3，用一轻的刚性细杆相连。对于通过细杆并与之垂直的轴来说，轴应在图中什么位置处物体系对该轴转动惯量最小? (A)cm 10=x 处； (B)cm 20=x 处； (C)cm 5.22=x 处； (D)cm 25=x 处。 [ C ] 2．一匀质杆质量为m ，长为l ，绕通过一端并与杆成θ角的轴的转动惯量为 (A)3/2ml ； (B) 12/2ml ； (C) 3/sin 22θml ； (D) 2/cos 22θml 。 [ C ] 3．一正方形均匀薄板，已知它对通过中心并与板面垂直的轴的转动惯量为J 。若以其一条对角线为轴，它的转动惯量为 (A)3/2J ； (B)2/J ； (C)J ； (D)不能判定。 [ B ] 4．如图所示，A 、B 为两个相同的定滑轮，A 滑轮挂一质量为m 的物体，B 滑轮受拉力F ，而且mg F =，设A 、B 两滑轮的角加速度分别为A β和B β，不计滑轮轴的摩擦，这两个滑轮的角 加速度的大小比较是 (A)B A ββ=； (B)B A ββ>； (C)B A ββ<； (D)无法比较。 [ C ] 5．关于力距有以下几种说法： B 题1图 题4图
(1)内力矩不会改变刚体对某个定轴的角动量； (2)作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零； (3)质量相等形状和大小不同的两个刚体，在相同力矩作用下，它们的角加速度一定相等。 在上述说法中: (A)只有(2)是正确的； (B)(1)、(2)是正确的； (C)(2)、(3)是正确的； (D)(1)、(2)、(3)都是正确的。 [ B ] 6．一水平圆盘可绕固定的铅直中心轴转动，盘上站着一个人，初始时整个系统处于静止状 态，忽略轴的摩擦，当此人在盘上随意走动时，此系统 (A)动量守恒； (B)机械能守恒； (C)对中心轴的角动量守恒； (D)动量、机械能和角动量都守恒； (E)动量、机械能和角动量都不守恒。 [ C ] 7．一质量为kg 60的人站在一质量为kg 60、半径为1ｍ的均匀圆盘的边缘，圆盘可绕与盘面相垂直的中心竖直轴无摩擦地转动，系统原来是静止的。后来人沿圆盘边缘走动，当他相对圆盘的走动速度为m /s 2时，圆盘角速度为 (A)rad/s 1； (B)rad/s 2； (C)rad/s 3/2； (D)rad/s 3/4。 [ B ] 8．水平刚性轻细杆上对称地串着两个质量均匀为m 的小球，如图所示。在外力作用下细杆绕通过中心的竖直轴转动，当转速达到0ω时两球开始向杆的两端滑动，此时使撤去外力任杆自行转动(不考虑转轴和空气的摩擦)。 (1)此后过程中球、杆系统 E (A)动能和动量守恒； (B)动能和角动量守恒； (C)只有动量守恒； (D)只有角动量守恒； (E)动量和角动量守恒。 (2)当两球都滑至杆端时系统的角速度为 (A)0ω； (B)02ω； (C)016.0ω； (D)05.0ω。 [ C ] 二、填充题(单位制为SI ) 1．当一汽车发动机以1800转/分的角速率转动时，它输出的功率是100马力(4105.7? 瓦)， cm 4=d cm 20=l 题8图