§ 3.2 刚体转动的动能定理
一、力矩的功 1 力矩的定义
若作用的质点上的力为F ,则将r ×F 定义为力F 对O 点的力矩，记为M 。
M r F =?r r
r
M 、F 、r 三者的方向构成右手螺旋关系。 M
大小：
方向：右手法则
2 力矩的功
设：；转盘上的微小质量元Δm 在力F 作用下以R 为半径绕O 轴转动，在dt 时间内转过角度d ，
对应位移d r,路程ds,此时F 所做的元功为
则总功为
二、转动惯量
设初速为零，质量元Δm 的动能为
转盘的总动能
1 定义：
为物体的转动惯量。
o z
F
v
t
F v n
F v
t
F v o
r
d r
v
d θ
t t d d d d A F r F s F r θ=?==v v
d d A M θ=2
1
d A M θθθ
=?αr sin t M Fr F r
α==
d θ
F
t
F v o
r
d r
v 12
ki i i
E m v =21
2
k ki i i i i E E m ==?∑∑v 22
1()2i i i m r ω=?∑2i i i
I m r =?∑
意义：由质量和质量对于转轴的分布情况决定。描述转动的惯性。 例：一头粗，一头细的杆以不同端作轴转动是，其转动惯量不同。 单位：SI 制 kg m 2
2 定轴转动物体转动惯量的计算 质量不连续分布的质点系：转动惯量定义为各个质点对该定轴的转动惯量之和
2i i i
I m r =∑
质量连续分布的刚体：转动惯量定义为各个质点对该定轴的转动惯量的积分。
2m
I r dm =?
转动惯量的大小不仅取决于物体的质量，还与质量的分布和轴线的位置有关。 例1 求小球m 的转动惯量。 解：m 看作质点 I = m R 2
例2 质量为m 的细圆环，求I 。
解：把环分成无限多个质量为dm 的小段，对每个d m 有
d J = R 2
对整个环有
I = R 2d m = mR 2
例3质量m ，半径 R 的薄圆盘，求I 。
解：把盘分成无限多个环。取其中的一个环(半径r ，宽d r ，质量 d m )， 其转动惯量
d m
R
?
R
? m
d I = r 2d m
2
2m
dm rdr R
ππ=
整个盘的转动惯量
2
2
32
22000
02122R R R R
m m I dI r dm r rdr r dr mR R R ππ=====????
例4 长为L 、质量为m 的细长直杆，转轴垂直于细杆且通过杆中心 解：杆长为L,质量为m, 则密度为
＝m / L 。
以杆中心O 点为转轴，在距o 点为r 处取微小质量元dm =dr, 杆的转动惯量
为
例5 转轴垂直于细杆且通过杆的一端 以杆中心O /点为转轴，同上
2
22
2
22
322
13l l l
l l
l
I r dm r dr r ρρ---=
=
=??m
L
O
O’
2
112
I mL
=
2
1
3
I mL
=
2020
313
l
l
l
o I r dm
r dr
r
ρρ===??d r
d m
d S
r
R
3 几种典型的匀质刚体的转动惯量
4 影响转动惯量的三个因素
(1)刚体自身的性质如质量、大小和形状；
(2)质量的分布； (质量分布越靠近边缘转动惯量越大) (3)转轴的位置。（同一个刚体对不同的轴转动惯量不同） 5 平行轴定理和转动惯量的可加性 1） 平行轴定理
设刚体相对于通过质心轴线的转动惯量为Ic ，相对于与之平行的另一轴的转动惯量为I ，则可以证明I 与Ic 之间有下列关系 2c I I md =+ 2）转动惯量的可加性
对同一转轴而言，物体各部分转动惯量之和 等于整个物体的转动惯量。
例6质量m ，长为l 的均匀细棒，求对于通过质心的垂直轴的转动惯量Jc 和通
2
c I I m
d =+
过端点a 的垂直轴的转动惯量J.
解：建立如图坐标Ox
2
2222
2
2
112
l l c l l m J x dm x dx ml l
++
--
=
=
=
?
?
由平行轴定理有
2
2211
1223a l J ml m ml ??=+= ???
2
c 1
2I mR =2c 12
I mR =
如果刚体偏心转动，转轴通过半径的中点且垂直于盘面。求盘对此轴的转动惯量I 。
解：题给两平行轴之间的距离
1
2
d R =
2
c I I m
d =+得刚体绕偏心轴的转动惯量
22213
()224
R I mR m mR =
+=由平行轴定理
例 3-2 如图所示，一圆盘状刚体的半径为 R ，质量为 m ，且均匀分布。
它对过质心并且垂直于盘面的转轴的转动惯量用Ic 表示。 例3-3 如图所示，某装置由均质细杆和均质圆盘构成。杆的质量为 ，长 L 。
杆对O 轴的转动惯量 2
111
3
I m L =1
m
圆盘质量是 ，半径为R 。，得知它对过质心C 且垂直于盘面的转轴的转动
惯量为 2
m 22c 21
2I m R
=求此装置对轴O 的转动惯量I 。 x
三、刚体绕定轴转动的动能定理 1 刚体绕定轴转动的转动动能
2 动能定理
合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。
刚体作为一个特殊的质点系，此质点系的动能定理为
21
e k k A E E =-2
1
2 2
2 111d θωω22
θM I I =
-? θ
刚体定轴转动的动能定理
解：已知杆对轴O 的转动惯量
盘对轴C 的转动惯量
22c 21
2
I m R =
由平行轴定理得盘对轴O 的转动惯量
22c 2(I I m R L =++2221
(2
m R m R L =
++由转动惯量的可加性，得整个装置对轴 O 222
1212211
()32
I I I m L m R m R L =+=+++2111
3
I m L =
222
2k 111222
i i i i i i E m v m r I ωω
===∑∑V V 由于刚体的大小、形状不变，其上任何两质点间没有相对位移。即：
i 0
A =