习题1 解答
1．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。
()1x a t y b t cos ,sin ==
()
2x t y t z t 3sin ,4sin ,3cos ===
解： ()1r a ti b tj cos sin =+，其图形是xOy 平面上之椭圆。
()2r ti tj tk 3sin 4sin 3cos =++，其图形是平面430x y -=与圆柱面
2223x z +=之交线，为一椭圆。
2．设有定圆O 与动圆c ，半径均为a ，动圆在定圆外相切而滚动，求动圆上一定点M 所描曲线的矢量方程。
解：设M 点的矢径为OM r xi yj ==+u u u u r ，AOC θ∠=，CM u u u r
与x 轴的夹角为
2θπ-；因OM OC CM =+u u u u r u u u r u u u u r
有
()()r xi yj a i a j a i a j θθθπθπ2cos 2sin cos 2sin 2=+=++-+-
则
.2sin sin 2,2cos cos 2θθθθa a y a a x -=-=
故j a a i a a r )2sin sin 2()2cos cos 2(θθθθ-+-=
4．求曲线3
2
3
2,,t z t y t x =
==的一个切向单位矢量τ。 解：曲线的矢量方程为k t j t ti r 3
2
3
2+
+= 则其切向矢量为k t tj i dt
dr 2
22++= 模为24221441||
t t t dt
dr
+=++= 于是切向单位矢量为2
22122||/t k
t tj i dt dr dt dr +++=
6．求曲线x a t y a t z a t 2
sin ,sin 2,cos ,===在t π
4
=
处的一个切向矢量。
解：曲线矢量方程为
r a ti a tj a tk 2sin sin2cos =++
切向矢量为r
a ti a tj a tk t
τd sin22cos2sin d =
=+- 在t π
4
=
处，t r ai a
k t
π
τ4
d d =
=
=- 7.求曲线t t z t y t x 62,34,12
2
-=-=+= 在对应于2=t 的点M 处的切线方程和法平面方程。
解：由题意得),4,5,5(-M 曲线矢量方程为,)62()34()1(22k t t j t i t r -+-++=
在2=t 的点M 处，切向矢量k j i k t j ti dt
dr t t 244])64(42[22
++=-++==
==τ
于是切线方程为
1
4
2525,244545+=-=-+=-=-z y x z y x 即 于是法平面方程为0)4()5(2)5(2=++-+-z y x ，即 01622=-++z y x
8．求曲线r ti t j t k 2
3
=++上的这样的点，使该点的切线平行于平面x y z 24++=。 解：曲线切向矢量为dr
i tj t k dt
τ223=
=++， ⑴ 平面的法矢量为n i j k 2=++，由题知
()
()i tj t k n i k t t j τ221432230=+?++?+++==
得t 1
1,3
=--
。将此依次代入⑴式，得k j i k j i t t 27
19131|
,|3
11-+-=-+-=-
=-=ττ
故所求点为()11
11,11,,,3927??---
- ???
习题2 解答
1．说出下列数量场所在的空间区域，并求出其等值面。
()1u Ax By Cz D
1
;=
+++
()2u arc
=
解：()1场所在的空间区域是除Ax By Cz D 0+++=外的空间。 等值面为
01
11
1=-+++=+++C D Cz By Ax C D Cz By Ax 或为任意常数）（01≠C ，这是与平
面Ax By Cz D 0+++=平行的空间。
()2场所在的空间区域是除原点以外的z x y 222≤+的点所组成的空间部分。
等值面为)0(,sin )(2
2
2
2
2
2
≠++=y x c y x z ，
当c sin 0≠时，是顶点在坐标原点的一族圆锥面（除顶点外）； 当c sin 0=时，是除原点外的xOy 平面。
2．求数量场x y u z
22
+=经过点()M 1,1,2的等值面方程。
解：经过点()M 1,1,2等值面方程为
x y u z 2222
1112
++===，
即z x y 2
2
=+，是除去原点的旋转抛物面。
3．已知数量场u xy =，求场中与直线x y 240+-=相切的等值线方程。 解：设切点为()
x y 00,，等值面方程为xy c x y 00==，因相切，则斜率为 2
1
00-=-
=x y k ，即002y x = 点()
x y 00,在所给直线上，有
x y 00240+-=
解之得y x 001,2== 故2=xy
4．求矢量2
2
2
A xy i x yj zy k =++的矢量线方程。
解 矢量线满足的微分方程为 A dr 0?=， 或
dx dy dz
xy x y zy 222
== 有.,
z
dz x dx ydy xdx == 解之得),(,
212122为任意常数C C x
C z C y x ??
?==- 5.求矢量场zk y x j y i x A )(2
2
+++=通过点M )1,1,2(的矢量线方程。 解 矢量线满足的微分方程为
.)(2
2z y x dz
y
dy x dx +== 由
12
21
1C y x y
dy x dx +==得， 按等比定理有
,)()(2
2z y x dz
y
x y x d +=--即.)(z dz y x y x d =--解得.2z C y x =- 故矢量线方程为?????=-+=z
C y x C y x 21,
1
1又)1,1,2(M 求得1,2121=-=C C
故所求矢量线方程为.21
11??
???=--
=z y x y x
习题3 解答
1．求数量场23
2
2u x z y z =+在点()2,0,1M -处沿l xi xy j z k 2
4
23=-+的方向导
数。
解：因()
M
M
l
xi xy j z k i k 242343=-+=+，其方向余弦为
.5
3cos ,0cos ,54cos ===
γβα 在点)1,0,2(-M 处有
,1223,04,422223=+=??==??-==??y z x z
u
yz y u xz x u 所以
4125
3
00)4(54=?+?+-?=??l u
2．求数量场2
2
3u x z xy z =-+在点()1,1,1M -处沿曲线2
3
,,x t y t z t ==-=朝t
增大一方的方向导数。
解：所求方向导数，等于函数u 在该点处沿曲线上同一方向的切线方向导数。曲线上点M 所对应的参数为1=t ,从而在点M 处沿所取方向，曲线的切向方向导数为
33,
22,
11
2
1
==-=-====t M
t M
M
t dt
dz t
dt
dy dt
dx ，
其方向余弦为.14
3cos ,14
2cos ,14
1cos =-
==
γβα
又
5)
23(,
1,
7)6(2=+=??-=-=??=-=??M
M
M M
M M
z x z
u x y
u y xz x
u 。
于是所求方向导数为
14241435142)1(1417)cos cos cos (
=?+-?-+?=??+??+??=??M
M
z u y u x u l
u γβα
3．求数量场2
3
u x yz =在点()2,1,1M -处沿哪个方向的方向导数最大？ 解： 因
()u
u l u l
θ0grad grad cos ?=?=?， 当θ0=时，方向导数最大。
,
1244)
32()(
u grad 22323k j i k yz x j z x i xyz k z u j y u i x u M
M
M +--=++=??+??+??=
即函数u 沿梯度k j i M 1244u grad +--=方向的方向导数最大 最大值为114176u
grad ==M
。
4.画出平面场)(2122y x u -=
中2,2
3
,1,21,0=u 的等值线，并画出场在)2,2(1M 与点)7,3(2M 处的梯度矢量，看其是否符合下面事实：
（1）梯度在等值线较密处的模较大，在较稀处的模较小；
（2）在每一点处，梯度垂直于该点的等值线，并指向u 增大的方向。
解：所述等值线的方程为：,
4,3,2,
1,0222
2
2
2
2222=-=-=-=-=-y x y x y x y x y x 其中第一个又可以写为
0,0=+=-y x y x 为二直线，其余的都是以Ox 轴为实轴的等轴双曲线
（如下图,
图中,u grad 1
1M G =
,u grad 2
2M G =）
由于,u yj xi grad -= 故
,22u grad 1
j i M -=
,73u grad 2
j i M -=
由图可见，其图形都符合所论之事实。
5．用以下二法求数量场u xy yz zx =++在点()1,2,3P 处沿其矢径方向的方向导数。
()1 直接应用方向导数公式；
()2 作为梯度在该方向上的投影。
解：()1点P 的矢径,32k j i r ++=其模.14=r 其方向余弦为
.14
3cos ,14
2cos ,14
1cos =
=
=
γβα又
3)(,
4)(,
5)(=+=??=+=??=+=??P P
P P
P P
y x z
u z x y
u z y x
u
所以
。
14221433142414
15)cos cos cos (
=?
+?
+?
=??+??+??=??P P
z u y u x u l u γβα
()2,345)(
u
grad k j i k z u
j y u i x u P
P
++=??+??+??=
.14
31421410
k j i r r r ++==
故
。
14
2214
3314
2414
15u grad 0=
?
+?
+?
=?=??r l
u P P
6，求数量场z y x xy z y x u 623322
2
2
--++++=在点)0,0,0(O 与点)1,1,1(A 处梯度的大小和方向余弦。又问在哪些点上梯度为0？
解：,)66()24(32u k z j x y i y x grad -+-++++=
）（ ,036u grad ,623u grad k j i k j i A O ++=--=
其模依次为：53036,7)6()2(3222222=++=-+-+ 于是O u grad 的方向余弦为.76
cos ,72cos ,73cos -=-==
γβα A u grad 的方向余弦为.0cos ,5
1cos ,5
2cos ==
=
γβα
求使0u =grad 之点，即求坐标满足???
??=-=-+=++066,024,032z x y y x 之点，由此解得
1,1,2==-=z y x 故所求之点为).1,1,2(-
7．通过梯度求曲面422
=+xz y x 上一点)3,2,1(-M 处的法线方程。 解：所给曲面可视为数量场xz y x u 22
+=的一张等值面，因此，场u 在点
M 处的梯度，就是曲面在该点的法矢量，即
,222)22(u grad 2
k j i xk j x i z xy M
M ++=+++=
故所求的法线方程为
.2
3
1221-=+=-z y x
8．求数量场2
2
352u x y z =+-在点()1,1,3M 处等值面朝Oz 轴正向一方的法线方
向导数
u
n
??。
解：因u u u u i j k xi yj k x y z
grad 6102???=
++=+-??? u
i j k M
grad 6102=+-
梯度与z 夹角为钝角，所以沿等值面朝Oz 轴正向一方的法线方向导数为
u
u n
grad ?=-=-? 习题 4
1.设S 为上半球面),0(2
2
2
2
≥=++z a z y x 求矢量场zk yj xi r ++=向上穿过S 的通量Φ。【提示：注意S 的法矢量n 与r 同指向】 解：
.2232a a a dS a dS r dS r dS r S
S
S
n S
ππ=?====?=Φ????????
2.设S 为曲面),0(2
2
2
2
h z a z y x ≤≤=++求流速场k z y x v )(++=在单位时间内下侧穿S 的流量Q 。
解：
,)()(22????+++-=++=D
S
dxdy y x y x dxdy z y x Q 其中D 为S 在xOy 面上的投
影区域：.2
2
h y
x ≤+用极坐标计算，有??
++-=D
rdrd r r r Q θθθ)sin cos (2
?
??-=++-=++-=π
ππθθθθθθ20
223
32220
.
2
1
]43)sin [(cos )sin cos (h d h h dr r r r d h 3.设S 是锥面22y x z +=
在平面4=z 的下方部分，求矢量场zk yzj xzi A 34++=向
下穿出S 的通量Φ。
解：略
4.求下面矢量场A 的散度。
（1）;)()()(3
2
3
k xy z j xz y i yz x A +++++= （2）;)2()3()32(k x y j z x i y z A -+-+-=
（3）.)cos ()sin 1(j y y x i x y A +++= 解：（1）2
2
323 A d iv z y x ++= （2）0 A div =
（3）1sin cos A div +-=y x x y
5.求 A div 在给定点处的值：（1）处；在点)1,0,1(M A 3
3
3
-++=k z j y i x （2）处；在点)3,1,1(M 24A 2
k z xyj xi +-= （3）处；在点)2,3,1(M )(A zk yj xi r xyzr ++== 解：（1）6)333( A div 2
2
2
=++=M
M z y x
（2）8)224( A div =+-=M M z x
（3）r (xyz)r xyzdiv A div ?+=grad )()(3zk yj xi xyk xzj yzi xyz ++?+++=
xyz 6=， 故366 A div ==M M xyz 。
6.已知,2,232yzk xzj i x A z xy u -+==求(uA) div 。 解：= A div y x 22-
k z xy j xyz i z y u grad 2233232 ++=
故=(uA) div A u grad A udiv ?+
)2)(32()22(2
2
2
3
3
2
3
2
yzk xzj i x k z xy j xyz i z y y x z xy -++++-= 3
3
4
2
3
2
2
3
3
2
3
2
2
6222z xy yz x z y x z y x z y x -++-= .2834
2
3
3
2
3
2
2
yz x z y x z y x +-= 7．求矢量场A 从内穿出所给闭曲面S 的通量Φ： （1）;,2
2
2
2
3
3
3
a z y x S k z j y i x A =++++=为球面
（2）.1,)()()(22
2222=+++-++-++-=c
z b y a x S k y x z j x z y i z y x A 为椭球面
解：（1）?????Ω
=?=Φ AdV div dS A s
???Ω
++=
dV z y x )(32
22
其中Ω为S 所围之球域2
222a z y x ≤++今用极坐标
θ?θ?θcos ,sin sin ,cos sin r z r y r x ===计算，有
5
20
004
2
25
12sin 3sin 3a dr r d d d drd r r a πθθ??θθπ
π
==?=Φ?
?????Ω
（2）?????Ω
=?=
ΦS dS A AdV div ???Ω=?==abc abc dV ππ434
33。 习题五
1． 求一质点在力场xk zj yi F +--=的作用下沿闭曲线,sin ,cos :t a y t a x l ==
)cos 1(t a z -=从π20==t t 到运动一周时所做的功。
解：功??+--=?=l
l
xdz zdy ydx dl F W
[]
d t t t a t t a t a
?+--=
π
20
2222
sin cos cos )cos 1(sin
220
2
2)sin cos cos 1(a dt t t t a
ππ
=+-=?
2.求矢量场)(为常数C Ck xj yi A ++-=沿下列曲线的环量： （1）圆周0,2
2
2
==+z R y x ； （2）圆周0,)2(2
2
2
==+-z R y x 。
解：（1）令θcos R x =，则圆周0,2
2
2
==+z R y x 的方程成为
0,sin ,cos ===z R y R x θθ，于是环量
.2)cos sin (2
20
2
22??
?=+=++-=?=
Γl
l
R d R R Cdz xdy ydx dl A πθθθπ
（2）令θcos 2R x =-，则圆周0,)2(2
2
2
==+-z R y x 的方程成为
0,sin ,2cos ==+=z R y R x θθ，于是环量
??
?++=++-=?=
Γl
l
d R R R Cdz xdy ydx dl A θθθθπ
20
22]cos )2cos (sin [
220
22)cos 2(R d R R πθθπ
=+=
?
3.用以下两种方法求矢量场k x y z j z x y i y z x A )()()(-+-+-=在点M （1,2,3）处沿方向k j i n 22++=的环量面密度。 （1）直接应用环量面密度的计算公式； （2）作为旋度在该方向上的投影。 解：（1）,3
2
32310k j i n n n ++==
故n 的方向余弦为.32cos ,32cos ,31cos ===γβα
又)(),(),(x y z R z x y Q y z x P -=-=-=根据公式，环量面密度
M y x x z z y M
n
P Q R P Q R ]cos )(cos )(cos )[(γβαμ-+-+-=
3
19
363835]32)(32)(31)[(=++=+++++=M y x z x y z
(2),345])()()[( A M k j i k y x j z x i y z rot M ++=+++++=于是
)323231()345( A 0M k j i k j i n rot M
n
++?++=?=μ
3
19
363835=++=
4．用雅可比矩阵求下列矢量场的散度和旋度。 （1）;2)()3(2
3
2
xyzk j xz y i z y x A +-++= （2）;2
2
2
k xy j zx i yz A ++= （3）.)()()(k z R j y Q i x P A ++=
解：（1）,2222313622
2??
???
??
???--=xy xz
yz xz y z
x xy DA 故有
,)38(236 A div 2y y x xy y xy +=++=
=
A rot .)3()21(42
2k x z j yz xzi +--+ （2）,020220222??
?
???????=xy y x xz
yz z DA 故有= A div ,0000=++ = A rot .)2()2()2(k z x z j y z y i x y x -+-+-
（3）,)(000)(0
00)('''??
?
???????=z R y Q x P DA 故有= A div ).()()('''z R y Q x P ++ = A rot 0。
5.已知,,222k y j x i z A e u xyz ++==求uA. rot 解：A u rot ?+=u grad rotA uA ,
,020002200
???
???????=y x z DA 有,222 A xk zj yi rot ++=),222(rotA
xk zj yi e u xyz ++=
),(u grad xyk xzj yzi e xyz ++=A
?u grad ],)()()[(3232322
2
2
k xz yz x j z y xyz i y x z xy e y x z xy xz yz k
j i e xyz xyz -+-+-== ])2()2()2[(uA 323232k xz yz x x j z y xyz z i y x z xy y e rot xyz -++-++-+=
6.已知,4,232
2
k i x B xyk j z yi A -=++=求B).(A ?rot
解：.2)12(84
2322322
2k z x j y y x i z x xy z y
k
j i
B A -++-=-=? ,4040123160
)(2232??
?
??
??
?
??--+-=?z x xz x y
x z B A D 故有.3)4(43)164(0B)(A 2
2
2
yk x j xz z yk x j z xz i rot +-=+-+=? 习题
六
1.证明下列矢量场为有势场，并用公式法和不定积分法求其势函数。 （1）;sin cos cos zk xyj x xyi y A ++=
（2）.)sin cos 2()sin cos 2(2
2
j y x x y i x y y x A -+-= 解：（1）记.sin ,cos ,cos z R xy x Q xy y P ===
则0)]sin (cos )sin [(cos 00 A =---++=??
????
=
k xy xy xy xy xy xy j i R
Q P z y x k j i rot 所以A 为有势场。下面用两种方法求势函数v ：
01公式法：10
),,()0,,()0,0,(C dz z y x R dy y x Q dx x P v x y z
+---=???
10
sin cos 0C zdz xydy x dx z
y x
+---
=???
.sin cos 1cos sin 01C xy z C z xy +-=+-+-=
02不定积分法：因势函数v 满足v grad A -=，即有
,sin ,cos ,cos z v xy x v xy y v z y x -=-=-=
将第一个方程对x 积分，得),,(sin z y xy v ?+-=
对y 求导，得),(cos '
z y xy x v y y ?+-=，与第二个方程比较，知
,0),('=z y y ?于是),(),(z z y ψ?=从而).(sin z xy v ψ+-=
再对z 求导，得),('z v z ψ=与第三个方程比较，知z z sin )('
-=ψ，故.cos )(C z z +=ψ
所以.sin cos C xy z v +-=
（2）记.0,sin cos 2,sin cos 22
2
=-=-=R y x x y Q x y y x P 则
0)]sin 2sin 2()sin 2sin 2[(00 A =-----++=??
????
=
k x y y x y x x y j i R
Q P z y x k j i rot 所以A 为有势场。下面用两种方法求势函数v ：
1公式法：C dz z y x R dy y x Q dx x P v x y z
+---=???0
),,()0,,()0,0,(
C dz dy y x x y xdx z
y x
+----
=???
200)sin cos 2(2
.cos cos cos cos 2
2
2
2
2
2
C y x x y C x y x x y x +--=++---=
02不定积分法：因势函数v 满足v grad A -=，即有
,0,sin cos 2,sin cos 222=+-=+-=z y x v y x x y v x y y x v
将第一个方程对x 积分，得),,(cos cos 2
2z y x y y x v ?+--=
对y 求导，得),(cos 2sin '2z y x y y x v y y ?+-=，与第二个方程比较，知
,0),('=z y y ?于是),(),(z z y ψ?=从而).(cos cos 22z y y x v ψ+--=
再对z 求导，得),('z v z ψ=与第三个方程比较，知0)('
=z ψ，故.)(C z =ψ
所以.cos cos 2
2C x y y x v +--=
2.下列矢量场A 是否保守场？若是，计算曲线积分dl A l
?
：
（1）k y xz j z x i z xy A )3()3()6(2
22-+-++=，l 的起点为),1,0,4(A 终点为
);1,1,2(-B
（2）k z y x j yz xzi A )12(222
2
2
-+++=，l 的起点为),1,0,3(A 终点为).3,1,5(-B
解：（1）,61310636622???
??
???
??--=xz z x
z x
y DA 有,0)66()33()]1()1[( A 22=-+-+---=k x x j z z i rot 故A 为保守场。因此，存在
u dl A 的原函数?。按公式 ?
??++=x
y z
dz z y x R dy y x Q dx x P u 0
),,()0,,()0,0,(
,3)3(30320
20
2
yz xz y x dz y xz dy x dx z
y
x
-+=-++=
???
于是
7)3()1,1,2()
1,0,4(3
2=-+=-?B A l
yz xz y x dl A 。
（2）,24242020222
??????????=y yz x yz z
x z
DA 有,00)22()44( A =+-+-=k j x x i yz yz rot 故A 为保
守场。因此，存在u dl A 的原函数
?。按公式 ???---=x
y
z
dz z y x R dy y x Q dx x P u 0
),,()0,,()0,0,(
,)12(002220
220
z z y z x dz z y x dy dx z
y x
-+=-+++=
???
于是
.73)
()3,1,5()
1,0,3(2
22
=-+=-?B A l
z z y z x
dl A 。
3.求下列全微分的原函数u ：
（1）;)2()2()2(2
2
2
dz xy z dy xz y dx yz x du -+-+-= （2）.)46()63(3
2
2
2
dy y y x dx xy x du +++= 解：由公式C dz z y x R dy y x Q dx x P u x
y z
+++=?
??0
),,()0,,()0,0,(
（1）C dz xy z dy y dx x u x
y
z
+-++=?
??0
222)2(
C xyz z y
x
+-+
+
=2313
13
133
3
C xyz z y
x
+-++=2)(313
3
3
；
（2）C y y x x C dy y y x dx x u x
y
+++=+++=
?
?42230
322
3)46(3。
9.证明矢量场k z y j z x y i y x A )62()24()2(-+++++=为调和场，并求其调和函数。
解：???
?
?
??-=62024
1012DA ，有0,6-42 A div =+=2)-(2 A =rot 0)11()00(=-+-+k j i 故A 为调和场。
其调和函数u 由公式C dz z y x R dy y x Q dx x P u x
y z
+++=
?
??0
),,()0,,()0,0,(
.322)62()4(22220
00
C z yz xy y x C dz z y dy x y xdx x
y
z +-+++=+-+++=
?
??
10.已知.,532433
3
2
,
2u y x y x z y z x u ?--++-=求【提示：) (u grad div u =?】 解：,)33()342()2126( 2
2
2
3
3
2
k z y x j x yz i y x xz u grad -+-+-+++=则
.62246) (23z y z xy z u grad div u --+==?
13.试证矢量场xj yi A 22--=为平面调和场，并且： （1）求出场的力函数u 和势函数v ；
（2）画出场的力线和等势线的示意图。 证：记,2,2x Q y P -=-=则有,000P A =+=??+??=
y
Q x div )y
P
-Q (
A ????=x rot ,00==k k 故A 为平面调和场。
（1）由公式，并取其中)0,0(),(00=y x ，则 势函数?
?+--=x
y
C dy y x Q dx x P v 0
),()0,(
,2200
C xy C xdy dx x
y +=++-
=?
?
力函数?
?++-=x
y
C dy y x P dx x Q u 0
0),()0,(
.220
0220?
?+-=+-=
x
y
C y x C ydy xdx
（2）分别令u 与v 等于常数，就得到 力线方程：12
2
C y x =- ，
等势线方程：2C xy = 二者均为双曲线族，但对称轴相差
4
π
角。如上图所示。 14.已知平面调和场的力函数xy y x u +-=2
2
，求场的势函数v 及场矢量A . 解：力函数u 与势函数v 之间满足以下关系：
v u
v u x y
y
x
-==,
由
,2y x u v x y +==有?++
=+=),(2
12)2(2
x y xy dy y x v ? 由此
)(2'
x y v x
?+=，又,2x y u v y x -=-=与前式相比可知,)('x x -=? 所以,21)(2C x x +-
=?故势函数.)(2
1
222C x y xy v +-+= 于是。场矢量.)2()2(v j y x i y x grad A +--=-= 习题 八
2． 计算下列曲线坐标系中的拉梅系数。
（1） 曲线坐标),,(z θξ，它与直角坐标),,(z y x 的关系是：
);0(,sin ,cos >===a z z ash y ach x θξθξ
（2）曲线坐标),,(z θρ，它与直角坐标),,(z y x 的关系是：
).,0,(,sin ,cos b a b a z z b y a x ≠>===θρθρ
解：（1）因曲线坐标系),,(z θξ是正交的，根据)0(,sin ,cos >===a z z ash y ach x θξθξ 有,sin cos θθξξθξd ach d ash dx -=
.,cos sin dz dz d ash d ach dy =+=θθξξθξ于是
22222222222))(sin cos (dz d d ch sh a dz dy dx +++=++θξθξθξ
2
2
2
2
2
2
))(cos (dz d d ch a ++-=θξθξ，故拉梅系数为：
θξθξ22cos -==ch a H H )1(=z H ，（或）θξ22sin +=sh a 。
（2）因曲线坐标系),,(z θρ不是正交的，故不能用上面的方法来求。 根据,,sin ,cos z z b y a x ===θρθρ按定义有
,sin cos )()()(
22222222θθρ
ρρρb a z
y x H +=??+??+??= ,cos sin )()()(
2222222222θρθρθθθθb a z
y x H +=??+??+??= ,1)()()(
2222=??+??+??=z
z
z y z x H z 由此得拉梅系数为： ,sin cos 2222θθρb a H +=,cos sin 2222θθρθb a H +=.1=z H