矢量分析与场论
习题1
1．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。
()1x a t y b t cos ,sin ==
()
2x t y t z t 3sin ,4sin ,3cos ===
解： ()1r a ti b tj cos sin =+，其图形是xOy 平面上之椭圆。
()2r ti tj tk 3sin 4sin 3cos =++，其图形是平面430x y -=与圆柱面
2223x z +=之交线，为一椭圆。
4．求曲线3
2
3
2,,t z t y t x =
==的一个切向单位矢量τ。 解：曲线的矢量方程为k t j t ti r 32
3
2+
+= 则其切向矢量为k t tj i dt
dr
222++= 模为24221441||t t t dt
dr
+=++= 于是切向单位矢量为2
22122||/t k
t tj i dt dr dt dr +++=
6．求曲线x a t y a t z a t 2
sin ,sin 2,cos ,===在t π
4
=
处的一个切向矢量。
解：曲线矢量方程为 r a ti a tj a tk 2sin sin2cos =++
切向矢量为r
a ti a tj a tk t
τd sin22cos2sin d ==+- 在t π
4
=
处，t r ai a
k t
π
τ4
d 2d 2
=
=
=- 7.求曲线t t z t y t x 62,34,12
2
-=-=+= 在对应于2=t 的点M 处的切线方程和法平面方程。
解：由题意得),4,5,5(-M 曲线矢量方程为,)62()34()1(22k t t j t i t r
-+-++=
在2=t 的点M 处，切向矢量k j i k t j ti dt
dr t t 244])64(42[22
++=-++==
==τ
于是切线方程为
1
4
2525,244545+=
-=-+=-=-z y x z y x 即 于是法平面方程为0)4()5(2)5(2=++-+-z y x ，即 01622=-++z y x
8．求曲线r ti t j t k 2
3
=++上的这样的点，使该点的切线平行于平面x y z 24++=。 解：曲线切向矢量为dr
i tj t k dt
τ223=
=++， ⑴ 平面的法矢量为n i j k 2=++，由题知
()
()i tj t k n i k t t j τ221432230=+?++?+++== 得t 1
1,3
=--
。将此依次代入⑴式，得k j i k j i t t 27
19131|
,|3
11-+-=-+-=-
=-=ττ
故所求点为()11
11,11,,,3927??---- ???
习题2
1．说出下列数量场所在的空间区域，并求出其等值面。
()1u Ax By Cz D
1
;=
+++
()2u arc
=
解：()1场所在的空间区域是除Ax By Cz D 0+++=外的空间。 等值面为
01
11
1=-+++=+++C D Cz By Ax C D Cz By Ax 或为任意常数）（01≠C ，这是与平
面Ax By Cz D 0+++=平行的空间。
()2场所在的空间区域是除原点以外的z x y 222≤+的点所组成的空间部分。
等值面为)0(,sin )(2
2
2
2
2
2
≠++=y x c y x z ，
当c sin 0≠时，是顶点在坐标原点的一族圆锥面（除顶点外）； 当c sin 0=时，是除原点外的xOy 平面。
2．求数量场x y u z
22+=经过点()M 1,1,2的等值面方程。
解：经过点()M 1,1,2等值面方程为
x y u z 2222
1112
++===，
即z x y 2
2
=+，是除去原点的旋转抛物面。
3．已知数量场u xy =，求场中与直线x y 240+-=相切的等值线方程。 解：设切点为()
x y 00,，等值面方程为xy c x y 00==，因相切，则斜率为 2
1
00-=-
=x y k ，即002y x = 点()
x y 00,在所给直线上，有
x y 00240+-=
解之得y x 001,2== 故2=xy
4．求矢量2
2
2
A xy i x yj zy k =++的矢量线方程。 解 矢量线满足的微分方程为
A dr 0?=， 或
dx dy dz
xy x y zy 222
== 有.,
z
dz x dx ydy xdx ==
解之得),(,
212122为任意常数C C x C z C y x ?
?
?==- 5.求矢量场zk y x j y i x A )(2
2
+++=通过点M )1,1,2(的矢量线方程。 解 矢量线满足的微分方程为
.)(2
2z y x dz
y
dy x dx +== 由
12
21
1C y x y
dy x dx +==得， 按等比定理有
,)()(22z
y x dz
y x y x d +=--即
.)(z dz y x y x d =--解得.2z C y x =- 故矢量线方程为?????=-+=z
C y x C y x 21,
1
1又)1,1,2(M 求得1,2121=-=C C
故所求矢量线方程为.21
11??
???=--
=z y x y x
习题3
1．求数量场23
2
2u x z y z =+在点()2,0,1M -处沿l xi xy j z k 2
4
23=-+的方
向导数。
解：因()
M
M
l
xi xy j z k i k 242343=-+=+，其方向余弦为
.5
3cos ,0cos ,54cos ===
γβα 在点)1,0,2(-M 处有
,1223,04,422223=+=??==??-==??y z x z
u
yz y u xz x u 所以
4125
3
00)4(54=?+?+-?=??l u 2．求数量场2
2
3u x z xy z =-+在点()1,1,1M -处沿曲线2
3
,,x t y t z t ==-=朝t 增大一方的方向导数。
解：所求方向导数，等于函数u 在该点处沿曲线上同一方向的切线方向导数。曲线上点
M 所对应的参数为1=t ,从而在点M 处沿所取方向，曲线的切向方向导数为
33,
22,
11
2
1
==-=-====t M
t M
M
t dt
dz t
dt
dy dt
dx ，
其方向余弦为.14
3cos ,14
2cos ,14
1cos =
-
==
γβα
又
5)
23(,
1,
7)6(2=+=??-=-=??=-=??M
M
M M
M M
z x z
u x y
u y xz x
u 。
于是所求方向导数为
14241435142)1(1417)cos cos cos (
=?+-?-+?=??+??+??=??M
M
z u y u x u l
u γβα
3．求数量场2
3
u x yz =在点()2,1,1M -处沿哪个方向的方向导数最大？ 解： 因
()u
u l u l
θ0grad grad cos ?=?=?， 当θ0=时，方向导数最大。
,
1244)
32()(
u grad 22323k j i k yz x j z x i xyz k z u j y u i x u M
M
M +--=++=??+??+??=
即函数u 沿梯度k j i M 1244u grad +--=方向的方向导数最大 最大值为114176u
grad ==M
。
4.画出平面场)(2122y x u -=
中2,2
3
,1,21,0=u 的等值线，并画出场在)2,2(1M 与点)7,3(2M 处的梯度矢量，看其是否符合下面事实：
（1）梯度在等值线较密处的模较大，在较稀处的模较小；
（2）在每一点处，梯度垂直于该点的等值线，并指向u 增大的方向。
解：所述等值线的方程为：,
4,3,2,
1,0222
2
2
2
2222=-=-=-=-=-y x y x y x y x y x 其中第一个又可以写为
0,0=+=-y x y x 为二直线，其余的都是以Ox 轴为实轴的等轴双曲线
（如下图,
图中,u grad 1
1M G =
,u grad 2
2M G =）
由于,u yj xi grad -= 故
,22u grad 1
j i M -=
,73u grad 2
j i M -=
由图可见，其图形都符合所论之事实。
5．用以下二法求数量场u xy yz zx =++在点()1,2,3P 处沿其矢径方向的方向导数。
()1 直接应用方向导数公式；
()2 作为梯度在该方向上的投影。
解：()1点P 的矢径,32k j i r ++=其模.14=r 其方向余弦为
.14
3cos ,14
2cos ,14
1cos =
=
=
γβα又
3)(,
4)(,
5)(=+=??=+=??=+=??P P
P P
P P
y x z
u z x y
u z y x
u
所以
。
14221433142414
15)cos cos cos (
=?
+?
+?
=??+??+??=??P P
z u y u x u l u γβα
()2,345)(
u
grad k j i k z u
j y u i x u P
P
++=??+??+??= .14
3
1421410
k j i r r r ++==
故
。
14
2214
3314
2414
15u grad 0=
?
+?
+?
=?=??r l
u P P