目录
毕业设计任务书 (Ⅰ)
开题报告 (Ⅱ)
指导教师审查意见 (Ⅲ)
评阅教师评语 (Ⅳ)
答辩会议记录 (Ⅴ)
中文摘要 (Ⅵ)
外文摘要 (Ⅶ)
1 前言 (1)
2 选题背景 (2)
2.1 题目类型及来源 (2)
2.2 研究目的和意义 (2)
2.3 国内外现状和发展趋势与研究的主攻方向 (2)
3 离散型随机变量的一些基本知识 (3)
3.1 随机变量与概率分布 (3)
3.2 离散型随机变量函数的概率分布 (5)
3.3 离散型随机变量的母函数 (6)
4 常见离散型随机变量的概率及其分布关系 (10)
4.1 常用离散型随机变量 (10)
4.2 常用离散型随机变量的关系 (12)
4.3 常见离散型随机变量的特殊性质 (14)
5 离散型随机变量的数字特征 (15)
5.1 公式法 (16)
5.2 随机变量分解法 (16)
5.3 母函数方法 (17)
6 几个常用离散分布的应用讨论 (19)
6.1 关于泊松分布及其应用 (19)
6.2 关于二项分布及其应用 (21)
参考文献 (22)
致谢 (23)
离散型随机变量的研究
前言
离散型随机变量的研究
1 前言
目前,概率统计理论进入其他自然科学领域的趋势还在不断发展.在社会科学领域 ,特别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问题,都大量采用概率统计方法.法国数学家拉普拉斯(Laplace)说对了:“生活中最重要的问题 , 其中绝大多数在实质上只是概率的问题.”英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾对概率论大加赞美：概率论是生活真正的领路人,如果没有对概率的某种估计, 那么我们就寸步难行,无所作为.
随机变量概念的引入是概率论发展史上的一次突破，它不仅在形式上使随机事件的表达形式简洁，而且还使变量、函数、积分等分析工具进入了概率论的理论研究之中，从而大大加快了概率论的发展进程.
随机变量在概率统计[1]研究中起着极其重要的作用，随机变量是用来描述随机现象的结果的一类特殊的变量，随机变量能够反映随机现象的共性，有关随机变量的结论可以应用到具有不同背景的实际问题中，随机变量是连接随机现象和实数空间的一座桥梁，它使得我们可以借助于有关实数的数学工具来研究随机现象的本质.
自18世纪以来，随机变量在得到不断的广泛应用的同时，也得到不断发展和完善，内容也越来越丰富，它直接联系着众多自然现象和实际问题，不断地提出或产生需要解决的新课题和新方法．它所面临的数学问题多样而复杂，不断地促进着许多相关数学分支的发展．
对于随机变量，我们最关心的问题是它取哪一些值，以及它以多大概率取这些值.因此从这个角度看离散型随机变量的概率分布律的计算就成了学习离散随机变量的主要计算课题. 关于离散随机变量，常见离散随机变量概率分布及其关系、离散随机变量的数字特征、离散随机变量的概率分布的母函数及其性质的研究都是当今研究的主要方面.在离散型中比较典型，也比较重要的概率分布律要属二项分布，泊松分布，超几何分布与几何分布了，它们在许多实际问题中也有应用到.
本文先介绍随机变量与概率分布的关系，然后给出几种常见的离散型随机变量的概率分布及其关系，介绍离散型随机变量的函数的一些性质，通过研究离散型随机变量的母函数来求它的数字特征及其其他问题，最后讨论离散型随机变量的一些应用研
离散型随机变量的研究
究.
通过研究离散型随机变量的一些常见性质以及它在某些方面的应用研究，来更深刻的学习它的一方面知识.基于此以突出它在数学教学中的重要意义以及未来发展中的重要影响.
2 选题背景
2.1 题目类型及来源
题目类型：研究论文
题目来源：专题研究
2.2 研究目的和意义
随机变量在概率统计研究中起着极其重要的作用，随机变量是用来描述随机现象的结果的一类特殊的变量，随机变量能够反映随机现象的共性，有关随机变量的结论可以应用到具有不同背景的实际问题中，随机变量是连接随机现象和实数空间的一座桥梁，它使得我们可以借助于有关实数的数学工具来研究随机现象的本质.而离散型随机变量是为随机变量中的一种，即研究的变量仅可能取有限个或可列个值，比如抛掷骰子出现的点数、射击命中的环数、产品检验中次品的件数等等，都是离散型随机变量研究的范畴．
通过研究也可以检验自己对专业理论知识的理解与掌握程度．锻炼自己综合运用所学知识分析问题，解决问题的能力．使自己具有良好的思想作风，顽强的学习毅力和实事求是的工作作风，培养自己综合运用所学理论知识和技能的能力．
2.3 国内外现状和发展趋势与研究的主攻方向
自18世纪以来，随机变量在得到不断的广泛应用的同时，也得到不断发展和完善，内容也越来越丰富，它直接联系着众多自然现象和实际问题，不断地提出或产生需要解决的新课题和新方法．它所面临的数学问题多样而复杂，不断地促进着许多相关数学分支的发展．
关于离散随机变量，常见离散随机变量概率分布及其关系、离散随机变量的数字特征、离散随机变量的概率分布的母函数及其性质的研究都是当今研究的主要方面.每个随机变量都有一个分布，不同随机变量可以有不同的分布，随机变量有千千万万
离散型随机变量的数字特征
个，但常用分布并不多，常用离散分布主要为二项分布、泊松分布、超几何分布、几何分布与负几何分布，其中二项分布，泊松分布以及超几何分布在现实生活中有比较广泛的应用,是当今国内外研究的主攻方向.另外多维随机变量也是当今研究的主要范畴.随机变量（random variable ）表示随机现象（在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象）各种结果的变量（一切可能的样本点），例如某一时间内公共汽车站等车乘客人数，电话交换台在一定时间内收到的呼叫次数等等，都是随机变量的实例．
随着社会文明的发展，我国与其它国家的文化交流沟通很全面，离散随机变量的研究方向基本上也是一致的，主要研究离散随机变量的概率分布关系及其母函数的特征性质，离散随机变量的分布列以及数字特征，离散随机变量的均值与方差，离散随机变量的数学期望等等.
3 离散型随机变量的一些基本知识
3.1 随机变量与概率分布
定义 1 定义在样本空间Ω上的实值函数()X X ω=称为随机变量，常用大写字母X,Y,Z 等表示随机变量，其取值用x,y,z 等表示.假如一个随机变量仅可能取有限个或可列个值，则称其为离散随机变量.假如一个随机变量的可能取值充满数轴上的一个区间（a,b ）,则称其为连续随机变量，其中a 可以是∞-,b 可以是∞.
概率分布是随机变量指X 小于任何已知实数x 的事件可以表示成的函数。用以表述随机变量取值的概率规律.描述不同类型的随机变量有不同的概率分布形式.是概率论的基本概念之一.
概率分布是概率论的一个概念,使用时可以有以下两种含义：
广义地，概率分布是指称随机变量的概率性质：当我们说概率空间 (Ω,F,P)中的两个随机变量X 和Y 具有同样的分布（或同分布）时，我们是无法用概率P 来区别他们的.换言之：称X 和Y 为同分布的随机变量，当且仅当对任意事件ΑF ∈，有
()()P X A P Y A ∈=∈成立.
但是，不能认为同分布的随机变量是相同的随机变量.事实上即使X 与Y 同分布，也可以没有任何点ω使得X(ω)=Y(ω).在这个意义下，可以把随机变量分类，每一类称作一个分布，其中的所有随机变量都同分布。用更简要的语言来说，同分布是一
离散型随机变量的研究
种等价关係，每一个等价类就是一个分布.需注意的是，通常谈到的二项分布，泊松分布，超几何分布，几何分布与负二项分布等，都是指各种类型的分布，而不能视作一个分布.
狭义地，它是指随机变量的概率分布函数.设X 是样本空间(Ω,F)上的随机变量，P 为概率测度，则称如下定义的函数是X 的分布函数（distribution function ），或称累积分布函数（cumulative distribution function ，简称CDF ）：()()x F a P X a =≤，对任意实数a 定义.
具有相同分布函数的随机变量一定是同分布的，因此可以用分布函数来描述一个分布，但更常用的描述手段是概率密度函数.
随机变量的概率分布列具有以下两点性质： (1)非负性 ()i p x 0,i 1,2,≥=.
(2) 正则性 1
i p(x )1i ∞
==∑.
对于特定的随机变量X ，其分布函数FX 是单调不减及右连续，而且
()()x x F 0,F 1∞∞-==.这些性质反过来也描述了所有可能成为分布函数的函数：
随机变量的分布
设P 为概率测度,X 为随机变量则函数
()()()F x P X x x R =≤∈
称为X 的概率分布函数.如果将X 看成是数轴上的随机点的坐标，那么，分布函数F(x)在x 处的函数值就表示X 落在区间(-∞,x]上的概率.
例如，设随机变量X 为掷两次骰子所得的点数差，而整个样本空间由36个元素组成，
数量
( i , j )∈ S
x P(X = x)
F(x)
6
( 1,1 )，( 2,2 )，( 3,3 ) ( 4,4 )，( 5,5 )，( 6,6 )
06/36 6/36 10 ( 1,2 )，( 2,3 ) ( 3,4 )，( 4,5 )，( 5,6 )
110/36
16/36
离散型随机变量的数字特征
( 2,1 )，( 3,2 )，( 4,3 ) ( 5,4 )，
( 6,5 )
8 ( 1,3 )，( 2,4 )，( 3,5 )
( 4,6 )，( 3,1 )，( 4,2 )
( 5,3 )，( 6,4 ) 28/36
24/3
6
6
( 1,4 )，( 2,5 )，( 3,6 ) ( 4,1 )，( 5,2 )，( 6,3 )
36/36 30/36
4 ( 1,
5 )，( 2,
6 ) ( 5,1 )，( 6,2 )
44/36
34/36
2 ( 1,6 )，( 6,1 )
52/36
36/36
3.2 离散型随机变量函数的概率分布
设y=g(x)是定义在直线上的一个函数，X 是一个随机变量，那么Y=g(X)作为X 的函数，同样也是一个随机变量.在实际问题中，我们经常感兴趣的问题是：已知随机变量X 的分布，如何求出另一个随机变量的Y=g(X)的分布. 描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率分布或分布律，即
,1,2,k k P X x p k ===（）
离散型随机变量的研究
设X 为随机变量，x 是任意实数，则函数
)()(x X P x F ≤=
称为随机变量X 的分布函数，本质上是一个累积函数.
)()()(a F b F b X a P -=≤<可以得到X 落入区间],(b a 的概率.分布函数)(x F
表示随机变量落入区间
]– x ∞（，内的概率. 分布函数具有如下性质：
1° ,1)(0≤≤x F +∞<<∞-x ；
2° )(x F 是单调不减的函数，即21x x <时，有 ≤)(1x F )(2x F ； 3° 0)(lim )(==-∞-∞
→x F F x ， 1)(lim )(==+∞+∞
→x F F x ；
4° )()0(x F x F =+，即)(x F 是右连续的； 5° )0()()(--==x F x F x X P . 对于离散型随机变量，∑≤=x
x k
k p
x F )(；
离散型随机变量的分布列为
()()
()
1
2n 1
2n x x x x x x X~p p p ?? ? ???
则其Y 的分布列为
()()
()
1
2n 12n x x x y y y Y~p p p ?? ? ???
当y 的取值中有某些值相等时，则把那些相等的值分别合并，并把对应的概率相加即可.
3.3 离散型随机变量的母函数
母函数在研究离散型随机变量的某些问题中，具有非常重大的作用.现给出母函数的定义.
定义 2 设X 是取非负整数值的随机变量，其分布律为{}k p P X k ==，对于
1s ≤，称0
()()k X k k G s p s E s ∞
===∑为该分布的母函数．例如，若~(,)X b n p ，则
离散型随机变量的数字特征
()()()n
k k
n k
n
n
k G s C ps q
q ps -===+∑；若)(~p Ge X ，则11
()1k k k ps
G s pq s qs
∞
-===
-∑； 若()X πλ∈，则(1)0
()!k
k
s k G s e s
e k λλλ∞
-
-==
=∑．
母函数的性质：
可以证明母函数有如下性质[2] ：
(1) 概率分布与母函数是一一对应的．因而对于概率分布的许多研究可以化为对其所对应的母函数的研究；
(2) 独立随机变量之和的母函数 若随机变量12,,,n X X X 相互独立，它们的母函
数分别为12(),(),
,()n G s G s G s ，则X =12n X X X ++
+的母函数为
()G s =12()()()n G s G s G s
特别当12,,
,n X X X 独立同分布时，1()()i G s G s =，这时 1()[()]n G s G s =；
（3）随机个随机变量之和的母函数 设12,,
,,
n X X X 是一串独立同分布的取非
负整数值的随机变量，其母函数为()g s ,随机变量Y 是取正整数值的，其母函数为
()G s ．若{}n X 与Y 独立，则Z =12Y X X X ++
+（若0Y =，则定义0Z =）的母函
数为()H s =[]()G g s ． 典型离散型随机变量的母函数 ⑴ 两点分布的母函数：()G z q pz =+ ⑵ 二项式分布的母函数：()()n
G z q pz =+ ⑶ 泊松分布（）：()()
λz 1G z e --=
⑷ 几何分布：()pz
G z 1qz
=
- 现在讲解几个母函数的应用 1 利用母函数求概率分布列
定理：设随机变量X 的母函数为()()0
X G S P S S 1k
k k ∞
==≤∑
离散型随机变量的研究
则X 的概率分布列为
()k
k x k s 0
1d p G s k!ds =??=??
??
证明：对()x G s 用幂级数展开，并逐项求导，可得
()()()k
m k x k m k m k 1
d G s k!p m m 1m k 1p s ds ∞--+=+--+∑在上式中令s 0=,有
()k X k
k S 0d G S k!p ds =??
=???? 因此
()k
k x k s 0
1d p G s k!ds =??=??
??
2 现在证明母函数的唯一性
证明：设随机变量的概率分布为{}k p ,随机变量的概率分布为{}k q ,它们的母函数
分别为()k
x k k 0
G s p s ∞==∑及()k
y k k 0
G s q s ∞
==∑
且()()x y G s G s =,因()()x y G s G s 和均为幂级数，且当s 1≤时该幂级数收敛，对
()()x y G s G s 和求导k 次，并令s 0=，则得 ()()()()k k k x y k k!p G 0G 0k!q === 因此得：k k p q ,k 0,1,2,==,即两个概率分布相同，由此可知，概率分布和母函数是
一一对应的.
3 利用母函数求均值
利用母函数可以求得相应的概率分布的的数字特征，若非负整值随机变量X 的母函数为
()0
k
X k G S P s k ∞
==∑
则其导数为
()1k 1x k d
G s kp s ds k ∞
-==∑
离散型随机变量的数字特征
上述级数至少在s 1<是收敛的，当随机变量X 的数学期望存在时，即
()1
k E X kp k ∞
==∑存在时，显然有()()x k s 11d G s kp E X ds k ∞
==??
==????∑.
4 利用母函数求方差
母函数()X G s 对s 求二阶导数，有
()()()2
2X k 1x 22s 1
d d G s k k 1p G s dx dx k ∞
==??=-=????∑因此X 的方差为：()()()()()2
22
2
X X x 2s 1s 1s 1d d d D X E X E X G s G s G s ds ds ds ---??????????=-=+-???????????????
???????
现在举出几个母函数求期望与方差的例子
① 计算二项分布随机变量的母函数、数学期望和方差
解：若随机变量服从二项分布，则有[]()k k n k
k n p P X k C p q k 0,1,2,
n -====
因此其母函数为
()0k
x k G s P s k ∞
==∑
()()n
n
k k n n 0
k k
x G s C p q
s q ps k =-==+∑其一、二阶导数为()()()()()2n 1n 2
2x x 2d d G s n q ps p G s n n 1q ps p ds ds
--=+=-+ X 的数学期望为
[]()()n 1
x s 1d E X G s |n q p p np ds --=
=+=
()()()()2n 222x s 12d G s |n n 1q p p n n 1p ds --=-+=-
X 的方差为
[]()()()2
2x s 1x s 1x s 12d d d D X [G s ][G s ][G s ]ds ds ds ---?-+?=??
??
()()2
2n n 1p np np npq
=-+-=
离散型随机变量的研究
② 计算泊松分布随机变量的母函数、数学期望和方差 解：若随机变量X 服从泊松分布，则
[]k λ
k λp P X k e k!
-===因此其母函数为
()()()k
k
λs 1
λk λλλs X 00
λs λG S e s e e e e k!k!k k ∞
∞
==----====∑∑
()()()()2
λs 1λs 12x x 2d d G s λe G s λe ds ds --==
X 的数学期望为
[]()()
λs 1x s 1s 1d E X G s |e λλds ---??=
==??
()()2λs 122x s 12s 1
d G s |λ
e λds ---??==??
X 的方差为
[]()()()2
2x s 1x s 1x s 12d d d D X G s ]G s ][G s ]ds ds ds ---????=+-??
?????? 22λλλλ=+-=
综上所言为离散型随机变量的母函数的一些性质及用来解决问题的方法.
4 常见离散型随机变量的概率及其分布关系
4.1 常用离散型随机变量
常用离散型随机变量大致有七种：
（1） 0-1分布或两点分布：),1(~p b X ，两点分布也成为伯努利分布，是超几何分布的特殊情况，当伯努利试验成功，令伯努利随机变量为1，若伯努利试验失败，令伯努利随机变量为0；
（2）二项分布：~(,)X b n p ，二项分布即重复的n 次独立的伯努利试验，在每次试验中只有两种可能的结果，且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生于否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列才、试验总称为n 重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布就是伯努利分布；
常见离散型随机变量的概率及其分布关系
（3）几何分布：)
Ge
X，在n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的~p
(
机率，详细的说，是：前k-1次皆失败，第k次成功的概率；
（4）巴斯卡分布或负二项分布：~(,)
X Nb r p，满足其分布要有以下条件：实验包含一系列独立的实验，每个实验都有成功、失败两种结果，成功的概率是恒定的，实验持续到r次成功，r为正整数；
（5）泊松分布：
Xπλ，泊松分布中只有一个参数，它是泊松分布的均值，
~()
也
是泊松分布的方差，关于泊松分布，接下会有详细的讨论；
（6）超几何分布：~(,,)
X h n M N，它描述了由有限个物件中抽出n个物件，成功抽出指定种类的物件的次数；
（7）多项分布，是二项式分布的推广.
它们的关系图如下
图 1 基于贝努利试验的结构图
离散型随机变量的研究
这些随机变量的最大特点是它们的取值是非负整数，因此引入母函数便于处理．因为母函数是幂级数，具有许多良好的性质，所以母函数是研究取非负整数值随机变量的有效工具.
4.2 常用离散型随机变量的关系
它们具有以下关系： 1 极限关系
(1)设(,)n X b n p ∈，当n 较大时, 由棣莫佛-拉普拉斯定理, 二项分布可用正态分布逼近,
(0,1)N ；
(2) 当n 较大、p 较小, 且np 不大时, 二项分布可用泊松分布逼近, 即
(;,)!
k
b k n p e k λλ-≈
，其中np λ=；
(3) 当N 很大而n 较小时, 超几何分布可用二项分布近似，即
()(;,)h k b k n p ≈, 其中M p N
=
． 2 随机变量之和的关系 (1) 设12,,
,n X X X 独立同分布于0-1分布, 则1
(,)n
i i X X b n p ==∈∑；
实际上，由于12,,,n X X X 独立同分布于0-1分布，i X 的母函数为()q ps +，
由母函数的性质（2），1
n
i i X X ==∑的母函数为()()n G s q ps =+．与二项分布
的母函数相同，故(,)X b n p ∈． (2) 设12,,
,r X X X 独立同分布于几何分布, 则1(,)r
i i X X Nb r p ==∈∑；
证明与（1）类似．这时X 的母函数为()1r
ps G s qs ??
= ?-??
．
（3 在超几何分布的产生背景中，将抽取n 件产品分解为抽取n 次，每次一
常见离散型随机变量的概率及其分布关系
件．令i X 表示第i 次抽取的次品数(1)i n ≤≤，显然i X 服从0-1分布，
{}1i P X ==M N {},01i M P X N ==-．这时1
n
i i X X ==∑~(,,)h n M N ； 不过要注意这里的12,,,n X X X 不是相互独立的[3]．
（4） 设12,,
,,
n X X X 是独立同分布于0-1分布的随机变量序列，()Y πλ∈，
且与{}n X 相互独立，则12Y Z X X X =++
+()p πλ∈；
这个结果可以从母函数[](1)(1)()()q ps p s H s G g s e e λλ+--===得到验证. （5）设12,,
,,n X X X 是独立同分布于参数为1p 的几何分布的随机变量序
列，2()Y Ge p ∈，且与{}n X 相互独立，则12Y Z X X X =+++12()Ge p p ∈．
这个结果可以从母函数[]1212()()1(1)p p s
H s G g s p p s
==--得到验证.
3 特殊关系
(1) 二项分布(,)b n p 中, 取1n =, 即为0-1分布； (2) 巴斯卡分布中, 取1r =, 即为几何分布； （3）多项分布中，取2r =, 即为二项分布；
（4）若12(),()X Y πλπλ∈∈, 且,X Y 相互独立，则1
12(,
)X X Y b n λλλ+∈+．
即{}1
12
(;,
)P X k X Y n b k n λλλ=+==+，说明了泊松分布与二项分布的关系[4]；
（5）若~(,)X Nb r p , 则{}1(;,)1r k r r k r k k r r P X k p q p q b r k p r r k k ---????==== ? ?-????，
这说明了二项分布与巴斯卡分布之间的关系[5]； （6）设12,,
,n X X X 相互独立，且~(),1,2,
,i i X Ge p i n =, 则
11
min()(1(1))n
i i i n
i X X Ge p ≤≤==∈--∏．
证明：{}{}{}{}
111min()min()1min()i i i i n
i n
i n
P X k P X k P X k P X k ≤≤≤≤≤≤====>-->
几个重要的离散型随机变量的分布列 井 潇（鄂尔多斯市东胜区东联现代中学017000） 随着高中新课程标准在全国各地的逐步推行，新课标教材越来越受到人们的关注，新教材加强了对学生数学能力和数学应用意识的培养，而概率知识是现代公民应该具有的最基本的数学知识，掌握几种常见的离散型随机变量的分布列是新课标教材中对理科学生的最基本的要求，也是高考必考的内容，先结合新教材，具体谈一谈几个重要的离散型随机变量分布列及其简单的应用。 下面先了解几个概念: 随机变量:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量就叫随机变量.随机变量常用希腊字母,ξη等表示. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量就叫离散型随机变量. 离散型随机变量的分布列:一般地设离散型随机变量ξ可能取得值为 123,,,...,,...,i x x x x ξ取每一个值()1,2,3,...i x i =的概率()i i P x p ξ==,则称表 为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列. 由概率的性质可知,任一离散型随机变量的分布列都有以下两个性质 (1)0,1,2,3,...i P i ≥= (2)123...1P P P +++= 离散型随机变量在某个范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和. 一、 几何分布 在独立重复试验中，某事件第一次发生时所做试验的次数ξ是一个取值为正整数的离散型随机变量，“k ξ=”表示第k 次独立重复试验时事件第一次发生。如果把第k 次试验时事件A 发生记为k A 、事件A 不发生记为k A ，()() ,k k P A p P A q ==，那么 ()()1231...k k P k P A A A A A ξ-==，根据相互独立事件的概率的乘法公式得 ()()()()()()1231...k k P k P A P A P A P A P A ξ-==()11,2,3,...k q p k -==。 于是得到随机变量ξ的概率分布
离散型随机变量及其分布列第一课时 2.1.1离散型随机变量 教学目标：1、引导学生通过实例初步了解随机变量的作用，理解随机变量、离散型随机变量的概念．初步学会在实际问题中如何恰当地定义随机变量． 2、让学生体会用函数的观点研究随机现象的问题，体会用离散型随机变量思想 描述和分析某些随机现象的方法，树立用随机观念观察、分析问题的意识． 3、发展数学应用意识，提高数学学习的兴趣，树立学好数学的信心，逐步认识 数学的科学价值和应用价值． 教学重点：随机变量、离散型随机变量的概念，以及在实际问题中如何恰当的定义随机变量．教学难点：对引入随机变量目的的认识，了解什么样的随机变量便于研究． 教学方法：启发讲授式与问题探究式． 教学手段：多媒体 教学过程： 一、创设情境，引出随机变量 提出思考问题1：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1，2，3，4，5，6来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示？ 启发学生：掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但可以将结果于数字建立对应关系． 在让学生体会到掷骰子的结果与出现的点数有对应关系后，也能创造性地提出用数字表示掷一枚硬币的结果．比如可以用1表示正面向上的结果，用0表示反面向上的结果．也可以分别用1、2表示正面向上与反面向上的结果． 再提出思考问题2：一位篮球运动员3次罚球的得分结果可以用数字表示吗？ 让学生思考得出结论：投进零个球——— 0分 投进一个球——— 1分 投进两个球——— 2分 投进三个球——— 3分 得分结果可以用数字0、1、2、3表示． 二、探究发现 1、随机变量 问题1.1：任何随机试验的所有结果都可以用数字表示吗？ 引导学生从前面的例子归纳出：如果将实验结果与实数建立了对应关系，那么随机试验的结果就可以用数字表示．由于这个数字随着随机试验的不同结果而取不同的值，因此是个变量． 问题1.2：如果我们将上述变量称之为随机变量，你能否归纳出随机变量的概念？ 引导学生归纳随机变量的定义：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量． 随机变量常用字母X、Y、ξ、η来表示． 问题1．3：随机变量与函数有类似的地方吗？ 引导学生回顾函数的理解： 函数 实数实数 在引导学生类比函数的概念，提出对随机变量的理解：
常用离散型随机变量的分布函数 (1) 离散型随机变量 [1] 概念：设X 是一个随机变量，如果X 的取值是有限个或者 无穷可列个，则称X 为离散型随机变量。其相应的概 率()i i P X x p ==(12)i =、……称为X 的概率分 布或分布律，表格表示形式如下： [2] 性质： ? 0i p ≥ ?11n i i p ==∑ ?分布函数()i i x x F x p == ∑ ?1{}()()i i i P X x F x F x -==- (2) 连续型随机变量 [1] 概念：如果对于随机变量的分布函数()F x ，存在非 负的函数 ()f x ，使得对于任意实数x ，均有： ()()x F x f x dx -∞= ? 则称X 为连续型随机变量，()f x 称为概率密度函 数或者密度函数。
[2] 连续型随机变量的密度函数的性质 ?()0f x ≥ ? ()1f x dx +∞ -∞=? ?{}()()()P a X b F b F a f x dx +∞ -∞<≤=-= ? ?若()f x 在x 点连续，则()()F x f x '= (3) 连续型随机变量和离散型随机变量的区别： [1] 由连续型随机变量的定义，连续型随机变量的定义域是 (),-∞+∞，对于任何x ，000 {}()()0P X x F x F x ==--=；而对于离散型随机变量的分布函数有有限个或可列个间 断点，其图形呈阶梯形。 [2] 概率密度()f x 一定非负，但是可以大于1，而离散型随 机变量的概率分布i p 不仅非负，而且一定不大于1. [3] 连续型随机变量的分布函数是连续函数，因此X 取任何 给定值的概率都为0. [4] 对任意两个实数a b <，连续型随机变量X 在a 与b 之间 取值的概率与区间端点无关，即：
离散型随机变量的分布列 问题导学 一、随机变量的概念 活动与探究1 判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由． (1)北京国际机场候机厅中2014年5月1日的旅客数量； (2)2014年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数； (3)2014年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间； (4)体积为1 000 cm3的球半径长． 迁移与应用 1．下列变量中，不是随机变量的是() A．2016年奥运会上中国取得的金牌数 B．每一年从地球上消失的动物种数 C．2008年奥运会上中国取得的金牌数 D．某人投篮6次投中的次数 2．将一枚均匀骰子掷两次，随机变量为() A．第一次出现的点数 B．第二次出现的点数 C．两次出现的点数之和 D．两次出现相同点的种数 在一次随机试验中，随机变量的取值实质是随机试验的结果所对应的数，且这个数所有可能的取值是预先知道的，但不知道究竟会出现哪一个值，这便是“随机”的本源． 二、离散型随机变量的判定 活动与探究2 指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由． (1)湖南矮寨大桥桥面一侧每隔30米有一路灯，将所有路灯进行编号，其中某一路灯的编号X； (2)在一次数学竞赛中，设一、二、三等奖，小明同学参加竞赛获得的奖次X； (3)一天内气温的变化值X； (4)丁俊辉在2012世锦赛中每局所得的分数X． 迁移与应用 1．下面给出四个随机变量： ①高速公路上某收费站在未来1小时内经过的车辆数X； ②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y； ③某网站未来1小时的点击量； ④某人一生中的身高X． 其中是离散型随机变量的序号为() A．①②B．③④C．①③D．②④ 2．下列随机变量中不是离散型随机变量的是__________． ①某地车展中，预订各类汽车的总人数X； ②北京故宫某周内每天接待的游客人数； ③正弦曲线上的点P到x轴的距离X；
《离散型随机变量》教案3 教学内容： 人教版数学高中选修2—3《离散型随机变量》 教学目标： 理解取值有限的离散型随机变量 教学重点： 理解取值有限的离散型随机变量 教学过程 一、复习引入： 1．随机事件及其概率：在每次试验的结果中，如果某事件一定发生，则称为必然事件，记为U；相反，如果某事件一定不发生，则称为不可能事件,记为φ. 随机试验 为了研究随机现象的统计规律性，我们把各种科学实验和对事物的观测统称为试验．如果试验具有下述特点： （1）试验可以在相同条件下重复进行； （2）每次试验的所有可能结果都是明确可知的，并且不止一个； （3）每次试验之前不能预知将会出现哪一个结果，则称这种试验为随机试验简称试验。 2．样本空间: 样本点 在相同的条件下重复地进行试验,虽然每次试验的结果中所有可能发生的事件是可以明确知道的,并且其中必有且仅有一个事件发生,但是在试验之前却无法预知究意哪一个事件将在试验的结果中发生.试验的结果中每一个可能发生的事件叫做试验的样本点,通常用字母ω表示. 样本空间: 试验的所有样本点ω1，ω2，ω3，…构成的集合叫做样本空间,通常用字母Ω表示,于是,我们有Ω={ω1，ω2，ω3，… } 3.古典概型的特征： 古典概型的随机试验具有下面两个特征： （1）有限性.只有有限多个不同的基本事件; （2）等可能性.每个基本事件出现的可能性相等. 概率的古典定义
在古典概型中，如果基本事件的总数为n，事件Ａ所包含的基本事件个数为ｒ （），则定义事件Ａ的概率为.即 二、讲解新课： 1、随机变量的概念 随机变量是概率论的重要概念，把随机试验的结果数量化可使我们对随机试验有更清晰的了解，还可借助更多的数学知识对其进行深入研究． 有的试验结果本身已具数值意义，如产品抽样检查时的废品数，而有些虽本无数值意义但可用某种方式与数值联系，如抛硬币时规定出现徽花时用1表示，出现字时用0表示．这些数值因试验结果的不确定而带有随机性，因此也就称为随机变量． 2、随机变量的定义： 如果对于试验的样本空间中的每一个样本点，变量都有一个确定的实数值与 之对应，则变量是样本点的实函数，记作．我们称这样的变量为随机变量． 3、若随机变量只能取有限个数值或可列无穷多个数值 则称为离散随机变量，在高中阶段我们只研究随机变量取有限个数值的情形 三、例子 例1．随机变量为抛掷两枚硬币时徽花向上的硬币数，求的可能取值 解：的可能取值为0,1,2. 例2．某射手有五发子弹，射一次命中率为0.9，若命中了就停止射击，若不命中就一直射到子弹耗尽.求随机变量的可能取值 例3．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果 (1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ； (2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η 解：(1) ξ可取3，4，5 ξ=3，表示取出的3个球的编号为1，2，3； ξ=4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4； ξ=5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3或3，4，5
离散型随机变量及其分布 知识点一：离散型随机变量的相关概念； 随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机 变量随机变量常用希腊字母、等表示 离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随 机变量叫做离散型随机变量。若 是随机变量， a b ，其中a 、b 是常数，则 也 是随机变量 连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的 变量就叫做连续型随机变量 离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变 量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列 出，而连续性随机变量的结果不可以 --------------------- 列出 离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量可能取的值为X i 、X 2 X i 取每一 个值X i i 1,2, 的概率为P( X ) p ，贝U 称表 为随机变量的概率分布，简称的分布列 知识点二：离散型随机变量分布列的两个性质； 任何随机事件发生的概率都满足:0 P(A) 1,并且不可能事件的概率为0，必然事 件的概率为 1.由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： (1) P i 0, i 1,2, ; (2) RP.L 1 特别提醒：对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的 概率的和即P( 知识点二：两点分布： 若随机变量X 的分布列: 特别提醒：(1) 若随机变量X 的分布列为两点分布，则称X 服从两点分布，而称P(X=1为成 功 率? (2) 两点分布又称为0-1分布或伯努利分布 ⑶两点分布列的应用十分广泛，如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是 否为正 品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等等；都可以用两点分布列 来研究? 知识点三：超几何分布： 一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则 C k C n k X k ) P( X k ) P( X k 1) L 则称X 的分布列为两点分布列
目录 毕业设计任务书 (Ⅰ) 开题报告 (Ⅱ) 指导教师审查意见 (Ⅲ) 评阅教师评语 (Ⅳ) 答辩会议记录 (Ⅴ) 中文摘要 (Ⅵ) 外文摘要 (Ⅶ) 1 前言 (1) 2 选题背景 (2) 2.1 题目类型及来源 (2) 2.2 研究目的和意义 (2) 2.3 国内外现状和发展趋势与研究的主攻方向 (2) 3 离散型随机变量的一些基本知识 (3) 3.1 随机变量与概率分布 (3) 3.2 离散型随机变量函数的概率分布 (5) 3.3 离散型随机变量的母函数 (6) 4 常见离散型随机变量的概率及其分布关系 (10) 4.1 常用离散型随机变量 (10) 4.2 常用离散型随机变量的关系 (12) 4.3 常见离散型随机变量的特殊性质 (14) 5 离散型随机变量的数字特征 (15) 5.1 公式法 (16) 5.2 随机变量分解法 (16) 5.3 母函数方法 (17) 6 几个常用离散分布的应用讨论 (19) 6.1 关于泊松分布及其应用 (19) 6.2 关于二项分布及其应用 (21) 参考文献 (22) 致谢 (23)
离散型随机变量的研究
前言 离散型随机变量的研究 1 前言 目前,概率统计理论进入其他自然科学领域的趋势还在不断发展.在社会科学领域 ,特别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问题,都大量采用概率统计方法.法国数学家拉普拉斯(Laplace)说对了:“生活中最重要的问题 , 其中绝大多数在实质上只是概率的问题.”英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾对概率论大加赞美：概率论是生活真正的领路人,如果没有对概率的某种估计, 那么我们就寸步难行,无所作为. 随机变量概念的引入是概率论发展史上的一次突破，它不仅在形式上使随机事件的表达形式简洁，而且还使变量、函数、积分等分析工具进入了概率论的理论研究之中，从而大大加快了概率论的发展进程. 随机变量在概率统计[1]研究中起着极其重要的作用，随机变量是用来描述随机现象的结果的一类特殊的变量，随机变量能够反映随机现象的共性，有关随机变量的结论可以应用到具有不同背景的实际问题中，随机变量是连接随机现象和实数空间的一座桥梁，它使得我们可以借助于有关实数的数学工具来研究随机现象的本质. 自18世纪以来，随机变量在得到不断的广泛应用的同时，也得到不断发展和完善，内容也越来越丰富，它直接联系着众多自然现象和实际问题，不断地提出或产生需要解决的新课题和新方法．它所面临的数学问题多样而复杂，不断地促进着许多相关数学分支的发展． 对于随机变量，我们最关心的问题是它取哪一些值，以及它以多大概率取这些值.因此从这个角度看离散型随机变量的概率分布律的计算就成了学习离散随机变量的主要计算课题. 关于离散随机变量，常见离散随机变量概率分布及其关系、离散随机变量的数字特征、离散随机变量的概率分布的母函数及其性质的研究都是当今研究的主要方面.在离散型中比较典型，也比较重要的概率分布律要属二项分布，泊松分布，超几何分布与几何分布了，它们在许多实际问题中也有应用到. 本文先介绍随机变量与概率分布的关系，然后给出几种常见的离散型随机变量的概率分布及其关系，介绍离散型随机变量的函数的一些性质，通过研究离散型随机变量的母函数来求它的数字特征及其其他问题，最后讨论离散型随机变量的一些应用研
离散型随机变量及其分布 知识点一：离散型随机变量的相关概念； 随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示 离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。若ξ是随机变量，a b ηξ=+，其中a 、b 是常数，则η也是随机变量 连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出 离散型随机变量的分布列:设离散型随机变量ξ可能取的值为12i x x x ??????、ξ取每一个值()1,2,i x i =???的概率为()i i P x p ξ==，则称表 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 知识点二：离散型随机变量分布列的两个性质； 任何随机事件发生的概率都满足:0()1P A ≤≤，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： (1) 01,2,i p i ≥=???，；12(2) 1P P ++ = 特别提醒：对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的 概率的和即1()()()k k k P x P x P x ξξξ+≥==+=+ 知识点二：两点分布： 若随机变量X 的分布列: 则称 X 的分布列为两点分布列. 特别提醒：(1)若随机变量X 的分布列为两点分布, 则称X 服从两点分布,而称P(X=1) 为成功率. (2)两点分布又称为0-1分布或伯努利分布 (3)两点分布列的应用十分广泛,如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是 否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等等；都可以用两点分布列来研究. 知识点三：超几何分布： 一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则
2． 1．1离散型随机变量 教学目标： 知识目标：1.理解随机变量的意义； 2.学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散性随机变量 的例子； 3.理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量. 能力目标：发展抽象、概括能力，提高实际解决问题的能力. 情感目标：学会合作探讨，体验成功，提高学习数学的兴趣. 教学重点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义 教学难点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义 授课类型：新授课 教具：多媒体、实物投影仪 第一课时 思考1：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1 , 2 ，3，4，5，6来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？ 掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但我们可以用数1和0分别表示正面向上和反面向上（图2.1一1 ) . 在掷骰子和掷硬币的随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．定义1：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量（random variable )．随机变量常 用字母X , Y，ξ，η，…表示． 思考2：随机变量和函数有类似的地方吗？ 随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数．在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域． 例如，在含有10件次品的100 件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数X 将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量，其值域是｛0, 1, 2 , 3, 4 } . 利用随机变量可以表达一些事件．例如{X=0｝表示“抽出0件次品”, {X =4｝表示“抽出4件次品”等．你能说出｛X< 3 ｝在这里表示什么事件吗？“抽出 3 件以上次品”又如何用X 表示呢？ 定义2：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量( discrete random variable ) . 离散型随机变量的例子很多．例如某人射击一次可能命中的环数X 是一个离散型随机
“离散型随机变量”的教学设计 一、内容和内容解析 “随机变量及其分布”一章的主要内容就是要通过具体实例，帮助学生理解取有限值的离散型随机变量及其分布列、均值、方差的概念，理解超几何分布和二项分布的概型并能解决简单的实际问题，使学生认识分布列对于刻画随机现象的重要性，认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，了解条件概率和两个事件相互独立的概念。 “离散型随机变量”是这一章的开门课。因此，在本节课中，让学生了解本章的主要内容及其研究该内容所用的数学思想方法，对学生明确学习目标和学习任务，提高他们的求知欲望，激发他们的学习兴趣非常重要。于是，本节课的第一个教学任务就是要做好章头图的教学。教材的章头图从实例和图形两个方面展示了本章要学习的内容，一个是离散型随机变量的产生背景和分布列的条形图，另一个是正态分布的背景和正态分布密度曲线。教学时要充分地运用章头图的这两个背景，通过问题的形式，帮助学生明确本章要学习的主要内容和意义。 对于一个随机现象，就是要了解它所有可能出现的结果和每一个结果出现的概率。对于随机试验，只要了解了它可能出现的结果，以及每一个结果发生的概率，也就基本把握了它的统计规律。为了使用数学工具研究随机现象，需要用数字描述随机现象，建立起连接数和随机现象的桥梁——随机变量。随机变量能够反映随机现象的共性，有关随机变量的结论可以应用到具有不同背景的实际问题中。而高中阶段主要研究的是有限的离散型的随机变量，因此，本节课的第二个教学任务就是通过具体实例，帮助学生掌握随机变量和离散型随机变量的概念，理解它们的意义和作用，能对一个随机试验的结果，用一个随机变量表示，并能确定其取值范围。 二、目标和目标解析 1.了解本章学习的内容和意义。具体要求为： （1）通过章头图中给出的射击运动的情景，帮会学生了解，在射击运动中，每次射击的成绩是一个非常典型的随机事件。在这个离散型的随机事件中，如何刻画每个运用员射击的技术水平与特点？如何比较两个运动员的射击水平？如何选拔运动员参加比赛获胜的概率大？这些问题的解决需要离散型随机变量的概率分布、均值、方差等有关知识； （2）通过章头图中给出的高尔顿板游戏情景，帮助学生了解在这样一个连续型的随机事件的游戏活动中，小球落在哪个槽中的可能性更大？槽中的小球最后会堆积成什么形状？这些问题与本章将要学习的正态分布有关； （3）在上述两个情景的基础上，通过问题的形式，帮助学生提出本章要研究的问题和基本思想：随机事件形形色色，随机现象表现各异，但如果舍弃具体背景，它们就会呈现出一些共性；如果把随机试验的结果数量化，用随机变量表示试验结果，就可以用数学工具来研究这些随机现象。这样不仅阐述了本章的主要内容，而且激发了学生的学习兴趣，使他们明确本章的学习目标以及研究本章内容的数学思想方法。 2.理解随机变量和离散型随机变量的描述性定义，以及随机变量与函数的关系，能够把一个随机试验的结果用随机变量表示，能够根据所关心的问题定义一个随机变量。具体要求是： （1）在对具体问题的分析过程中，帮助学生理解用随机变量表示随机试验结果的意义和作用：为了使用数学工具研究随机现象，需要用数字描述随机现象，建立起连接数和随机现象的桥梁——随机变量，掌握随机变量的描述性概念，了解随机变量与函数的关系，构造随机变量应当注意的问题（如随机变量应该有实际意义、应该尽量简单，以便于研究），以及用随机变量表示随机事件的方法等；
第 22卷第1期2019年1月 高等数学研究 STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS Vol.22,No. 1Jan. , 2019 doi ： 10. 3969/j. issn. 1008-1399. 2019. 01. 033 图解常用离散型随机变量 杨夜茜 (同济大学数学科学学院，上海200092) 摘要在 概 率论的学习中，一个重要章节就是常用的离散型随机变量的学习.离 散 型随机变量包括伯努利分布， 二项分布，泊松分布，几何分布，超几何分布和负二项 分布等等.在本文中，首先借 助时间流的图形表达，从伯努利 试验次数和成功次数角度 区分其中的一些常用变量；其次通过一个流程图的方式柢理这些常用的离散型随 机 变量 的定义.本文的目的在于，基于常规的离散型随机变量的分布律等介绍之余，首次尝试从不同的比较汇总角度，借 助图表方法对常用的离散型 随 机 变量进行梳理和总结 ，起 到 区 分 变 量 的 差 异 ，加 强对常用离散型随机变量概念 的 理 解 . 关键词 常 用 离 散 型 随 机 变 量 ；伯 努 利 试 验 次 数 ；成 功 次 数 ；时 间 流 ；流 程 图 中图分类号 0211 文献标识码 A 文章编号 1008-1399(2019)01 -0118-03 Explanation of Discrete Random Variable by Diagrams Y A N G Xiaohan (School of Mathematics Science, Tongji University, Shanghai 200092, China) Abstract This paper uses time flows and flow charts to describe discrete random variables , such as Ber - n o u lli , Binom ial , Poisson , Geometric , and Negative Binomial variables , based on two key points ： number of tria ls , and number of successes . Keywords discrete random variable,num ber of tria ls , number of successes,time flo w , flo w chart i 引言 关于常用的离散型随机变量，它们的定义、分 布律、概率、期望和方差等，在教科书或者是文献 中，已经有非常明确的定义[1_3].在笔者多年的教学 中发现，学生在学习这些随机变量的时候，通常会 出现计算题准确率很高，但涉及定义的问题回答模 糊.因此在本文中，不重复介绍离散型随机变量的 分布律等，尝试从不同的比较和汇总的角度借助图 表方法对这些常用的离散型随机变量进行梳理.在 文献[4]中，George C asella 给出了随机变量间的关 系图，描述了大部分的离散型和连续型随机变量两 两变量之间的联系.与他的关系图侧重点不同，在 本文中，首次设计了两种图形表述方式：时间流和 收稿日期： 2017-12-19 修改日期=2018 -03 -13 作者简介：杨筱菡（1977 —），女，江苏，博士，副教授，概率统计， Email ：xiaohyang @tongji . edu . cn 流程图.时间流的图形很具象，简单明了切中随机 变量定义的关键点.而在自上而下的流程图中，通 过回答每一个是与否的简单问题而找到变量的归 属.这两种图形方式，能快速理清每个常用的离散 型随机变量的定义，区分不同变量概念上的差异， 加强对概念的理解. 注这里要特别说明的是，本文中提及的常用的 随机变量仅是在本科公共基础课程“概率论与数理 统计”中提及的常用离散型随机变量，它们只是常 用离散型随机变量中的一部分，并非全部，例如二 项分布的推广一多项分布等就不在此文讨论的范 围内. 2时间流区分法 通常常用的离散型随机变量总是从讲述伯努 利试验开始，伯努利试验是一类可重复、独立的试 验，且一次试验的样本空间只有两个样本点，6卩{成 功，失败}，有时把样本点“成功”描述为“事件A 发
-离散型随机变量
§2.1.1离散型随机变量 教材分析 本节内容是数学2-3 第二章随机变量及其分布列的起始课，对后续内容的学习起着奠基的作用.是在学习了数学3第二章统计和第三章概率的知识后，对概率与统计内容的再学习，可以看作是对前面学习过的两章内容的应用和加深.要求能够理解随机变量及离散型随机变量的含义.本课题的重难点是随机变量、离散型随机变量的含义通过大量举出身边的实例，可以很好地帮助学生理解分随机变量、离散型随机变量的含义，要求学生有意识地运用概率与统计的视角，观察生活中的有关现象，为后续内容的学习作好积累上的准备. 课时分配 本节内容用1课时的时间完成，主要讲随机变量、离散型随机变量的含义. 教学目标 重点: 随机变量、离散型随机变量的含义 难点：随机变量、离散型随机变量的含义 知识点： 1.理解随机变量的意义； 2.学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散性随机变量的例子； 3.理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量. 能力点：发展抽象、概括能力，提高实际解决问题的能力.. 教育点：学会合作探讨，体验成功，提高学习数学的兴趣. 自主探究点：如何运用离散型随机变量的概念解释生活中的有关现象. 考试点：随机变量、离散型随机变量的含义. 易错易混点：随机变量与函数的区别. 拓展点：离散型随机变量的取值及其相应概率的特点. 教具准备多媒体、实物投影仪 课堂模式学案导学
一、引入新课 思考：掷一枚骰子，出现正面向上的点数共有几种不同的数字？能否用这些数值表示相应结果呢？ 答：共有6中，可以用1 , 2 ，3，4，5，6来表示相应结果 思考：那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？ 答：掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果 虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但我们可以用数1和 0分别表示正面向上和反面向上： 正面向上——1； 反面向上——0 师总结：在掷骰子和掷硬币的随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化这种随着试验结果的变化而变化的变量我们称为随机变量——引出随机变量的定义： 二、探究新知 （一）随机变量 随机变量的定义：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量（random variable ) 随机变量常用字母 X , Y，ξ，η，…表示 师举例：例如，在含有10件次品的100 件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数X 将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量，其值域是｛0, 1, 2 , 3, 4 } . 生举例：1； 2；
离散型随机变量的均值与方差、正态分布 一、选择题、填空题 1．已知随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2 )，P (ξ≤4)＝，则P (ξ≤－2)＝( ) A ． B ． C ． D ． 2．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为 c ，a 、b 、c ∈(0,1)，且无其他得分情况，已知他投篮一次得分的数学期望为1， 则ab 的最大值为 ( ) 3．某种种子每粒发芽的概率都为，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( ) A ．100 B ．200 C ．300 D ．400 4．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为： 则q 等于( ) A ．1 B ．1±22 C ．1－22 D ．1＋22 5．随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝k )＝ c k ?k ＋1?，k ＝1,2,3,4，其中c 是常数，则P (12 4．常见离散型随机变量的分布列 (1>两点分布像 这样的分布列叫做两点分布列． 如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从分布，而称p＝P(X＝1> 为成功概率． (2>超几何分布列 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为 P(X＝k>＝错误!，k＝0,1,2，…，m， 其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.称分布列为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布. 1设离散型随机变量X 求：(1>2X＋1的分布列； (2>|X－1|的分布列． 【思路启迪】利用p i≥0，且所有概率之和为1，求m；求2X＋1的值及其分布列；求|X－1|的值及其分布列． 【解】由分布列的性质知： 0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3. 首先列表为： 4 9 3 则常数c＝________，P(X＝1>＝________.X的所有可能取值x i(i＝1,2，…，>； (2>求出取各值x i的概率P(X＝x i>；(3>列表，求出分布列后要注意应用性质检验所求的结果是否准确．常用类型有：(1>由统计数据求离散型随机变量的分布列，关键是由统计数据利用事件发生的频率近似表示该事件的概率，由统计数据得到的分布列可以帮助我们更好地理解分布列的作用和意义．(2>由古典概型来求随机变量的分布列，这时需利用排列、组合求概率．(3>由相互独立事件同时发生的概率求分布列无 论是何种类型，都需要深刻理解随机变量的含义及概率分布．3.(2018年福建>受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下： (1>从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率； (2>若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2，分别求X 1，X 2的分布列；(3>该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，因为资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．【解】(1>设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A ，则P (A >＝错误!＝错误!.(2>依题意得，X 1的分布列为 X 2的分布列为 (3>由(2>得，E (X 1>＝1×错误!＋2× 错误!＋3×错误!＝2.86(万元>， E (X 2>＝1.8×错误!＋2.9×错误!＝2.79(万元>．因为E (X 1>>E (X 2>，所以应生产甲品牌轿车． 4.(2018年湖南>某商店试销某种商品20天，获得如下数据： 试销结束后(2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1>求当天商店不进货的概率； (2>记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期望． 解：(1>P (“当天商店不进货”>＝P (“当天商品销售量为0件”>＋P (“当天商品销售量为1件”> ＝错误!＋错误!＝错误!. (2>由题意知，X 的可能取值为2,3. P (X ＝2>＝P (“当天商品销售量为1件”>＝错误!＝错误!；P (X ＝3>＝P (“当天商品销售量为0件”>＋P (“当天商品销售量为2件”>＋P (“当天商品销售量为3件”>＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!.故X 的分布列为 常见随机事件的概率与分布列示例 1、耗用子弹数的分布列 例 某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数ξ的分布列． 分析：确定ξ取哪些值以及各值所代表的随机事件概率，分布列即获得． 解：本题要求我们给出耗用子弹数ξ的概率分布列．我们知道只有5发子弹，所以ξ的取值只有1，2，3，4，5．当1=ξ时，即9.0)1(==ξP ；当2=ξ时，要求第一次没射中，第二次射中，故09.09.01.0)2(=?==ξP ；同理，3=ξ时，要求前两次没有射中，第三次射中，009.09.01.0)3(2=?==ξP ；类似地，0009.09.01.0)4(3=?==ξP ；第5次射击不同，只要前四次射不中，都要射第5发子弹，也不考虑是否射中，所以41.0)5(==ξP ，所以耗用子弹数ξ的分布列为： 说明：搞清5=ξ的含义，防止这步出错．5=ξ时，可分两种情况：一是前4发都没射中，恰第5发射中，概率为0.14×0.9；二是这5发都没射中，概率为0.15，所以， 5 41.09.01.0)5(+?==ξP ．当然， 5 =ξ还有一种算法：即 0001.0)0009.0009.009.09.0(1)5(=+++-==ξP ． 2、独立重复试验某事件发生偶数次的概率 例 如果在一次试验中，某事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，这件事A 发生偶数次的概率为________． 分 析 ： 发 生 事 件 A 的 次 数 () p n B ,~ξ，所以， ),,2,1,0,1(,)(n k p q q p C k p k n k k n =-===-ξ其中的k 取偶数0，2，4，…时，为二项式 n q p )(+ 展开式的奇数项的和，由此入手，可获结论． 常用离散型随机变量的分布函数 一、离散型随机变量： （1）概念：设X 是一个随机变量，如果X 的取值是有限个或者无穷可列个，则称X 为离散型随机变量。 其相应的概率()i i P X x p ==(12)i =、……称为X 的概率分布或分布列，表格表示形式如下： （2）性质：?0i p ≥ ?1 1n i i p ==∑ ?分布函数()i i x x F x p == ∑ ?1{}()()i i i P X x F x F x -==- 二、连续型随机变量： （1）概念：如果对于随机变量的分布函数()F x ，存在非负的函数()f x ，使得对于任意实数x ，均有： ()()x F x f x dx -∞ = ? 则称X 为连续型随机变量，()f x 称为概率密度函数或者密度函数。 （2）连续型随机变量的密度函数的性质：?()0f x ≥ ? ()1f x dx +∞ -∞ =? ?{}()()()P a X b F b F a f x dx +∞ -∞ <≤=-= ? ?若()f x 在x 点连续，则()()F x f x '= 三、连续型随机变量和离散型随机变量的区别： (1)由连续型随机变量的定义，连续型随机变量的定义域是(),-∞+∞，对于任何x ，000{}()()0P X x F x F x ==--=； 而对于离散型随机变量的分布函数有有限个或可列个间断点，其图形呈阶梯形。 (2)概率密度()f x 一定非负，但是可以大于1，而离散型随机变量的概率分布i p 不仅非负，而且一定不大于1. (3)连续型随机变量的分布函数是连续函数，因此X 取任何给定值的概率都为0. (4)对任意两个实数a b <，连续型随机变量X 在a 与b 之间取值的概率与区间端点无关，即： {}{}{}{}()() ()b a P a X b P a X b P a X b P a X b F b F a f x dx <<=≤≤=<≤=≤<=-= ? 即：{}{}()P X b P X b F x <=≤= 四、常用的离散型随机变量的分布函数： （1）0-1分布：如果离散型随机变量X 的概率分布为： 新乡医学院教案首页单位：计算机教研室 课程名称医药数理统计方法 授课题目 2.1 常见离散型随机变量的分布授课对象05级药学专业 时间分配超几何分布15分钟二项分布35分钟泊松分布30分钟 课时目标理解掌握常见离散型随机变量的分布函数 掌握两点分布、二项分布、泊松分布之间的联系与区别授课重点伯努利试验、二项分布、泊松分布 授课难点两点分布、二项分布、泊松分布之间的联系与区别 授课形式小班理论课 授课方法启发讲解 参考文献医药数理统计方法刘定远主编人民卫生出版社概率论与数理统计刘卫江主编清华大学出版社北京交通大学出版社 高等数学(第五版)同济大学编高等教育出版社 思考题二项分布和超几何分布有何联系？ 教研室主任及课程负责人签字教研室主任（签字）课程负责人（签字）年月日年月日 基 本 内 容 备 注 常见离散型随机变量的分布 一、超几何分布 例1 带活动门的小盒子里有采自同一巢的20只工蜂和10只雄蜂，现随机地放出5只作实验，表示X 放出的蜂中工蜂的只数，求X 的分布列。 解 X 1 2 3 4 5 P 052010530C C C 142010530C C C 232010530C C C 322010530C C C 412010530C C C 502010 5 30 C C C 定义 1 若随机变量X 的概率函数为 {} 0,1,2,,k n k M N M n N C C P X k k l C --?=== 其中N≥M>0,n≤N -M,l=min(M,n),则称X 服从参数为N,M,n 的超几何分布，记作X~H(N,M,n). 超几何分布的分布函数为()k n k M N M n k x N C C F x C --≤?=∑ 二、二项分布 1. Bernoulli 试验 只有两个可能结果的试验称为Bernoulli 试验。 例2 已知某药有效率为0.7，今用该药试治某病3例，X 表示治疗无效的人数，求X 的分布列。 解：X 可取0，1，2，3。 用A i 表示事件“第i 例治疗无效”,i=1,2,3.则()0.7i P A p == P{X=0}=33 123123()()()()(1)0.343P A A A P A P A P A p q ==-== P{X=1}=231312123()P A A A A A A A A A ++ 2231312123()()()30.441P A A A P A A A P A A A pq =++== P{X=2}=321121323()P A A A A A A A A A ++ 2321121323()()()30.189P A A A P A A A P A A A p q =++==常见离散型随机变量的分布列
常见离散型随机变量分布列示例
常用离散型和连续型随机变量
常见离散型随机变量的分布 (1)
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