归纳猜想型问题
令狐采学
考点一：猜想数式规律
通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。
1.（巴中）观察下面的单项式：a，-2a2，4a3，-8a4，…根据你
A．
37B．
35
C．
31
D．
39
3．（黔东南州）观察规律：1=12；1+3=22；1+3+5=32；
10．请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：
根据前面各式的规律，则6
+=
()__________________________________.
a b
考点二：猜想图形规律
根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中，以图形为载体的数字规律最为常见。猜
想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再
对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。1．（牡丹江）用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第n个图案中共有
小三角形的个数是
3n+4．
2．（娄底）如图，是用火柴棒拼成的图形，则第n个图形需2n+1根火柴
棒．
3．（江西）观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为
____________（用含n的代数式表示）．
4．（呼和浩特）如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，…，依此规律，第11个图案需____________根火柴．
5．（遂宁）为庆祝“六?一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律，摆第（n）图，需用火柴棒的根数为6n+2．
6．（深圳）如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形；…按这样的规律下去，第6幅图中有91个正方
形．
7. 如图所示，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5
个图形中所有正三角形的个数为_______．
8. 如图是一组有规律的图案，图案1是由4个组成的，图案
2是由7个组成的，那么图案3是由个组成的，依此，第n个图案是由个组成的．
9．(2015·重庆(B)，8，3分)下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图1中有2个黑色正方形，图2中有5个黑色正方形，图3中有8个黑色正方形，图4中有11个黑色正方形，…，依此规律，图11中黑色正方形的个数是()
A．32 B．29 C．28 D．26 10．(2015·重庆(A)，8，3分)下列图形中都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第1个图形中一共有6个小圆圈，第2个图形中一共有9个小圆圈，第3个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第7个图形中小圆圈的
个数为()
A．21 B．24 C．27 D．30
11. 将图1的正方形作如下操作：第1次分别连接对边中点如图
2，得到5个正方形；第2次将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形…，以此类推，第n次操作后，得到正方形的个数是．
12. 如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正
三角形镶嵌而成，第（1）个图案有4个三角形，第（2）个图案有7个三角形，第（3）个图案有10个三角形，…依此规律，第n个图案有个三角形（用含n的代数式表示）13．平移小菱形◇可以得到美丽的“中国结”图案，下面四个图案是由小菱形◇平移后得到的类似“中国结”的图案，按图中规律，第20个图案中，小菱形的个数是____________个．
14. 将一个面积为1的等边三角形挖去连结三边中点所组成的
三角形(如图1)后，继续挖去连结剩余各个三角形三边中点所成的三角形(如图2、图3)…如此进行挖下去，第4个图中，剩余图形的面积为________，那么第n(n为正整数)个图中，挖去的所有三角形的面积和为________(用含n的代数式表示)．
考点三:几何图形计算变化规律
随着数字或图形的变化，它原先的一些性质有的不会改变，有的则发生了变化，而且这种变化是有一定规律的。比如，在几
何图形按特定要求变化后，只要本质不变，通常的规律是“位置关系不改变，乘除乘方不改变，减变加法加变减，正号负号要互换”。这种规律可以作为猜想的一个参考依据。
P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2016=．
2．（黑龙江）已知等边三角形ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边三角形AB1C1，再以等边三角形AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边三角形AB2C2，再以等边三角形AB2C2的边B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边AB3C3；…，如此下去，这样得到的第n个等边三角形ABnCn的面积为）n．
3．（牡丹江）如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．连结对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC=60°．连结AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH 使∠HAE=60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是）n-1．
4．（六盘水）把边长为1的正方形纸片OABC放在直线m上，OA边在直线m上，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时，点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处，又将正方
形纸片AO1C1B1绕B1点，按顺时针方向旋转90°…，按上述方法经过4次旋转后，顶点O 经过的总路程为，经过61次旋转后，顶点O 经过的总
路程为．
5. 如图，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn ，yn)均在反比
例函数1y x
=（x>0）的图象上，若△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，△PnAn 1An 都是等腰直角三角形，斜边OA1，A1A2，A2A3，…，An 1An 都在x 轴上（n 是大于或等于2的正整数），则点P3的坐标是____________，点Pn 的坐标是___________．（用含n 的代数式表示）
6.二次函数223y x =的图象如图，点A0位于坐标原点，点A1，A2，
A3…An 在y 轴的正半轴上，点B1，B2，B3…Bn 在二次函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，C3…Cn 在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A0B1A1C1，四边形
A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3…四边形An-1BnAnCn 都是菱形，
∠A0B1A1=∠A1B2A2=∠A2B3A3…=∠An -1BnAn=60°，菱形An-1BnAnCn 的周长为．
7．(2015·浙江湖州，16，4分)已知正方形ABC1D1的边长为1，
延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3，(如图所示)，以此类推…，若A1C1＝2，过点A ，D2，D3，…D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是________．
8. 如图，将正△ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个
黑色菱形，这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小正三角
形，若m
n
＝
47
25
，则正△ABC的边长是________．
9. 设△ABC的面积为1，如图1将边BC，AC分别2等分，BE1，
AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图2将边BC，AC分别3等分，BE1，AD1相交于点O，△AOB的面积
记为S2；……，依此类推，则Sn可表示为__________（用含n的代数式表示，其中n为正整数）．
考点四：坐标系和表格中的规律
1．（聊城）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不
断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为_____________（用n表示）。
2．（抚顺）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是（-1，-1）、（0，2）、（2，0），点P在y轴上，且坐标为（0，-2）．点P关于点A的对称点为P1，点P1关于点B的对称点为P2，点P2关于点C的对称点为P3，点P3关于点A的对称点为P4，点P4关于点B的对称点为P5，点P5关于点C的对称点为P6，点P6关于点A的对称点为P7…，按此规律进行下去，则点P2016的坐标是_____________。
．
3.如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数
的点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1，0)，(2，0)，(2，
1)，(1，1)，(1，2)，(2，2)，…，根据这个规律，第2 016个
点的坐标为____________．
4．（湖州）将连续正整数按以下规律排列，则位于第7行第7列的数x是___________。
5．（恩施州）把奇数列成下表，根据表中数的排列规律，则上起第8行，左起第6列的数是____________。
6.如图，抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵
坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3，…，An．将抛物线y=x2沿直线l：y=x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点M1，M2，M3，…，Mn都在直线l：y=x上；②抛物线依次经过点A1，A2，A3，…，An．则顶点M2 016的坐标为（________，________）．
课后练习
考点一：猜想数式规律
1．(2015·湖北黄冈中学自主招生)两列数如下：
7，10，13，16，19，22，25，28，31…
7，11，15，19，23，27，31，35，39…
第1个相同的数是7，第10个相同的数是()
A ．115
B ．127
C ．139
D ．151
2．(2015·浙江宁波)一列数b0，b1，b2，…，具有下面的规律，
b2n ＋1＝bn ，b2n ＋2＝bn ＋bn ＋1，若b0＝1，则b2 015的值是()
A ．1
B ．6
C ．9
D ．19
3．(2015·山东德州)一组数1，1，2，x ，5，y ，…满足“从第
三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y 表示的数为()
A ．8
B ．9
C ．13
D ．15
4．(2013·山东日照)如图，下列各图形中的三个数之间均具有
相同的规律．根据此规律，图形中M 与m ，n 的关系是()
A ．M ＝mn
B ．M ＝n(m ＋1)
C ．M ＝mn ＋1
D ．M ＝m(n ＋1)
5．(2014·贵州毕节)观察下列一组数：14，39，516，725，936
…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数据的第n 个数是________．
6. 人民公园的侧门口有9级台阶，小聪一步只能上1级台阶或
2级台阶，小聪发现当台阶数分别为1级、2级、3级、4级、5级、6级、7级…逐渐增加时，上台阶的不同方法的种数依次为1、2、3、5、8、13、21…这就是著名的斐波那契数列．那么小聪上这9级台阶共有________种不同方法．
7．(2014·江苏扬州，18，3分)设a1，a2，…，a2 014是从1，0，
－1这三个数中取值的一列数，若
a1＋a2＋…＋a2 014＝69，(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a2 014＋1)2
＝4 001，则a1，a2，…，a2 014中为0的个数是________．
8. 数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想．
4＝2＋2； 12＝5＋7；
6＝3＋3； 14＝3＋11＝
7＋7；
8＝3＋5； 16＝3＋13＝5＋
11；
10＝3＋7＝5＋518＝5＋13＝7＋11；
…
通过这组等式，你发现的规律是_______________________________________（请用文字语言表达）．
9. 观察下列等式： 第一个等式：1223111221222a =
=-????；第二个等式：23234112322232a ==-????； 第三个等式：34345113423242a =
=-????；第四个等式：45456114524252a ==-????．
按上述规律，回答以下问题：
（1）用含n 的代数式表示第n 个等式：
n a =_______________=_________________________；
（2）式子12320a a a a ++++=…___________________．
10. 下面是一个按某种规律排列的数阵：
1
第1行
第2行
3 3行
4行 ……………………
根据数阵排列的规律，第n （n 是整数，且n>3）行从左向右数第n-2个数是______________．
考点二：猜想图形规律
1．(2015·广东深圳，9，4分)观察下列图形，它们是按一定规
律排列的，依照此规律，第5个图形有________个太阳．
2. 观察下列图形规律：当n=时，图形“●”的个数和“△”的个数相等．
3. 希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．例如：
他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是 ()
A ．289
B ．1 024
C ．1 225
D ．1 378
4. 如图，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各
行点数依次为2，4，6，…，2n ，…，请你探究出前n 行的点数和所满足的规律．若前n 行点数和为930，则n ＝()
A ．29
B ．30
C ．31
D ．32
5. 图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由
这样的小正方体木块叠放而成，那么图（2）中的小正方形有___________块；按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形，此时第七个图形中小正方体木块总数应是___________块．
6．（重庆）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1棵棋子，第②个图
形一共有6棵棋子，第③个图形一共有16棵棋子，…，则第⑥
个图形中棋子的颗数为()
A．51B．70C．76D．81
7．(2012·浙江丽水，10，3分)小明用棋子摆放图形来研究数的规律，图1中棋子围成三角形，其颗数3，6，9，12，…称为三角形数，类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是()
图1 图2
A．2 010 B．2 012 C．2 014 D．2 016 8．(2014·重庆，10，4分)下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形，…，依此规律，第五个图形中三角形的个数是()
A．22 B．24 C．26 D．28
9. 观察下列图形，它们是按一定的规律排列的，依照此规律，
第20个图形中的“★”有()
A．57个B．60个C．63个D．85个
10. 观察下列一组图形中点的个数，其中第一个图形中共有4
个点，第2个图形中共有10个点，第3个图形中共有19个点，…按此规律第6个图形中共有点的个数是()
A．38 B．46C．61 D．64
11. 如图，△ABC的三个顶点和它内部的点P1，把△ABC分成
3个互不重叠的小三角形；△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2，把△ABC分成5个互不重叠的小三角形；△ABC 的三个顶点和它内部的点P1、P2、P3，把△ABC分成7个互不重叠的小三角形；…△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2、P3、…、Pn，把△ABC分成个互不重叠的小三角形．
12. 观察下列图形的构成规律，依照此规律，第10个图形中共有个“?”．
13. 如图是由火柴棒搭成的几何图案，则第n个图案中有根火柴棒．（用含n的代数式表示）
14．“梅花朵朵迎春来”，下面四个图形是由小梅花摆成的一组有规律的图案，按图中规律，第n个
图形中小梅花的个数是．
考点三:几何图形计算变化规律
1.如图，在△A1B1C1中，已知A1B1=7，B1C1=4，A1C1=5，
依次连接△A1B1C1三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为___________．
2.已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝
4，如图所示把边长分别为x1，x2，x3，…，xn的n个正方形依次放入△ABC中，则第n个正方形的边长xn＝________(用含n的式子表示，n≥1)．
3.如图，正△ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正
△AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1；再以正△AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正△AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2；…，以此类推，则
Sn=________________．（用含n的式子表示）
4.如图，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线上
绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是_____________。
5.如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在
BC边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1；还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为h2；按上述方法不断操作下
去…，经过第2015次操作后得到的折痕D2014E2014到BC 的距离记为h2015，到BC 的距离记为h2015．若h1=1，则h2015的值为_______.
6. 如图，已知A1，A2，A3，…，An ，An+1是x 轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1，分别过点A1，A2，A3，…，An ，An+1作x 轴的垂线，交直线y=2x 于点B1，B2，B3，…，Bn ，Bn+1，连接A1B2，B1A2，A2B3，B2A3，…，AnBn+1，BnAn+1，依次相交于点P1，P2，P3，…，Pn ．△A1B1P1，△A2B2P2，△A3B3P3，…，△AnBnPn 的面积依次记为S1，S2，S3，…，Sn ，则Sn 为()
A ．121n n ++
B ．31
n n -C ．221n n -D ．221n n + 7. 如图，已知点A1，A2，…，An 均在直线1y x =-上，点B1，B2，…，Bn 均在双曲线1y x
=-上，并且满足：A1B1⊥x 轴，B1A2⊥y 轴，A2B2⊥x 轴，B2A3⊥y 轴，…，AnBn⊥x 轴，BnAn+1⊥y 轴，…，记点An 的横坐标为an （n 为正整数）．若11a =-，则
a2015=． 8. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A(53，0)，B(0，4)．将△ABO 绕点A 顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B ，O 分别落在点B1，C1处，点B1在x 轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x 轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x 轴上，依次进行下去，则点B2016的横坐标为__________________． 考点四：坐标系和表格中的规律
1.（2015江苏淮安第18题）将连续正整数按如下规律排列：
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列
若正整数565位于第a行，第b列，则b
a ＝。
2.将自然数按以下规律排列：
第一列第二列第三列第四列第五列
第一行 1 4 5 16 17
第二行 2 3 6 15…
第三行9 8 7 14…
第四行10 11 12 13…
第五行…
……
表中数2在第二行第一列，与有序数对(2，1)对应，数5与(1，
3)对应，数14与(3，4)对应，根据这一规律，数2 016对应
的有序数对为____________．
3.如图，在一个单位长度为1的方格纸上，△A1A2A3，
△A3A4A5，△A5A6A7，…，均是斜边在x轴上、且斜边
长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1(2，0)，A2(1，-1)，A3(0，0)，则依图中所示规律，A2 016的坐标为___________．
4.在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)，我们把点P′(-y+1，
x+1)叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An．若点A1的坐标为(3，1)，则点A3的坐标为_____________，点A2 014的坐标为_____________；若点A1的坐标为(a，b)，对于任意的正整数n，点An均在x轴上方，则a，b应满足的条件为
______________．
5.如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半
圆O1，O2，O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发
个单位长度，则第2 015，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π
2
秒时，点P的坐标是（）
A．(2 014，0)B．(2 015，-1)
C．(2 015，1)D．(2 016，0)