初中数学规律探究题的
解题方法
WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】
初中数学规律探究题的解法指导
一、数式规律探究
1.一般地，常用字母n表示正整数，从1开始。
2.在数据中，分清奇偶，记住常用表达式。
正整数…n-1,n,n+1…奇数…2n-3,2n-1,2n+1,2n+3…偶数…2n-
2,2n,2n+2…
3.熟记常见的规律
① 1、4、9、16......n2② 1、3、6、10……
(1)
2
n n+
③ 1、3、7、15……2n -1 ④ 1+2+3+4+…n=
(1)
2
n n+
⑤ 1+3+5+…+(2n-1)= n2 ⑥ 2+4+6+…+2n=n(n+1)
⑦ 12+22+32….+n2=1
6
n(n+1)(2n+1) ⑧ 13+23+33….+n3=
1
4
n2(n+1）
（...... 2n
数字规律探究反映了由特殊到一般的数学方法，解决此类问题常用的方法有以下两种：
3.观察法
例1.观察下列等式：①1×1
2
=1-
1
2
②2×
2
3
=2-
2
3
③3×
3
4
=3-
3
4
④4×4
5
=4-
4
5
……猜想第几个等式为（用含n的式子表
示）
分析：将等式竖排：
①1×1
2
=1-
1
2
观察相应位置上变化的数字与序列号
②②2×2
3
=2-
2
3
的对应关系（注意分清正整数的奇偶）
③3×3
4
=3-
3
4
易观察出结果为：
③4×4
5
=4-
4
5
例2.探索规律：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729……，那么32009的个位数字是。
3200 的个位数字是。
分析：这类问题，主要是通过观察末位数字，找出其循环节共几位，然后用指数除以循环节的位数，结果余几，就和第几个数的末位数字相同，易得
出本题结果为：
4.作差法
例3.将一正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成更小的正三角形…，如此继续下去，结果如下表：
则a n= （用含n的代数式表示）
分析：对结果数据做求差处理（相邻两数求差，大数减小数）
例4.有一组数：1、2、5、10、17、26……请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为。
尝试练习：
1.观察下列等式：1×3=12+2×1；2×4=22+2×2；3×5=32+2×3……请将
你猜想到的规律用含自然数n(n≥1)的代数式表示出来：。
2.观察下列各式：2
1
×2=
2
1
+2；
3
2
×3=
3
2
+3；
4
3
×4=
4
3
+4；
5
4
×5=
5
4
+5……
设n为正整数，用关于n的等式表示这个规律为。
3.
1
1
3
+
1
3
1
2
4
+
1
4
1
3
5
+
1
5
请你将猜想
到的规律用含正整数n(n≥1)的代数式表示出来为。
4.已知：2+2
3
=22×
2
3
；3+
3
8
=32×
3
8
；4+
4
15
=42×
4
15
；5+
5
24
=52×
5
24
…，若
10+b
a
=102×
b
a
符合前面式子的规律，则a+b= 。
5.已知下列等式：①13=12；②13+23=32；③13+23+33=62；④13+23+33+43=102…由此
规律可推出第n等式：。
二、图形规律探究
解决思路有两种：一种是数图形，将图形转化为数字规律，用作差法看能否解决另一种在过程中找规律（图形的构成或者是作差法的过程）例5．如图，由若干火柴棒摆成的正方形，第①图用了4根火柴，第②图用了7
根火柴棒，第③图用了10根火柴棒，依次类推，第⑩图用根火柴棒，摆第n个图时，要用根火柴棒。
例6．按如下规律摆放三角形：则第④堆三角形的个数
为；第（n）堆三角形的个数为。
△△△
△△△
△△△△△
△△△△△△
△△△△△△△
①②③
尝试练习：
1.如图7－①，图7－②，图7－③，图7－④，，是用围棋棋子按照某种规律摆成的
一行“广”字，按照这种规律，第5个
（1）（2）（3）
“广”字中的棋子个数是________，第n个“广”字中的棋子个数是________ 2．观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5
个大三角形中白色三角形有个．
3．图（3）是用火柴棍摆成的边长分别是1，2，3 根火柴棍
时的正方形．当边长为n根火柴棍时，设摆出的正方形所用
的火柴棍的根数为s，则s＝．（用n的代数式表
示s）
4．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺
地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 __________块，第n个
图形中需要黑色瓷砖__________块（用含n的代数式表示）．
5．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按
照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数
是．
三、课外拓展：
1.探索规律：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729……那么32008的个位数字是。
2.观察下列等式：71=7，72=49，73=343，74=2041……由此可判断7100的个位数字是。
3.瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据9
5
，
16
12
，
25
21
，
36
32
……中得到巴尔末公式，
从而打开了光谱奥妙的大门，按此规律第七个数据是。
4.已知a
1=
1
123
??
+
1
2
=
2
3
，a2=
1
234
??
+
1
3
=
3
8
，a3=
1
345
??
+
1
4
=
4
15
……按此规律，则
a 99= 。
第1个第2个第3个
……
n=n=n=
5.已知112?=1-12，123?=12-13，134?=13-14……，则112?+123?+134
?+ …+
1(1)n n += ；用相同思路探究：113?+135?+1
57
?…+1(21)(21)n n -+= 。
6．如图5，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有 个，第n 幅图中共有 个．
7．如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由
1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19个圆组成，，按照这样的规律排列下去，则第9个图形由_______个圆组成．
8．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有 个小圆．
9．用边长为1cm 的小正方形搭成如下的塔状图形，则第n 次所搭图形的周长是_______________cm （用含n 的代数式表示）。
第1个图形
第2个图形
第3个图形
第4个图形
…
… … 第1第2第3第n
图5 次 第3次
···