2017-2018学年九年级数学下册第1章解直角三角形测试卷
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，cos B ＝23
，则BC 的长为( ) A ．4 B ．2 5 C.181313 D.121313
,第1题图) ,第2题图) ,第3
题图) ,第4题图)
2．如图①是一张Rt △ABC 纸片，如果用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个正三角形，如图②，那么在Rt △ABC 中，sin B 的值是( )
A.12
B.32 C ．1 D.32
3．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠ACB ＝30°，则sin ∠AOB 的值是( ) A.12 B.22 C.32 D.33
4．如图，在坡度为1∶2的山坡上种树，要求相邻两棵树的水平距离是6 m ，则斜坡上相邻两棵树的坡面距离是( )
A ．3 m
B ．3 5 m
C ．12 m
D ．6 m
5．下列式子：①sin60°>cos30°；②0 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．已知等腰△ABC 内接于⊙O ，⊙O 的半径为5，如果底边BC 的长为6，则底角的正切值为( ) A ．3 B.13 C.83 D ．3或13 7．如图，在?ABCD 中，对角线AC ，BD 相交成的锐角为α，若AC ＝a ，BD ＝b ，则?ABCD 的面积是( ) A.12ab sin α B ．ab sin α C ．ab cos α D.12 ab cos α ,第7题图) ,第8题图) ,第9题图) 8．如图，AC ⊥BC ，AD ＝a ，BD ＝b ，∠A ＝α，∠B ＝β，则AC 等于( ) A ．a sin α＋b cos β B ．a cos α＋b sin β C ．a sin α＋b sin β D ．a cos α＋b cos β 9．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，已知AC ＝5，BC ＝2，那么sin ∠ACD ＝( ) A.53 B.23 C.255 D.52 10．如图，在菱形纸片ABCD 中，∠A ＝60°.将纸片折叠，点A ，D 分别 落在点A ′，D ′处，且A ′D ′经过点B ，EF 为折痕．当D ′F ⊥CD 时，CF FD 的值为 ( ) A.3－12 B.36 C.23－16 D.3＋18 二、填空题(每小题4分，共24分) 11．已知锐角α的顶点在原点，始边为x 轴的正半轴，终边经过(1，2)．如图，则sin α＝__ _，cos α＝__ _，tan α＝__ __． ,第11题图) ,第13题图) 12．在△ABC 中，若|sin A －32|＋|cos B －22 |＝0，则∠C ＝__ __． 13．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE ＝40 cm ，EF ＝20 cm ，测得边DF 离地面的高度AC ＝1.5 m ，CD ＝8 m ，则树高AB ＝__ _m. 14．孔明同学在距某电视塔塔底水平距离500米处，看塔顶的仰角为20°(不考虑身高因素)，则此塔高约为__ __米．(结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.3420，sin70°≈0.9397，tan20°≈0.3640，tan70°≈2.7475) 15．规定：sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x ，sin(x ＋y )＝sin x ·cos y ＋cos x ·sin y .据此判断下列等式成立的是__ __．(写出所有正确的序号) ①cos(－60°)＝－12；②sin75°＝6＋24 ；③sin2x ＝2sin x ·cos x ；④sin(x －y )＝sin x ·cos y －cos x ·sin y . 16．在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，有一个锐角为60°，BC ＝6.若点P 在直线AC 上(不与点A ，C 重合)，且∠ABP ＝30°，则CP 的长为__ __． 三、解答题(共66分) 17．(8分)计算： (1)(－2)2＋|－3|＋2sin60°－12； (2)6tan 230°－3sin60°－2sin45°. 18．(8分)如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝6，AC＝53，∠A＝30°. (1)求BD和AD的长； (2)求tan C的值． 19．(8分)如图①，某超市从一楼到二楼的电梯AB的长为16.50米，坡角∠BAC为32°. (1)求一楼与二楼之间的高度BC；(精确到0.01米) (2)电梯每级的水平级宽均是0.25米，如图②.小明跨上电梯时，该电梯以每秒上升2级的高度运行，10秒后他上升了多少米？(精确到0.01米)(备用数据：sin32°≈0.5299，cos32°≈0.8480，tan32°≈0.6249) 20．(8分)如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AC＝22，BC＝1. 求：(1)sin∠ABD；(2)CE的长． 21．(8分)某地要加固长90 m，高5 m，坝顶宽为4 m的大坝，迎水坡和背 水坡的坡度都是1∶1，横断面是梯形的防洪大坝．要将大坝加高1 m，背水坡改为1∶1.5，已知坝顶宽不变，求需要多少土方？ 22．(8分)如图，为测量江两岸码头B，D之间的距离，从山坡上高度为50米的点A处测得码头B的俯角∠EAB为15°，码头D的俯角∠EAD为45°.点C在线段BD的延长线上，AC⊥BC，垂足为点C.求码头B，D之间的距离．(结果保留整数)(参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27) 23．(8分)如图，轮船从点A处出发，先航行至位于点A的南偏西15°且与点A相距100 km的点B处，再航行至位于点B的北偏东75°且与点B相距200 km的点C处． (1)求点C与点A的距离(精确到1 km)； (2)确定点C相对于点A的方向．(参考数据：2≈1.414，3≈1.732) 24．(10分)如图，某海域有两个海拔均为200米的海岛A 和海岛B ，一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1100米的空中飞行，飞行到点C 处时测得正前方一海岛顶端A 的俯角为45°，然后沿平行于AB 的方向水平飞行1.99×104米到达点D 处，在D 处测得正前方另一海岛顶端B 的俯角是60°，求两海岛间的距离AB . 九(下)第1章检测题 (时间：120分钟 满分：120分) 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，cos B ＝23 ，则BC 的长为( A ) A ．4 B ．2 5 C.181313 D.121313 ,第1题图) ,第2题图) ,第3 题图) ,第4题图) 2．如图①是一张Rt △ABC 纸片，如果用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个正三角形，如图②，那么在Rt △ABC 中，sin B 的值是( B ) A.12 B.32 C ．1 D.32 3．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠ACB ＝30°，则sin ∠AOB 的值是( C ) 2223 4．如图，在坡度为1∶2的山坡上种树，要求相邻两棵树的水平距离是6 m ，则斜坡上相邻两棵树的坡面距离是( B ) A ．3 m B ．3 5 m C ．12 m D ．6 m 5．下列式子：①sin60°>cos30°；②0 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．已知等腰△ABC 内接于⊙O ，⊙O 的半径为5，如果底边BC 的长为6，则底角的正切值为( D ) A ．3 B.13 C.83 D ．3或13 7．如图，在?ABCD 中，对角线AC ，BD 相交成的锐角为α，若AC ＝a ，BD ＝b ，则?ABCD 的面积是( A ) A.12ab sin α B ．ab sin α C ．ab cos α D.12 ab cos α ,第7题图) ,第8题图) ,第9题图) 8．如图，AC ⊥BC ，AD ＝a ，BD ＝b ，∠A ＝α，∠B ＝β，则AC 等于( B ) A ．a sin α＋b cos β B ．a cos α＋b sin β C ．a sin α＋b sin β D ．a cos α＋b cos β 9．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，已知AC ＝5，BC ＝2，那么sin ∠ACD ＝( A ) 3352 10．如图，在菱形纸片ABCD 中，∠A ＝60°.将纸片折叠，点A ，D 分别 落在点A ′，D ′处，且A ′D ′经过点B ，EF 为折痕．当D ′F ⊥CD 时，CF FD 的值为 ( A ) A.3－12 B.36 C.23－16 D.3＋18 二、填空题(每小题4分，共24分) 11．已知锐角α的顶点在原点，始边为x 轴的正半轴，终边经过(1，2)．如 图，则sin α＝5，cos α＝5，tan α＝__2__． ,第11题图) ,第13题图) 12．在△ABC 中，若|sin A －32|＋|cos B －22 |＝0，则∠C ＝__75°__． 13．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE ＝40 cm ，EF ＝20 cm ，测得边DF 离地面的高度AC ＝1.5 m ，CD ＝8 m ，则树高AB ＝__5.5__m. 14．孔明同学在距某电视塔塔底水平距离500米处，看塔顶的仰角为20°(不考虑身高因素)，则此塔高约为__182__米．(结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.3420，sin70°≈0.9397，tan20°≈0.3640，tan70°≈2.7475) 15．规定：sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x ，sin(x ＋y )＝sin x ·cos y ＋cos x ·sin y . 据此判断下列等式成立的是__②③④__．(写出所有正确的序号) ①cos(－60°)＝－12；②sin75°＝6＋24 ；③sin2x ＝2sin x ·cos x ；④sin(x －y )＝sin x ·cos y －cos x ·sin y . 16．在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，有一个锐角为60°，BC ＝6.若点P 在直 线AC 上(不与点A ，C 重合)，且∠ABP ＝30°，则CP 的长为__． 三、解答题(共66分) 17．(8分)计算： (1)(－2)2＋|－3|＋2sin60°－12； (2)6tan 230°－3sin60°－2sin45°. 解：4 12－2 18．(8分)如图，在△ABC 中，BD ⊥AC ，AB ＝6，AC ＝53，∠A ＝30°. (1)求BD 和AD 的长； (2)求tan C 的值． 解：(1)∵BD ⊥AC ，∴∠ADB ＝∠BDC ＝90°，在Rt △ADB 中，AB ＝6， ∠A ＝30°，∴BD ＝12AB ＝3，∴AD ＝3BD ＝33 (2)CD ＝AC －AD ＝53－ 33＝23，在Rt △BDC 中，tanC ＝BD CD ＝323 ＝32 19．(8分)如图①，某超市从一楼到二楼的电梯AB 的长为16.50米，坡角∠BAC 为32°. (1)求一楼与二楼之间的高度BC ；(精确到0.01米) (2)电梯每级的水平级宽均是0.25米，如图②.小明跨上电梯时，该电梯以每秒上升2级的高度运行，10秒后他上升了多少米？(精确到0.01米)(备用数据：sin32°≈0.5299，cos32°≈0.8480，tan32°≈0.6249) 解：(1)∵sin ∠BAC ＝BC AB ，∴BC ＝AB·sin32°＝16.50×0.5299≈8.74(米) (2)∵tan32°＝级高级宽，∴级高＝级宽×tan32°≈0.25×0.6249＝0.156225，∵10 秒钟电梯上升了20级，∴小明上升的高度为20×0.156225≈3.12米 20．(8分)如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，AC ＝22，BC ＝1. 求：(1)sin ∠ABD ；(2)CE 的长． 解：(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴AC ⊥BC ，在Rt △ABC 中，AB ＝（22）2＋12 ＝3，又∵CD ⊥AB ，∴sin ∠ABD ＝sin ∠ABC ＝AC AB ＝223 (2)CE BC ＝sin ∠ABC ，∴CE ＝BC·sin ∠ABC ＝1×223＝223 21．(8分)某地要加固长90 m ，高5 m ，坝顶宽为4 m 的大坝，迎水坡和背水坡的坡度都是1∶1，横断面是梯形的防洪大坝．要将大坝加高1 m ，背水坡改为1∶1.5，已知坝顶宽不变，求需要多少土方？ 解：过点C ，F 分别作CC′⊥BM 于点C′.FF′⊥BM 于点F′，则有BC′＝CC′＝5 m ．∴BM ＝5＋5＋4＝14(m )．∴S 梯形BCDM ＝12(CD ＋BM )×CC′＝12×(4＋ 14)×5＝45(m 2)，FF′AF′＝11.5，∴AF ′＝1.5×6＝9(m )，则在梯形AMEF 中，EF ＝4(m )，AM ＝9＋4＋6＝19(m )，高度为 6 m ，∵S 梯形AMEF ＝12×(4＋19)×6＝69(m 2)．∴所需土方为90×(69－45)＝2160 m 3 22．(8分)如图，为测量江两岸码头B ，D 之间的距离，从山坡上高度为50米的点A 处测得码头B 的俯角∠EAB 为15°，码头D 的俯角∠EAD 为45°.点C 在线段BD 的延长线上，AC ⊥BC ，垂足为点C .求码头B ，D 之间的距离．(结果保留整数)(参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27) 解：∵∠ADC ＝∠EAD ＝45°，∴CD ＝AC ＝50(米)，∠ABC ＝∠EAB ＝15°， ∵tan ∠ABC ＝AC BC ，∴BC ＝AC tan15°≈185.2，∴BD ＝185.2－50≈135(米) 23．(8分)如图，轮船从点A 处出发，先航行至位于点A 的南偏西15°且与点A 相距100 km 的点B 处，再航行至位于点B 的北偏东75°且与点B 相距200 km 的点C 处． (1)求点C 与点A 的距离(精确到1 km)； (2)确定点C 相对于点A 的方向．(参考数据：2≈1.414，3≈1.732) 解：(1)过点A 作AD ⊥BC 于点D.由图得，∠ABC ＝75°－15°＝60°.在Rt △ABD 中，∵∠ABC ＝60°，AB ＝100.∴BD ＝50，AD ＝50 3.∴CD ＝BC －BD ＝200－50＝150.在Rt △ACD 中，由勾股定理得：AC ＝AD 2＋CD 2＝1003≈173(km )．即点C 与点A 的距离约为173 km (2)在△ABC 中，∵AB 2＋AC 2＝1002＋(1003)2＝40000，BC 2＝2002＝40000，∴AB 2＋AC 2＝BC 2.∴∠BAC ＝90°，∴∠CAF ＝∠BAC －∠BAF ＝90°－15°＝75°.答：点C 位于点A 的南偏东75°方向 24．(10分)如图，某海域有两个海拔均为200米的海岛A 和海岛B ，一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1100米的空中飞行，飞行到点C 处时测得正前方一海岛顶端A 的俯角为45°，然后沿平行于AB 的方向水平飞行1.99×104米到达点D 处，在D 处测得正前方另一海岛顶端B 的俯角是60°，求两海岛间的距离AB . 解：过点A 作AE ⊥CD 于点E ，过点B 作BF ⊥CD ，交CD 的延长线于点F ，则四边形ABFE 为矩形，所以AB ＝EF ，AE ＝BF .由题意可知AE ＝BF ＝1100 －200＝900，CD ＝19900.∴在Rt △AEC 中，∠C ＝45°，AE ＝900，∴CE ＝AE tan ∠C ＝900 tan45°＝900，在Rt△BFD中，∠BDF＝60°，BF＝900，∴DF＝ BF tan∠BDF ＝ 900 tan60°＝3003，∴AB＝EF＝CD＋DF－CE＝19900＋3003－900＝19000 ＋300 3.答：两海岛之间的距离AB是(19000＋3003)米 解直角三角形 一、锐角三角函数 （一）、锐角三角函数定义 在直角三角形ABC 中，∠C=900，设BC=a ，CA=b ，AB=c ，锐角A 的四个三角函数是： (1) 正弦定义：在直角三角形中ABC ，锐角A 的对边与斜边的比叫做角A 的正弦，记作sinA ，即 sin A = c a , （2）余弦的定义：在直角三角行ABC ，锐角A 的邻边与斜边的比叫做角A 的余弦，记作cosA ，即 cos A = c b , （3）正切的定义：在直角三角形ABC 中，锐角A 的对边与邻边的比叫做角A 的正切，记作tanA ，即 tan A =b a ， (4)锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切,记作cotA 即 a A A A b 的对边的邻边cot =∠∠= 锐角A 的正弦、余弦，正切、余切都叫做角A 的锐角三角函数。 这种对锐角三角函数的定义方法，有两个前提条件： （1）锐角∠A 必须在直角三角形中，且∠C=900； （2）在直角三角形 ABC 中，每条边均用所对角的相应的小写字母表示。 否则，不存在上述关系 注意:锐角三角函数的定义应明确(1) c a ， c b ，b a ，a b 四个比值 的大小同△ABC 的三边的大小无关，只与锐角的大小有关，即当锐角A 取固定值时，它的四个三角函数也是固定的； （2）sinA 不是sinA 的乘积，它是一个比值，是三角函数记号，是一个整体，其他三个三角函数记号也是一样； （3）利用三角函数定义可推导出三角函数的性质，如同角三角函数关系，互余两角的三角函数关系、特殊角的三角函数值等； （二）、同角三角函数的关系 （1）平方关系： 12 2 sin =?+COS α (2)倒数关系：tan ａ cota=1 (3)商数关系：? ? =???= sin cos cot ,cos sin tan 注意：（1）这些关系式都是恒等式，正反均可运用，同事还要注 意它们的变形公式。 (2)()??sin sin 2 2 是 的简写，读作“?sin 的平方”，不能将 ??2 2 sin 写成sin 前者是a 的正弦值的平方，后者无意义； （3）这里应充分理解“同角”二字，上述关系式成立的前提是所涉及的角必须相同，如1cot tan ,12 2 3030cos sin 2 2 =?=? +? ，而1cos sin 2 2 =+ ?β就不一定成立。 （4）同角三角函数关系用于化简三角函数式。 （三）余角的函数关系式 2017年中考数学经典试题集 一、填空题： 1、已知0 x 1. (1) 若x 2y 6，则y的最小值是__________________ ; 2 2 (2) .若x y 3 , xy 1,贝U x y = _______________ . 答案：(1) -3 ; (2) -1. 2、用m根火柴可以拼成如图1所示的x个正方形，还可以拼成如图2所示的2y个正方形,那么用含x的代数式表示y，得y =________________ . 图1 31 答案：y= x- - 55 1 3、已知吊一5m- 1 = 0,贝U 2n i- 5讨一2 = . m ----------------- 答案：28. 4、 ____________________ 范围内的有理数经过四舍五入得到的近似数 答案：大于或等于 3.1415且小于3.1425. 5、如图：正方形ABCD中，过点D作DP交AC于点M 交AB于点N,交CB的延长线于点P,若MN k 1 , P2 3, 则DM的长为 答案：2. 6、在平面直角坐标系xOy中，直线y x 3与两坐标轴围成一个△ AOB现将背面完全 1 1 相同，正面分别标有数1、2、3、丄、1的5张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，将 2 3 该卡片上的数作为点P的横坐标，将该数的倒数作为点P的纵坐标，则点P落在△AOB内的 概率为________ . _____ 3 答案：3. 5 7、某公司销售A、B C三种产品，在去年的销售中，高新产品C的销售金额占总销售金额 的40%由于受国际金融危机的影响，今年A、B两种产品的销售金额都将比去年减少20%因而高新产品C是今年销售的重点。若要使今年的总销售金额与去年持平，那么今年高新产品C的销售金额应比去年增加%. 答案：30. 8、小明背对小亮按小列四个步骤操作： (1)分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌现有的张数相同； (2)从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；(3)从右边一堆拿出两张，放入中间一堆；(4) 左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆，当小亮知道小明操作的步骤后， 便准确地说出中间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆牌现有的张数是 答案：6. 数与实际平均数的差为 《解直角三角形》教案 教学目标 1、知识与技能：掌握几个特殊角的三角函数值，熟悉运用解直角三角形的依据，了解仰角、俯角、坡度角以及方位角，熟练掌握解直角三角形． 2、过程与方法：通过对直角三角形相关知识点的总结，加以运用到实例里，加深学生的理解． 3、情态与价值：在对直角三角形知识的掌握基础上，能够熟练的运用解决解直角三角形问题，获得数学学习的成就感，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的应用意识． 教学重点 如何更好地加强学生对解直角三角形的理解． 教学过程 一、知识点回顾 特殊角的三角函数值： 几个特殊关系： (1)1cos sin 22=+A A ，A A A cos sin tan =； (2)若 90=∠+∠ B A ，则B A cos sin =，1tan tan =?B A ． 二、解直角三角形： 1、定义：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程叫解直角三角形． 2、解直角三角形的依据：Rt ∠ABC 中， 90=∠C ，三边分别为a 、b 、c (1)三边之间的关系：222c b a =+(勾股定理) (2)两锐角之间的关系： 90=∠+∠B A (3)边角之间的关系：b a A c b A c a A ===tan cos sin ，，； a b B c a B c b B ===tan cos sin ，，. 三、例题解析 例1 如课本第18页图1-14是某市“平改坡”工程中一种坡屋的设计图.已知原平屋顶的宽度l 为10m ，坡屋顶高度h 为3.5m .求斜面钢条a 的长度和坡角α(长度精确到0.1m ，角度精确到1°). 例2如课本第18页图1-15，在Rt △ACB 中，∠C =90°，∠A =50°，AB =3.求∠B 和a ，和b (边长精确到0.1). 例3 水库堤坝的横断面是梯形(如课本第20页图1-16).测得BC 长为6m ，CD 长为60m ，斜坡CD 的坡比为1:2.5，斜坡AB 的坡比长为1:3.求： (1)斜坡CD 的坡角∠D 和坝底AD 的宽(角度精确到1＇，宽度精确到0.1m ). (2)若堤坝长150m ，则建造这个堤坝需要多少土石方(精确到1m 3)？ 例4 体育项目400m 栏比赛中，规定相邻两栏架的路程为45m .规定相邻两栏架的路 程为45m .在弯道出货，以跑道离内测线0.3m 处的弧线(如课本第21页图1-17中虚线)的长度作为相邻两栏架之间的间隔路程，已知跑道的内测线半径为36m .问：在设定A 栏架后，B 栏架里A 栏架的距离是多少(结果精确到0.1m )？ 例5 某海防哨所O 发现在它的呗偏西30°，距离哨所500m 的A 处有一艘船向正东方向航行，经过3分钟后到达哨所东北方向的B 处.求船从A 处到B 处的航速(精确到1km /h ). 例6 如课本第24页图1-21，测得两楼之间的距离为32.6m ，从楼顶A 观测点D 的俯角为35°12＇，点C 的俯角为43°24＇.求这两栋楼的高度(精确到0.1m ). 2019年中考数学专题复习 第十九讲解直角三角形 【基础知识回顾】 一、锐角三角函数定义： 在Rt△ABC中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则∠A的正弦可表示为：sinA= ，∠A的余弦可表示为cosA= ∠A的正切：tanA= ，它们统称为∠A的锐角三角函数 【名师提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有单位，这些比值只与有关，与直角三角形的无关 2、取值范围 三、解直角三角形： 1、定义：由直角三角形中除直角外的 个已知元素，求出另外 个未知元素的过程叫解直角三角形 2、解直角三角形的依据： Rt ∠ABC 中，∠C=900 三边分别为a 、b 、c ⑴三边关系： ⑵两锐角关系 ⑶边角之间的关系：sinA cosA tanA sinB cosB tanB 【名师提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是 当没有直角三角形时应注意构造直角三角形，再利用相应的边角关系解决】 3、解直角三角形应用中的有关概念⑴仰角和俯角：如图：在图上标上仰角和俯 角 ⑵坡度坡角：如图： 斜坡AB 的垂直度h 和水平宽度l 的比叫做坡度，用i 表示，即i= 坡面 与水平面得夹角为 用字母α表示，则i=tanα=h l 。 ⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角 如图：OA 表示 OB 表示 铅直 水平线 视线 直角三角形边角关系知识点考点总结 考点一、直角三角形的性质 （3~5分） 1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 可表示如下： ?BC=2 1 AB ∠C=90° 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下： ?CD=2 1 AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 5、摄影定理 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ?=2 ? AB AD AC ?=2 CD ⊥AB AB BD BC ?=2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得： AB ?CD=AC ?BC 考点二、直角三角形的判定 （3~5分） 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 考点三、锐角三角函数的概念 （3~8分） 1、如图，在△ABC 中，∠C=90° ①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即 c a sin =∠= 斜边的对边A A ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即 c b cos =∠= 斜边的邻边A A ③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A ④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即a b cot =∠∠=的对边的邻边A A A 2、锐角三角函数的概念 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值 三角函数 0° 30° 45° 60° 90° sinα 0 21 22 2 3 1 cos α 1 2 3 2 2 21 0 tan α 0 3 3 1 3 不存在 cot α 不存在 3 1 3 3 龙文教育学科教师辅导讲义 课题九（下）第一章、解直角三角形 教学目标 1、掌握解直角三角形，并能根据题意把实际问题中的已知条件和未知元素，化归到某个直角 三角形中加以解决。会把实际问题转化为含有直角三角形的数学问题，并能给予解决。 2、通过问题探究和解决，丰富对现实空间及图形的认识，培养分析、归纳、总结知识的能力。 3、体验数学与生活实际的密切关联，进一步激发学生学习数学的兴趣，逐步养成良好的学习 品质。 重点、难点 重点：把实际问题中的已知条件和未知元素，化归到某个直角三角形中加以解决。 难点：把实际问题转化为解直角三角形的数学问题 考点及考试要求 教学内容 1.1~1.2锐角三角函数及其计算 边角之间的关系（锐角三角函数）: sin,cos,tan a b a A A A c c b === ★22 sin sin cos(90)cos,tan,sin cos1 cos A A A B A A B A =-==+= o ★三角函数的单调性：090sin sin1 A B A B ≤<≤≤<≤ o o 当时，0 090cos cos1 A B B A ≤<≤≤<≤ o o 当时，0 04590tan1tan A B A B ≤<<≤≤<<≤+∞ o o o 当时，0 0180tan A A A <<< o o 当时，sin 如下图，⊙O是一个单位圆，假设其半径为1，则对于α ∠，b ∠ =,sin CD EF CD b EF OC OE α=== Q sin CD EF < Q,sin sin a b < Q =,tan CD AB CD AB OC OB αα === Q sin,CD AB < Q tan αα ∴< sin 其它均可用上图来证明。 30°，45°，60°的三角函数值（见右表） 例（1）计算： sin60°·tan30°+cos 2 45°= （2）把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△A’B’C’，那么锐角A、A’的余弦值的关系为 直角三角形（提高） 【学习目标】 1．理解和掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边，直角边”（即“HL”）. 2．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定两个直角三角形全等. 3. 能应用直角三角形的性质解题. 【要点梳理】 要点一、判定直角三角形全等的一般方法 由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了。这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理. 要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理 在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL. 证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三 角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三 角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 要点三、直角三角形的性质 定理1：直角三角形的两个锐角互余. 定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°. 要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系. 【典型例题】 类型一、直角三角形全等的判定——“HL” 1、判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明 理由： （1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（） （2）一个锐角和斜边对应相等；（） （3）两直角边对应相等；（） （4）一条直角边和斜边对应相等．（） 【答案】（1）全等，“AAS”；（2）全等，“AAS”；（3）全等，“SAS”；（4）全等，“HL”. 【解析】理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断. 【必考题】初三数学上期中试题(含答案) 一、选择题 1．若x 1是方程ax 2+2x+c ＝0(a≠0)的一个根，设M ＝(ax 1+1)2，N ＝2﹣ac ，则M 与N 的大小关系为( ) A ．M ＞N B ．M ＝N C ．M ＜N D ．不能确定 2．如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论： ①c ＞0； ②若点B （32-，1y ）、C （52 -，2y ）为函数图象上的两点，则12y y <； ③2a ﹣b=0； ④2 44ac b a -＜0，其中，正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．已知抛物线y=x 2-2mx-4（m ＞0）的顶点M 关于坐标原点O 的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M 的坐标为（ ） A ．（1，-5） B ．（3，-13） C ．（2，-8） D ．（4，-20） 4．下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ． 5．已知实数0a <，则下列事件是随机事件的是（ ） A ．0a ≥ B ．10a +> C ．10a -< D ．210a +< 6．某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数y （间）与定价x （元/间）之间满足y ＝14 x ﹣42（x ≥168）．若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为（ ） A ．252元/间 B ．256元/间 C ．258元/间 D ．260元/间 7．已知函数2(3)21y k x x =-++的图象与x 轴有交点．则k 的取值范围是( ) A ．k<4 B ．k≤4 C ．k<4且k≠3 D ．k≤4且k≠3 第十七讲解直角三角形 利用直角三角形中的已知元素(至少有一条是边)求得其余元素的过程叫做解直角三角形，解直角三角形有以下两方面的应用： 1．为线段、角的计算提供新的途径． 解直角三角形的基础是三角函数的概念，三角函数使直角三角形的边与角得以转化，突破纯粹几何关系的局限． 2．解实际问题． 测量、航行、工程技术等生活生产的实际问题，许多问题可转化为解直角三角形获解，解决问题的关键是在理解有关名词的意义的基础上，准确把实际问题抽象为几何图形，进而转化为解直角三角形． 【例题求解】 【例1】如图，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD与地面成45°，∠A＝60°，CD＝4m，BC＝(2 4-)m，则电线杆AB 6 2 的长为． 思路点拨延长AD交BC于E，作DF⊥BC于F，为解直角三角形创造条件． 【例2】如图，在四边形ABCD中，AB=2 4-，BC-1，CD=3，∠B=135°，∠C＝90°，则∠D等于( ) A．60°B．67．5°C．75°D．无法确定 思路点拨通过对内分割或向外补形，构造直角三角形． 注：因直角三角形元素之间有很多关系，故用已知元素与未知元素的途径常不惟一，选择怎样的途径最有效、最合理呢？请记住：有斜用弦，无斜用切，宁乘勿除． 在没有直角的条件下，常通过作垂线构造直角三角形；在解由多个直角三角形组合而成的问题时，往往先解已具备条件的直角三角形，使得求解的直角三角形最终可解． 【例3】如图，在△ABC中，∠=90°，∠BAC=30°，BC=l，D为BC边上一点，tan∠ ADC 是方程2)1(5)1 (322=+-+x x x x 的一个较大的根?求CD 的长． 思路点拨 解方程求出 tan ∠ADC 的值，解Rt △ABC 求出AC 值，为解Rt △ADC 创造条件． 【例4】 如图，自卸车车厢的一个侧面是矩形ABCD ，AB=3米，BC=0．5米 ，车厢底部距离地面1．2米，卸货时，车厢倾斜的角度θ=60°．问此时车厢的最高点A 距离地面多少米?(精确到1米) 思路点拨 作辅助线将问题转化为解直角三角形，怎样作辅助线构造基本图形，展开空间想象，就能得到不同的解题寻路 【例5】 如图，甲楼楼高16米，乙楼坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°，此时，求： (1)如果两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高? (2)如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上，那么两楼的距离应当是多少米? 思路点拨 (1)设甲楼最高处A 点的影子落在乙楼的C 处，则图中CD 的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高；(2)设点A 的影子落在地面上某一点C ，求BC 即可． 注：在解决一个数学问题后，不能只满足求出问题的答案，同时还应对解题过程进行多方面分析和考察，思考一下有没有多种解题途径，每种途径各有什么优点与缺陷，哪一条途径更合理、更简捷，从中又能给我们带来怎样的启迪等． 若能养成这种良好的思考问题的习惯，则可逐步培养和提高我们分析探索能力． 八年级数学直角三角形 知识点 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】 八年级数学《直角三角形》知识点 一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 可表示如下： ?BC= 21AB ∠C=90° 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下： ?CD= 2 1AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 5、射影定理(了解) 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在 斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜 边上的射影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ?=2 CD ⊥AB 6、常用关系式 由三角形面积公式可得： AB ?CD=AC ?BC 二、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c ，有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 三、解直角三角形 1、解直角三角形的概念 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2、解直角三角形的理论依据 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c （1）三边之间的关系：222c b a =+（勾股定理） （2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90° （3）边角之间的关系： 练习： 一、选择题 1. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为6 cm ，则它的斜边长为（ ） A 、4 cm B 、8 cm C 、10 cm D 、12 cm 2. 已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或25 3. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( ) A 、13 B 、8 C 、25 D 、64 4. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( ) A 、 钝角三角形 B 、 锐角三角形 C 、 直角三角形 D 、等腰三角形. 5、等腰三角形腰长为13，底边长为10，则它底边上的高为 （ ） A 、 B 、 C 、 D 、 初 三数学 一、选择题:（本大题共10个小题，每小题2分，共20分） 1．一元二次方程2 x －9＝0的根是( ) A.x ＝3 B.x 3 C. 3.321-==x x D. 1x 3 2x 3 2．二次函数2 x y =的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数表达式是（ ） A.32 +=x y B.32 -=x y C.2 )3(+=x y D.2 )3(-=x y 3．有一个盛水的容器．现匀速地向容器内注水，最后把容器注满：在注水过程 的任何时刻，容器中水面的高度如图所示，图中PQ 为一线段，这个容器的形状 是 ( ) 4．在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（ ）． A 、小明的影子比小强的影子长 B 、小明的影子比小强的影子短 C 、小明的影子和小强的影子一样长 D 、无法判断谁的影子长 5．二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象图所示，则下列结论： ①a ＞0，②b ＞0，③ c ＞0，其中正确的个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 6．点P (2,3)关于x 轴的对称点为Q （m,n ）,点Q 关于 Y 轴的对称点为M(x,y)，则点M 关于原点的对称点是（ ） A ．(－2,3) B ．(2,－3) C ．(－2,－3) D ．（2，3） 7．将分别标有数字1，4，8的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上。随机地抽取一张作为十位上的数字（不放回），再抽取一张作为个位上的数字，能组成两位数恰好是“18”的概率为（ ）。A. 1/2 B.1/4 C.1/6 D.1/8 8.如图，在同一坐标系中，正比例函数y=(a-1)x 与反比例函数y=x a 5的图象的大致位置不可能是（ ） 9. 已知112233(,),(,),(,)x y x y x y 是反比例函数4 y x -=的图象上三点，且1230x x x <<<，则123,,y y y 的大小关系是（ ） A. 1230y y y <<< B. 1230y y y >>> C. 1320y y y <<< D. 1320y y y >>> 10．把边长为4的正方形ABCD 的顶点C 折到AB 的中点M ，折痕EF 的长 等于( ) D C E M 1 / 17 解直角三角形是九年级上学期第二章第二节的内容，通过本节的学习，需要 掌握直角三角形中，除直角外其余五个元素之间的关系，并熟练运用锐角三角比的意义解直角三角形，以及解直角三角形的相关应用．重点在于理解仰角、俯角、方向角、坡度、坡角等概念，并能利用其解决实际问题；难点在于，若一个三角形不是直角三角形，要有意识把它化归为解直角三角形的问题． 1、 解直角三角形 在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在t R ABC ?中，如果=90C ∠?，那么它的三条边和两个锐角之间有以下的关系： （1）三边之间的关系： 222a b c += （2）锐角之间的关系： 90A B ∠+∠=? （3）边角之间的关系： sin cos a A B c ==，cos sin b A B c == tan cot a A B b == ，cot tan b A B a == 解直角三角形 内容分析 知识结构 模块一：解直角三角形 知识精讲 2 / 17 A B O x y A B C D E 【例1】 ABC ?中，90C ∠=?，已知AB = 6.4，40B ∠=?，则A ∠=______，AC =______， BC =______．（sin400.64?≈，sin500.77?≈，边长精确到0.1） 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例2】 若菱形的周长为8，相邻两内角之比为3 : 1，则菱形的高是______． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例3】 如图，OAB ?中，OA = OB ，125AOB ∠=?．已知点A 的坐标是（4，0），则点B 的坐标是____________．（用锐角三角比表示） 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例4】 如图，在ABC ?中，90BAC ∠=?，AB = AC ，D 为边AC 的中点，DE BC ⊥于点E ， 连接BD ，则tan DBC ∠的值为（ ） A ．13 B ．21- C ．23- D ． 14 【难度】★★ 【答案】 【解析】 例题解析 试题一 一、选择题（每题3分，共30分） 1. （08新疆建设兵团）下列事件属于必然事件的是（ ） A ．打开电视，正在播放新闻 B ．我们班的同学将会有人成为航天员 C ．实数a ＜0，则2a ＜0 D ．新疆的冬天不下雪 2.在计算机键盘上，最常使用的是（ ） A.字母键 B.空格键 C.功能键 D.退格键 3. (08甘肃庆阳）在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如 果口袋中装有4个红球且摸到红球的概率为1 3，那么口袋中球的总数为（ ） Ａ．12个 Ｂ．9个 Ｃ．6个 Ｄ．3个 4.掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1～6的点数，掷得面朝上的点数为奇数的概率为（ ） A. 16 B.13 C.14 D.12 5.小明准备用6个球设计一个摸球游戏，下面四个方案中，你认为哪个不成功（ ） A.P （摸到白球）＝ 21，P （摸到黑球）＝21 B.P （摸到白球）＝21，P （摸到黑球）＝31，P （摸到红球）＝61 C.P （摸到白球）＝32，P （摸到黑球）＝P （摸到红球）＝3 1 D.摸到白球、黑球、红球的概率都是3 1 6.概率为0.007的随机事件在一次试验中（ ） A.一定不发生 B.可能发生，也可能不发生 C.一定发生 D.以上都不对 7.一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中88次摸到黑球，估计盒中大约有白球（ ） A.28个 B.30个 C.36个 D.42个 8.在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其它都完全相同，小明通过多次试验后发现其中摸到红色、黑色的频率分别为15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是（ ） A.6 B.16 C.18 D.24 9.如图1，有6张写有汉字的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上洗匀后如图2摆放，从中任意翻开一张是汉字“自”的概率是（ ） A. 12 B.13 C.23 D.16 图1 图2 直角二角形的边角关系知识考点 知识讲解： 1.锐角三角函数的概念 如图，在ABC 中，/ C 为直角，则锐角 A 的各三角函 数的定义如下： (1)角A 的正弦：锐角A 的对边与斜边的比叫做/ A 的正弦，记作sinA , ⑵ 角A 的余弦：锐角A 的邻边与斜边的比叫做/ A 的余弦，记作 cosA , 口口 b 即 cosA = (3)角A 的正切：锐角A 的对边与邻边的比叫做/ A 的正切，记作tanA , 即 tanA =7 b (4) 角A 的余切：锐角A 的邻边与对边的比叫做/ A 的余切，记作cotA , 即 si nA b 即cotA =- a 2.直角三角形中的边角关系 (1) 三边之间的关系：a 2 + b 2 = c 2 (2) 锐角之间的关系：A + B = 90° (3) 边角之间的关系： sinA = cosB = -, cosA = sinB =2 c c a b tanA = cotB = , cotA = tanB = 3. 三角函数的关系 (1) 同角的三角函数的关系 2) 倒数关系：tan A -c otA = 1 sinA cosA tanA = , cotA =. cosA st nA (2) 互为余角的函数之间的关系 sin(90 ° - A) = cosA , cos(90 ° - A) = sinA tan (90 ° — A) = cotA , cot (90 ° — A) = tanA 4. 一些特殊角的三角函数值 1) 平方关系：sinA 2 + cosA 2 = 1 3) 商的关系: 九 年 级 数 学 试 卷 全卷满分120分，考试时间共120分钟 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个 选项符合题意） 1．︱－32︱的值是（ ） A ．-3 B ． 3 C ．9 D ．-9 2．函数y = x －2 x 中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ≠0 B ．x ≥2 C ．x ＞2且x ≠0 D ．x ≥2且x ≠0 3．由一些大小相同的小正方体组成的几何体的三视图如图1所示，那么组成这个几何体的小正方体有（ ） A ．6块 B ．5块 C ．4块 D ．3块 4．在等腰△ABC 中，一腰AB 的垂直平分线交另一腰AC 于点G ，若已知AB ＝10，△GBC 的周长为17，则底BC 的长为（ ） A ．10 B ．9 C ．7 D ．5 5．若α、β是方程x 2－4x －5＝0的两个实数根，则α2＋β2的值为（ ） A ．30 B ．26 C ．10 D ．6 6．某校九（3）班的全体同学喜欢的球类运动用如图2所示的统计图来表示，下面说法正确的是（ ） A ．从图中可以直接看出喜欢各种球类的具体人数； B ．从图中可以直接看出全班的总人数； C ．从图中可以直接看出全班同学初中三年来喜欢各种球类的变化情况； D ．从图中可以直接看出全班同学现在喜欢各种球类的人数的大小关系 7．如图3，四边形ABCD 是平行四边形，O 是对角线AC 与BD 的交点，AB ⊥A C ，若AB =8，AC =12， 则BD 的长是（ ） A ．16 B ．18 C ．20 D ．22 8．如图4，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，已知小“鱼”上一个“顶点”的坐标为（a ，b ），那么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为（ ） A ．（-a ，-2b ） B ．（-2a ，-b ） C ．（-2a ，-2b ） D ．（-b ，-2a ） 主视图 俯视图 左视图 图1 足球 30% 篮球 25% 排球 20% 乒乓球 25% 图2 第十九讲 解直角三角形 1．在一次数学活动中，李明利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD ，如图，已知李明距假山的水平距离BD 为12 m ，他的眼睛距地面的高度为1.6 m ，李明的视线经过量角器零刻度线OA 和假山的最高点C ，此时，铅垂线OE 经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为 ( A ) A ．(43＋1.6)m B ．(123＋1.6)m C ．(42＋1.6)m D ．4 3 m ,(第1题图)) ,(第2题图)) 2．如图，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A 的值为( B ) A .1 2 B .55 C .1010 D .255 3．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是( D ) A ．2 B .255 C .55 D .12 ,(第3题图)) ,(第4题图)) 4．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，则下列结论不正确的是( C ) A ．sin B ＝AD AB B ．sin B ＝A C BC C ．sin B ＝AD AC D ．sin B ＝CD AC 5．小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等．小明将PB 拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C 为水平线)，测角仪B′D 的高度为1 m ，则旗杆PA 的高度为( A ) A .1 1－sin α B .11＋sin α C .11－cos α D .11＋cos α 6．计算sin 245°＋cos 30°·tan 60°，其结果是( A ) A ．2 B ．1 C .52 D .54 7．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，E 为AB 上一点且AE∶EB＝4∶1，EF ⊥AC 于F ，连结FB ，则tan ∠CFB 的值等于( C ) A .33 B .233 C .533 D . 3 ,(第7题图)) ,(第8题图)) 8．在寻找马航MH 370航班过程中，某搜寻飞机在空中A 处发现海面上一块疑似漂浮目标B ，此时从飞机上看目标B 的俯角为α，已知飞行高度AC ＝1 500 m ，tan α＝35 ，则飞机距疑似目标B 的水平距离BC 为( D ) A ．2 400 5 m B ．2 400 3 m C ．2 500 5 m D ．2 500 3 m 9．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35 ，BC ＝6，则AB ＝__10__． 10．规定：sin (－x)＝－sin x ，cos (－x)＝cos x ，sin (x ＋y)＝sin x ·cos y ＋cos x ·sin y.据此判断下列等式成立的是__②③④__．(写出所有正确的序号) ①cos (－60°)＝－12；②sin 75°＝6＋24 ；③sin 2x ＝2sin x ·cos x ；④sin (x －y)＝sin x ·cos y －cos x ·sin y. 11．如图，在半径为5的⊙O 中，弦AB ＝6，点C 是优弧AB ︵上一点(不与A ，B 重合)，则cos C 的值为__45 __． ,(第11题图)) ,(第12题图)) 12．如图，在四边形ABCD 中，AD ＝AB ＝BC ，连结AC ，且∠ACD＝30°，tan ∠BAC ＝ 233，CD ＝3，则AC ＝__63__． 13．计算：(1)tan 45°＋2sin 45°－2cos 60°； 解：原式＝1＋2× 22－2×12 ＝1＋2－1 ＝2； 九年级数学练习题 一、填空题： 1、-5的绝对值是____________； 2、2010年我国粮食产量将达到540 000 000 000千克，用科学记数法可表示为___________千克。 3、已知反比例函数x k y = 的图像过点(6 ， -3 1 )，则 k=__________； 4、函数y=x 31-中，自变量x 的取值范围是______________； 5、已知数据-3，-2，-1，1，2，a 的中位数是-1，则a=__________； 6、不等式组? ? ?->->314 2x x 的解集是__________； 7、圆锥底面的半径为5cm ，高为12cm ，则圆锥的侧面积为_______cm 2 。 8、两圆的半径分别为5和8，若两圆内切，则圆心距等于________。 9、同时抛两枚1元硬币，出现两个正面的概率为 41，其中“4 1 ”含义为__________ _______________________________________________________________； 10、把多项式x 4y+2x 2y 3-5xy 4+6-3x 3y 2 按x 的升幂排列是_______________________________； 11、如图是4张一样大小的矩形纸片拼成的图形。请利用图形写出一个有关多项式分解因式的等式_____________________； 12、观察下列图形的排列规律（其中△是三角形， □是正方形，○是圆）， □△○□□△○□□△○□□△○□…… 若第一个图形是正方形，则第2006个图形是______(填图形名称) 二、选择题 13、下列运算正确的是( ) A 、a 2 +a 2 =a 4 B 、4a 2 -2a 2 =2 C 、a 8÷a 2=a 4 D 、a 2?a 3=a 5 14、小丽制作了一个如下左图所示的正方体礼品盒，其对面图案 都相同，那么这个正方体的平面展开图可能是( ) A B C D 15、数学老师对小林在参加中考前的十次模拟考试进行统计分析，判断其成绩是否稳定，于是，老师必需知道这十次数学成绩的( ) A 、平均数 B 、众数 C 、方差 D 、频率 a b 九年级数学（下册） “锐角三角函数”教材分析 本章包括锐角三角函数的概念（主要是正弦、余弦和正切的概念）以及利用锐角三角函数解直角三角形等内容。锐角三角函数为 解直角三角形提供了有效的工具，解直角三角形在实际当中有着广 泛的应用，这也为锐角三角函数提供了与实际联系的机会。研究锐 角三角函数的直接基础是相似三角形的一些结论，解直角三角形主 要依赖锐角三角函数和勾股定理等内容，因此相似三角形和勾股定 理等是学习本章的直接基础。 本章重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法。锐角三 角函数的概念既是本章的难点，也是学习本章的关键。难点在于， 锐角三角函数的概念反映了角度与数值之间对应的函数关系，这种 角与数之间的对应关系，以及用含有几个字母的符号sin A、cos A、tan A表示函数等，学生过去没有接触过，所以对学生来讲有一定难度。至于关键，因为只有正确掌握了锐角三角函数的概念，才能真 正理解直角三角形中边、角之间的关系，从而才能利用这些关系解 直角三角形。 一、教科书内容与课程学习目标 （一）本章知识结构框图 本章知识的展开顺序如下所示： （二）教科书内容 本章内容分为两节。第一节主要学习正弦、余弦和正切等锐角 三角函数的概念，第二节主要研究直角三角形中的边角关系和解直 角三角形的内容。第一节内容是第二节的基础，第二节是第一节的 应用，并对第一节的学习有巩固和提高的作用。 在1节“锐角三角函数”中，教科书先研究了正弦函数，然后 在正弦函数的基础上给出余弦函数和正切函数的概念。对于正弦函数，教科书首先设置了一个实际问题，把这个实际问题抽象成数学 问题，就是在直角三角形中，已知一个锐角和这个锐角的对边求斜 边的问题。由于这个锐角是一个特殊的30°角，所以可以利用“在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半”这个结论来解决这个 问题。接下去教科书又提出问题：如果30°角所对的边的长度发生改变，那么斜边的长变为多少？解决这个的问题仍然需要利用上述结论。这样就能够使学生体会到“无论直角三角形的大小如何，30°角所对的边与斜边的比总是一个常数”。这里体现了函数的对应思想，即30°角对应数值。接下去，教科书又设置一个“思考”栏目，让学生进一步探讨在直角三角形中，45°角所对的边与斜边的比有什么特点。利用勾股定理就可以发现这个比值也是一个常数。这样就使学 生认识到“无论直角三角形的大小如何，45°角所对的边与斜边的比总是一个常数”。通过探讨上面这两个特殊的直角三角形，能够使 学生感受到在直角三角形中，如果一个锐角的度数分别是30°和45°，那么它们所对的边与斜边的比都是常数。这里体现了函数的思想， 也为引出正弦函数的概念作了铺垫。有了上面这样的感受，会使学 生自然地想到，在直角三角形中，一个锐角取其他一定的度数时，解直角三角形的知识点总结
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