一、选择题
1. 下列事件属于必然事件的是（ ）
A ．打开电视，正在播放新闻
B ．我们班的同学将会有人成为航天员
C ．实数a ＜0，则2a ＜0
D ．新疆的冬天不下雪
2.在计算机键盘上，最常使用的是（）
A.字母键
B.空格键
C.功能键
D.退格键
3.在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有4个红球且摸到红球的概率为1
3，那么口袋中球的总数为（ ）
Ａ．12个 Ｂ．9个 Ｃ．6个 Ｄ．3个
4.掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1～6的点数，掷得面朝上的点数为奇数的概率为（ ） A.16 B.13 C.14 D.12
5.小明准备用6个球设计一个摸球游戏，下面四个方案中，你认为哪个不成功（）
A.P （摸到白球）＝
21，P （摸到黑球）＝2
1 B.P （摸到白球）＝21，P （摸到黑球）＝31，P （摸到红球）＝6
1 C.P （摸到白球）＝32，P （摸到黑球）＝P （摸到红球）＝3
1 D.摸到白球、黑球、红球的概率都是31 6.概率为0.007的随机事件在一次试验中（）
A.一定不发生
B.可能发生，也可能不发生
C.一定发生
D.以上都不对
7.一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中88次摸到黑球，估计盒中大约有白球（）
A.28个
B.30个
C.36个
D.42个
8.在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其它都完全相同，小明通过多次试验后发现其中摸到红色、黑色的频率分别为15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是（）
A.6
B.16
C.18
D.24
9.如图1，有6张写有汉字的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上洗匀后如图2摆放，从中任意翻开一张是汉字“自”的概率是（）
A.
12 B.13 C.23 D.16
图1 图2
10.如图，一个小球从A 点沿轨道下落，在每个交叉口都有向左或向右两种机会相等的结果，
小球最终到达H 点的概率是（） A.
12 B.14 C.16 D.18
二、填空题
11.在100张奖券中，有4张中奖，小勇从中任抽1张，他中奖的概率是.
12.小强与小红两人下军棋，小强获胜的概率为46％，小红获胜的概率是30%，那么两人下一盘棋小红不输的概率是_______.
13.在元旦游园晚会上有一个闯关活动，将5张分别画有等腰梯形，圆，平行四边形，等腰三角形，菱形的卡片任意摆放，将有图形的一面朝下，从中任意翻开一张，如果翻开的图形是中心对称图形就可以过关，那么一次过关的概率是.
14.小红和小明在操场上做游戏，他们先在地上画了半径为2m 和3m 的同心园，如图，然后蒙上眼睛在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴部分小红胜，否则小明胜，未掷入圈内不算，获胜可能性大的是.
15.不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个白球的概率是6
1，则口袋里有蓝球＿＿＿个.
16.某鱼塘捕到100条鱼,称得总重为150千克,这些鱼大小差不多, 做好标记后放回鱼塘,在它们混入鱼群后又捕到102条大小差不多的同种鱼,称得总重仍为150千克,其中有2条带有标记的鱼.
（1）鱼塘中这种鱼大约有多少千克?
（2）估计这个鱼塘可产这种鱼多少千克?
17.一个密码柜的密码由四个数字组成，每个数字都是0－9这十个数字中的一个，只有当四个数字与所设定的密码相同时，才能将柜打开，粗心的刘芳忘了其中中间的两个数字，他一次就能打开该锁的概率是多少?
18.将正面分别标有数字6，7，8，背面花色相同的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上.
（1）随机地抽取一张，求P （偶数）.
（2）随机地抽取一张作为个位上的数字（不放回），再抽取一张作为十位上的数字，能组成哪些两位数？恰好为“68”的概率是多少？
19.一枚均匀的正方体骰子，六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，?连续抛掷两次，朝上的数字分别是m 、n ，若把m 、n 作为点A 的横、纵坐标，那么点A （m ，n ）在函数y ＝2x 的图像上的概率是多少？
四、能力提升
20.田忌赛马是一个为人熟知的故事.传说战国时期，齐王与田忌各有上、中、下三匹马，同等级的马中，齐王的马比田忌的马强.有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹马，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，看样子田忌似乎没有什么获胜的希望，但是田忌的谋士了解到主人的上、中等马分别比齐王的中、下等马强…
（1）如果齐王将马按上、中、下的顺序出阵比赛，那么田忌的马如何出阵，田忌才能取胜？
（2）如果齐王将马按上、中、下的顺序出阵，而田忌的马随机出阵比赛，田忌获胜的概率是多少？（要求写出双方对阵的所有情况）
21. 不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中红球有2
个，蓝球有1个，现从中任意摸出一个是红球的概率为21
．
(1)求袋中黄球的个数；
(2)第一次摸出一个球（不放回），第二次再摸一个小球，请用画树状图或列表法求两次摸到都是红球的概率；
(3)若规定摸到红球得5分，摸到黄球得3分，摸到蓝球得1分，小明共摸6次小球（每次摸1个球，摸后放回）得20分，问小明有哪几种摸法？
新初中数学概率技巧及练习题 一、选择题 1．如图，由四个直角边分别是6和8的全等直角三角形拼成的“赵爽弦图”，随机往大正方形区域内投针一次，则针扎在小正方形GHEF 部分的概率是（ ） A ． 34 B ． 14 C ． 124 D ． 125 【答案】D 【解析】 【分析】 求出ＡＢ,ＨＧ的边长,进而得到正方形GHEF 的面积和四个小直角三角形的面积,求出比值即可. 【详解】 解：∵ＡＨ＝６,ＢＨ＝８, 勾股定理得ＡＢ＝１０, ∴ＨＧ＝８－６＝２,Ｓ△ＡＨＢ＝２４, ∴Ｓ正方形GHEF ＝４,四个直角三角形的面积＝９６, ∴针扎在小正方形GHEF 部分的概率是100４=125 故选Ｄ. 【点睛】 本题考查了几何概型的实际应用,属于简单题,将概率问题转换成求图形的面积问题是解题关键. 2．岐山县各学校开展了第二课堂的活动,在某校国学诗词组、篮球足球组、陶艺茶艺组三个活动组织中,若小斌和小宇两名同学每人随机选择其中一个活动参加,则小斌和小宇选到同一活动的概率是（ ） A ． 12 B ． 13 C ． 16 D ． 19 【答案】B 【解析】 【分析】 先画树状图（国学诗词组、篮球足球组、陶艺茶艺组分别用A 、B 、C 表示）展示所有9种等可能的结果数，再找出小斌和小宇两名同学的结果数，然后根据概率公式计算即可．
【详解】 画树状图为：(国学诗词组、篮球足球组、陶艺茶艺组分别用A. B. C表示) 共有9种等可能的结果数，其中小斌和小宇两名同学选到同一课程的结果数为3， 所以小斌和小宇两名同学选到同一课程的概率=31 93 ， 故选B. 【点睛】 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适用于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 3．欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以构酌油之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油的技艺之高超.如图，若铜钱半径为，中间有边长为的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是（） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】 【分析】 用中间正方形小孔的面积除以圆的总面积即可得． 【详解】 ∵铜钱的面积为4π，而中间正方形小孔的面积为1， ∴随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是， 故选：D． 【点睛】 考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等． 4．将三粒均匀的分别标有：1，2，3，4，5，6的正六面体骰子同时掷出，出现的数字分
第二十五章概率初步单元测试 一、单选题（共10题；共30分） 1、一个暗箱里装有10个黑球，6个白球，14个红球，搅匀后随机摸出一个球，则摸到白球的概率是 A、B、C、D、 2、书包里有数学书3本，英语书2本，语文书5本，从中任意抽取一本，是数学书的概率是（） A、B、C、?D、? 3、如图，一个圆形转盘被等分成八个扇形区域，上面分别标上1，3，4，5，6，7，8，9，转盘可以自由转动，转动转盘一次，指针指向的数字为偶数所在区域的概率 是（） A、B、C、D、 4、在一个不透明的袋子中装有除颜色外其它均相同的3个红球和2个白球，从中任意摸出一个球，则摸出白球的概率是（） A、B、C、D、 5、下列模拟掷硬币的实验不正确的是（） A、用计算器随机地取数，取奇数相当于下面朝上，取偶数相当于硬币正面朝下 B、袋中装两个小球，分别标上1和2，随机地摸，摸出1表示硬币正面朝上
C、在没有大小王的扑克中随机地抽一张牌，抽到红色牌表示硬币正面朝上 D、将1、2、3、4、5分别写在5张纸上，并搓成团，每次随机地取一张，取到奇数号表示硬币正面朝上 6、明明的相册里放了大小相同的照片共32张，其中与同学合影8张、与父母合影10张、个人照片14张，她随机地从相册里摸出1张，摸出的恰好是与同学合影的照片的可能性是（） A、B、C、D、 7、历史上，雅各布．伯努利等人通过大量投掷硬币的实验，验证了“正面向上的频率在0.5左右摆动，那么投掷一枚硬币10次，下列说法正确的是（） A、“正面向上”必会出现5次 B、“反面向上”必会出现5次 C、“正面向上”可能不出现 D、“正面向上”与“反面向上”出现的次数必定一样，但不一定是5次 8、一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的10个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了1000次，其中有125次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约有（）个． A、100个 B、90个 C、80个 D、70个 9、小茜课间活动中，上午大课间活动时可以先从跳绳、乒乓球、健美操中随机选择一项运动，下午课外活动再从篮球、武术、太极拳中随机选择一项运动．则小茜上、下午都选中球类运动的概率是（??） A、B、C、D、
一、选择题 1. 下列事件属于必然事件的是（ ） A ．打开电视，正在播放新闻 B ．我们班的同学将会有人成为航天员 C ．实数a ＜0，则2a ＜0 D ．新疆的冬天不下雪 2.在计算机键盘上，最常使用的是（ ） A.字母键 B.空格键 C.功能键 D.退格键 3. 在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有4个红球且摸到红球的概率为1 3，那么口袋中球的总数为（ ） Ａ．12个 Ｂ．9个 Ｃ．6个 Ｄ．3个 4.掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1～6的点数，掷得面朝上的点数为奇数的概率为（ ） A.16 B.13 C.14 D.12 5.小明准备用6个球设计一个摸球游戏，下面四个方案中，你认为哪个不成功（ ） A.P （摸到白球）＝21，P （摸到黑球）＝2 1 B.P （摸到白球）＝ 21，P （摸到黑球）＝31，P （摸到红球）＝61 C.P （摸到白球）＝32，P （摸到黑球）＝P （摸到红球）＝3 1 D.摸到白球、黑球、红球的概率都是 31 6.概率为0.007的随机事件在一次试验中（ ） A.一定不发生 B.可能发生，也可能不发生 C.一定发生 D.以上都不对 7.一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，为估计白球的
个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中88次摸到黑球，估计盒中大约有白球（ ） A.28个 B.30个 C.36个 D.42个 8.在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其它都完全相同，小明通过多次试验后发现其中摸到红色、黑色的频率分别为15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是（ ） A.6 B.16 C.18 D.24 9.如图1，有6张写有汉字的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上洗匀后如图2摆放，从中任意翻开一张是汉字“自”的概率是（ ） A.12 B.13 C.23 D.16 10.如图，一个小球从A 点沿轨道下落，在每个交叉口都有向左或向右两种机会相等的结果，小球最终到达H 点的概率是（ ） A. 12 B.14 C.16 D.18 二、填空题 11.在100张奖券中，有4张中奖，小勇从中任抽1张，他中奖的概率是 . 12.小强与小红两人下军棋，小强获胜的概率为46％，小红获胜的概率是30%，那么两人下 图1 图2
概率初步单元测评附参考答案 （时间：100分钟，满分：110分） 班级：姓名：学号：得分： 一、选择题(每题4分，共48分) 1.下列事件是必然事件的是() A.明天天气是多云转晴 B.农历十五的晚上一定能看到圆月 C.打开电视机，正在播放广告 D.在同一月出生的32名学生，至少有两人的生日是同一天 2.下列说法中正确的是() A.可能性很小的事件在一次实验中一定不会发生 B.可能性很小的事件在一次实验中一定会发生 C.可能性很小的事件在一次实验中有可能发生 D.不可能事件在一次实验中也可能发生 3.下列模拟掷硬币的实验不正确的是() A.用计算器随机地取数，取奇数相当于下面朝上，取偶数相当于硬币正面朝下 B.袋中装两个小球，分别标上1和2，随机地摸，摸出1表示硬币正面朝上 C.在没有大小王的扑克中随机地抽一张牌，抽到红色牌表示硬币正面朝上 D.将1、2、3、4、5分别写在5张纸上，并搓成团，每次随机地取一张，取到奇数号表示硬币正面朝上 4.在10000张奖券中，有200张中奖，如果购买1张奖券中奖的概率是() A. B. C. D. 5.有6张背面相同的扑克牌，正面上的数字分别是4、5、6、7、8、9，若将这六张牌背面向上洗匀后，从中任意抽取一张，那么这张牌正面上的数字是3的倍数的概率为() A. B. C. D. 6.一个袋子中有4个珠子，其中2个是红色，2个蓝色，除颜色外其余特征均相同，若在这个袋中任取2个珠子，都是红色的概率是() A. B. C. D. 7.有5条线段的长分别为2、4、6、8、10，从中任取三条能构成三角形的概率是() 1
A. B. C. D. 8.一个均匀的立方体六个面上分别标有1，2，3，4，5，6，下图是这个立方体表面的 展开图，抛掷这个立方体，则朝上一面的数恰好等于朝下一面的数的的概率是() A. B. C. D. 9.四张完全相同的卡片上，分别画有圆、矩形、等边三 角形、等腰梯形，现从中随机抽取一张，卡片上画的恰好是中心对称图形的概率为() A. B. C. D. 10.把一个沙包丢在如图所示的某个方格中(每个方格除颜色外完全一样)，那么沙包落在黑色格中的概率是() A. B. C. D. 11.如果小明将飞镖随意投中如图所示的圆形木板，那么镖落在小圆内的概率为() A. B. C. D. 12.中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是 一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖金额，其余商标的背面是一张苦脸，若翻到它就不得奖.参加这个游戏的观众有三次翻牌的机会，某观众前两次翻牌均得若干奖金，已经翻过的牌不能再翻，那么这位获奖的概率是() A. B. C. D. 2
概率初步知识点 一、 概率的概念 某种事件在某一条件下可能发生， 也可能不发生， 但可以知道它发生的可能性的大小， 我们把刻划 （描述） 事件发生的可能性的大小的量叫做概率 . 2、事件类型： ①必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件 . ②不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件 . ③不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件 . 3、概率的计算 一般地，如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都 相等，事件 A 包含其中的 m 中结果，那么事件 A 发生的概率为 （ 1） 列表法求概率 当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通 常采用列表法。 （ 2） 树状图法求概率 当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。 4、利用频率估计概率 ①利用频率估计概率 ：在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某 个常数，可以估计这个事件发生的概率。 ②在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模 拟实验。 ③随机数：在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。把这些随机产生的 数据称为随机数。 概率初步练习 一、选择题 1、下列成语所描述的事件是必然事件的是（ ） A ．瓮中捉鳖 B ．拔苗助长 C ．守株待兔 D ．水中捞月 2、在一个不透明的口袋中，装有 5 个红球 3 个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到 红球的概率为（ ） A ． 1 B ． 1 C ． 5 D ． 3 5 3 8 8 3、小伟掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面分别刻有 1 到 6 的点数。则向上的一面的点数大于 1 / 3
初中数学概率经典测试题及答案 一、选择题 1．如图，转盘中8个扇形的面积都相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，估计下列4个事件发生的可能性大小，其中事件发生的可能性最大的是（） A．指针落在标有5的区域内B．指针落在标有10的区域内 C．指针落在标有偶数或奇数的区域内D．指针落在标有奇数的区域内 【答案】C 【解析】 【分析】 根据可能性等于所求情况数与总情况数之比分别求出每种情况的可能性，再按发生的可能性从小到大的顺序排列即可，从而确定正确的选项即可． 【详解】 解：A、指针落在标有5的区域内的概率是1 8 ； B、指针落在标有10的区域内的概率是0； C、指针落在标有偶数或奇数的区域内的概率是1； D、指针落在标有奇数的区域内的概率是1 2 ； 故选：C． 【点睛】 此题考查了可能性大小，用到的知识点是可能性等于所求情况数与总情况数之比，关键是求出每种情况的可能性． 2．下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（） A．黄河入海流 B．锄禾日当午 C．大漠孤烟直 D．手可摘星辰 【答案】D 【解析】 【分析】 不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件． 【详解】
A、是必然事件，故选项错误； B、是随机事件，故选项错误； C、是随机事件，故选项错误； D、是不可能事件，故选项正确． 故选D． 【点睛】 此题主要考查了必然事件，不可能事件，随机事件的概念．理解概念是解决这类基础题的主要方法．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3．某小组做“频率具有稳定性”的试验时，绘出某一结果出现的频率折线图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（） A．抛一枚硬币，出现正面朝上 B．掷一个正六面体的骰子，掷出的点数是5 C．任意写一个整数，它能被2整除 D．从一个装有2个红球和1个白球的袋子中任取一球（这些球除颜色外完全相同），取到的是白球 【答案】D 【解析】 【分析】 根据频率折线图可知频率在0.33附近，进而得出答案. 【详解】 A、抛一枚硬市、出現正面朝上的概率为0.5、不符合这一结果，故此选项错误； B、掷一个正六面体的骰子、掷出的点数是5的可能性为1 6 ，故此选项错误； C、任意写一个能被2整除的整数的可能性为1 2 ，故此选项错误； D、从一个装有2个红球1个白球的袋子中任取一球，取到白球的概率是1 3 ，符合题意， 故选：D. 【点睛】 此题考查频率的折线图，利用频率估计事件的概率，正确理解频率折线图是解题的关键.
试题一 一、选择题（每题3分，共30分） 1. （08新疆建设兵团）下列事件属于必然事件的是（ ） A ．打开电视，正在播放新闻 B ．我们班的同学将会有人成为航天员 C ．实数a ＜0，则2a ＜0 D ．新疆的冬天不下雪 2.在计算机键盘上，最常使用的是（） A.字母键 B.空格键 C.功能键 D.退格键 3. (08甘肃庆阳）在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如 果口袋中装有4个红球且摸到红球的概率为1 3，那么口袋中球的总数为（ ） Ａ．12个 Ｂ．9个 Ｃ．6个 Ｄ．3个 4.掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1～6的点数，掷得面朝上的点数为奇数的概率为（ ） A. 16 B.13 C.14 D.12 5.小明准备用6个球设计一个摸球游戏，下面四个方案中，你认为哪个不成功（） A.P （摸到白球）＝ 21，P （摸到黑球）＝21 B.P （摸到白球）＝21，P （摸到黑球）＝31，P （摸到红球）＝61 C.P （摸到白球）＝32，P （摸到黑球）＝P （摸到红球）＝3 1 D.摸到白球、黑球、红球的概率都是3 1 6.概率为0.007的随机事件在一次试验中（） A.一定不发生 B.可能发生，也可能不发生 C.一定发生 D.以上都不对 7.一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中88次摸到黑球，估计盒中大约有白球（） A.28个 B.30个 C.36个 D.42个 8.在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其它都完全相同，小明通过多次试验后发现其中摸到红色、黑色的频率分别为15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是（） A.6 B.16 C.18 D.24 9.如图1，有6张写有汉字的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上洗匀后如图2摆放，从中任意翻开一张是汉字“自”的概率是（） A.12 B.13 C.23 D.16 图1 图2
初中数学概率分类汇编及答案 一、选择题 1．在一个不透明的袋子中装有6个除颜色外均相同的乒乓球，其中3个是黄球，2个是白球．1个是绿球，从该袋子中任意摸出一个球，摸到的不是绿球的概率是（） A．5 6 B． 1 3 C． 2 3 D． 1 6 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出摸出是绿球的概率，然后用1-是绿球的概率即可解答．【详解】 解：由题意得：到的是绿球的概率是1 6 ； 则摸到不是绿球的概率为1-1 6 = 5 6 ． 故答案为A． 【点睛】 本题主要考查概率公式，掌握求不是某事件的概率=1-是该事件的概率是解答本题的关键． 2．在一个不透明的袋中，装有3个红球和1个白球，这些球除颜色外其余都相同. 搅均后从中随机一次模出两个球 ．．．．．．．，这两个球都是红球的概率是（） A．1 2 B． 1 3 C． 2 3 D． 1 4 【答案】A 【解析】 【分析】 列举出所有情况，看两个球都是红球的情况数占总情况数的多少即可．【详解】 画树形图得： 一共有12种情况，两个球都是红球的有6种情况， 故这两个球都是红球相同的概率是 61 = 122 ， 故选A．【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 3．将一个小球在如图所示的地砖上自由滚动，最终停在黑色方砖上的概率为( ) A．5 9 B． 4 9 C． 1 2 D． 1 3 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意，用黑色方砖的面积除以正方形地砖的面积即可.【详解】 停在黑色方砖上的概率为：5 9 ， 故选：A. 【点睛】 本题主要考查了简单概率的求取，熟练掌握相关方法是解题关键. 4．如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是( ) A．1 5 B． 2 5 C． 3 5 D． 4 5 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 解：根据题意，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，共有5种等可能的结果，使与图中阴影部分构成轴对称图形的有②④⑤，3种情况，因 此可知使与图中阴影部分构成轴对称图形的概率为 3 35 5÷=
概率初步知识点归纳 1、事件类型： ○1必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件. ○2不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件. ○3不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事件）. 说明：（1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件. （2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ① 必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1； ② 不可能事件发生的概率为0,即P （不可能事件）=0； ③ 如果A 为不确定事件，那么0 进步之星概率初步单元测评 （时间：100 分钟，满分：110 分） 班级：姓名：学号：得分： 一、选择题(每题 4 分，共 48 分) 1.下列事件是必然事件的是( ) A.明天天气是多云转晴 B.农历十五的晚上一定能看到圆月 C.打开电视机，正在播放广告 D.在同一月出生的32 名学生，至少有两人的生日是同一天 2.下列说法中正确的是( ) A.可能性很小的事件在一次实验中一定不会发生 B.可能性很小的事件在一次实验中一定会发生 C. 可能性很小的事件在一次实验中有可能发生 D. 不可能事件在一次实验中也可能发生 3.下列模拟掷硬币的实验不正确的是( ) A.用计算器随机地取数，取奇数相当于下面朝上，取偶数相当于硬币正面朝下 B.袋中装两个小球，分别标上 1 和2，随机地摸，摸出 1 表示硬币正面朝上 C. 在没有大小王的扑克中随机地抽一张牌，抽到红色牌表示硬币正面朝上 D.将1、2、3、4、5 分别写在 5 张纸上，并搓成团，每次随机地取一张，取到奇数号 表示硬币正面朝上 4.在10000 张奖券中，有200 张中奖，如果购买1 张奖券中奖的概率是( ) A. B. C. D. 5.有6 张背面相同的扑克牌，正面上的数字分别是4、5、6、7、8、9，若将这六张牌 背面向上洗匀后，从中任意抽取一张，那么这张牌正面上的数字是3 的倍数的概率为( ) A. B. C. D. 6.一个袋子中有4 个珠子，其中2 个是红色，2 个蓝色，除颜色外其余特征均相同， 若在这个袋中任取2 个珠子，都是红色的概率是( ) A. B. C. D. 7.有5 条线段的长分别为2、4、6、8、10，从中任取三条能构成三角形的概率是( ) 初中数学概率难题汇编 一、选择题 1．下列说法：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是必然事件；③若甲组数据的方差是0.3，乙组数据的方差是0.1，则甲数据比乙组数据稳定；④圆内接正六边形的边长等于这个圆的半径，其中正确说法的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 【答案】A 【解析】 【分析】 根据平行四边形的判定去判断①；根据必然事件的定义去判断②；根据方差的意义去判断③；根据圆内接正多边形的相关角度去计算④． 【详解】 一组对边平行，另一组对边相等的四边形也有可能是等腰梯形，①错误；必然事件是一定会发生的事件，遇到红灯是随机事件，②错误；方差越大越不稳定，越小越稳定，乙比甲更稳定，③错误；正六边形的边所对的圆心角是60 ，所以构成等边三角形，④结论正确．所以正确1个，答案选A． 【点睛】 本题涉及的知识点较多，要熟悉平行四边形的常见判定；随机事件、必然事件、不可能事件等的区分；掌握方差的意义；会计算圆内接正多边形相关． 2．一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（） A．1 2 B． 1 4 C． 1 6 D． 1 12 【答案】C 【解析】 【分析】 画树状图求出共有12种等可能结果，符合题意得有2种，从而求解.【详解】 解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，两次都摸到白球的有2种情况， ∴两次都摸到白球的概率是： 21 126 =． 故答案为C． 【点睛】 本题考查画树状图求概率，掌握树状图的画法准确求出所有的等可能结果及符合题意的结果是本题的解题关键． 3．岐山县各学校开展了第二课堂的活动,在某校国学诗词组、篮球足球组、陶艺茶艺组三个活动组织中,若小斌和小宇两名同学每人随机选择其中一个活动参加,则小斌和小宇选到同一活动的概率是（） A．1 2 B． 1 3 C． 1 6 D． 1 9 【答案】B 【解析】 【分析】 先画树状图（国学诗词组、篮球足球组、陶艺茶艺组分别用A、B、C表示）展示所有9种等可能的结果数，再找出小斌和小宇两名同学的结果数，然后根据概率公式计算即可．【详解】 画树状图为：(国学诗词组、篮球足球组、陶艺茶艺组分别用A. B. C表示) 共有9种等可能的结果数，其中小斌和小宇两名同学选到同一课程的结果数为3， 所以小斌和小宇两名同学选到同一课程的概率=31 93 =， 故选B. 【点睛】 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适用于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 4．袋中有8个红球和若干个黑球，小强从袋中任意摸出一球，记下颜色后又放回袋中，摇匀后又摸出一球，再记下颜色，做了50次，共有16次摸出红球，据此估计袋中有黑球（）个． A．15 B．17 C．16 D．18 【答案】B 【解析】 【分析】 根据共摸球50次，其中16次摸到红球，则摸到红球与摸到黑球的次数之比为8: 17,由此可估计口袋中红球和黑球个数之比为8: 17;即可计算出黑球数. 概率初步知识点 1、事件类型 （1）确定事件 （a）必然事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然发生的事件。如：太阳从东方升起；若a、b、c均为实数，则a(bc) = (ab)c。 （b）不可能事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能事件。如：没有水分种子也能发芽。 （2）随机事件：在一定的条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。如：掷一次硬币正面朝上。 注意： （a）事件分为确定事件与不确定事件（随机事件）。确定事件又分为必然事件与不可能事件。 （b）事件一般用英文大写字母A、B、C、…表示。 2、事件的概率（probability） （1）事件的概率：对于一个，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)。 （2）必然事件发生的概率为1，即P(必然事件) = 1。 （3）不可能事件发生的概率为0，即P(不可能事件) = 0。 （4）如果A为随机事件，那么0 < P(A) < 1。当事件发生的可能性越来越小时，P(A)接近0；当事件发生的可能性越来越大时，P(A)接近1。 （5）对于任意事件A，有0()1 P A ≤≤。 3、频率（frequency）：事件实际发生次数与可能发生次数的比率。设在相同条 件下，独立重复进行n次试验，事件A出现f 次，则事件A出现的频率为f n 。 如：掷均匀硬币的试验。 注意：前提是在一定的条件下重复进行试验。 注意：频率与概率的关系 （1）频率总是围绕概率上下波动； （2）样本量n越大，波动幅度越小，频率越接近概率； （3）随着实验次数增至足够大，频率逐渐稳定于某一常数附近，则该常数为概率。 4、古典概型： 一种概率模型。如果一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都 相等，事件A中包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为()m P A n 。如：掷一枚均匀的硬币，出现正面的概率。 注意：古典概型与频率的区别。 5、几何概型： 一种概率模型。如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积或度数）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。 古典概型与几何概型的主要区别：试验的结果是无限个。 如：往下图中抛点，该点刚好落入四分之一圆内的概率。 6、用列举法求事件发生概率的常用方法 （1）穷举法：如果试验的结果较少，我们可以采用简单列举的方法，把所有的结果直接排列出来。 （2）列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。 （3）树状图法：当一次试验要涉及三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法。 掷骰[读tóu]子试验 中考全国试卷分类汇编 概率 1、(临沂)如图，在平面直角坐标系中,点A 1 ， A 2在x 轴上，点B 1，B 2在y 轴上，其坐标分别为A 1(1，0),A 2(2,0),B 1(0,1)，B 2（0,2），分别以A 1A 2B 1B 2其中的任意两点与点．．O ．为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是 （A ） 3 4. (B) 1 3. (C) 2 3 . (D) 1 2. 答案：D 解析：以A 1A 2B 1B 2其中的任意两点与点．．O ．为顶点作三角形，能作4个，其中A 1B 1O ，A 2B 2O 为等腰三角形，共2个，故概率为： 1 2 2、(年武汉)袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球．下列事件是必然事件的是（ ） A ．摸出的三个球中至少有一个球是黑球． B ．摸出的三个球中至少有一个球是白球． C ．摸出的三个球中至少有两个球是黑球． D ．摸出的三个球中至少有两个球是白球． 答案：A 解析：因为白球只有2个，所以，摸出三个球中，黑球至少有一个，选A 。 3、（四川南充，7，3分）有五张卡片（形状、大小、质地都相同），上面分别画有下列图 形：①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆。将卡片背面朝上洗匀，从中抽取一张，正面图形一定满足既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是 （ ） A. 51 B. 52 C. 53 D. 5 4 答案：B 2解析：既是轴对称图形，又是中心对称图形的有线段、圆，共2张，所以，所求概率为： 5 4、（?宁波）在一个不透明的布袋中装有3个白球和5个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同．从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是（） 考点：概率公式． 分析：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 解答：解：解：根据题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的3个白球和5个红球，共5个， 从中随机摸出一个，则摸到红球的概率是=． 故选：D． 点评：本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 5、（?内江）同时抛掷A、B两个均匀的小立方体（每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），设两立方体朝上的数字分别为x、y，并以此确定点P（x，y），那么点P落在抛物线y=﹣x2+3x上的概率为（） A．B．C．D． 考点：列表法与树状图法；二次函数图象上点的坐标特征． 专题：阅读型． 分析：画出树状图，再求出在抛物线上的点的坐标的个数，然后根据概率公式列式计算即可得解． 解答：解：根据题意，画出树状图如下： 一共有36种情况， 当x=1时，y=﹣x2+3x=﹣12+3×1=2， 当x=2时，y=﹣x2+3x=﹣22+3×2=2， 当x=3时，y=﹣x2+3x=﹣32+3×3=0， 当x=4时，y=﹣x2+3x=﹣42+3×4=﹣4， 当x=5时，y=﹣x2+3x=﹣52+3×5=﹣10， 当x=6时，y=﹣x2+3x=﹣62+3×6=﹣18， 所以，点在抛物线上的情况有2种， P（点在抛物线上）==． 人教版初中数学概率知识点 一、选择题 1．用2、3、4三个数字排成一个三位数，则排出的数是偶数的概率为( ) A．1 2 B． 1 4 C． 3 5 D． 2 3 【答案】D 【解析】 【分析】 首先利用列举法可得：用2，3，4三个数字排成一个三位数，等可能的结果有：234，243，324，342，423，432；且排出的数是偶数的有：234、324、342、432，然后直接利用概率公式求解即可求得答案 【详解】 解：∵用2，3，4三个数字排成一个三位数，等可能的结果有：234，243，324，342，423，432； ∵排出的数是偶数的有：234、324、342、432； ∴排出的数是偶数的概率为：4 6 = 2 3 . 【点睛】 此题考查了列举法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 2．太原是我国生活垃圾分类的46个试点城市之一，垃圾分类的强制实施也即将提上日程根据规定，我市将垃圾分为了四类可回收垃圾、餐厨垃圾有害垃圾和其他垃圾现有投放这四类垃圾的垃圾桶各1个，若将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率是（） A．1 6 B． 1 8 C． 1 12 D． 1 16 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，由列表法得到投放的所有结果，然后正确的只有1种，即可求出概率.【详解】 解：由列表法，得： ∴共有12种等可能的结果数，其中将两包垃圾随机投放到其中的两个垃圾箱中，能实现对应投放的结果为1种， ∴投放正确的概率为： 1 12 P=； 故选择：C. 【点睛】 本题考查了列表法与树状图法求概率，解题的关键是正确求出所有等可能的结果数. 3．一个布袋里放有红色、黄色、黑色三种球，它们除颜色外其余都相同，红球、黄球、黑球的个数之比为5：3：1，则从布袋里任意摸出一个球是黄球的概率是（） A．5 9 B． 1 3 C． 1 9 D． 3 8 【答案】B 【解析】 分析：用黄球所占的份数除以所有份数的和即可求得是黄球的概率．详解：∵红球、黄球、黑球的个数之比为5：3：1， ∴从布袋里任意摸出一个球是黄球的概率是 31 = 5+3+13 . 故选：B． 点睛：此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 4．从﹣1、2、3、﹣6这四个数中任取两数，分别记为m、n，那么点(),m n在函数6 y x =图象的概率是（） A．1 2 B． 1 3 C． 1 4 D． 1 8 【答案】B 【解析】 【分析】 根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出mn＝6，列表找出所有mn的值，根据表格中mn＝6所占比例即可得出结论． 【详解】 最新人教版数学九年级上册 概率初步单元测评附参考答案 （时间：100分钟，满分：110分） 班级：姓名：学号：得分： 一、选择题(每题4分，共48分) 1.下列事件是必然事件的是( ) A.明天天气是多云转晴 B.农历十五的晚上一定能看到圆月 C.打开电视机，正在播放广告 D.在同一月出生的32名学生，至少有两人的生日是同一天 2.下列说法中正确的是( ) A.可能性很小的事件在一次实验中一定不会发生 B.可能性很小的事件在一次实验中一定会发生 C.可能性很小的事件在一次实验中有可能发生 D.不可能事件在一次实验中也可能发生 3.下列模拟掷硬币的实验不正确的是( ) A.用计算器随机地取数，取奇数相当于下面朝上，取偶数相当于硬币正面朝下 B.袋中装两个小球，分别标上1和2，随机地摸，摸出1表示硬币正面朝上 C.在没有大小王的扑克中随机地抽一张牌，抽到红色牌表示硬币正面朝上 D.将1、2、3、4、5分别写在5张纸上，并搓成团，每次随机地取一张，取到奇数号表示硬币正面朝上 4.在10000张奖券中，有200张中奖，如果购买1张奖券中奖的概率是( ) A. B. C. D. 5.有6张背面相同的扑克牌，正面上的数字分别是4、5、6、7、8、9，若将这六张牌背面向上洗匀后，从中任意抽取一张，那么这张牌正面上的数字是3的倍数的概率为( ) A. B. C. D. 6.一个袋子中有4个珠子，其中2个是红色，2个蓝色，除颜色外其余特征均相同，若在这个袋中任取2个珠子，都是红色的概率是( ) A. B. C. D. 7.有5条线段的长分别为2、4、6、8、10，从中任取三条能构成三角形的概率是( ) A. B. C. D. 8.一个均匀的立方体六个面上分别标有1，2，3，4，5，6，下图是这个立方体表面的展开图，抛掷这个立方体，则朝上一面的数恰好等于朝下一面的数的的概率是( ) A. B. C. D. 9.四张完全相同的卡片上，分别画有圆、矩形、等边三 角形、等腰梯形，现从中随机抽取一张，卡片上画的恰好是中心对称图形的概率为( ) A. B. C. D. 10.把一个沙包丢在如图所示的某个方格中(每个方格除颜色外完全一样)，那么沙包落在黑色格中的概率是( ) A. B. C. D. 11.如果小明将飞镖随意投中如图所示的圆形木板，那么镖落在小圆内的概率为( ) A. B. C. D. 12.中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是 一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖金额，其余商标的背面是一张苦脸，若翻到它就不得奖.参加这个游戏的观众有三次翻牌的机会，某观众前两次翻牌均得若干奖金，已经翻过的牌不能再翻，那么这位获奖的概率是( ) 初三数学用列举法求概率综合练习题 一、课前预习(5 分钟训练) 1.在一个不透明的袋子里放入除颜色外完全相同的2 个红球和2 个黄球,摇匀后摸出一个记下 颜色,放回后摇匀,再摸出一个,则两次摸出的球均是红球的概率为( ) 1 1 1 3 A. B. C. D. 4 3 2 4 2.填空: (1)现有六条线段，长度分别为1，3，5，7，9，10，从中任取三条，能构成三角形的概率是 . (2)一副扑克牌抽出大小王后，只剩下红桃、黑桃、方块、梅花四种花色52 张，则任取一张是红桃的概率是; (3)抛掷两枚普通的骰子，出现数字之积为奇数的概率是，出现数字之积为偶数的概率是. 3.抛掷两枚硬币观察出现两个正面的试验中，随着试验次数的增加，出现两个正面的频率将趋于稳定在左右. 4.冰柜里装有四种饮料:5 瓶特种可乐、12 瓶普通可乐、9 瓶橘子水、6 瓶啤酒,其中特种可乐和普通可乐是含有咖啡因的饮料,那么从冰柜里随机取一瓶饮料,该饮料含有咖啡因的概率是( ) 5 3 15 17 A. B. C. D. 32 8 32 32 1.判断题 1 (1)某彩票的中奖概率是，那么某人买了22 张彩票，肯定有一张中奖.( ) 22 (2)抛掷一枚质量均匀的硬币，出现“正面”和“反面”的概率相等，因此抛1 000 次的话， 一定有500 次“正”，500 次“反”.() (3)世界乒乓球冠军王楠，预定在亚运会上夺冠的概率为100％.( ) 2.一个均匀的立方体六个面上分别标有数1,2,3,4,5,6. 图25-2-1 是这个立方体表面的展开图. 1 抛掷这个立方体,则朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的的概率是( ) 2 概率初步训练 姓名 得分 1.一只口袋中放着若干只红球和白球，这两种球除颜色以外没有其它区别，袋 中的球已经搅匀，蒙上眼睛从口袋中取出一只球，取出红球的概率是4 1. （1）取出白球的概率是多少 （2）如果袋中的白球有18只，那么袋中的红球有多少只 2.从男女学生共36人的班级中，选一名班长，任何人都有同样的当选机会， 如果选得男生的概率为3 2 ，求男女生数各多少. 3.甲、乙两人用如下图的两个转盘做游戏，转动两个转盘各1次． （1）若转出的两个数字之和大于8则甲胜，否则乙胜，这个游戏对双方公平吗为什么 （2）若转出两次数字的和是偶数则甲胜，和是奇数则乙胜，此时这个游戏对双方公平吗为什么 4.有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和2-；乙袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字1-、0和2.小丽先从甲袋中随机取出一个小球，记下小球上的数字为x ；再从乙袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为y ，设点P 的坐标为 （x ，y ）. （1）请用表格或树状图列出点P 所有可能的坐标； （2）求点P 在一次函数1+=x y 图像上的概率. 5.在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个． (1)先从袋子中取出m (m >1)个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A ． 事件A 必然事件 随机事件 m 的值 (2)先从袋子中取出m 个红球，再放入m 个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个球是黑球的概率等于4 5 ，求m 的值． 6.根据某网站调查,2015年网民们最关注的热点话题分别有:消费、教育、环保、反腐及其它五类，根据调查的部分相关数据，绘制的统计图表如下：根据所给信息解答下列问题： （1）请补全条形统计图并在图中标明相应数据； （2）若某市约有880万人口,请你估计最关注环保问题的人数经为多少万人 （3）在这次调查中,某单位共有甲、乙、丙、丁四人最关注教育问题，现准备从这 四人中随机抽取两人进行座谈，试用列表或树形图的方法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率. 7、国务院办公厅在2015年3月16日发布了《中国足球发展改革总体方案》，这是中国足球史上的重大改革，为进一步普及足球知识，传播足球文化，我市某区在中小学举行了“足球在身边”知识竞赛活动，各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得三等奖的学生共50名，请结合图中信息，解答下列问题： （1）求获得一等奖的学生人数； （2）在本次知识竞赛活动中，A ，B ，C ，D 四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛.请使用画树状图或列表的方法求恰好选到A ，B 两所学校的概率. ． 8、2016年6月，市教育局在全市中小学中选取了63所学校从学生的思想品德、学业水平、 学业负担、身心发展和兴趣特长五个维度进行了综合评价． 评价小组在选取的某中学七年级全体学生中随机抽取了若干名学生进行问卷调查，了解 他们每天在课外用于学习的时间，并绘制成如下不完整的统计图． 根据上述信息，解答下列问题： （1）本次抽取的学生人数是 ；扇形统计图中的圆心角α等于 ； 补全统计直方图； 12345614 58 6(完整版)初三数学概率初步单元测试题及答案
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