二．函数的最大值与最小值
求最值方法：
⑴ 将函数),(y x f 在区域D 内的全部极值点求出；
⑵ 求出),(y x f 在D 边界上的最值；即分别求一元函数1(,())f x x ?，2(,())f x x ?的最值； ⑶ 将这些点的函数值求出，并且互相比较，定出函数的最值．
实际问题求最值
根据问题的性质，知道函数),(y x f 的最值一定在区域D 的内部取得，而函数在D 内只有一个驻点，那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数),(y x f 在D 上的最值．
例4．求把一个正数a 分成三个正数之和，并使它们的乘积为最大．
解 设y x ,分别为前两个正数，第三个正数为y x a --，
问题为求函数 )(y x a xy u --=在区域D ：0>x ，0>y ，a y x <+内的最大值． 因为)2()(y x a y xy y x a y x
u --=---=??，)2(x y a x y u --=??， 解方程组???=--=--0
202x y a y x a ，得3a x =，3a y =． 由实际问题可知，函数必在D 内取得最大值，而在区域D 内部只有唯一的驻点，则函数必在
该点处取得最大值，即把a 分成三等份，乘积3)3
(a 最大． 另外还可得出，若令y x a z --=，则
即 3
3z y x xyz ++≤． 三个数的几何平均值不大于算术平均值．
三．条件极值，拉格朗日乘数法
引例 求函数22y x z +=的极值．
该问题就是求函数在它定义域内的极值，前面求过在)0,0(取得极小值；
若求函数22y x z +=在条件1=+y x 下极值，这时自变量受到约束，不能在整个函数定义域上求极值，而只能在定义域的一部分1=+y x 的直线上求极值，前者只要求变量在定义域内变化，而没有其他附加条件称为无条件极值，后者自变量受到条件的约束，称为条件极值．
如何求条件极值有时可把条件极值化为无条件极值，如上例从条件中解出x y -=1，代入22y x z +=中，得122)1(222+-=-+=x x x x z 成为一元函数极值问题，令024=-='x z x ，得
21=
x ，求出极值为2
1)21,21(=z ． 但是在很多情形下，将条件极值化为无条件极值并不这样简单，我们另有一种直接寻求条件极值的方法，可不必先把问题化为无条件极值的问题，这就是下面介绍的拉格朗日乘数法．利用一元函数取得极值的必要条件． 求函数),(y x f z =在条件
下取得极值的必要条件．
若函数),(y x f z =在00(,)x y 取得所求的极值，那么首先有
00(,)0x y ?=．
假定在00(,)x y 的某一邻域内函数),(y x f z =与均有连续的一阶偏导数，且00(,)0y x y ?≠． 有隐函数存在定理可知，方程0),(=y x ?确定一个单值可导且具有连续导数的函数()y x ψ=，将其代入函数),(y x f z =中，得到一个变量的函数
于是函数),(y x f z =在00(,)x y 取得所求的极值，也就是相当于一元函数(,())z f x x ψ=在0x x =取得极值．由一元函数取得极值的必要条件知道 00
0000(,)(,)0x y x x x x dz dy f x y f x y dx dx ===+=， 而方程0),(=y x ?所确定的隐函数的导数为 00000(,)(,)
x x x y x y dy
dx x y ??==-
． 将上式代入00000(,)(,)
0x y x x dy
f x y f x y dx =+=中，得
00000000(,)(,)(,)0(,)
x x y y x y f x y f x y x y ??-=， 因此函数),(y x f z =在条件0),(=y x ?下取得极值的必要条件为 0000000000(,)(,)(,)0(,)(,)0x x y y x y f x y f x y x y x y ????-=???=?
．
为了计算方便起见，我们令
0000(,)
(,)y y f x y x y λ?=-，
则上述必要条件变为
0000000000(,)(,)0(,)(,)0(,)0x x y y f x y x y f x y x y x y λ?λ??+=??+=??=?
，
容易看出，上式中的前两式的左端正是函数
的两个一阶偏导数在00(,)x y 的值，其中λ是一个待定常数．
拉格朗日乘数法
求函数),(y x f z =在条件0),(=y x ?下的可能的极值点．
⑴ 构成辅助函数
),(),(),(y x y x f y x F λ?+=，（λ为常数）
⑵ 求函数F 对x ，对y 的偏导数，并使之为零，解方程组
得λ,,y x ，其中y x ,就是函数在条件0),(=y x ?下的可能极值点的坐标；
⑶ 如何确定所求点是否为极值点在实际问题中往往可根据实际问题本身的性质来判定． 拉格朗日乘数法推广
求函数),,,(t z y x f u =在条件(,,,)0x y z t ?=，(,,,)0x y z t ψ=下的可能的极值点．
构成辅助函数
其中21,λλ为常数，求函数F 对z y x ,,的偏导数，并使之为零，解方程组
得z y x ,,就是函数),,,(t z y x f u =在条件(,,,)0x y z t ?=，(,,,)0x y z t ψ=下的极值点． 注意：一般解方程组是通过前几个偏导数的方程找出,,x y z 之间的关系，然后再将其代入到条件中，即可以求出可能的极值点．
例6.求表面积为2a 而体积为最大的长方体的体积．
解 设长方体的三棱长分别为z y x ,,，则问题是在条件
下，求函数xyz v = )0,0,0(>>>z y x 的最大值．
构成辅助函数)222(),,(2a xz yz xy xyz z y x F -+++=λ，
求函数F 对z y x ,,偏导数，使其为0，得到方程组 由)1()2(，得 z y z x y x ++=， 由 )2()3( ， 得 z
x y x z y ++=， 即有， ()(),x y z y x z x y +=+= ，()(),y x z z x y y z +=+=，
可得z y x ==，将其代入方程02222=-++a xz yz xy 中，得 a z y x 6
6===． 这是唯一可能的极值点，因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就是在这可能的极值点处取得，即在表面积为2a 的长方体中，以棱长为
a 66的正方体的体积为最大，最大体积为3366a v =
． 例7．试在球面2224x y z ++=上求出与点(3,1,1)-距离最近和最远的点．
解 设(,,)M x y z 为球面上任意一点，则到点(3,1,1)-距离为
但是，如果考虑2d ，则应与d 有相同的最大值点和最小值点，为了简化运算，故取 2222(,,)(3)(1)(1)f x y z d x y z ==-+-++，
又因为点(,,)M x y z 在球面上，附加条件为222(,,)40x y z x y z ?=++-=．
构成辅助函数(,,)F x y z 222(3)(1)(1)x y z =-+-++222(4)x y z λ+++-．
求函数F 对z y x ,,偏导数，使其为0，得到方程组
从前三个方程中可以看出,,x y z 均不等于零（否则方程两端不等），以λ作为过渡，把这三个方程联系起来，有 311x y z x y z λ--+-===或311x y z
--==， 故3,x z y z =-=-，将其代入2224x y z ++=中，得
222(3)()4z z z -+-+=， 求出
z =，再代入到3,x z y z =-=-中，即可得 11x =，11y =， 从而得两点(
，， 对照表达式看出第一个点对应的值较大，第二个点对应的值较小，所以最近点为
，最远点为(．
多元函数极值充分条件
定理10.2(函数取得极值的充分条件) 设函数(,)f x y 在点000(,)P x y 的邻域内存在二阶连续 偏导数，且00(,)0x f x y =，00(,)0y f x y =．记00(,)xx f x y A =， 00(,)xy f x y B =，00(,)yy f x y C =，则有 (1) 当20A C B ->时，00(,)x y 是极值点．且当0A >时，000(,)P x y 为极小值点；当0A <时，000(,)P x y 是极大值点． (2) 当20A C B -<时，000(,)P x y 不是极值点． (3) 当20A C B -=时，不能判定000(,)P x y 是否为极值点，需要另外讨论． 证 (1) 利用二元函数的一阶泰勒公式，因 0000(,)(,)f x h y k f x y ++- 20000001(,)(,)(,)2x y f x y h f x y k h k f x h y k x y q q 轾抖犏=+++++犏抖臌， 01q << 由已知条件，00(,)0x f x y =,00(,)0y f x y =，故 20000001(,)(,)(,)2f x h y k f x y h k f x h y k x y q q 轾抖犏++-=+++犏抖臌 220000001(,)2(,)(,)2 xx xy yy f x h y k h f x h y k hk f x h y k k q q q q q q 轾=++++++++犏臌 利用矩阵记号， 记h r k 骣÷?÷?=÷?÷?÷桫，(,)r h k ￠=，0()A B Hf P B C 骣÷?÷?=÷?÷?÷桫 ，000(,)P r x h y k q q q +=++ 0000 0()()()()()xx xy xy yy f P r f P r Hf P r f P r f P r q q q q q 骣++÷?÷?+=÷?÷++÷?桫， 可改写上式为 00()()f P r f P +-000 0()()1(,)()()2xx xy xy yy f P r f P r h h k k f P r f P r q q q q 骣骣++÷÷??÷÷??=÷÷??÷÷++?÷÷?桫桫01()2r Hf P r r q ￠=+ 01q << （1） 进一步，又有 00()()f P r f P +-00011()[()()]22 r Hf P r r Hf P r Hf P r q ⅱ= ++- （2） 当20A C B ->且0A >时，二次型0()r Hf P r ￠正定，因此对于任何00h r k 骣骣÷÷??÷÷??= ÷÷??÷÷?麋桫桫，0()0r Hf P r ￠>。特别地，在单位圆{22(,)1}Q x y x y +=上，连续函数0()Q Hf P Q ￠ 取得的最小值0m >。 因此，对任何00h r k 骣骣÷÷??÷÷??= ÷÷??÷÷ ?麋桫桫，我们有 22 00()(())r r r Hf P r r Hf P r m r r ⅱⅱ = ￠ 另一方面，由于(,)f x y 二阶偏导数在点000(,)P x y 连续，对任何:02 m e e <<，总可取0d >，使得0r d ￠<<时，有 00()()xx xx f P f P r q e -+<，00()()xy xy f P f P r q e -+<，00()()yy yy f P f P r q e -+< 从而， 220000[()()][()()]2r Hf P r Hf P r r Hf P r Hf P r r r q q e ⅱ+-Ｗ+-? 于是，
函数极值的几种求法
函数极值的几种求法 ──针对高中生所学知识 摘要：函数是数学教学中一个重要的组成部分，从小学六年级的一元一次方程继而延伸到初中的一次函数，二次函数的初步介绍，再到高中的函数的单调性、周期性、最值、极值，以及指数函数、对数函数、三角函数的学习，这些足以说明函数在数学教学中的地位。极值作为函数的一个重要性质，无论是在历年高考试题中，还是在实际生活运用中都占有不可或缺的地位。本文主要阐述了初高中常见的几种函数，通过函数极值的相关理论给出每种函数极值的求解方法。 关键词：函数；单调性；导数；图像；极值 Abstract: Function is an important part of mathematics teaching. First the learning of linear equation in six grade, secondly the preliminary introduction of linear functions and quadratic functions in junior high school, then the monotonicity, the periodicity, the most value and the extreme value of function, finally the learning of the logarithmic function, exponential function and trigonometric function in high school. These are enough to show the important statue of the function in mathematics teaching. As an important properties of function, extreme value has an indispensable status whether in the calendar year test, or in daily life. This article will mainly expound the methods of solving the extreme value of sever functions in middle school. Key words: function; monotonicity; derivative; image; extreme value “函数”一词最先是由德国的数学家莱布尼茨在17世纪采用的，当时莱布尼茨用“函数”这一词来表示变量x的幂，也就是x的平方x的立方。之后莱布尼茨又将“函数”这一词用来表示曲线上的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等与曲线上的点有关的变量[]1。就这样“函数”这词逐渐盛行。在中国，清代著名数学家、天文学家、翻译家和教育家，近代科学的先驱者善兰给出的定义是：
目标函数的几种极值求解方法
目标函数极值求解的几种方法 题目：()() 2 22 1 122min -+-x x ，取初始点()() T x 3,11 =，分别用最速下降法， 牛顿法，共轭梯度法编程实现。 一维搜索法： 迭代下降算法大都具有一个共同点，这就是得到点()k x 后需要按某种规则确定一个方向()k d ，再从()k x 出发，沿方向()k d 在直线（或射线）上求目标函数的极小点，从而得到()k x 的后继点()1+k x ，重复以上做法，直至求得问题的解，这里所谓求目标函数在直线上的极小点，称为一维搜索。 一维搜索的方法很多，归纳起来大体可以分为两类，一类是试探法：采用这类方法，需要按某种方式找试探点，通过一系列的试探点来确定极小点。另一类是函数逼近法或插值法：这类方法是用某种较简单的曲线逼近本来的函数曲线，通过求逼近函数的极小点来估计目标函数的极小点。本文采用的是第一类试探法中的黄金分割法。原理书上有详细叙述，在这里介绍一下实现过程： ⑴ 置初始区间[11,b a ]及精度要求L>0,计算试探点1λ和1μ，计算函数值 ()1λf 和()1μf ，计算公式是：()1111382.0a b a -+=λ，()1111618.0a b a -+=μ。令 k=1。 ⑵ 若L a b k k <-则停止计算。否则，当()K f λ>()k f μ时,转步骤⑶;当 ()K f λ≤()k f μ时,转步骤⑷ 。 ⑶ 置k k a λ=+1,k k b b =+1,k k μλ=+1,()1111618.0++++-+=k k k k a b a μ,计算函数值 ()1+k f μ,转⑸。 ⑷ 置k k a a =+1,k k b μ=+1,k k μμ=+1,()1111382.0++++-+=k k k k a b a λ,计算函数值()1+k f λ,转⑸。 ⑸ 置k=k+1返回步骤 ⑵。 1. 最速下降法 实现原理描述：在求目标函数极小值问题时,总希望从一点出发,选择一个目
多元函数求极值(拉格朗日乘数法)
第八节多元函数的极值及其求法 教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定 方法、求极值方法，并能够解决实际问题。熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。 教学重点：多元函数极值的求法。 教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。 教学内容： 一、 多元函数的极值及最大值、最小值 定义设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于 ),(00y x 的点，如果都适合不等式 00(,)(,)f x y f x y <， 则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极大值00(,)f x y 。如果都适合不等式 ),(),(00y x f y x f >， 则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极小值),(00y x f ．极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。 例1 函数2 243y x z +=在点（0，0）处有极小值。因为对于点（0，0）的任 一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。从 几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面 2 243y x z +=的顶点。
例２函数2 2y x z +-=在点（0，0）处有极大值。因为在点（0，0）处函 数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负， 点（0，0，0）是位于xOy 平面下方的锥面2 2y x z +-=的顶点。 例３ 函数xy z =在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。 定理1（必要条件）设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零： ),(,0),(0000==y x f y x f y x 证不妨设),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值。依极大值的定义，在点),(00y x 的某邻域内异于),(00y x 的点都适合不等式 ),(),(00y x f y x f < 特殊地，在该邻域内取0y y =，而0x x ≠的点，也应适合不等式 000(,)(,)f x y f x y < 这表明一元函数f ),(0y x 在0x x =处取得极大值，因此必有 0),(00=y x f x 类似地可证 ),(00=y x f y
二元函数的极值与最值
二元函数的极值与最值 二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点，现对二元函数的极值与最值的求法总结如下： 1．二元函数的无条件极值 (1) 二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。对于不可导点，难以判断是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。 (2)二元函数取得极值的必要条件： 设),(y x f z =在点),(00y x 处可微分且在点),(00y x 处有极值，则0),('00=y x f x ，0),('00=y x f y ，即),(00y x 是驻点。 (3) 二元函数取得极值的充分条件：设),(y x f z =在),(00y x 的某个领域内有连续上二阶偏导数，且=),('00y x f x 0),('00=y x f y ，令A y x f xx =),('00， B y x f xy =),('00，C y x f yy =),('00，则 当02<-AC B 且 A<0时，f ),(00y x 为极大值； 当02<-AC B 且A>0，f ),(00y x 为极小值； 02 >-AC B 时，),(00y x 不是极值点。 注意： 当B 2－AC = 0时，函数z = f (x , y )在点),(00y x 可能有极值，也可能没有极值，需另行讨论 例1 求函数z = x 3 + y 2 －2xy 的极值． 【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值. 【解】先求函数的一、二阶偏导数： y x x z 232 -=??， x y y z 22-=??． x x z 62 2 =??, 22 -=???y x z , 2 2 2 =??y z ． 再求函数的驻点．令x z ??= 0，y z ??= 0，得方程组???=-=-. 022,0232x y y x 求得驻点(0，0)、），（3 2 32． 利用定理2对驻点进行讨论：
多元函数的极值及其求法.pdf
第十一讲 二元函数的极值 要求：理解多元函数极值的概念，会用充分条件判定二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值。 问题提出：在实际问题中，往往会遇到多元函数的最大值，最小值问题，与一元函数相类似，多元函数的最大值，最小值与极大值，极小值有密切的关系，因此以二元函数为例，来讨论多元函数的极值问题． 一．二元函数的极值 定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内的所有),(),(00y x y x ≠，如果总有),(),(00y x f y x f <，则称函数),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值；如果总有),(),(00y x f y x f >，则称函数),(y x f z =在点),(00y x 有极小值． 函数的极大值，极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点． 例1．函数xy z =在点)0,0(处不取得极值，因为在点)0,0(处的函数值为零，而在点)0,0(的任一邻域内总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点． 例2．函数2 243y x z +=在点)0,0(处有极小值． 因为对任何),(y x 有0)0,0(),(=>f y x f ． 从几何上看，点)0,0,0(是开口朝上的椭圆抛物面2243y x z +=的顶点，曲面在点)0,0,0(处有切平面0=z ，从而得到函数取得极值的必要条件． 定理1（必要条件） 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零，即0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y ． 几何解释 若函数),(y x f z =在点),(00y x 取得极值0z ，那么函数所表示的曲面在点),,(000z y x 处的切平面方程为 ))(,())(,(0000000y y y x f x x y x f z z y x ?+?=? 是平行于xoy 坐标面的平面0z z =． 类似地有三元及三元以上函数的极值概念，对三元函数也有取得极值的必要条件为 0),,(000=z y x f x ，0),,(000=z y x f y ，0),,(000=z y x f z
函数的极值及其求法1
三、导数的应用 函数的极值及其求法 在学习函数的极值之前，我们先来看一例子：设有函数，容易知道点x=1及x=2是此函数单调区间的分界点，又可知在点x=1左侧附近，函数值是单调增加的，在点x=1右侧附近，函数值是单调减小的.因此存在着点x=1的一个邻域,对于这个邻域内,任何点x(x=1除外)，＜均成立，点x=2也有类似的情况(在此不多说),为什么这些点有这些性质呢？ 事实上，这就是我们将要学习的内容——函数的极值， 函数极值的定义设函数在区间(a,b)内有定义，x 0是(a,b)内一点. 若存在着x 0点的一个邻域，对于这个邻域内任何点x(x 0点除外)，＜均成立，则说是函数的一个极大值； 若存在着x 0点的一个邻域，对于这个邻域内任何点x(x 0点除外)，＞均成立，则说是函数的一个极小值.函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点。 我们知道了函数极值的定义了，怎样求函数的极值呢？ 学习这个问题之前，我们再来学习一个概念——驻点凡是使的x 点，称为函数的驻点。 判断极值点存在的方法有两种：如下 方法一：设函数在x 0点的邻域可导，且. 情况一：若当x 取x 0左侧邻近值时， ＞0，当x 取x 0右侧邻近值时，＜0，则函数在x 0点取极大值。 情况一：若当x 取x 0左侧邻近值时， ＜0，当x 取x 0右侧邻近值时，＞0，则函数在x 0点取极小值。 注：此判定方法也适用于导数在x 0点不存在的情况。 用方法一求极值的一般步骤是：
a)：求； b)：求的全部的解——驻点； c)：判断在驻点两侧的变化规律，即可判断出函数的极值。例题：求极值点 解答：先求导数 再求出驻点：当时，x=-2、1、-4/5 判定函数的极值，如下图所示
多元函数极值的判定
. .. . 目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract............................................................................................................. .. (1) Keywords.......................................................................................................... .. (1) 引言 (1) 1定理中用到的定义 (2) 2函数极值的判定定理.............................................................. .. (5) 3多元函数极值判定定理的应用 (7) 参考文献 (8)
多元函数极值的判定 摘要：通过引入多元函数的导数，给出了多种方法来判定多元函数的极值. 关键词：极值；条件极值；偏导数；判定 The judgement of the extremum of the function of many variables Abstract：This paper passes to lead into the derivative of the function of many variables, and give several methods to judge the extremum of the
function of many variables and the conditional extremum of the function of many variables . Keywords : extremum; conditional ;partial derivative 引言 在现行的数学分析教材中，关于多元函数的极值判定，一般只讲到二 元函数的极值判定，在参考文献[1]和[3]中有关多元函数极值的判定是都是在实际情况中一定有极值的问题，本文将引入多元函数的偏导数把二元函数的极值判定推广到多元函数极值问题中去. 1 定理中用到的定义 定义1.1[]1 函数f 在点000(,)P x y 的某领域0()U P 有定义.若对于任何点 0(,)()P x y U P ∈，成立不等式 0()()f P f P ≤（或0()()f P f P ≥）， 则称函数f 在点0P 取得极大值（或极小值），点0P 称为f 的极大值（或极小值）点. 定义1.2[]1 设函数(,)z f x y =， (,)x y D ∈.若00(,)x y D ∈,且0(,)f x y 在 0x 的某一领域有定义，则当极限 0000000(,)(,)(,) lim x xf x y f x x y f x y x x →+-= 存在时，称这个极限为函数f 在点00(,)x y 关于x 的偏导数，记作 00(,) x y f x ??. 定义1.3[]3 设n D R ?为开集，12(,, ,)n P x x x D ∈，00 0012 2(,,,)P x x x D ∈ :f D R →，若在某个矩阵A ，使当0()P U P ∈时，有 000 ()()() lim P P f P f P A P P P P →----, 则称n 元函数12(,, ,)n f x x x 在点0P 可导.称A 为在点0P 处的导数，记为
(整理)多元函数的极值及其求法
第六节 多元函数的极值及其求法 在实际问题中，我们会大量遇到求多元函数的最大值、最小值的问题. 与一元函数的情形类似，多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值密切的联系. 下面我们以二元函数为例来讨论多元函数的极值问题. 内容分布图示 ★ 引例 ★ 二元函数极值的概念 例1-3 ★ 极值的必要条件 ★ 极值的充分条件 ★ 求二元函数极值的一般步骤 ★ 例4 ★ 例5 ★ 求最值的一般步骤 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 条件极值的概念 ★ 拉格郎日乘数法 ★ 例12 ★ 例 13 ★ 例 14 ★ 例 15 ★ 例 16 *数学建模举例 ★ 最小二乘法 ★ 线性规划问题 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题6-6 ★ 返回 内容提要： 一、二元函数极值的概念 定义1 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义, 对于该邻域内异于),(00y x 的任意一点),(y x , 如果 ),,(),(00y x f y x f < 则称函数在),(00y x 有极大值；如果 ),,(),(00y x f y x f > 则称函数在),(00y x 有极小值; 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点. 定理1 (必要条件) 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数, 且在点),(00y x 处有极值, 则它在该点的偏导数必然为零，即 .0),(,0),(0000==y x f y x f y x (6.1) 与一元函数的情形类似，对于多元函数，凡是能使一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点. 定理2 (充分条件) 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内有直到二阶的连续偏导
求函数极值的几种方法
求解函数极值的几种方法 1.1函数极值的定义法 说明：函数极值的定义，适用于任何函数极值的求解，但是在用起来时却比较的烦琐. 1.2导数方法 定理（充分条件）设函数()f x 在0x 处可导且0()0f x '=，如果x 取0x 的左侧的值时，()0f x '>，x 取0x 的右侧的值时，()0f x '<，那么()f x 在0x 处取得极大值，类似的我们可以给出取极小值的充分条件. 例1 求函数23()(1)f x x x =-的单调区间和极值 解 23()(1)f x x x =- ()x -∞<<+∞， 3222()2(1)3(1)(1)(52)f x x x x x x x x '=-+-=--. 令 ()0f x '=，得到驻点为10x =，22 5 x = ，31x =.列表讨论如下： 表一：23()(1)f x x x =-单调性列表 说明：导数方法适用于函数()f x 在某处是可导的，但是如果函数()f x 在某处不可导，则就不能用这样的方法来求函数的极值了.用导数方法求极值的条件是：函数()f x 在某点0x 可导. 1.3 Lagrange 乘法数方法 对于问题： Min (,)z f x y = s.t (,)0x y =
如果**(,)x y 是该问题的极小值点，则存在一个数λ，使得 ****(,)(,)0x x f x y g x y λ+= ****(,)(,)0y y f x y g x y λ+= 利用这一性质求极值的方法称为Lagrange 乘法数 例2 在曲线3 1(0)y x x = >上求与原点距离最近的点. 解 我们将约束等式的左端乘以一个常数加到目标函数中作为新的目标函 数2231 ()w x y y x λ=++- 然后，令此函数对x 的导数和对y 的导数分别为零，再与原等式约束合并得 43 320201x x y y x λλ?+=?? +=???=? 解得 x y ?=? ?= ?? 这是唯一可能取得最值的点 因此 x y ==为原问题的最小值点. 说明：Lagrange 乘法数方法对于秋多元函数是比较方便的，方法也是比较简单的 :如果**(,)x y 是该问题的极小值点则存在一个数λ，使得 ****(,)(,)0x x f x y g x y λ+= ****(,)(,)0y y f x y g x y λ+= 这相当于一个代换数，主要是要求偏导注意，这是高等代数的内容. 1.4多元函数的极值问题 由极值存在条件的必要条件和充分条件可知，在定义域内求n 元函数()f p 的极值可按下述步骤进行：①求出驻点，即满足grad 0()0f p =的点0p ；②在0 p
多元函数条件极值的求解方法
多元函数条件极值求解方法 摘要:本文研究的是代入法、拉格朗日乘数法、标准量代换法、不等式法等九种方法在解 多元函数条件极值问题中的运用，较为全面的总结了多元函数条件极值的求解方法，旨在 解决相应的问题时能得以借鉴，找到合适的解决方法。 关键词：多元函数；条件极值；拉格朗日乘数法；柯西不等式 Abstract: This paper studies the substitution method, the Lagrange multiplier method, standard substitution method, inequality of nine kinds of method in solving multivariate function extremum problems, the application conditions are summed up the diverse functions of conditional extreme value method, to solve the corresponding problem is able to guide, to find the right solution. Key words: multiple functions; Conditional extreme value; Lagrange multiplier method; Cauchy inequality 时比较困难，解题过程中选择一种合理的方法可以达到事半功倍的效果，大大减少解题时间，拓展解题的思路。下面针对多元函数条件极值问题总结了几种方法供大家借鉴。 1.消元法 对于约束条件较为简单的条件极值求解问题，可利用题目中的约束条件将其中一个量用其他量表示，达到消元的效果，从而将条件极值转化为无条件极值问题。 例1 求函数(,,)f x y z xyz =在条件x －y+z=2下的极值. 解： 由x －y+z=2 解得 2z x y =-+ 将上式代入函数(,,)f x y z ，得 g(x,y)=xy(2-x+y) 解方程组 2 2 '2y 20 220 x y g xy y g x xy x ?=-+=??'=+-=?? 得驻点 12 22 P P =33 （0，0），（，-） 2xx y ''=-g ，222xy g x y ''=-+，2yy g x ''= 在点1P 处，0,2,0A B C === 22=0240AC B ?-=-=-<，所以1P 不是极值点 从而函数(,,)f x y z 在相应点(0,0,2)处无极值；
多元函数的极值及其应用
多元函数的极值及其应用 作者：程俊 指导老师：黄璇 学校：井冈山大学 专业：数学与应用数学
【摘要】 多元函数的极值是函数微分学中的重要组成部分，本文对几种特殊的多元函数进行了简单的介绍，对多元函数的极值常见的求法进行了研究，并引入其在生活中、生产中解决实际问题的广泛应用，突显这一学术课题在生活中的重大意义。如今构建经济型节约社会慢慢成为我们共同努力的方向，而最优化问题是达到这一目标的有效途径，其常常有与多元函数的极值息息相关。对函数极值的研究不仅把理论数学推上一个高度，给经济方面，生活方面带来的益处不容小觑，本人浅谈极值问题，为了抛砖引玉，希望这一课题能有更广大额发展空间 【关键词】：多元函数；极值；生活中的应用
目录 Ⅰ引言 (1) Ⅱ多元函数极值的介绍………………………………………… 2.1什么是多元函数………………………………………… 2.2函数的极值理论………………………………………… Ⅲ几种函数的极值的常见求法……………………………… 3.1高中极值求法的弊端………………………………… 3.2拉格朗日乘数法……………………………………… 3.3消元法…………………………………………………… 3.4均值不等式法…………………………………………… Ⅳ多元函数在生活中的应用……………………………………
引言 历史表明，重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数概念的历史发展，看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分有益的事情，它有助于我们提高对函数的认识。而函数的极值的作用已经蔓延到经济领域，在各种解决最优化中应用广泛，从而引发了本人对该课题的研究兴趣。 编者 2014年2月
多元函数条件极值的几种求解方法
多元函数条件极值的几种求解方法 摘 要 本文主要讨论了多元函数条件极值的求解问题，其中包括无条件极值、条件极值的概念介绍，对多元函数条件极限值的几种求解方法的概括，其中包括了直接代入法，拉格朗日乘数法，柯西不等式等方法，其中拉格朗日乘数法还着重介绍了全微分和二阶偏导数即Hesse矩阵法等。介绍关于求解多元函数条件极值的几种方法目的是在解决相应的问题中时能得以借鉴，找到合适的解决问题的途径。 关键词 极值；拉格朗日乘数法；柯西不等式 Multivariate function of several conditional extreme value solution Abstract This paper mainly discusses the multivariable function conditional extreme value problem solving, including the unconditional extreme value, conditional extreme value concept of multivariate function is introduced, and several methods of solving condition limit the wraparound, including direct generation into law, Lagrange multiplier method, methods of cauchy inequality, including Lagrange multiplier method also introduces the differential and second-order partial derivative namely Hesse matrix method, etc. This paper introduces the multivariable function about solving several methods of conditional extreme value, which can provide in solving the relevant question readers may be reference when, find the appropriate way to solve the problem. Meanwhile introducing method also has some deficiencies in its done, and further discussion. Key words Extreme; Lagrange multiplier method; Cauchy inequality
(整理)多元函数的极值.
实验六 多元函数的极值 【实验目的】 1． 多元函数偏导数的求法。 2． 多元函数自由极值的求法 3． 多元函数条件极值的求法. 4． 学习掌握MATLAB 软件有关的命令。 【实验内容】 求函数3282 4-+-=y xy x z 的极值点和极值 【实验准备】 1．计算多元函数的自由极值 对于多元函数的自由极值问题,根据多元函数极值的必要和充分条件,可分为以下几个步骤: 步骤1.定义多元函数),(y x f z = 步骤2.求解正规方程0),(,0),(==y x f y x f y x ,得到驻点 步骤3.对于每一个驻点),(00y x ,求出二阶偏导数,,,22222y z C y x z B x z A ??=???=??= 步骤4. 对于每一个驻点),(00y x ,计算判别式2B AC -,如果02 >-B AC ,则该驻点是极值点,当0>A 为极小值, 0MATLAB 中主要用diff 求函数的偏导数,用jacobian 求Jacobian 矩阵。 可以用help diff, help jacobian 查阅有关这些命令的详细信息 【实验方法与步骤】 练习1 求函数3282 4-+-=y xy x z 的极值点和极值.首先用diff 命令求z 关于x,y 的偏导数 >>clear; syms x y; >>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3; >>diff(z,x) >>diff(z,y) 结果为 ans =4*x^3-8*y ans =-8*x+4*y 即.48,843y x y z y x x z +-=??-=??再求解正规方程，求得各驻点的坐标。一般方程组的符号解用solve 命令，当方程组不存在符号解时，solve 将给出数值解。求解正规方程的MATLAB 代码为： >>clear; >>[x,y]=solve('4*x^3-8*y=0','-8*x+4*y=0','x','y') 结果有三个驻点，分别是P(-2,-4),Q(0,0),R(2,4).下面再求判别式中的二阶偏导数： >>clear; syms x y; >>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3; >>A=diff(z,x,2) >>B=diff(diff(z,x),y) >>C=diff(z,y,2) 结果为 A=2*x^2 B =-8 C =4 由判别法可知)2,4(--P 和)2,4(Q 都是函数的极小值点，而点Q(0,0)不是极值点，实际上，)2,4(--P 和)2,4(Q 是函数的最小值点。当然，我们可以通过画函数图形来观测极值点与鞍点。 >>clear; >>x=-5:0.2:5; y=-5:0.2:5; >>[X,Y]=meshgrid(x,y);
多元函数条件极值的几种求解方法
多元函数条件极值的几种求解方法 摘要 本文主要讨论了多元函数条件极值的求解问题，其中包括无条件极值、条件极值的概念介绍，对多元函数条件极限值的几种求解方法的概括，其中包括了直接代入法，拉格朗日乘数法，柯西不等式等方法，其中拉格朗日乘数法还着重介绍了全微分和二阶偏导数即Hesse矩阵法等。介绍关于求解多元函数条件极值的几种方法目的是在解决相应的问题中时能得以借鉴，找到合适的解决问题的途径。 关键词 极值；拉格朗日乘数法；柯西不等式
1前言 函数极值问题已广泛地出现于数学、物理、化学等学科中，且它涉及的知识面非常广，所以就要求学生有较高的分析能力和逻辑推理能力，同时也要求学生掌握多种求函数极值的方法，因此对函数极值的研究是非常必要的。 函数极值的求解与发展极大的推动了微积分学科的发展，为其做出了重大贡献。 微积分的创立，首先是为了处理十七世纪的一系列主要的科学问题。有四种主要类型的科学问题：第一类是，已知物体的移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；第二类是，望远镜的光程设计使得求曲线的切线问题变得不可回避；第三类是，确定炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的最远和最近距离等涉及的函数极大值、极小值问题也急待解决；第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等，又使面积、体积、曲线长、重心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究。 同样在很多工程实际中，我们经常需要做一些优化。举个简单的例子，就拿天气预报来说吧，通过实验测得很多气象数据，那么我们怎么处理这些数据，或者说用什么方法处理这些数据，才能达到预测结果最为准确呢，这其实也是一个广义上的极值问题。还有就是经济学的投资问题，我们知道现在国家搞什么高铁、高速公路的，都是
多元函数求极值(拉格朗日乘数法)
第八节 多元函数的极值及其求法 教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定 方法、求极值方法，并能够解决实际问题。熟练使用拉格朗日乘数法 求条件极值。 教学重点：多元函数极值的求法。 教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。 教学内容： 一、 多元函数的极值及最大值、最小值 定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于),(00y x 的点，如果都适合不等式 00(,)(,)f x y f x y <， 则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极大值00(,)f x y 。如果都适合不等式 ),(),(00y x f y x f >， 则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极小值),(00y x f ．极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。 例1 函数2243y x z +=在点（0，0）处有极小值。因为对于点（0，0）的任 一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。从
几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面 2243y x z +=的顶点。 例２ 函数22y x z +-=在点（0，0）处有极大值。因为在点（0，0）处函 数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负， 点（0，0，0）是位于xOy 平面下方的锥面22y x z +-=的顶点。 例３ 函数xy z =在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。 定理1（必要条件） 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零： 0),(,0),(0000==y x f y x f y x 证 不妨设),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值。依极大值的定义，在点 ),(00y x 的某邻域内异于),(00y x 的点都适合不等式 ),(),(00y x f y x f < 特殊地，在该邻域内取0y y =，而0x x ≠的点，也应适合不等式 000(,)(,)f x y f x y < 这表明一元函数f ),(0y x 在0x x =处取得极大值，因此必有 0),(00=y x f x
多元函数的极值及其求法
多元函数的极值及其求法 The latest revision on November 22, 2020
第十一讲 二元函数的极值 要求：理解多元函数极值的概念，会用充分条件判定二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值。 问题提出：在实际问题中，往往会遇到多元函数的最大值，最小值问题，与一元函数相类似，多元函数的最大值，最小值与极大值，极小值有密切的关系，因此以二元函数为例，来讨论多元函数的极值问题． 一．二元函数的极值 定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内的所有 ),(),(00y x y x ≠，如果总有),(),(00y x f y x f <，则称函数),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值；如果总有),(),(00y x f y x f >，则称函数),(y x f z =在点),(00y x 有极小值． 函数的极大值，极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点． 例1．函数xy z =在点)0,0(处不取得极值，因为在点)0,0(处的函数值为零，而在点)0,0(的任一邻域内总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点． 例2．函数2243y x z +=在点)0,0(处有极小值． 因为对任何),(y x 有0)0,0(),(=>f y x f ． 从几何上看，点)0,0,0(是开口朝上的椭圆抛物面2243y x z +=的顶点，曲面在点)0,0,0(处有切平面0=z ，从而得到函数取得极值的必要条件． 定理1（必要条件） 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零，即0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y ． 几何解释 若函数),(y x f z =在点),(00y x 取得极值0z ，那么函数所表示的曲面在点),,(000z y x 处的切平面方程为 是平行于xoy 坐标面的平面0z z =． 类似地有三元及三元以上函数的极值概念，对三元函数也有取得极值的必要条件为 0),,(000=z y x f x ，0),,(000=z y x f y ，0),,(000=z y x f z 说明 上面的定理虽然没有完全解决求极值的问题，但它明确指出找极值点的途径，即只要 解方程组???==0 ),(0),(0000y x f y x f y x ，求得解),(),(),,(2211n n y x y x y x ??，那么极值点必包含在其中，这些点称为函数),(y x f z =的驻点． 注意1．驻点不一定是极值点，如xy z =在)0,0(点． 怎样判别驻点是否是极值点呢下面定理回答了这个问题．
