函数极值的几种求法
──针对高中生所学知识
摘要：函数是数学教学中一个重要的组成部分，从小学六年级的一元一次方程继而延伸到初中的一次函数，二次函数的初步介绍，再到高中的函数的单调性、周期性、最值、极值，以及指数函数、对数函数、三角函数的学习，这些足以说明函数在数学教学中的地位。极值作为函数的一个重要性质，无论是在历年高考试题中，还是在实际生活运用中都占有不可或缺的地位。本文主要阐述了初高中常见的几种函数，通过函数极值的相关理论给出每种函数极值的求解方法。
关键词：函数；单调性；导数；图像；极值
Abstract: Function is an important part of mathematics teaching. First the learning of linear equation in six grade, secondly the preliminary introduction of linear functions and quadratic functions in junior high school, then the monotonicity, the periodicity, the most value and the extreme value of function, finally the learning of the logarithmic function, exponential function and trigonometric function in high school. These are enough to show the important statue of the function in mathematics teaching. As an important properties of function, extreme value has an indispensable status whether in the calendar year test, or in daily life. This article will mainly expound the methods of solving the extreme value of sever functions in middle school.
Key words: function; monotonicity; derivative; image; extreme value
“函数”一词最先是由德国的数学家莱布尼茨在17世纪采用的，当时莱布尼茨用“函数”这一词来表示变量x的幂，也就是x的平方x的立方。之后莱布尼茨又将“函数”这一词用来表示曲线上的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等与曲线上的点有关的变量[]1。就这样“函数”这词逐渐盛行。在中国，清代著名数学家、天文学家、翻译家和教育家，近代科学的先驱者李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数”。显然，在李善兰的这个定义中的函数就是：凡是公式中含有变量
x ，则该式子叫做x 的函数。这样，在中国“函数”是指公式里含有变量的意思。从1775年欧拉对函数定义之后，又有法国数学家柯西、俄国数学家罗巴契夫斯基等数学家不断对函数定义进行改进和完善。最后德国数学家黎曼引入了函数的新定义：“对于x 的每一个值，y 总有完全确定了的值与之对应，而不拘建立x ，y 之间的对应方法如何，均将y 称为x 的函数”。虽然函数的定义在不断变化但它的本质属性都是一样的。变量y 称为x 的函数，只须有一个法则存在，那就是这个函数取值范围中的每一个值，有一个唯一确定的y 值和它对应，不管这个法则是公式、图象、表格或其他形式。
对中学生来说常见的函数类型有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数，及由这几类函数中两类或多类形成的复合函数。中学生一般不采用定义法去求函数的极值，中学生常用的是图像法和求导法。本文首先简单介绍高中数学常见的函数类型和常用的求函数极值的方法，继而通过具体实例阐述求极值方法和函数类型如何匹配。
1 预备知识
定义1.1[]2 函数的极值
设函数()f x 在0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有()()0f x f x <，则()0f x 是函数()f x 的一个极大值。如果附近所有的点，都有()()0f x f x >，则()0f x 是函数()f x 的一个极小值，极大值与极小值统称为极值。
定义1.2 一次函数
在某一变化过程中，设有两个变量x 和y ，如果可以写成b kx y +=(k 为一次项系数0≠k ，b 为常数)的形式，那么我们就说y 是x 的一次函数，其中x 是自变量，y 是因变量。
定义1.3[]
3 二次函数
把形如c bx ax y ++=2（其中c b a ,,是常数，0≠a ）的函数叫做二次函数，其中a 称为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
定义1.4[]4 指数函数
把形如)10(y ≠>=a a x a 且的函数叫做指数函数，其中x 是自变量。
定义1.5[]4 对数函数
把形如)10(log ≠>=a a y x a 且的函数叫做对数函数，其中自变量是x 。
2 求极值方法在各种函数类型中的应用
函数是高中数学重要的内容,而函数的性质是高考命题的重点,又是高考命题 的热点之一,利用导数方法研究函数的单调性,确定单调区间,研究函数的极值问题比传统的方法要简捷得多,因此在求极值时应把导数法作为主要研究方法[]5。除了求导法另一种常见的方法就是图像法。图像法适合简单的可以画出图像的一些函数，对于中学生来说遇到的函数80%都可以画出图像。函数图像画出后我们可以根据图像所表示的纵坐标再结合极值的定义观察函数的极值。求导法是先求出所求函数的导数，然后根据导数与零的大小关系判断函数的单调性，继而判断极值，求导法对一些复杂的函数特别是复合函数非常的适用。下面我们通过具体实例阐述方法和函数类型如何匹配。
2.1 一次函数b kx y +=（b k ,0≠为常数） 一次函数比较简单在整个定义域内是整体单调递增或整体单调递减。对形如b kx y +=的一次函数的导数为k y ='，由此可知一次函数的单调性主要和k 值有关，0>k 则函数单调递增，0 例2.1 求函数52y +=x 的极值 法一 求导法 52y +=x 这个函数的k 值为2， 显然02>也就是说该函数单调递增，现在函数的 极值就和其定义域有关。当自变量 x 最大时函数有极大值，当自变量x 最小是函数有极小值，若自变量无最大值最小值则函数没有极值。 ①我们假设该函数的定义域是[]40,3-，那么当3x -=时函数有极小值()1-53-2=+?=极小值y ,当40=x 时函数有极大值855402y =+?=极大值。 ②假设该函数的定义域为[]∞+∞，-则函数无极大值极小值。 ③若函数的定义域位[]40-，∞函数无极小值，在40=x 时取得极大值855402y =+?=极大值 ④若定义域为[]∞+， 3-函数无极大值，有极小值()1-53-2=+?=极小值y 。 法二 图像法 一次函数b kx y +=的图像都是一条直线。函数52y +=x 的图像如下： 图2-1 52y +=x 图像 通过察我们发现函数值y 随自变量x 的值增大而增大，也就是说x 最大时函数有极大值，x 最小时函数有极小值。 一次函数相对来说比较简单，我认为求极值最好的方法是看k 值。当0> k 时自变量x 最大时函数有极大值，自变量x 最小时函数有极小值。当0 2.2 二次函数c bx ax y ++=2（其中c b a ,,是常数，0≠a ） 二次函数较一次函数复杂的多，但其极值的求法和一次函数大同小异，最常见的也是求导法和图像法。当用求导法来求极值时，需先求出导数然后判断导函 数在那个区间范围内大于（等于）零，在那个区间范围内小于（等于）零，当导数大于等于零时原来的二次函数在该区间单调递增，当导数小于零时原来的二次函数在该区间单调递减，知道了单调性再来求极值就轻而易举了。图像法就是画出函数的图形，根据图形结合极值定义求出函数极值。下面我针对具体函数 7-822x x y +=其定义域为 ]2,4-（这个二次函数来详细阐述这两种方法。 例2.2 求函数7-822x x y +=]2,4-（∈x 的极值 法一 求导法 通过计算我们知道该函数的导数为84'+=x y 我们令其导函数大于等于零即084≥+x 解得2-≥x 也就是说函数7-822x x y +=在[]2,2-∈x 上单调递增，当2-=x 时y 有最小值，当x=2时y 有最大值。同理我们可以知道函数7-822x x y +=在()2-4-， （由于在递增区间上已经取过-2，所以此处的-2不能再取，只能用圆括号）上单调递减，因为-4和-2前为圆括号，也就是说自变量x 不能等于-4和-2，所以函数在上()2-4-，无最小值也无最大值。综上所诉函数 7-822x x y +=在]2,4-（上有最小值()()15-7-2-82-22=*+*=最小值y ，最大值177-28222=*+*=最大值y .因为该函数在]2,4-（上 连续所以其最小值等于其极小值，最大值等于其极大值。所以此函数在 ]2,4-（上有极小值-15，极大值17。 法二 图像法 二次函数的图像为一条抛物线函数7-822x x y +=]2,4-（∈ x 的图像如下图所示: 图2-2 7-822x x y +=]2,4-（∈ x 图像 通过观察可知，函数在点B 取得极小值-15，在点A 取得极大值17。 2.3 指数函数)1a 0(≠>=且a a y x 此类函数比较简单，单调性在定义域内是整体的，无论是求导还是画图都很容易发现函数的单调性与a 值得大小有关。在1>a 时函数在整个定义域内单调递增，和一次函数像似自变量x 取最大值时函数有极大值，自变量x 取最小值时函数有极小值。在10< 例2.3 求函数x y 21=和x y ??? ??=212(x 取值范围是]3,2[-)的极值 对1y 这个函数来说其2=a ，1>a ，根据上面结论我们知道函数在整个定义域 内单调递增，当2-=x 是函数1y 有极小值4 1，当3=x 时函数1y 有极大值8。对2y 它的21=a ，10< 1。我们可以通过图像来观察下我们的结论是否正确如下图2-3为x y 21=的图像，图2-4是x y ??? ??=212的图像： 图2-3 x y 21=图像 图2-4 x y ??? ??=212图像
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