高中数学讲义必修一第一章复习
知识点一 集合的概念
1．集合：一般地，把一些能够 对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象
构成的集合 ( 或集)，通常用大写拉丁字母 A ， B ，C ， 来表示．
2．元素：构成集合的 a ，b ， c ，
叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母
来表示．
3．空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为 .
知识点二
集合与元素的关系
1．属于：如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 集合 A ，记作 a
A.
2．不属于：如果 a 不是集合 A 中的元素，就说 a
集合 A ，记作 a
A.
知识点三 集合的特性及分类
1．集合元素的特性
、 、 .
2．集合的分类： (1) 有限集：含有 元素的集合； (2) 无限集：含有 元素的集合．
3．常用数集及符号表示
名称 非负整数集 (自然数集 )
整数集 实数集 N * 或 N
N ＋
Z
Q
R
符号
知识点四
集合的表示方法
1．列举法：把集合的元素 ，并用花括号“ {} ”括起来表示集合的方法
2．描述法：用集合所含元素的
表示集合的方法称为描述法．
知识点五
集合与集合的关系
1．子集与真子集
图形语言
定义
符号语言
(Venn 图)
如果集合 A 中的
元素都是
集合 B 中的元素，我们就说这两个
集合有包含关系，称集合 A 为集合
( 或
)
子集
B 的子集
如果集合 A ? B ，但存在元素
，且
，我们称集
( 或
)
真子集
合 A 是集合 B 的真子集
2.子集的性质
(1)规定：空集是 的子集，也就是说，对任意集合
A ，都有 ．(2) 任何一个集合 A 都是 它本身的子集，即
．(3) 如果 A ? B ， B? C ，则
．(4) 如果 A B ，B
C ，则
．
3．集合相等
图形图言
定义符号语言
(Venn 图)
如果集合 A 是集合 B 的子集(A
? B)，且，此
时，集合 A 与集合 B 中的元素
集合相等A＝B
是一样的，因此，集合 A 与集合
B 相等
知识点六集合的运算
1．交集
自然语言符号语言图形语言
由
A ∩B＝
A 与B
组成的集合，称为的
交集
2．并集
自然语言符号语言图形语言由
A ∪B＝
组成的
集合，称为 A 与B 的并集
3.交集与并集的性质
交集的运算性质并集的运算性质
A∩B＝A∪B＝
A∩A＝ A ∪A＝
A∩?＝A∪?＝
A? B? A ∩B＝A? B? A∪B＝
4.全集
在研究集合与集合之间的关系时，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的，那么就称这个集合为全集，通常记作．
5．补集
A，由全集U 中的所有元素组成的集合称为集
对于一个集合
文字语言
合A 相对于全集U 的补集，记作
?U A＝
符号语言
图形语言
典例精讲
题型一* 判断能否构成集合
x2 －2＝0 的实数解”中，能够构成集合的是。1．在“①高一数学中的难题；②所有的正三角形；③方程
题型二* 验证元素是否是集合的元素
m2 n2 , m
1、已知集合 A x x Z,n Z ，判断 3 是不是集合 A 的元素。
1
是由形如m 3n m Z , n Z 是不是集合 A 中的元素.
2、集合A 的数构成的，判断
2 3
题型三** 求集合
3x ＋y＝2 2x －3y＝27 的解集是( )
1．方程组
x＝3
y＝－7 B．{x ，y|x ＝3 且y＝－7} C．{3 ，－7} D ．{(x ，y)|x＝3 且y＝－7}
A.
2．下列六种表示法：①{x ＝－1，y＝2} ；②{(x ，y)|x＝－1，y＝2} ；③{ －1,2} ；④(－1,2) ；⑤{( －1,2)} ；
⑥{(x ，y)|x＝－1或y＝2} ．
2x ＋y＝0，x－y＋3＝0 的解集的是( )
能表示方程组
A．①②③④⑤⑥B．②③④⑤C．②⑤D．②⑤⑥
题型四** 利用集合中元素的性质求参数
1．已知集合S＝{a ，b，c} 中的三个元素是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是( )
A．锐角三角形C．钝角三角形
B．直角三角形
D．等腰三角形0，
b
，b ，则b－a＝. { }
2.设a，b∈R，集合{1 ，a＋b，a} ＝
a
3.已知P＝{x|2 ＜x＜k，x∈N，k∈R} ，若集合P 中恰有 3 个元素，则实数k 的取值范围是.
0，m，m2 －3m＋2 三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m 的值为( )
4.已知集合A 是由
A．2 题型五**
B．3 C．0 或3 D．0 或2 或3 判断集合间的关系
k 1
2 4
k
4
1
2
M x x , k Z , N x x , k Z ，则M 与N 的关系正确的是（）
1、设
B. M N
C. M N
A. M=N D.以上都不对
2．判断下列集合间的关系：
(1)A ＝{x|x －3＞2} ，B＝{x|2x －5≥0} ；
(2)A ＝{x ∈Z|－1≤x<3} ，B＝{x|x ＝|y|，y∈
A} ．题型六** 求子集个数
A＝{x|ax 2 ＋2x ＋a＝0，a∈R} ，若集合A 有且仅有 2 个子集，则a 的取值构成的集合为．1．已知集合
2.已知集合 A ＝{1 ，2，3} ，写出集合 A 的所有子集，非空子集，真子集，非空真子集
题型七 ** 利用两个集合之间的关系求参数
1.已知集合 A ＝{1,2 ，m 3} ，B ＝ {1 ，m} ， B? A ，则 m ＝
.
2．已知集合 A ＝{1,2} ， B ＝{x|ax －2＝ 0} ，若 B? A ，则 a 的值不可能是 (
)
A ． 0
题型八 *** B ． 1
集合间的基本运算
C ． 2
D ． 3
1．下面四个结论：①若 a ∈(A ∪ B)，则 a ∈ A ；②若 a ∈ (A ∩ B)，则 a ∈ (A ∪B) ；③若 a ∈ A ，且 a ∈ B ， 则 a ∈ (A ∩B) ；④若 A ∪B ＝ A ，则 A ∩ B ＝B. 其中正确的个数为 (
)
A ． 1
B ． 2
C ． 3
D ． 4
，则 M ∪N ＝( 2．已知集合 M ＝ {x| －3
B ． {x| － 3 C ． {x|3 D ．{x|x ≤ 5} 3．已知集合 A ＝{2 ，－ 3} ，集合 B 满足 B ∩A ＝B ，那么符合条件的集合 B 的个数是 ( ) A ． 1 B ．2 C ． 3 D ．4 4． (2016 ·全国卷Ⅲ理， 1)设集合 S ＝{x|(x －2)(x －3) ≥0} ，T ＝ {x|x>0} ，则 S ∩ T ＝( ) A ． [2,3] B ．(－∞， 2] ∪ [3，＋∞ ) C ． [3，＋∞ ) D ． (0,2]∪[3 ，＋∞ ) 5．下列关系式中，正确的个数为 ( ) ①(M ∩N) ? N ；② (M ∩ N) ? (M ∪N) ；③ (M ∪ N) ? N ；④若 M ? N ，则 M ∩N ＝ M. A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 6． (2016 ·唐山一中月考试题 ) 已知全集 U ＝{x|x ≤4} ，集合 A ＝{x| － 2 题型九 ** 根据集合运算的结果求参数 1．若集合 A ＝ {2,4 ， x} ， B ＝{2 ， x 2} ，且 A ∪B ＝ {2,4 ， x} ，则 x ＝ . A ＝ {x|x 2 ＋8x ＝0} ， B ＝ {x|x 2＋2(a ＋2)x ＋ a 2－ 4＝ 0} ，其中 a ∈ R.如果 A ∩ B ＝B ，求实数 a 的取值范 2．设 围. ，A ＝ {x|x 2＋px ＋q ＝ 0} ， ?U A ＝ {1} ，则 p ＋q ＝ . 集合中的新定义问题 3． U ＝{1,2} 题型十 ** 1．集合 A ． 7 P ＝{3,4,5} ， Q ＝{6,7} B ．12 ，定义 P*Q ＝ {(a ，b)|a ∈ P ，b ∈Q} ，则 P*Q 的子集个数为 ( ) C ． 32 D ． 64 2．当 x ∈ A 时，若 x － 1?A ，且 x ＋1?A ，则称 x 为 A A 的所有孤立元素组成 的孤星集为 N ′，则 M ′ 的一个“孤立元素”，由 的集合称为 A 的“孤星集”， 若集合 M ＝{0,1,3} 的孤星集为 M ′，集合 N ＝ {0,3,4} ∪N ′＝ ( ) A ． {0,1,3,4} B ．{1,4} C ． {1,3} D ． {0,3} 知识点一函数的有关概念 知识点二两个函数相等的条件 1．定义域知识点三 ．2．完全一致．区间的概念及表示 1．一般区间的表示 设a，b∈R，且a 定义名称符号数轴表示{x|a ≤x≤b} 闭区间 {x|a {x|a ≤x {x|a 2.特殊区间的表示 R {x|x ≥a} a，＋∞) {x|x>a} {x|x ≤a} ( －∞，a] {x|x 定义 (－∞，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a) 符号 知识点四函数的表示方法 函数的三种表示法：解析法、图象法、列表法． 知识点五分段函数 如果函数y＝f(x) ，x∈A ，根据自变量x 在 A 中不同的取值范围，有着不同的，那么称这样的函数为分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的 很多学生看上去很用功，可成绩总是不理想。原因之一是，学习效率太低。同样的时间内，只能掌 握别人学到知识的一半，这样怎么能学好学习要讲究效率，提高效率，途径大致有以下几点： 一、每天保证8 小时睡眠。 晚上不要熬夜，定时就寝。中午坚持午睡。充足的睡眠、饱满的精神是提高效率的基本要求。 二、学习时要全神贯注。 玩的时候痛快玩，学的时候认真学。一天到晚伏案苦读，不是良策。学习到一定程度就得休息、补充能量。学习之余，一定要注意休息。但学习时，一定要全身心地投入，手脑并用。我学习 的时侯常有陶渊明的"虽处闹市，而无车马喧嚣"的境界，只有我的手和脑与课本交流。 三、坚持体育锻炼。 身体是"学习"的本钱。没有一个好的身体，再大的能耐也无法发挥。因而，再繁忙的学习， 也不可忽视放松锻炼。有的同学为了学习而忽视锻炼，身体越来越弱，学习越来越感到力不从心。 这样怎么能提高学习效率呢 四、学习要主动。 只有积极主动地学习，才能感受到其中的乐趣，才能对学习越发有兴趣。有了兴趣，效率就会 在不知不觉中得到提高。有的同学基础不好，学习过程中老是有不懂的问题，又羞于向人请教，结 果是郁郁寡欢，心不在焉，从何谈起提高学习效率。这时，唯一的方法是，向人请教，不懂的地方 一定要弄懂，一点一滴地积累，才能进步。如此，才能逐步地提高效率。 五、保持愉快的心情，和同学融洽相处。 每天有个好心情，做事干净利落，学习积极投入，效率自然高。另一方面，把个人和集体结合 起来，和同学保持互助关系，团结进取，也能提高学习效率。 六、注意整理。 学习过程中，把各科课本、作业和资料有规律地放在一起。待用时，一看便知在哪。而有的学 生查阅某本书时，东找西翻，不见踪影。时间就在忙碌而焦急的寻找中逝去。我认为，没有条理的 学生不会学得很好。 12/4 原创精品资料 ，值域是各段值域的 ． 知识点六 映射的概念 设 A ， B f ，使对于集合 A 中的 是两个 ，如果按某一个确定的对应关系 ，在集合 B 中都有 确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 →B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射． f ：A 知识点七 函数的单调性 1．增函数、减函数：设函数 f(x) 的定义域为 I ，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两 f(x) 在区间 D 上是增函数； x 1，x 2，当 x 1 2．函数的单调性： 格的 )单调性，区间 若函数 f(x) 在区间 D 上是增 (减)函数， 则称函数 f(x) 在这一区间上具有 D 叫做 f(x) 的单调区间． (严 3．单调性的常见结论：若函数 f(x) ，g(x) 均为增 (减)函数，则 f(x) ＋g(x) 仍为增 (减)函数；若 1 f x 函数 f(x) 为增(减)函数， 则－ f(x) 为减(增)函数； 若函数 f(x) 为增(减)函数， 且 f(x)>0 ，则 为 减( 增)函数． 知识点八 函数的最大值、最小值 最值 最大值 最小值 类别 设函数 y ＝ f(x) 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足 条件 (1)对于任意的 x ∈ I ，都有 (1)对于任意的 x ∈ I ，都有 (2)存在 x 0∈ I ，使得 M 是函数 y ＝ f(x) 的最大值 (2)存在 M x 0∈ I ，使得 是函数 y ＝ f(x) 的最小值 结论 (小)值． 性质：定义在闭区间上的单调函数，必有最大 知识点九 函数的奇偶性 1．函数奇偶性的概念 偶函数 奇函数 对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x ，都有 条件 f(－ x) ＝ f(x) f(－ x) ＝－ f(x) 函数 f(x) 是奇函数 函数 f(x) 是偶函数 结论 2.性质 (1) 偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称， 奇函数在原点有定义， 则 f(x)=0 (2) 奇函数在对称的区间上单调性相同，偶函数在对称的区间上单调性相反． (3) 在定义域的公共部分内， 两个奇函数之积与商 (分母不零 )为偶函数； 两个奇函数之和为奇 (分母不为零 )为奇函数． 函数；两个偶函数的和、积与商为偶函数；一奇一偶函数之积与商 知识点十 函数的周期性 f x T f ( x)，称这样的函数为 若存在非零常数 T ，对定义域内任意 x ，都有 周期函数， T 叫函数的一个周期。 如：若f x 典例精讲 a f (x)，则 *** 题 型一 函数的定义域 1 函数 f(x) ＝ ln(x － 3)的定义域为 ( ) A ． {x|x> － 3} B ． {x|x>0} C ． {x|x>3} D ． {x|x ≥ 3} 1 1－2 x ＋ 的定义域为 ( ) 2．函数 f(x) ＝ x ＋3 A ． (－ 3,0] B ． (－ 3,1] C ． (－∞，－ 3)∪ (－ 3,0] D ． (－∞，－ 3)∪ (－ 3,1] 2 x 3 x 4 3. 函数 y 的定义域为 （ ） x A ． [ 4,1] B ． [ 4, 0) C ． (0,1] D ． [ 4, 0) U (0,1] mx 2 mx 1 的定义域是一切实数 4.已知函数 f(x)= ,则 m 的取值范围是（ ） A.0 B.0≤ m ≤ 1 f (x) 的定义域是 [1 ， 4] ，则 C.m ≥ 4 y ＝ f (2 x D.0≤m ≤ 4 1) 的定义域是 ． 6、若函数 y ＝ f (3 x 1) 的定义域是 [1 ， 2] ，则 y ＝ f ( x) 的定义域是 *** 题型二 函数概念的考察 1 y ＝f(x) 图象的是 ( ) 下列图象中，不可能成为函数 2 下列各组函数中表示同一函数的是（ ） 5 2 x 和 ln x 5 x x 3 y A.y= y e e 和 B.y=ln 1 x x 1 x 0 和y C. y y 和y x 3 x D. x 1 3 下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） x 1 2 A. y x 1与y ( x 1) B ． y x 1与y x 1 x 100 2 lg x 2 y lg x 2与 lg y 4 lg x 与y C ． D ． 2 4 已知函数 y= 2 定义域为 1,0.1,2 ，则其值域为 x 题型三 *** 分段函数的考察 log 3 x, x 0 1 1、已知函数 f (x) ，则 f ( f ( )) 9 x 2 , x 0 1 4 1 4 A.4 B. C.-4 D- 1 1－2x ， x ≥ 0， x ，x<0 ， 2、已知函数 f(x) ＝ 若 f(a) ＝ a ，则实数 a ＝ . 1 x 2 x 4x 6, x 6, x 0 3、设函数 f (x) f ( x) f (1) 的解集是（ 则不等式 ） A. ( 3,1) (3, ) B. ( 3,1) ( 2, ) C. ( 1,1) (3, ) D. ( , 3) (1,3) 2 x 4 x , x 2 , x x 0 0 a 2 ) 4、已知函数 a 的取值范围是 （ f ( x ) 若 f (2 f (a), 则实数 ） 4 x A ( , 1) (2, ) B ( 1,2) C ( 2,1) D ( , 2) (1, ) 题型四 *** 函数图像的考察 ax 2 abc 0, 二次函数 1、设 f (x) bx c 的图像可能是 2 2、函数 y=2 x 的图像大致是 x - e x e x x e e 3、函数 y ( ) 的图像大致为 x y y y y 1 1 1 O 1 x O1 1 x O 1 x O x 1 D B A C 4、 已知甲、乙两车由同一起点同时出发 , 并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车 v 甲和v 乙 （如图 2 所示）．那么对于图中给定的 的速度曲线分别为 t 0和t 1 ，下列判断中一定 正确的是 （ ） A. 在 t 1 时刻，甲车在乙车前面 t 1 时刻后，甲车在乙车后面 B. C. 在 t 0 时刻，两车的位置相同 t 0 时刻后，乙车在甲车前面 D. 题型五 *** 求函数的解析式 1、求下列函数的解析式 1 x 1 3 f x 3 , 求f ( x). x ① 已知 x 2 x 1 lg x ，求f (x ). 已知f ② 已知 f(x) f(0)=0, f(x+1)=f(x)+x+1, 求 f(x). ③ 是二次函数，若 且 1 x 已知 f(x) 2 f x f 3 x . 求 f(x). ④ 满足 2 +x, 求 f(x) 解析式 2、已知 f(x) 为奇函数， x>0, f(x)=x x 2 3、设 f ( x) 是奇函数， g(x) 是偶函数，并且 f (x ) g ( x ) x ，求 f ( x) 。 ** 函数的值域与最值 题型六 x 2 1、函数 y 2 x x x 3 ， x 1,4 的值域为 ． 1 5 2、求函数 f (x) x 1,4 的最大值和最小值。 4 x 2 x 1 3、求函数 f (x ) 3 x 2,4 的最大值和最小值。 题型七 *** 函数性质的考察 x 2 f (x ) log 1 ( 2 4x 3) 的单调递减区间 1、写出函数 2 f(x)=x -(2a+1)x+3 f(x) 的单调增区间为 f(x) 在区间 2, 2、设二次函数 2, (1) (2) ，则实数 a 的值 ； 若函数 若函数 a 的范围 。 内是增函数，则实数 x m nx 3、定义在 ( 1,1) 上的奇函数 m , n f (x) ，则常数 x 2 1 f ( x) 是 ( , ) 上的偶函数，若对于 x 0 ，都有 f (x 2） f ( x) ，且当 4、已知函数 x [0,2) 时， f ( x) log 2 ( x 1）， 则 f ( 2008) f (2009) 的值为（ ） A ． 2 B x x 1 C ． 1 D ． 2 ． 2 2 B. 5、函数 y log 2 的图像 （ ） y x 对称 y 轴对称 y x 对称 A. 关于原点对称 C . 关于 D. 关于主线 关于直线 4 x 2 1 6、函数 f x 的图象（ ） x A. B. y=x 对称 C. 关于 x 轴对称 D. 关于 y 轴对称 关于原点对称 关于直线 7、定义在 R 上的奇函数 f ( x) ，满足 f (x 4) f ( x) , 且在区间 [0,2] 上是增函数 , 则 （） A. f ( 25) f (11) f (80) f (80) f (11) f ( 25) B. C. f (11) f (80) f ( 25) f ( 25) f (80) f (11) D. 1 8、已知偶函数 f (x) 在区间 0, ) 单调增加，则满足 f (2 x 1) ＜ f ( ) 3 的 x 取值范围 ( ) 1 ， 2 ） 3 3 B. ［ 1 ， 3 2 ） 3 （ 1 2 2 ） 3 1 ， 2 ） （ A ）（ C. D. ， ［ 2 3 f ( x 2 ) x 2 f (x 1) x 1 9、定义在 R 上的偶函数 f (x) 满足：对任意的 0 . x , x [0, )( x x ) ， 有 1 2 1 2 则 ( ) (A) f (3) f ( 2) f (1) f (1) f ( 2) f (3) B. C. f ( 2) f (1) f (3) f (3) f (1) f ( 2) D. 10 、已知函数 f ( x) R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 x 都有 是定义在实数集 x) f (x) ，则 f ( f ( 5 的值是 )) xf (x 1) (1 ( ) 2 1 2 5 2 f ( x) , 且在区间 [0,2] 上是增函数 , A.0 B. C.1 D. 11、已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ，满足 f ( x 4) 8,8 若 方 程 f(x)=m(m>0) 在 区 间 上 有 四 个 不 同 的 根 x 1 , x 2 , x 3, x 4 , 则 x 1 x 2 x 3 x 4 . 1＋ ax 2 x ＋ b 的图象经过点 (1,3) ，并且 g(x) ＝ xf(x) 是偶函数． 12、已知函数 f(x) ＝ (1) 求函数中 (2) 判断函数 a 、b 的值； g(x)在区间 (1，＋∞ )上的单调性，并用单调性定义证明． 基本初等函数、方程的根与函数的零点 知识点一指数函数 （1）根式的概念： x n a, a R, x R, n 1 ，且x 叫做a 的n 次方根． 如果n N ，那么 （2）分数指数幂的概念： m a n n m a (a 0, m, n N , 且n 1) ．0 的正分数指数 ①正数的正分数指数幂的意义是： 幂等于0． m n m n 1 1 m a ( ) a n ( ) (a 0, m, n a N , ②正数的负分数指数幂的意义是：且n 1) ．0 的 负分数指数幂没有意义． （3）运算性质： r ① a s a r s a ( a r s ② (a ) a rs (a 0, r ,s R) 0, r, s R) ③ (ab)r （4）指数函数 a r b r (a 0, b0, r R) 函数名称指数函数 a x ( a0 且a 定义函数y 1) 叫做指数函数 a 1 0 a 1 y x x y y a y a 图象 y 1 y 1 (0,1) (0,1) O O x x R 定义域 (0, ) 值域 x 0 时， (0,1) ，即当y 1． 图象过定点 过定点 奇偶性单调性 非奇非偶 在R 上是增函数R 上是减函数 在 a x a x a x a x a x a x 1 (x 0) 1 ( x 0) 函数值的 变化情况 1 (x 0) 1 ( x 0) 1 (x 0) 1 ( x 0) a 变化对图象 的影响 a 越大图象越高；在第二象限内， a 越大图象越低． 在第一象限内， 知识点二 对数函数 （ 1）对数的定义： a x N (a 0, 且a 1) ，则 x 叫做以 a 为底 N N ，其中 a 叫做 ①若 的对数，记作 x log a 底数， N 叫做真数． ②负数和零没有对数． a x log a N (a 0, a 1, N 0) x N ③对数式与指数式的互化： ． a b log a 1 0 ， log a （ 2）几个重要的对数恒等式： 1 ， log a b ． a （ 3）常用对数与自然对数 lg N ln N ，即 log e N （其中 e 2.71828 常用对数： ，即 log 10 N ；自然对数： ）． a 0, a 1, M 0, N 0 ，那么 （ 4）对数的运算性质 如果 M N ①加法： log log log ( MN ) M N log M log N log ②减法： a a a a a a n ④ a log a N n log a log a (n R ) ③数乘： M M N n log b n log ( 0, ) ⑤ a b M M b n R ⑥ 换 底 公 式 ： a log b N log N (b 0, 且b 1) a log a b （5）对数函数 函数 名称 对数函数 log a x (a 0 且 a y 函数 1) 叫做对数函数 定义 a 1 0 a 1 图象 x 1 x 1 y y y log a x y log a x (1,0) O O (1,0) x x (0, ) 定义域 值域R (1,0) ，即当x 1时，y 0 ． 图象过定点 过定点 奇偶性非奇非偶 在(0, ) 上是增函数在(0, ) 上是减函数 单调性 log a log a log a x x x ( x ( x (0 1) 1) x log a log a log a x x x (x ( x (0 1) 1) x 函数值的 变化情况 1) 1) a 变化对图象的影响 a 越大图象越靠低；在第四象限内， a 越大图象越靠高． 在第一象限内， 知识点三幂函数 （1）幂函数的定义 y x 叫做幂函数，其中x 为自变量， 一般地，函数是常数． （2）幂函数的图象 (0, ) 都有定义，并且图象都通过点(1,1)． 过定点：所有的幂函数在 知识点四函数与方程 1、函数零点的定义 （1）对于函数y f (x)的零点。 f (x)，我们把方程0 的实数根叫做函数 y f ( x) 函数y f ( x) 的图像与x 轴有交点函数y f ( x) 有零点。 （2）方程 f ( x) 0 有实根 因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程 f ( x) 0是否有实数根，有几个 f (x) 的零点 实数根。函数零点的求法：解方程 f ( x) 0 ，所得实数根就是 （3）变号零点与不变号零点 f (x) 在零点 ①若函数 f (x) 的变号零点。 x 0 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数 f (x) 在零点 ②若函数 x 0 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数 f (x) 的不变号零点。 f (x) 在区间 f (x) 在区间 ③若函数 上的图像是一条连续的曲线，则 0 是 f (a) f (b) a,b a, b 内有零点的充分不必要条件。 2、函数零点的判定 （ 1）零点存在性定理：如果函数 y f ( x) 在区间 [ a, b] 上的图象是连续不断的曲线，并且有 内有零点， 即存在 x 0 (a ,b ) ，使得 f (a) f (b) 0 ，那么， 函数 y f ( x) 在区间 f (x 0) 0 ， a,b 这个 x 0 也就是方程 f (x) 0的根。 （2）函数 y f ( x) 零点个数（或方程 0 实数根的个数）确定方法 f ( x) ① 代数法：函数 y f ( x) 的零点 0 的根； 可以将它与函数 f ( x) ②（几何法） 对于不能用求根公式的方程， 用函数的性质找出零点。 （3）零点个数确定 f (x) 的图象联系起来，并利 y 0 0 y y f ( x) 有 2 个零点 f ( x) f ( x) 0有两个不等实根； 0有两个相等实根； 1 个零点 f ( x) 有 上的零点个数，要 f ( x) 0 无实根；对于二次函数在区间 y f ( x) 无零点 a,b 结合图像进行确定 . 1、 二分法 （1）二分法的定义 : 对于在区间 [a, b] 上连续不断且 0 的函数 f ( x) , 通过不断地 y f (a) f (b) , 使区间的两个端点逐步逼近零点 , 进而得到零 把函数 y f ( x) 的零点所在的区间一分为二 点的近似值的方法叫做二分法 ; （2）用二分法求方程的近似解的步骤 : [ a, b] , 验证 f (a) 0 , 给定精确度 ; ① 确定区间 f (b) (a,b)的中点 c ; ②求区间 ③计算 f (c) ; 0 , 则 c 就是函数的零点 ( ⅰ ) 若 f ( c) ; ( ⅱ ) 0 , 则令 c ( 此时零点 若 f (a) f (c) x 0 ( a, c ) ); b 0 , 则令 a c ( 此时零点 ( ⅲ ) 若 f (c) f (b) x 0 ( c, b) ); a ( 或 b ); , 即 , 则得到零点近似值为 . ④判断是否达到精确度 a b 否则重复②至④步 典例精讲 题型一 ** 有关幂函数定义及性质 m 2 2 y (m 1)x 1 、函数 m= . 是一个反比例函数，则 3 2 -1 2、在函数① y=x ② y=x ③ y=x x 中，定义域和值域相同的是 ④ y= . 1 a 1. 2 2 ， b 1 2 1 1.12 按从小到大进行排列为 3、将 0.9 ， c 题型二 *** 指数函数及其性质 a x 2 1.(a 0 且 a 1) 的图像必经过点 1、函数 y 2、 比较下列各组数值的大小： （1） 1.7 3.3 0.8 2. 1 ； （ 2） 3.3 0.7 3.40.8 ； x 2 2x 1 2 3、函数 y 的递减区间为 ；值域是 1 2 x 2 x 4、设 0 x 2 ，求函数 y 4 3 5 的最大值和最小值。 y a x , y b x , y c x , y x 5、设 a,b, c, d 都是不等于 1的正数， d a,b,c, d 在同一坐标系中的图像如图所示，则 的大小顺序是 A .a C .b 题型三 ** b a c d d c .a .b b a d c c d B D 指数函数的运算 1 1、计算 2 的结果是（） ( 2) 2 1 C 、— 2 4 1 2 A 、 2 B 、 D 2 、— 4 3 6 6 a 9 3 a 9 2、 等于（） A 、 a 16 B 、 a 8 C 、 a 4 、 a 2 D a 3 3 2 b 3a 8,3 b 5 ，则 3、若 = 。 题型四 ** 对数运算 1、求值 (log 2 3 2log 2 3)(3log 3 4 log 3 2) ； 3a 6 用 a 表示是（） 2 ，那么 2、已知 log 3 8 2log 3 a) 2 a 2 、 3a (1 A 、 a 2 、 5a 2 、 3a B C D 1 2 等于（） 3、已知 log 7 [log 3 (log x)] 0 ，那么 x 2 1 1 1 3 3 A 、 1 B 、 3 C 、 D 、 2 3 2 2 题型五 *** 对数函数及其性质 a x 1、指数函数 y 0 且 a 1) 的反函数为 (a ；它的值域是 2、已知 log 1 2 m log n 0 ，则 ( ) 1 2 A. n m 1 B. m n 1 C. 1 m n D. 1 n m 2 ( 1.2) 3 ， b 2 1.13 ， c 1 0.93 ， d 3、 a log 3 0.34 的大小关系是 1 ＜ 0 2 ，（ a ＞ 0， a ≠1），则 a 的取值范围是 4、已知 . log a （ a ＞ 0，且 a ≠ 1）的图像必经过点 5、函数 f (x) lo g a (2 x 1) 6、已知 y=log a (2 － ax) 在[0 ， 1] 上是关于 x 的减函数，则 a 的取值范围是 （ ） A ．（ 0， 1） B ．（ 1， 2） C ．（ 0， 2） D ． [2, ) 题型六 *** 零点区间的判断 x 1、函数 f ( x ) ＝ 2 ＋ 3x 的零点所在的一个区间是（ ） A 、( －2，－ 1) B 、( － 1,0) 的零点必落在区间 C 、(0,1) ） D 、(1,2) 2、函数 f(x)=log 2 x+2x-1 （ 1 , 1 8 4 3 x 1 , 1 4 2 1 ,1 2 A 、 B 、 C 、 D 、(1,2) x 2 3、设 f ( x) f (x) 有零点的区间是（ ，则在下列区间中，使函数 ） A 、[0,1] 4、在下列区间中，函数 B 、 [1,2] 3 的零点所在的区间为 e x f ( x ) 4x （ ） 1 ,0) 1 1 1 1 3 A 、 ( C D 、 、 B 、 (0, ) 4 ( , ) 4 2 （ ( , ) 2 4 4 5、若 x 0 是方程 lg x x 2 的解，则 x 0 属于区间 ） A 、 (0,1) B 、 (1,1.25) C (1.25,1.75) D 、 (1.75,2) 、 *** 题型七 零点个数的判断 x x 2 1、方程 2 3 的实数解的个数为 . 2、函数 f ( x) ln x x 2 的零点个数为 . x cos x2 在区间[0,4] 3、函数 f ( x) 上的零点个数为（） A、4 B 、5 C、6 D、7 4、函数 f ( x) x cos x 在[0,) 内（） A、没有零点 C、有且仅有两个零点B 、有且仅有一个零点 、有无穷多个零点D x2 2 2 x 3, x 0 5、函数 f ( x) ，零点个数为（） ln x, x 0 A、3 B 、2 C 、1 D 、0 f ( x) a x a 6 、若函数 a 0 且a 1 ) 的取值范围 x a ( 有两个零点，则实数 . 是 x3 a 的取值范围是（ 7、若函数 f (x) 3 x a 有3 个不同的零点, 则实数） 2,2 2,2 , 1 1, A、 B C 、 D 、 、 题型八** 二分法求函数零点 1、下列函数中能用二分法求零点的是（） 2、下列函数图象与x 轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是（） 3 x 3 x 3、设f x 3x 8 , 用二分法求方程 3 x8 0在x 1,2 内近似解的过程中得 f 1 0, f 1.5 0, f 1.25 0,则方程的根落在区（） A、(1,1.25) 、(1.25,1.5) C 、(1.5, 2) B D 、不能确定 x 3 f ( x ) 3x 1的零点时，第一次经计算 4、用二分法研究函数 f (0) 0， f (0.5) 0 ，可得 其中一个零点 x 0 . ，第二次应计算 以上横线上应填的内容为 （ ） A 、（ 0，0.5 ）， f (0.25) B 、（ 0， 1）， f (0.25) C 、（ 0.5 ， 1）， f (0.75) D 、（ 0，0.5 ）， f (0.125) x 3 x 2 5、若函数 如下： f ( x) 2x 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据 f (1) = －2 －0.260 f (1.5) = 0.625 f (1.25) = － 0.984 f (1.375) = f (1.4375) = 0.162 f (1.40625) = －0.054 x 3 x 2 B 那么方程 、1.2 2x 2 0 的一个近似根（精确到 0.1 ）为 D （ ） 、1.5 A 、1.3 C 、 1.4 高中数学必修4知识点 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?< 2020高一数学知识点总结归纳精选5 篇 高一数学是很多同学的噩梦，知识点众多而且杂，对于高一的同学们很不友好，建议同学们通过总结知识点的方法来学习数学，这样可以提高学习效率。下面就是给大家带来的高一数学知识点总结，希望能帮助到大家！ 高一数学知识点总结(一) (1)指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a 大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。 (2)指数函数的值域为大于0的实数集合。 (3)函数图形都是下凹的。 (4)a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。 (5)可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴 的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 (6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，永不相交。 (7)函数总是通过(0，1)这点。 (8)显然指数函数无界。 奇偶性 定义 一般地，对于函数f(x) (1)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。 (2)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。 (3)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。 (4)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。 高一数学知识点总结(二) 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q 是偶数，函数的定义域是[0，+)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x0，函数的定义域是(-，0)(0，+).因此可以看到x所受到的限制****于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道： 排除了为0与负数两种可能，即对于x0，则a可以是任意实数; 排除了为0这种可能，即对于x0和x0的所有实数，q不能是偶数; 排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。 初高中数学教材衔接的必要性与措施 近几年，随着我国教育体制改革步代加大，素质教育理念不断深入人心,课改新教材在我省大多数中小学已经实施。黄石市初中是率先使用课改新教材的县市之一，经过两届学生实验，结果表明：使用课改新教材的学生学习的自主性，思维的广阔性，师生的互动性明显增强，但思维的严谨性，推理的逻辑性显得有些不足。加上我市高中教材未与课改新教材接轨，教学内容上有明显“脱节”。学生从初中进入高中出现明显“不适应”现象。因此解决初高中数学教材衔接问题势在必行。 一、初高中数学知识“脱节”点 1. 绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用 2．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。 3．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。 4．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 5．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 6．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。 7．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。 8．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 9．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。 10. 圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习，高中则在使用。 另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。 二、“脱节”知识点掌握情况调查 高一新生入学不久，在已进行“乘法公式”与“因式分解”讲授后，我们对学生初高中“脱节”知识点作了全面调查，统计情况如下： 高中数学必修1知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每 一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2．集合的表示方法：列举法与描述法。 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a 属于集合A 记作 a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 a?A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合 的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2} 4、集合的分类： （1）．有限集含有有限个元素的集合 （2）．无限集含有无限个元素的集合 （3）．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A 2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同” 结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B 任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且B? A那就说集合A是集合B的真子集，记作A?B(或B? A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 高中高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2．集合的表示方法：列举法与描述法。 注意啊：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A ，相反，a不属于集合A 记作a?A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2} 4、集合的分类： 1．有限集含有有限个元素的集合 2．无限集含有无限个元素的集合 3．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集， 它有2 2n -非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 （8）交集、并集、补集 名称记号意义性质示意图 交集A B {|, x x A ∈且 } x B ∈ （1）A A A = （2）A?=? （3）A B A ? A B B ? B A 并集A B {|, x x A ∈或 } x B ∈ （1）A A A = （2）A A ?= （3）A B A ? A B B ? B A 补集 U A{|,} x x U x A ∈? 且 1() U A A=?2() U A A U = 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 （1）含绝对值的不等式的解法 不等式解集 ||(0) x a a <>{|} x a x a -<< ||(0) x a a >>|x x a <-或} x a > ||,||(0) ax b c ax b c c +<+>> 把ax b+看成一个整体，化成||x a<， ||(0) x a a >>型不等式来求解 判别式 24 b ac ?=- ?>0 ?=0 ?<二次函数 2(0) y ax bx c a =++> 的图象O 一元二次方程 20(0) ax bx c a ++=> 的根 2 1,2 4 2 b b ac x a -±- = （其中 12 ) x x < 122 b x x a ==-无实根 ()()() U U U A B A B = ()()() U U U A B A B = 高中数学知识点总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21 高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰 洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。 {x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。 注意：B ?/B或B?/A 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 高中数学必修 2 知识点总结 第一章空间几何体 1.1柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这 些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱ABCDE - A'B'C'D'E'或用对角线的端点字母，如五棱柱AD' 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥P - A'B'C'D'E' 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 （3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台P - A'B'C'D'E' 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全 等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一 点到球心的距离等于半径。 1.2空间几何体的三视图和直观图 （1）定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、 俯视图（从上向下） 注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 （2）画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 （3）直观图：斜二测画法 （4）斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变； （3）.画法要写好。 （5）用斜二测画法画岀长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图 1.3空间几何体的表面积与体积 （1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 I （2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，h为斜高，|为母线） 3）柱体、锥体、台体的体积公式 高中数学必修1知识点 第一章、集合综合应用题；单调性、奇偶性证明与应用； 第二章、指数幂与对数的运算；指数函数与对数函数性质的应用； 第三章、零点问题，尤其是二次函数的零点、二次函数根的分布。 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念： 1、集合的含义： 2、集合的中元素的三个特性： （1）元素的确定性；（2）元素的互异性；（3）元素的无序性 3、集合的表示： （Ⅰ）列举法： （Ⅱ）描述法： 4、常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）N ；正整数集N*或N+ ；整数集Z；有理数集Q；实数集R 5、“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A ，相反，a不属于集合A 记作a A 6、集合的分类： 1．有限集含有有限个元素的集合 2．无限集含有无限个元素的集合 3．空集不含任何元素的集合 二、集合间的基本关系 集合相等，子集，真子集，空集等定义 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1．交集、并集、全集与补集的定义 2.性质：A∩A = A，A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A，A∪φ= A , A∪B = B∪A. ⑴C U(C U A)=A ⑵(C U A)∩A=Φ⑶(C U A)∪A=U (4)(C U A)∩(C U B)=C U(A∪B) (5)(C U A)∪(C U B)=C U(A∩B) 二、函数的有关概念 1．函数的概念：(看课本) 注意：1、如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合； 2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 定义域补充： 能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1) 分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是 高中数学必修四知识点总结 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 高中数学必修知识点总结 必修一 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 3．集合的表示方法：列举法与描述法。 非负整数集（即自然数集）记作：正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 二、集合间的基本关系 1.对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B … 2、子集与真子集 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集． 记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}． 2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}． 3、交集与并集的性质：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A, A∪φ= A ,A∪B = B∪A. 4、全集与补集 > （1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集） （2）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。 （3）性质： 二、函数的有关概念 1、函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． ☆求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. ☆构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 2、补充一：分段函数 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 补充二：复合函数 ' 如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 称为f、g的复合函数。 补充三：抽象函数 3、函数的解析式的常用求法： 1、定义法； 2、换元法； 3、待定系数法； 4、函数方程法； 5、配方法 4、函数的值域的常用求法： 1、换元法； 2、配方法； 3、判别式法； 4、几何法； 5、不等式法； 6、单调性法 5、函数单调性 高中数学知识点总结 1. 首先对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 要注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为B A a ? （答：，，）-??? ??? 1013 3. 注意下列性质： {} （）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （）若，；2A B A B A A B B ??== （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==， 4. 请问你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式 的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()（∵，∴ ·∵，∴ ·，，）335 30 555 5015392522 ∈-- 若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧ 若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨ 若为真，当且仅当为假?p p 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ ()() 例：函数的定义域是 y x x x = --432 lg ()()() （答：，，，）022334 10. 如何求复合函数的定义域？ [] 如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0 义域是_____________。 [] （答：，）a a - 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ ( ) 如：，求f x e x f x x +=+1(). 令，则t x t = +≥10 ∴x t =-2 1 ∴f t e t t ()=+--2 1 21 ()∴f x e x x x ()=+-≥-2 1 210 高中数学必修3知识点 第一章算法初步 1.1.1算法的概念 算法的特点: (1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的. (2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可. (3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题. (4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法. (5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决. 1.1.2程序框图 1、程序框图基本概念： （一）程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。 一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明。 （二）构成程序框的图形符号及其作用 学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下： 1、使用标准的图形符号。 2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。 3、除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。 4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果。 5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。 （三）、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。 1、顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，它是由若干 顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而 下地连接起来，按顺序执行算法步骤。如在示意图中，A 框和B 框是依次执行的，只有在执行完A 框指定的操作后，才能接着执 行B 框所指定的操作。 2、条件结构： 条件结构是指在算法中通过对条件的判断 根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。 条件P 是否成立而选择执行 A 框或 B 框。无论P 条件是否成立，只能执行A 框或B 框之一，不可能同时执行A 框和B 框，也不可能A 框、B 框都不执行。一个判断结构可以有多个判断框。 3、循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构。循环结构又称重复结构，循环结构可细分为两类： （1）、一类是当型循环结构，如下左图所示，它的功能是当给定的条件P 成立时，执行A 框，A 框执行完毕后，再判断条件P 是否成立，如果仍然成立，再执行A 框，如此反复执行A 框，直到某一次条件P 不成立为止，此时不再执行A 框，离开循环结构。 （2）、另一类是直到型循环结构，如下右图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件P 是否成立，如果P 仍然不成立，则继续执行A 框，直到某一次给定的条件P 成立为止，此时不再执行A 框，离开循环结构。 高中数学必修1知识点总结 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 （8）交集、并集、补集 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1 （2 0) 〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念 （1）函数的概念 ①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须 a b <． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中， () 2 x k k Z π π≠+ ∈． ⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义 必修1数学知识点 第一章、集合与函数概念 §1.1.1、集合 1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 3、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合：Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是集合B 的子集。记作B A ?. 2、 如果集合B A ?，但存在元素B x ∈，且A x ?，则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：?.并规定：空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n 2个子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A . 2、 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A . 3、全集、补集？{|,}U C A x x U x U =∈?且 §1.2.1、函数的概念 1、 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作： ()A x x f y ∈=,. 2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、 注意函数单调性证明的一般格式： 解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则：()()21x f x f -=… §1.3.2、奇偶性 1、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为偶函数.偶函数图象关于y 轴对称. 2、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为奇函数.奇函数图象关于原点对称. 第二章、基本初等函数（Ⅰ） §2.1.1、指数与指数幂的运算 1、 一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根。其中+∈>N n n ,1. 2、 当n 为奇数时，a a n n =； 当n 为偶数时，a a n n =. 高中数学必修+选修知识点归纳 新课标人教A版 一、集合 1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总 体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无 序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个 集合相等。 3、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合： Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任 意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是 集合B 的子集。记作B A ?. 2、 如果集合B A ?，但存在元素B x ∈，且A x ?， 则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：?.并规定： 空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n 2个子 集，21n -个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成 的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A Y . 2、 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素 组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A I . 3、全集、补集？{|,}U C A x x U x U =∈?且 §1.2.1、函数的概念 1、 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应 关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作：()A x x f y ∈=,. 2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值 域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完 全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法： (1)定义法：设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. 步骤：取值—作差—变形—定号—判断 格式：解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则： ()()21x f x f -=… (2)导数法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数； 若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. §1.3.2、奇偶性 1、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ，都有()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为 偶函数.偶函数图象关于y 轴对称. 2、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ，都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为 奇函数.奇函数图象关于原点对称. 知识链接：函数与导数 1、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义： 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在 ))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方 程是))((000x x x f y y -'=-. 2、几种常见函数的导数 ①' C 0=；②1 ' )(-=n n nx x ；高中数学必修4知识点总结归纳
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