1，分式
1. 当x 为何值时，分式有意义.
已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解 出字母x 的取值范围.
如果题目为：当x 为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念.
例2. 当m 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) 分式的值为0时，必须同时．．
满足两个条件：○1分母不能为零；○2分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解.
（ 2），
1，判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 238y y -，91-x
2. 当x 取何值时，下列分式有意义？ （1） （2） （3）
3. 当x 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) （3）．通分：
通分要想确定各分式的公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母.
不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.
a
b
56--， y
x 3-， n
m --2， n
m 67--， y
x 43---。
3．通分： （1）321ab 和c b a 2252 （2）xy a 2和2
3x
b
计算
（1）ab c 2c b a 22? （2）32
2542n m m n ?- （3）??
? ??-÷x x y 27 （4）b a ab ab b a 234222-?- （5）)4(12
x x x x -÷-- （6）3
222)(35)(42x y x x y x --?-
分式的乘除
例.计算
(1))
4(3)98(23232b x
b a xy y x ab -÷-?
=x b b a xy y x ab 34)98(23232-?-? (先把除法统一成乘法运算) =x
b b a xy y x ab 34982323
2?? （判断运算的符号） 1-m m 3
2+-m m 112
+-m m 45
22--x x x x 235
-+2
3
+x x x 57+x
x 3217-x x x --221
=32916ax
b （约分到最简分式）
(2) x x x x x x x --+?
+÷+--3)
2)(3()3(444622
=x x x x x x x --+?+?+--3)2)(3(3
1444622
(先把除法统一成乘法运算) =x x x x x x --+?+?--3)
2)(3(3
1)2()3(22
(分子、分母中的多项式分解因式) 计算
(3)4234223)()()(c a b a c b a c ÷÷ (4) )()()(223
2b a a
b a ab b a -?--?-
分式的加减
例.计算 （1）
2
222223223y
x y
x y x y x y x y x --+-+--+
[分析] 第（1）题是同分母的分式加减法的运算，强调分子为多项式时，应把多项事看作一个整体加上括号参加运算，结果也要约分化成最简分式. 解：
2222223223y x y x y x y x y x y x --+-+--+
=
22)
32()2()3(y x y x y x y x --++-+
=
2
222y x y
x --
=))(()
(2y x y x y x +--
=
y
x +2 （3）96312-++a a （4）b
a b
a b a b a b a b a b a b a ---
+-----+-87546563 计算 (1) 2
2233343365cba b
a c ba a
b b
c a b a +--++
（1）x x
x x x x x x -÷+----+4)4
4122(
22 [分析] 这道题先做括号里的减法，再把除法转化成乘法，把分母的“-”号提到分式本身的前边..
解： x x
x x x x x x -÷+----+4)4
4122(
22 =)
4(])2(1)2(2[2
--?----+x x
x x x x x =)4(])
2()1()2()2)(2([
2
2--?-----+x x
x x x x x x x x =)4()
2(42
22--?-+--x x
x x x x x =4
41
2
+--x x =
1．计算
(2) 22
242)44122(a
a
a a a a a a a a -÷-?+----+ (3) zx
yz xy xy z y x ++?++)111(
2．计算24
)2121(
a
a a ÷--+，并求出当=a -1的值. 整数指数幂
1．知道负整数指数幂n a -=
n a
1
（a ≠0，n 是正整数）. 1．回忆正整数指数幂的运算性质：
（1）同底数的幂的乘法：n m n m a a a +=?(m,n 是正整数)； （2）幂的乘方：mn
n m a
a =)((m,n 是正整数)；
（3）积的乘方：n
n
n
b a ab =)((n 是正整数)；
（4）同底数的幂的除法：n m n m a a a -=÷( a ≠0，m,n 是正整数，
m ＞n)；
（5）商的乘方：n n
n b
a b a =)((n 是正整数)；
2．回忆0指数幂的规定，即当a ≠0时，10
=a .
2.计算
(1) (3×10-8
)×(4×103
) (2) (2×10-3)2
÷(10-3)3
分式方程
解方程
(1)
623-=x x （2）16
13122
-=-++x x x （3）114112=---+x x x （4）22
122=-+-x x x x
2．X 为何值时，代数式x
x x x 2
31392---++的值等于2？
2．甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程，已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的3
2
，求甲、乙两队单独完成各需多少天？
3．甲容器中有15%的盐水30升，乙容器中有18%的盐水20升，如果向两个容器个加入等量水，使它们的浓度相等，那么加入的水是多少升？
反比例函数
1．使学生理解并掌握反比例函数的概念
2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式 3．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型。 例2．（补充）当m 取什么值时，函数2
3)2(m x m y --=是反比例函数？
分析：反比例函数x
k y =
（k ≠0）的另一种表达式是1
-=kx y （k ≠0），后一种写法中x 的次数是－1，因此m 的取值必须满足两个条件，即m －2≠0且3－m 2＝－1，特别注意不要遗漏k ≠0这一条件，也要防止出现3－m 2＝1的错误。 解得m ＝－2
例3．（补充）已知函数y ＝y 1＋y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝4；当x ＝2时，y ＝5
（1） 求y 与x 的函数关系式
（2） 当x ＝－2时，求函数y 的值
分析：此题函数y 是由y 1和y 2两个函数组成的，要用待定系数法来解答，先根据题意分别设出y 1、 y 2与x 的函数关系式，再代入数值，通过解方程或方程组求出比例系数的值。这里要注意y 1与x 和y 2与x 的函数关系中的比例系数不一定相同，故不能都设为k ，要用不同的字母表示。
略解：设y 1＝k 1x （k 1≠0），x k y 22=
（k 2≠0），则x
k
x k y 21+=，代入数值求得k 1＝2，
k 2＝2，则x
x y 2
2+=，当x ＝－2时，y ＝－5
1．已知y 与x 成反比例，且当x ＝－2时，y ＝3，则y 与x 之间的函数关系式是 ， 当x ＝－3时，y ＝ 2．函数2
1
+-
=x y 中自变量x 的取值范围是 3.已知函数y ＝y 1＋y 2，y 1与x ＋1成正比例，y 2与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝0；当x ＝4时，y ＝9，求当x ＝－1时y 的值
例2．（补充）如图，过反比例函数x
y 1
=
（x ＞0）的图象上任意两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OA 、OB ，设△AOC 和△BOD 的面积分别是S 1、S 2，比较它们的大小，可得（ ）
（A ）S 1＞S 2 （B ）S 1＝S 2
（C ）S 1＜S 2 （D ）大小关系不能确定
分析：从反比例函数x
k
y =（k ≠0）的图象上任一点P （x ，y ）向x 轴、y 轴作垂线段，与x 轴、y 轴所围成的矩形面积k xy S ==，由此可得S 1＝S 2 ＝2
1
，故选B
1．已知反比例函数x
k
y -=
3，分别根据下列条件求出字母k 的取值范围 （1）函数图象位于第一、三象限
（2）在第二象限内，y 随x 的增大而增大 2．函数y ＝－ax ＋a 与x
a
y -=（a ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
3．在平面直角坐标系内，过反比例函数x
k
y =
（k ＞0）的图象上的一点分别作x 轴、y 轴的垂线段，与x 轴、y 轴所围成的矩形面积是6，则函数解析式为
1．若函数x m y )12(-=与x
m
y -=3的图象交于第一、三象限，则m 的取值范围是 2．反比例函数x
y 2-
=，当x ＝－2时，y ＝ ；当x ＜－2时；y 的取值范围是 ； 当x ＞－2时；y 的取值范围是
3． 已知反比例函数y a x
a
=--()22
6
，当x >0时，y 随x 的增大而增大，
求函数关系式
例． （补充）如图， 一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数x
m
y =的图象交于A （－2，1）、B （1，n ）两点
（1）求反比例函数和一次函数的解析式 （2）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围
分析：因为A 点在反比例函数的图象上，可先求出反比例函数的解析式x
y 2
-
=，又B 点在反比例函数的图象上，代入即可求出n 的值，最后再由A 、B 两点坐标求出一次函数解析式y ＝－x －1，第（2）问根据图象可得x 的取值范围x ＜－2或0＜x ＜1，这是因
为比较两个不同函数的值的大小时，就是看这两个函数图象哪个在上方，哪个在下方。
2．已知点（－1，y 1）、（2，y 2）、（π，y 3）在双曲线x
k y 1
2+-=上，则下列关系
式正确的是（ ）
（A ）y 1＞y 2＞y 3 （B ）y 1＞y 3＞y 2 （C ）y 2＞y 1＞y 3 （D ）y 3＞y 1＞y 2
1．已知反比例函数x
k y 1
2+=
的图象在每个象限内函数值y 随自变量x 的增大而减小，且k 的值还满足)12(29--k ≥2k －1，若k 为整数，求反比例函数的解析式
2．已知一次函数b kx y +=的图像与反比例函数x
y 8
-=的图像交于A 、B 两点，且点A 的横坐标和点B 的纵坐标都是－2 ， 求（1）一次函数的解析式； （2）△AOB 的面积
例1．（补充）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成为正比例,药物燃烧后，y 与x 成反比例(如图)，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
(1)药物燃烧时，y 关于x 的函数关系式为 ,自变量x 的取值范为 ； 药物燃烧后，y 关于x 的函数关系式为 .
(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过______分钟后，员工才能回到办公室；
(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效?为什么?
分析：（1）药物燃烧时，由图象可知函数y 是x 的正比例函数，设x k y 1=，将点（8，6）代人解析式，求得x y 4
3
=
，自变量0＜x ≤8；药物燃烧后，由图象看出y 是x 的反比例函数，设x k y 2=
，用待定系数法求得x
y 48= （2）燃烧时，药含量逐渐增加，燃烧后，药含量逐渐减少，因此，只能在燃烧后的某一时间进入办公室，先将药含量y ＝1.6代入x
y 48
=
，求出x ＝30，根据反比例函数的图象与性质知药含量y 随时间x 的增大而减小，求得时间至少要30分钟
（3）药物燃烧过程中，药含量逐渐增加，当y ＝3时，代入x y 4
3
=
中，得x ＝4，即当药物燃烧4分钟时，药含量达到3毫克；药物燃烧后，药含量由最高6毫克逐渐减少，其间还能达到3毫克，所以当y ＝3时，代入x
y 48
=，得x ＝16，持续时间为16－4＝12＞10，因此消毒有效
1.一场暴雨过后，一洼地存雨水20米3，如果将雨水全部排完需t 分钟，排水量为a 米3/分，且排水时间为5～10分钟
（1）试写出t 与a 的函数关系式，并指出a 的取值范围； （2）请画出函数图象
（3）根据图象回答：当排水量为3米3/分时，排水的时间需要多长？
相似图形
一、基础知识
(一).比例
1.第四比例项、比例中项、比例线段；
2.比例性质：
（1）基本性质：
bc ad d c b a =?= ac b c b
b a =?=2 （2）合比定理：d d
c b b a
d c b a ±=
±?= （3）等比定理：)0.(≠+++=++++++?==n d b b
a
n d b m c a n m d c b a
3.黄金分割：如图，若AB PB PA ?=2，则点P 为线段AB 的黄金分割点．
4．平行线分线段成比例定理
(二)相似
1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.
2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.
3.相似三角形的判定
● （1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ● （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
● （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三
角形相似。
● （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角
形相似。 4.
相似三角形的性质
● （1）对应边的比相等，对应角相等. ● （2）相似三角形的周长比等于相似比.
● （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.
●
（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比.
5.三角形中位线定义:
连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线. 三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.
梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半. 7.相似三角形的应用:
１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）； ２、利用三角形相似，求线段的长等
3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建筑物的高度等。 (三)位似:
位似:如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比.
位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比
例5.如图，已知四边形BDFE 是菱形，DC=2
1
BD ，且DC=4，求AE 的长度
B
_B
_ C
_ D
例6.如图，在△ABC 中，AB=14，AC=6，在AC 上取一点D ，使AD=3，如果在AB 上取点E ，使△A
图形与证明（1）
一、知识点
1. 掌握定义、命题、基本事实、和定理等概念
2. 知道命题的结构，会判断命题的真假，能写出一个命题的逆命题
3. 能够对一些命题进行证明 二、复习过程
回顾：识别命题
1.下面的句子哪些是命题，如果是，请写出它的逆命题。
（1） 我是苏州人吗？（2）对顶角相等； （3）内错角相等；
（4）延长线段AB ； （5）若a 2
>b 2
则a>b.
回顾：判断命题的真假，命题的条件和结论
2．已知下列命题：（1）同角的余角相等；（2）鸦片战争是中国近代史的开端； （3）等腰梯形是轴对称图形；（4）异号两数相加得零； （5）平行于同一条直线的两直线平行； （6）函数1+=
x y 的自变量x 的取值范围是1-≥x
3.用如果…那么…扩写下列命题
（1）能被2整除的数也能被4整除； （2）相等的两个角是对顶角； （3）若xy=0,则x=0；
（4）角平分线上的点到这个角两边的距离相等
回顾：学会说理
4、某参观团依据下列约束条件，从A 、B 、C 、D 、E 五个地方选定参观地点： (1)如果去A 地，那么也必须去B 地；(2)D 、E 两地至少去一处； (3)B 、C 两地只去一处；(4)C 、D 两地都去或都不去； (5)如果去E 地，那么A 、D 两地也必须去
依据上述条件，你认为参观团只能去__________________ 勾股定理
重点、难点
1．重点：勾股定理的内容及证明。 2．难点：勾股定理的证明。
例1（补充）已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。 求证：a 2＋b 2=c 2。
分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。 ⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S △+S 小正=S 大正 4×
2
1
ab ＋（b －a ）2=c 2，化简可证。 ⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。 ⑷ 勾股定理的证明方法，达300余种。这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
例2已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证：a 2＋b 2=c 2。
分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。
左边S=4×2
1
ab ＋c 2
右边S=（a+b ）2
左边和右边面积相等，即 4×
2
1
ab ＋c 2=（a+b ）2 化简可证。
4．根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。
1．已知在Rt △ABC 中，∠B=90°，a 、b 、c 是△ABC 的三边，则
A
B
b
b
b
b
a
a
b E
B
⑴c=
。（已知a 、b ，求c ） ⑵a= 。（已知b 、c ，求a ） ⑶b= 。（已知a 、c ，求b ）
解答题
1．请把下列证明过程补充完整：
已知：如图，DE ∥BC ，BE 平分∠ABC ．求证：∠1=∠3． 证明：因为BE 平分∠ABC （已知）， 所以∠1=______（ ）． 又因为DE ∥BC （已知），
所以∠2=_____（ ）．
所以∠1=∠3（ ）． 2.已知，如图，⊿ABC 中，∠A = 900，AB =AC ，D 是BC 边
上的中点，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且BE = AF ，求证：ED ⊥FD
3.证明：角平分线上的一点到这个角的两边距离相等.
4．如图，在△AFD 和△CEB 中，点A 、E 、F 、C 在同一直线上，下面有4个判断： （1）AD=CB ；（2）AE=FC ；（3）∠B=∠D ；（4）AD ∥BC ．
请用其中3个作为已知条件，余下1个作为结论，编一道数学问题，?并写出解答过程．
数据的分析
1、使学生理解数据的权和加权平均数的概念
2、使学生掌握加权平均数的计算方法
3、通过本节课的学习，还应使学生理解平均数在数据统计中的意义和作用：描述一组数据集中趋势的特征数字，是反映一组数据平均水平的特征数。 二、重点、难点和难点突破的方法：
D
A
B
C
E
F
1、重点：会求加权平均数
2、难点：对“权”的理解
4、在一次英语口试中，已知50分1人、60分2人、70分5人、90分5人、100分1人，其余为84分。已知该班平均成绩为80分，问该班有多少人？
3、为调查居民生活环境质量，环保局对所辖的50个居民区进行了噪音（单位：分贝）水平的调查，结果如下图，求每个小区噪音的平均分贝数。
平均数计算要用到所有的数据，它能够充分利用所有的数据信息，但它受极端值的影响较大.
众数是当一组数据中某一数据重复出现较多时，人们往往关心的一个量，众数不受极端值的影响，这是它的一个优势，中位数的计算很少也不受极端值的影响.
平均数的大小与一组数据中的每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会相应引起平均数的变动.
中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数
描述其趋势.
根据表中的信息填空：
（1） 该公司每人所创年利润的平均数是 万元。
60 噪音/分贝
80 70 50 40 90
（2）该公司每人所创年利润的中位数是万元。
（3）你认为应该使用平均数和中位数中哪一个来描述该公司每人所创年利润的一般水平？答
《数学》（八年级上册）知识点总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2 c b a =+ 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 2 2 c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足2 2 2 c b a =+的三个正整数，称为勾股数。 第二章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如 3 π +8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 5、估算
初中数学试卷第1页，共15页 苏教版八年级下册数学 题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题(本大题共20小题，共60.0分) 1.要使二次根式√2x ?4在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A.x ＞2 B.x ≥2 C.x ＜2 D.x =2 2.把√ 452√20 化成最简二次根式的结果是（ ） A.3 2 B.3 4 C.√5 2 D.2√5 3.下列二次根式中，与√a 是同类二次根式的是（ ） A.√3a B.√2a 2 C.√a 3 D.√a 4 4.下列各式计算正确的是（ ） A.√5+√2=√7 B.5√6-3√3=2√3 C.（√8+√50）÷2=√4+√25=7 D.3√3+√27=6√3 5.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（ ） A.0.7米 B.1.5米 C.2.2米 D.2.4米 6.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成 的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为 b ，若（a +b ）2=21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 7.如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东45°方向，距离灯塔60nmile 的A 处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的北偏东30°方向上的B 处，这时，B 处与灯塔P 的距离为（ ） A.60√3nmile B.60√2nmile C.30√3nmile D.30√2nmile 8.如图，等边△OAB 的边长为2，则点B 的坐标为（ ） A.（1，1） B.（√3，1） C.（√3，√3） D.（1，√3） 9.下列几组数中，为勾股数的是（ ） A.3、4、6 B.1 3、1 4、1 5 C.7、 24、25 D.0.9、1.2、1.6 10.若直角三角形的三边长为偶数，则这三边的边长可能是（ ） A.3，4，5 B.6，8，10 C.7，24，29 D.8，12，20 11.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A.三内角的度数之比为1：2：3 B.三内角的度数之比为3：4：5 C.三边长之比为3：4：5 D.三边长的平方之比为1：2：3 12.在平行四边形ABCD 中，∠A 的平分线把BC 边分成长度是3和4的两部分，则平行四边形ABCD 周长是（ ） A.22 B.20 C.22或20 D.18 13.在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图．该图中，四边形ABCD 是矩形，E 是BA 延长线上一点，F 是CE 上一点，∠ACF=∠AFC ，∠FAE=∠FEA ．若∠ACB=21°，则∠ECD 的度数是（ ） A.7° B.21° C.23° D.24°
人教版八年级上册数学知识点汇总第十一章全等三角形 1．全等三角形的性质：全等三角形对应边相等、对应角相等。 2．全等三角形的判定：三边相等(SSS)、两边和它们的夹角相等（SAS）、两角和它们的夹边（ASA）、两角和其中一角的对边对应相等（AAS）、斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）。 3．角平分线的性质：角平分线平分这个角，角平分线上的点到角两边的距离相等 4．角平分线推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分线上。 5．证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：①、确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系），②、回顾三角形判定，搞清我们还需要什么，③、正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题). 6．第十二章轴对称 1．如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。 2．轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 3．角平分线上的点到角两边距离相等。 4．线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。
5．与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 6．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。 7．画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。 8．点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y） 点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y） 点（x,y）关于原点轴对称的点的坐标为（-x,-y） 9．等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，（等边对等角） 等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”。 10．等腰三角形的判定：等角对等边。 11．等边三角形的三个内角相等，等于60°， 12．等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等腰三角形。 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 有两个角是60°的三角形是等边三角形。 13．直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 14．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 第十三章实数 ※算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么正数x叫做a的算术平方根，记作。0的算术平方根为0；从定
数学八年级上册知识点梳理 第十一章 三角形 一、三角形的边 三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，叫做三角 形。 注意点： （1）三条线段（2）不在同一直线上（3）首尾顺次相接 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，记作“△ ABC ”， 读作“三角形ABC ”，除此△ ABC 还可记作△BCA, △ CAB, △ ACB 等. 三角形的分类： 按角分 按边分 等腰三角形：两边相等的三角形叫等腰三角形。相等的两边都叫腰，另一边叫做底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 三角形中三边的关系：三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。（在做题时，不仅要考虑到两边之和大于第三边，还必须考虑到两边之差小 直角三角形 不等边三角形 锐角三角形 等腰三角形 钝角三角形 底和腰不相等的等腰三角形 等边三角形
于第三边.） 二、三角形的高、中线与角平分线 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做三角形这边的高，简称三角形的高。 1、 锐角三角形的三条高交于同一点。三条高都在 三角形的内部。 2、 直角三角形的三条高交于直角顶点. 3、 钝角三角形的三条高不相交于一点。钝角三角形的三条高所在 直线交于一点。 总结： 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 高在三角形内部的数量 3 1 1 高所在的直线是否相交 相交 相交 相交 高之间是否相交 相交 相交 不相交 三条高所在直线的交点的位置 三角形内部 直角顶点 三角形外部 三角形的中线：在三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段叫 做这个三角形这边的中线. 三角形中线的符号语言： ∵AD 是△ABC 的中线 ∴BD=CD =1/2 BC 三角形的角平分线：在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段,叫做三角形的角平分线。 ∵AD 是 △ ABC 的角平分线 ∴∠BAD = ∠CAD =1/2∠BAC 三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三角形的内部 三、三角形的稳定性 三角形的三条高所在直线交于一点 三角形的三条中线相交于一点,交点在三角形的内部。三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。
八年级数学下册《分式》综合讲解 姓名： 班级： 学校： 一、选择题：（每小题2分，共20分） 1．下列各式： 2b a -，x x 3+，πy +5，()1432+x ，b a b a -+，)(1y x m -中，是分式的共有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2．下列判断中，正确的是（ ） A ．分式的分子中一定含有字母 B ．当B ＝0时，分式 B A 无意义 C ．当A ＝0时，分式 B A 的值为0（A 、B 为整式） D ．分数一定是分式 3．下列各式正确的是（ ） A ．11++=++b a x b x a B ．22x y x y = C ．()0,≠=a ma na m n D ．a m a n m n --= 4．下列各分式中，最简分式是（ ） A ．()()y x y x +-8534 B ．y x x y +-22 C ．222 2xy y x y x ++ D ．() 222y x y x +- 5．化简2 293m m m --的结果是（ ） A.3+m m B.3+-m m C.3-m m D.m m -3 6．若把分式 xy y x 2+中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A ．扩大3倍 B ．不变 C ．缩小3倍 D ．缩小6倍 7．A 、B 两地相距48千米，一艘轮船从A 地顺流航行至B 地，又立即从B 地逆 流返回A 地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水 中的速度为x 千米/时，则可列方程（ ） A ．9448448=-++x x B ．9448448=-++x x C ．9448=+x D ．94 96496=-++x x 8．已知230.5 x y z ==，则32x y z x y z +--+的值是（ ） A ．17 B.7 C.1 D.13 9．一轮船从A 地到B 地需7天，而从B 地到A 地只需5天，则一竹排从B 地漂到A 地需 要的天数是（ ） A ．12 B.35 C.24 D.47 10．已知226a b ab +=，且0a b >>，则a b a b +-的值为（ ） A ．2 B ．2± C ．2 D ．2± 二、填空题：（每小题3分，共24分） 11．分式392--x x 当x _________时分式的值为零，当x ________时,分式x x 2121-+有意义． 12．利用分式的基本性质填空： （1）())0(,10 53≠=a axy xy a （2）() 1422=-+a a 13．分式方程1 111112-=+--x x x 去分母时，两边都乘以 ．
∠3
②全等三角形的对应角相等； 12.2三角形全等的判定 （1）若满足一个条件或两个条件均不能保证两个三角形一定全等； （2）三角形全等的判定： ①三边对应相等的两个三角形全等；（“边边边”或“SS”S） ②两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；（“边角边”或“SAS”） ③两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等；（“角边角”或“ASA”） ④两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；（“角角边”或“AAS”） ⑤斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；（“斜边直角边”或“HL”）注：①证明三角形全等：判断两个三角形全等的推理过程； ②经常利用证明三角形全等来证明三角形的边或角相等； ③三角形的稳定性：三角形的三边确定了，则这个三角形的形状、大小就确定了；（用“SSS”解释） 12.3角的平分线的性质 （1）、角的平分线的作法：课本第19页； （2）、角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等； （3）、证明一个几何中的命题，一般步骤： ①明确命题中的已知和求证； ②根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； ③经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程； （4）、性质定理的逆定理：角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上；（利用三角形全等来解释） （5）、三角形的三条角平分线相交于一点，该点为内心； 练习题：5．已知△ABC≌△DEF，且∠A=100°，∠E=35°，则∠F=（ ） A．35°B．45°C．55°D．70° 【考点】全等三角形的性质．菁优网版权所有 6．如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ）
第十一章三角形 一、知识框架： 二、知识概念： 1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边. 3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形 的高. 4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线. 5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间 的线段叫做三角形的角平分线. 6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性. 7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角. 9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对 角线. 11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形. 12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用 多边形覆盖平面， 13.公式与性质： ⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180° ⑵三角形外角的性质： 性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. n-·180° ⑶多边形内角和公式：n边形的内角和等于(2) ⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°. n-条对角 ⑸多边形对角线的条数：①从n边形的一个顶点出发可以引(3)
线，把多边形分成(2)n -个三角形.②n 边形共有(3)2 n n -条对角线. 第十二章 全等三角形 一、知识框架： 二、知识概念： 1.基本定义： ⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形. ⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. ⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点. ⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边. ⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角. 2.基本性质： ⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性. ⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 3.全等三角形的判定定理： ⑴边边边（SSS ）：三边对应相等的两个三角形全等. ⑵边角边（SAS ）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. ⑶角边角（ASA ）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. ⑷角角边（AAS ）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. ⑸斜边、直角边（HL ）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形 全等. 4.角平分线： ⑴画法： ⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等. ⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 5.证明的基本方法： ⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶 角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）
苏教版八年级下册数学 一、选择题(本大题共20小题，共60.0分) 1.要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（） A.x＞2 B.x≥2 C.x＜2 D.x=2 2.把化成最简二次根式的结果是（） A. B. C. D.2 3.下列二次根式中，与是同类二次根式的是（） A. B. C. D. 4.下列各式计算正确的是（） A.+= B.5-3=2 C.（+）÷2=+=7 D.3+=6 5.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离 为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时， 顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（） A.0.7米 B.1.5米 C.2.2米 D.2.4米 6.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示 的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角 三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2=21，大正方形的面积为13， 则小正方形的面积为（） A.3 B.4 C.5 D.6 7.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔60nmile的A处，它沿正北方向航 行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离为 （） A.60nmile B.60nmile C.30nmile D.30nmile 8.如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（） A.（1，1） B.（，1） C.（，） D.（1，） 9.下列几组数中，为勾股数的是（） A.3、4、6 B.、、 C.7、24、 25 D.0.9、1.2、1.6 10.若直角三角形的三边长为偶数，则这三边的边长可能是（） A.3，4，5 B.6，8，10 C.7，24，29 D.8，12，20 11.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（） A.三内角的度数之比为1：2：3 B.三内角的度数之比为3：4：5 C.三边长之比为3：4：5 D.三边长的平方之比为1：2：3 12.在平行四边形ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则平行四边形 ABCD周长是（） A.22 B.20 C.22或20 D.18
初二上册数学知识点汇总完整版！！！ 初二数学上上册知识点 第十一章三角形 一、知识框架： 二、知识概念： 1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2、三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 3、高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。 4、中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。 5、角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 6、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
7、多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。 8、多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。 9、多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 10、多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。 11、正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形。 12、平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。 13、公式与性质： （1）三角形的内角和：三角形的内角和为180°（2）三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。（3）多边形内角和公式：边形的内角和等于·180°（4）多边形的外角和：多边形的外角和为360°（5）多边形对角线的条数：①从边形的一个顶点出发可以引条对角线，把多边形分成个三角形。②边形共有条对角线。 初二数学上上册知识点 第十二章全等三角形
苏教版八年级下册数学知识点归纳 第7章数据的收集、整理与描述知识点 一、数据处理一般包括收集数据、整理数据、描述数据和分析数据等过程。 1、通过调查收集数据的一般步骤： ①明确调查问题②确定调查对象③选择调查方法④展开调查 ⑤记录结果⑥得出结论 2、收集数据常用的方法：①民意调查：如投票选举②实地调查：如现 场进行观察、收集、统计数据③媒体调查：报纸、电视、电话、网络 等调查都是媒体调查。 二、数据的表示方法： （1）统计表：直观地反映数据的分布规律。 （2）折线图：反映数据的变化趋势。 （3）条形图：反映每个项目的具体数据。 （4）扇形图：反映各部分在总体中所占的百分比。 （5）频数分布直方图：直观形象地反映频数分布情况。 6）频数分布折线图：在频数分布直方图的基础上，取每一个长方形上边的 中点，和左右频数为零与直方图相距半个组距的两个点。 三、统计调查 1、全面调查(普查)：考察全体对象的调查，就是全面调查。例如我国进行的第六次人口普查。 2、抽样调查：采用调查部分对象的方式来收集数据, 根据部分来估计整体的情况, 叫做抽样调查。统计中常用样本特性来估计总体特性。 需要注意的是，在抽样调查中，如果抽取样本的方法得当，一半样本能客观的反映总体的情况，抽样调查的结果会比较接近总体的情况，否则抽样调查的结果往往会偏离总体的情况，所以，在抽样调查要求抽取的样本要具有代表性。 ⑴总体：所要考察对象的全体叫做总体。 ⑵个体：总体中每一个考察对象叫做个体。 ⑶样本：从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。 ⑷样本容量：样本中个体的数目（不含单位）。
3、简单随机抽样：为了使样本能较好地反映总体情况，除了有合适的样本容量外，抽取时还要尽量使每一个个体有相等的机会被抽到。抽取样本的过程中，总体中每一个个体都有相等的机会被抽到，像这样的抽样方法叫做简单随机抽样。 4、【总结】全面调查与抽样调查的比较： ⑴全面调查： 是通过调查总体的方式来收集数据,因而得到的调查结果比较精确;但可能要投入数十倍甚至更多的人力、物力和时间. ⑵抽样调查： 是通过调查样本的方式来收集数据,因而调查结果与总体的结果可能的一些误差，但投入少、操作方便，而且有时只能用抽样的方式去调查，比如要研究一批炮弹的杀伤半径，不可能把所有的炮弹都发射出去，可见合理的抽样调查不失为一种很好的选择。 5、调查方法的选择： （1）当调查的对象个数较少，调查容易进行时，我们一般采用全面调查的方式进行。 （2）当调查的结果对调查对象具有破坏性时，或者会产生一定的危害性时，我们通常采用抽样调查的方式进行调查。 （3）当调查对象的个数较多，调查不易进行时，我们常采用抽样调查的方式进行调查。 （4）当调查的结果有特别要求时，或调查的结果有特殊意义时，如国家的人口普查，我们仍须采用全面调查的方式进行。 二、统计图 1、三种统计图：条形统计图、扇形统计图、折线统计图
人教版初二数学上册 因式分解 1.因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式 分解；注意：因式分解与乘法是相反的两个转化 ? 2?因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字 相乘法”. 3?公因式的确定：系数的最大公约数?相同因式的最低次幕 . 注意公式：a+b=b+a ； a-b=-(b-a); (a-b)2=(b-a)2； (a-b)3=-(b-a)3. 4 ?因式分解的公式： (1) 平方差公式：a2-b2= (a+ b ) (a- b ); ⑵完全平方公式： a2+2ab+b2=(a+b)2, a2-2ab+b2=(a-b)2. 5?因式分解的注意事项： (1) 选择因式分解方法的一般次序是：一 提取、二 公式、三 分组、四 十字; (2) 使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性； (3) 因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止； (4) 因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正； (5) 因式分解的最后结果要求加以整理； (6) 因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式 . 6 ?因式分解的解题技巧：(1)换位整理，加括号或去括号整理；(2 )提负号; (3)全变号；(4)换元；(5)配方；(6)把相同的式子看作整体；(7)灵活分 组；(8)提取分数系数；(9)展开部分括号或全部括号；(10)拆项或补项. 7?完全平方式：能化为(m+n ) 2的多项式叫完全平方式；对于二次三项式 x2+px+q , 有“ x2+px+q 是完全平方式二 2 ” . 分式 A 1 ?分式：一般地，用 A 、B 表示两个整式，A - B 就可以表示为B 的形式，如 A 果B 中含有字母，式子B 叫做分式. 3. 对于分式的两个重要判断：(1)若分式的分母为零，则分式无意义，反之有 意义；(2)若分式的分子为零，而分母不为零，则分式的值为零；注意：若分式 的分子为零，而分母也为零，则分式无意义. 有理式 2.有理式：整式与分式统称有理式；即 整式 分式
八年级上册知识点 《三角形》知识归纳 与三角形有关的线段 ①边③角:(2) ①??????等边三角形底和腰不相等的三角形等腰三角形三角形按边)(②?? ??????钝角三角形锐角三角形斜三角形直角三角形三角形按角 (3)三角形的主要线段 ①三角形的中线:顶点与对边中点的连线,三中线交点叫重心 ②三角形的角平分线:内角平分线与对边相交,顶点和交点间的线段,三角角平分线的 交点叫内心 ③三角形的高:顶点向对边作垂线,顶点和垂足间的线段.三条高的交点叫垂心(分锐角 三角形,钝角三角形和直角三角形的交点的位置不同) (4)三角形三边间的关系. ①两边之和大于第三边 b a c a c b c b a >+>+>+,, ②两边之差小于第三边 a c b c b a b a c <-<-<-,, (5)三角形的稳定性: 三角形的三条边确定后,三角形的形状和大小不变了,这个性质叫 做三角形的稳定性.三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用. 与三角形有关的角 （1）三角形的内角和定理及性质 定理：三角形的内角和等于180°。 推论1：直角三角形的两个锐角互余。 推论2：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 推论3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 （2）三角形的外角及外角和 ①三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。
②三角形的外角和等于360°。 （3）多边形及多边形的对角线 ①正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形． ②凸凹多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，若整个图形都在这条直线的同 一侧，这样的多边形称为凸多边形；，若整个多边形不都在这条直线的同一侧，称 这样的多边形为凹多边形。 ③多边形的对角线的条数: A.从n 边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，将多边形分成（n-2）个三角形。 B.n 边形共有2 )3(-n n 条对角线。 （4）多边形的内角和公式及外角和 ①多边形的内角和等于（n-2）×180°(n ≥3)。 ②多边形的外角和等于360°。 （5）平面镶嵌及平面镶嵌的条件。 ①平面镶嵌：用形状相同或不同的图形封闭平面，把平面的一部分既无缝隙，又不重 叠地全部覆盖。 ②平面镶嵌的条件：有公共顶点、公共边；在一个顶点处各多边形的内角和为360°。 全等三角形 知识梳理 一、知识网络 ??????????→?????????????? ???对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理 二、基础知识梳理 （一）、基本概念 1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形； 即能够完全重合的两个图形叫全等形。
苏教版小学数学八年级下册教案（全册） 第七章 教学目标与要求： （1）了解不等式的意义，掌握不等式的基本性质。 （2）会解一元一次不等式（组），能正确用轴表示解集。 （3）能够根据具体问题中的数量关系，用一元一次不等式（组），解决简单的问题。 知识梳理： （1）不等式及基本性质； （2）一元一次不等式（组）及解法与应用； （3）一元一次不等式与一元一次方程与一次函数。 1不等式：用不等号表示不等关系的式子叫做不等式 2不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体叫做这个不等式的解集。 3不等式的性质：○1不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。 ○2不等式的两边都乘（或除以）一个正数，不等号的方向不变。不等式的两边都乘（或除以）一个负数，不等号的方向改变。 4解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似。 但是，在不等式两边都乘（或除以）同一个不等于0的数时，必须根据这个数是正数，还是负数，正确地运用不等式的性质2，特别要注意在不等式两边都乘（或除以）同一个负数时，要改变不等号的方向。 5用一元一次不等式解决问题步骤：（1）审：认真审题，分清已知量、未知量的及其关系，找出题中不等关系，要抓住题设中的关键字“眼”，如“大于”、“小于”、“不小于”、“不大于”等的含义。 （2）设：设出适当的未知数。 （3）列：根据题中的不等关系，列出不等式。 （4）解：解出所列不等式的解集。 （5）答：写出答案，并检验答案是否符合题意。 6一元一次不等式组： 由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式组。 不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集，求不等式组解集的过程叫解不等式组。 一元一次不等式组解决实际问题的步骤：与一元一次不等式解决实际问题类似，不同之处在与列出不等式组，并解出不等式组。 7一元一次不等式与一元一次方程、一次函数 当一次函数中的一个变量的值确定时，可以用一元一次方程确定另一个变量的值；当已知一次函数中的一个变量范围时，可以用一元一次不等式（组）确定另一个变量取值的范围。
八年级上册数学知识要点 北师大版八年级上册数学知识要点 圆的性质 (1)圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。 圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。 逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的 2条弧。 (2)有关圆周角和圆心角的性质和定理 ①在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量 都分别相等。 ②在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半(圆周角与圆心角在弦的同侧)。 直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。 圆心角计算公式：θ=(L/2πr)×360°=180°L/πr=L/r(弧度)。 即圆心角的度数等于它所对的弧的度数;圆周角的度数等于它所 对的弧的度数的一半。 ③如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。 (3)有关外接圆和内切圆的性质和定理
①一个三角形有唯一确定的`外接圆和内切圆。外接圆圆心是三 角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等; ②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。 ③R=2S△÷L(R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长)。 ④两相切圆的连心线过切点。(连心线：两个圆心相连的直线) ⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与 BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。 (4)如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段(直线也可)垂直平 分公共弦。 (5)弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。 (6)圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。 (7)圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。 (8)周长相等，圆面积比长方形、正方形、三角形的面积大。 点、线、圆与圆的位置关系： 点和圆位置关系 ①P在圆O外，则PO>r。 ②P在圆O上，则PO=r。 ③P在圆O内，则0≤PO 反过来也是如此。 极差 它是标志值变动的最大范围。极差也称为全距或范围误差，它是测定标志变动的最简单的指标。换句话说，也就是指一组数据中的 最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差。极差英文为range，
八年级数学上册知识点总结 第十一章 三角形 一、知识框架： 二、知识清单： 1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形. 三角形用符号“△”加顶点字母表示，如“△ABC ”（读作“三角形ABC ”）. 2.三角形（按边）分类 ?? ??????等边三角形三角形腰与底边不相等的等腰等腰三角形三边都不相等的三角形三角形 3. 三角形三边关系（定理）：三角形任意两边的和大于第三边； （推论）三角形任意两边的差小于第三边. 4.三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的连线段叫做三角形的高.（三角形三条高或高所在直线相交于一点，交点称为三角形的垂心） （锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角三角形的直角顶点上，钝角三角形的垂心在三角形外） 5.三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线. （三角形的三条中线交于一点，交点叫三角形的重心） 6.三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点和交点之间的连线段叫做三角形的角平分线. （三角形三条角平分线的交点称为三角形的内心） 7.三角形的稳定性：三边长度固定的三角形的形状、大小固定不变，这个性质叫三角形的稳定性. （在所有的多边形中，只有三角形具有稳定性） 8. 三角形的内角：三角形中，相邻两边组成的角称为三角形的内角，也称为三角形的角. 三角形内角和（定理）：三角形的三个内角和为180°.
（推论）：直角三角形的两个锐角互余. 9. 三角形的外角：由三角形的一条边和相邻边的延长线组成的角称为三角形的外角. 三角形外角和（定理）：三角形三个外角的和为360°. 三角形外角性质（定理）：三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角的和. （推论）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角. 10. 多边形：在平面内，由不在同一条直线上的n 条线段首尾顺次连接组成的图形叫做n 边形. 正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形. 11.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角. 多边形内角和定理：n 边形的内角和为 .1802n ??-）（ 12.多边形的外角：由多边形的一条边和它的相邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 多边形外角和定理：n 边形的n 个外角的和为360°. 13. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 多边形对角线的条数：①.从n 边形的一个顶点出发可以引(3)n -条对角线，把n 边形分成(2)n -个三角形. ②.n 边形共有(3)2 n n -条对角线. 14..平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面.也称为平面的密铺. 第十二章 全等三角形 一、知识框架： 二、知识清单： 1.全等图形与全等三角形： ⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形. ⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
新人教版八年级数学上册知识点总结（上）（含思维导图） 因式分解： 1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：因式分解与乘法是相反的两个转化. 2．因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”. 3．公因式的确定：系数的最大公约数·相同因式的最低次幂. 5．因式分解的注意事项： （1）选择因式分解方法的一般次序是：一提取、二公式、三分组、四十字； （2）使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性； （3）因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止； （4）因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正； （5）因式分解的最后结果要求加以整理； （6）因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式. 6．因式分解的解题技巧：
（2）提负号； （3）全变号； （4）换元； （5）配方； （6）把相同的式子看作整体； （7）灵活分组； （8）提取分数系数； （9）展开部分括号或全部括号； （10）拆项或补项. 3．对于分式的两个重要判断：（1）若分式的分母为零，则分式无意义，反之有意义；（2）若分式的分子为零，而分母不为零，则分式的值为零；注意：若分式的分子为零，而分母也为零，则分式无意义.
4．分式的基本性质与应用： （1）若分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变； （2）注意：在分式中，分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变； （3）繁分式化简时，采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法，比较简单. 5．分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；注意：分式约分前经常需要先因式分解. 6．最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式叫做最简分式；注意：分式计算的最后结果要求化为最简分式.
八年级上册数学知识点 第十一章全等三角形 1 2．角平分线的性质：角平分线平分这个角，角平分线上的点到角两边的距离相等教学活动：教师可以分析角平分线的性质，由学生自己总结，教师改正，引导学生在观察图形的同时加深对图形的理解，对初三的三角形的外接圆和内切圆有一定的知识准备。建议课时2-3课时。 3．角平分线推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分线上。 4．证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：①、确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系），②、回顾三角形判定，搞清我们还需要什么，③、正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题). 第十二章轴对称 1．如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。 2．轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 3．角平分线上的点到角两边距离相等。 4．线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。 5．与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 6．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。 7．画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。 8．点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y） 点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y） 点（x,y）关于原点轴对称的点的坐标为（-x,-y） 教学建议：12.1和12.2可以和在一起教学，给出一些学生知道的几何图形和其他图形，即课本中的“试一试” 然后将对称物体抽象成图形，让学生通过仔细观察，并且自己动手折一折，来发现这些物体是对称的，揭示出“完全重合”
期中复习教学案（1）：一元一次不等式 知识点： 1．掌握不等式的基本性质. 2．掌握一元一次不等式（组）的解法，以及在数轴上表示一元一次不等式的解集. 3．不等式组解集的理解与应用. 设a b <，那么：（1）不等式组, .x a x b >?? >?的解集是x b >；（2）不等式组,.x a x b ??? 的解集是空集. 典型例题 例1 解不等式 x x ++≥-2132 154 ，并把它的解集在数轴上表示再来. 点拨：1.解不等式去分母时两边同乘最简公分母，不能漏乘常数项.2.化未知数系数为1时，当不等式两边同时乘以或除以同一个负数时，要改变不等号的方向.3。数轴上表示不等式的解集时，要注意空心圆与实心圆的不同方法. 例2 解不等式组() x x x -≤-?? ?+>-??4322113 ①② 点拨：确定不等式组的解集，利用口诀：同大取大，同小取小，小大大小中间找，小小大大无处找. 例3已知关于x 、y 的方程组???=+-=-a y x a y x 21 32的解是负数,求a 的取值围.
作业 1。（2006·市）不等式10 30 x x ->??-1 B.x<3 C.1