苏教版八年级下册数学知识点归纳
第7章数据的收集、整理与描述知识点
一、数据处理一般包括收集数据、整理数据、描述数据和分析数据等过程。
1、通过调查收集数据的一般步骤：
①明确调查问题②确定调查对象③选择调查方法④展开调查
⑤记录结果⑥得出结论
2、收集数据常用的方法：①民意调查：如投票选举②实地调查：如现
场进行观察、收集、统计数据③媒体调查：报纸、电视、电话、网络
等调查都是媒体调查。
二、数据的表示方法：
（1）统计表：直观地反映数据的分布规律。
（2）折线图：反映数据的变化趋势。
（3）条形图：反映每个项目的具体数据。
（4）扇形图：反映各部分在总体中所占的百分比。
（5）频数分布直方图：直观形象地反映频数分布情况。
6）频数分布折线图：在频数分布直方图的基础上，取每一个长方形上边的
中点，和左右频数为零与直方图相距半个组距的两个点。
三、统计调查
1、全面调查(普查)：考察全体对象的调查，就是全面调查。例如我国进行的第六次人口普查。
2、抽样调查：采用调查部分对象的方式来收集数据, 根据部分来估计整体的情况, 叫做抽样调查。统计中常用样本特性来估计总体特性。
需要注意的是，在抽样调查中，如果抽取样本的方法得当，一半样本能客观的反映总体的情况，抽样调查的结果会比较接近总体的情况，否则抽样调查的结果往往会偏离总体的情况，所以，在抽样调查要求抽取的样本要具有代表性。
⑴总体：所要考察对象的全体叫做总体。
⑵个体：总体中每一个考察对象叫做个体。
⑶样本：从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。
⑷样本容量：样本中个体的数目（不含单位）。
3、简单随机抽样：为了使样本能较好地反映总体情况，除了有合适的样本容量外，抽取时还要尽量使每一个个体有相等的机会被抽到。抽取样本的过程中，总体中每一个个体都有相等的机会被抽到，像这样的抽样方法叫做简单随机抽样。
4、【总结】全面调查与抽样调查的比较：
⑴全面调查：
是通过调查总体的方式来收集数据,因而得到的调查结果比较精确;但可能要投入数十倍甚至更多的人力、物力和时间.
⑵抽样调查：
是通过调查样本的方式来收集数据,因而调查结果与总体的结果可能的一些误差，但投入少、操作方便，而且有时只能用抽样的方式去调查，比如要研究一批炮弹的杀伤半径，不可能把所有的炮弹都发射出去，可见合理的抽样调查不失为一种很好的选择。
5、调查方法的选择：
（1）当调查的对象个数较少，调查容易进行时，我们一般采用全面调查的方式进行。
（2）当调查的结果对调查对象具有破坏性时，或者会产生一定的危害性时，我们通常采用抽样调查的方式进行调查。
（3）当调查对象的个数较多，调查不易进行时，我们常采用抽样调查的方式进行调查。
（4）当调查的结果有特别要求时，或调查的结果有特殊意义时，如国家的人口普查，我们仍须采用全面调查的方式进行。
二、统计图
1、三种统计图：条形统计图、扇形统计图、折线统计图
2、三种统计图的特点：统计表是表现数字资料整理结果的最常用的一种表格．统计表是由纵横交叉线条所绘制的表格来表现统计资料的一种形式．
A、扇形统计图：（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤：
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°．
②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
③在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
B、条形统计图：
1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．
2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
3）制作条形图的一般步骤：
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量
C、折线统计图
（1）定义：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．
（2）特点：折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．
（3）绘制折线图的步骤：
①根据统计资料整理数据．
②先画纵轴，后画横轴，纵、横都要有单位，按纸面的大小来确定用一定单位表示一定的数量．
③根据数量的多少，在纵、横轴的恰当位置描出各点，然后把各点用线段顺序连接起来．
D、统计图的选择统计图的选择：即根据常用的几种统计图反映数据的不同特征结合实际来选择．
（1）扇形统计图的特点：①用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比．②易于显示每组数据相对于总数的大小．
（2）条形统计图的特点：①条形统计图能清楚地表示出每个项目中的具体数目．②易于比较数据之间的差别．
（3）折线统计图的特点：①能清楚地反映事物的变化情况．②显示数据变化趋势．
根据具体问题选择合适的统计图，可以使数据变得清晰直观．不恰当的图不仅难以达到期望的效果，有时还会给人们以误导．因此要想准确地反映数据的不同特征，就要选择合适的统计图．
三、直方图
1、频数与频率：（1）频数是指每个对象出现的次数．（2）频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）．即频率=频数/数据总数一般称落在不同小组中的数据个数为该组的频数，频数与数据总数的比值为频率．频率反映了各组频数的大小在总数中所占的分量．
2、频数（率）分布表
1）组数和组距：在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．
2）列频率分布表的步骤：（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．（3）将数据分组．（4）列频率分布表．
3、频数（率）分布直方图画频率分布直方图的步骤：（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．（2）决定组距与组数。先根据数据个数确定组距，再计算组数，注意无论整除与否，组数总是比商的整数位数多1；
（3）确定分点，将数据分组．（4）列频率分布表．（5）绘制频率分布直方图．
注：①频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积=组距×频数组距=频率．②各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1．③频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势．④从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容．
4、频数（率）分布折线图一般利用直方图画频数分布折线图，在频数分布直方图中，把每个小长方形上面的一条边的中点顺次连接起来，得到频数折线图．
注意：折线图要与横轴相交，方法是在直方图的左右两边各延伸一个假想组，并将频数折线两端连接到假想组中点，它主要显示数据的变化趋势．
5、条形图与直方图的区别：⑴条形图各矩形间有空隙，直方图各矩形间无空隙．⑵直方图可以显示各组频数分布情况，而条形图不能反映这一点．
6、频数分布直方图的作图
画一组数据的频率分布直方图，可以按以下的步骤进行：
（1）计算最大值与最小值的差
（2）决定组距和组数
把所有的数据分为若干组，每个小组的两个端点之间的距离（组内数据的取值范围）称为组距。根据问题的需要，各组的组距可以相同或不同。将一批数据分组，一般数据越多分得组数也越多，当数据在100个以内时，常分成5~12组。（3）列频数分布表
对落在各个小组内的数据进行累计，得到各个小组内的数据的个数，叫做频数，整理即可得到频数分布表。
（4）画频数分布直方图
例、下列是30名学生的数学竞赛成
绩：
根据数据做出频数分布直方图
（1）计算最大值与最小值的差
在上面的数据中，最小值是56，最大值是88，它们的差是32，说明数学竞赛成绩的变化范围是32．
（2）决定组距与组数
从最低分数起，每隔5分作为一组，则
所以我们要将数据分成7组，组数和组距分别为7和5．
（3）列频数分布表
（4）画频数分布直方图（如右上图）
第八章认识概率
要点一、确定事件与随机事件
1、确定事件
1）不可能事件
在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件．2）必然事件
在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件．必然事件和不可能事件都是确定事件.
2.随机事件
在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件. 3、可能性的大小
（1）一般地，要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.
（2）必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机
事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同.
要点二、频率与概率
1.概率
随机事件发生的可能性有大有小.一个事件发生的可能性大小的数值，称
为这个事件的概率(probability).如果用字母A表示一个事件，那么P(A)表示
事件A发生的概率.
事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其
中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1.
所以有：P(不可能事件)＜P(随机事件)＜P(必然事件).
一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的.概率是随机事件自身的属性，它反映这个随机事件发生的可能性大小.
2.频率
通常，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近
摆动，并且随着试验次数增多，摆动的幅度会减小，这个性质称为频率的稳定性.
一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率m
n
会在某一个
常数附近摆动.在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其概率的估计值.
要点诠释：
①概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；
②频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；
③概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.
【典型例题】
类型一、确定事件与随机事件
1.（1）指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是随机事件？
①若 a、b、c都是实数，则a(bc)=(ab)c；
②没有空气，动物也能生存下去；
③在标准大气压下，水在 90℃时沸腾；
④直线 y=k(x+1)过定点(-1，0)；
⑤某一天内电话收到的呼叫次数为 0；
⑥一个袋内装有形状大小完全相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出 1个球则
为白球.
【思路点拨】结合生活经验和所学知识进行判断.
【答案与解析】①④是必然事件；②③是不可能事件；⑤⑥是随机事件.
【总结升华】要准确掌握不可能事件、必然事件、随机事件的定义.
举一反三
（2015?南岗区一模）同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件中的不可能事件是（）
A．点数之和小于4 B．点数之和为10
C．点数之和为14 D．点数之和大于5且小于9
【答案】C.
解：因为同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，正方体骰子的点数和应大于或等于2，而小于或等于12．显然，是不可能事件的是点数之和是14．
故选C．
2. 在一个不透明的口袋中，装有10个除颜色外其它完全相同的球，其中5个红球，3个蓝球，2个白球，它们已经在口袋中搅匀了.下列事件中，哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？哪些是可能发生的？
(1)从口袋中任取出一个球，它恰是红球；
(2)从口袋中一次性任意取出2个球，它们恰好全是白球；
(3)从口袋中一次性任意取出5个球，它们恰好是1个红球，1个蓝球，3个白球. 【答案与解析】
(1)可能发生，因为袋中有红球；
(2)可能发生，因为袋中刚好有2个白球；
(3)不可能发生，因为袋中只有2个白球，取不出3个白球.
【总结升华】要了解并掌握三种事件的区别和联系.
类型二、频率与概率
3.关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（）
A. 频率等于概率
B. 当实验次数很大时，频率稳定在概率附近
C. 当实验次数很大时，概率稳定在频率附近
D. 实验得到的频率与概率不可能相等
【思路点拨】对于某个确定的事件来说，其发生的概率是固定不变的，而频率是随着试验次数的变化而变化的.
【答案】B.
【解析】事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.
【总结升华】概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.
4. 如图所示，转盘停止后，指针落在哪个颜色区域的可能性大？为什么？
【思路点拨】可以采用面积法计算各颜色所占的比例，比例大的，指针落在该区域的可能性也大.
【答案与解析】落在黄色区域的可能性大.
理由如下：
由图可知：黄色占整个转盘面积的；
红色占整个转盘面积的；
蓝色占整个转盘面积的.
由于黄色所占比例最大，所以，指针落在黄色区域的可能性较大.
【总结升华】计算随机事件的可能性的大小，根据不同题目的条件来确定解法，如面积法、数值法等.
类型三、利用频率估计概率
5.（2015春?江都市期末）“2015扬州鉴真国际半程马拉松”的赛事共有三项：A、“半程马拉松”、B、“10公里”、C、“迷你马拉松”．小明参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组．
（1）小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为．
（2）为估算本次赛事参加“迷你马拉松”的人数，小明对部分参赛选手作如下调查：
调查总人数50 100 200 500 1000
参加“迷你马拉松”人数21 45 79 200 401
参加“迷你马拉松”频率0.360 0.450 0.395 0.400 0.401
①请估算本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率为．（精确到0.1）
②若本次参赛选手大约有30000人，请你估计参加“迷你马拉松”的人数是多少？
【思路点拨】（1）利用概率公式直接得出答案；
（2）①利用表格中数据进而估计出参加“迷你马拉松”人数的概率；
②利用①中所求，进而得出参加“迷你马拉松”的人数．
【答案与解析】
解：（1）∵小明参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组，∴小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为：；
故答案为：；
（2）①由表格中数据可得：本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率为：0.4；
故答案为：0.4；
②参加“迷你马拉松”的人数是：30000×0.4=12000（人）．
【总结升华】此题主要考查了利用频率估计概率：当大量重复试验时，频率会稳定在概率附近.正确理解频率与概率之间的关系是解题关键．
第九章中心对称图形----平行四边形
§9.1 图形的旋转
1、旋转的定义
在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。
2、旋转的性质
旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。
理解以下几点：
（1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。
（3）图形的大小和形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。
3、利用旋转性质作图
旋转有两条重要性质：（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（2）对应点到旋转中心的距离相等，它是利用旋转的性质作图的关键。
步骤可分为：
①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心；
②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）
③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
④接：即连接到所连接的各点。
§9.2 中心对称与中心对称图形
【知识点总结】
1、中心对称的概念
一个图形绕某点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称。这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做对称点。
2、中心对称的性质
一个图形绕某一点旋转180°是一种特殊的旋转，成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。
成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。
3、中心对称图形的定义及其性质
把一个图形绕某点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。
例3：任意一条线段是中心对称图形吗？如果是，那么它的对称中心是什么？
4、轴对称图形与中心对称图形的对比
§9.3 平行四边形
【知识点总结】
1、平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、平行四边形的性质：
（1）平行四边形的对边相等；（2）平行四边形的对角相等（3）平行四边形的对角线互相平分。
3、判定平行四边形的条件
（1）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念）
（2）一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形
（3）对角线互相平分的四边形叫做平行四边形
（4）两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形
4、反证法：
反证法是一种间接证明的方法，不是从已知条件出发直接证明命题的结论成立，而是先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾，说明假设是不成立的，因而命题的结论是成立的。§9.4 矩形、菱形、正方形
【知识点总结】
1、矩形的概念和性质
有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平时行不行，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。
2、判定矩形的条件
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形
（2）三个角是直角的四边形是矩形
（3）对角线相等的平行四边形是矩形
3、平行线之间的距离及其性质
性质：两条平行线之间的距离处处相等
4、菱形的概念与性质
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。
5、判定菱形的条件
（1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念）
（2）四边相等的四边形是菱形
（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形
6、正方形的概念、性质和判定条件
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。判定正方形的条件：
（1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念）
（2）有一组邻边相等的矩形是正方形
（3）有一个角是直角的菱形是正方形
§9.5 三角形的中位线
1、三角形中线的概念和性质
连接三角形两边重点的线段叫做三角形的中位线。三角形中位线平行且等于第三边的一半。
2、三角形的中位线与中线的区别
（1）区别：三角形的中位线平分这个三角形的两条边，平行于第三边，且等于第三边的一半，但不经过这个三角形的任何顶点；而三角形的中线只平分这个三角形的一条边，不平行于这个三角形的任何边，但经过它所平分的边相对的顶点。
（2）联系：三角形的一边上的中线与这边对应的中位线能够互相平分。
第10章 分式
1. 分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B
A 叫做分式。 2. 分式有意义、无意义的条件：
分式有意义的条件：分式的分母不等于0；
分式无意义的条件：分式的分母等于0。
3. 分式值为零的条件：
当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0。 （分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的，所以使分式A B
为0的条件是A ＝0，且B ≠0.） （分式的值为0的条件是：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可。首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0.当分母的值不为0时，就是所要求的字母的值。）
4. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示为 （0≠C ）
，其中A 、B 、C 是整式
注意：（1）“C 是一个不等于0的整式”是分式基本性质的一个制约条件；
C B C A B A ??=C
B C A B A ÷÷=
（2）应用分式的基本性质时，要深刻理解“同”的含义，避免犯只乘分子（或分母）的错误；
（3）若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一整式C；
（4）分式的基本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依据。
5.分式的通分：
和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是确定几个式子的最简公分母。几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母就叫做最简公分母。求最简公分母时应注意以下几点：
（1）“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母（或含字母的式子）为底数的幂选取指数最大的；
（2）如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；
（3）如果分母是多项式，一般应先分解因式。
6.分式的约分：
和分数一样，根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式。
约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。
（1）约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分；分子、分母是多项式时，通常将分子、分母分解因式，然后再约分；
（2）找公因式的方法：
① 当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式；
②当分子、分母都是多项式时，先把多项式因式分解。
易错点：（1）当分子或分母是一个式子时，要看做一个整体，易出现漏乘（或漏除以）；
（2）在式子变形中要注意分子与分母的符号变化，一般情况下要把分子或分母前的“—” 放在分数线前；
（3）确定几个分式的最简公分母时，要防止遗漏只在一个分母中出现的字母；
7.分式的运算：
1）分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
2）分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
用式子表示是： 提示：（1）分式与分式相乘，若分子、分母是单项式，可先将分子、
分母分别相乘，然后约去公因式，化为最简分式；若分
bc
ad c d b a d c b a bd ac d c b a =?=÷=?;
子、分母是多项式，先把分子、分母分解公因式，看能
否约分，然后再相乘；
（2）当分式与整式相乘时，要把整式与分式的分子相乘作
为积的分子，分母不变
（3）分式的除法可以转化为分式的乘法运算；
（4）分式的乘除混合运算统一为乘法运算。
①分式的乘除法混合运算顺序与分数的乘除混合运算
相同，即按照从左到右的顺序，有括号先算括
号里面的；
②分式的乘除混合运算要注意各分式中分子、分母符号
的处理，可先确定积的符号；
③分式的乘除混合运算结果要通过约分化为最简分式
（分式的分子、分母没有公因式）或整式的形
式。
3）分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母各自乘方。
用式子表示是： （其中n 是正整数） 注意：（1）乘方时，一定要把分式加上括号；
（2）分式乘方时确定乘方结果的符号与有理数乘方相同，即正分式的任何次幂都为正；负分式的偶次幂为正，奇次幂为负；
（3）分式乘方时，应把分子、分母分别看做一个整体；
（4）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分。
n n n b
a b a )(
4）分式的加减法则：
法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
用式子表示为：a b ± c b ＝ a ±c b
法则：异分母的分式相加减，先通分，转化为同分母分式，然后
再加减。
用式子表示为： a b ± c d ＝ad bd ± bc bd ＝ad ±bc bd
注意：（1）“把分子相加减”是把各个分子的整体相加减，即各个分子应先加上括号后再加减，分子是单项式时括号可以省略；
（2）异分母分式相加减，“先通分”是关键，最简公分母确定后再通分，计算时要注意分式中符号的处理，特别是分子相减，要注意分子的整体性；
（3）运算时顺序合理、步骤清晰；
（4）运算结果必须化成最简分式或整式。
5）分式的混合运算:
分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，计算结果要化为整式或最简分式。
8. 任何一个不等于零的数的零次幂等于1， 即)0(10≠=a a ；当n 为正整数时，n
n a a 1=- （)0≠a
注意：当幂指数为负整数时，最后的计算结果要把幂指数化为正整数。
9. 整数指数幂：
若m 、n 为正整数，a ≠0，a m ÷a m ＋n ＝a m a m .a n ＝ 1a n
又因为a m ÷a m ＋n ＝a m －﹙m ＋n ﹚＝a －n ,所以a －n ＝1a n
一般地，当n 是正整数时，a －n ＝1a n
（a ≠0），即a －n （a ≠0）是a n 的倒数，这样指数的取值范围就推广到全体整数。整数指数幂可具有下列运算性质：(m,n 是整数)
（1）同底数的幂的乘法：n m n m a a a +=?；
（2）幂的乘方：mn n m a a =)(;
（3）积的乘方：n n n b a ab =)(；
（4）同底数的幂的除法：n m n m a a a -=÷( a ≠0)；
（5）商的乘方：n n n b
a b a =)( ；(b ≠0) 规定：a 0＝1（a ≠0），即任何不等于0的零次幂都等于1.
10. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程叫做分式方程。
1）分式方程的解法： （1）解分式方程的基本思想方法是：分式方程 －－－－－→ 整式方程.
（2）解分式方程的一般方法和步骤：
去分母 转化
八年级下册数学知识点总结 第十六章 二次根式 16.1二次根式 1.二次根式：一般地，我们把形如a （a 0≥）的式子叫二次根式。 2．两个重要公式： （1） )0a (a )a (2≥=； （2） ???<-≥==)0a (a )0a (a a a 2 3.二次根式的乘法法则： )0b ,0a (ab b a ≥≥=?. 5．二次根式比较大小的方法： （1）利用近似值比大小；（414.12=、732.13=、236.25=） （2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小； （3）先分别平方，然后比较大小。 16.2二次根式的乘除 6．二次根式的除法法则： （1）)0b ,0a (b a b a >≥=或)0b ,0a (b a b a >≥÷=÷； （2）分母有理化：消掉分母中的根号的过程叫做分母有理化。 7．最简二次根式： （1）被开方数不含分母 ； （2）被开方数中不含能开的尽的因数或因式。 8．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式. 16.3二次根式的加减 9.一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式进行合并。 第十七章 勾股定理 １7.1 勾股定理 如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=，这就叫勾股定理。
17.2勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a，b，c满足222 +=，那么这个三角形是直角三角形。 a b c 互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 第十八章平行四边形 18.1平行四边形 1.平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。 2.平行四边形的性质： （1）平行四边形的对边平行且相等 （2）平行四边形的对角相等、邻角互补 （3）平行四边形的对角线互相平分 3.平行四边形的判定： （1）两组对边分别相等的四边形叫平行四边形 （2）一组对边平行且相等的四边形叫平行四边形 （3）两组对角分别相等的四边形叫平行四边形 （4）对角线互相平分的四边形叫平行四边形 4.三角形中位线定理三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半 5.直角三角形上的中线等于斜边的一半 18.2特殊的平行四边形 1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形 2.矩形的性质： （1）矩形的四个角都是直角 （2）矩形的对角线相等 3.矩形的判定： （1）对角线相等的平行四边形是矩形 （2）有三个角是直角的四边形是矩形 4.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形
《数学》（八年级上册）知识点总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2 c b a =+ 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 2 2 c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足2 2 2 c b a =+的三个正整数，称为勾股数。 第二章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如 3 π +8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 5、估算
八年级数学下知识点总结 函数及其相关概念 1、变量与常量 在某一变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量,数值保持不变的量叫做常量。 一般地,在某一变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就说x就是自变量,y就是x的函数。 2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点 (1)解析法 两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法叫做解析法。 (2)列表法 把自变量x的一系列值与函数y的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫做列表法。 (3)图像法:用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤 (1)列表:列表给出自变量与函数的一些对应值 (2)描点:以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点 (3)连线:按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来。 正比例函数与一次函数 1、正比例函数与一次函数的概念 一般地,如果(k,b就是常数,k0),那么y叫做x的一次函数。特别地,当一次函数中的b为0时,(k为常数,k0)这时,y叫做x的正比例函数。 2、一次函数的图像 所有一次函数的图像都就是一条直线。 3、一次函数、正比例函数图像的主要特征: 一次函数的图像就是经过点(0,b)的直线;正比例函数的图像就是经过原点 (0,0)的直线。(如下图) 4、正比例函数的性质 一般地,正比例函数有下列性质: (1)当k>0时,图像经过第一、三象限,y随x的增大而增大; (2)当k<0时,图像经过第二、四象限,y随x的增大而减小。 5、一次函数的性质 一般地,一次函数有下列性质: (1)当k>0时,y随x的增大而增大 (2)当k<0时,y随x的增大而减小 6、正比例函数与一次函数解析式的确定
新人教版八年级下册数学知识点总结归纳期末总复习 一、 第十六章 二次根式 【知识回顾】 ： 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含 开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不 含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数 相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2） ==a a 2 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中 有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号 外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的 形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后 移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二 a （a ＞0） a -（a ＜0） 0 （a =0）；
都适用于二次根式的运算 二、第十七章 勾股定理 归纳总结 1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边 长为c ，那么c b a 222=+ 应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ?中，90C ∠=?， 则 c = ，b = ，a =） （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边。 2、勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c 满足c b a 222=+那么 这个三角形是直角三角形。 应用： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一 种重要方法。 （定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一 的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三 边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边） 3、勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10； 5,12,13；7,24,25等 4.直角三角形的性质 （1）直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° （2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° ?BC=2 1AB ∠C=90°
初二数学（下）应知应会的知识点 二次根式 1．二次根式：一般地，式子)0a (,a ≥叫做二次根式.注意：（1）若0a ≥这个条件不成立，则 a 不是二次根式；（2）a 是一个重要的非负数，即；a ≥0. 2．重要公式：（1）)0a (a )a (2≥=,（2）? ??<-≥==)0a (a )0a (a a a 2 ； 注意使用)0a ()a (a 2≥=. 3．积的算术平方根：)0b ,0a (b a ab ≥≥?=，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求. 4．二次根式的乘法法则： )0b ,0a (ab b a ≥≥=?. 5．二次根式比较大小的方法： （1）利用近似值比大小； （2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小； （3）分别平方，然后比大小. 6．商的算术平方根：)0b ,0a (b a b a >≥=，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 7．二次根式的除法法则： （1） )0b ,0a (b a b a >≥= ； （2）)0b ,0a (b a b a >≥÷=÷； （3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的 有理化因式，使分母变为整式. 8．常用分母有理化因式： a a 与，b a b a +-与， b n a m b n a m -+与，它 们也叫互为有理化因式. 9．最简二次根式： （1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，① 被开方数的因数是整数，因式是整式， ② 被开方数中不含能开的尽的因数或因式； （2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母； （3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式； （4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式.
八年级数学（上）知识点 人教版八年级上册主要包括三角形、全等三角形、轴对称、整式的乘除与分解因式和分式五个章节的内容。 第十一章三角形 一．知识框架 二．知识概念 1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。 4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。 5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。 6.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。 7.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。 8.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 9.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。 10.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。 11.公式与性质 三角形的内角和：三角形的内角和为180° 三角形外角的性质： 性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 多边形内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）·180° 多边形的外角和：多边形的内角和为360°。 多边形对角线的条数：（1）从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。
初二下数学期末知识点回顾 分式 知识要点 1．分式的有关概念 设A 、B 表示两个整式．如果B 中含有字母，式子 B A 就叫做分式．注意分母B 的值不能为零，否则分式没有意义 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简 2、分式的基本性质 ,M B M A B A ??= M B M A B A ÷÷=（M 为不等于零的整式） 3．分式的运算 (分式的运算法则与分数的运算法则类似)． bd bc ad d c b a ±=± (异分母相加，先通分)； ;;bc ad c d b a d c b a b d ac d c b a =? =÷=? .)(n n n b a b a = 4．零指数)0(10 ≠=a a 5．负整数指数 ).,0(1 为正整数p a a a p p ≠= - 注意正整数幂的运算性质 n n n mn n m n m n m n m n m b a ab a a a a a a a a a ==≠=÷=?-+)(,)(),0(, 可以推广到整数指数幂，也就是上述等式中的m 、 n 可以是O 或负整数． 6、解分式方程的一般步骤：在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程．解这个整式方程．.验根，即把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，若结果不是0，说明此根是原方程的根；若结果是0，说明此根是原方程的增根，必须舍去． 7、列分式方程解应用题的一般步骤： （1）审清题意；（2）设未知数（要有单位）；（3）根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程；（4）解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意；（5）写出答案（要有单位）。 1. (-5)0 =_____； 2. 3-2 =________；3. 当x_________时，分式 1x+1 有 意义；
苏教版《数学》（八年级上册）知识点总结 第一章轴对称 1 轴对称图形和关于直线对称的两个图形 2 轴对称的性质 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连的线段的垂直平分线； 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等； 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 3 用坐标表示轴对称 点（x，y）关于x轴对称的点的坐标是(x,-y)，关于y轴对称的点的坐标是(-x,y)，关于原点对称的点的坐标是(-x,-y). 4 等腰三角形 等腰三角形的两个底角相等；（等边对等角） 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合；（三线合一） 一个三角形的两个相等的角所对的边也相等。（等角对等边） 5 等边三角形的性质和判定 等边三角形的三个内角都相等，都等于60度； 三个角都相等的三角形是等边三角形； 有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形； 推论： 直角三角形中，如果有一个锐角是30度，那么他所对的直角边等于斜边的一半。在三角形中，大角对大边，大边对大角。 第二章勾股定理、平方根
一、勾股定理： 1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 a 2＋ b 2＝ c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 A B C a b c 弦股 勾 勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个 三角形是直角三角形。 2. 勾股数：满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么 ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。） *附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13 3. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2 +b 2 =c 2 ，那么这个三角形是直角 三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五） 其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。 （2）有两个角互余的三角形是直角三角形。 用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是： （1）确定最大边（不妨设为c ）； （2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形； 若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边） 4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 勾股定理和 平方根 勾股定理 平方根 立方根 实数 近似数、 有效数字 判定直角三角形 勾股定理的验证 定义、性质 开平方运算 开立方运算 定义、性质
初二上册数学知识点汇总完整版！！！ 初二数学上上册知识点 第十一章三角形 一、知识框架： 二、知识概念： 1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2、三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 3、高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。 4、中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。 5、角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 6、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
7、多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。 8、多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。 9、多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 10、多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。 11、正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形。 12、平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。 13、公式与性质： （1）三角形的内角和：三角形的内角和为180°（2）三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。（3）多边形内角和公式：边形的内角和等于·180°（4）多边形的外角和：多边形的外角和为360°（5）多边形对角线的条数：①从边形的一个顶点出发可以引条对角线，把多边形分成个三角形。②边形共有条对角线。 初二数学上上册知识点 第十二章全等三角形
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初二数学下知识点总结 函数及其相关概念 1、变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。 一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。 2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点 （1）解析法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。 （2）列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。 （3）图像法：用图像表示函数关系的方法叫
做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤 （1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值 （2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 （3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。 正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念 一般地，如果b =（k，b是常数，k≠0），那么 kx y+ y叫做x的一次函数。特别地，当一次函数b = y+ kx 中的b为0时，kx y=（k为常数，k≠0）这时，y 叫做x的正比例函数。 2、一次函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线。 3、一次函数、正比例函数图像的主要特征： 一次函数b =的图像是经过点（0，b）的直线； kx y+ 正比例函数kx y=的图像是经过原点（0，0）的直线。（如下图） 4. 正比例函数的性质 一般地，正比例函数kx y=有下列性质：
初二数学知识点归纳总结 初二数学知识点归纳总结 （一）运用公式法： 我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。于是有：a2-b2=(a+b)(a- b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2。如果把乘法公式反过来， 就可以用来把某些多项式分解因式。这种分解因式的方法叫做运用 公式法。 （二）平方差公式： （1）式子：a2-b2=(a+b)(a-b) （2）语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的 差的积。这个公式就是平方差公式。 （三）因式分解： （1）．因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一 步分解。 （2）．因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。 （四）完全平方公式： （1）把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2这就是说，两个 数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个 数的和（或者差）的平方。把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子 叫完全平方式。上面两个公式叫完全平方公式。 （2）完全平方式的形式和特点
①项数：三项 ②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。 ③有一项是这两个数的积的两倍。 （3）当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。 （4）完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。这里只要将多项式看成一个整体就可以了。 （5）分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。 （五）分组分解法： 我们看多项式am+an+bm+bn，这四项中没有公因式，所以不能用 提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式．如果我们把它分 成两组(am+an)和(bm+bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别 分解因式．原式=(am+an)+(bm+bn)＝a(m+n)+b(m+n)，做到这一步不 叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义．但不难看出 这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以原式 =(am+an)+(bm+bn)＝a(m+n)+b(m+n)＝(m+n)?(a+b)． 这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一 个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式． （六）提公因式法： 在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式．当多项式各项的公因式是一个 多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这 个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式；当多项式各项的公 因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直 到可确定多项式的公因式． 运用公式x2+(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)进行因式分解要注意：
北师大版八年级数学下册各章知识要点总结 第一章三角形的证明 一、全等三角形判定、性质： 1.判定(SSS) （SAS) (ASA) (AAS) （HL直角三角形） 2.全等三角形的对应边相等、对应角相等。 二、等腰三角形的性质 定理：等腰三角形有两边相等；(定义) 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。（三线合一） 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。 等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 三、等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 2. 反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法 四、直角三角形 1、直角三角形的性质 直角三角形的两锐角互余 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 2、直角三角形判定 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形； 3、互逆命题、互逆定理 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 五、线段的垂直平分线、角平分线 1、线段的垂直平分线。 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（外心） 判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 2、角平分线。 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。（内心） 判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 第二章一元一次不等式和一元一次不等式组 1.定义：一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。 2.基本性质：性质1：.不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变.如果a>b,那么
八年级数学知识要点归纳 上册 第一章 勾股定理 1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；即222a b c +=。 2．勾股定理的证明：用三个正方形的面积关系进行证明（两种方法）。 3．勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是 直角三角形。满足222a b c +=的三个正整数称为勾股数。 第二章 实数 1．平方根和算术平方根的概念及其性质： （1）概念：如果2x a =，那么x 是a 的平方根，记作： a 的算术平方 根。 （2）性质：①当a ≥0 ≥0；当a ② 2 ＝a ； a =。 2．立方根的概念及其性质： （1）概念：若3 a ，那么x 是a ； （2 a = ；②3a =＝ 3．实数的概念及其分类： （1）概念：实数是有理数和无理数的统称； （2）分类：按定义分为有理数可分为整数的分数；按性质分为正数、负数和零。无理数就是无限不循环小数；小数可分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数；其中有限小数和无限循环小数称为分数。 4．与实数有关的概念： 在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是 一一对应的。因此，数轴正好可以被实数填满。 5 （a ≥0，b ≥0） a ≥0，b ＞0）。 第三章 1．平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变图形大小和形状，改变了图形的位置；经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等，对应角相等。 2．旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这点定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。旋转不改变图形大小和形状，改变了图形的位置；经过旋转，图形点的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同和角度；任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角；对应点到旋转中心的距离相等。 3．作平移图与旋转图。 第四章 四边形性质的探索 1．多边形的分类： =a b a b =
八年级数学（下册）知识点总结 二次根式 【知识回顾】 1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（a）2=a（a≥0）；（2） = =a a2 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．=·（a≥0，b≥0）；=b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 【典型例题】 1、概念与性质 例1下列各式1-， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围 （1）x x - - + 3 1 5 ；（2） 2 2) - (x a（a＞0） a -（a＜0） 0 （a=0）；
例3、 在根式1) 222;2) ;3);4)275 x a b x xy abc +-，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) 例 4、已知： 的值。求代数式22,211881-+- +++-+-=x y y x x y y x x x y 例5、 （2009龙岩）已知数a ，b ，若2()a b -=b －a ，则 ( ) A. a>b B. a0,b>0时，①如果a>b ，则b a >；②如果a0,b>0时，①如果a 2 >b 2 ，则a>b ；②如果a 2 新人教版八年级数学知识点总结归纳
第十一章三角形 1、三角形的概念 由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。 2、三角形中的主要线段 （1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。 （2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。 （3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。 3、三角形的稳定性 三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。 4、三角形的特性与表示 ~ 三角形有下面三个特性： （1）三角形有三条线段 （2）三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形 （3）首尾顺次相接 三角形用符号“?”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“?ABC”，读作“三角形ABC”。 5、三角形的分类 三角形按边的关系分类如下： 不等边三角形 三角形底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 ' 等边三角形
三角形按角的关系分类如下： 直角三角形（有一个角为直角的三角形） 三角形 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形） 斜三角形 钝角三角形（有一个角为钝角的三角形） 把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。 6、三角形的三边关系定理及推论 （1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。 推论：三角形的两边之差小于第三边。 】 （2）三角形三边关系定理及推论的作用： ①判断三条已知线段能否组成三角形 ②当已知两边时，可确定第三边的范围。 ③证明线段不等关系。 7、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。 推论： ①直角三角形的两个锐角互余。 ②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。 ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 & 注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。 8、三角形的面积=2 1 ×底×高 多边形知识要点梳理 定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。
人教版八年级上册数学知识点汇总 第十一章全等三角形 全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点。 对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边。 对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角。 三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定， 这个性质叫做三角形的稳定性。 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。 边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 角角边（AAS）：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。 斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 画法：课本第48页。 性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。 性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 1、明确命题中的已知和求证。 基本方法2、根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证。 3、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。 第十二章轴对称 轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这 个图形就叫做轴对称图形。 两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重 合，那么就说这两个图形关于这条直线对称。 基本概念线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的 垂直平分线。 等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两条边叫做腰，另 一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底 角。 等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
浙教版八年级数学下册 知识点汇总精编版 MQS system office room 【MQS16H-TTMS2A-MQSS8Q8-MQSH16898】
八年级（下册） 1. 二次根式 1.1. 二次根式 像3,4a 2++b 这样表示算术平方根的代数式叫做二次根式，二次根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零。 1.2. 二次根式的性质 像57，这样，在根号内不含字母，不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式称为最简二次根式。 1.3. 二次根式的运算 2. 一元二次方程 2.1. 一元二次方程 像方程x 2+3x=4的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，这样的方程叫 做一元二次方程。能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(或根)。 任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为ax 2 +bx+c=0的形式。 ax 2+bx+c=0(a,b,c 为已知数，a ≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax 2，bx ，c 分别称为二次 项、一次项和常数项，a,b 分别称为二次项系数和一次项系数。 2.2. 一元二次方程的解法 利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法，这种方法把解一个一元二次方程转化为解两 个一元一次方程。 形如x 2 =a(a ≥0)的方程，根据平方根的定义，可得x 1=a ，x 2=-a ，这种解一元二次方程的方法叫 做开平方法。 把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负数，然后用开方法求解，这种解一元 二次方程的方法叫做配方法。 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的情况由代数式b 2-4ac 的值来决定，因此b 2-4ac 叫做一元二次 方程的根的判别式，它的值与一元二次方程的根的关系是： 2.3. 一元二次方程的应用 2.4. 一元二次方程根与系数的关系（选学） 一元两次方程的根与系数有如下关系：（韦达定理） 如果x 1,x 2是ax 2+bx+c=0(a,b,c 为已知数，a ≠0)的两个根，那a c x x a b x =?-=+2121;x 3. 数据分析初步 3.1. 平均数 有n 个数x 1、x 2、x 3 ...... x n ，我们把 ()n x x x x ++++.......n 1321叫做这n 个数的算术平均数，简称平均数，记做x （读作“x 拔”） 像n n n a a a a x a x a x +++?++?+?=............x 212211这种形式的平均数叫做加权平均数，其中分母a 1、a 2......a n 表示 各相同数据的个数，称为权。权越大，对平均数的影响就越大，加权平均数的分母恰好为各权的和。
张铭乾 2011-1-16 初二下数学知识点回顾 分式 知识要点 1．分式的有关概念 设A 、B 表示两个整式．如果B 中含有字母，式子 B A 就叫做分式．注意分母B 的值不能为零，否则分式没有意义 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简 2、分式的基本性质 ,M B M A B A ??= M B M A B A ÷÷= （M 为不等于零的整式） 3．分式的运算 (分式的运算法则与分数的运算法则类似)． bd bc ad d c b a ±=± (异分母相加，先通分)； ;;bc ad c d b a d c b a b d ac d c b a =? =÷=? .)(n n n b a b a = 4．零指数)0(10 ≠=a a 5．负整数指数 ).,0(1 为正整数p a a a p p ≠= - 注意正整数幂的运算性质 n n n mn n m n m n m n m n m b a ab a a a a a a a a a ==≠=÷=?-+)(,)(),0(, 可以推广到整数指数幂，也就是上述等式中的m 、 n 可以是O 或负整数． 6、解分式方程的一般步骤：在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程．解这个整式方程．.验根，即把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，若结果不是0，说明此根是原方程的根；若结果是0，说明此根是原方程的增根，必须舍去． 7、列分式方程解应用题的一般步骤： （1）审清题意；（2）设未知数（要有单位）；（3）根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程；（4）解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意；（5）写出答案（要有单位）。 1. (-5)0 =_____； 2. 3-2 =________；3. 当x_________时，分式 1x+1 有
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初二数学第十一章三角形 知识点归纳 一、与三角形有关的线段 1.三角形的定义：不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角，三角形有三个顶点，三个角，三条边。 2.等边三角形：三边都相等的三角形。 3.等腰三角形：有两条边相等的三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角，两个底角相等。 4.不等边三角形：三边都不相等的三角形。 5.三角形分类： （1）按边分：不等边三角形 等腰三角形：底边和腰不等的等腰三角形 等边三角形 （2）按角分：锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 6.三角形三边的性质：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 注：1）在实际运用中，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形 2）在实际运用中，已知两边，则第三边的取值范围为：两边之差＜第三边＜两边之和 3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，注意检查每个答案能否组成三角形 7.三角形的高：从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高 8.三角形的中线：连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线 注：两个三角形周长之差为x，则存在两种可能：即可能是第一个△周长大，也有可能是第一个△周长小 9.三角形的角平分线：画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线 10.三角形的稳定性，四边形没有稳定性 二、与三角形有关的角 1.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180度。
八年级下册数学知识点整理 学习八年级下册数学要整理好重要的知识点。下面是为大家整编的八年级数学下册知识点整理，大家快来看看吧。 八年级下册数学知识点整理：第一章分式1 分式及其基本性质 分式的分子和分母同时乘以(或除以)一个不等于零的整式，分式的只不变2 分式的运算 (1)分式的乘除 乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 (2) 分式的加减 加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减; 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减3 整数指数幂的加减乘除法 4 分式方程及其解法 八年级下册数学知识点整理：第二章反比例函数1 反比例函数的表达式、图像、性质 图像：双曲线 表达式：y=k/x(k不为0)
性质：两支的增减性相同; 2 反比例函数在实际问题中的应用 八年级下册数学知识点整理：第三章勾股定理1 勾股定理：直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方 2 勾股定理的逆定理：如果一个三角形中，有两个边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 八年级下册数学知识点整理：第四章四边形1 平行四边形 性质：对边相等;对角相等;对角线互相平分。 判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形; 两组对角分别相等的四边形是平行四边形; 对角线互相平分的四边形是平行四边形; 一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形。 推论：三角形的中位线平行第三边，并且等于第三边的一半。 2 特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形 (1) 矩形 性质：矩形的四个角都是直角; 矩形的对角线相等; 矩形具有平行四边形的所有性质 判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形; 对角线相等的平行四边形是矩形; 推论：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 (2) 菱形