第一章 随机过程
1.1 引言
对随机微分方程的研究所需要的随机过程的知识很多，因篇幅关系，只在本章中列出重要的、必备的相关知识和重要结论，这些知识主要包括：随机变量的概念及相关知识及条件期望；随机过程，特别是Markov 过程和Brown 运动的相关知识；随机微积分；It?公式；一些重要不等式及随机比较定理。
本章的内容参考或转引自文献（Murry ，1998陈希孺，2003；林无烈2002；Mao ，1997；Mao ，2006胡适耕等，2007；王克，2010等），谨向相应的作者表示感谢。
1.2 随机变量
概率用于度量随机事件的可能性，某个随机试验的所有可能的所有可能的基本结果或基本随机事件ω所构成的集合记为Ω，称为样本空间。Ω的满足下面三个条件的子集族F 称为样本空间Ω的一个σ代数：
（1）F ?∈
（2）若D F ∈，则其补集c
D D F =Ω-∈； （3）若(i 1,2,
)i D F ?=，则
1
i i D F ∞=∈。
F 中的元素称为Ω的F 可测集或随机事件。若C 是样本空间Ω的一个子集族，则存在一个Ω的包含C 的最小的σ代数，记为(C)σ，称为由C 生成的σ代数。由n
的所有开
集所生成的σ代数称为Borel
σ代数，记为n B ，其中的元素称为
n
中的Borel 集。
定义在F 上的函数[]:0,1P F →称为可测空间(,F)Ω上的概率测度，如果它满足： （1）()1P Ω=；
（2）若(i 1,2,)i A F ∈=且(i j)i j A A ?=?≠，则()11
i i i i P A P A ∞
∞==??
= ???∑。
三元组(),F,P Ω称为概率空间。若一个概率空间的F 包含Ω的所有P 零外测集，也就是说，如果
()(){}*:inf ,0P G P F F F G F =∈?=，
则G F ?，此概率空间称为完备的。任何一个概率空间都可以通过把其所有P 零外测集加入F 中，并重新定义概率测度来完备化。本书总假设所涉及的概率空间为完备的。
若()A,B F ∈且()()
P 0B >，定义条件概率
()()
()
P A B P A B P B ?=
。
引理1.2.1（全概率公式） 如果()1A,B ,
,n B F ∈且
()1
,n k i j k B B B i j ==Ω?=?≠，
()()01,,k P B k n >=，则有()()1
(A)n
k k k P P A B P B ==∑
引理1.2.2 （Bayes 公式） 如果()1A,B ,,n B F ∈且
()1
,n k i j k B B B i j ==Ω?=?≠，
()()01,,k P B k n >=，则有()()()
()()
1
n n n n
i
i
i P B A P B P B A P A B P B ==
∑
定义在样本空间Ω上的F 可测的实值函数:X Ω→称为随机变量。类似地，定义在样本空间Ω上的m 维F 可测的向量值函数:m
X Ω→称为m 维随机向量，或
m
值随机
变量。
设X 是
m
值随机变量，则由集合族(){}
1m
X B F B B -∈∈所生成的最小σ代数，称
为由X 生成的σ代数，记为()X σ。
随机事件族j B F ∈（j J ∈，其中J 是指标集）称为独立的，如果对任意有限个不同的指标1,
,k j j J ∈有()()()11j jk j jk P B B P B P B ??=。
σ代数族j F （j J ∈，其中J 是指标集）称为独立的，如果对任意有限个不同的指标
1,
,k j j J ∈和任意的11,
,j j jk jk B F B F ∈∈有()()()11j jk j jk P B B P B P B ??=。
随机变量族()j Y j J ∈称为独立的，如果由它们所生成的σ代数族()
j Y σ（j J ∈）是独立的。
引理 1.2.3 （Borel-Cantelli 引理） 如果()1,2,
k B F k ∈=且()1
k k P B ∞
=<∞∑，则
10k i k i P B ∞∞==??= ???，若()1k k P B ∞
==∞∑且{}k B 独立，则11k i k i P B ∞∞==??= ???
。
也就是说，若
()1
k
k P B ∞
=<∞∑，则对几乎所有的ω∈Ω都存在一个随机整数()0k ω>，
使得当()k k ω>时，所有的随机事件k B 都不会发生。
如果随机变量X 关于概率测度P 可积，则积分
()()X dP ωωΩ
?称为随机变量Xr 均值
或数学期望，记为EX 。此时，该随机变量称为可积的。期望EX 显然可改写为
()1
EX XdP P Ω
=
Ω?，
这表明EX 正是X 在Ω上关于概率P 的加权平均，因而也称EX 为X 的均值或统计均值，设()()112,,
,,R T
d d X X X X L =∈Ω，则由EX XdP Ω
=?显然有
()12,,,T
d d EX EX EX EX R =∈。
受此启发，自然将期望概念扩展到()
1,dxm
ij X X L R ??=∈Ω??
，约定 dxm
ij EX EX R ??=∈??。
对随机变量X ，如果积分()2
E X EX -存在，则称之为随机变量X 的方差，记为DX 或 (X)Var 。()0p
E X
p >称为随机变量X 的p 阶矩。所有p 阶矩有限的m 维随机变量
所构成的空间记为(),p
m
L
R Ω。如果Y 也是实值随机变量，则积分
()()E X EX Y EY --????
称为X 和Y 的协方差，记为(),Cov X Y 。
如果随机变量族()1,
,m j Y j =是独立的且它们的均值都存在，则有 ()()()
()12
12m m E YY Y E Y E Y E Y =；
若它们的方差都存在，则有
()()()()1212m m D Y Y Y D Y D Y D Y +++=++
+。
下面介绍有关矩的等式和极限式，设()
2,,,d mxd
X Y L R A R ∈Ω∈，则
()()()()()()()()()()cov ,cov ,,cov ,;T T i j T T
i j X Y E XY EX EY X Y Var X E XX EX EX X X ???=-=???
???=-=????
()()T Var AX AVar X A =
若()112,,
,n X X X L ∈Ω独立，则
()i i E X EX =∏∏
设{}1
n X L ?，则
()
10lim lim n n n n n
n
X X E X EX +≤≤?=； （L évy 定理）
0lim lim n n n n n X E X EX ??≥?≤ ???
； （Fatou 定理）
()
1lim lim n n n n
n
X Y L E X EX ≤∈?=, （控制收敛定理）
最后一式中要求lim ..n n
X a s 存在，其次，用Liapanov 不等式易推出
()01,
,p
p n n n E X X
p EX EX X X L -→≥?→∈。
若X 是
n
值的随机变量，则X 在Borel 可测空间
(),n
n B 上，按如下方式诱导出一
个概率测度X F ：
()()():,n X F B P X B B B ωω=∈∈。
此概率测度X F 称为X 的分布或分布函数。
如果存在定义在
n
上的非负函数()x φ，使得对任意的n
B B ∈有
()()X B
F B x dx φ=?，
则()x φ称为随机变量X 的密度函数（或密度）。一个随机变量未必有密度函数，可是一定有分布函数。
当1n =时，实值随机变量X 的分布函数可以表示为
()()():X F x P X x ωω=<。
X 的均值可以表示为()n X EX xdF x =?。更一般地，若:
n
m
g →
是Borel 可测的，则
有()()()n
X Eg X g x dF x =
?
。
设X 是d 维随机变量，则称函数
(),it X d
x t Ee t ??=∈
为X 的特征函数，其中t X ?表示t 与X 的标准内积。
因1it X
e
?≤，故()x t ?依恒有定义. ()x t ?可表为积分
()()d
it X it X x X t e dP e dF x ???Ω
==??
()()?d it X x x
e f x dx f t ?==-?， 其中()?x
f 记函数()x f 的Fourier 变换（假定()x f 存在）
。可以说，特征函数的优势正源于Fourier 变换的良好性质。特征函数的主要性质可概括如下：
设()12,,,T
d X X X X =是d 维随机变量，则其特征函数()x ?有以下性质：
（1）():d
x ?→一致连续且()()01x x t ??≤= （2）若,,mxd
m
A b Y AX b ∈
∈
=+，则
()(),ib t T m
x x t e A t t ???=∈
令0b =，分别取()1,1,
,1A =与T j A e =（j e 是
d
的标准基向量）得
()(),,,,j
EX x t t t t t ??=∈
()()0,,,,0,j
X x t t t ??=∈
（3）若()1j X j d ≤≤独立，则
()()()12,,,,j
T
d
x X j d t t t t t t ??==∈
∏
()().
j
j
EX X t t t ??=∈∏
（4）唯一性，若Y 是另一个d 维随机变量，()()x Y t t ??=，则必()()X Y F x F x ≡，即分布函数由特征函数唯一决定。
设X 是一个随机变量且其均值存在，H F ?是F 的一个σ子代数，一般来说，X 未必是H 可测的。由Radon-Nikodym 定理，存在唯一的H 可测的随机变量Y ，使得
()()()(),H
H
Y dP X dP H H ωωωω=?∈??
。
随机变量Y 称为在条件H 之下X 的条件均值，或条件数学期望，记为()
Y E X H =。若Z 是随机变量，()H Z σ=，则通常写成()()
E X H E X Z =。
定义()()
A P A H E I H ==，其中A I 表示随机事件A 的指标函数。 条件均值有如下重要性质： （1）(
)()()E E X H E X =；
（2）(
)()E X H
E X
H ≤；
（3）若X Y ≥，则()()
E X H E Y H ≥； （4）若X c ==常数，则()
E X H c =； （5）若,a b ∈
，则()()()
E aX bY H aE X H bE Y H +=+；
（6）若X 是H 可测的，则()()
E XY H XE Y H ≥； （7）若()X σ与H 独立，则()
E X H EX =；
（8）若12H H F ??，则()()
()
211E E X H H E X H =
1.3 随机过程
设(),F,P Ω是一个概率空间。一个关于t 递增的F 的σ子代数族{}0t t F ≥称为滤子。也就是说，若0t s ≤<<∞，则t s F F F ??。在一个完备的概率空间里，若一个滤子t F 满足
()0t s s t
F F t >=
≥且0F 包含所有的P 零集，则此滤子称为满足通常条件。本书总假设所涉
及的概率空间是完备的，并且相应的滤子满足通常条件。
一个
n
值的随机变量族{}t t I X ∈称为是一个随机过程，I 称为其参数指标集，
n
称为
其状态空间。在本书中，I 总是取为
[0,)+
=∞或非负整数族。
对每个给定的,t t I X ∈是一个随机变量，所以随机过程可以看成是一个定义在I 上的随机变量值的函数。
对每个给定的()(),t X t I ωω∈Ω∈可以看成是一个定义在I 上的确定性的
n
值函
数，称为该随机过程对应于ω的样本轨道。随机过程又可以看成是它的所有样本轨道的集合。同时，一个随机过程也可以看成是定义在I ?Ω上的(),t ω的二元函数(),X t ω。
给定n 维向量值随机过程()0t X t ≥，定义在
()1,2,n k
k ?=上的概率测度族
(){11
,,,
,1k
k
t t t t k B B μ
μ??
(
)
}11,,,0,1,2,
,k t t k i P X B X B t i k =∈∈≥=
称为随机过程t X 的有限维分布族（或分布），其中(
)1,
,n
k B B B ∈。
若两个定义在相同概率空间上的随机过程有相同的有限维分布族，则这两个随机过程就大致相同。
若对任意的0a ≥，随机过程()()0X t t ≥和随机过程()()():0Y t X t a t =+≥有相同的有限维分布族，则随机过程称为严平稳的
若随机过程()()0X t t ≥满足()EX t 为常值函数，并且协方差()()()
,Cov X t X s 只与
t s -有关，则称为宽平稳的。
如果对几乎所有的ω∈Ω，随机过程{}0t t X ≥的样本轨道()()0t X t ω≥都是确定性的连续函数，则称{}0t t X ≥是连续的随机过程。
如果对所有的0,t t X ≥是可积的随机变量，则随机过程{}0t t X ≥称为可积的随机过程。 如果对所有的0,t t X ≥是t F 可测的，则随机过程{}0t t X ≥称为t F 适应的。 如果对所有的0t ≥，随机过程
{}0
t t X ≥和随机过程
{}0
t t Y ≥满足
()(){}:1t t P X Y ωωω==，则{}0t t Y ≥称为{}0t t X ≥的一个版本或修正。
两个随机过程
{}0
t t X ≥和
{}0
t t Y ≥称为不可区分的，如果
()(){}:,01
t t P X Y t ωωω=?≥
=
。 一个可能取值为∞的随机变量
[]:0,τΩ→∞称为一个t F 停时，如果对
(){}0,:t t t F ωτω?≥≤∈。粗略地说，停时是不念旧恶不依赖于将来的随机时间。
设τ和ρ是两个满足..a s τρ≤的停时，定义如下的随机区间：
()()(){}[[,[[,:t τρωτωρω+
=∈
?Ω≤
类似地，还可以定义随机区间[[,]],]],]]τρτρ和]],[[τρ。 下面的定理以后要用到。 定理1.3.1 如果{}0t t X ≥是
n
值连续t F 适应的随机过程，D 是
n
中的一个开集。约
定inf ?=∞，则随机时间{}inf 0:t t X D τ=≥?是一个t F 停时，称为首次离开D 的时间。 一个
n
值t F 适应的可积的随机过程{}0t t M ≥称为关于t F 的鞅，如果
()..,0t s s
E M
F M a s s t =?≤≤≤∞
想象一个赌徒，假设知道他由一开始（0时刻）到现在()0s ≥的有关赌博的所有信息，去预测他在将来某个时刻t s ≥手里赌资的数学期望。如果赌博是公平的，则这个期望值应该
就等于他现在所拥有的赌资。也就是说，赌博每一把都有输赢，若赌博是公平的，则输赢的
机会会相抵。
一个随机过程{}0t t X X ≥=称为是平方可积的，如果对任意0t ≥有2
t
E X <∞。如果
{}0t t M M ≥=是一个实值平方可积连续鞅，则存在一个唯一的连续可积适应的增过程，记为
,t M M ，使得2,t t M M M -是一个在0t =时等于零的连续鞅。过程,t M M 称为M 的二次变分。
一个右连续的适应过程{}0t t M M ≥=称为局部鞅，如果存在一个非减的停时序列
()1,2,k k τ=，满足,..k a s τ↑∞，使得每一个()00k
t M M t τ∧-≥是鞅（此后，总是使用
记号{}{}min ,,max ,,,a b a b a b a b a b ∧=∨=∈
）。
若是{}0t t M M ≥=连续的实值局部鞅，则存在唯一的一个连续适的有界变差的过程
,t M M ，
使得2
,t t M M M -是在0t =时为零的连续局部鞅。过程,t M M 也称为M 的二次变分。
定理1.3.2（强大数定律） 设{}0t t M M ≥=是在0t =时为零的实值连续局部鞅，则
lim ,..lim
0..,t
t
t t t
M M M
a s a s M M
→∞
→∞
=∞?=
以及
,limsup
..lim
0..t
t
t t M M M a s a s t
t
→∞→∞
<∞?=
定理1.3.3 设{}0t t M ≥是带有滤子t F 的实值鞅，,θρ是已知的两个有限停时，则
()
..E M F M a s θρθρ∧=
特别的，若τ是一个停时，则对任意的0s t ≤<<∞，有
()..t s s E M F M a s ττ∧∧=
也就是说，{}t M M τ
τ∧=依然是关于t F 的鞅。
若一个实值的{}t F 可测的可积过程{}0t t M ≥对任意的0s t ≤<<∞都有
()..t s s E M F M a s ≤
则称{}0t t M ≥为上鞅。若上式改为()
t s s E M F M ≥，则称为下鞅。 显然，1）{}0t t M ≥是鞅，当且仅当{}0t t M ≥即是上鞅又是下鞅；
2）{}0t t M ≥是上鞅当且仅当{}0t t M ≥是下鞅。
3）若{}0t t M ≥是上鞅，则对任意的(),t s t s τ<∈有t s EM EM ≥，这意味着t EM 关于
t 单调递减，同理，若{}0t t M ≥是下鞅，则t EM 关于t 单调递增，从而若{}0t t M ≥是
鞅，则t EM 是常数。
4）鞅的线性组合仍然是鞅；上鞅（或下鞅）的非负系数线性组合是上鞅（或下鞅）。
5）若{}0t t M ≥是一个实值的鞅，则(){
}max ,0t t M M +=、(){}
max 0,t t M M -
=-和
{
}p
t
M 都是下鞅。
在随机过程理论中，收敛性是一重要课题，下面简单介绍常用的四种收敛性定义。 令X 和,k 1k X ≥是
d
一值随机变量。
（1）存在一个零测度集0F Ω∈，对任意ω?Ω，数列(){}
k X ω都收敛于()x ω，则
称{}k X 是几乎处处收敛到X ，也称为依概率收敛，常常写成
（2）对任意的0ε>，当k →∞时，有(){}
:0k P X x ωωε->→，则称{}k X 随机
收敛于X ，也称为依概率收敛于X 。 （3）如果k →∞时，有0p
k E X X
-→，则称{}k X P 阶矩收敛于X ，特别的，当
2p =时，称为均方收敛。
（4）若g 是定义在
d
上的实值连续有界函数，并且有()()lim k k Eg X Eg x →∞
=，则称
{}k X 依分布收敛于X 。
以上四种收敛性有如下的关系：
并且若一个序列是依概率收敛的，当且仅当存在一个几乎处处收敛的子列。 几乎处处收敛()
lim k k X X →∞
=的必要条件是存在0p >，使得
1
p
k
k E X
X
∞
=-<∞∑
定理：（单调收敛定理）若{}k X 是单调递增的非负随机变量序列，则
()
lim lim k k k k EX E X →∞
→∞
=
定义1.3.1 设(),F,P Ω是带有滤子t F 的概率空间。若一维实值连续t F 适应的随机过程
t B 满足下列条件：
（1）00..B a s =；
（2）对任意0s t ≤<<∞，t s B B -服从均值为零，方差为t s -的正态分布，也就是
()0,t s
B B N t s --；
（3）对任意0s t ≤<<∞，t s B B -与s F 独立。 则t B 称为Brown 运动或Wiener 过程。
Brown 运动t B 有如下重要性质：
（1）Brown 运动t B 是几乎确定无处可微的，也就是说，它向乎所有的样本轨道都是确定性的无处可微函数；
（2）Brown 运动t B 在任何有限区间上几乎确定是无界变差的，也就是说，它几乎所有样本轨道在任何有限区间上都是确定性的无界变差函数；
（3）Brown 运动t B 是连续的平方可积鞅，其二次变分(),0t t t
B B t t =≥;
（4）由（3）及强大数定律立即推得
lim
0..t
t B a s t
→∞
=； （5）（重对数率）如下极限成立：
lim 1..t a s →∞
=，
lim inf
1..t a s →∞
=-。
一个n 维的随机过程()
()1
,
,0n t t t B B B t =≥称为n 维Brown 运动，如果它的每一个
分量()1,
,n i t B i =都是一维Brown 运动且1,,B n t t B 是独立的。
Markov 过程是一类重要的随机过程。
一个n 维t F 适应的随机过程{}0t t X X ≥=称为Markov 过程，如果对0s t ≤≤<∞和
n B B ?∈，如下Markov 性质成立：
()()t s t s P X B F P X B X ∈=∈。
上式等价于对每个有界Borel 可测函数:n R R ψ→和0s t ≤≤<∞有
()()()()t s t s E X F E X X ψψ=。
Markov 过程的转移概率(),;,P s x t B 是定义在0s t ≤≤<∞，n
x R ∈，n B B ∈上的函数，
表示一个s 时刻由n
x R ∈出发的Markov 过程的状态在t 时刻进入集合B 的概率。
若在上式中把s 和t 换成停时，等式仍然成立，相应的性质称为强Markov 性。
Markov 性的意思是说，如果给定了随机过程的历史和现在的所有信息去判断系统将来某个时刻的转移概率，则历史的信息是没有用的，起作用的只有现在的信息。想象一个醉汉，跌跌撞撞地来到了一个房间，他完全忘记了是怎样来到这个房间的，问十分钟后，他出现在隔壁房间的概率有多大？显然，这个概率只与他现在所处的位置有关，而和他之前来到这个位置的过程无关。
Markov 过程{}0t t X X ≥=称为齐次的，如果它的转移概率对所有0s t ≤≤<∞，
n x R ∈，0u ≥，n B B ∈满足()(),;,,;,P x u x t u B P s x t B ++=。此时，其转移概率只依
赖于t s -，因而通常简写为()()0,;,t,,P x t B P x B =。
一个在概率空间(),F,P Ω上定义的值取在可列集S 上的随机过程{}0t t X X ≥=称为连续时间的Markov 链，如果对任意的时间列1210n n t t t t +≤≤≤
≤≤和相应的在S 中的状态
121,,
,,,n i i i i j -，使得(
)
111,,
,0n n t t n t P X i X i X i -===>，则有
()(
)
111111,,
,n n n n n t t t n t t t P X j X i X i X i P X j X i +-+-=======。
如果对所有的0s t ≤≤<∞和所有的,i j ∈S ，条件概率(
)
t s P X j X i ==只依赖于t s -，则称Markov 过程{}0t t X X ≥=是齐次的。此时有()()
0t s t s P X j X i P X j X i -=====，函数
()()0:,,,0ij t P t P X j X i i j t ===∈≥S
称为该过程的由状态i 到状态j 的转移函数。
如果对所有的i ∈S 有()lim 1ii t P t →
=，则转移函数()ij P t 称为是标准的。
下面的几个结论是由Anderson(1991)证明的。
若转移函数()ij P t 是标准的，则极限()0
:lim 1/i ii t P t t γ→=-????对所有i ∈S 存在（可能为
无穷）。若i γ<∞，则状态i ∈S 称为是稳定的。
若转移函数()ij P t 是标准的且状态j 是稳定的，则()':0ij ij P t γ=≥存在，并且对所有
i ∈S 是有限的。
令ii i γγ=-，()
,ij
i j γ∈Γ=S
。矩阵Γ称为是此Markov 链的生成元或生成矩阵。如果状
态空间是有限的，{}1,2,,N =S ，则此Markov 过程称为连续时间的有限Markov 链。若
一个markov 链是有限的，并且其所有状态都是稳定的，同时期人几乎所有的样本轨道都是右连续的阶梯函数，其在有限时间段内的跳跃点只有有限多个 。定义连续时间的有限Markov 链的转移矩阵函数为()()
()
:ij N N
P t P t ?=，则有
()t P t e Γ=，
其中()
ij
N N
γ?Γ=是其生成元（上面的t e Γ
是指数矩阵，有关概念请参见了文献（王克
等，2005））。
Markov 链称为不可约的，如果对任意,i j ∈S ，存在12,,
,k i i i ∈S ，使得
1
22
,,0k
i i i i
i j γγγ>。不可约的Markov 链存在唯一的平稳分布()12,,,N ππππ=，它是线
性方程组。
0πΓ=满足1
1N
j j π==∑和0,j j B π>?∈
的解。此时，Markov 链称为是遍历的。
1.4 随机积分和?I t o 公式
在生物学和生态学中存在许多数学模型，当试图考虑这些数学模型所受到随机因素的干扰时，经常要用到随机积分作为基本的数学工具。
设(),F,P,F t Ω是带有滤子的概率空间。()0t B t ≥是定义在其上的一维Brown 运动。
设0a b ≤<<∞。令[]()2,;M a b R 表示所有可测t F 适应的且满足条件
()2
2
,:b a b
a
E t dt φ
φ=<∞? 的随机过程()[]()
,t t a b φ∈所构成的空间。若[]()2
,M ,;a b R φψ∈且2,0a b
φψ
-=，则称
φ和ψ是等价的，并把它们等同起来。在这个等价关系之下，把[]()2,;M a b R 看成商空间，
然后赋予范数
2,a b
，则[]()2
,;M
a b R 成为一个Banach 空间。
一个实值随机过程()[]()
,t t a b φ∈称为简单过程，如果存在[],a b 区间的一个分割
01k a t t t b =<<
<=和有界随机变量()01i i k ξ≤≤-，使得i ξ是t F 可测的，并且
()[][]01
1
10,,1
i i k i t t t t i t I I φξξ+-==+∑。
定义[]()0
,;M a b R 为所有简单过程所构成的空间。显然，[]()[]()2
,;,;M a b R M a b R ?。
下面给出简单过程的?Ito
积分的定义。 定义1.4.1 对满足（1.4.1）的简单过程()[]()0
,;t M a b R φ∈，定义
()()
1
1
i i k b t
i t t a
i t dB B
B φξ-+==-∑?，
称为关于Brown 运动t B 的?Ito
积分。 对任意[]()2
,;M
a b R ψ∈，存在简单过程序列[]()0,;n
M a b R φ
∈，使得
()()2
lim 0b
n a
n E t t dt ψφ→∞
-=?。
定义1.4.2. 设[]()2
,;M
a b R ψ∈。ψ关于t B 的?Ito
积分定义为 ()()lim b
b
t n t a
a
n t dB t dB ψφ→∞=?
?，
其中()n t φ是满足（1.4.2）的简单过程序列。
上面的定义是与简单过程序列的n φ选取无关的。
?Ito
积分有如下重要性质： 设[]()2
,,;M
a b R φψ∈，,p q 是给定实数，则有
（1）()()()()b
b
b
t t t a a a p t q t dB p t dB q t dB φψφψ+=+?????
??；
（2）
()b
t
a
t dB φ?是b
F 可测的；
（3）()0b
t
a
E t dB φ=?；
（4）()()()2
2
b
b
t
a
a
E
t dB E t dt
φφ=??。
下面把?Ito
积分推广到高维的情况。设(
)
()1
,,0T
m t t t B B B t =≥是定义在概率空间
(),F,P Ω上t F 适应的m 维Brown 运动。令[]()20,;n m M T R ?表示所有n m ?矩阵值的t F 适
应的并满足
()2
T E f t dt <∞?
的随机过程的集合，其中A 表示矩阵A 的迹模，即
A =
定义1.4.3 设[]()2
0,;n m
f M
T R ?∈，定义f 的?Ito
积分为 ()()
()()()1111001m t T T t m n nm t f t f t dB f t dB f t f t dB ???? ? ?=
? ? ? ?????
?? ， 它是一个n 维列向量值的随机过程，其第i 个分量是一维?Ito
积分之和 ()0
1
m
T
j ij t j f t dB =∑?
。
若0b a >≥，则定义
()()()0
b
b
a
t t t a
f t dB f t dB f t dB =-?
??。
显然，此?Ito
积分是n
值的关于t F 的连续鞅，它具有下面的性质：
（1）()0
0T
t
E f t dB =?；
（2）()()2
2
T
T t E
f t dB E f t dt =?
?。
下面简单介绍随机微分，与传统的微积分学不同，在?Ito
微积分学中，严格说来并无独立于?Ito
积分之外的微分概念，?Ito 所引入的微分，实质上不过是以逆运算形式表达了积分，因而可看地作?Ito
积分的某种衍生物。然则，几乎不可思议的是，在著名的?Ito 公式建立之后，?Ito
微分就成了一种极便于运用的形式系统，以至获得了某种独立的外观。 定义 1.4.4 如果n
值连续t F 适应的随机过程()()()()
()1,
,0T
n x t x t x t t =≥可以
表示成
()()()()0
0t
t
s x t x f s ds g s dB =++?? ，
其中()(
)11,
,,
T
n
n f f f L +
=∈，()
(
)2,
n m
ij n m g g L ?+
?=∈，则称为维?Ito
过程。 在定义1.4.4中，(
)1
,
n
L +
和(
)2
,
n m
L ?+
分别表示绝对可积函数空间和平方可积
函数空间。
为方便起见，称上述?Ito
过程()x t 具有随机微分()()0dx t t ≥，记为
()()()t dx t f t dt g t dB =+
这样的表示在理论推导时带来很大的方便。当写出式子
()()()[],,t dx t f t dt g t dB t a b =+∈
时，我们的意思是?Ito
过程()[](),x t t a b ∈满足。
()()()()[],,t
t
s a
a
x t x a f s ds g s dB t a b =++∈??
为了简便起见，有时也将右端的两个积分合写成
()()()0
t
t f s ds g s dw s +?????
但应注意，
()0
t
t f s ds ?与()()0
t
t g s dw s ?是性质上很不相同的两类积分：前者是通常的
Lebesgue 积分而后者是?Ito 积分。一个看似无意义但影响深远的步骤是，对于表为式()x t 的
作形式约定：
()()()()dx t f t dt g t dw t =+
或简写作()dx t fdt gdw =+，并称dx 为x 的随机微分或?Ito
微分。注意到，上式只不过是一种人为的记号设定，在作这一设定时并未赋予它任何实质上新的含义。然而，借助于这一
记号，现在可将式（1.3.15）改写成
()()00
t
t t t dx s x s =?
在形式上，我们得到了一个“Newton-Leibniz 公式”，尽管上式只不过是式（1.3.15）的一种改写，其中并未注入任何真正的新意，然而我们将看到，它将像一个真正的Newton-Leibniz 公式那样发挥重大作用。渤，为了使这样的公式能有效发挥作用，必须有一套计算随机微分
的方便规则，而?Ito
（1951）通过建立他的著名公式做到了这一点，这一成就正是?Ito 微积分学诞生的标志。
设(
)2,1
;
n
C
+
?
表示所有定义在
n
+
?
上关于t +
∈
，连续可微且关于n
x ∈
连续二阶可微的(),x t 的实值函数(),V x t 所构成的空间。
对(
)2,1
;
n
V C
+
∈?
，令
21
,,
,,T
t x xx n i j
n n
V
V V V V V V t x x x x ???
??
????=== ? ? ?????????? 。 如果()(
)2,1
,;
n
V x t C
+
∈?
且()()0x t t ≥是?Ito
过程，满足（1.5.2），问复合函数()()(),0V x t t t ≥是否仍然是?Ito
过程，如果是，其随机微分是什么？在实际应用和理论推导中，经常会遇到这类问题。下面的?Ito
公式回答了这个问题。
定理1.4.5（?Ito
公式） 设()()0x t t ≥是?Ito 过程，其随机微分为 ()()()t dx t f t dt g t dB =+ ，
其中(
)1
,
n
f L
+
∈，(
)2
,
n m
g L ?+
∈。若()(
)2,1
x,;
n
V t C +
∈?
，则()()
,V x t t 仍然是?Ito
过程，具有如下随机微分： ()()()()()()()()()()()
(
)1,,,,2T t x xx dV x t t V x t t V x t t f t tr g t V x t t g t dt ?
?=++???
?
()()(),..x t
V x t t g t dB a s +
下面的随机微分的乘法公式是有用的：
0,0,0,,i i j i i dtdt dBdt dBdB i j dBdB dt ===≠= 。
于是?Ito
公式也可以写为 ()()()()()()()()()()()1
,,,,2
T t x xx dV x t t V x t t dt V x t t dx t dx t V x t t dx t =++
上式右端最后一项有时称为?Ito
修正项。因而?Ito 公式可以这样来记忆，即复合函数的随机微分等于先使用数学分析中经典的微分链式法则，再加上?Ito
修正项。 设(
)2,1
;
n
V C
+
∈?
，如下定义的算子:
n
LV +
?
→
：
()()()()()()()1
2
T t x xx LVx t V V x t f t tr g t V x t g t =++
称为?Ito
过程（1.5.2）关于2,1
C 函数(),V x t 的扩散算子。利用扩散算子，?Ito
公式又可以写为
()()()()()()(),,,x t dV x t t LV x t t dt V x t t g t dB =+ 。
这种形式的?Ito
公式在使用Liapunov 第二方法分析稳定性或有界性时特别有用。 当对含有Markov 转换的随机微分方程的解使用?Ito 公式时，公式的形式会有一些变化，
称为推广的?Ito 公式（Mao et al.,2006）。但是，只要所使用的Liapunov 函数不显含Markov 链，对?Ito
公式取均值后形式就没有变化。 在经典微分学中，复合函数微分规则实际上涵盖了所有其他微分规则，在随机微分学中，?Ito
公式正好起类似的作用，现在就来说明这一点。下面将()()(),,i x t y t x t 简写作,,i x y x ，且总设它们是?Ito
过程，x 依式（1.3.15） （1）设()()2
,1V C
d ∈=，
，则由公式（1.3.21）有 ()()()()2
'''12
dV x V x dx V x dx =+
（2）对数微分法。取()x
V x e =或ln x ，则由式（1.3.24）得
()()22
212ln 2x x de e dx dx dx dx d x x x ???=+??????
??
=-??
令()()
,V V t x t =，以ln V 取代（1.3.25a ）中的x 得
()()2
11lnV ln 1/2ln V dV V d
e d V d V --==+
这就是对数微分公式，它特别适用于V 表为连乘积的情况。
（3）积规则。设1
,,n
ai i i V C
x C α=∏
是常数，0C >，则用公式（1.3.26）可导出 ()()2
2112i j i i i i i i j i i i j i i i j
dx dx dx dV dx V x x x x ααααα<=+-+∑∑∑
特别，取12
n V x x x =，由式（1.3.27）得
()1212i j n i
i i j n i i j
dx dx d x x x dx x x x x x x <=+∑∑
进而对于V xy =，由式（1.3.28）得
()d xy ydx xdy dxdy =++
然后结合式（1.3.29）与（1.3.17）得出分部积分公式：
()()()()
()()()()0
0T
T
T
t t t y t dx t x t y t x t dy t dx t dy t =-+???
??? 当0dxdy =时，公式（1.3.29）与（1.3.30）分别重合于通常的积微分公式与分部积分公式。
（4）商规则。取/V y x =，由式（1.3.27）得
2
1y xdy ydx dx d x x x -??????
=- ? ????????
? ()2
23
y dx xdxdy
xdy ydx x x
--=+ 当()2
0dx dxdy ==时，式（1.3.31）重合于通常的商微分规则。
（5）设()2
d
V C ∈，则依式（1.3.18）与（1.3.19）有
()()()()()
,,,1/2x T
x xx dV t x LV t x dt V gdw
LV t x V f tr g V g ?=+??=+??
下面给出应用?Ito 公式的若干例子，仍设()x x t =依式（1.3.15）。
例1.3.5 （1）设(
)
/2
P T
V x Qx
=，Q 是一个正定矩阵，算出
()
/21
P T T x V p x Qx x Q -=
()
()()
/21
/22
2p p T T T xx V p x Qx Q p p x Qx Qxx Q --=+-
然后套用公式（1.3.32）得
()()()()()()()()()/21/2112,,,/222p T T p T
T T T T dV t x LV t x dt p x Qx x Qgdw LV t x p x Qx x Qf tr g Qg p x Qx x Qg ---?=+???=+??
???+-???
常用的两种特殊情况是（分别取2p =与Q I =）
()()()()
22T T T T T T
d x Qx L x Qx dt x Qgdw
L x Qx x Qf tr g Qg ?=+?
?=+?? ()()22222/222p p p T p p T
T d x L x dt p x x gdw
L x p x x g p x x g ---?=+?
???=++-??????
（2）设(
)
/2
21p V x
=+，则类似于式（1.3.35）有
()()()
()()
()/2122/2122
2,,12,1221p T T p T dV t x LV t x dt p x x gdw
p x g p LV t x x x f g x --?=++?????-???=+++???+???
（3）设()(
)1,2
,d
V t x C
+∈?
，则以ln V 代V ，用公式（1.3.18）得
21ln ,2x LV V g
d V dt Z dw Z dt Z V V
=
+-= （4）设(
)1,
m
g C J ?∈，0
t
a s t T ≤≤<<，今建立
()()()21exp exp 2t t a s s E g r dw r g r dr ????=????????
??
()2
/2,w t t
Ee e σσσ=∈
只需验证式（1.3.38），固定s ，以()t ?记式（1.3.38）之左端，则
()()()exp t r
t
a a a
s
r E d g dw ?λλ??=???
?
??
()()()()2
2t
a a g E e g dw d λλλλ????=+??
??? ()()212t
a
g r r dr ?=? 故得
()()()21
2
t g t t ??=
注意到()1s ?=，从上面的线性微分方程解出()t ?，即得式（1.3.38）。
1.5 重要不等式及比较定理
以处理和分析随机数学模型时，经常要用到一些不等式，下面把它们列出，以便于读者查找。
1.5.1 初等不等式
（1）（Young 不等式）
1
1
1
,,,
1i
k
k
k
b i
i i i i i i i i a
a b a b b +
===≤∈
=∑∑∏；
（2）（H?lder 不等式）
1/1/11111
,,,,,
1,2p q
k
k k p q i i i i i i i i i a b a b a b p q k p q
+===????
≤∈+=≥ ? ?????
∑∑∑ ； （3）（一个有用的不等式）
()11,,0,1p p p p a b p a b a b a b p ---≤-+≥≥
下面是在应用上非常重要的Gronwall 不等式。 定理1.5.1 （Gronwall 不等式） 令()0,0,T c u >>是定义在区间[]0,T 上的Borel
可测非负函数，(
)u 是定义在[]0,T 上的非负可积函数。如果
()()()0,0t
u t c v s u s ds t T ≤+≤≤?
则
()()()0
exp
,
0t u t c v s ds t T ≤≤≤?
1.5.2 随机不等式
假设下面所涉及随机变量的均值都存在。 （1）（H?lder 不等式）
()(
)()
1/1/11
,,1,
1p
q
p q T
E X Y E X
E Y p q p q
≤>+= ； （2）（Chebyshev 不等式）
(){
}
,
1p
p P w X c c E X p -≥≤>
（3）（关于矩的不等式）
()()
1/q
1/,0p
q E X E X p q ≤<<；
（4）（均值的Jensen 不等式）若是凸函数且和存在，则
()()()EX E X φφ≤
（5）（Minkovski’s 不等式）
()()()
1/1/1/p
1,p
p
p p p p E X Y E X E Y p X Y L +≤+>∈
定理1.5.2 （BDG 不等式） 设(
)2
,
n m
g L
?+∈。对0t ≥定义
()()()()2
,t
t
s x t g s dB A t g s ds ==??
则对任意0p >，存在常数p c ，p C 只与p 有关，使得
()()()/2
2
0sup ,0p
p p p p s t c E A t E x s C E A t t ≤≤??≤≤≥ ???
特别的：当02p <<，2p
p p c ??
=
???，2
32p
p C p ??= ???
； 当2p =，1p c =，4p C =；
当2p >，()
2
2p p c p -
=，()2
1121p
p p p P C p +-??
= ? ?-??
定理1.5.3（指数鞅不等式） 设(
)2
,
n m
g L
?+
∈，,,0T a b >，则
()()2000sup 2t t ab s t T a P g s dB g s ds b e -≤≤????
->≤????????
??
定理1.5.4 设1,0p ε≥>
第一章 随机过程基本概念 P39 1. 设随机过程()0cos X t X t ω=，t -∞<<+∞，其中0ω是正常数，而X 是标准正态变量。试求()X t 的一维概率分布。 解： 1 当0cos 0t ω=，02 t k π ωπ=+ ，即0112t k πω??= + ??? （k z ∈）时， ()0X t ≡，则(){}01P X t ==. 2 当0cos 0t ω≠，02 t k π ωπ≠+ ，即0112t k πω?? ≠ + ??? （k z ∈）时， ()~01X N ，，()0E X ∴=，()1D X =. ()[]()00cos cos 0E X t E X t E X t ωω===????. ()[]()22 000cos cos cos D X t D X t D X t t ωωω===????. ()()20~0cos X t N t ω∴，. 则( )2202cos x t f x t ω- = ；. 2. 利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为 ()cos 2t X t t π?=??，出现正面，出现反面 假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为 12。试确定()X t 的一维分布函数12F x ?? ???；和()1F x ；，以及二维分布函数12112 F x x ?? ?? ? ，；， 。
00 11101222 11
第一章 随机过程的基本概念 1．设随机过程 +∞<<-∞=t t X t X ,cos )(0ω，其中0ω是正常数，而X 是标准正态变量。试求X （t ）的一维概率分布 解：∵ 当0cos 0=t ω 即 πω)2 1 (0+ =k t 即 πω)21(10+=k t 时 {}10)(==t x p 若 0cos 0≠t ω 即 πω)2 1 (1 0+≠ k t 时 {}{}x t X P x x X P t x F ≤=≤=0cos )(),(ω 当 0cos 0>t ω时 ξπ ωωξd e t x X P t x F t x ? - = ??? ? ??≤=02 cos 0 2 021cos ),( 此时 ()t e x t x F t x f t x 0cos 2cos 1 21,),(022ωπ ω? =??=- 若 0cos 0 ?? ?= ,2 ,cos )(出现反面出现正面t t t X π 假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为21。试确定)(t X 的一维分布函数)2 1 ,(x F 和)1,(x F ，以及二维分布函数)1,2 1;,(21x x F 解：（1）先求)21,(x F 显然???=?? ???-=??? ??出现反面出现正面 出现反面出现正面10,212,2cos 21π X 随机变量?? ? ??21X 的可能取值只有0，1两种可能，于是 21 021= ??????=?? ? ??X P 2 1121=??????=??? ??X P 所以 ?????≥<≤<=??? ?? 11102 1 0021,x x x x F 再求F （x ,1） 显然? ??-=???=出现反面出现正面出现反面出现正面 2 1 2 cos (1)πX {}{}2 1 2)1(-1 (1)====X p X p 所以 ???? ???≥<≤<=2 121- 2 1-1 0,1)(x x x x F (2) 计算)1,2 1 ;,(21x x F ???-=???=出现反面出现正面出现反面出现正面 2 1)1(, 1 0)2 1 ( X X 于是 《概率论与随机过程》第一章习题 1.写出下列随机试验的样本空间。 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。 （2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3）10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数。 （4）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 （5）一个小组有A，B，C，D，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选举的结果。 （6）甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。 （7）一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。 （8）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 （9）有A，B，C三只盒子，a，b，c三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球的情况。 （10）测量一汽车通过给定点的速度。 （11）将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。 2.设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。 （1）A发生，B与C不发生。 （2）A与B都发生，而C不发生。 （3）A，B，C都发生。 （4）A，B，C中至少有一个发生。 （5）A，B，C都不发生。 （6）A，B，C中至多于一个发生。 （7）A，B，C中至多于二个发生。 （8）A，B，C中至少有二个发生。 3. 设{ }10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式 （1）B A 。 （2）B A ?。 （3）B A 。 （4） BC A 。 （5）)(C B A ?。 4. 设{}20≤≤=x x S ，?????? ≤<=121x x A ，? ?????<≤=2341x x B ，具体写出下列各式。 （1）B A ?。 （2）B A ?。 （3）B A 。 （4） B A 。 5. 设A ，B ，C 是三事件，且41)()()(===C P B P A P ，0)()(==CB P AB P ，1)(=AC P ，求A ，B ， C 至少有一个发生的概率。 6. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1） 求恰有90个次品的概率。 （2） 至少有2个次品的概率。 7.（1）在房间里有500个人，问至少有一个人的生日是10月1日的概率是多少（设一年以365天计算） （2）在房间里有4个人，问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少 8. 一盒子中有4只次品晶体管，6只正品晶体管，随机地抽取一只测试，直到4只次品管子都找到为止。求 第4只次品管子在下列情况发现的概率。 （1） 在第5次测试发现。 （2） 在第10次测试发现。 9. 甲、乙位于二个城市，考察这二个城市六月份下雨的情况。以A ，B 分别表示甲，乙二城市出现雨天这一 事件。根据以往的气象记录已知4.0)()(==B P A P ，28.0)(=AB P ，求)/(B A P ，)/(A B P 及)(B A P ?。 10. 已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概 率。 （1） 二只都是正品。 （2） 二只都是次品。 （3） 一只是正品，一只是次品。 （4） 第二次取出的是次品。 11. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率 第一章随机过程的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布 1．随机变量，分布函数 离散型随机变量的概率分布用分布列分布函数 连续型随机变量的概率分布用概率密度分布函数 2．n维随机变量 其联合分布函数 离散型联合分布列连续型联合概率密度 ３．随机变量的数字特征 数学期望：离散型随机变量连续型随机变量 方差：反映随机变量取值的离散程度 协方差（两个随机变量）： 相关系数（两个随机变量）：若，则称不相关。 独立不相关 ４．特征函数离散连续 重要性质：，，， ５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差 ０－１分布 二项分布 泊松分布均匀分布略 正态分布 指数分布 ６．Ｎ维正态随机变量的联合概率密度 ，，正定协方差阵 二．随机过程的基本概念 １．随机过程的一般定义 设是概率空间，是给定的参数集，若对每个，都有一个随机变量与之对应，则称随机变量族是上的随机过程。简记为。 含义：随机过程是随机现象的变化过程，用一族随机变量才能刻画出这种随机现象的全部统计规律性。另一方面，它是某种随机实验的结果，而实验出现的样本函数是随机的。 当固定时，是随机变量。当固定时，时普通函数，称为随机过程的一个样本函数或轨道。 分类：根据参数集和状态空间是否可列，分四类。也可以根据之间的概率关系分类，如独立增量过程，马尔可夫过程，平稳过程等。 ２．随机过程的分布律和数字特征 用有限维分布函数族来刻划随机过程的统计规律性。随机过程的一维分布，二维分布，…，维分布的全体称为有限维分布函数族。随机过程的有限维分布函数族是随机过程概率特征的完整描述。在实际中，要知道随机过程的全部有限维分布函数族是不可能的，因此用某些统计特征来取代。（１）均值函数表示随机过程在时刻的平均值。 （２）方差函数表示随机过程在时刻对均值的偏离程度。 （３）协方差函数且有 （４）相关函数(3)和(4)表示随机过程在时刻，时的线性相关程度。 《概率论与随机过程》第一章习题答案 1. 写出下列随机试验的样本空间。 （1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。 解： ? ?? ????=n n n n S 100, ,1 ,0 ，其中n 为小班人数。 （2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 解：{}18,,4,3 =S 。 （3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录 抽取的次数。 解： {}10,,4,3 =S 。 （4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 解： {} ,11,10=S 。 （5） 一个小组有A ，B ，C ，D ，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选 举的结果。 解： {}ED EC EB EA DE DC DB DA CE CD CB CA BE BD BC BA AE AD AC AB S ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,=其中， AB 表示A 为正组长，B 为副组长，余类推。 （6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。 解： {}210,,e e e S =其中，0e 为和棋，1e 为甲胜，2e 为乙胜。 （7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。 解： {}rwb wb rb rw b w r S ,,,,,,=其中，,,,b w r 分别表示红色、白色、蓝色。 （8） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次 品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 解： {}1111,1110,1101,0111,1011,1010,1100,0110,0101,0100,100,00=S 其中，0为次品，1为正品。 （9） 有A ，B ，C 三只盒子，a ，b ，c 三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球的情况。 解： {}Ca Bb Ac Cc Ba Ab Cb Bc Aa Cb Ba Ac Ca Bc Ab Cc Bb Aa S ,,;,,;,,;,,;,,;,,=其中，Aa 表示球a 放 在盒子A 中，余者类推。 （10） 测量一汽车通过给定点的速度。 解：{}0>=v v S （11） 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。 解： (){}1,0,0,0,,=++>>>=z y x z y x z y x S 其中，z y x ,,分别表示第一段，第二段，第三段的 长度。# 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1） A 发生，B 与C 不发生。 解：C B A （2） A 与B 都发生，而C 不发生。 解： C AB （3） A ，B ，C 都发生。 解： ABC （4） A ，B ，C 中至少有一个发生。 解： C B A ?? （5） A ，B ，C 都不发生。 解： C B A （6） A ，B ，C 中至多于一个发生。 解： A C C B B A ?? （7） A ，B ，C 中至多于二个发生。 解： C B A ?? （8） A ，B ，C 中至少有二个发生。 解： CA BC AB ??. # 3. 设{ }10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式 （1）B A 。 解： {}5=B A ； （2）B A ?。 解： { }10,9,8,7,6,5,4,3,1=?B A ； （3）B A 。 解：{}5,4,3,2=B A ； 第一章 随机过程 1.1 引言 对随机微分方程的研究所需要的随机过程的知识很多，因篇幅关系，只在本章中列出重要的、必备的相关知识和重要结论，这些知识主要包括：随机变量的概念及相关知识及条件期望；随机过程，特别是Markov 过程和Brown 运动的相关知识；随机微积分；It?公式；一些重要不等式及随机比较定理。 本章的内容参考或转引自文献（Murry ，1998陈希孺，2003；林无烈2002；Mao ，1997；Mao ，2006胡适耕等，2007；王克，2010等），谨向相应的作者表示感谢。 1.2 随机变量 概率用于度量随机事件的可能性，某个随机试验的所有可能的所有可能的基本结果或基本随机事件ω所构成的集合记为Ω，称为样本空间。Ω的满足下面三个条件的子集族F 称为样本空间Ω的一个σ代数： （1）F ?∈ （2）若D F ∈，则其补集c D D F =Ω-∈； （3）若(i 1,2, )i D F ?=，则 1 i i D F ∞=∈。 F 中的元素称为Ω的F 可测集或随机事件。若C 是样本空间Ω的一个子集族，则存在一个Ω的包含C 的最小的σ代数，记为(C)σ，称为由C 生成的σ代数。由n 的所有开 集所生成的σ代数称为Borel σ代数，记为n B ，其中的元素称为 n 中的Borel 集。 定义在F 上的函数[]:0,1P F →称为可测空间(,F)Ω上的概率测度，如果它满足： （1）()1P Ω=； （2）若(i 1,2,)i A F ∈=且(i j)i j A A ?=?≠，则()11 i i i i P A P A ∞ ∞==?? = ???∑。 三元组(),F,P Ω称为概率空间。若一个概率空间的F 包含Ω的所有P 零外测集，也就是说，如果 ()(){}*:inf ,0P G P F F F G F =∈?=， 则G F ?，此概率空间称为完备的。任何一个概率空间都可以通过把其所有P 零外测集加入F 中，并重新定义概率测度来完备化。本书总假设所涉及的概率空间为完备的。 第一章 随机过程的一般理论 §1.1 随机过程的基本概念 定义1.1 设(, , )P ΩF 是概率空间，是可测空间，是指标集. 若对任何，有，且(, )E E T t T ∈:t X E Ω→t X ∈F E ，则称{}(), t X t T ω∈是(, , )P ΩF 上的取值于中的随机过程，在无混淆的情况下简称(, )E E {}(), t X t T ω∈为随机过程，称为状态空间或相空间，称中的元素为状态，称为时间域. 对每个固定的(, )E E E T ω∈Ω，称()t X ω为{}(), t X t T ω∈对应于ω的轨道或现实，对每个固定的t T ∈，称()t X ω为值随机元. 有时E ()t X ω也记为 ()()(, )t t X X X t X t ωω===. 设，T ?R {}, t t T ∈F 是F 中的一族单调增的子σ代数（σ代数流），即 ① ，且t t T ?∈??F F t F 是σ代数；② , , s t s t T s t ?∈ 1.1 某公共汽车站停放着两辆公共汽车A 和B ，从1=t 秒开始，每隔1秒有一乘客 到达车站。如果每一乘客以概率21登上A 车，以概率21 登上B 车，各乘客登哪一辆 车是相互统计独立的，并用j ξ代表j t =时乘客登上A 车的状态，即乘客登上A 车则 1=j ξ，乘客登上B 车则0=j ξ，即{}21 1==j P ξ,{} 2 10==j P ξ，当n t =时在A 车上的乘客数为 ∑==n j j n 1 ξη n η是一个二项式分布的计算过程。 （1） 求n η的概率分布，即{}； n k k P n ,,2,1,0? ===η （2） 当公共汽车A 上到达10个乘客时，A 即开车（例如21=t 时921=η，且22 =t 时又有一个乘客登上A 车，则22=t 时A 车出发），求A 车的出发时间n 的概率分布。 (1) 解：n t =时在A 车上的乘客数n η服从二项分布，即 {}{}(){}() ),,2,1,0(2101n k C P P C k P n k n k n j k j k n n =? ? ? ??=====-ξξη (2) 解： A 车的出发时间t 服从负二项分布。设在n 时刻第10位乘客登上A 车，即A 车出发时间n t =，那么在前1-n 个时刻登上A 车的乘客数为9，登上B 车的乘客数为10-n ；若设乘客登A 车概率为p (=1/2)，登B 车概率为q (=1/2)，则随机变量n t =的概率为 {}( )n n n n C p q p C n t P ? ? ? ??= = =---219110 991 其中， ,12,11,10=n 。 1.2 设有一采用脉冲调制以传递信息的简单通信系统。脉冲的重复周期为T ，每个周期传递一个值；脉冲宽度受到随机信息的调制，每个脉冲的宽度均匀分布于（0，T ）内，而且不同周期的脉宽是相互统计独立的随机统计变量；脉冲的幅度为常数A 。也就是说，这个通信系统传送的信号为随机脉宽等幅度的周期信号，它是一随机过 第一章 预备知识 随机过程通常被视为概率论的动态部分。在概率论中研究的随机现象，都是在概率空间(,,)F P Ω上的一个或有限多个随机变量的规律性。涉及中心极限定理时也不过是随机变量序列的讨论。在实际问题中，我们还需要研究一些随机现象的发展和变化过程，即随时间不断变化的随机变量，而且，所涉及的随机变量通常是无限多个（甚至有时与时间一样多，因而是不可数的）。 1.1 概率空间 概率论的一个基本概念是随机试验：其结果在事先不能确定的试验。随机试验具有三个特征： （1）可以在相同的条件下重复进行； （2）每次试验的结果不止一个，但预先知道试验的所有可能的结果； （3）每次试验前不能确定哪个结果会出现。 随机试验的所有可能结果组成的集合称为该试验的样本空间，记为Ω。Ω中的元素ω称为样本点或基本事件，Ω的子集A 称为事件。样本空间Ω称为必然事件，空集?称为不可能事件。 定义1.1：设Ω是一个样本空间，F 是Ω某些子集组成的集合族，如果满足： （1）F Ω∈； （2）若A F ∈，则\c A A F =Ω∈； （3）若n A F ∈，1,2,n = ，则 1 n n A F ∞ =∈ 。 则称F 为σ-代数。(,)F Ω称为可测空间，F 中的元素称为事件。 如果F 为σ-代数，则： （1）F ?∈；。 （2）若n A F ∈，1,2,n = ，则 1 n n A F ∞ =∈ 。 定义 1.2：设Ω= 。由所有半无限区间(,)x -∞生成的σ-代数（即包含集族 {}(,),x x -∞∈ 的最小σ-代数）称为 上的波莱尔（Borel ）σ-代数，记为()B ，其中 的元素称为波莱尔集合。类似地可定义n 上的波莱尔σ-代数()n B 。 定义1.3：假设对样本空间Ω的每一个事件A 定义了一个数()P A ，且满足以下三条公 理： 《概率论与随机过程》第一章习题 1. 写出下列随机试验的样本空间。 （1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。 （2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录 抽取的次数。 （4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 （5） 一个小组有A ，B ，C ，D ，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选 举的结果。 （6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。 （7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。 （8） [ （9） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次 品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 （10） 有A ，B ，C 三只盒子，a ，b ，c 三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察 装球的情况。 （11） 测量一汽车通过给定点的速度。 （12） 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1） A 发生，B 与C 不发生。 （2） A 与B 都发生，而C 不发生。 （3） A ，B ，C 都发生。 （4） A ，B ，C 中至少有一个发生。 （5） ] （6） A ，B ，C 都不发生。 （7） A ，B ，C 中至多于一个发生。 （8） A ，B ，C 中至多于二个发生。 （9） A ，B ，C 中至少有二个发生。 3. 设{ }10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式 （1）B A 。 （2）B A ?。 （3）B A 。 （4） BC A 。 （5）)(C B A ?。 4. 设{}20≤≤=x x S ，??????≤<=121x x A ，? ?????<≤=234 1x x B ，具体写出下列各式。 （1）B A ?。 （2）B A ?。 （3）B A 。 （4） B A 。 — 5. 设A ，B ，C 是三事件，且41)()()(===C P B P A P ，0)()(==CB P AB P ，81)(=AC P ，求A ，B ， C 至少有一个发生的概率。 6. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1） 求恰有90个次品的概率。 （2） 至少有2个次品的概率。 7.（1）在房间里有500个人，问至少有一个人的生日是10月1日的概率是多少（设一年以365天计算） 随机过程综合练习题 一、填空题（每空3分） 第一章 1．n X X X ,,21是独立同分布的随机变量，i X 的特征函数为)(t g ，则 n X X X 21的特征函数是 。 2． )(Y X E E 。 3． X 的特征函数为)(t g ，b aX Y ，则Y 的特征函数为 。 4．条件期望)(Y X E 是 的函数， （是or 不是）随机变量。 5．n X X X ,,21是独立同分布的随机变量，i X 的特征函数为)(t g i ，则 n X X X 21的特征函数是 。 6．n 维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性 。 第二章 7．宽平稳过程是指协方差函数只与 有关。 8．在独立重复试验中，若每次试验时事件A 发生的概率为)10( p p ，以)(n X 记进行到n 次试验为止A 发生的次数， 则},2,1,0),({ n n X 是 过程。 9．正交增量过程满足的条件是 。 10．正交增量过程的协方差函数 ),(t s C X 。 第三章 11． {X(t), t ≥0}为具有参数0 的齐次泊松过程，其均值函数为 ； 方差函数为 。 12．设到达某路口的绿、黑、灰色的汽车的到达率分别为1 ，2 ，3 且均为泊松过程，它们相互独立，若把这些汽车合并成单个输出过程(假定无长度、无延时)，相邻绿色汽车之间的不同到达时间间隔的概率密度是 ，汽车之间的不同到达时刻间隔的概率密度是 。 13．{X(t), t ≥0}为具有参数0 的齐次泊松过程， n s X s t X P )()( 。 ,1,0 n 14．设{X(t), t ≥0}是具有参数0 的泊松过程，泊松过程第n 次到达时间W n 的数学期望是 。 15．在保险的索赔模型中，设索赔要求以平均2次/月的速率的泊松过程到达保险公司．若每次赔付金额是均值为10000元的正态分布，求一年中保险公司的平均赔付金额 。 16．到达某汽车总站的客车数是一泊松过程，每辆客车内乘客数是一随机变量．设各客车内乘客数独立同分布，且各辆车乘客数与车辆数N(t)相互独立，则在[0，t]内到达汽车总站的乘客总数是 （复合or 非齐次）泊松过程． 17．设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2min 内到达的顾客不超过3人的概率是 ． 第四章 18． 无限制随机游动各状态的周期是 。 19．非周期正常返状态称为 。 20．设有独立重复试验序列}1,{ n X n 。以1 n X 记第n 次试验时事件A 发生，且 p X P n }1{，以0 n X 记第n 次试验时事件A 不发生，且p X P n 1}0{，若有 1,1 n X Y n k k n ，则}1,{ n Y n 是 链。 答案 一、填空题 1．)(t g n ； 2．EX ； 3．)(at g e ibt 4．;Y 是 5． n i i t g 1 )(； 6．等价 7．时间差； 8．独立增量过程； 9． 0)()()()(3412 t X t X t X t X E 10．}),(min{2 t s X 11．t t ;； 12． 000 )(11t t e t f t 00)()()(321321t t e t f t 13． t n e n t !)( 14． n 15．240000 16．复合； 17．43 71 e 第一章习题解答 1． 设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,k P X k pq k === 。求 X 的特征函数，EX 及DX 。其中01,1p q p <<=-是已知参数。 解 0 ()()jtx jtk k X k f t E e e pq ∞ === ∑ 0 ()k jtk k p q e ∞ ==∑ =0()1jt k jt k p p qe qe ∞ == -∑ 又20 ()k k k k q q E X kpq p kq p p p ∞∞ ======∑∑ 222 ()()[()]q D X E X E X P =-= （其中 0 (1)n n n n n n nx n x x ∞ ∞ ∞ ====+-∑∑∑） 令 0 ()(1)n n S x n x ∞ ==+∑ 则 1 000 ()(1)1x x n n k n x S t dt n t dt x x ∞ ∞ +=== += =-∑∑?? 20 220 1 ()()(1)11(1)1(1)x n n d S x S t dt dx x x nx x x x ∞ =∴= =-∴=-= ---?∑ 同理 2 (1)2k k k k k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞ =====+--∑∑∑∑ 令20 ()(1)k k S x k x ∞ ==+∑ 则 21 1 ()(1)(1)x k k k k k k S t dt k t dt k x kx ∞∞ ∞ +====+=+=∑∑∑?） 2、（1） 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为 1,0()0,0()0,0p p bx b x e x p x b p p x --?>? =>>Γ??≤? （2） 其期望和方差； （3） 证明对具有相同的参数的b 的Γ分布，关于参数p 具有可 加性。 解 （1）设X 服从(,)p b Γ分布，则 10 ()() p jtx p bx X b f t e x e dx p ∞ --=Γ? 1()0 ()p p jt b x b x e dx p ∞ --=Γ? 101()()()()(1) p u p p p p p b e u b u jt b x du jt p b jt b jt b ∞ ----==Γ---? 1 (())x p p e x dx ∞ --Γ= ? （2）'1()(0)X p E X f j b ∴= = 2''221(1)()(0)X p p E X f j b += = 222 ()()()P D X E X E X b ∴=== （4） 若(,)i i X p b Γ 1,2i =则 随机过程作业题及参考答案（第一章） 第一章 随机过程基本概念 P39 1. 设随机过程 X t X cos 0t ， t ，其中 0 是正常数，而 X 是标准正态 变量。试求 X t 的一维概率分布。 解： 1 当 cos 0t 0 ， 0t k ，即 t 1 k 1 （ k z ）时， 2 2 X t 0，则 P X t 1. 2 当 cos 0t 0， 0t k ，即 t 1 k 1 （ k z ）时， 2 2 X~N 0，1， E X 0，D X 1. E X t E X cos 0t E X cos 0t 0 . D X t D X cos 0t D X cos 2 0t cos 2 0t . X t ~ N 0，cos 2 0t . 1 x 2 则 f x ；t e 2cos 2 0t . 2 cos 0t 2. 利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为 cos ，出现正面 X t ，出现反面 2t 假定 “出现正面” 和“出现反面” 的概率各为 1 1 。试确定 X t 的一维分布函数 F x ； 2 2 和 F x ；1 ，以及二维分布函数 1 。 F x 1，x 2 ；，1 2 随机过程作业题及参考答案（第一章） 解： ， x 0 X 1 0 1 1 1 1 2 ， ； P Xx x 1 F x 2 2p k 1 1 2 x 1 ， 2 2 1 X 11 2 ， x 1 1 1 ； 1， 1 x 2 p k F x 1 P X 1 x 2 2 2 x 2 ， 1 随机矢量 X 1 ，X 1 的可能取值为 0， 1 ，1，2. 2 而PX 1 0，X 1 1 1 ，PX 1 1，X1 2 1 . 2 2 2 2 F x 1，x 2 1 P X 1 x 1，X 1 x 2 ；，1 2 2 ， x 1 或 1 0 x 2 1， 且 或 且 1 x 2 2 2 0 x 1 1 x 2 1 x 1 x 1 2 ， 且 1 1 x 2 3. 设随机过程 X t ， t 总共有三条样本曲线 X t ， 1 1 X t ， 2 sint ， X t ， 3 cost ， 且P 1P P 3 1 t 和相关函数 R X t 1，t 2 。 2 。试求数学期望 EX 3 随机过程综合练习题 一、填空题(每空3 分) 第一章 1．X1,X2, X n是独立同分布的随机变量，X i 的特征函数为g(t)，则 X1 X2 X n 的特征函数是。 2．E E(X Y) 。 3．X 的特征函数为g(t)，Y aX b，则Y的特征函数为。 4．条件期望E(X Y)是的函数，(是or不是)随机变量。 5．X1,X2, X n是独立同分布的随机变量，X i 的特征函数为g i(t)，则 X1 X 2 X n 的特征函数是。 6．n 维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性。 第二章 7．宽平稳过程是指协方差函数只与有关。 8．在独立重复试验中，若每次试验时事件 A 发生的概率为p(0 p 1)，以X(n)记进行到n次试验为止 A 发生的次数，则｛X(n),n 0,1,2, ｝是过程。9．正交增量过程满足的条件是。10．正交增量过程的协方差函数C X (s,t) 。 第三章 11．｛X(t), t ≥0｝为具有参数0 的齐次泊松过程，其均值函数为； 方差函数为。 12．设到达某路口的绿、黑、灰色的汽车的到达率分别为1， 2 ，3且均为泊松过程，它 们相互独立，若把这些汽车合并成单个输出过程(假定无长度、无延时)，相邻绿色汽车之间的不同到达时间间隔的概率密度是，汽车之间的不同到达时刻间隔的概率密度是。 13．｛X(t), t ≥0｝为具有参数0的齐次泊松过程， ( t)n e n! 14． n 15．240000 16．复合；17． 71 4 e P X(t s) X(s) n 14．设{X(t), t ≥0} 是具有参数0的泊松过程，泊松过程第n 次到达时间W n的数学期望 15．在保险的索赔模型中，设索赔要求以平均 2 次/月的速率的泊松过程到达保险公司．若每次赔付金额是均值为10000 元的正态分布，求一年中保险公司的平均赔付金额。16．到达某汽车总站的客车数是一泊松过程，每辆客车内乘客数是一随机变量．设各客车内乘客数独立同分布，且各辆车乘客数与车辆数N(t) 相互独立，则在[0 ，t]内到达汽车总站的乘客总数是(复合or 非齐次)泊松过程． 17．设顾客以每分钟 2 人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2min 内到达的顾客不超过 3 人的概率是． 第四章 18．无限制随机游动各状态的周期是。 19．非周期正常返状态称为。 20．设有独立重复试验序列{X n,n 1}。以X n 1记第n次试验时事件A发生，且n Y n X k,n 1，则{Y n,n 1}是链。 k1 答案 一、填空题 n 4．Y;是5．g i(t) ；6．等价 i1 7．时间差；8．独立增量过程； 9．E X(t2) X(t1) X(t4)X(t3)02 10．X2 (min{ s,t}) 11．t; t ；12．f (t)1e 1t t0 f (t) ( 1 2 3)e ( 1 2 3 )t t 0 0t00 t 0 n 0,1, P{X n 1} p ，以X n 0 记第n 次试验时事件 A 不发生，且P{ X n 0} 1p ，若有 n 1．g n (t)； 2．EX ；3．e ibt g(at) 13． 3 第一章随机过程的基本概念与基本类型一．随机变量及其分布1．随机变量，分布函数离散型随机变量的概率分布用分布列分布函数连续型随机变量的概率分布用概率密度分布函数2．n 维随机变量其联合分布函数离散型联合分布列连续型联合概率密度 3 .随机变量的数字特征 数学期望：离散型随机变量连续型随机变量 方差：反映随机变量取值的离散程度协方差（两个随机变量）： 相关系数（两个随机变量）：若，则称不相关。 独立不相关 4?特征函数离散连续 重要性质：，，， 5 ?常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差 0 — 1分布 二项分布泊松分布均匀分布略 正态分布 指数分布 6.N维正态随机变量的联合概率密度，，正定协方差阵 二.随机过程的基本概念 1.随机过程的一般定义设是概率空间，是给定的参数集，若对每个，都有一个随机变量与之对应，则称随机变量族是上的随机过程。简记为。 含义：随机过程是随机现象的变化过程，用一族随机变量才能刻画出这种随机现象的全部统计规律性。另一方面，它是某种随机实验的结果，而实验出现的样本函数是随机的。 当固定时，是随机变量。当固定时，时普通函数，称为随机过程的一个样本函数或轨道。分类：根据参数集和状态空间是否可列，分四类。也可以根据之间的概率关系分类，如独立增 量过程，马尔可夫过程，平稳过程等。 2 .随机过程的分布律和数字特征 用有限维分布函数族来刻划随机过程的统计规律性。随机过程的一维分布，二维分布，…，维分布的全体称为有限维分布函数族。随机过程的有限维分布函数族是随机过程概率特征的完整描述。在实际中，要知道随机过程的全部有限维分布函数族是不可能的，因此用某些统计特征来取代。 （1）均值函数表示随机过程在时刻的平均值。 （2）方差函数表示随机过程在时刻对均值的偏离程度。 （3）协方差函数且有 （4）相关函数（3）和（4）表示随机过程在时刻，时的线性相关程度。 (5)互相关函数：，是两个二阶距过程，则下式称为它们的互协方差函数。 ，那么，称为互相关函数。若，则称两个随机过程不相关。 3 ?复随机过程 均值函数方差函数 协方差函数相关函数 4?常用的随机过程 (1)二阶距过程：实(或复)随机过程，若对每一个，都有(二阶距存在) ，则称该随机过程为二 阶距过程。 (2)正交增量过程：设是零均值的二阶距过程，对任意的，有 ，则称该随机过程为正交增量过程。 第一章 一. 填空题 1.p（A）=0.5，p（B）=0.7，A与B相互独立，则p（AUB）= ＿ 2.若已知两点（x1,y 1）,（x2,y2）有x1 < x2, y 1 2.设X服从B(n,p),求X的特征函数g(t). 3. 设商店在一天的顾客数N服从[900,1100]上的均匀分布，又设每位顾客所花的钱Xi服从N(100,502);求商店的日销售额Z的平均值. 4. 已知随机变量X服从[0,a]上的均匀分布,且随机变量Y服从[X,a]上的均匀分布,试求: (1)E(Y｜X=a),0x a (2)E(Y)《概率论与随机过程》第1章习题
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