随机过程综合练习题
一、填空题（每空3分） 第一章
1．n X X X ,,21是独立同分布的随机变量，i X 的特征函数为)(t g ，则
n X X X 21的特征函数是 。
2．
)(Y X E E 。
3． X 的特征函数为)(t g ，b aX Y ，则Y 的特征函数为 。 4．条件期望)(Y X E 是 的函数， （是or 不是）随机变量。 5．n X X X ,,21是独立同分布的随机变量，i X 的特征函数为)(t g i ，则
n X X X 21的特征函数是 。
6．n 维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性 。
第二章
7．宽平稳过程是指协方差函数只与 有关。
8．在独立重复试验中，若每次试验时事件A 发生的概率为)10( p p ，以)(n X 记进行到n 次试验为止A 发生的次数， 则},2,1,0),({ n n X 是 过程。 9．正交增量过程满足的条件是 。 10．正交增量过程的协方差函数 ),(t s C X 。
第三章
11． {X(t), t ≥0}为具有参数0 的齐次泊松过程，其均值函数为 ； 方差函数为 。
12．设到达某路口的绿、黑、灰色的汽车的到达率分别为1 ，2 ，3 且均为泊松过程，它们相互独立，若把这些汽车合并成单个输出过程(假定无长度、无延时)，相邻绿色汽车之间的不同到达时间间隔的概率密度是 ，汽车之间的不同到达时刻间隔的概率密度是 。
13．{X(t), t ≥0}为具有参数0 的齐次泊松过程，
n s X s t X P )()( 。 ,1,0 n
14．设{X(t), t ≥0}是具有参数0 的泊松过程，泊松过程第n 次到达时间W n 的数学期望是 。
15．在保险的索赔模型中，设索赔要求以平均2次/月的速率的泊松过程到达保险公司．若每次赔付金额是均值为10000元的正态分布，求一年中保险公司的平均赔付金额 。
16．到达某汽车总站的客车数是一泊松过程，每辆客车内乘客数是一随机变量．设各客车内乘客数独立同分布，且各辆车乘客数与车辆数N(t)相互独立，则在[0，t]内到达汽车总站的乘客总数是 （复合or 非齐次）泊松过程．
17．设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2min 内到达的顾客不超过3人的概率是 ．
第四章
18． 无限制随机游动各状态的周期是 。 19．非周期正常返状态称为 。
20．设有独立重复试验序列}1,{ n X n 。以1 n X 记第n 次试验时事件A 发生，且
p X P n }1{，以0 n X 记第n 次试验时事件A 不发生，且p X P n 1}0{，若有
1,1
n X Y n
k k n ，则}1,{ n Y n 是 链。
答案 一、填空题
1．)(t g n
； 2．EX ； 3．)(at g e
ibt
4．;Y 是 5． n
i i t g 1
)(； 6．等价
7．时间差； 8．独立增量过程；
9．
0)()()()(3412 t X t X t X t X E 10．}),(min{2
t s X
11．t t ;； 12．
000
)(11t t e t f t
00)()()(321321t t e t f t
13．
t n e n t !)( 14． n 15．240000 16．复合； 17．43
71
e
18．2； 19．遍历状态； 20．齐次马尔科夫链；
二、判断题（每题2分） 第一章
1．)(t g i ),2,1(n i 是特征函数，
n
i i
t g 1)(不是特征函数。
（ ） 2．n 维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性等价。（ ） 3．任意随机变量均存在特征函数。（ ） 4．)(t g i ),2,1(n i 是特征函数，
n
i i
t g 1)(是特征函数。
（ ） 5．设 1234X ,X ,X ,X 是零均值的四维高斯分布随机变量，则有
1234123413241423()()()+()()+()()E X X X X E X X E X X E X X E X X E X X E X X （ ）
第二章
6．严平稳过程二阶矩不一定存在，因而不一定是宽平稳过程。（ ） 7．独立增量过程是马尔科夫过程。（ ） 8．维纳过程是平稳独立增量过程。（ ）
第三章
9．非齐次泊松过程是平稳独立增量过程。（ ）
第四章
10．有限状态空间不可约马氏链的状态均常返。（ ）
11．有限齐次马尔科夫链的所有非常返状态集不可能是闭集。（ ）
12．有限马尔科夫链，若有状态k 使0lim )
(
n ik n p ，则状态k 即为正常返的。（ ）
13．设S i ，若存在正整数n ，使得,0,0)
1()( n ii n ii p p 则i 非周期。（ ）
14．有限状态空间马氏链必存在常返状态。（ ） 15．i 是正常返周期的充要条件是)
(lim n ii n p
不存在。（ ）
16．平稳分布唯一存在的充要条件是：只有一个基本正常返闭集。（ ） 17．有限状态空间马氏链不一定存在常返状态。（ ） 18．i 是正常返周期的充要条件是)
(lim n ii n p
存在。（ ）
19．若i j ，则有i j d d （ ）
20．不可约马氏链或者全为常返态，或者全为非常返态．（ ）
答案 二、判断题
1．× 2．√ 3．√ 4．√ 5．√ 6．√ 7．√ 8．√ 9．×
10．√ 11．√ 12．√ 13．√ 14．√ 15．√ 16．√ 17．× 18．× 19．√ 20．√
三、大题 第一章
1．（10分）—（易）设),(~p n B X ，求X 的特征函数，并利用其求EX 。 2．（10分）—（中）利用重复抛掷硬币的试验定义一个随机过程，
t t t t X 出现反面出现正面
,
2,cos )(
出现正面和反面的概率相等，求)(t X 的一维分布函数)2/1,(x F 和)1,(x F ，)(t X 的二维分布函数)1,2/1;,(21x x F 。
3．（10分）—（易）设有随机过程0,)( t Bt A t X ，其中A 与B 是相互独立的随机变量，均服从标准正态分布，求)(t X 的一维和二维分布。
第二章
4．（10分）—（易）设随机过程X(t)=Vt+b ，t ∈(0,+∞), b 为常数，V 服从正态分布N(0，1)的随机变量，求X(t)的均值函数和相关函数。
5．（10分）—（易）已知随机过程X(t)的均值函数m x (t)和协方差函数B x (t 1, t 2)，g(t)为普通函数，令Y(t)= X(t)+ g(t)，求随机过程Y(t)的均值函数和协方差函数。
6．（10分）—（中）设}),({T t t X 是实正交增量过程， ,0)0(),,0[ X T 是一服从标准正态分布的随机变量，若对任一)(,0t X t 都与 相互独立，求
),0[,)()( t t X t Y 的协方差函数。
7．（10分）—（中）设},)({ t Yt X t Z ，若已知二维随机变量),(Y X 的协
方差矩阵为
2221 ，求)(t Z 的协方差函数。 8．（10分）—（难）设有随机过程}),({T t t X 和常数a ，试以)(t X 的相关函数表示随机过程T t t X a t X t Y ),()()(的相关函数。
第三章
9．（10分）—（易）某商店每日8时开始营业，从8时到11时平均顾客到达率线性增加．在8时顾客平均到达率为5人/时，11时到达率达到最高峰20人/时，从11时到13时，平均顾客到达率维持不变，为20人/时，从13时到17时，顾客到达率线性下降，到17时顾客到达率为12人/时。假定在不相重叠的时间间隔内到达商店的顾客数是相互独立的，问在8：30—9：30间无顾客到达商店的概率是多少？在这段时间内到达商店的顾客数学期望是多少?
10．（15分）—（难）设到达某商店的顾客组成强度为 的泊松过程，每个顾客购买商品的概率为p ，且与其它顾客是否购买商品无关，求（0，t ）内无人购买商品的概率。 11．（15分）—（难）设X 1(t) 和X 2 (t) 是分别具有参数1 和2 的相互独立的泊松过程，证明：Y(t)是具有参数21 的泊松过程。
12．（10分）—（中）设移民到某地区定居的户数是一泊松过程，平均每周有2户定居．即
2 。如果每户的人口数是随机变量，一户四人的概率为1/6，一户三人的概率为1/3，一
户两人的概率为1/3，一户一人的概率为1/6，并且每户的人口数是相互独立的，求在五周内移民到该地区人口的数学期望与方差。
13．（10分）—（难）在时间t 内向电话总机呼叫k 次的概率为 ,2,1,0,!
)(
k e k k p k
t ，
其中0 为常数．如果任意两相邻的时间间隔内的呼叫次数是相互独立的，求在时间2t 内呼叫n 次的概率)(2n P t
14．（10分）—（易）设顾客到某商场的过程是泊松过程，巳知平均每小时有30人到达，求下列事件的概率：两个顾客相继到达的时间间隔超过2 min
15．（15分）—（中）设进入中国上空流星的个数是一泊松过程，平均每年为10000个．每个流星能以陨石落于地面的概率为0.0001，求一个月内落于中国地面陨石数W 的EW 、varW 和P{W ≥2}．
16．（10分）—（易）通过某十字路口的车流是一泊松过程．设1min 内没有车辆通过的概率为0.2，求2min 内有多于一辆车通过的概率。
17．（10分）—（易）设顾客到某商场的过程是泊松过程，巳知平均每小时有30人到达，求下列事件的概率：两个顾客相继到达的时间间隔短于4 min
18．（15分）—（中）某刊物邮购部的顾客数是平均速率为6的泊松过程，订阅1年、2年或3年的概率分别为1／2、l ／3和1／6，且相互独立．设订一年时，可得1元手续费；订两年时，可得2元手续费；订三年时，可得3元手续费. 以X(t)记在[0，t]内得到的总手续费，求EX(t)与var X(t)
19．（10分）—（易）设顾客到达商场的速率为2个／min ，求 (1) 在5 min 内到达顾客数的平均值；(2) 在5min 内到达顾客数的方差；(3) 在5min 内至少有一个顾客到达的概率． 20．（10分）—（中）设某设备的使用期限为10年，在前5年内平均2.5年需要维修一次，后5年平均2年需维修一次，求在使用期限内只维修过1次的概率．
21．（15分）—（难）设X(t)和Y(t) (t ≥0)是强度分别为X 和Y 的泊松过程，证明：在X(t)的任意两个相邻事件之间的时间间隔内，Y(t) 恰好有k 个事件发生的概率为
k
Y X Y Y X X
p
。 第四章
22．（10分）—（中）已知随机游动的转移概率矩阵为
5.005.05.05.0005.05.0P
求三步转移概率矩阵P (3)及当初始分布为
1}3{,0}2{}1{000 X P X P X P
时，经三步转移后处于状态3的概率。
23．（15分）—（难）将2个红球4个白球任意地分别放入甲、乙两个盒子中，每个盒子放3个，现从每个盒子中各任取一球，交换后放回盒中(甲盒内取出的球放入乙盒中，乙盒内取出的球放入甲盒中)，以X(n)表示经过n 次交换后甲盒中红球数，则{X(n)，n ≥0}为齐次马尔可夫链，求（1）一步转移概率矩阵；（2）证明：{X(n)，n ≥0}是遍历链；（3）求
2,1,0,lim )(
j P n ij n 。
24．（10分）—（中）已知本月销售状态的初始分布和转移概率矩阵如下：
)4.0,2.0,4.0()0( T P
6.02.02.02.0
7.01.01.01.0
8.0P
求下一、二个月的销售状态分布。
25．（15分）—（难）设马尔可夫链的状态空间I ＝{1，2，…，7}，转移概率矩阵为
2.08
.0000007.03.000000003.05.02.000006.004.00
00004.06.0001.01.01.02.02.02.01.01.01.01
.00
1.02
.04.0P 求状态的分类及各常返闭集的平稳分布。
26．（15分）—（难）设河流每天的BOD(生物耗氧量)浓度为齐次马尔可夫链，状态空间I={1，2，3，4}是按BOD 浓度为极低，低、中、高分别表示的，其一步转移概率矩阵(以一天为单位)为
4.04.02.00
1.06.0
2.01.01.02.05.02.001.04.05
.0P 若BOD 浓度为高，则称河流处于污染状态。(1)证明该链是遍历链；(2)求该链的平稳分布；
(3)河流再次达到污染的平均时间4 。
27．（10分）—（易）设马尔可夫链的状态空间I ＝{0，1，2，3}，转移概率矩阵为
10004/14/14/14/1002/12/100
2/12/1P 求状态空间的分解。
28．（15分）—（难）设马尔可夫链的状态空间为I ＝{1，2，3，4}．转移概率矩阵为
2/104
/14/1003/23/100
100001P 讨论)
(1lim n i n p
29．（10分）—（易）设马尔可夫链的转移概率矩阵为
2/12/102/102/102/12/1P
求其平稳分布。
30．（15分）—（难）甲乙两人进行一种比赛，设每局比赛甲胜的概率是p ，乙胜的概率是q ，和局的概率为r ，且p+q+r=1．设每局比赛胜者记1分，负者记一1分．和局记零分。当有一人获得2分时比赛结束．以n X 表示比赛至n 局时甲获得的分数，则}1,{ n X n 是齐次马尔可夫链．
（1）写出状态空间I ；（2）求出二步转移概率矩阵； （3） 求甲已获1分时，再赛两局可以结束比赛的概率．
31．（10分）—（中）(天气预报问题) 设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关．又设今天下雨而明天也下雨的概率为 ，而今天无雨明天有雨的概率为 ，规定有雨天气为状态0，无雨天气为状态l 。因此问题是两个状态的马尔可夫链．设
4.0,7.0 ，求今天有雨且第四天仍有雨的概率．
32．（10分）—（中）设}1,{ n X n 是一个马尔可夫链，其状态空间I={a ，b ，c}，转移概率矩阵为
05/25/33/103/24/14/12/1P
求（1）}|,,,,,,{07654321c X b X c X a X c X a X c X b X P （2）}|{2b X c X P n n
33．（15分）—（难）设马尔可夫链}0,{ n X n 的状态空间I ＝{1，2，…，6}，转移概率矩阵为
2/10
2/1000000100
3/103/13/1010000100000000100P 试分解此马尔可夫链并求出各状态的周期。
答案 三、大题
1． 解：引入随机变量n i p q
X i 2,110
~
………………………………（1分） i
itX i Ee t )( p e q e it it 10 q pe it …………………………（3分）
),(~1
p n B X X n
i i …………………………（4分）
itX
Ee
t )( n
i i X it Ee
1
)
(
n
i itX i Ee 1
n it q pe )( ………………………
（6分） iEX )0( …………………………（8分）
)0( i EX
)(
t n
it q pe i
1)( t it n it i
pe q pe n i np
…………………………（10分）
2．解：依题意知硬币出现正反面的概率均为1/2
（1） 当t=1/2时，X （1/2）的分布列为2
11)2
1(0)2
1(
X P X P 其分布函数为
11
102100);21
(x x x x F …………………………（3分）
同理，当t=1时Ｘ(1)的分布列为 2
1
2)1(1)1(
X P X P 其分布函数为
2
1
2121
1
0);1(x x x x F …………………………（5分） （2） 由于在不同时刻投币是相互独立的，故在t=1/2，t=1时的联合分布列为
4
12)1(,1)21(1)1(,1)21(2)1(,0)21(1)1(,0)21(
X X P X X P X X P X X P
故联合分布函数为
211
2
112
1021102/14/1100
),;1,21
(212121212121x and x x and x or x and x x and x x or x x x F ………………………（10分） 3．解：对于任意固定的t ∈T ，X(t)是正态随机变量，故
0)()()]([ t B E A E t X E 2
2
1)()()]([t t B D A D t X D
所以X （t ）服从正态分布)1,0(2t N …………………………（3分） 其次任意固定的221121)(,)(,
,Bt A t X Bt A t X T t t
则依n 维正态随机向量的性质， )(),(21t X t X 服从二维正态分布，且
0)]([)]([21 t X E t X E 2
222
111)]([1)]([t t X D t t X D ………………（8分）
2121211)]()([))(),((t t t X t X E t X t X Cov
所以二维分布是数学期望向量为（0，0），协方差为
2221212
11111t t t t t t 的二维正态分布。 ………………………………（10分）
4．解：b Vt t X )(，)1,0(~N V ，故)(t X 服从正态分布， b b tEV b Vt E t X E )( 2
2
)(t DV t b Vt D t X D
均值函数为 b t X E t m )()( …………………………（4分） 相关函数为 b Vt b Vt E t X t EX t t R 211121)()(),(
2
21212)(b
b t t V t t V E 22
1b t
t ………………（10分）
5． 解：)()()]()([)()(t g t m t g t X E t EY t m X Y
………………………………………………（4分）
)()(),(),(212121t m t m t t R t t B Y Y Y Y
)()()()(2121t m t m t Y t EY Y Y
)]()()][()([)]()()][()([22112211t g t m t g t m t g t X t g t X E X X
)()(),(2121t m t m t t R X X X ),(21t t B X
………………………………………………（10分） 6．解：因为}),({T t t X 是实正交增量过程，故0)]([ t X E
服从标准正态分布，所以1,0 D E ………………………………………
（2分） 0)]([)]([ E t X E t Y E ………………………………………（4分）
又因为)(,0t X t 都与 相互独立
]})(][)({[)]()([)](),([ t X s X E t Y s Y E t Y s Y Cov ………………（6分） 2
])([])([)]()([ E t X E s X E t X s X E
1)](),([ t X s X Cov ………………………………………（8分） 1}),(m in{2
t s X ………………………………………（10分）
7．解：利用数学期望的性质可得，
)()()()(),(t Yt X s Ys X E t s C Y X Y X Z ……………（2分）
)()()()(t Yt X s Ys X E Y X Y X )()()(2
Y X X Y t X E X E
2
)()()(Y Y X Y Est Y s X E …………（8分）
stDY Y X Cov t s DX ),()(
2
22
1)( st t s …………………………………（10分） 8．解：
)]}()()][()({[),(221121t X a t X t X a t X E t t R Y ……………（2分）
)]()([)]()([)]()([)]()([21212121t X t X E a t X t X E t X a t X E a t X a t X E
),(),(),(),(21212121t t R a t t R t a t R a t a t R X X X X …………（10分）
9． 解：根据题意知顾客的到达率为
95)5(22053203055)(t t t t t
t …………………………（3分） 10)55()5.0()5.1(5.15
.0
dt t m m X X …………………………（6分）
10}0)5.0()5.1({ e X X P …………………………（10分）
10．解：设}0),({ t t X 表示到达商店的顾客数，i 表示第i 个顾客购物与否，即
个顾客不购物第个顾客购物
第i i i 01 则由题意知i 独立同分布．且与)(t X 独立
p P p P i i 1)0(,)1(
因此， )(1
)(t X i i
t Y
是复合泊松过程，表示（0，t ）内购买商品的顾客数，………（5分）
由题意求
}0)({t Y P
0)(1)(1)(,00k t X i i t X i i k t X P P
0)(10k i i k P k t X P ……………………（10分）
k t k k q e k t
0!)(
!)(k k t
k qt e pt qt t
e e e
…………………………
（15分） 11．证明： })()({n t Y t Y P
})()()()({2121n t X t X t X t X P })()()()({2211n t X t X t X t X P n
i i n t X t X i t X t X
P 02211
})()(,)()({ …………（5分）
n
i i n t X t X P i t X t X
P 02211
})()({})()({ ………（10分）
n
i i n i e i n e i 0
2121)!()(!)(
!
])[(21)(21n e
n
2,1,0 n
故Y(t)是具有参数21 的泊松过程 ……………………………（15分） 12. 解：设)(t N 为在时间[0，t]内的移民户数，其是强度为2的泊松过程，i Y 表示每户的人数，则在[0，t]内的移民人数
)(1
)(t N i i
Y
t X 是一个复合泊松过程。
……………………………………（2分）
i Y 是独立同分布的随机变量，其分布为
6
6
2
i i EY EY …………………………（4分） 256
15
52)5()5(1
EY EN m X …………………………（7分） 3
215
64352)5()5(21
EY DN X …………………………（10分） 13．解：以A 记时间2t 内呼叫n 次的事件，记第一时间间隔内呼叫为k H ，则)()(k P H P t k ，第二时间间隔内)()|(k n P H A P t k 成立，于是
e k n e
k k n P k P n P k
n n
k k
n k t
t
t )!
(!)()()(0
2……………………（4分）
n k k n n n
k n C n e k n k n n e 0
202!)!(!!
!
…………………………（8分）
2!
)2( e n n ………………………………………（10分） 14．解：由题意，顾客到达数N(t)是强度为 的泊松过程，则顾客到达的时间间隔}1,{ n X n 服从参数为 的指数分布，
030)(30x x e x f x
X ……………………………………（4分）
160
23030}602
{ e dx e X P x ……………………………（10分） 15．解：设)(t X 是t 年进入中国上空的流星数，)(t X 为参数10000 的齐次泊松过程
设 ,2,1,0,1 i i i Y i 个流星不落于地面第个流星落于地面第 即
0001.09999.010
~i Y 由题意知，
)(1
t X i i
Y
W 是一个复合泊松过程 …………………………………（5分）
12
1
0001.010000121)(1
EY t EX EW 12
1
0001.0110000121)(22
1
EY t VarX VarW W 是参数为1 p 的泊松过程 ……………………………………………（10分） }1{}0{1}1{1}2{ W P W P W P W P
121
1211211121012
11!1)121
(!0)121(1 e e e e ………………
（15分） 16．解： 以)(t N 表示在),0[t 内通过的车辆数，设}0),({ t t N 是泊松过程，则
,2,1,0,!
)(})({ k e k t k t N P t
k ………………………………（2分） 5ln 2.0}0)1({
e
N P ………………………………（5分）
}1)2({}0)2({1}1)2({1}1)2({ N P N P N P N P 5ln 25
2
25242122
e e
………………………（10分）
17．解：由题意，顾客到达数N(t)是强度为 的泊松过程，则顾客到达的时间间隔}1,{ n X n 服从参数为 的指数分布，
030)(30x x e x f x
X ……………………………………（4分）
2604
030130}60
4
{ e dx e X P x …………………………（10分）
18．解：设Z(t)为在[0，t]内来到的顾客数，)(t Z 为参数6 的齐次泊松过程，
i Y 是每个顾客订阅年限的概率分布，且i Y 独立同分布，
由题意知，
)(1
)(t Z i i
Y
t X 为[0，t]内得到的总手续费，是一个复合泊松过程
…………………………………（5分）
6
10
6133122111
EY
6
20
61331221122221
EY …………………………………（8分） t t EY t EZ t EX 106
10
6)()(1
t t EY t VarZ t VarX 206
20
6)()(2
1
……………………
（15分） 19．解：N (t)表示在[0，t)内到达的顾客数，显然{ N (t), t ≥0}是泊松过程，2 ，则当t=2时，N （5）服从泊松过程
,2,1,0,!
)52(})5({5
2 k e k k N P k ………………………（5分） 故10)]5([;
10)]5([ N D N E
10
1}0)5({1}1)5({ e
N P N P ………………………（10分）
20．解：因为维修次数与使用时间有关，所以该过程是非齐次泊松过程，强度函数
1052/1505.2/1)(t t t 则 5.4215.21
)()10(1055
0100
dt dt dt t ………………………（6分） 2
9
5
.42
9!1!5.4}1)0()10({ e e
N N P ………………………（10分） 21．证明：设X （t ）的两个相邻事件的时间间隔为 ，依独立性有
Y e k k t Y t Y P k Y !
)(})]()({[ ………………………（2分） 而X （t ）的不同到达时刻的概率密度函数为
others
e f X X X 0
)(
………………………（4分）
由于X （t ）是泊松过程，故Y （t ）恰好有k 个事件发生的概率为
随机过程考试试题及答案详解 1、（15分）设随机过程C t R t X +?=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均 匀分布。 （1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 【理论基础】 （1）? ∞ -= x dt t f x F )()(，则)(t f 为密度函数； （2）)(t X 为),(b a 上的均匀分布，概率密度函数?? ???<<-=其他,0,1 )(b x a a b x f ，分布函数 ?? ??? >≤≤--<=b x b x a a b a x a x x F ,1,,0)(，2)(b a x E += ，12)()(2a b x D -=； （3）参数为λ的指数分布，概率密度函数???<≥=-0,00 ,)(x x e x f x λλ，分布函数 ?? ?<≥-=-0 ,00,1)(x x e x F x λ，λ1)(=x E ，21 )(λ=x D ； （4）2 )(,)(σμ==x D x E 的正态分布，概率密度函数∞<<-∞= -- x e x f x ,21 )(2 22)(σμπ σ， 分布函数∞<<-∞= ? ∞ --- x dt e x F x t ,21)(2 22)(σμπ σ，若1,0==σμ时，其为标准正态分布。 【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。 （1）因R 为]1,0[上的均匀分布，C 为常数，故)(t X 亦为均匀分布。由R 的取值范围可知， )(t X 为],[t C C +上的均匀分布，因此其一维概率密度?? ???+≤≤=其他,0,1 )(t C x C t x f ，一维分布 函数?? ??? +>+≤≤-<=t C x t C X C t C x C x x F ,1,,0)(；
理论力学期末考试试题 1-1、自重为P=100kN的T字形钢架ABD,置于铅垂面内，载荷如图所示。其中转矩M=，拉力F=400kN,分布力q=20kN/m,长度l=1m。试求固定端A的约束力。 解：取T型刚架为受力对象，画受力图. 1-2 如图所示，飞机机翼上安装一台发动机，作用在机翼OA上的气动力按梯形分布： q=60kN/m，2q=40kN/m，机翼重1p=45kN，发动机重2p=20kN，发动机螺旋桨的反作用力1 偶矩M=。求机翼处于平衡状态时，机翼根部固定端O所受的力。 解：
1-3图示构件由直角弯杆EBD以及直杆AB组成，不计各杆自重，已知q=10kN/m，F=50kN，M=，各尺寸如图。求固定端A处及支座C的约束力。
1-4 已知：如图所示结构，a, M=Fa, F F F, 求：A，D处约束力. 12 解： 1-5、平面桁架受力如图所示。ABC为等边三角形，且AD=DB。求杆CD的内力。
1-6、如图所示的平面桁架，A端采用铰链约束，B端采用滚动支座约束，各杆件长度为1m。在节点E和G上分别作用载荷 F=10kN，G F=7 kN。试计算杆1、2和3的内力。 E 解：
2-1 图示空间力系由6根桁架构成。在节点A上作用力F，此力在矩形ABDC平面内，且与铅直线成45o角。ΔEAK=ΔFBM。等腰三角形EAK，FBM和NDB在顶点A，B和D处均为直角，。若F=10kN，求各杆的内力。 又EC=CK=FD=DM
2-2 杆系由铰链连接，位于正方形的边和对角线上，如图所示。在节点D沿对角线LD方向作用力D F。在节点C沿CH边铅直向下作用力F。如铰链B，L和H是固定的，杆重不计，求各杆的内力。
1、设随机过程C t R t X +?=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均匀分布。 （1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 2、设{ }∞<<∞-t t W ),(是参数为2 σ的维纳过程，)4,1(~N R 是正态分布随机变量； 且对任意的∞<<∞-t ，)(t W 与R 均独立。令R t W t X +=)()(，求随机过程 {}∞<<∞-t t X ),(的均值函数、相关函数和协方差函数。 3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即180=λ；且每个 顾客的消费额是服从参数为s 的指数分布。求一天内（8个小时）商场营业额的数学期望与方差。 4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为： ??? ? ? ??=3.007.08.02.0007.03.0P （1）求两步转移概率矩阵) 2(P 及当初始分布为 0}3{}2{,1}1{000======X P X P X P 时，经两步转移后处于状态2的概率。 （2）求马尔可夫链的平稳分布。 5设马尔可夫链的状态空间}5,4,3,2,1{=I ，转移概率矩阵为： ??? ??? ? ? ? ?=010007.03.0000 0001 00004.06.0003.04 .03.0P
求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。 6、设{}(),0N t t ≥是参数为λ的泊松过程，计算[]()()E N t N t s +。 7、考虑一个从底层启动上升的电梯。以i N 记在i 第层进入电梯的人数。假定i N 相互独立，且i N 是均值为i λ的泊松变量。在第i 层进入的各个人相互独立地以概率ij p 在第j 层离开电梯， 1ij j i p >=∑。令j O ＝在第j 层离开电梯的人数。 （1）计算()j E O （2）j O 的分布是什么 （3）j O 与k O 的联合分布是什么 8、一质点在1，2，3点上作随机游动。若在时刻t 质点位于这三个点之一，则在),[h t t +内， 它都以概率 )(h o h +分别转移到其它两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微分方程，转移概率)(t p j i 及平稳分布。 1有随机过程{ξ(t )，-∞ 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- A 卷 第 1页 蚌埠学院2013—2014学年第一学期 《理论力学Ⅱ》期末考试试题（A ） 注意事项：1、适用班级：2012级土木工程班、2012级水利水电班、2012级车辆工 程班 2、本试卷共2页。满分100分。 3、考试时间120分钟。 4、考试方式：“闭卷” 一、判断题（每小题2分，共20分） （ ）1．作用在一个刚体上的任意两个力成平衡的必要与充分条件是：两个力的作用线 相同，大小相等，方向相反。 （ ）2．已知质点的质量和作用于质点的力，质点的运动规律就完全确定。 （ ）3．质点系中各质点都处于静止时，质点系的动量为零。于是可知如果质点系的动 量为零，则质点系中各质点必都静止。 （ ）4．刚体在3个力的作用下平衡，这3个力不一定在同一个平面内。 （ ）5．用解析法求平面汇交力系的平衡问题时，所建立的坐标系x ，y 轴一定要相互 垂直。 （ ）6．一空间任意力系，若各力的作用线均平行于某一固定平面，则其独立的平衡方 程最多只有3个。 （ ）7．刚体的平移运动一定不是刚体的平面运动。 （ ）8．说到角速度，角加速度，可以对点而言。 （ ）9．两自由运动质点，其微分方程完全相同，但其运动规律不一定相同。 （ ）10．质点系总动量的方向就是质点系所受外力主矢的方向。 二、选择题（每小题2分，共10分） 1．若平面力系对一点A 的主矩等于零，则此力系 。 A.不可能合成为一个力 B.不可能合成为一个力偶 C.一定平衡 D.可能合成为一个力偶，也可能平衡 2．刚体在四个力的作用下处于平衡，若其中三个力的作用线汇交于一点，则第四个力的作用线 。 A.一定通过汇交点 B.不一定通过汇交点 C.一定不通过汇交点 D.可能通过汇交点，也可能不通过汇交点 3．加减平衡力系公理适用于 。 A.变形体 B.刚体 C.刚体系统 D.任何物体或物体系统 4．在点的复合运动中，牵连速度是指 。 A.动系原点的速度 B.动系上观察者的速度 C.动系上与动点瞬时相重合的那一点的速度 D.动系质心的速度 5．设有质量相等的两物体A 和B ，在同一段时间内，A 作水平移动，B 作铅直移动，则 两物体的重力在这段时间里的冲量 。 A.不同 B.相同 C.A 物体重力的冲量大 D.B 物体重力的冲量大 三、计算题（每小题14分，共70分） 1．质量为 100kg 的球，用绳悬挂在墙壁上如图所示。平衡时绳与墙壁间夹角为 30°，求墙壁反力和绳的张力 2．某三角拱，左右两个半拱在C 由铰链连接，约束和载荷如图所示，如果忽略拱的重量，求支座A 和B 的约束反力。 装 订 线 内 不 要 答 题 随机过程习题解答（一） 第一讲作业： 1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。 （a）分别写出随机变量和的分布密度 （b）试问：与是否独立？说明理由。 解：（a） （b）由于： 因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为： 因此与独立。 2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。 （a）试求和的相关系数； （b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。 解：（a）利用的独立性，由计算有： （b）当的时候，和线性相关，即 3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为 ，且是一个周期为T的函数，即，试求方差 函数。 解：由定义，有： 4、考察两个谐波随机信号和，其中： 式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。 （a）求的均值、方差和相关函数； （b）若与独立，求与Y的互相关函数。 解：（a） （b） 第二讲作业： P33/2．解： 其中为整数，为脉宽 从而有一维分布密度： P33/3．解：由周期性及三角关系，有： 反函数，因此有一维分布： P35/4. 解：(1) 其中 由题意可知，的联合概率密度为： 利用变换：，及雅克比行列式： 我们有的联合分布密度为： 因此有： 且V和相互独立独立。 （2）典型样本函数是一条正弦曲线。 （3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且 所以。 （4）由于： 所以因此 当时， 当时， 由（1）中的结论，有： P36/7．证明： (1) (2) 由协方差函数的定义，有： P37/10. 解：（1） 当i =j 时；否则 令 ，则有 第三讲作业： P111/7．解： （1）是齐次马氏链。经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。 （2）由题意，我们有一步转移矩阵： P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有： （2）由齐次马氏链的性质，有： （2） 北京邮电大学2012——2013学年第1学期 《概率论与随机过程》期末考试试题答案 考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号! 一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分） 1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A （A ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; （B ）若A A B ∈?A,,则B ∈A ; （C ）若12n A n =∈?A,,,,则 1 n n A ∞=∈A ; （D ）若12n A n =∈?A,,,,且123A A A ??? ,则 1 n n A ∞ =∈A . 2. 设(),ΩF 为一可测空间，P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是 .c （A ）若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-； （B ）若12n A n =∈?F,,,,,且123A A A ??? ，则1 li ( )()m n n n n P A A P ∞→∞ ==； （C ）若A B C ∈∈∈F,F,F,，则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++； （D ）若12n A n =∈?F,,,,,且,i j A i j A =??=/，1 1 ( )()n n n n P P A A ∞ ∞===∑. 3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数，表达式为100 0()k A k f kI ω==∑，其中1000 ,, i j n n i j A A A ==??=Ω/=，则fdP Ω=? ； 工程力学（Ⅱ）期终考试卷（A ） 专业 姓名 学号 题号 一 二 三 四 五 六 总分 题分 25 15 15 20 10 15 100 得分 一、填空题（每题5分，共25分） 1. 杆AB 绕A 轴以=5t （ 以rad 计，t 以s 计） 的规律转动，其上一小环M 将杆AB 和半径为 R （以m 计）的固定大圆环连在一起，若以O 1 为原点，逆时针为正向，则用自然法 表示的点M 的运动方程为_Rt R s 102 π+= 。 2. 平面机构如图所示。已知AB //O 1O 2，且 AB =O 1O 2=L ，AO 1=BO 2=r ，ABCD 是矩形板， AD =BC =b ，AO 1杆以匀角速度绕O 1轴转动， 则矩形板重心C '点的速度和加速度的大小分别 为v ＝_ r _，a ＝_ r 。 并在图上标出它们的方向。 3. 两全同的三棱柱，倾角为，静止地置于 光滑的水平地面上，将质量相等的圆盘与滑块分 别置于两三棱柱斜面上的A 处，皆从静止释放， 且圆盘为纯滚动，都由三棱柱的A 处运动到B 处， 则此两种情况下两个三棱柱的水平位移 ___相等；_____（填写相等或不相等）， 因为_两个系统在水平方向质心位置守恒 。 4. 已知偏心轮为均质圆盘，质心在C 点，质量 为m ，半径为R ，偏心距2 R OC =。转动的角速度为， 角加速度为 ，若将惯性力系向O 点简化，则惯性 力系的主矢为_____ me ，me 2 ；____； 惯性力系的主矩为__2 )2(22α e R m +__。各矢量应在图中标出。 5.质量为m 的物块，用二根刚性系数分别为k 1和k 2 的弹簧连接，不计阻尼，则系统的固有频率 为_______________，若物体受到干扰力F =H sin （ωt ） 的作用，则系统受迫振动的频率为______________ 在____________条件下，系统将发生共振。 二、计算题（本题15分） 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 求（1）{}X(t),t (,)∈-∞+∞的样本函数集合；（2）一维分布函数F(x;0),F(x;1)。 解：（1）样本函数集合为{}cos t,t ,t (-,+)π∈∞∞； （2）当t=0时，{}{}1 P X(0)=0P X(0)=12 == ， 故0x<01F(x;0)=0x<12x 11???≤??≥??；同理0 x<-11F(x;1)=1x<12x 11 ??? -≤??≥?? 3.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。又设今天下雨而明天也下雨的概率为α，而今天无雨明天有雨的概率为β；规定有雨天气为状态0，无雨天气为状态1。设 0.7,0.4αβ==，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。 解：由题设条件，得一步转移概率矩阵为00 011011p p 0.70.3P=p p 0.40.6???? =? ???? ???，于是(2) 0.610.39P PP=0.520.48??=????，四步转移概率矩阵为(4)(2)(2) 0.57490.4251P P P 0.56680.4332??==???? ，从而得到今天有雨且第四天仍有雨的概率为(4) 00P 0.5749=。 4.一质点在1,2,3三个点上作随机游动，1和3是两个反射壁，当质点处于2时，下一时刻处于1,2,3是等可能的。写出一步转移概率矩阵，判断此链是否具有遍历性，若有，求出极限分布。 解：一步转移概率矩阵010111P=333010????? ????? ?? ， 111333 (2)271 199911133 3,????==?????? P P (2)ij p 由>0知，此链有遍历性；(),,ππππ123设极限分布=， 1 1 北京工业大学2009-20010学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试卷一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平）？050.=α解：这是单个正态总体),(~2σμN X ，方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题，用T 检验法. 解 85:0=μH ，85:1≠μH 选统计量 n s x T /0μ-=已知80=x ，8=s ，n ＝28，850=μ，计算得n s x T /0μ-=31.328/88580=-=查t 分布表，05.0=α，自由度27，临界值.052.2)27(025.0=t 由于，故拒绝0H ，即在显著水平05.0=α下不能认为该班的英语 052.2>T 2622.2>成绩为85分.二、某图书馆每分钟借出的图书数有如下记录:借出图书数 k 0 1 2 3 4 5 6≥7频数 f 8 16 17 10 6 2 1 0试检验每分钟内借出的图书数是否服从泊松分布? （取显著性水平） 050.=α解：由极大似然估计得.2?==x λ在X 服从泊松分布的假设下，X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。则有估计 }{k X P ==i p ? ,7,0,!2}{?2===-k k e k X P k =0?p 三、某公司在为期10年内的年利润表如下： 年份 1 2 3 4 5 6 7 8910利润 1.89 2.19 2.06 2.31 2.26 2.39 2.61 2.58 2.82 2.9 通过管线敷设技术，不仅可以解决有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机 理论力学 期末考试试题 A 卷 1-1、自重为P=100kN 的T 字形钢架ABD,置于铅垂面内，载荷如图所示。其中转矩M=20kN.m ，拉力F=400kN,分布力q=20kN/m,长度l=1m 。试求固定端A 的约束力。 解：取T 型刚架为受力对象，画受力图. 1-2 如图所示，飞机机翼上安装一台发动机，作用在机翼OA 上的气动力按梯形分布： 1q =60kN/m ，2q =40kN/m ，机翼重1p =45kN ，发动机重2p =20kN ，发动机螺旋桨的反作 用力偶矩M=18kN.m 。求机翼处于平衡状态时，机翼根部固定端O 所受的力。 解： 1-3图示构件由直角弯杆EBD以及直杆AB组成，不计各杆自重，已知q=10kN/m，F=50kN，M=6kN.m，各尺寸如图。求固定端A处及支座C的约束力。 1-4 已知：如图所示结构，a, M=Fa, 12F F F ==, 求：A ，D 处约束力. 解： 1-5、平面桁架受力如图所示。ABC 为等边三角形，且AD=DB 。求杆CD 的内力。 1-6、如图所示的平面桁架，A 端采用铰链约束，B 端采用滚动支座约束，各杆件长度为1m 。在节点E 和G 上分别作用载荷E F =10kN ，G F =7 kN 。试计算杆1、2和3的内力。 解： 2-1 图示空间力系由6根桁架构成。在节点A上作用力F，此力在矩形ABDC平面内，且与铅直线成45o角。ΔEAK=ΔFBM。等腰三角形EAK，FBM和NDB在顶点A，B和D处均为直角，又EC=CK=FD=DM。若F=10kN，求各杆的内力。 一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为： 试求:在时,求。 解： 当时，＝ ＝ 1.2 设离散型随机变量X服从几何分布： 试求的特征函数，并以此求其期望与方差。解： 所以： 2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个 任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t ?????=时取得白球如果对时取得红球 如果对t e t t t X t 3)( .维分布函数族试求这个随机过程的一 2.2 设随机过程 ，其中 是常数，与是 相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概 率密度为 试证明为宽平稳过程。 解：（1） 与无关 （2） ， 所以 （3） 只与时间间隔有关，所以 为宽平稳过程。 2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E .321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（ 2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且 数。试求它们的互协方差函 2.5， 试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立 为多少？ 3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分 钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲） 解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。以小时为单位。 则((1))30E N =。 40 30 (30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。 3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求（1）1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；（2）当1N =2N ，1λ=2λ时，计算上述概率。 解： 法一：（1）乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为1λ、2λ的poisson 过程，令它们为1()N t 、2()N t 。1 N T 表示1()N t =1N 的发生时 刻，2 N T 表示2()N t =2N 的发生时刻。 1 11 1111111()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 2 22 1222222()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 一．填空题（每空2分，共20分） 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为it (e -1) e λ。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- ！ 第一章 随机过程基本概念 P39 1. 设随机过程()0cos X t X t ω=，t -∞<<+∞，其中0ω是正常数，而X 是标准正态变量。试求()X t 的一维概率分布。 解： 1 当0cos 0t ω=，02 t k π ωπ=+ ，即0112t k πω??= + ??? （k z ∈）时， ()0X t ≡，则(){}01P X t ==. 2 当0cos 0t ω≠，02 t k π ωπ≠+ ，即0112t k πω?? ≠ + ??? （k z ∈）时， ()~01X N ，，()0E X ∴=，()1D X =. ￥ ()[]()00cos cos 0E X t E X t E X t ωω===????. ()[]()22 000cos cos cos D X t D X t D X t t ωωω===????. ()()20~0cos X t N t ω∴，. 则( )2202cos x t f x t ω- = ；. 2. 利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为 ()cos 2t X t t π?=??，出现正面，出现反面 假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为 12。试确定()X t 的一维分布函数12F x ?? ???；和()1F x ；，以及二维分布函数12112 F x x ? ? ?? ? ，；， 。 】 解： 00 11101222 11 北京工业大学2009-20010学年第一学期期末 数理统计与随机过程(研) 课程试卷 学号 姓名 成绩 注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。 考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛 骤等编第三版（或第二版）高等教育出版社。可以看笔记、作业，但不允许看其它任何打印或复印的资料。考试时允许使用计算器。考试时间120分钟。考试日期：2009年12月31日 一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平050.=α）？ 解：这是单个正态总体 ),(~2σμN X ，方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题，用T 检验法. 解 85:0=μH ，85:1≠μH 选统计量 n s x T /0 μ-= 已知80=x ，8=s ，n ＝28，850=μ， 计算得n s x T /0μ-= 31 .328/885 80=-= 查t 分布表，05.0=α，自由度27，临界值052.2)27(025.0=t . 由于052.2>T 2622.2>，故拒绝 0H ，即在显著水平05.0=α下不能认为 该班的英语成绩为85分. 050.= 解：由极大似然估计得.2?==x λ 在X 服从泊松分布的假设下，X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。 则}{k X P =有估计 =i p ?ΛΛ,7,0, !2}{?2 ===-k k e k X P k =0?p 1、 已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为mx 和my ，它们的自 相关函数分别为Rx()和Ry()。（1）求Z(t)=X(t)Y(t)的自相关函数；（2）求Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数。 答案： （1）[][])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z ττττ++=+= [][] ) ()()()()()()()()(τττττy x z R R t y t y E t x t x E R t y t x =++== ：独立的性质和利用 （2）[]()()[])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z +?+++=+=ττττ [])()()()()()()()(t y t y t x t y t y t x t x t x E ττττ+++++++= 仍然利用x(t)和y(t)互相独立的性质：)(2)()(τττy y x x z R m m R R ++= 2、 一个RC 低通滤波电路如下图所示。假定输入是均值为0、双边功率谱密度函数为n 0/2 的高斯白噪声。（1）求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数；（2）求输出信号的一维概率密度函数。 答案： （1） 该系统的系统函数为RCs s X s Y s H +==11)()()( 则频率响应为Ω +=ΩjRC j H 11)( 而输入信号x(t)的功率谱密度函数为2 )(0n j P X =Ω 该系统是一个线性移不变系统，所以输出y(t)的功率谱密度函数为： ()2 20212/)()()(Ω+=ΩΩ=ΩRC n j H j P j P X Y 对)(Ωj P Y 求傅里叶反变换，就得到输出的自相关函数： ()??∞ ∞-Ω∞ ∞-ΩΩΩ+=ΩΩ=d e RC n d e j P R j j Y Y ττππτ22012/21)(21)( R C 电压：y(t) 电压：x(t) 电流：i(t) 2016随机过程（A ）解答 1、（15分）设随机过程V t U t X +?=)(，),0(∞∈t ，U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量。 1) 求)(t X 的一维概率密度函数； 2) 求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 3) 求)(t X 的二维概率密度函数； 解： 由于U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量，所以V t U t X +?=)(也服从正态分布， 且： {}{}{}{}()()22m t E X t E U t V t E U E V t ==?+=?+=+ {}{}{}{}22()()99D t D X t D U t V t D U D V t ==?+=+=+ 故： (1) )(t X 的一维概率密度函数为：()2 22218(1) (),x t t t f x e x --- += -∞≤≤∞ (2) )(t X 的均值函数为：()22m t t =+；相关函数为： {}{} (,)()()()()R s t E X s X t E U s V U t V =?=?+??+ {}{}{} 22()13()413 st E U s t E U V E V st s t =?++??+=?++?+ 协方差函数为：(,)(,)()()99B s t R s t m s m t st =-?=+ （3）相关系数： (,)s t ρρ== == )(t X 的二维概率密度函数为： 2212222(22)(22)12(1)9(1)4(1),12(,)x s x t s t s t f x x e ρ????-----?? +????-++???????? = 2、（12分）某商店8时开始营业，在8时顾客平均到达率为每小时4人，在12时顾客的 平均到达率线性增长到最高峰每小时80人，从12时到15时顾客平均到达率维持不变为每小时80人。问在10:00—14:00之间无顾客到达商店的概率是多少？在10:00—14:00之间到达商店顾客数的数学期望和方差是多少？ 解： 到达商店顾客数服从非齐次泊松过程。 将8时至15时平移到0—7时，则顾客的到达速率函数为： 419,04 ()80,47t t t t λ+≤≤?=? <≤? 在10:00—14:00之间到达商店顾客数(6)(2)X X -服从泊松分布，其均值： 6 4 6 2 2 4 (6)(2)()(419)80282m m t dt t dt dt λ-==++=??? D 《理论力学》期末考试试题A 卷 一、选择题（本题共12分，每小题3分，请将答案的序号填入括号） 1. 物块重P ，与水面的摩擦角o 20m ?=，其上作用一力Q ，且已知P =Q ，方向如图，则物块的状态为（ C ）。 A 滑动状态 B 临界平衡状态 C 静止(非临界平衡)状态 D 不能确定 2. 一个平面任意力系加一个平行于此平面力系所在平面的平行力系组成的空间力系的独立平衡方程数目为（ B ）。 A 3个 B 4个 C 5个 D 6个 3. 图示偏心轮顶杆机构中，轮心为C ，ω=常量。选杆端A 为动点，在C 点固连平移系（动系）， 则牵连速度和牵连加速度的方向分别为（ B ）。 A 垂直于AO ，沿AO 方向 B 垂直于CO ，沿CO 方向 C 沿AO 方向，垂直于AO D A 点切线方向，沿AC 方向 4、正方形薄板由铰链支座A 支承，并由挡板B 限制，使AB 边呈铅垂位置，如图所示。若将挡板B 突然撤去，则在该瞬时支座A 的反力的铅垂分量的大小将（ C ）。 A 不变 B 变大 C 变小 D 无法确定 二、填空题（本题共26分，请将答案填入括号） 1（本小题4分）. 如图所示，沿长方体不相交且不平行的棱上作用三个大小等于F 的力。问棱长a ，b ，c 满足（ 0c b a --= ）关系时，该力系能简化为一个力。 2（本小题4分）. 正方形板ABCD 以匀角速度ω绕固定轴z 转动，点1M 和点2M 分别沿对角线BD 和边线CD 运动，在图示位置时相对板的速度分别为1v 和1v ，则点1M 和点2M 科氏加速度大小分别为（ 12v ω ）和（ 0 ）。 y x z O c b a 3 F 2 F 1 F 随机过程复习题 一、填空题： 1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。 2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t ， ，则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-??= ===e X X X P , 618}4)3(|6)5({-===e X X P 15 32 62 32 92! 23!2)23(!23}2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({} 2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----??=???==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 66 218! 26}2)3()5({}4)3(|6)5({--===-===e e X X P X X P 3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为),,(4 1 2141， ?????? ?? ????????? ?=434 103 13131043 411)(P ，则167)2(12=P ，161}2,2,1{210====X X X P ???????? ?????? ????=48 31481348 436133616367 164167165)1()2(2P P 16 7 )2(12=P 16 1 314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ， )]()([)(π?δπ?δπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ，若)()()(ττX R t X t X >=+<，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(2 42 ++=ωωωωS ，则)(t X 的均方值= 2 121- 222 2221 1221)2(22211122)(+??-+??=+-+= ωωωωωS ττ τ-- -=e e R X 2 12 1)(2随机过程试题带答案
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