拓扑空间、开集、闭集、闭包、聚点、邻域
吉首大学数理统计学院点集拓扑学教学计划
第一章拓扑空间和拓扑不变量
数学分析中连续函数的定义和和域是欧几里德空间(直线、平面或空间)或其一部分。本章将首先抽象连续函数的定义域和值域的主要特征来定义度量空间，然后抽象连续函数的主要特征来定义度量空间的连续映射。然后将两者再次抽象，给出了拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射。然后是拓扑空间的一些基本问题，如邻域、开集、闭集、闭包、聚集点、导集、内部、边界、序列、极限等。都是一步步提出来的。此外，还介绍了重要的拓扑不变性，如紧性、连通性、可数性和可分性
1.1拓扑空间，开集，闭集，聚集点，闭包，邻域
一、问题介绍
在数学分析中，我们知道在连续函数的定义中只涉及距离的概念。该域是一维欧几里德空间，即实空间。距离d(x，y)=|x-y|，即两个实数之差的绝对值。该域是n维欧几里德空间。两点x=(x1，x2，？，xn)，Y=(y1，y2，？，yn) d(x，y)= 1
(x1？y1)2？…+(xn？yn)2 .
无论它是多维空间，它的距离都有以下属性:
1.d(x，y)≥0，？x，y∈R；
2.d(x，y) = 0？x = y。
3.d(x，y) = d(y，x)？x，y∈R；
4.d(x，z) ≤ d(x，y) + d(y，z)，？x，y，z∈R；这些属性反映了距离的特征。
通过将R推广到一般集合，我们可以从距离中抽象出度量和度量空间的定义。
Nnnn (1)度量空间
1.定义
定义1设X是一个集合，ρ: x x x → r，如果对于任何X，y，z∈X，有①(正定性)ρ(x，y)≥0且ρ (x，y) = 0？x = y。(2)(对称性)ρ (x，y) = ρ (y，x)；
(3)(三角形不等式)ρ (x，z) ≤ρ (x，y)+ρ (y，z)在集合x中称为ρ a测度。1
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如果ρ是集合x中的度量，那么偶对(x，ρ)是度量空间，或者直径x 是度量空间。ρ(x，y)叫做从x点到y点的距离。
2.度量空间的例子2.1.1实数空间R
对于一组实数，ρ: r× r → r定义如下:x，y∈R，设ρ(x，y)=|x-y|，很容易知道ρ是R的度量，所以(R，ρ)是一个度量空间。
显然，度量空间是实数空间的推广，度量是距离的推广。
示例2.1.1 n维欧洲空间r
对于实数集R的n重笛卡儿积，R=R×R×？X r，定义为ρ: r x r → r 如下:对于任意两点x=(x1，x2，？，xn)，Y=(y1，y2，？，yn) ∈R，设ρ(x，y)= 1
nnnnnn？(xi？1ni？yi)2，
N可以证明ρ是R的度量，偶对(R，ρ)被称为N维欧氏空间。有时
直径r被称为n维欧氏空间。当n=2时，R2常被称为欧几里得平面或平面。
例2.1.2希尔伯特空间h
记住，H是一组平方收敛的实数序列，也就是说，H={ x=(x1，x2，？，xn) | xi ∈R，i∈Z+，
？xi？1？2h→R如下:对于任何x=(x1，x2，？什么？？}，定义ρ: h x ？xn)，Y=(y1，y2，？，yn) ∈H，设ρ(x，y)= 1
？？(xi？1i？易)2 .这个定义的合理性和检验
证书？(xi？12岁？y)ii？？并验证ρ是H的度量，参见P49附录。因此(H，ρ)
这是一个度量空间，叫做希尔伯特空间。
示例2.1.3离散度量空间
设(X，ρ)是一个度量空间，(X，ρ)是一个离散的度量空间或ρ是一
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对于每个离散测度，每个x∈X是否有一个实数？x？0表示ρ(x，y)>？对于任何y∈X，y ≠ x成立。
例如，让X是一个集合，定义ρ: x x x → r，这样对于任何X，y∈X，都有
？(x，y)？？离散的。
思考问题
？0如果x？很容易知道ρ是X的离散度量，度量空间(X，ρ)是
1如果x？y。例2.1.5使X= C ([a，b]) = {f: [a，b]→R |f在[a，b]上连续，对于任何f，g ∈C ([a，b])，使d(f，g)= 1
？|f(x)-g(x)|dx，d是C ([a，b)的度量吗？
Ab(答案:d是C的度量([a，b)，所以(C ([a，b)，d)是度量空间)
3.邻域，开放集
(1)度量空间的球面邻域及其基本性质
定义2。设(X，ρ)是一个度量空间，x∈X，对于任何ε>0，
B(x，ε)={y∈X |ρ(x，y)定理1.0.1度量空间(X，ρ)的球面邻域具有以下性质:①每个点x∈X至少有一个邻域，X属于每个邻域；
(2)对于点x∈X的任意两个球面邻域，都包含一个球面邻域；
(3)如果y∈X属于X的球面邻域，则y具有包含在X的球面邻域中的球面邻域
证明:？？
⑵度量空间的开集及其基本性质
定义3。让x是一个度量空间，a？x，如果呢？a。杜。？？0，使B(a，ε)
？那么a是x的开集。
根据定理2.1.1，x的球面邻域是开集。
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例2.1.7实数空间R中的开区间都是开集，而半开半闭区间和闭区间不是开集。两个开放区间的并集也是一个开放集。
可见，度量空间的开集是实空间开集的推广。定理1.0.2度量空间X 的开集具有以下性质:①集X本身和空集ф都是开集；(2)任意两个开集的交集都是开集；(3)任何开集族都不是开集。证书？？
推导出U是度量空间开集的充要条件，U是该空间中几个球面邻域的并。
⑶度量空间中点X的球面邻域的扩展
定义4。设X是一个度量空间，x∈X，U？x，如果有一个开集V，那么x∈V？u是x的邻域。
注:根据定义，开集V是每个点的邻域，但邻域不一定是开集。例如，[0，2]是1的邻域，但它不是开集。
定理1.0.3让X是一个度量空间，x∈X，U？那么u是x的邻域？救援
在B(x，ε)？美国.
证明:？？
这个定理为邻域提供了一个等价的陈述。
演绎x是一个度量空间，u？那么u是x的开集？u是其中每个点的邻域。
根据定义2.1.3和定理2.1.3的证明。
(2)度量空间之间的连续映射
定义5设x和y是两个度量空间，f: x → y和x0 ∈x。如果对于f (x0)的任何球面邻域b (f (x0)，ε)，存在x0的某个球面邻域B(x0，δ)，使得f (B(x0，δ))？B(f(x0)，ε)，那么映射f在x0是连续的。
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如果映射f在x的每一点都是连续的，那么f就是一个连续函数。显然，这个定义是数学分析中连续函数定义的一个纯粹形式上的扩展。定理1.0.4如果x和y是两个度量空间，f: x → y，那么
(1) F在x0处是连续的？f (x0)的每个邻域的原始图像是x0的邻域；
(2) f是连续的？y中每个开集的原始图像是x中的开集。
证据:①”？”如果f在点x0是连续的，让u是f (x0)的邻域。根据第2.1.3节，有B(f(x0)，ε)？因为f在点x0处是连续的，所以存在B(x0，δ)，使得f (B(x0，δ))而f-1 [b (f (x0，ε)]？F-1(U)和B(x0，δ)？f-1 [B(f(x0)，ε)]，？B(f(x0)，ε)，
那么B(x0，δ)呢？F-1(U)，意思是f-1(U)是x0的邻域。
“？假设f (x0)的每个邻域的原始图像是x0的一个邻域，并给出f (x0)的任意邻域b (f (x0)，ε)，则f-1 [B(f(x0)，ε)]是x0的一个邻域，并且根据TH2.1.3，x0有一个球面邻域B(x0，δ)？F-1·[B(f(x0)，ε)]，那么f·[B(x0，δ)]？B(f(x0)，ε)，所以f在x0是连续的。
②”？”设f是连续的，因此V是y中的开集，U= f-1(V)。因为v是开集，v是f(x)的邻域。因为f在每个点x上是连续的，u是x的邻域，从上面的推论，u是开集。
“？设y中每个开集的原像是x中的开集，并证明f在x ∈x的任何一点都是连续的。设u是f(x)的邻域，也就是说，有一个开集V，使得f(x) ∈V？那么x ∈f-1(V)呢？F-1(U)，因为条件f-1(V)是x中的
开集，所以f-1(U)是x的邻域，那么(1)中的必要条件成立。所以f在点x ∈x处是连续的。因为x的任意性，f是连续的映射。
5
6.空间数据检查与拓扑处理 实验内容： 一、林业小班拓扑的建立与检查 创建拓扑的流程图 1.创建地理数据库 在ArcCatalog树中，右键单击“6.实验指导\Data”文件夹，单击新建“文件地理数据库”，输入所建的地理数据库名称“Forest.gdb”，在新建的地理数据库上右键选择新建中的要素数据集。在打开的新要素数据集对话框中，将数据集命名为Topology，导入数据集匹配坐标系统“竹园_林班.shp”。 2.向数据集中导入数据 在ArcCatalog树中，右键单击Data文件夹中的Topology数据集，单击导入，选择要素类（多个），导入“竹园_林班.shp”、“竹园_小班.shp”。 3.创建拓扑 （1）在ArcCatalog树中，右键单击Topology要素数据集，选择拓扑，打开新建拓扑对话框，设置名称和拓扑容差（拓扑容差应该根
据数据精度而尽量小，它决定着在多大范围内要素能被捕捉到一起），在下一步参与创建拓扑的要素类对话框中选择参与创建拓扑的要素类（至少两个）。继续在下一步拓扑等级数目对话框中设置等级的数目及拓扑中每个要素类的等级，这里登记相同设为1.下一步，设置拓扑规则。这里设置“竹园_小班.shp”必须被包含在““竹园_林班.shp”中，“竹园_小班.shp”自身不能重叠。单击OK，返回上级对话框，打开参数信息总结框，检查无误后，单击完成按钮，拓扑创建成功。出现一对话框，询问是立即进行拓扑检验，创建的拓扑出现在Catalog 树中，单击是按钮，出现进程条，进程结束时，拓扑检验完毕，创建的拓扑出现在Catalog中。 4.查找拓扑错误 打开ArcMap，将Topology添加到ArcMap中，查看拓扑错误，如下图所示：
《点集拓扑》复习题 一、概念叙述 1、拓扑空间 2、邻域、邻域系 3、集合A 的凝聚点 4、闭包 5、基 子基 6、子空间 7、（有限）积空间 8、隔离子集 9、连通集 10、连通集 11、连通分支 12、局部连通空间 13、1A 空间 14、2A 空间 15、可分空间 16、Lindeloff 空间 17、i T 空间（1,2,3,4i =） 18、正则空间 19、正规空间 20、紧致空间 21、可数紧空间 22、列紧空间 23、序列紧空间 24、局部紧空间 二、判断题 1、有限集不可能有聚点 （ ） 2、拓扑空间X 的子集A 是闭集的充要条件是A A = （ ） 3、如果A B ?≠?，则A B A B ?=? （ ） 4、设Y 是拓扑空间X 的子空间，A 是Y 的子集，则A 在Y 中的导集是A 在X 中的导集与Y 的交。 （ ） ５、若:f X Y →是同胚映射，则()f X Y = （ ） ６、离散空间中任意子集的导集都是空集 （ ） ７、拓扑空间中每个连通分支都是既开集又是闭集 （ ） ８、度量空间必是2A 空间 （ ） ９、在l R 中，(],a b 是开集 （ ） １０、映射:f X Y →是连续映射的?若拓扑空间Ｘ中序列{}i x 收敛于 x X ∈，则扑拓空间Ｙ中相应序列(){}i f x 收敛于()f x （ ） １１、设Ｘ为拓扑空间，Ｃ为连通分支，Ｙ是Ｘ的一个连通子集，则Y C ? （ ） １２、2A 空间必为可分空间 （ ） １３、正则且正规空间必为0T 空间 （ ） １４、紧致空间的闭子集必为它的紧致子集 （ ） １５、设Ｘ是一个拓扑空间，A X ?，则点x 是集合Ａ的一个凝聚点 ?在{}A x -中有一个序列收敛于x （ ） １６、度量空间也是拓扑空间 （ ） １７、如果一个空间中有每个单点集都是闭集，那么这个空间必是离散空间 （ ） １８、拓扑空间X 是一个连通空间当且仅当X 中不存在既开又闭的非空真子集. ( ) 19、若拓扑空间中的子集A 是连通集，则它的闭包A 也是一个连通集。
arcgis常见拓扑错误修改步骤 1，首先打开catalog 在一目录文件夹下新建一个 geodatabase 2，在gepdatabase下新建dataset，然后导入要进行拓扑关系检查的数据3，新建topology 加入拓扑规则，全部的拓扑规则在下面附1 4，在arcmap中打开建立的拓扑，对常见的几种进行如下附图修改 拓扑修改之前先打开editor 然后打开editor下面的more editing tools 选择topology 一、面不能相互重叠（must not overlap） 修改方法有以下几种： 1、可以直接修改要素节点去除重叠部分。 2、在错误上右键选择merge，将重叠部分合并到其中一个面里。
二、面不能有缝隙(must not have gaps) 1、可以直接修改要素节点去除重叠部分。
2、在错误上右键选择create feature，将缝隙部分生成一个新的要素，然后利用editor 下的merge把生成的面合并到相邻的一个面里。 3、task里选择auto-complete polygon，用草图工具自动完成多边形，会在缝隙区域自动生成两个多边形，然后用merge合并到相邻面里。
附1 1.must not overlay：单要素类，多边形要素相互不能重叠 2.must not have gaps：单要素类，连续连接的多边形区域中间不能有空白区（非数据区） 3.contains point：多边形＋点，多边形要素类的每个要素的边界以内必须包含点层中至少一个点 4.boundary must be covered by：多边形＋线，多边形层的边界与线层重叠（线层可以有非重叠的更多要素） 5.must be covered by feature class of：多边形＋多边形，第一个多边形层必须被第二个完全覆盖（省与全国的关系） 6.must be covered by：多边形＋多边形，第一个多边形层必须把第二个完全覆盖（全国与省的关系） 7.must not overlay with：多边形＋多边形，两个多边形层的多边形不能存在一对相互覆盖的要素 8.must cover each other：多边形＋多边形，两个多边形的要素必须完全重叠 9.area boundary must be covered by boundary of：多边形＋多边形，第一个多边形的各要素必须为第二个的一个或几个多边形完全覆盖 10.must be properly inside polygons：点＋多边形，点层的要素必须全部在多边形内 11.must be covered by boundary of：点＋多边形，点必须在多边形的边界上 线topology 1.must not have dangle：线，不能有悬挂节点 2.must not have pseudo-node：线，不能有伪节点 3.must not overlay：线，不能有线重合（不同要素间）
§3.3商空间 本节重点:掌握商空间、商拓扑、商映射的定义． 将一条橡皮筋的两个端点“粘合”起来，我们便得到了一个像皮圈；将一块正方形的橡皮块一对对边上的点按同样的方向两两‘粘合”起来，我们便得到了一个橡皮管，再将这个橡皮管两端的两个圆圈上的点按同样的方向两两“粘合”起来，我们又得到了一个橡皮轮胎……这种从一个给定的图形构造出一个新图形的办法可以一般化． 我们在第一章中讨论过等价关系和商集的概念．所谓商集乃是在一个集合中给定了一个等价关系之后将相对于这个等价关系而言的等价类所构成的集合，通俗地说便是分别将每一个等价类中的所有的点“粘合”为一个点后得到的集合．在定义1.5.6中我们也曾说起过在一个集合X中给定了一个等价关系R之后，从集合X到商集X/R有一个自然的投射p：X→X/R，它是一个满射．注意到了这一点，下面引出商拓扑和商空间的概念的方式便显得顺理成章了． 定义3.3.1设（X，T）是一个拓扑空间，Y是一个集合，f:X→Y是一个满射．容易验证(请自行验证)Y的子集族． 是Y的一个拓扑．我们称为Y的（相对于满射f而言的）商拓扑． 容易直接验证在上述定义的条件下，Y的一个拓扑是Y的商拓扑当且仅当在拓扑空间（Y，）中FY是一个闭集的充分必要条件是（F）是X中的一个闭集． 定理3.3.1且设（X，T）是一个拓扑空间，Y是一个集合，f:X→Y是一个满射．则 （1）如果是Y的商拓扑，则f:X→Y是一个连续映射； （2）如果是Y的一个拓扑，使得对于这个拓扑而言映射f是连续的，则这也就是说商拓扑是使映射f连续的最大的拓扑． 证明（1）根据定义自明． （2）如果U∈，由于满射f对于Y的拓扑而言连续，故因此U∈．这证明． 定义3.3.2设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y．我们称映射f为一个商映射，如果它是一个满射并且Y的拓扑是对于映射f而言的商拓扑． 根据定理3.3.1可见商映射是连续的．下面的这个定理告诉我们如何利用商映射来验证一类映射的连续性． 定理3.3.2设X，Y和Z都是拓扑空间，且f:X→Y是一个商映射．则映射g：Y→Z连续当且仅当映射gof:X→Z连续． 证明由于商映射f连续，故当g连续时gf连续． 另一方面，设gf连续，若W∈，则．然而 所以根据商拓扑的定义．这便证明了g连续． 为了应用定理3.3.2，如何知道一个拓扑空间的拓扑是相对于从另一个拓扑空间到它的一个满射而言的商拓扑便成了一个有意思的问题．我们在这里只给出一个简单的必要条件．为此先陈述开映射和闭映射的定义． 定义3.3.3设X和Y是两个拓扑空间．映射f: X→Y称为一个开映射（闭映射），如果对于X中的任何一个开集（闭集）U，象集f(U)是Y中的一个开集（闭集）．定理3.3.3设X和Y是两个拓扑空间．如果映射f: X→Y是一个连续的满射，并且是一个开映射（闭映射），则Y的拓扑便是相对于满射f而言的商拓扑． 证明我们证明当f是开映射的情形．设Y中的使f连续的拓扑为,商拓扑为 如果V∈，由于映射f连续，，因此V∈．并且．
空间数据的拓扑关系 1、空间数据的拓扑关系 地理信息系统同其它一些事务信息处理系统如银行管理系统,图书检索系统的主要区别在于地理信息系统中具有大量几何目标信息。这些几何目标信息还包含两类信息,一类就是目标本身的位置信息;另一类就是地物间的空间关系信息。如果忽略几何目标间的空间关系信息,那么从数据结构的角度瞧,地理信息系统的数据结构就可以设计成通常事务信息处理系统的形式。也就就是说,由于地理信息系统必须同时考虑几何目标的空间关系、地物位置信息及特征信息,致使地理信息系统的数据结构比较复杂。为了研究几何目标的空间关系,在此引入拓扑关系的概念。 2、拓扑的基本概念 几何信息与拓扑关系就是地理信息系统中描述地理要素的空间位置与空间关系的不可缺少的基本信息。其中几何信息主要涉及几何目标的坐标位置、方向、角度、距离与面积等信息,它通常用解析几何的方法来分析。而空间关系信息主要涉及几何关系的“相连”、“相邻”、“包含”等信息,它通常用拓扑关系或拓扑结构的方法来分析。拓扑关系就是明确定义空间关系的一种数学方法。在地理信息系统中用它来描述并确定空间的点、线、面之间关系及属性,并可实现相关的查询与检索。从拓扑观点出发,关心的就是空间的点、线、面之间的联接关系,而不管实际图形的几何形状。因此,几何形状相差很大的图形,它们的拓扑结构却可能相同。 图3-4(a)(b)所表示的图,其几何形状不同,但它们结点间拓扑关系就 是相同的,均可用图3-4(c)所示结点邻接矩阵表示。(c)中交点为1处表示相应纵横两结点相连。
同样,图3-5(a)(b)所表示的图,其几何形状完全不同,但各面块之间的拓扑邻接关系完全相同,如图3-5(c)邻接矩阵所示,(c)中交点为1处表示相应的两个面相邻。 总之,拓扑关系反映了空间实体之间的逻辑关系,它不需要坐标、距离信息,不受比例尺限制,也不随投影关系变化。因此,在地理信息系统中,了解拓扑关系对空间数据的组织,空间数据的分析与处理都具有非常重要的意义。 3.空间数据的拓扑关系 空间数据拓扑关系的表示方法主要有下述几种: 一、拓扑关联性 拓扑关联性表示空间图形中不同类型元素,如结点、弧段及多边形之间的拓扑关系。如图3-6(a)所示的图形,具有多边形与弧段之间的关联性 P1/a1,a5,a6;P2/a2,a4,a6等,如图3-6(b)所示。也有弧段与结点之间的关联性,N1/a1,a3,a5,N2/a1,a6,a2等。即从图形的拓扑关联性出发,图3-6(a)可用如图3-6(b),(c)所示的关联表来表示。 用关联表来表示图的优点就是每条弧段所包含的坐标数据点只需存储一次,如果不考虑它们之间关联性而以每个多边形的全部封闭弧段的坐标点来存储数据,不仅数据量大,还无法反映空间关系。
空间数据的拓扑关系
空间数据的拓扑关系 1.空间数据的拓扑关系 地理信息系统同其它一些事务信息处理系统如银行管理系统，图书检索系统的主要区别在于地理信息系统中具有大量几何目标信息。这些几何目标信息还包含两类信息，一类是目标本身的位置信息；另一类是地物间的空间关系信息。如果忽略几何目标间的空间关系信息，那么从数据结构的角度看，地理信息系统的数据结构就可以设计成通常事务信息处理系统的形式。也就是说，由于地理信息系统必须同时考虑几何目标的空间关系、地物位置信息及特征信息，致使地理信息系统的数据结构比较复杂。为了研究几何目标的空间关系，在此引入拓扑关系的概念。 2. 拓扑的基本概念 几何信息和拓扑关系是地理信息系统中描述地理要素的空间位置和空间关系的不可缺少的基本信息。其中几何信息主要涉及几何目标的坐标位置、方向、角度、距离和面积等信息，它通常用解析几何的方法来分析。而空间关系信息主要涉及几何关系的“相连”、“相邻”、“包含”等信息，它通常用拓扑关系或拓扑结构的方法来分析。拓扑关系是明确定义空间关系的一种数学方法。在地理信息系统中用它来描述并确定空间的点、线、面之间关系及属性，并可实现相关的查询和检索。从拓扑观点出发，关心的是空间的点、线、面之间的联接关系，而不管实际图形的几何形状。因此，几何形状相差很大的图形，它们的拓扑结构却可能相同。
图3-4(a)(b)所表示的图，其几何形状不同，但它们结点间拓扑关系是相同的，均可用图3-4(c)所示结点邻接矩阵表示。(c)中交点为1处表示相应纵横两结点相连。 同样，图3-5(a)(b)所表示的图，其几何形状完全不同，但各面块之间的拓扑邻接关系完全相同，如图3-5(c)邻接矩阵所示，(c)中交点为1处表示相应的两个面相邻。
§2.4 导集，闭集，闭包 本节重点： 熟练掌握凝聚点、导集、闭集、闭包的概念； 区别一个点属于导集或闭包的概念上的不同； 掌握一个点属于导集或闭集或闭包的充要条件； 掌握用“闭集”叙述的连续映射的充要条件． 如果在一个拓扑空间中给定了一个子集，那么拓扑空间中的每一个点相对于这个子集而言“处境”各自不同，因此可以对它们进行分类处理． 定义 2.4.1设X是一个拓扑空间，A X．如果点x∈X的每一个邻域U中都
有A中异于x的点，即U∩（A-{x}）≠，则称点x是集合A的一个凝聚点或极限点．集合A的所有凝聚点构成的集合称为A的导集，记作d（A）．如果x∈A并且x不是A的凝聚点，即存在x的一个邻 域U使得U∩（A-{x}）＝，则称x为A 的一个孤立点． 即:(牢记)
在上述定义之中，凝聚点、导集、以及孤立点的定义无一例外地都依赖于它所在的拓扑空间的那个给定的拓扑．因此，当你在讨论问题时涉及了多个拓扑而又谈到某个凝聚点时，你必须明确你所谈的凝聚点是相对于哪个拓扑而言，不容许产生任何混淆．由于我们将要定义的许多概念绝大多数都是依赖于给定拓扑的，因此类似于这里谈到的问题今后几乎时时都会发生，我们不每次都作类似的注释，而请读者自己留心． 某些读者可能已经在诸如欧氏空间中接触过刚刚定义的这些概念，但绝不要以为对欧氏空间有效的性质，例如欧氏空间中凝聚点的性质，对一般的拓扑空间都有效．以下两个例子可以帮助读者澄清某些不正确的潜在印象． 例2.4.1 离散空间中集合的凝聚点和导集． 设X是一个离散空间，A是X中的一个任意子集．由于X中的每一个单点集都是开集，因此如果x∈X，则X有一个邻域{x}，使得
ArcGIS拓扑检查、按位置选择、空间连接教程 第一部分：拓扑检查，确保数据没有重叠或交叉 1、dwg数据导入arcmap，此处以“顶层结构层.dwg”为例。 若是出现“位置的空间参考”不用管他，确定就好。 2、将导入的dwg数据转为CAD要素数据集：选中dwg中的“顶 层结构层.dwg Polygon”右键--用转换CAD要素数据集功能， 输出数据库可以自己建一个文件地理数据库专门存放相关文件。
这里输入CAD数据集不用填因为系统已经输入好了。只需要改文件 路径和名称就好了。 这是成果图展示。 3、在你存放的数据库里找到输出的CAD要素集，右键-新建-拓扑， 对照下图。
图中红色部分就是输出的CAD要素集，选中它右键—新建—拓扑。 这里拓扑名称不用改，在选择要参与到拓扑中的要素中选择polygon1.
等级数不用填，下一步到添加规则，如图确定再下一步。 新建拓扑完成后验证拓扑，这时候是不会显示拓扑错误的，需要将新建的拓扑添加到arcmap中才会显示出来。如下图：
可以直接在目录中选中拓扑，然后拉到中间。 如果是要在arcmap中找错误然后在CAD中改图层的话，对照这个在CAD中找到对应的图层改即可。若是想要在arcmap中改正这个错误，可以放大有错的部分如图。编辑器—开始编辑 双击错误处delete或者调整边界。
4、若是出现以下错误： 在拓扑引擎内检测到故障[error id:255]时，只需 要打开编辑器—开始编辑。然后放大图层，验证当前范围内的拓扑，如果还是拓扑验证失败就再放大图层，直到成功验证拓扑。
！！！！！！！！！！！！ 第3章子空间（有限）,积空间，商空间在这一章中我们介绍通过已知的拓扑空间构造新的拓扑空间的三种惯用的办法．为了避免过早涉及某些逻辑上的难点，在§3.2中我们只讨论有限个拓扑空间的积空间，而将一般情形的研究留待以后去作． §3.1子空间 本节重点：掌握度量子空间、拓扑空间子空间的概念，子空间的拓扑与大空间拓扑之间的关系以及子空间的闭集、邻域、基、导集、闭包与大空间相应子集之间的关系及表示法． 讨论拓扑空间的子空间目的在于对于拓扑空间中的一个给定的子集，按某种“自然的方式”赋予它一个拓扑使之成为一个拓扑空间，以便将它作为一个独立的对象进行考察．所谓“自然的方式”应当是什么样的方式？为回答这个问题，我们还是先从度量空间做起，以便得到必要的启发． 考虑一个度量空间和它的一个子集．欲将这个子集看作一个度量空间，必须要为它的每一对点规定距离．由于这个子集中的每一对点也是度量空间中的一对点，因而把它们作为子集中的点的距离就规定为它们作为度量空间中的点的距离当然是十分自然的．我们把上述想法归纳成定义： 定义3.1.1 设（X，ρ）是一个度量空间，Y是X的一个子集.因此，Y×Y X×X．显然：Y×Y→R是Y的一个度量（请自行验证）．我们称Y的度量，是由X的度量ρ诱导出来的度量.度量空间（Y，ρ）称为度量空间（X，ρ）的一个度量子空间．
我们常说度量空间Y是度量空间X的一个度量子空间，意思就是指Y是X的一个子集，并且Y的度量是由X的度量诱导出来的．我们还常将一个度量空间的任何一个子集自动地认作一个度量子空间而不另行说明．例如我们经常讨论的：实数空间R中的各种区间（a，b），[a，b]，（a，b]等；n＋1维欧氏空间 中的 n维单位球面: n维单位开、闭球体: 以及n维单位开、闭方体和等等，并且它们也自然被认作是拓扑空间（考虑相应的度量诱导出来的拓扑）． 定理3.1.1 设Y是度量空间X的一个度量子空间．则Y的子集U是Y中的一个开集当且仅当存在一个X中的开集V使得U＝V∩Y． 证明由于现在涉及两个度量空间，我们时时要小心可能产生的概念混淆．对于x∈X（y∈Y），临时记度量空间X（Y）中以x（y）为中心以ε＞0为 半径的球形邻域为，. 首先指出：有=∩Y. 这是因为z∈X属于当且仅当z∈Y且(z,y)<ε. 现在设U∈，由于Y的所有球形邻域构成的族是Y的拓扑的一个基，U可以表示为Y中的一族球形邻域，设为A的并．于是
1 路网数据预处理（拓扑检查非常重要） 一、路网数据预处理 利用arcgis 进行路网预处理，具体流程如下： 1.在路网相交处打断：Editor-->More Editing tool-->Advanced editing 弹出Advanced editing 工具条，选择palanirilize line 工具 2.在地理数据库中新建Dataset ，导入import 打断后的线，建立NetworkDataset ，生成junction ，具体如下： 在dataset 中右键，选择New->NetworkDataset 变生成节点，如图 3.拓扑检查：生成的junction 以及打断后的线导入dataset 中，建立topology ，并进行拓扑检查 在进行点与线的拓扑检查时需要注意以下问题（深刻的经验教训）： (1) 拓扑检查时的cluster parameter （聚集参数）足够要合适（进行拓扑 检查，一般设置0.5米范围内悬挂点作为相交点处理，1秒代表30米） ；
2 cluster tolerance 设置为：一般设置为小数点后6位，即在原有数的基础上去掉两个零； (2) 要进行点与线的多次拓扑检查：拓扑检查条件要设置严格，不仅点要被线的端点压盖，而且线的端点要被点压盖或者再设置其他拓扑条件（教训），至少要设置这两个条件； 拓扑规则设置窗口如下： (3) 拓扑检查之后，原来不相交的线（两者由于手工操作原因，不相交，比 如相距1米，而此时进行拓扑检查后使其交于一点，但在此交点处线并没有打断）可能相交，需要再次将线打断处理，以构建正确拓扑（教训） 拓扑检查操作流程如下： startEditing –error inspector 检查错误，error inspector 操作界面如下 4.如果线只是相交自动打断，即没有间隔，从表面上看是相连的一条（其实是两条），可以用 Arctoolbox 里的工具 DataManagement
ARCGIS 拓扑检查步骤与修正拓扑错误技巧 将数据装载如个人地理数据库,用拓扑功能自动检查数据错误 启动ArcCatlalog; 任意选择一个本地目录,"右键"->"新建"->"创建个人personal GeoDatabase";选择刚才创建的GeoDatabase,"右键"->"新建"->"数据集dataset";设置数据集的坐标系统,如果不能确定就选择您要进行分析的数据的坐标系统; 选择刚才创建的数据集,"右键"->"导入要素类inport --feature class single",导入您要进行拓扑分析的数据; 选择刚才创建的数据集,"右键"->"新建"->"拓扑",创建拓扑,根据提示创建拓扑,添加拓扑处理规则;进行拓扑分析。 最后在arcmap中打开由拓扑规则产生的文件,利用topolopy工具条中错误记录信息进行修改将数据集导入ARCMAP中,点击edit按钮进行编辑。 打开eidt下拉菜单,选择more editing tools－－topology出现拓扑编辑工具栏。选择要拓扑的数据,点击打开error inspector按钮。 在error inspector对话框中点击search now,找出所有拓扑的错误。 对线状错误进行Mark as Exception。 对polygon错误逐个检查,首先选择错误的小班,点击右键选择zoom to,然后点击merge,选择合适的图班进行merge处理,这样不会丢失小班信息。 另一个说法: 用catalog建一个个人地理数据库,new一个featuredataset 把要修改错误的shp文件导入到featuredataset下面 然后右键点featuredataset,new一个topoloy数据层,点击下一步,勾选刚才导入的shp层,下一步,添加拓扑检查规则,这一步很重要,您要显示断线,没接上的线,
练习（第二章）参考答案： 一.判断题（每小题2分） 1. 集合X的一个拓扑有不只一个基，一个基也可以生成若干个拓扑（X ） 2. 拓扑空间中任两点的距离是无意义的.（V ） 3. 实数集合中的开集，只能是开区间，或若干个开区间的并.（X ） 4. 「、T2是X的两个拓扑，则T i UT是一个拓扑.（X ） 5. 平庸空间中任一个序列均收敛，且收敛于任一个点。（V ） 6. 从（X, T i）至U（X, T2）的恒同映射必是连续的。（X ） 7. 从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射（V ） 8. 设T i,T2是集合X的两个拓扑，则「T2不一定是集合X的拓扑（X ） 9. 从拓扑空间X到平庸空间丫的任何映射都是连续映射（V ） 10. 设A为离散拓扑空间X的任意子集，则d A （V ） 11. 设A为平庸空间X （X多于一点）的一个单点集，则d A （X ） 12. 设A为平庸空间X的任何一个多于两点的子集，则d A X （V ） 二.填空题：（每空格3分） 1、X二Z+,T二{ZZ …乙…},其中 乙={n,n+1,n+2, -}, 贝S包含3的所有开集为Z1,Z2,Z s 包含3的所有闭集为乙,Z4,Z5,Z6,...
包含3的所有邻域为Z1,Z2,Z3,{1} Z3 设A二{1,2,3,4,5} 则 A 的导集为{1,2,3,4} , A 的闭包为{1,2,3,4,5}
2、设X为度量空间,x € X,则d ({x} ) =_ 3、在实数空间R中，有理数集Q的导集是_____ R ____ . 4、x d(A)当且仅当对于x的每一邻域U有 _______________ ; _______ 答案：U (A {x}) 5、设A是有限补空间X中的一个无限子集，则d(A)= _____ — A= ； 答案：X ；X 6、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则d(A)= ______ — A= ; 答案：X ；X 7、设X {1,2,3} , X 的拓扑T {X, ,{2},{2,3}},则X 的子集 A {1,2}的内部 为____________ ；_______ 答案：{2}
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 空间数据拓扑关系的自动生成 空间数据拓扑关系的自动生成冯文钊拓扑空间关系是一种对空间结构进行明确定义的数学方法，具有拓扑关系的矢量数据结构就是拓扑数据结构。 矢量数据拓扑关系在空间数据的查询和分析过程中非常重要，拓扑数据结构是地理信息系统分析和应用功能所必需的，它描述了基本空间目标点、线、面之间的关联、邻接和包含关系。 拓扑空间关系信息是空间分析、辅助决策的等的基础，也是GIS区别于 CAD（计算机辅助设计）等的主要标志。 拓扑空间关系的自动建立算法是 GIS 中的关键和难点算法之一，国内外对该问题一直在进行研究。 而且，由于拓扑关系自动生成与维护的复杂性， GIS 学术界研究人员针对 GIS 是否需要拓扑关系，问题是以一种什么样的方式来进行拓扑空间关系表达。 对于拓扑关系的自动建立问题，研究的焦点是如何提高算法与过程的效率和自动化程度，本章将讲述其实现的基本步骤和要点。 拓扑关系自动生成算法的一般过程为： 1．弧段处理，使整幅图形中的所有弧段，除在端点处相交外，没有其他交点，即没有相交或自相交的弧段。 2．结点匹配，建立结点、弧段关系。 3．建立多边形，以左转算法或右转算法跟踪，生成多边形， 1 / 18
建立多边形与弧段的拓扑关系。 4．建立多边形与多边形的拓扑关系。 5．调整弧段的左右多边形标识号。 6．多边形内部标识号的自动生成。 事实上，拓扑关系的生成过程中还涉及到许多工作，例如弧 段两端角度的计算、悬挂结点和悬线的标识、多边形面积计算、点 在多边性内外的判别等。 第一节拓扑关系的计算机表达一、拓扑结点结点用来描述 如管线的交点、道路路口等现实世界的特征对象，结点可以用来检 测弧段与弧段的连接关系和多边形特征是否能正确地完成。 只与一条弧段相连接的起点或终点叫做悬挂结点。 如图 1 所示 P 点就是悬挂结点： 图 1 结点一般包括： 结点号、结点坐标、与该结点连接的弧段集合，结点的数据 结构可以表示如下： class Node { private: long _ID; //结点号 Point * _Point; //指向 结点坐标的指针 P（悬挂结点） vectorArcPoint * ArcCollection ; //与该结点相联接的弧段集合指//针 public: Node() {}; //构造函数 ~Node() {}; //析构函数 other Method; //其他公共操作 } 二、拓扑弧段
空间数据的拓扑关系 1.空间数据的拓扑关系 地理信息系统同其它一些事务信息处理系统如银行管理系统，图书检索系统的主要区别在于地理信息系统中具有大量几何目标信息。这些几何目标信息还包含两类信息，一类是目标本身的位置信息；另一类是地物间的空间关系信息。如果忽略几何目标间的空间关系信息，那么从数据结构的角度看，地理信息系统的数据结构就可以设计成通常事务信息处理系统的形式。也就是说，由于地理信息系统必须同时考虑几何目标的空间关系、地物位置信息及特征信息，致使地理信息系统的数据结构比较复杂。为了研究几何目标的空间关系，在此引入拓扑关系的概念。 2. 拓扑的基本概念 几何信息和拓扑关系是地理信息系统中描述地理要素的空间位置和空间关系的不可缺少的基本信息。其中几何信息主要涉及几何目标的坐标位置、方向、角度、距离和面积等信息，它通常用解析几何的方法来分析。而空间关系信息主要涉及几何关系的“相连”、“相邻”、“包含”等信息，它通常用拓扑关系或拓扑结构的方法来分析。拓扑关系是明确定义空间关系的一种数学方法。在地理信息系统中用它来描述并确定空间的点、线、面之间关系及属性，并可实现相关的查询和检索。从拓扑观点出发，关心的是空间的点、线、面之间的联接关系，而不管实际图形的几何形状。因此，几何形状相差很大的图形，它们的拓扑结构却可能相同。
图3-4(a)(b)所表示的图，其几何形状不同，但它们结点间拓扑关系是相同的，均可用图3-4(c)所示结点邻接矩阵表示。(c)中交点为1处表示相应纵横两结点相连。 同样，图3-5(a)(b)所表示的图，其几何形状完全不同，但各面块之间的拓扑邻接关系完全相同，如图3-5(c)邻接矩阵所示，(c)中交点为1处表示相应的两个面相邻。
第一章拓扑空间与拓扑不变量 数学分析中的连续函数的定义与和值域都是欧氏空间（直线、平面或空间）或是其中的一部分。本章将首先把连续函数的定义域和值域的主要特征抽象出来用以定义度量空间，将连续函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间的连续映射。然后将两者再度抽象，给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射。随后逐步提出拓扑空间的一些基本问题如邻域、开集、闭集、闭包、聚点、导集、内部、边界、序列、极限等。进一步引入紧致性、连通性、可数性与分离性等重要的拓扑不变性 §1.1拓扑空间、开集、闭集、聚点、闭包、邻域 一、问题的引入 数学分析里我们知道，在连续函数的定义中只涉及距离这个概念，定义域是一维欧氏空间,即实数空间，两点之间的距离d(x,y)=|x-y|,即两两实数之差的绝对值,定义域是n维欧氏空间，两点x=(x1 ,x2,…，x n),Y=(y1,y2,…，y n) 之间的距离 d(x,y)= 。 无论是几维空间，它的距离都有下面的性质： 1. d(x,y)≥0 , ?x,y∈n R; 2. d(x,y) = 0 ?x = y ; 3. d(x,y) = d(y,x) ?x,y∈n R; 4. d(x,z) ≤d(x,y) + d(y,z) , ?x,y,z∈n R; 这些性质反映了距离的特征。 将n R推广为一般的集合，我们由距离可以抽象出度量以及度量空间的定义。（一）度量空间 1.定义 定义1 设X是一个集合，ρ：X×X→R ,如果对于任何x,y,z∈X,有 ①（正定性）ρ（x,y）≥0 并且ρ (x,y) = 0 ?x = y ； ②（对称性）ρ (x,y) = ρ (y,x) ； ③（三角不等式）ρ (x,z) ≤ρ (x,y) + ρ (y,z) 则称ρ是集合X中的一个度量。
空间数据拓扑关系的自动生成 冯文钊 拓扑空间关系是一种对空间结构进行明确定义的数学方法，具有拓扑关系的矢量数据结构就是拓扑数据结构。矢量数据拓扑关系在空间数据的查询和分析过程中非常重要，拓扑数据结构是地理信息系统分析和应用功能所必需的，它描述了基本空间目标点、线、面之间的关联、邻接和包含关系。拓扑空间关系信息是空间分析、辅助决策的等的基础，也是GIS 区别于CAD（计算机辅助设计）等的主要标志。拓扑空间关系的自动建立算法是GIS中的关键和难点算法之一，国内外对该问题一直在进行研究。而且，由于拓扑关系自动生成与维护的复杂性，GIS学术界研究人员针对GIS是否需要拓扑关系，问题是以一种什么样的方式来进行拓扑空间关系表达。对于拓扑关系的自动建立问题，研究的焦点是如何提高算法与过程的效率和自动化程度，本章将讲述其实现的基本步骤和要点。 拓扑关系自动生成算法的一般过程为： 1．弧段处理，使整幅图形中的所有弧段，除在端点处相交外，没有其他交点，即没有相交或自相交的弧段。 2．结点匹配，建立结点、弧段关系。 3．建立多边形，以左转算法或右转算法跟踪，生成多边形，建立多边形与弧段的拓扑关系。 4．建立多边形与多边形的拓扑关系。 5．调整弧段的左右多边形标识号。 6．多边形内部标识号的自动生成。 事实上，拓扑关系的生成过程中还涉及到许多工作，例如弧段两端角度的计算、悬挂结点和悬线的标识、多边形面积计算、点在多边性内外的判别等。 第一节拓扑关系的计算机表达 一、拓扑结点 结点用来描述如管线的交点、道路路口等现实世界的特征对象，结点可以用来检测弧段与弧段的连接关系和多边形特征是否能正确地完成。只与一条弧段相连接的起点或终点叫做悬挂结点。如图1所示P点就是悬挂结点： 图1 结点一般包括：结点号、结点坐标、与该结点连接的弧段集合，结点的数据结构可以表示如下： class Node { private: long _ID; //结点号 Point * _Point; //指向结点坐标的指针
第3章子空间（有限）,积空间，商空间在这一章中我们介绍通过已知的拓扑空间构造新的拓扑空间的三种惯用的办法．为了避免过早涉及某些逻辑上的难点，在§3.2中我们只讨论有限个拓扑空间的积空间，而将一般情形的研究留待以后去作． §3.1子空间 本节重点：掌握度量子空间、拓扑空间子空间的概念，子空间的拓扑与大空间拓扑之间的关系以及子空间的闭集、邻域、基、导集、闭包与大空间相应子集之间的关系及表示法． 讨论拓扑空间的子空间目的在于对于拓扑空间中的一个给定的子集，按某种“自然的方式”赋予它一个拓扑使之成为一个拓扑空间，以便将它作为一个独立的对象进行考察．所谓“自然的方式”应当是什么样的方式？为回答这个问题，我们还是先从度量空间做起，以便得到必要的启发． 考虑一个度量空间和它的一个子集．欲将这个子集看作一个度量空间，必须要为它的每一对点规定距离．由于这个子集中的每一对点也是度量空间中的一对点，因而把它们作为子集中的点的距离就规定为它们作为度量空间中的点的距离当然是十分自然的．我们把上述想法归纳成定义： 定义3.1.1 设（X，ρ）是一个度量空间，Y是X的一个子集.因此，Y×Y X×X．显然：Y×Y→R是Y的一个度量（请自行验证）．我们称Y的度量，是由X的度量ρ诱导出来的度量.度量空间（Y，ρ）称为度量空间（X，ρ）的一个度量子空间．
我们常说度量空间Y是度量空间X的一个度量子空间，意思就是指Y是X的一个子集，并且Y的度量是由X的度量诱导出来的．我们还常将一个度量空间的任何一个子集自动地认作一个度量子空间而不另行说明．例如我们经常讨论的：实数空间R中的各种区间（a，b），[a，b]，（a，b]等；n＋1维欧氏空间 中的 n维单位球面: n维单位开、闭球体: 以及n维单位开、闭方体和等等，并且它们也自然被认作是拓扑空间（考虑相应的度量诱导出来的拓扑）． 定理3.1.1 设Y是度量空间X的一个度量子空间．则Y的子集U是Y中的一个开集当且仅当存在一个X中的开集V使得U＝V∩Y． 证明由于现在涉及两个度量空间，我们时时要小心可能产生的概念混淆．对于x∈X（y∈Y），临时记度量空间X（Y）中以x（y）为中心以ε＞0为 半径的球形邻域为，. 首先指出：有=∩Y. 这是因为z∈X属于当且仅当z∈Y且(z,y)<ε. 现在设U∈，由于Y的所有球形邻域构成的族是Y的拓扑的一个基，U可以表示为Y中的一族球形邻域，设为A的并．于是
空间数据得拓扑关系 1、空间数据得拓扑关系 地理信息系统同其它一些事务信息处理系统如银行管理系统,图书检索系统得主要区别在于地理信息系统中具有大量几何目标信息。这些几何目标信息还包含两类信息,一类就是目标本身得位置信息;另一类就是地物间得空间关系信息。如果忽略几何目标间得空间关系信息,那么从数据结构得角度瞧,地理信息系统得数据结构就可以设计成通常事务信息处理系统得形式。也就就是说,由于地理信息系统必须同时考虑几何目标得空间关系、地物位置信息及特征信息,致使地理信息系统得数据结构比较复杂。为了研究几何目标得空间关系,在此引入拓扑关系得概念。 2、拓扑得基本概念 几何信息与拓扑关系就是地理信息系统中描述地理要素得空间位置与空间关系得不可缺少得基本信息。其中几何信息主要涉及几何目标得坐标位置、方向、角度、距离与面积等信息,它通常用解析几何得方法来分析。而空间关系信息主要涉及几何关系得“相连”、“相邻”、“包含”等信息,它通常用拓扑关系或拓扑结构得方法来分析。拓扑关系就是明确定义空间关系得一种数学方法。在地理信息系统中用它来描述并确定空间得点、线、面之间关系及属性,并可实现相关得查询与检索。从拓扑观点出发,关心得就是空间得点、线、面之间得联接关系,而不管实际图形得几何形状。因此,几何形状相差很大得图形,它们得拓扑结构却可能相同。 图3-4(a)(b)所表示得图,其几何形状不同,但它们结点间拓扑关系就 是相同得,均可用图3-4(c)所示结点邻接矩阵表示。(c)中交点为1处表示相应纵横两结点相连。 同样,图3-5(a)(b)所表示得图,其几何形状完全不同,但各面块之间得拓扑邻接关系完全相同,如图3-5(c)邻接矩阵所示,(c)中交点为1处表示相应得两个面相邻。
ARCGIS拓扑检查方法与步骤 时间:2010-04-25 18:28来源:未知作者:admin 点击:250次 本节介绍一下ARCGIS拓扑检查方法与步骤。 拓扑关系式空间分析的基础，拓扑关系的正确性事衡量空间数据质量的关键指标。下面看一下ArcGIS中的拓扑的概念及拓扑检查的方法。 1.什么是拓扑 过去的观点认为，拓扑是一种空间数据结构，旨在保证彼此相关联的数据间能够形成一种一致而清晰简洁的空间结构。 现在的观点认为，拓扑是一组规则和关系的集合，是地理实体行为和属性的实现，是GIS中的一个语义场景；从更专业的角度上来说，拓扑是指规则和关系的集合再加上一系列的工具和技术，旨在揭示地理空间世界中的地理几何关系。 在GIS技术中，我们可以将拓扑理解为一种描述地理空间关系的模型，一种维护地理空间实体间空间几何关系的机制。而拓扑关系是指地理空间实体间的一种关系，这种关系不会因为地理空间实体的地理空间变换而改变，例如点在面内，经典的举例就是橡皮擦模型。 在GIS中，拓扑的主要功能就是用于保证数据质量，同时也为模拟地理空间现象提供一个模型框架，在这个框架中，地理实体被赋予了行为、有效性规则、属性域以及默认值。利用这些特征，我们能够通过计算机描述的空间实体真实地模拟现实的地理空间。 2.ArcGIS中拓扑的几个基本概念： 族容限tolerance：在ArcGIS中可分为x、y族容限和Z族容限，x、y族容限是指当两个要素顶点被判定为不重合时他们之间的最小水平距离，同一族容限内的顶点被定义为重合并且合并到一起，而Z族容限定义了高程上的最小差异，或则重合的顶点间的最小z值；在族容限范围内的顶点会被捕捉到一起。 脏区Dirty Area：在初始拓扑校验过程以后，已被改变的要素的周围区域，且该要素还需执行额外的拓扑校验来发现错误。 拓扑规则Topology Rule：定义地理数据库中一个给定要素内或两个不同要素类之间所许可的要素关系指令。 3.ArcGIS中拓扑关系创建的方法 （1）起动ArcCatlalog →任意选择一个本地目录，"右键"→ "新建"→ "创建个人personal GeoDatabase"; （2）选择刚才创建的GeoDatabase，"右键"→ "新建"→ "数据集dataset";设置数据集的坐标系统，如果不能确定就选择你要进行分析的数据的坐标系统; （3）选择刚才创建的数据集,"右键"→ "导入要素类inport → feature class single",导入你要进行拓扑分析的数据; （4）选择刚才创建的数据集,"右键"→ "新建"→ "拓扑"，创建拓扑,根据提示创建拓扑，添加拓扑处理规则； 3.ArcGIS中拓扑关系的方法 （1）将数据集导入ARCMAP中，点击edit按钮进行编辑。 （2）打开eidt下拉菜单，选择more editing tools→topology出现拓扑编辑工具栏。
拓扑空间中集合的导集 题目：拓扑空间中集合的导集 摘要：如果在一个拓扑空间中给定一个子集，那么拓扑空间中的每一个点相对于这个子集而言“处境”各不相同，因此可以对它们进行分类处理。本文介绍了拓扑空间中集合的导集。 正文： 1、拓扑空间的定义： 设X是一个集合，T是X的一个子集族，如果T满足如下条件： （1）X，∈T；（2）若A，B∈T，则A∩B∈T；（3）若∈T，则，则称T是X的一个拓扑。 如果T是集合X的一个拓扑，则称偶对（X，T）是一个拓扑空间或称集合X是一个相对于拓扑T的拓扑空间，或当拓扑T早已约定或在行文中已有说明而无须指出时，则称集合X是一个拓扑空间。 2、导集的定义 设X是一个拓扑空间，A X．如果点x∈X的每一个邻域U中都有A中异于x的点，即U∩（A-{x}）≠，则称点x是集合A的一个凝聚点或极限点．集合A的所有凝聚点构成的集合称为A的导集，
记作d（A）．如果x∈A并且x不是A的凝聚点，即存在x的一个邻域U使得U∩（A-{x}）＝，则称x为A的一个孤立点． 即:(牢记) 3、 离散空间中集合的凝聚点和导集． 设X是一个离散空间，A是X中的一个任意子集．由于X中的每一个单点集都是开集，因此如果x∈X，则X有一个邻域{x}，使得 ，以上论证说明，集合A没有任何一个凝聚点，从而A的导集是空集，即d（A）＝． 4、平庸空间中集合的凝聚点和导集． 设X是一个平庸空间，A是X中的一个任意子集．我们分三种情形讨论： 第1种情形：A=．这时A显然没有任何一个凝聚点，亦即 d（A）=．（可以参见定理2.4.1中第（l）条的证明．） 第2种情形：A是一个单点集，令A＝{}如果x∈X，x≠，点x只有惟一的一个邻域X，这时，所以 ；因此x是A的一个凝聚点，即x∈d（A）．然而对于的惟一邻域X有：所以 d（A）=X-A． 第3种情形：A包含点多于一个．请读者自己证明这时X中的每一个点都是A的凝聚点，即d（A）＝X． 定理：设X是一个拓扑空间，A X．则