构造函数解决高考导数问题
1.（2015·课标全国Ⅰ理）设函数a ax x e x f x
+--=)12()(，其中1 B ．)43,23[e - C ．)43,23[e D ．)1,23[e 2. （2016·课标全国II 卷理）若直线y =kx +b 是曲线y =ln x +2的切线，也是曲线y =ln （x +1）的切线，则b = ． 3.（2016·北京理）（本小题13分） 设函数f (x)=x a x e -+bx ，曲线y =f (x)在点(2,f (2))处的切线方程为y =(e －1)x +4， （I ）求a ,b 的值； (II) 求f (x)的单调区间． 4.（2017·全国III 卷文）（12分） 已知函数()f x =ln x +ax 2+(2a +1)x ． （1）讨论()f x 的单调性； （2）当a ﹤0时，证明3 ()24f x a ≤--． 5. （2016?四川卷文）（本小题满分14分） 设函数f (x)=ax 2－a －ln x ，g (x )=1x －e e x ，其中a ∈R ，e =2.718…为自然对数的底数. （Ⅰ）讨论f (x)的单调性； （Ⅱ）证明：当x ＞1时，g (x )＞0； （Ⅲ）确定a 的所有可能取值，使得f (x)＞g (x )在区间（1，+∞）内恒成立. 6.（2016?课标全国Ⅱ文）（本小题满分12分） 已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--. （I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程； （Ⅱ）若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围. 7.（2017·天津文）（本小题满分14分） 设,a b ∈R ，||1a ≤.已知函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，()e ()x g x f x =. （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）已知函数()y g x =和x y e =的图像在公共点（x 0，y 0）处有相同的切线， （i ）求证：()f x 在0x x =处的导数等于0； （ii ）若关于x 的不等式()e x g x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，求b 的取值范围. 8.（2016·江苏）（本小题满分16分）已知函数f （x ）=a x +b x （a ＞0，b ＞0，a ≠1，b ≠1）． （1）设a =2，b =1 2 ． ①求方程f （x ）=2的根； ②若对于任意x ∈R ，不等式f （2x ）≥mf （x ）－6恒成立，求实数m 的最大值； （2）若0＜a ＜1，b ＞1，函数g （x ）=f （x ）－2有且只有1个零点，求ab 的值． 9. （2016·山东理） (本小题满分13分) 已知()221 ()ln ,x f x a x x a R x -=-+ ∈. （I ）讨论()f x 的单调性； （II ）当1a =时，证明()3 ()'2 f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立. 10. (2017·江苏文)（本小题满分16分） 已知函数()3210f x =x ax bx (a ,b R)+++>∈有极值，且导函数()f x '的极值点 是()f x 的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） (1)求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； (2)证明：b 2>3a ; (3)若()f x ，()f x ' 这两个函数的所有极值之和不小于7 -2 ，求a 的取值范围. 构造函数解决高考导数问题答案 1.（2015·课标全国Ⅰ理）设函数a ax x e x f x +--=)12()(，其中1 B ．)43,23[e - C ．)43,23[e D ．)1,23[e 【答案】D 【解析】由题意，存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)＜0，即存在唯一的整数x 0，使0x e (2x 0－1)＜a (x 0－1)． 设g (x )＝e x (2x －1)，h (x )＝a (x －1)．g ′(x )＝e x (2x －1)＋2e x ＝e x (2x ＋1)， 从而当x ∈????－∞，－12时，g (x )单调递减；当x ∈????－1 2，＋∞时，g (x )单调递增． 又h (x )＝a (x －1)必过点(1，0)，g (0)＝－1，当g (0)＝h (0)时，a ＝0－（－1） 1－0＝1. 而g (－1)＝－3e ，当g (－1)＝h (－1)时，a ＝0－??? ?－3 e 1－（－1）＝3 2e ， 要满足题意，则3 2e ≤a ＜1，选D. 【点评】关键点拨：把“若存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)＜0”转化为“若存在唯一的整数x 0，使得0x e (2x 0－1)＜a (x 0－1)”． 测训诊断：本题难度较难，主要考查导数知识的应用．考查转化与化归思想． 2.（2016·课标全国II 卷理）若直线y =kx +b 是曲线y =ln x +2的切线，也是曲线y =ln(x +１)的切线，则b = ． 【答案】1－ln 2 【解析】设y ＝kx ＋b 切y ＝ln x ＋2的切点为(x 1，y 1)，切y ＝ln (x ＋1)的切点为(x 2，y 2)．由导数的几何意义和切点的特征可知?????kx 1 ＋b ＝ln x 1＋2＝y 1，k ＝1 x 1，① ?????kx 2＋b ＝ln （x 2＋1）＝y 2，k ＝1x 2＋1 .② 由①消去x 1，y 1整理可得b ＝1－ln k ，③ 由②消去x 2，y 2整理可得b ＝－ln k ＋k －1.④ 联立③④可得1－ln k ＝－ln k ＋k －1，∴k ＝2，∴b ＝1－ln k ＝1－ln 2. 【点评】关键点拨：关于函数的切线问题，我们要利用导数的几何意义，构建等量关系．还需注意切点既在函数图像上，也在切线上．对于切点不明确的，需要设出切点，再合理表达 求解． 测训诊断：(1)利用导数的几何意义求解切线问题，是高中导数知识的重要部分，应熟练掌握基本题型，在此基础上加强综合题的训练．(2)本题有一定深度，难度，考查了学生的知识迁移能力和数据处理能力，争取得分． 3.（2016·北京理）（本题满分13分） 设函数f (x)=x a x e -+bx ，曲线y =f (x)在点(2,f (2))处的切线方程为y =(e －1)x +4， （I ）求a ,b 的值； (II) 求f (x)的单调区间． 解：(1)因为f (x)＝xe a -x ＋bx ，所以f ′(x)＝(1－x )e a -x ＋b . 依题设，有?????f （2）＝2e ＋2，f ′（2）＝e －1，即?????2e a -2 ＋2b ＝2e ＋2，－e a -2＋b ＝e －1. 解得a ＝2，b ＝e . (2)由(1)知f (x)＝xe 2-x ＋ex ， 由f ′(x)＝e 2-x (1－x ＋e x -1)及e 2-x >0知，f ′(x)与1－x ＋e x -1同号． 令g (x )＝1－x ＋e x -1，则g ′(x )＝－1＋e x -1 .令g ′(x )＝0，得x ＝1. 所以当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增． 故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值， 从而g (x )>0，x ∈(－∞，＋∞)． 综上可知，f ′(x)>0，x ∈(－∞，＋∞)． 故f (x) 的单调递增区间为(－∞，＋∞)． 【点评】测训诊断：(1)本题难度易，主要考查导数的几何意义和函数单调区间的求解． (2)本题若失分，多是对导致的概念理解不清或计算出错． 4.（2017·全国III 卷文）（12分） 已知函数()f x =ln x +ax 2+(2a +1)x ． （1）讨论()f x 的单调性； （2）当a ﹤0时，证明3 ()24f x a ≤- -． 解：（1）)0() 1)(12(1)12(2)('2>++=+++=x x x ax x x a ax x f 当0≥a 时，0)('≥x f ，则)(x f 在),0(+∞单调递增 当0 单调递增，在),21 (+∞-a 单调递减. （2）由（1）知，当0 ()()ln 1224f x f a a a ??=-=--- ??? 1311 ()(2)ln()12422f a a a a - --=-++－， 令t t y -+=1ln （021>-=a t ），令011 '=-=t y ，解得1=t ∴y 在)1,0(单调递增，在),1(+∞单调递减. ∴max (1)0y y y ≤==， 即)243()(max +-≤a x f ，∴243)(--≤a x f . 5.（2016?四川卷文）（本题满分14分） 设函数f (x)=ax 2－a －ln x ，g (x )=1x －e e x ，其中a ∈R ，e =2.718…为自然对数的底数. （Ⅰ）讨论f (x)的单调性； （Ⅱ）证明：当x ＞1时，g (x )＞0； （Ⅲ）确定a 的所有可能取值，使得f (x)＞g (x )在区间（1，+∞）内恒成立. 解：(1) f ′(x)＝2ax －1x ＝2ax 2 －1 x (x >0)． 当a ≤0时，f ′(x)<0，f (x)在(0，＋∞)内单调递减． 当a >0时，由f ′(x)＝0得x ＝ 1 2a . 当x ∈? ?? ? 0， 12a 时，f ′(x)<0，f (x)单调递减； 当x ∈?? ? ?1 2a ，＋∞时，f ′(x)>0，f (x)单调递增． (2)证明：令s (x )＝e x -1－x ，则s ′(x )＝e x -1－1. 当x >1时，s ′(x )>0，所以e x -1>x ，从而g (x )＝1x －e e x >0. (3)由(2)知，当x >1时，g (x )>0. 当a ≤0，x >1时，f (x)＝a (x 2－1)－ln x <0. 故当f (x)>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a >0. 当0 2a >1. 由(1)有f ?? ??12a ? 12a >0. 所以此时f (x)>g (x )在区间(1，＋∞)内不恒成立． 当a ≥1 2 时，令h (x )＝f (x)－g (x )(x >1)， 则h ′(x )＝2ax －1x ＋1x 2－e 1-x >x －1x ＋1x 2－1x ＝x 3－2x ＋1x 2>x 2 －2x ＋1x 2 >0. 因此，h (x )在区间(1，＋∞)内单调递增． 又因为h (1)＝0，所以当x >1时，h (x )＝f (x)－g (x )>0，即f (x)>g (x )恒成立． 综上，a ∈??? ?1 2，＋∞. 【点评】关键点拨：第(1)问中对a 的讨论是关键，第(3)问中恒成立求参数化归为函数求最值，最值的求解是难点． 测训诊断：(1)本题难度较大，主要考查分类讨论求单调区间、构造函数证明不等式、不等式恒成立求参数取值范围问题．(2)考生失分主要体现两点：①分类讨论不全面；②在第(3)问中不等式恒成立求参数范围转化为函数求最值时，计算过程出现失误． 6.（2016?课标全国Ⅱ文）（本小题满分12分） 已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--. （I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程； （Ⅱ）若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围. 解：(1)f (x)的定义域为(0，＋∞)， 当a ＝4时，f (x)＝(x ＋1)ln x －4(x －1)，f ′(x)＝ln x ＋1 x －3，f ′(1)＝－2，f (1)＝0. 所以曲线y ＝f (x)在(1，f (1))处的切线方程为2x ＋y －2＝0. (2)当x ∈(1，＋∞)时，f (x)>0等价于ln x －a （x －1） x ＋1 >0. 设g (x )＝ln x －a （x －1）x ＋1，则g ′(x )＝1x －2a （x ＋1）2＝x 2＋2（1－a ）x ＋1x （x ＋1）2，g (1)＝0. 当a ≤2，x ∈(1，＋∞)时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1>0，即g ′(x )>0， g (x )在(1，＋∞)上单调递增，因此g (x )>0； 当a >2时，令g ′(x )＝0得x 1＝a －1－（a －1）2－1，x 2＝a －1＋（a －1）2－1. 由x 2>1和x 1x 2＝1得x 1<1，故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )<0，g (x )在(1，x 2)上单调递减， 因此g (x )<0，此时不满足题意． 综上，a 的取值范围是(－∞，2]． 【点评】关键点拨：第一问，给定参数a ＝4，函数f (x)就确定，从而可求出切点为(1，0)，再结合导数的几何意义，得到斜率k ＝f ′(1)＝－2，利用点斜式即可求出切线方程．第二问是恒成立问题，可适当转化，另外要注意函数的端点值，这样可以减少讨论的步骤． 测训诊断：(1)利用导数解决相关问题，往往都有一定的深度和广度，本题考查较常规，容易上手，但也不易得满分；(2)导数题区分度较大，要根据自身情况，量力而行，不轻易放弃，规范步骤，把会做的做好，也会有所收获． 7.（2017·天津文）（本小题满分14分） 设,a b ∈R ，||1a ≤.已知函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，()e ()x g x f x =. （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）已知函数()y g x =和e x y =的图像在公共点（x 0，y 0）处有相同的切线， （i ）求证：()f x 在0x x =处的导数等于0； （ii ）若关于x 的不等式()e x g x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，求b 的取值范围. 解：（I ）由324()63()f x x a x x a b =--+-，可得 2()3123(4)3()((4))f x x x a a x a x a '=---=---， ()0,4||14.f x x a x a a a a '===≤-令解得或－.由，得＜ 当x 变化时，()f x ',()f x 的变化情况如下表： ()f x 的单调递增区间为（－ ，a ），（４－a ，＋ ）单调递减区间为（a ，４－a ）． (II) （i ）因为()(()())x g x e f x f x ''=+ 由题意得0 00()()x x g x e g x e ?=??'=?? 所以00 00000(),(()())x x x x f x e e e f x f x e ?=??'+=?? 00()1()0f x f x =??'=?解得 所以()f x 在0x x =处的导数等于０. （ii ）因为()x g x e ≤，00[11],x x x ∈-+，由0x e >，可得()1f x ≤. 又因为0()1f x =，0()0f 'x =，故0x 为()f x 的极大值点， 由（I ）知0x a =.另一方面，由于||1a ≤，故14a a +<-， 由（I ）知()f x 在(,)1a a -内单调递增，在(),1a a +内单调递减， 故当0x a =时，()()1f f x a ≤=在[1,1]a a -+上恒成立， 从而()x g x e ≤在00,[11]x x -+上恒成立. 由32 ()63()14a a f a a a a b =---+=，得32261b a a =-+，11a -≤≤． 令32()261t x x x =-+，[1,1]x ∈-，所以2 ()612t'x x x =-， 令()0t'x =，解得2x =（舍去）或0x =. 因为(1)7t -=-，(1)3t =-，(0)1t =，故()t x 的值域为[7],1-. 所以，b 的取值范围是[7],1-. 8.（2016·江苏理）（本小题满分16分）已知函数f （x ）=a x +b x （a ＞0，b ＞0，a ≠1，b ≠1）． （1）设a =2，b =12 ． ①求方程f （x ）=2的根； ②若对于任意x ∈R ，不等式f （2x ）≥mf （x ）－6恒成立，求实数m 的最大值； （2）若0＜a ＜1，b ＞1，函数g （x ）=f （x ）－2有且只有1个零点，求ab 的值． 解： (1)因为a ＝2，b ＝1 2，所以f (x)＝2x ＋2-x . ①方程f (x)＝2，即2x ＋2-x ＝2，亦即(2x )2－2×2x ＋1＝0，所以(2x －1)2 ＝0，于是2x ＝1，解 得x ＝0. ②由条件知f (2x )＝22x ＋2-2x ＝(2x ＋2-x )2－2＝[f (x)]2 －2. 因为f (2x )≥mf (x)－6对于任意x ∈R 恒成立，且f (x)>0， 所以m ≤[f （x ）]2＋4 f （x ）对于任意x ∈R 恒成立． 而[f （x ）]2＋4f （x ）＝f (x)＋4 f （x ）≥2 f （x ）·4 f （x ）＝4，且[f （0）]2 ＋4f （0）＝4， 所以m ≤4，故实数m 的最大值为4. (2)因为函数g (x )＝f (x)－2有且只有1个零点， 而g (0)＝f (0)－2＝a 0＋b 0 －2＝0， 所以0是函数g (x )的唯一零点． 因为g ′(x )＝a x ln a ＋b x ln b ，又由01知ln a <0，ln b >0， 所以g ′(x )＝0有唯一解x 0＝log b a ????－ln a ln b . 令h (x )＝g ′(x )，则h ′(x )＝(a x ln a ＋b x ln b )′＝a x (ln a )2 ＋b x (ln b )2 ， 从而对任意x ∈R ，h ′(x )>0，所以g ′(x )＝h (x )是(－∞，＋∞)上的单调增函数． 于是当x ∈(－∞，x 0)时，g ′(x )