【方法综述】
函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中．在导数小题中构造函数的常见结论：出现()()nf x xf x '+形式，构造函数()()F n
x x f x =；出现()()xf x nf x '-形式，构造函数()()
F n f x x x =
；出现()()f x nf x '+形式，构造函数()()F nx
x e f x =；出现()()f x nf x '-形式，构造函数()()
F nx
f x x e
=
． 【解答策略】
类型一、利用()f x 进行抽象函数构造 1．利用()f x 与x （n x ）构造 常用构造形式有()xf x ，
()f x x ；这类形式是对u v ?，u
v
型函数导数计算的推广及应用，我们对u v ?，u v 的导函数观察可得知，u v ?型导函数中体现的是“+”法，u
v
型导函数中体现的是“-”法，由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“+”法形式时，优先考虑构造u v ?型，当导函数形式出现的是“-”法形式时，优先考虑构造
u
v
． 例1.【2019届高三第二次全国大联考】设
是定义在上的可导偶函数，若当
时，
，则函数
的零点个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．0或2
【答案】A 【解析】 设
，因为函数
为偶函数，所以
也是上的偶函数，所以
．由已知，
时，
，可得当
时，
，
故函数在上单调递减，由偶函数的性质可得函数在
上单调递增．所以
，所以方程，即无解，所以函数没有零点．故选A．
【指点迷津】设，当时，，可得当时，，故函数
在上单调递减，从而求出函数的零点的个数．
【举一反三】【新疆乌鲁木齐2019届高三第二次质量检测】的定义域是，其导函数为，若，且（其中是自然对数的底数），则
A．B．
C．当时，取得极大值D．当时，
【答案】C
【解析】
设，则
则
又得
即，所以
即
，
由得，得，此时函数为增函数
由得，得，此时函数为减函数
则，即，则，故错误
，即，则，故错误
当时，取得极小值
即当，，即，即，故错误
当时，取得极小值
此时，则取得极大值
本题正确选项： 2．利用()f x 与x e 构造
()f x 与x e 构造，一方面是对u v ?，u
v
函数形式的考察，另外一方面是对()x x e e '=的考察．所以对于
()()f x f x '±类型，我们可以等同()xf x ，
()f x x
的类型处理， “+”法优先考虑构造()()F x
x f x e =?， “-”法优先考虑构造()()
F x
f x x e
=
． 例2、【湖南省长郡中学2019届高三下学期第六次月考】已知是函数的导函数，且对任意的实数都
有
是自然对数的底数），
，若不等式
的解集中恰有两个整
数，则实数的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 【解析】
令，则
，
可设， ∵，∴
．
∴， ∴．
可得：
时，函数
取得极大值，
时，
函数取得极小值． ，
，
，
．
∴时，不等式
的解集中恰有两个整数
，
．
故的取值范围是，故选C ． 【指点迷津】令
，可得
，可设
，
，解得
，
，利用导数研究其单调性极值与最值并且画出图象即可得出．
【举一反三】【安徽省黄山市2019届高三第二次检测】已知函数是定义在上的可导函数，对于任意的
实数x ，都有，当
时
，若
，则实数a 的取值范围是
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】 令，则当
时，
，
又，所以
为偶函数，
从而等价于
，
因此
选B.
3．利用()f x 与sin x ，cos x 构造
sin x ，cos x 因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，我们一起看看常考的几种形式．
()()F sin x f x x =，()()()F sin cos x f x x f x x ''=+；
()()F sin f x x x =
，()()()2
sin cos F sin f x x f x x
x x
'-'=； ()()F cos x f x x =，()()()F cos sin x f x x f x x ''=-；
()()F cos f x x x =
，()()()2
cos sin F cos f x x f x x
x x
'+'=．
例3、已知函数()y f x =对于任意,22x ππ??
∈-
???
满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式不成立的是（ ） A ．234f f ππ????<
? ?????
B ．234f f ππ????
-<- ? ?????
C ．()024f f π??< ???
D ．()023f f π??
< ???
【答案】B
【指点迷津】满足“()()cos sin 0f x x f x x '+>”形式，优先构造()()
F cos f x x x
=，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．注意选项的转化． 类型二 构造具体函数关系式
这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不等式及求值问题． 1.直接法：直接根据题设条件构造函数 例4、α，,22ππβ??
∈-
????
，且sin sin 0ααββ->，则下列结论正确的是（ ） A ．αβ> B ．2
2
αβ> C ．αβ< D ．0αβ+> 【答案】B
【解析】构造()sin f x x x =形式，则()sin cos f x x x x '=+，0,
2x π??
∈????
时导函数()0f x '≥，()f x 单调递增；,02x π??
∈-????
时导函数()0f x '<，()f x 单调递减．又Q ()f x 为偶函数，根据单调性和图象可知选B ．
【指点迷津】根据题目中不等式的构成，构造函数()sin f x x x =，然后利用函数的单调性和数形结合求
解即可．
【举一反三】【福建省2019届备考关键问题指导适应性练习（四)】已知函数，，若关于的方程在区间内有两个实数解，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
易知当≤0时，方程只有一个解，
所以>0．令，
，
令得，
为函数的极小值点，
又关于的方程=在区间内有两个实数解，
所以，解得，
故选A.
【指点迷津】根据题目中方程的构成，构造函数，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．
2. 参变分离，构造函数
例5.【云南省玉溪市第一中学2019届高三下学期第五次调研】设为函数的导函数，且满足
，若恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
，由，可得的对称轴为，所以，所以，
所以，由可得，变形可得
，即，设，
，易得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，故实数b的取值范围为，故选A
【指点迷津】根据，变形可得，通过构造函数，进一步确定
的最大值，利用导数，结合的单调性，即可求解.
【举一反三】【河北省唐山市2019届高三下学期第一次模拟】设函数，有且仅有一个零点，则实数的值为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
∵函数，有且只有一个零点，
∴方程，，有且只有一个实数根，
令g（x）=，
则g′（x）=，当时，g′（x）0，当时，g′（x）0，
∴g（x）在上单调递增，在上单调递减，当x=时，g（x）取得极大值g（）=，
又g（0）= g（）=0，∴若方程，，有且只有一个实数根，则a=
故选B.
【强化训练】
一、选择题
1．【山西省2019届高三百日冲刺】已知函数，若对任意的，恒成立，则的取值范围为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
令，，.
当时，，则在上单调递增，又，所以恒成立；
当时，因为在上单调递增，故存在，使得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，则，这与恒成立矛盾，
综上.故选D.
2．【海南省海口市2019届高三高考调研】已知函数的导函数满足对
恒成立，则下列判断一定正确的是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
由题意设，
则，
所以函数在上单调递增，
所以，即．
故选B．
3．【辽宁省抚顺市2019届高三一模】若函数有三个零点，则实数的取值范围是() A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
由得，
设，则，
由得得或，此时函数为增函数，
由得得，此时函数为减函数，
即当时，取得极小值，
当时，取得极大值，
当，且，函数图象如下图所示：
要使有三个零点，
则，
即实数a的取值范围是，故本题选D．
4．【辽宁省师范大学附属中学2019届高三上学期期中】已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数k的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
解：∵函数的定义域是
∴，
∵是函数的唯一一个极值点
∴是导函数的唯一根，
∴在无变号零点，
即在上无变号零点，令，
因为，
所以在上单调递减，在上单调递增
所以的最小值为，
所以必须，
故选：A．
5．【2019届山西省太原市第五中学高三4月检测】已知函数，若函数在上无零点，则（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
解：因为f（x）＜0在区间（0，）上恒成立不可能，
故要使函数f（x）在（0，）上无零点，只要对任意的x∈（0，），f（x）＞0恒成立，
即对x∈（0，），a＞2恒成立．
令l（x）＝2，x∈（0，），
则l′（x），
再令m（x）＝2lnx2，x∈（0，），
则m′（x）0，
故m（x）在（0，）上为减函数，于是m（x）＞m（）＝2﹣2ln2＞0，
从而l′（x）＞0，于是l（x）在（0，）上为增函数，
所以l（x）＜l（）＝2﹣4ln2，
故要使a＞2恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞）.
6．【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考】已知，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
由恒成立得，恒成立，设，则
.设，则恒成立，
在上单调递减，
又，当时，，即；
当时，，即，
在上单调递增，在上单调递减，
，，
故选:D
7．【2019届湘赣十四校高三第二次联考】已知函数为上的偶函数，且当时函数满足，，则的解集是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
设，
则，
∴，
化简可得.
设，
∴，
∴时，，因此为减函数，
∴时，，因此为增函数，
∴，
∴，
∴在上为增函数.
∵函数是偶函数，
∴函数，
∴函数关于对称，
又∵，
即，
又在上为增函数，
∴，
由函数关于对称可得，
，
故选A.
8．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第三次测评】若函数在区间上单调递增，则的最小值是（）
A．-3 B．-4 C．-5 D．
【答案】B
【解析】
函数在上单调递增，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，其对称轴为，
当即时，在上恒成立等价于，
由线性规划知识可知，此时；
当即时，在上恒成立等价于，
，即；
当即时，在上恒成立等价于，
此时；
综上可知，，故选.
9．【宁夏六盘山高级中学2019届高三二模】定义域为的奇函数，当时，
恒成立，若，，则（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
构造函数
因为是奇函数，所以为偶函数
当时，恒成立，即，所以
在时为单调递减函数
在时为单调递增函数
根据偶函数的对称性可知
，
所以
所以选D
10．【四川省教考联盟2019届高三第三次诊断】已知定义在上的函数关于轴对称，其导函数为，当时，不等式.若对，不等式恒成立，则正整数的最大值为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
因为，所以，
令，则，
又因为是在上的偶函数，所以是在上的奇函数，
所以是在上的单调递增函数，
又因为，可化为，
即，又因为是在上的单调递增函数，
所以恒成立，
令，则，
因为，所以在单调递减，在上单调递增，
所以，则，
所以.
所以正整数的最大值为2.
故选：B
11．【2019届高三第二次全国大联考】已知定义在上的可导函数的导函数为，若当时，，则函数的零点个数为
A．0 B．1 C．2 D．0或2
【答案】A
【解析】
由题意，设，则．
由已知，
所以当时，，当时，，
又因为在上可导，故函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以无解，即方程无解，
即方程无解，所以函数无零点．故选A．
二、填空题
12．【江苏省海安高级中学2019届高三上学期第二次月考】若关于x的不等式对任意的实数及任意的实数恒成立，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
关于x的不等式对任意的实数
及任意的实数恒成立，
先看成b的一次函数，可得
即为，
可得恒成立，
设，，
，
可得时，，递增；
时，，递减，
又，，
可得在的最小值为，
可得．
即有a的范围是．
故答案为：．
13．【山东省济南市山东师范大学附属中学2019届高三四模】定义在R上的奇函数的导函数满足，且，若，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
的周期为
定义在上的奇函数
①时，令，则
，即单调递减
又
不等式的解集为
②时，
时，不等式成立
综上所述：
本题正确结果：
14．【广东省佛山市第一中学2019届高三上学期期中】已知定义在R上的奇函数满足f（1）=0，当x ＞0时，，则不等式的解集是______．
【答案】
【解析】
设，则，结合可得为减函数.因为为奇函数，所以
为偶函数，作出简图如下：
结合简图，所以的解集是.
15.【重庆市第一中学校2019届高三3月月考】设是定义在上的函数，其导函数为，若
，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为______. 【答案】
【解析】
令g（x）＝e x f（x）﹣e x，则g′（x）＝e x f（x）+e x f′（x）﹣e x＝e x（f（x）+f′（x）﹣1），
∵f（x）+f′（x）<1，∴f（x）+f′（x）﹣1<0，
∴g′（x）<0，g（x）在R上为单调递减函数，
∵g（0）＝f（0）﹣1＝2018﹣1＝2017
∴原不等式可化为g（x）＞g（0），
根据g（x）的单调性得x<0, ∴不等式（其中为自然对数的底数）的解集为,
故答案为．
16．【湖南师大附中2019届高三月考（七)】设为整数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是__________．
【答案】1
【解析】
由题意对任意的，不等式恒成立，则x=1时，不等式也成立，
代入x=1得e+3,又为整数，则a，这是满足题意的一个必要条件，又为整数，
只需验证a=1时，对任意的，不等式恒成立，
即证，变形为对任意的恒成立，
令g（x），x∈，
则g′（x），在（0，1）上小于0，在（1，）上大于0，
故g（x）在（0，1）递减，在（1，）递增，∴g（x）g（1）=3>0，
∴对任意的恒成立，
故a=1满足题意.
故答案为1．
构造辅助函数求解导数问题 对于证明与函数有关的不等式，或已知不等式在某个范围内恒成立求参数取值范围、讨论一些方程解的个数等类型问题时，常常需要构造辅助函数，并求导研究其单调性或寻求其几何意义来解决；题目本身特点不同，所构造的函数可有多种形式，解题的繁简程度也因此而不同，这里是几种常用的构造技巧． 技法一：“比较法”构造函数 [典例] (2017·广州模拟)已知函数f(x)＝e x－ax(e为自然对数的底数，a为常数)的图象在点(0,1)处的切线斜率为－1． (1)求a的值及函数f(x)的极值； (2)证明：当x＞0时，x2＜e x． [解] (1)由f(x)＝e x－ax，得f′(x)＝e x－a． 因为f′(0)＝1－a＝－1，所以a＝2， 所以f(x)＝e x－2x，f′(x)＝e x－2， 令f′(x)＝0，得x＝ln 2， 当x＜ln 2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 当x＞ln 2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增． 所以当x＝ln 2时，f(x)取得极小值，且极小值为f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－ln 4，f(x)无极大值． (2)证明：令g(x)＝e x－x2，则g′(x)＝e x－2x． 由(1)得g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)＞0， 故g(x)在R上单调递增． 所以当x＞0时，g(x)＞g(0)＝1＞0，即x2＜e x． [方法点拨] 在本例第(2)问中，发现“x2，e x”具有基本初等函数的基因，故可选择对要证明的“x2＜e x”构造函数，得到“g(x)＝e x－x2”，并利用(1)的
结论求解． [对点演练] 已知函数f (x )＝x e x ，直线y ＝g (x )为函数f (x )的图象在x ＝x 0(x 0＜1) 处的切线，求证：f (x )≤g (x )． 证明：函数f (x )的图象在x ＝x 0处的切线方程为y ＝g (x )＝f ′(x 0)(x －x 0)＋f (x 0)． 令h (x )＝f (x )－g (x )＝f (x )－f ′(x 0)(x －x 0)－f (x 0)， 则h ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)＝ 1－x e x － 1－x 0 e 0 x ＝ ?1－x ?e 0 x －?1－x 0?e x e 0 ＋x x ． 设φ(x )＝(1－x )e 0 x －(1－x 0)e x ， 则φ′(x )＝－e 0 x －(1－x 0)e x ， ∵x 0＜1，∴φ′(x )＜0， ∴φ(x )在R 上单调递减，又φ(x 0)＝0， ∴当x ＜x 0时，φ(x )＞0，当x ＞x 0时，φ(x )＜0， ∴当x ＜x 0时，h ′(x )＞0，当x ＞x 0时，h ′(x )＜0， ∴h (x )在区间(－∞，x 0)上为增函数，在区间(x 0，＋∞)上为减函数， ∴h (x )≤h (x 0)＝0， ∴f (x )≤g (x )． 技法二：“拆分法”构造函数 [典例] 设函数f (x )＝ae x ln x ＋be x －1 x ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1)) 处的切线为y ＝e (x －1)＋2． (1)求a ，b ； (2)证明：f (x )＞1． [解] (1)f ′(x )＝ae x ? ?? ??ln x ＋1x ＋be x －1 ?x －1? x 2 (x ＞0)， 由于直线y ＝e (x －1)＋2的斜率为e ，图象过点(1,2)，
2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析 已知函数2()x f x e ax =-. （1） 若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥. （2） 若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a . 题目分析： 本题主要通过函数的性质证明不等式以及判断函数零点的问题考察学生对于函数单调性以及零点存在定理性的应用，综合考察学生化归与分类讨论的数学思想，题目设置相对较易，利于选拔不同能力层次的学生。第1小问，通过对函数以及其导函数的单调性以及值域判断即可求解。官方标准答案中通过()()x g x e f x -=的变形化成2()x ax bx c e C -+++的形式，这种形式的函数求导之后仍为2()x ax bx c e -++这种形式的函数，指数函数的系数为代数函数，非常容易求解零点，并且这种变形并不影响函数零点的变化。这种变形思想值得引起注意，对以后导数命题有着很大的指引作用。但是，这种变形对大多数高考考生而言很难想到。因此，以下求解针对函数()f x 本身以及其导函数的单调性和零点问题进行讨论，始终贯穿最基本的导函数正负号与原函数单调性的关系以及零点存在性定理这些高中阶段的知识点，力求完整的解答该类题目。 题目解答： （1）若1a =，2()x f x e x =-，()2x f x e x '=-，()2x f x e ''=-. 当[0,ln 2)x ∈时，()0f x ''<，()f x '单调递减；当(ln 2,)x ∈+∞时，()0f x ''>，()f x '单调递增； 所以()(ln 2)22ln 20f x f ''≥=->，从而()f x 在[0,)+∞单调递增；所以()(0)1f x f ≥=，得证. （2）当0a ≤时，()0f x >恒成立，无零点，不合题意. 当0a >时，()2x f x e ax '=-，()2x f x e a ''=-. 当[0,ln 2)x a ∈时，()0f x ''<，()f x '单调递减；当(ln 2,)x a ∈+∞时，()0f x ''>，()f x '单调递增；所以()(ln 2)2(1ln 2)f x f a a a ''≥=-. 当02 e a <≤ 时，()0f x '≥，从而()f x 在[0,)+∞单调递增，()(0)1f x f ≥=，在(0,)+∞无零点，不合题意.
2017年高考真题导数专题 一．解答题（共12小题） 1．已知函数f（x）2（a﹣2）﹣x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 2．已知函数f（x）2﹣﹣，且f（x）≥0． （1）求a； （2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 3．已知函数f（x）﹣1﹣． （1）若f（x）≥0，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值． 4．已知函数f（x）321（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b2＞3a； （3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．5．设函数f（x）=（1﹣x2）． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≤1，求a的取值范围． 6．已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）． （1）求f（x）的导函数； （2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围． 7．已知函数f（x）2+2，g（x）（﹣2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线（x）在点（π，f（π））处的切线方程； （Ⅱ）令h（x）（x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
） 10．已知函数f（x）3﹣2，a∈R， （1）当2时，求曲线（x）在点（3，f（3））处的切线方程； （2）设函数g（x）（x）+（x﹣a）﹣，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 11．设a，b∈R，≤1．已知函数f（x）3﹣6x2﹣3a（a﹣4），g（x）（x）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）已知函数（x）和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线， （i）求证：f（x）在0处的导数等于0； （）若关于x的不等式g（x）≤在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围． 12．已知函数f（x）（﹣a）﹣a2x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）≥0，求a的取值范围．
导数与三角函数压轴题归纳总结 近几年的高考数学试题中频频出现含导数与三角函数零点问题，内容主要包括函数零点个数的确定、根据函数零点个数求参数范围、隐零点问题及零点存在性赋值理论.其形式逐渐多样化、综合化. 一、零点存在定理 例1.【2019全国Ⅰ理20】函数()sin ln(1)f x x x =-+,()f x '为()f x 的导数．证明： （1）()f x '在区间(1,)2 π -存在唯一极大值点； （2）()f x 有且仅有2个零点． 【解析】（1）设()()g x f x '=,则()()() 2 11 cos ,sin 11g x x g x x x x '=- =-+++. 当1,2x π??∈- ?? ?时,()g'x 单调递减,而()00,02g g π?? ''>< ???, 可得()g'x 在1,2π?? - ?? ?有唯一零点,设为α. 则当()1,x α∈-时,()0g x '>；当,2x πα?? ∈ ??? 时,()0g'x <. 所以()g x 在()1,α-单调递增,在,2πα?? ???单调递减,故()g x 在1,2π?? - ???存在唯一极大 值点,即()f x '在1,2π?? - ?? ?存在唯一极大值点. （2）()f x 的定义域为(1,)-+∞. （i ）由（1）知, ()f x '在()1,0-单调递增,而()00f '=,所以当(1,0)x ∈-时,()0f 'x <,故()f x 在(1,0)-单调递减,又(0)=0f ,从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点. （ii ）当0,2x π?? ∈ ???时,由（1）知,()f 'x 在(0,)α单调递增,在,2απ?? ??? 单调递减,而
合理构造函数解导数问题 从近几年的高考命题分析，高考对导数的考查常以函数为依托的小综合题，考查函数、导数的基础知识和基本方法.近年的高考命题中的解答题将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机的结合在一起，设计综合试题。在内容上日趋综合化，在解题方法上日趋多样化. 解决这类有关的问题，有时需要借助构造函数,以导数为工具构造函数是解导数问题的基本方法，但是有时简单的构造函数对问题求解带来很大麻烦甚至是解决不了问题的，那么怎样合理的构造函数就是问题的关键，这里我们来一起探讨一下这方面问题。 例1：（2009年宁波市高三第三次模拟试卷22题） 已知函数()()ax x x ax x f --++=2 3 1ln . (1) 若 3 2 为()x f y =的极值点，求实数a 的值； (2) 若()x f y =在[)+∞,1上增函数，求实数a 的取值范围； (3) 若1-=a 时，方程()()x b x x f = ---3 11有实根，求实数b 的取值范围。 解：（1）因为3 2= x 是函数的一个极值点，所以0)32 (='f ，进而解得：0=a ，经检验是 符合的，所以.0=a （2）显然(),2312a x x ax a x f --++='结合定义域知道01>+ax 在[)+∞∈,1x 上恒成立，所以0≥a 且01≥+ax a 。同时a x x --232此函数是31
2007——2014高考数学新课标卷（理）函数与导数综合大题 【2007新课标卷（海南宁夏卷）】 21．（本小题满分12分） 设函数2()ln()f x x a x =++ （I ）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性； （II ）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于e ln 2 ． 【解析】（Ⅰ）1()2f x x x a '= ++，依题意有(1)0f '-=，故32a =． 从而2231(21)(1) ()3322 x x x x f x x x ++++'==++． ()f x 的定义域为32?? -+ ??? ，∞，当312x -<<-时，()0f x '>； 当1 12 x -<<-时，()0f x '<； 当1 2 x >- 时，()0f x '>． 从而，()f x 分别在区间3 1122????---+ ? ?????，，， ∞单调增加，在区间112?? -- ??? ，单调减少． （Ⅱ）()f x 的定义域为()a -+，∞，2221 ()x ax f x x a ++'=+． 方程2 2210x ax ++=的判别式2 48a ?=-． （ⅰ）若0?< ，即a << ()f x 的定义域内()0f x '>，故()f x 的极值． （ⅱ）若0?= ，则a a = 若a = ()x ∈+ ，2 ()f x '= ． 当x =时，()0f x '=，
当2 x ? ??∈-+ ? ????? ，∞时， ()0f x '>，所以()f x 无极值． 若a =)x ∈+，()0f x '= >，()f x 也无极值． （ⅲ）若0?>，即a > a <22210x ax ++=有两个不同的实根 1x = 2x = 当a <12x a x a <-<-，，从而()f x '有()f x 的定义域内没有零点， 故()f x 无极值． 当a > 1x a >-，2x a >-，()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点， 由根值判别方法知()f x 在12x x x x ==，取得极值． 综上，()f x 存在极值时，a 的取值范围为)+． ()f x 的极值之和为 2221211221()()ln()ln()ln 11ln 2ln 22 e f x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=． 【2008新课标卷（海南宁夏卷）】 21．（本小题满分12分） 设函数1 ()()f x ax a b x b =+ ∈+Z ，，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为y =3． （Ⅰ）求()f x 的解析式： （Ⅱ）证明：函数()y f x =的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心； （Ⅲ）证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线x =1和直线y =x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值． 21．解：（Ⅰ）2 1 ()() f x a x b '=- +，
欢迎下载学习好资料 高考文科数学专题复习导数训练题（文）一、考点回顾导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主，主1. 要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义。导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工2.具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导不等式、解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、数确定函数的单调性、单调区间和最值问题，数列的综合应用。3.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大（小）值，而此时不用和端点值进行比较，也可以得知这就是最大（小）值。 二、经典例题剖析 考点一：求导公式。 13f(x)?x?2x?1??ff(?1)(x)3的值是的导函数，则。例1. 是 ????2?1?2?1?f'32x??xf'解析：，所以 答案：3 点评：本题考查多项式的求导法则。 考点二：导数的几何意义。 1x?y?2(1?(1))f(x)My，f2，点则图数2. 例已知函的象程的处切线方在是 ??(1)(f1?)f。 115???fk?'1M(1，f(1))222，所的纵坐标为，所以，由切线过点，可得点M 解析：因为5???f1?????3'f1?f12以，所以3 答案： 学习好资料欢迎下载 32?3)(1，2??4x?yx?2x例3. 。在点曲线处的切线方程是 2?3)(1，4??4xy'?3x5?k?3?4?4??解析：，所以设切线方程，处切线的斜率为点?3)(1， ?3)y??5x?b(1，2b?，将点处的切线为带入切线方程可得，所以，过曲线上点5x?y?2?0方程为：5x?y?2?0答案：点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 ??23x?,y0x l:y?kx x?3x?2y?xl与曲线C且直线相切于点，，例，4.已知曲线C：直线000l的方程及切点坐标。求直线y??00k??x??0x y,x?0在曲析解：线直线过原点，C则。由点上， ??00232x?2x?3xy?x yx,y'?3x?6x?2??0在，处，。又 则00y20?x?3x?2 000000??222x?3x?2?3x?6x?22x?'6x??3xk?f?，整曲线C，的切线斜率为 0000000331y???k??x03x??2x x?00082400。所以，（舍），此时，，解得：理得：，或033??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是直线。 33??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是答案：直线点评：本小题考查导数
导数选择题之构造函数法解不等式的一类题 一、单选题 1．定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集为 A． B． C． D． 2．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得 成立的的取值范围是（） A． B． C． D． 3．定义在上的偶函数的导函数，若对任意的正实数，都有恒成立，则使成立的实数的取值范围为（） A． B． C． D． 4．已知函数定义在数集上的偶函数，当时恒有，且，则不等式的解集为( ) A． B． C． D． 5．定义在上的函数满足，，则不等式的解集为（） A． B． C． D． 6．设定义在上的函数满足任意都有，且时，有，则的大小关系是（） A． B． C． D． 7．已知偶函数满足，且，则的解集为 A． B． C． D．
8．定义在R上的函数满足：是的导函数，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为( ) A． B． C． D． 9．已知定义在上的函数的导函数为，满足，且，则不等式 的解集为（） A． B． C． D． 10．定义在上的函数f(x)满足，则不等式的解集为A． B． C． D． 11．已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数．若 ，则实数的取值范围为（） A． B． C． D． 12．已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，且对于?x∈R，均有f(x)>f′(x)，则有（） A． e2017f(－2017) 导数压轴 一．解答题（共20小题） 1．已知函数f（x）＝e x（1+alnx），设f'（x）为f（x）的导函数． （1）设g（x）＝e﹣x f（x）+x2﹣x在区间[1，2]上单调递增，求a的取值范围； （2）若a＞2时，函数f（x）的零点为x0，函f′（x）的极小值点为x1，求证：x0＞x1． 2．设． （1）求证：当x≥1时，f（x）≥0恒成立； （2）讨论关于x的方程根的个数． 3．已知函数f（x）＝﹣x2+ax+a﹣e﹣x+1（a∈R）． （1）当a＝1时，判断g（x）＝e x f（x）的单调性； （2）若函数f（x）无零点，求a的取值范围． 4．已知函数． （1）求函数f（x）的单调区间； （2）若存在成立，求整数a的最小值．5．已知函数f（x）＝e x﹣lnx+ax（a∈R）． （Ⅰ）当a＝﹣e+1时，求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）当a≥﹣1时，求证：f（x）＞0． 6．已知函数f（x）＝e x﹣x2﹣ax﹣1． （Ⅰ）若f（x）在定义域内单调递增，求实数a的范围； （Ⅱ）设函数g（x）＝xf（x）﹣e x+x3+x，若g（x）至多有一个极值点，求a的取值集合．7．已知函数f（x）＝x﹣1﹣lnx﹣a（x﹣1）2（a∈R）． （2）若对?x∈（0，+∞），f（x）≥0，求实数a的取值范围． 8．设f′（x）是函数f（x）的导函数，我们把使f′（x）＝x的实数x叫做函数y＝f（x）的好点．已知函数f（x）＝． （Ⅰ）若0是函数f（x）的好点，求a； （Ⅱ）若函数f（x）不存在好点，求a的取值范围． 9．已知函数f（x）＝lnx+ax2+（a+2）x+2（a为常数）． 2017-2019年全国高考数学真题--第21题导数 2018年：设函数2 ()1x f x e x ax =---。 （1）若0a =， 求()f x 的单调区间； （2）若当0x ≥时()0f x ≥， 求a 的取值范围 2019年：已知函数ln ()1a x b f x x x = ++， 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 230x y +-=． （I ）求,a b 的值； （II ）如果当0x >， 且1x ≠时， ln ()1x k f x x x >+-， 求k 的取值范围． 2019年： 已知函数)(x f 满足2 1 2 1)0()1(')(x x f e f x f x + -=-． （Ⅰ）求)(x f 的解析式及单调区间； （Ⅱ）若b ax x x f ++≥2 2 1)(， 求b a )1(+的最大值． 2019： 一卷：已知函数()f x ＝2 x ax b ++， ()g x ＝()x e cx d +， 若曲线()y f x =和 曲线()y g x =都过点P (0， 2)， 且在点P 处有相同的切线42y x =+ （Ⅰ）求a ， b ， c ， d 的值； （Ⅱ）若x ≥－2时， ()f x ≤()kg x ， 求k 的取值范围． 2019一卷：设函数1 ()ln x x be f x ae x x -=+， 曲线()y f x =在点（1， (1)f 处的切线为 (1)2y e x =-+． (Ⅰ)求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >． 2015一卷：已知函数3 1 ()4 f x x ax =++ ， ()ln g x x =-． （Ⅰ）当a 为何值时， x 轴为曲线()y f x = 的切线； （Ⅱ）用min {},m n 表示m ， n 中的最小值， 设函数{}()min (),()(0)=>h x f x g x x ， 讨论()h x 零点的个数．高三数学导数压轴题
高考题汇编2010-全国高考数学真题--第21题导数
(完整word版)2018年高考数学专题复习突破训练(高考真题专题练)_构造函数解决高考导数问题