逻辑函数的卡诺图化简法
逻辑函数的卡诺图化简法
由前面的学习得知，利用代数法可以使逻辑函数变成较简单的形式。但要求熟练掌握逻辑代数的基本定律，而且需要一些技巧，特别是经化简后得到的逻辑表达式是否是最简式较难确定。运用卡诺图法可以较简便的方法得到最简表达式。但首先需要了解最小项的概念。
一、最小项的定义及其性质
1.最小项的基本概念
由A、B、C三个逻辑变量构成的许多乘积项中有八个被称为A、B、C的最小项的乘积项，它们的特点是
1. 每项都只有三个因子
2. 每个变量都是它的一个因子
3. 每一变量或以原变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，或以反（非）变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，各出现一次一般情况下，对ｎ个变量来说，最小项共有2n个，如n ＝3时，最小项有23＝8个
2.最小项的性质
为了分析最小项的性质，以下列出３个变量的所有最小项的真值表。
由此可见，最小项具有下列性质：
（1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1，而在变量取其他各组值时，这个最小项的值都是0。
（2）不同的最小项，使它的值为1的那一组变量取值也不同。
（3）对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0。
（4）对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。
3.最小项的编号
最小项通常用mi表示，下标i即最小项编号，用十进制数表示。以ABC为例，因为它和011相对应，所以就称ABC是和变量取值011相对应的最小项，而011相当于十进制中的3，所以把ABC记为m3按此原则，3个变量的最小项
二、逻辑函数的最小项表达式
利用逻辑代数的基本公式，可以把任一个逻辑函数化成一种典型的表达式，这种典型的表达式是一组最小项之和，称为最小项表达式
。下面举例说明把逻辑表达式展开为最小项表达式的方法。例如，要将化成最小项表达式,这时可利用的基本运算关系,将逻辑函数中的每一项都化成包含所有变量A、B、C的项，然后再用最小项下标编号来代表最小项，即
又如，要将化成最小项表达式，可经下列几步：
（1）多次利用摩根定律去掉非号，直至最后得到一个只在单个变量上有非号的表达式；
（2）利用分配律除去括号，直至得到一个与或表达式；
（3）在以上第5个等式中，有一项AB不是最小项（缺少变量C），可用乘此项，正如第6个等式所示。
由此可见，任一个逻辑函数都可化成为唯一的最小项表达式。
三、用卡诺图表示逻辑函数
1.卡诺图的引出
一个逻辑函数的卡诺图就是将此函数的最小项表达式
中的各最小项相应地填入一个特定的方格图内，此方格图称为卡诺图。
卡诺图是逻辑函数的一种图形表示。
下面从讨论一变量卡诺图开始，逐步过渡到多变量卡诺图。
大家知道，n个变量的逻辑函数有2n个最小项，因此一个变量的逻辑函数有两个最小项。
比如有一个变量Ｄ，其逻辑函数Ｌ的最小项表达式为：
其中Ｄ和是两个最小项，分别记为m1和m0，即m0=D，m1=D。这两个最小项可用两个相邻的方格来表示，如下图所示。方格上的Ｄ和分别表示原变量和非变量。为了简明起见，非变量可以不标出，只标出原变量Ｄ。但是还可以进一步简化，也就是将m0，m1只用其下标编号来表示。
若变量的个数为两个，则最小项个数为22=4项，函数的最小项表达式为
由于有４个最小项，可用４个相邻的方格来表示。这４个方格可以由折叠了的１变量卡诺图展开来获得，如下图所示，变量Ｄ标在图的底下，标的规律符合展开的规律，即中间两格底下为Ｄ，两边的两格底下为。而变量Ｃ可标在展开后新的两个方格的顶上,以保持左边的第一格仍为m0项，即维持展开前两方格最小项序号不改变。由图中可看到一个规律：新的方格内最小项的编号比对应的原方格增加了2n-1＝22-1＝2。按照这个规律折叠时，方格1后面为方格３,方格０后面为方格２，展开后即得图示的２变量卡诺图。
综上所述，可归纳“折叠展开”的法则如下：
①新增加的方格按展开方向应标以新变量。
②新的方格内最小项编号应为展开前对应方格编号加2n-1。
按照同样的方法，可从折叠的２变量卡诺图展开获得３变量卡诺图。３变量逻辑函数L(B, C, D)应有８个最小项，可用８个相邻的方格来表示。新增加的４个方格按展开方向应标以新增加的变量B（以区别于原来的变量C、D）。而且，新增加的方格内最小项的编号为展开前对应方格编号加2n-1=23-1=4，这样即可获得３变量卡诺图如下：
同理，可得４变量卡诺图，如下图所示。
在使用时，只要熟悉了卡诺图上各变量的取值情况（即方格外各变量A、B、C、D等取值的区域），就可直接填入对应的最小项。
将上图中的数码编号与最小项的编号——对应，可以得到下面这种形式的卡诺图。
2.卡诺图的特点
上面所得各种变量的卡诺图，其共同特点是可以直接观察相邻项
。也就是说，各小方格对应于各变量不同的组合，而且上下左右在几何上相邻的方格内只有一个因子有差别，这个重要特点成为卡诺图化简逻辑函数的主要依据。在卡诺图水平方向的同一行里，最左和最右端的方格也是符合上述相邻规律的，例如，m4和m6的差别仅在C和。同样，垂直方向同一列里最上端和最下端两个方格也是相邻的，这是因为都只有一个因子有差别。这个特点说明卡诺图呈现循环邻接的特性。
3.已知逻辑函数画卡诺图
根据逻辑函数的最小项表达式和卡诺图的一般形式，就可以得到相应的卡诺图。
例如，要画出逻辑函数的卡诺图时，可根据４变量卡诺图，对上列逻辑函数最小项表达式中的各项，在卡诺图相应方格内填入１，其余填入０，即可得到如下图所示的Ｌ的卡诺图。
例：画出
的卡诺图
解：
（1）利用摩根定律，可以将上式化简为：（2）因上式中最小项之和为Ｌ，故对Ｌ中的各最小项，在卡诺图相应方格内应填入０，其余填入１，即得下图所示的卡诺图。
四、用卡诺图化简逻辑函数
1.化简的依据
我们知道，卡诺图具有循环邻接的特性，若图中两个相邻的方格均为1，则这两个相邻最小项的和将消去一个变量。
比如４变量卡诺图中的方格５和方格７，它们的逻辑加是，项消去了变量Ｃ，即消去了相邻方格中不相同的那个因子。若卡诺图中４个相邻的方格为１，则这４个相邻的最小项的和将消去两个变量，如上述４变量卡诺图中的方格２、
３、７、６，它们的逻辑加是
消去了变量Ｂ和Ｄ，即消去相邻４个方格中不相同的那两个因子
，这样反复应用的关系，就可使逻辑表达式得到简化。这就是利用卡诺图法化简逻辑函数的某本原理。
2.化简的步骤
用卡诺图化简逻辑函数的步骤如下：
（1）将逻辑函数写成最小项表达式。
（2）按最小项表达式填卡诺图，凡式中包含了的最小项，其对应方格填1，其余方格填0。
（3）合并最小项，即将相邻的1方格圈成一组（包围圈），每一组含2n个方格，对应每个包围圈写成一个新的乘积项。
（4）将所有包围圈对应的乘积项相加。
有时也可以由真值表直接填卡诺图，以上的（1）、（2）两步就合为一步。
画包围圈时应遵循以下原则：
（1）包围圈内的方格数必定是2n个，n等于0、1、2、
3、…。
（2）相邻方格包括上下底相邻，左右边相邻和四角相邻。
（3）同一方格可以被不同的包围圈重复包围，但新增包围圈中一定要有新的方格，否则该包围圈为多余。
（4）包围圈内的方格数要尽可能多，包围圈的数目要尽可能少。
化简后，一个包围圈对应一个与项（乘积项），包围圈越大，所得乘积项中的变量越少。实际上，如果做到了使每个包围圈尽可能大
，结果包围圈个数也就会少，使得消失的乘积项个数也越多，就可以获得最简的逻辑函数表达式。下面通过举列来熟悉用卡诺图化简逻辑函数的方法。
例: 一个逻辑电路的输入是４个逻辑变量Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ，它的真值表如下，用卡诺图法求化简的与一或表达式及与非一与非表达式。解：
（1）由真值表画出卡诺图，如下图所示。
（2）画包围圈合并最小项，得简化的与一或表达式。
（3）求与非一与非表达式。
二次求非然后利用摩根定律得
利用卡诺图表示逻辑函数式时，如果卡诺图中各小方格被１占去了大部分，虽然可用包围１的方法进行化简，但由于要重复利用１项
，往往显得零乱而易出错。这时采用包围０的方法化简更为简单。即求出非函数再对求非，其结果相同，下面举例说明。
例：化简下列逻辑函数解：
（1）由Ｌ画出卡诺图，如图所示。
（2）用包围１的方法化简，如下图所示，得
所以有：
（3）用包围０的方法化简，如图所示，
根据图得到：，两边去反后可得：
两种方法得到的结果是相同的。
实际中经常会遇到这样的问题，在真值表内对应于变量的某些取值下，函数的值可以是任意的，或者这些变量的取值根本不会出现，这些变量取值所对应的最小项称为无关项
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或任意项。
无关项的意义在于，它的值可以取０或取１，具体取什么值，可以根据使函数尽量得到简化而定。
卡诺图化简 一卡诺图的构成 卡诺图是一种平面方格图，每个小方格代表一个最小项，故又称为最小项方格图。 1．结构特点 卡诺图中最小项的排列方案不是唯一的，图2．5(a)、(b)、(c)、(d)分别为2变量、3变量、4变量、5变量卡诺图的一种排列方案。图中，变量的坐标值0表示相应变量的反变量，1表示相应变量的原变量。各小方格依变量顺序取坐标值，所得二进制数对应的十进制数即相应最小项的下标i。 在五变量卡诺图中，为了方便省略了符号“m”，直接标出m的下标i 。 图2. 5 2～5变量卡诺图 从图2.5所示的各卡诺图可以看出，卡诺图上变量的排列规律使最小项的相邻关系能在图
形上清晰地反映出来。具体地说，在n个变量的卡诺图中，能从图形上直观、方便地找到每个最小项的n个相邻最小项。以四变量卡诺图为例，图中每个最小项应有4个相邻最小项，如m5的4个相邻最小项分别是m1，m4，m7，m13，这4个最小项对应的小方格与m5对应的小方格分别相连，也就是说在几何位置上是相邻的，这种相邻称为几何相邻。而m2则不完全相同，它的4个相邻最小项除了与之几何相邻的m3和m6之外，另外两个是处在“相对”位置的m0(同一列的两端)和m10(同一行的两端)。这种相邻似乎不太直观，但只要把这个图的上、下边缘连接，卷成圆筒状，便可看出m0和m2在几何位置上是相邻的。同样，把图的左、右边缘连接，便可使m2和m10相邻。通常把这种相邻称为相对相邻。除此之外，还有“相重”位置的最小项相邻，如五变量卡诺图中的m3，除了几何相邻的m1，m2，m 7和相对相邻的m11外，还与m19相邻。对于这种情形，可以把卡诺图左边的矩形重叠到右边矩形之上来看，凡上下重叠的最小项相邻，这种相邻称为重叠相邻。 归纳起来，卡诺图在构造上具有以下两个特点： ☆n个变量的卡诺图由2n个小方格组成，每个小方格代表一个最小项； ☆卡诺图上处在相邻、相对、相重位置的小方格所代表的最小项为相邻最小项。 二卡诺图的性质 卡诺图的构造特点使卡诺图具有一个重要性质：可以从图形上直观地找出相邻最小项合并。合并的理论依据是并项定理AB+AB=A。例如， 根据定理AB+AB=A和相邻最小项的定义，两个相邻最小项可以合并为一个与项并消去一个变量。例如，4变量最小项ABCD和ABCD相邻，可以合并为ABD；ABCD和ABCD 相邻，可以合并为ABD；而与项ABD和ABD又为相邻与项，故按同样道理可进一步将两个相邻与项合并为BD。 用卡诺图化简逻辑函数的基本原理就是把上述逻辑依据和图形特征结合起来，通过把卡
逻辑函数的图形化简法 一、最小项 1．最小项的特点（以三变量A，B，C为例）每项都只有三个因子（A，B，C）；每个变量都是它的一个因子；每一变量或以原变量(A，B，C)形式消失，或以非变量(A非，B非，C非)形式消失；每个乘积项的组合仅消失一次，且取值为 1；最小项可以编码。 2．最小项表达式及书写形式：最小项表达式是由若干个最小项相加的与—或表达式。任何一个规律表达式都可以化成最小项表达式。 2.一个规律函数，假如有n个变量，则有2n个最小项。 最小项的基本性质：a．只有一组取值使之为“1” b．任二最小项乘积与“0” c．所的最小项之和为“1” 例：3变量A，B，C，有23＝8个最小项，其形式为： 二、卡诺图（Karnaugh Map）1．卡诺图画法：三变量卡诺图: 说明:三变量卡诺图由8个最小项m0—m7组成，每个最小项占一个方格； AB组合中左数位代表A变量，右数位代表B变量。沿横向从一个方格进行到下一个方格时，两个数位只变化一个；原变量与非变量各
占4格。 四变量卡诺图: 说明: 四变量卡诺图由16个最小项m0—m15组成，每个最小项占一个方格；纵向方向因有两个变量CD，增加了8个方格，CD变化规律同AB；原变量与非变量各占8格。 2．相邻的概念二小格相邻组合: 例如:卡诺图中，有F（A，B，C，D）=∑m(2，3，8，10，12) （m8、m12）、（m2、m3）几何相邻，（m2、m10）规律相邻 四小格相邻组合：四小格相邻时，4个最小项可合并成1项，且可消去两个变量。 八方格相邻组合： 八方格相邻时，8个最小项可合并成1项，且可消去三个变量。 三、用卡诺图简化规律函数1．用卡诺图化简规律函数基本步骤： 2．几个留意点：必需使每个方格(最小项)至少被包含一次；使每个组合包含尽可能多的方格；全部的方格包含在尽可能少的不同组合中。未用最小项表示的规律函数的简化：规律函数未用(最小项)
1.4 用卡诺图化简逻辑函数 本次重点内容 1、卡诺图的画法与性质 2、用卡诺图化简函数 教学过程 应用卡诺图化简 一、卡诺图 逻辑函数可以用卡诺图表示。所谓卡诺图，就是逻辑函数的一种图形表示。对n 个变量的卡诺图来说，有2n 个小方格组成，每一小方格代表一个最小项。在卡诺图中，几何位置相邻（包括边缘、四角）的小方格在逻辑上也是相邻的。 二、最小项的定义及基本性质： 1、最小项的定义 在n 个变量的逻辑函数中，如乘积项中包含了全部变量，并且每个变量在该乘积项中或以原变量或以反变量的形式但只出现一次，则该乘积项就定义为该逻辑函数的最小项。通常用m 表示最小项，其下标为最小项的编号。编号的方法是：最小项的原变量取1，反变量取0，则最小项取值为一组二进制数，其对应的十进制数便为该最小项的编号。如最小项C B A 对应的变量取值为000，它对应十进制数为0。因此，最小项C B A 的编号为m 0，如最小项C B A 的编号为m 4，其余最小项的编号以此类推。 2、最小项的基本性质： （1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为1，而其余各种变量取值均使它的值为0。 （2）不同的最小项，使它的值为1的那组变量取值也不同。 （3）对于变量的任一组取值，全体最小项的和为1。 图1.4.1分别为二变量、三变量和四变量卡诺图。在卡诺图的行和列分别标出变量及其状态。变量状态的次序是00，01，11，10，而不是二进制递增的次序00，01，10，11。这样排列是为了使任意两个相邻最小项之间只有一个变量改变（即满足相邻性）。小方格也可用二进制数对应于十进制数编号，如图中的四变量卡诺图，也就是变量的最
逻辑函数的卡诺图化简法 逻辑函数的卡诺图化简法 由前面的学习得知，利用代数法可以使逻辑函数变成较简单的形式。但要求熟练掌握逻辑代数的基本定律，而且需要一些技巧，特别是经化简后得到的逻辑表达式是否是最简式较难确定。运用卡诺图法可以较简便的方法得到最简表达式。但首先需要了解最小项的概念。 一、最小项的定义及其性质 1.最小项的基本概念 由A、B、C三个逻辑变量构成的许多乘积项中有八个被称为A、B、C的最小项的乘积项，它们的特点是 1. 每项都只有三个因子 2. 每个变量都是它的一个因子 3. 每一变量或以原变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，或以反（非）变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，各出现一次一般情况下，对ｎ个变量来说，最小项共有2n个，如n ＝3时，最小项有23＝8个
2.最小项的性质 为了分析最小项的性质，以下列出３个变量的所有最小项的真值表。 由此可见，最小项具有下列性质： （1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1，而在变量取其他各组值时，这个最小项的值都是0。 （2）不同的最小项，使它的值为1的那一组变量取值也不同。 （3）对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0。 （4）对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。 3.最小项的编号 最小项通常用mi表示，下标i即最小项编号，用十进制数表示。以ABC为例，因为它和011相对应，所以就称ABC是和变量取值011相对应的最小项，而011相当于十进制中的3，所以把ABC记为m3按此原则，3个变量的最小项
二、逻辑函数的最小项表达式 利用逻辑代数的基本公式，可以把任一个逻辑函数化成一种典型的表达式，这种典型的表达式是一组最小项之和，称为最小项表达式 。下面举例说明把逻辑表达式展开为最小项表达式的方法。例如，要将化成最小项表达式,这时可利用的基本运算关系,将逻辑函数中的每一项都化成包含所有变量A、B、C的项，然后再用最小项下标编号来代表最小项，即 又如，要将化成最小项表达式，可经下列几步： （1）多次利用摩根定律去掉非号，直至最后得到一个只在单个变量上有非号的表达式； （2）利用分配律除去括号，直至得到一个与或表达式； （3）在以上第5个等式中，有一项AB不是最小项（缺少变量C），可用乘此项，正如第6个等式所示。 由此可见，任一个逻辑函数都可化成为唯一的最小项表达式。
逻辑函数卡诺图表示方法 从前面可知，代数化简法有其优点，但是代数化简法也不易判断所化简的逻辑函数式是否已经达到最简式。 一、最小项的定义 1.最小项 如果一个具有n 个变量的逻辑函数的“与项”包含全部n 个变量，每个变量以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这种“与项”被称为最小项。 对两个变量A 、B 来说，可以构成4个最小项：AB B A B A AB 、、、；对3个变量A 、B 、C 来说，可构成8个最小项：C AB C B A C B A BC A C B A C B A C B A 、、、、、、和 ABC ；同理，对n 个变量来说，可以构成2n 个最小项。 2.最小项的编号 最小项通常用符号m i 表示，i 是最小项的编号，是一个十进制数。确定i 的方法是：首先将最小项中的变量按顺序A 、B 、C 、D … 排列好，然后将最小项中的原变量用1表示，反变量用0表示，这时最小项表示的二进制数对应的十进制数就是该最小项的编号。例如，对三变量的最小项来说，ABC 的编号是7符号用m 7表示，C B A 的编号是5符号用m 5表示。下表为3变量最小项对应表。 3变量全部最小项的真值表 3.最小项表达式 如果一个逻辑函数表达式是由最小项构成的与或式，则这种表达式称为逻辑函数的最小项表达式，也叫标准与或式。例如：ABCD D ABC D BC A F ++=是一个四变量的最小项表达式。对一个最小项表达式可以采用简写的方式，例如
()()∑=++=++=7,5,2,,752m m m m ABC C B A C B A C B A F 要写出一个逻辑函数的最小项表达式，可以有多种方法，但最简单的方法是先给出逻辑函数的真值表，将真值表中能使逻辑函数取值为 1的各个最小项相或就可以了。 例：已知三变量逻辑函数：F ＝AB ＋BC ＋AC ，写出F 的最小项表达式。 解：首先画出F 的真值表，将表中能使F 为1的最小项相或可得下式 ABC C AB C B A BC A F +++=()∑=7,6,5,3m 4.最小项的性质： ①任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1，而其余各项的取值均使它的值为0。 ②不同的最小项，使它的值为1 的那组变量取值也不同。 ③对于变量的任一且取值，任意两个不同的最小项的乘积必为0。 ④全部最小项的和必为1。二、表示最小项的卡诺图 逻辑函数的图形化简法是将逻辑函数用卡诺图来表示，利用卡诺图来化简逻辑函数。 1.相邻最小项 定义：如果两个最小项中只有一个变量为互反变量，其余变量均相同，则这样的两个最小项为逻辑相邻，并把它们称为相邻最小项，简称相邻项。 2.最小项的卡诺图表示 卡诺图的构成：将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形式，并且使矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按照格雷码的顺序排列，这样构成的图形就是卡诺图。下图为各不同变量的卡诺图。 图6.33二变量卡诺图 00011110m AB m AB 1m 03m AB AB 4A (a) B 1 3 2 AB (b) 0m ABC m ABC 1m 3m ABC ABC 265m ABC 74ABC m m m ABC ABC 0(a) (b) 1324 5 7 6 10 01 11 00 BC A 01 B C A
第十章 数字逻辑基础 补充：逻辑函数的卡诺图化简法 1．图形图象法：用卡诺图化简逻辑函数，求最简与或表达式的方法。卡诺图是按一定 规则画出来的方框图。 优点：有比较明确的步骤可以遵循，结果是否最简，判断起来比较容易。 缺点：当变量超过六个以上，就没有什么实用价值了。 公式化简法优点：变量个数不受限制 缺点：结果是否最简有时不易判断。 2．最小项 （1）定义：是一个包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的 形式出现一次。 注意：每项都有包括所有变量，每个乘积它中每个变量出现且仅出项1次。 如：Y=F （A ，B ） （2个变量共有4个最小项B A B A B A AB ） Y=F （A ，B ，C ） （3个变量共有8个最小项C B A C B A C B A BC A C B A C B A C AB ABC ） 结论： n 变量共有2n 个最小项。 三变量最小项真值表 （2）最小项的性质 ①任一最小项，只有一组对应变量取值使其值为1： ②任意两个最小项的乘种为零； ③全体最小项之和为1。 （3）最小项的编号：把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的十进制数，就是该最小项的编号，用m i 表示。 3．最小项表达式——标准与或式 任何逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式——标准与或式。而且这种形式是惟一的，即一个逻辑函数只有一种最小项表达式。 例1．写出下列函数的标准与或式：Y=F(A,B,C)=AB+BC+CA 解：Y=AB(C +C)+BC(A +A)+CA(B +B) =ABC C B A ABC BC A ABC C AB +++++ =ABC C B A BC A C AB +++ =3567m m m m +++ 例2.写出下列函数的标准与或式：C B AD AB Y ++=
逻辑函数的卡诺图化简法案例分析 1.卡诺图化简逻辑函数的原理 (1)2相邻项结合（用一个包围圈表示），可消去1个变量。如图6.39所示。 (2)4相邻项结合（用一个包围圈表示），可以消去2个变量，如图6.40所示。 (3)8相邻项结合（用一个包围圈表示），可以消去3个变量，如图6.41所示。 图6.39 2个相邻的最小项合并 图6.40 4个相邻的最小项合并 图6.41 8个相邻的最小项合并 总之，2n 个相邻的最小项结合，可以消去n 个取值不同的变量而合并为l 项。 2．用卡诺图合并最小项的原则 用卡诺图化简逻辑函数，就是在卡诺图中找相邻的最小项，即画圈。为了保证将逻辑函数化到最简，画圈时必须遵循以下原则： (1)圈要尽可能大，这样消去的变量就多。但每个圈内只能含有2n （n=0,1,2,3……）个相邻项。要特别注意对边相邻性和四角相邻性。 (2)圈的个数尽量少，这样化简后的逻辑函数的与项就少。 A B C D A B C D 11 1 1 1 1 1 11 1 11 1 11 ABD ABC ABD BCD BC CD BD （四角） D A B C 1 111 11 111 1 1 1B C
(3)卡诺图中所有取值为1的方格均要被圈过，即不能漏下取值为1的最小项。 (4)取值为1的方格可以被重复圈在不同的包围圈中，但在新画的包围圈中至少要含有1个末被圈过的1方格，否则该包围圈是多余的。 3.用卡诺图化简逻辑函数的步骤 (1)画出逻辑函数的卡诺图。 (2)合并相邻的最小项，即根据前述原则画圈。 (3)写出化简后的表达式。每一个圈写一个最简与项，规则是，取值为l 的变量用原变量表示，取值为0的变量用反变量表示，将这些变量相与。然后将所有与项进行逻辑加，即得最简与—或表达式。 例3:用卡诺图化简逻辑函数：D C B A D C B A D B A AD F +++= 解：(1)由表达式画出卡诺图如图6.43所示。 (2)画包围圈合并最小项，得简化的与—或表达式:D B AD F += 图6.42 例3卡诺图 图6.43例4卡诺图 注意：图中的虚线圈是多余的，应去掉；图中的包围圈D B 是利用了四角相邻性。 例4: 某逻辑函数的真值表如表6.4所示，用卡诺图化简该逻辑函数。 解法1：(1)由真值表画出卡诺图，如图6.44所示 (2)画包围圈合并最小项，如图6.44（a ）所示，得简化的与—或表达式： C A B A C B L ++= 解法2：(1)由表达式画出卡诺图，如图6.44所示 (2)画包围圈合并最小项，如图6.44（b ）所示，得简化的与—或表达式： C A C B B A L ++= D A B C D C B A 11111 11 1 1 1 10000 01 1 11 1 1 11000 000 L F 表6.4 真值表 1A 1 L B 1101 1 01 0B 1 L 01A 1 11
第十章数字逻辑基础 补充：逻辑函数的卡诺图化简法 1.图形图象法：用卡诺图化简逻辑函数，求最简与或表达式的方法。卡诺图是按 一定规则画出来的方框图。 优点：有比较明确的步骤可以遵循，结果是否最简，判断起来比较容易。 缺点：当变量超过六个以上，就没有什么实用价值了。 公式化简法优点：变量个数不受限制 缺点：结果是否最简有时不易判断。 2.最小项 （1）定义：是一个包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的形式出现一次。 注意：每项都有包括所有变量，每个乘积它中每个变量出现且仅出项 1 次。如：Y=F（A，B）（2 个变量共有4 个最小项AB AB AB AB ）Y=F（A，B，C）（3 个变量共有 8 个最小项ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ） 结论： n 变量共有 2n个最小项。 三变量最小项真值表 （2）最小项的性质 ①任一最小项，只有一组对应变量取值使其值为 1： ②任意两个最小项的乘种为零； ③全体最小项之和为 1。 （3）最小项的编号：把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的十
进制数，就是该最小项的编号，用 m i 表示。 3.最小项表达式——标准与或式 任何逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式——标准与或式。而且这种形式是惟一的，即一个逻辑函数只有一种最小项表达式。 例 1．写出下列函数的标准与或式：Y=F(A,B,C)=AB+BC+CA 解：Y=AB( C +C)+BC( A +A)+CA( B +B) = ABC +ABC +ABC +ABC +ABC +ABC = ABC +ABC +ABC +ABC = m 7 +m 6 +m 5 +m 3 例 2.写出下列函数的标准与或式：Y =AB +AD +BC 解：Y =（A +B)( A +D)(B +C) = ( A +BD)(B +C) =AB +AB +AC +BCD =ABC +ABC +ABC +ABCD +ABCD =ABCD + _ ABCD +ABCD +ABCD +ABCD +ABCD +ABCD =m 7 +m 6 +m 5 +m 4 +m 1 +m +m 8 ＝∑ m (0,1,4,5,6,7,8）列真值表写最小项表达式。
卡诺图化简方法 学生姓名：陈曦指导教师：杜启高 将输出与输入之间的逻辑关系写成与、或、非等运算的组合式，就是逻辑函数式。 一、逻辑函数的卡诺图表示法 将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，所得到的图形称为n变量最小项的卡诺图。 为了保证图中几何位置相邻地最小项在逻辑上也具有相邻性，这些数码不能按自然二进制数从小到大地顺序排列，而必须按图中的方式排列，以确保相邻的两个最小项仅有一个变量是不同的。 从卡诺图上可以看到，处在任何一行或一列两端的最小项也仅有一个变量不同，所以它们也具有逻辑相邻性。因此，从几何位置上应当将卡诺图看成是上下、左右闭合的图形。 任何一个逻辑函数都能表示为若干最小项之和的形式，自然也可以用卡诺图来表示任意一个逻辑函数。具体做法是：首先将逻辑函数化为最小项之和的形式，然后在卡诺图上标出与之相对应的最小项，在其余位置上标入0，就得到了表示该逻辑函数的卡诺图。也就是说，任何一个逻辑函数都等于卡诺图中填入1的那些最小项之和。 二、用卡诺图化解逻辑函数 化简时依据的基本原理就是具有相邻性的最小项可以合并，并消去不同的因子。由于在卡诺图上几何位置相邻与逻辑上的相邻性是一致的，因而从卡诺图上能直观的找出那些具有相邻性的最小项并将其合并化简。 合并最小项的原则：若两个最小项相邻，则可以合并为一项并消去一对因子。若四个最小项相邻并排列成一个矩形组，则可合并为一项并消去两队因子。若八个最小项相邻并且排列成一个矩形组，则可以合并成一项并消去三对因子。合并后的结果中只剩下公共因子。 卡诺图化简法步骤：（一）将函数式化为最小项之和的形式； （二）画出表示该逻辑函数的卡诺图； （三）找出可以合并的最小项； （四）画出包围圈并选取化简后的乘积项。 在画包围圈时要注意：（一）包围圈越大越好； （二）包围圈的个数越少越好； （三）同一个“1”方块可以被圈多次； （四）画包围圈时，可先圈大，再圈小； （五）每个圈要有新的成分，如果某一圈中所有的“1”方块均被别的包围圈包围，就可以舍掉这个包围圈； （六）不要遗漏任何方块。 通常我们都是通过合并卡诺图中的1来求得化简结果得。但有时也可以通过合并卡诺图中的0先求出'Y的化简结果，然后再将'Y求反而得到Y。
利用卡诺图化简逻辑函数的方法称为卡诺图化简法或图形化简法。化简时依据的基本原理就是具有相邻性的最小项可以合并，并消去不同的因子。由于在卡诺图上几何位置相邻与逻辑上的相邻性是一致的，因而从卡诺图上能直观地找出那些具有相邻性的最小项并将其合并化简。 1.合并最小项的规则 (1)若两个最小项相邻，则可合并为一项并消去一对因子。合并后的结果中只剩下公共因子。 (2)若四个最小项相邻并排列成一个矩形组，则可合并为一项并消去两对因子。合并后的结果中只包含公共因子。 (3)若八个最小项相邻并且排列成一个矩形组，则可合并为一项并消去三对因子。合并后的结果中只包含公共因子。 l下图给出了最小项相邻的几种情况 最小项相邻的几种情况图 (a)(b)两个最小项相邻(c)(d)四个最小项相邻(e)八个最小项相邻 至此，可以归纳出合并最小项的一般规则：如果有个最小项相邻（n=1，2，…）并排列成一个矩形组，则它们可以合并为一项，并消去n对因子。合并后的结果中仅包含这些最小项的公共因子。
2.卡诺图化简法的步骤 用卡诺图化简逻辑函数时可按如下步骤进行： (1)将函数化为最小项之和的形式。 (2)画出表示该逻辑函数的卡诺图。 (3)找出可以合并的最小项。 (4)选取化简后的乘积项。选取的原则： n这些乘积项应包含函数式中所有的最小项（应覆盖卡诺图中所以的1） n所用的乘积项数目最少，即可合并的最小项组成的矩形组数目最少 n每个乘积项包含因子最少，即各可合并的最小项矩形组中应包含尽量多的最小项例1：用卡诺图化简法将式化简为最简与—或函数式 解：首先画出表示函数y的卡诺图，如图 通过合并最小项，得出结果， 左图： 右图： 注： l在填写y的卡诺图时，并不一定要将y化为最小项之和的形式。 l需要找出可以何并的最小项，将可能合并的最小项用线圈出，有时存在多种可能合并最小项的方案，所以有时一个逻辑函数的化简结果不是唯一的。
一、公式法化简：是利用逻辑代数的基本公式，对函数进行消项、消因子。常用方法有： ①并项法利用公式AB+AB’=A 将两个与项合并为一个，消去其中的一个变量。 ②吸收法利用公式A+AB=A 吸收多余的与项。 ③消因子法利用公式A+A’B=A+B 消去与项多余的因子 ④消项法利用公式AB+A’C=AB+A’C+BC 进行配项，以消去更多的与项。 ⑤配项法利用公式A+A=A，A+A’=1配项，简化表达式。 二、卡诺图化简法 逻辑函数的卡诺图表示法 将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上相邻排列，得到的图形叫做n变量最小项的卡诺图。 逻辑相邻项：仅有一个变量不同其余变量均相同的两个最小项，称为逻辑相邻项。 1.表示最小项的卡诺图 将逻辑变量分成两组，分别在两个方向用循环码形式排列出各组变量的所有取值组合，构成一个有2n个方格的图形，每一个方格对应变量的一个取值组合。具有逻辑相邻性的最小项在位置上也相邻地排列。 用卡诺图表示逻辑函数： 方法一：1、把已知逻辑函数式化为最小项之和形式。 2、将函数式中包含的最小项在卡诺图对应的方格中填1，其余方格中填0。 方法二：根据函数式直接填卡诺图。 用卡诺图化简逻辑函数： 化简依据：逻辑相邻性的最小项可以合并，并消去因子。 化简规则：能够合并在一起的最小项是2n个。 如何最简：圈数越少越简；圈内的最小项越多越简。 注意：卡诺图中所有的1 都必须圈到，不能合并的1 单独画圈。 说明，一逻辑函数的化简结果可能不唯一。 合并最小项的原则： 1）任何两个相邻最小项，可以合并为一项，并消去一个变量。 2）任何4个相邻的最小项，可以合并为一项，并消去2个变量。 3）任何8个相邻最小项，可以合并为一项，并消去3个变量。 卡诺图化简法的步骤： 画出函数的卡诺图; 画圈（先圈孤立1格；再圈只有一个方向的最小项（1格）组合）； 画圈的原则：合并个数为2n；圈尽可能大（乘积项中含因子数最少）；圈尽可能少（乘积项个数最少）；每个圈中至少有一个最小项仅被圈过一次，以免出现多余项。 写出最简与或表达式。
1.最小项的基本概念 由A、B、C三个逻辑变量构成的许多乘积项中有八个被称为A、B、C的最小项的乘积项，它们的特点是 1. 每项都只有三个因子 2. 每个变量都是它的一个因子 3. 每一变量或以原变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，或以反（非）变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，各出现一次 一般情况下，对ｎ个变量来说，最小项共有2n个，如n＝3时，最小项有23＝8个 2.最小项的性质 为了分析最小项的性质，以下列出３个变量的所有最小项的真值表。 由此可见，最小项具有下列性质： （1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1，而在变量取其他各组值时，这个最小项的值都是0。 （2）不同的最小项，使它的值为1的那一组变量取值也不同。 （3）对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0。 （4）对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。 3.最小项的编号 表示，下标i即最小项编号，用十进制数表示。以ABC为最小项通常用m i 例，因为它和011相对应，所以就称ABC是和变量取值011相对应的最小项，而 按此原则，3个变量的最小项 011相当于十进制中的3，所以把ABC记为m 3
二、逻辑函数的最小项表达式 利用逻辑代数的基本公式，可以把任一个逻辑函数化成一种典型的表达式，这种典型的表达式是一组最小项之和，称为最小项表达式 。下面举例说明把逻辑表达式展开为最小项表达式的方法。例如，要将 化成最小项表达式,这时可利用的基本运算关系,将 逻辑函数中的每一项都化成包含所有变量A、B、C的项，然后再用最小项下标编号来代表最小项，即 又如，要将化成最小项表达式，可经下列几步：（1）多次利用摩根定律去掉非号，直至最后得到一个只在单个变量上有非号的表达式； （2）利用分配律除去括号，直至得到一个与或表达式；
逻辑函数的卡诺图化简法 习题及参考答案 习题1 用卡诺图化简下列函数，并写出最简与或表达式： （1）C B C B B A F ++= 参考答案：B A F +=，卡诺图如下所示。 （2）D B A CD A B A D C A ABD F ++++= 参考答案：CD A D B A D C B BD B A F +⋅+⋅⋅++=，卡诺图如下所示。 （3）()15,13,10,8,7,5,2,0),,,(∑=D C B A F 参考答案：D B BD F ⋅+=，卡诺图如下所示。
习题2 用卡诺图化简下列具有约束条件为AB +AC = 0的函数，并写出最简与或表达式： （1）C A B A F += 参考答案：C A B F ⋅+=，卡诺图如下所示。 （2）D C B A D B A BD A C B A F +++= 参考答案：D A C B F ++=，卡诺图如下所示。 习题3 根据如下真值表，写出逻辑函数。化简此函数，并画出逻辑图。 A B C F 1 F 2 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 参考答案：C B A AC C B ABC C B A C B A C B A F ++=+++⋅=1
BC AC AB ABC C AB C B A BC A F ++=+++=2 逻辑图如下所示： 习题4 某逻辑电路有三个输入A 、B 、C ，当输入相同时，输出为1，否则输出为0，列出此逻辑事件的真值表，写出逻辑表达式。 参考答案：真值表如下图所示 逻辑表达式为ABC C B A F +⋅⋅=
卡诺图化简逻辑函数的方法和理论依据
数字电子技术课程研讨 摘要：从最小项的定义和性质入手，简述卡诺图化简逻辑函数的理论依据以及化简是否达到最简形式的判定标准。通过举例来解释利用卡诺图化简少变量逻辑函数的一般方法，以及卡诺图在数字电子技术中其他应用。另外介绍一种多变量逻辑函数的卡诺图解法。关键词：卡诺图；最小项；逻辑函数化简；多变量
图（2） 图（3） 2.2 卡诺图的特点 卡诺图是逻辑函数的一种图形表示，卡诺图的图形特征表现出了它的特点。卡诺图的特点主要有以下三点： （1）卡诺图中的每个小方格对应一个最小项。 （2）具有循环相邻的特性，即卡诺图中同一行里最左和最右端的小方格是相邻的，同一列里最上和最下端的小方格也是相邻的。 （3）逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻，这个特性是由于我们对变量的排布采用的是格雷码。 ①每个2输入变量的最小项有两个最小项与它相邻； ②每个3输入变量的最小项有三个最小项与它相邻； ③每个4输入变量的最小项有四个最小项与它相邻。 2.3 卡诺图化简的基本原理 用卡诺图化简逻辑函数的基本原理就是把“相邻的最小项之和可以合并成一个与项，并消去因子”的逻辑依据和卡诺图的图形特征结合起来，通过把卡诺图上表征相邻最小项的相邻小方格“圈”在一起进行合并，达到用一个简单“与”项代替若干最小项的目的。 2.4 卡诺图化简的性质 （1）卡诺图上任何21标1的相邻最小项，可以合并为一个“与”项，并消去一个
变量。 （2）卡诺图上任何22标l的相邻最小项，可以合并为一个“与”项，并消去二个变量。 （3）卡诺图上任何23标1的相邻最小项，可以合并为一个“与”项，并消去三个变量。 可见，相邻最小项的数目必须为2i个才能合并成一个“与”项，并消去i／b 变量。 2.5 逻辑函数是否达到最简表达式的判断方法 与-或式最简的标准是：首先表达式中的与项最少，其次是与项中的变量最少，在卡诺图上体现为：甩最少量的且尽可能大的圈覆盖函数的全部最小项。函数化简过程就是按最简的标准将相邻最小项在卡诺图上合并的过程。因此根据卡诺图化简法的基本原理，我们可以得到化简是否达到最简形式的判定标准：是否选择了尽可能少的方格群，且每个方格群是否尽可能的大。 3 卡诺图法化简逻辑函数的一般步骤 3.1 将逻辑函数化为最小项表达式 当逻辑函数不是最小项表达式时，可以用配项法将逻辑函数化为最小项表达式。这样才可以填入卡诺图并用卡诺图法化简。 例如：F（A，B，C，D）= AB+BCD+ACD+ABD = AB（C+C）（D+D）+ BCD（A+A） +ACD（B+B）+ABD（C+C） =ABCD+ ABCD+ ABCD+ ABCD+ ABCD+ ABCD+ ABCD + ABCD+ ABCD+ ABCD = Σm（6，9，12，13，14，15） 3.2 由最小项表达式画出卡诺图 例如上面给出的F（A，B，C，D）= Σm（6，9，12，13，14，15）。根据此最小项表达式画出对应的卡诺图：
卡诺图化简逻辑函数
卡诺图化简逻辑函数的方法和理论依据
0 引言 在逻辑电路的分析和设计中，经常会遇到逻辑函数的化简问题。如果利用常规的公式法化简，除需要掌握大量的基本公式外，还需要能够灵活、交替地运用各种方法，方可求得最简结果，而且有时不易判断是否已简化到最简形式，技巧性较强，对使用者的要求较高。 当所需化简的逻辑函数输入变量较少时（一般不大于4个），利用科诺图化简法可以更简单、直接的得到逻辑函数的最简表达式。因此逻辑函数的卡诺图化简法在实际分析、设计电路时有很广泛的应用。 1 最小项定义及其性质 1.1最小项的定义 设有n个逻辑变量，由它们组成具有n个变量的“与”项中，每个变量以原变量或者反变量的形式出现一次且仅出现一次，则称这个与项为最小项。对于n 个变量来说，可有2n个最小项。 任何一个逻辑函数均可表示成惟一的一组最小项之和，称它为标准的与或表达式，也称为最小项表达式。对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为1，而变量的其他取值都使该最小项为0。事实上，真值表的每一行对应着一个最小项。表（1）中列出了最小项取值为1时，各输入变量的取值。我们约定：将最小项为l时各输入变量的取值视为二进制，其对应的十进制i作为最小项的编号，并把该最小项记作m 。如A、B、C三个变量有2n =8个最小项，如表 i （1）所示。 图（1）
1.2最小项的性质 最小项具有以下三个性质： (1)全体最小项之和为1； (2)任意两个最小项之积为0； (3)若两个最小项之间只有一个变量不同，即在一个最小项中是原变量，在另一个最小项中是反变量，其余各变量均相同，则称这两个最小项是相邻项。两个相邻的最小项之和可以合并成一个与项，并消去一个因子。这一性质很重要，这正是用卡诺图化简逻辑函数的逻辑依据。如：ABC+ABC=（A+A）BC=BC。 2 卡诺图 2.1 卡诺图 把真值表中的最小项重新排列，把它们排列成矩阵形式，并且使矩阵的横方向和纵方向的布尔变量按格雷码的顺序排列，这样构成的图形就是卡诺图。 卡诺图是逻辑函数的一种图形表示。将一个逻辑函数的最小项表达式中的各最小项相应地填入一个方格图内，此方格图即为卡诺图。卡诺图是一种平面方格图，每个小方格代表一个最小项，故又称为最小项方格图。 卡诺图的实质就是真值表的图形化，使得最小项排列得更紧凑，更便于化简。卡诺图中最小项的排列方案不是惟一的；变量的坐标值0表示相应变量的反变量，1表示相应变量的原变量；各小方格依变量顺序取坐标值，所得二进制数对应的十进制数即相应最小项的下标i。 对应于一组n个逻辑变量，则函数共有2n个最小项。如果把每个最小项用一个小方格表示，再将这些小方格以格雷码顺序排列，就可以构成n个变量的卡诺图。
逻辑函数的卡诺图化简法 （1）卡诺图化简性质 性质1：卡诺图中两个逻辑相邻的1方格的最小项可以合并成一个与项，消去一个变量。 值得注意的是：逻辑相邻不仅仅是几何位置上的相邻，最左边的列与最右边的列、最上面的行和最下面的行都是逻辑相邻的。 性质2：卡诺图中四个逻辑相邻1方格的最小项可以合并成一个与项，并消去两个变量。 性质3：卡诺图中八个逻辑相邻的1方格可以合并成一个与项，并消去三个变量。 （2）卡诺图化简步骤及举例 用卡诺图化简逻辑函数的步骤： ① 画出函数的卡诺图； ② 仔细观察卡诺图，找出n 2（n 为正整数）个逻辑相邻的１值格，并给它们画上圈，画圈的原则要使圈尽可能大； ③ 按照卡诺图化简性质，写出最简与或表达式。 例1 用卡诺图化简方法求逻辑函数)7,6,3,2,1(),,,(∑=C B A F 的最简与或表达式。 解 ① 画出函数F 的卡诺图。 对于在函数F 的标准与或表达式中出现的最小项，在该卡诺图的对应小方格中填1，其余方格填０或者不填，该函数的卡诺图如图1（a ）所示。 ② 给逻辑相邻的1值格画圈。 把图中相邻且能合并在一起的1值格圈在一个大圈中，如图1（b ）所示。 注意相邻的１值格可被重复圈用。 ③ 按照卡诺图化简性质，写出每个圈的最简与或表达式，并把它们相或起来，就得到该逻辑函数的最简与或表达式。 对卡诺图中画的两个圈进行化简，四个１值格相邻的圈，可以消掉２个变量，化简后得到B ；两个１值格相邻的圈，可以消掉１个变量，化简后得C A 。 将这两个与项相或，便得到该逻辑函数的最简与或表达式：B C A F +=。 例2 用卡诺图化简函数D C AB CD B A D C B A CD B A D C B A F +++= ),,,(。 解 ① 画出函数F 的卡诺图。 把逻辑函数写成最小项形式如下： D C AB CD B A D C B A CD B A D C B A F +++= ),,,( 131193m m m m +++= ∑=)13,11,9,3(m 图1 例1的卡诺图