空间向量及其线性运算
【学习目标】
1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示方法与字母表示方法； 2．掌握空间向量的线性运算（加法、减法和数乘）及其运算律； 3．掌握数量积的概念及其几何意义，掌握数量积的运算律；
4．掌握空间向量的共线定理和共面定理，并能用它们分析解决有关问题． 【要点梳理】
要点一：空间向量的相关概念 1．空间向量的定义：
空间向量：空间中，既有大小又有方向的量；
空间向量的表示：一种是用有向线段AB 表示，A 叫作起点，B 叫作终点；
一种是用小写字母a （印刷体）表示，也可以用a （而手写体）表示． 向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作||AB 或||a .
向量的夹角：过空间任意一点O 作向量a b ，的相等向量OA 和OB ，则↓AOB 叫作向量a b ，的夹角，记作?a b ，∠，规定0??a b ，∠?π．如图：
要点诠释：
（1）空间中点的一个平移就是一个向量；
（2）数学中讨论的向量是自由向量，即与向量的起点无关，只与大小和方向有关. 只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移；
（3）要确定向量a b ，的夹角必须将它们平移到同一起点；
（4）当?a b ，∠=0或π时，向量a ，b 平行，记作a ?b ；当 ?a b ，∠=
2
π
时，向量 a b ，垂直，记作a ⊥b .
2．空间向量的有关概念：
零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为0．规定：0与任意向量平行．
单位向量：长度为1的空间向量，即||1a =．
相等向量：方向相同且模相等的向量． 相反向量：方向相反但模相等的向量．
共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平
行向量．a 平行于b 记作b a
//，此时．?a b ，∠=0或?a b ，∠=π．
共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 要点诠释：
（1）当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b
的有向线段所在的直线可能是同一直线，
也可能是平行直线．
（2）向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此我们说空间
任意两个向量是共面的．
（3）对于任意一个非零向量a ，我们把
a
a
叫作向量a 的单位向量，记作0a .0a 与a 同向. 要点二：空间向量的加减法 1．向量加法与减法的定义
空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．（如下图）．
2．向量加减法的运算律 交换律：a b b a +=+； 结合律：()()a b c a b c ++=++.
要点诠释：
（1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；
（2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则． （3）空间向量加法的运算的小技巧：
① 首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即：
12233411n n n A A A A A A A A A A -+++
+=
因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ② 首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即：
122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++=；
要点三：空间向量的数乘运算
1．向量数乘的定义：空间向量a 与实数λ的乘积a λ仍是一个向量，称为向量的数乘运算．满足： （1）|λa |=|λ||a |．当λ＞0时，a λ与a 方向相同；
（2）当λ＞0时，a λ与a 方向相同；当λ< 0时，a λ与a 方向相反；当λ= 0时，a λ=0．
如右图所示．
2．向量数乘的运算律
分配律：λ (a +b )=a λ+b λ，（λ+μ）a =a λ+μa （λ ，μ↑R ）；
结合律：λ (μa )= (λμ) a （λ ，μ↑R ）．
要点诠释：
（1）实数λ与空间向量a 的乘积a λ（λ∈R ）为空间向量的数乘运算，空间向量的数乘运算可把向
伸长或缩短或改为反方向的向量，当0＜λ＜1时，向量缩短；当λ＞1时，向量伸长；当λ＜0时，改为反方向的向量．
（2）注意实数与向量的积的特殊情况，当λ=0时，a λ=0；当λ≠0时．若a ≠0时，有a λ≠0．
（3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，比如：λ+a ，λ－a 无意义． 要点四：空间向量的数量积 1．数量积的定义
空间中两个向量a 和b 的数量积是一个数，等于|a ||b |cos 〈a ，b 〉，记作a ·b ，即a ·b =|a ||b |cos 〈a ，b 〉．
要点诠释：
（1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．
（2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其
符号由夹角的余弦值决定．
（3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定
要将它们区别开来，不可混淆． 2.空间向量数量积的性质
设,a b 是非零向量，e 是单位向量，则 （1）||cos ,a e e a a a e ?=?=<>； （2）0a b a b ⊥??=； （3）2||a a a =?或||a a a =?； （4）cos ,||||
a b
a b a b ?<>=
?；
（5）||||||a b a b ?≤?.
3．空间向量的数量积满足如下运算律： （1）交换律：a ·b b =·a ；
（2）分配律：a ·
b c +=（）a ·b a?c + b+a ·c ； （3）(λa )·b =λ()a?
b ． 要点诠释：
（1） 对于三个不为0的实数a b c 、、，若a?
b a?
c =，则b c =；对于三个不为0的向量， 若a b b c =不能得出b c =，即向量不能约分．
（2） 若a?b k =，不能得出a b k =
（或b a
k
=），就是说，向量不能进行除法运算． （3） 对于三个不为0的实数，a b c 、、有()()ab c a bc =，对于三个不为0的向量a b c 、、，
有()()a b c a b c ≠，向量的数量积不满足结合律．
要点五：共线定理 1. 共线定理
空间任意两个向量a 与b （b ≠0）共线的充要条件是存在实数λ，使a ≠b λ． 要点诠释：
（1）此定理可分解为以下两个命题：
① a ∥b （b ≠0）?存在唯一实数λ，使得a =b λ； ② 存在唯一实数λ，使得a =b λ（b ≠0），则a ∥b ． （2）b ≠0不可丢掉，否则实数λ就不唯一．
（3）当b =0时，对于任意一个向量a ，a ∥b 恒成立. 2．共线定理的用途：
①判定两条直线平行（进而证线面平行）； ②证明三点共线． 注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法．证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点．
要点六：共面定理 1．共面向量的定义
通常把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
注意： 空间任两个向量是共面的，但空间任三个向量就不一定共面了．
2．共面向量定理．
如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的充要条件是存在唯一的有序 实数对（,x y ），使p xa yb =+．
推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使
MP x MA y MB
=+ 或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++， 上式叫做平面MAB 的向量表达式． 3．共面向量定理的用途： ① 证明四点共面
② 证明线面平行（进而证面面平行）． 【典型例题】
类型一：空间向量的线性运算
例 1. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -，M 是AA ＇的中点，点G 在对角线'A C 上且C G G A ∶＇=2∶1，设C D=C B =C C '=，，a b c ，试用、、a b c 表示CA 、'CA 、CM 、CG ．
【思路点拨】 要想用、、a b c 表示所给出的向量，只需结合图形充分利用空间向量的线性运算律即可．
【解析】如图所示．
CA CB BA a b =+=+．
'''CA CA AA CA CC a b c =+=+=++． 11'22
CM CA AM CB CD CC a b c =+=++=++． 22
'()33
CG CA a b c =
=++． 【总结升华】 在用已知向量表示未知向量的时候，要注意寻求两者之间的关系，通常可将未知向量
进行一系列的转化，将其转化到与已知向量在同一四边形（更多的是平行四边形）或三角形中，从而可以建立已知与未知之间的关系式．另外，在平行六面体中，要注意相等向量之间的代换．例如，在求'CA 时，利用了''AA CC =，把'AA 转化为'CC ．把一个向量用其他向量来表示，其实质就是把一个向量进行分解，这也是为学习向量共面定理和向量的空间坐标表示奠定基础．
举一反三：
【变式1】如图，在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与11D B 的交点．若AB a =，
AD b =，1AA c =，则下列向量中与相等的向量是（ ）
()A 1122a b c -++ ()B 1122
a b c ++
()C 1122
a b c -
-+ ()D c b a +-21
21
【答案】A
显然 =
+-=+=111)(2
1AA B BB 1122a b c -++． 【变式2】如图，设四面体ABCD 的三条棱AB =b ，AC =c ，AD =d ，Q 为△BCD 的重心，M 为BC 的中点，试用b 、c 、d 表示向量DM 、AQ ．
【答案】DM 1(2)2
=
+-b c d ；AQ =()1
++3b c d
∵ M 为BC 的中点，
C1
∴ 11()[()()]22DM DB DC =
+=-+-b d c d 1
(2)2
=+-b c d ， 23AQ AD DQ DM =+=+d 11
(2)()33
=++-=++d b c d b c d ．
【变式3】已知在平行六面体''''ABCD A B C D -中，设CD a =，CB b =，'CC c =，
试用向量a 、b 、c 来表示向量CA 、'CA .
【答案】CA =+a b ；'CA =++a b c
在平行六面体''''ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是平行四边形， CA CB CD =+=+=+b a a b .
又因为四边形''ACC A 为平行四边形， ∴'''CA CA CC CB CD CC =+=++=++a b c .
例2. 如右图，在长方体1111—ABCD A B C D 中，下列各式中运算结果为向量1BD 的是（ ）．
①111()AD A A AB --； ②111()BC BB DC +-； ③1()AD AB DD --； ④1111()B D A A DD -+．
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
【思路点拨】 在进行减法运算时，可将减去一个向量转化为加上这个向量的相反向量，而在进行加法运算时，首先考虑这两个向量在哪个平面内，然后像平面向量求和那样，运用向量运算定律、平行四边形法则、三角形法则及多边形法则来求解．
【答案】A 【解析】
① 1111111()AD A A AB AD AA BA BD --=++=；
②1111111111()BC BB DC BC BB C D BC C D BD +-=++=+=；
③11111111()22AD AB DD BD D D BD DD BD DD DD BD DD BD --=+=-=+-=-≠； ④111111*********()B D A A DD B D AA DD B D BB DD BD DD BD -+=++=++=+≠．
因此，①②两式的运算结果为向量1BD ，而③④两式运算的结果不为向量1BD ．故选A ．
【总结升华】化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法时既可转化为加法，也可按减法法则进行运算，加、减之间可以相互转化．表达式中各向量系数相等时，根据数乘分配律，可以把相同的系数提到括号外面．
举一反三：
【变式1】如图，已知长方体''''ABCD A B C D -，化简下列向量表达式： （1）'AA CB -； （2）
111
'222
AD AB A A +-． 【解析】 化简向量时，一般先用平行四边形得到相等的向量或相反向量，再将它们转化为具有同一
起点的向量，最后利用三角形法则或平行四边形法则化简．
（1）''''AA CB AA BC AA AD AD -=+=+=； （2）
111111''222222AD AB A A AD AB AA +-=++11
(')'22
AD AB AA AC =++=． 【高清课堂：空间向量及其线性运算399109 例题1】
【变式2】 已知平行六面体1111ABCD A BC D -，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量：
（1） 1AB AD AA ++ ；
（2） 1DD AB BC -+；
【答案】 (1)11AB AD AA AC ++=；(2) 11DD AB BC BD -+=
【变式3】如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点，化简下列向量表达
式：
（1）111AA A B +；
（2）
111111
22
A B A D +； （3）1111111
22
AA A B A D ++；
（4）1111AB BC CC C A A A ++++．
【答案】向量的加法利用平行四边形法则或三角形法则，封闭图形，首尾连接的向量的和为0． （1）1111AA A B AB +=；
（2）
111111*********()2222
A B A D A B A D AC A M +=+==； （3）111111111
22
AA A B A D AA A M AM ++=+=；
（4）11110AB BC CC C A A A ++++=．
例3．若三棱锥O ABC 中，G 是ΔABC 的重心，求证：1
()3
OG OA OB OC =
++. 【思路点拨】 先在ΔOBC 中考虑中线OD ，然后在ΔOAD 中考虑G 为AD 的分点，分成的比是2：1
，
C1
两次使用向量的运算性质，把相关向量用,,OA OB OC 表示即可．
【解析】如图所示，
∵G 是ΔABC 的重心，
∴2AG GD =，D 为BC 的中点，
∴22
()33
OG OA AG AD OA OD OA OA =+=
+=-+ 21
[()]32
1
()3
OB OC OA OA OA OB OC =+-+=++
【总结升华】
(1) 灵活应用向量的运算法则是解此类题目的关键；
(2) 此类例题常用到结论：若OD 是ΔOBC 的中线，则有1
OD (OB OC)2
=+ 举一反三：
【变式1】在如图所示的平行六面体中，求证：''2'AC AB AD AC ++=．
【答案】证明如下：
因为 平行六面体的六个面均为平行四边形，
所以 AC AB AD =+，''AB AB AA =+，''AD AD AA =+，
所以 ''AC AB AD ++()(')(')AB AD AB AA AD AA =+++++2(')AB AD AA =++， 又由于 ''AA CC =，AD BC =，
所以 ''AB AD AA AB BC CC ++=++''AC CC AC =+=， 所以 ''2'AC AB AD AC ++=．
【变式2】如图，在四边形ABCD 中，E F 、分别为AD BC 、的中点，试证：1
()2
EF AB DC =
+．
【答案】证明如下：
因为 EF EA AB BF =++ ①
EF ED DC CF =++ ②
①+②得
2()()EF EA AB BF ED DC CF AB DC =+++++=+．
所以 1
()2
EF AB DC =+．
例4.已知正方体''''ABCD A B C D -，点E 是上底面''''A B C D 的中心，求下列各式中x y z 、、的值：
（1）''BD xAD yAB zAA =++； （2）'AE xAD yAB zAA =++．
【思路点拨】根据向量运算法则，用向量AD 、AB 、'AA 表示BD 和AE ，然后利用向量相等来确定x y z 、、的值．
【解析】（1）∵'''BD BD DD AB AD AA =+=-++，
又∵''BD xAD yAB zAA =++， ∴11 1.x y z ===，，． （2）∵1'''''2AE AA A E AA A C =+=+
1
'('''')2
AA A B A D =++ 1111
''''''2222
AA A B A D AD AB AA =++=++，
又∵'AE xAD yAB zAA =++， ∴12x =
，1
2
y =，1z =． 【总结升华】任何空间向量都可以用三个不共面向量（即是一组基向量）唯一的表示．
举一反三：
【变式】已知''''ABCD A B C D -是平行六面体．
（1）化简
12
'23
AA BC AB ++，并在图中标出其结果； （2）设M 是底面A B C D 的中心，N 是侧面''BCC B 对角线'BC 上的
3
4
分点，设'MN AB AD AA αβγ=++，试求α、β、γ的值．
【答案】12α=
，14
β=，3
4γ=
（1）如图所示，
取'AA 的中点为E ，则
1
''2
AA EA = 取F 为''D C 的一个三等分点，则2'3
D F AB = 又''BC A D =，''AB D C =，
∴
12
'''''23
AA BC AB EA A D D F EF ++=++=．（表示法不唯一） （2）13'24MN MB BN DB BC =+=+13
()(')24
DA AB BC CC =+++
13113
()(')'24244AD AB AD AA AB AD AA =-+++=++ ∴12α=，14
β=，34γ=．
类型二：空间向量的数量积
例5．已知向量a b ⊥，向量c 与,a b 的夹角都是60，且||1,||2,||3a b c ===，试求： （1）2(2)a b c +-； （2）(32)(3)a b b c -?-．
【思路点拨】和平面向量一样，空间向量数量积运算类似于多项式的乘法. 【解析】∵向量a b ⊥，向量c 与,a b 的夹角都是60，且||1,||2,||3a b c ===，
∴2
2
2
3
1,4,9,0,cos60,cos6032
a b c a b a c a c b c b c ===?=?=?=
?=?= （1）2(2)a b c +-=2
2
2
(2)2224a b c a b a c b c +++?-?-?
＝1+16+9+0-3-12=11；
（2）(32)(3)a b b c -?-=2
333223a b a c b b c ?-?-+?＝0-272-8+18=72
. 【总结升华】向量的数量积运算除不满足乘法结合律外，其它都满足，所以其运算和实数的运算基本
相同.
举一反三：
【变式1】设向量a 与b 互相垂直，向量c 与它们构成的角都是60°，且|a |=5，|b |=3，|c |=8，那么
()()33-2a c b a +?= ；()
2
2-3+a b c = .
【答案】-62；373
()()
33232963cos9029cos606cos6062
++=?+?-?=-22
a c
b a =a b a
c b a c
a b a c b a c
. 同理可得()2
23+-a b c =373
【变式2】已知：0a b c ++=， 314|a|,|b|,|c|===，试计算a b b c c a ?+?+?. 【答案】13
由 0a b c ++=，
可得 0a b c a b c ++?++=（）（）?22
22220|a ||b
||c |
a b b c c a
+++?+?+?=. ∵ 314|a|,|b|,|c|===， ∴ 13a b b c c a ?+?+?=-.
例6. 如右图，已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于a ，点E F G 、、分别是AB AD DC 、、的中点，求下列向量的数量积．
（1）AB AC ?； （2）AD BD ?； （3）GF AC ?； （4）EF BC ?． 【思路点拨】首先要在空间四边形中选一组恰当的基底.
【解析】 在空间四边形ABCD 中，
（1） ∵||||AB AC a ==，,60AB AC ??=?，
∴2
1cos602
AB AC a a a ?=??=
． （2） ∵||AD a =，||BD a =，,60AD BD ??=?，
∴2
2
1cos 602
AD BD a a ?=?=
． （3） ∵1
||2
GF a =
，||AC a =，又//GF AC ，∴,GF AC π??=, ∴2211
cos 22
GF AC a a π?=
=-． （4）∵1
||2
EF a =
，||BC a =，//EF BD ， ∴,,60EF BC BD BC ??=??=?，∴2211
cos 6024
EF BC a a ?=
?=． 【总结升华】 求空间向量数量积的运算同平面向量一样，关键在于确定两个向量之间的夹角以及它们的模，利用公式：cos =a b a b a b ，即可顺利计算． 举一反三：
【高清课堂：空间向量的数量积399424 例题1】
【变式】已知在长方体''''?ABCD A B C D 中，'2AB AA ==，4AD =，E 为侧面''AA B B 的中心，F 为''A D 的中点．求下列向量的数量积： （1）'BC ED ?； （2）'EF FC ?．
【答案】 (1)'(''')'''04416BC ED BC EA A D BC EA BC A D ?=?+=?+?=+?=
(2)
'('')(''')''''''''''EF FC EA A F FD D C EA FD EA D C A F FD A F D C ?=++=?+?+?+?
04400=-++=.
类型三：共线向量定理的应用
例7． 证明：在四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点且互相平分．（此点称为四面体的重心） 【思路点拨】 如图．在四面体ABCD 中，E 、F 、G 、H 、P 、Q 分别是所在棱的中
点，要证明EF 、GH 、PQ 相交于一点O ，且O 为它们的中点．
【解析】 ∵E 、G 分别为AB 、AC 的中点，∴1//2EG BC ，同理1
//2
HF BC ， ∴//EG HF ．
从而四边形EGFH 为平行四边形，故其对角线EF 、GH 相交于一点O ，且O 为它们的中点．连接OP 、OQ ．
只要能证明向量OP OQ =-，就可以说明P 、O 、Q 三点共线，且O 为PQ 的中点． 事实上，OP OG GP =+，OQ OH HQ =+，而O 为GH 的中点，∴OG OH +=0，1
//
2
GP CD ，1
//2
QH CD ．
∴12GP CD =，1
2
QH CD =．
∴11
22
OP OQ OG OH GP HQ CD CD +=+++=+-=00． ∴OP OQ =-．
∴PQ 经过O 点，且O 为PQ 的中点．
即证得EF 、GH 、Q 相交于点O ，且O 为它们的中点，故原命题得证．
【总结升华】 利用共线向量定理可以判定两直线平行、证明三点共线．证平行时，先从直线上取有向线段来表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，此为证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题时，通常不用图形．直接利用向量的线性运算，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点．
举一反三：
【变式1】设1e 、2e 是平面上不共线的向量，已知122AB k =+e e ，123CB =+e e ，122CD =-e e ，若A B D 、、三点共线，求k 的值．
【答案】8
由共线的向量定理列出关系式．
∵121212(2)(3)4BD CD CB =-=--+=-e e e e e e ，122AB k =+e e ． 又∵A 、B 、D 三点共线， 由共线向量定理，得
14
2k
=-，∴8k =-． 【变式2】如图所示，已知空间四边形ABCD ，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是CB 、CD
上的点，且23CF CB =，2
3
CG CD =．求证：四边形EFGH 是梯形．
【答案】证明过程如下：
∵ E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，
∴12AE AB =
，1
2
AH AD =， 1111
()2222
EH AH AE AD AB AD AB BD =-=
-=-= 11333
3()()22224
4CD CB CG CF CG CF FG ??=-=-=-= ???， ∴//EF FG 且3
||||||4
EH FG FG =
≠，又F 不在EH 上， ∴四边形EFGH 是梯形． 【变式3】如图，在平行六面体1111—ABCD A B C D 中，E F G 、、分别是11111A D D D D C 、、的中点．
求证：平面EFG ∥平面1AB C ．
【答案】用共线向量定理证明线线平行，从而证明面面平行． 证明：设AB =a ，AD =b ，1AA =c ， 则111
()2
EG ED D G =+=
+a b ， ∴2AC EG =+=a b ， ∴//EG AC ，∴EG ∥AC 又∵11111
()222
EF ED D F =+=
-=-b c b c ， ∴11112BC BC C C EF
=+=-=b c ，
∴1//EF BC ，EF ∥B 1C ．
又∵EG 与EF 相交，AC 与B 1C 相交，
∴平面EFG ∥平面AB 1C ． 类型四：共面向量及应用 例8．已知
ABCD ，从平面AC 外一点O 引向量,,,OE kOA OF KOB OG kOC OH kOD ====，
（1）求证：四点,,,E F G H 共面；
（2）平面AC //平面EG ． 【解析】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AC AB AD =+， ∵EG OG OE =-
()()()k OC k OA k OC OA k AC k AB AD k OB OA OD OA OF OE OH OE EF EH
=?-?=-==+=-+-=-+-=+
∴,,,E F G H 共面；
（2）∵()EF OF OE k OB OA k AB =-=-=?，又∵EG k AC =?，
∴//,//EF AB EG AC
所以，平面//AC 平面EG ．
【总结升华】在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充
要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算． 举一反三：
【变式】已知,,A B C 三点不共线，对平面外任一点，满足条件122
555
OP OA OB OC =++，试判断：点P 与,,A B C 是否一定共面？
【答案】由题意：522OP OA OB OC =++，
∴()2()2()OP OA OB OP OC OP -=-+-， ∴22AP PB PC =+，即22PA PB PC =--， ∴点P 与,,A B C 共面．
例9．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D －中，O 是11B D 的中点． 求证：1B C ∥平面ODC ． 【解析】11111===C B C D C C a b c ，，，
【总结升华】
（1）利用共面向量定理证明线面平行时，只需考虑一个向量可以用平面内的两个不共线的向量表示
即可．
（2）利用共面向量定理证明四点共面时，通常构造有公共起点的三个向量，用其中的两个向量线性
表示另一个向量，得到向量共面，即四点共面． 举一反三：
【高清课堂：空间向量及其线性运算399109 例题1】
【变式1】已知斜三棱柱111ABC A B C -，设AB a = ，AC b = ， 1AA c = ．在面对角线1AC 和棱BC 上分别取点M 和N ， 1AM k AC = ，
BN kBC =（01k ≤≤）．
求证：MN 与向量 a ，c 共面． 【答案】证明如下：
1AM k AC =，∴1()MA k AC k b c =-=-+
()()(1)MN MA AB BN k b c a k b a k a kc =++=-+++-=--
∴MN 与向量 a ，c 共面．
【变式2】 如右图，已知矩形ABCD 和矩形A DEF 所在平面互相垂直，点M N ，分别在对角线BD AE ，上，且13BM BD =
，1
3
AN AE =． 求证：MN ∥平面CDE ．
【答案】
证明： 如题图，因为M 在BD 上，且1
3
BM BD =， 所以 111
333MB BD DA AB =
=+． 同理 11
33
AN AD DE =+．
所以 MN MB BA AN =++1
1113333DA AB BA AD DE ????=+
+++ ? ?????
2121
3333
BA DE CD DE =
+=+． 又 CD 与DE 不共线，
根据向量共面的充要条件可知MN ，CD ，DE 共面． 由于 MN 不在平面CDE 内，
所以 MN ∥平面CDE ．
用心 爱心 专心 - 1 - 课题：3.1.1空间向量的线性运算 设计人： 审核人： 班级： 组名： 姓名： 日期： 典型例题 例１.已知平行六面体''''D C B A ABCD -（如图），以图中一对顶点构造向量，使 它们分别等于： ； ⑴BC AB + ；⑵'AA AD AB ++ '2 1CC AD AB + +⑶ ．⑷ )'(3 1AA AD AB ++ (5)D D AB BC → → → '-+ 1(6)()2 A B A D D D B C → → → → '++ - (7)AB BC C C C D D A → → → → → '''''++++ 例3.已知平行六面ABCD-A1B1C1D1 ，求满足下列各式的x 的值。 11111 )3(2 )2(AC x AD AB AC AC x BD AD =++=-x C D A AB =++1111 )1( 1 C C ' D ' A ' B ' D A )(21,,.2→ →→+=BC AD MN CD AB ABCD N M 求证：的中点， 的棱分别是四面体例D C B A N M
用心 爱心 专心 - 2 - 四．当堂检测 １．在三棱柱111ABC A B C -中，设M 、N 分别为1,BB AC 的中点，则MN 等于（ ） A ．11()2A C A B B B ++ B ．111111()2 B A B C C C ++ C ．11()2A C C B B B ++ D ．11()2 B B B A B C -- ２．若A 、B 、C 、D 为空间四个不同的点，则下列各式为零向量的是 （ ）①22AB BC CD DC +++ ②2233AB BC CD DA AC ++++ ③AB CA BD ++ ④AB CB CD AD -+- A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．①④ 3.在空间四边形ABCD 中,点M 、G 分别是BC 、CD 边的中点,化简 4. 如图，在三棱柱111C B A ABC -中，M 是1BB 的中点， 化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： （1）1 BA CB +; （2）1 21AA CB AC + +; （3）CB AC AA --1 五．课后练习 1．四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，,,AB a AD b AP c === ，E 为PC 中点， 则向量C E = _______________________； 2.已知长方体 1111 ABC D A B C D -，化简向量表达式 1CB AC AD AA +++= _____________； 3. 1(1) ()2 1(2) ()2 AB BC BD AG AB AC ++-+ a b AD c a ,b,c C D ,. ABC D AB BC AC BD == 空间四边形中，，＝，，试用来表示，
空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 教学目标： （1）通过本章的学习，使学生理解空间向量的有关概念。 （2）掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解。 能力目标： （1）培养学生的类比思想、转化思想，数形结合思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力。 （2）培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义。（3）培养学生空间向量的应用意识 教学重点： （1）空间向量的有关概念 （2）空间向量的加减运算及其运算律、几何意义。 （3）空间向量的加减运算在空间几何体中的应用 教学难点： （1）空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用。 （2）空间向量的加减运算及其几何的应用和理解。 考点：空间向量的加减运算及其几何意义，空间想象能力，向量的应用思想。 易错点：空间向量的加减运算及其几何意义在空间几何体中的应用 教学用具：多媒体 教学方法：研讨、探究、启发引导。 教学指导思想：体现新课改精神，体现新教材的教学理念，体现学生探究、主动学习的思维习惯。 教学过程： （老师）：同学们好！首先请教同学们一个问题：物理学中，力、速度和位移是什么量？怎样确定？ （学生）：矢量，由大小和方向确定 （学生讨论研究）（课件）引入：（我们看这样一个问题）有一块质地均匀的正三角形面的钢板，重500千克，顶点处用与对边成60度角，大小200千克的三个力去拉三角形钢板，问钢板在这些力的作用下将如何运动？这三个力至少多大时，才能提起这块钢板？ （老师）：我们研究的问题是三个力的问题，力在数学中可以看成是什么？ （学生）向量 （老师）：这三个向量和以前我们学过的向量有什么不同？ （学生）这是三个向量不共面 （老师）：不共面的向量问题能直接用平面向量来解决么？ （学生）：不能，得用空间向量 （老师）：是的，解决这类问题需要空间向量的知识这节课我们就来学习空间向量板书：空间向量及其运算 （老师）:实际上空间向量我们随处可见，同学们能不能举出一些例子？ （学生）举例 （老师）：然后再演示（课件）几种常见的空间向量身影。（常见的高压电线及支架所在向量，长方体中的三个不共线的边上的向量，平行六面体中的不共线向量） （老师）:接下来我们我们就来研究空间向量的知识、概念和特点，空间向量与平面向量既有联系又有区别，我们将通过类比的方法来研究空间向量，首先我们复习回顾一下平面向量
§8.5 空间向量及其运算 1． 空间向量的概念 (1)定义：空间中既有大小又有方向的量叫作空间向量． (2)向量的夹角：过空间任意一点O 作向量a ，b 的相等向量OA →和OB → ，则∠AOB 叫作向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，0≤〈a ，b 〉≤π. 2． 共线向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)空间向量基本定理 如果向量e 1，e 2，e 3是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3，其中e 1，e 2，e 3叫作空间的一个基底． 3． 空间向量的数量积及运算律 (1)定义 空间两个向量a 和b 的数量积是一个数，等于|a ||b |cos 〈a ，b 〉，记作a ·b . (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4． 空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3. (2)共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a ∥b ?a ＝λb ?a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 (λ∈R )， a ⊥b ?a·b ＝0?a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)． (3)模、夹角公式 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则|a |＝a·a ＝a 21＋a 22＋a 23，
空间向量及其线性运算 学习目标： 1．运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； 2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质； 3．理解空间向量共线的充要条件。 学习重点：空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质； 学习难点：空间向量的线性运算及其性质。 学习过程： 一、创设情景 1、平面向量的概念及其运算法则； 2、物体的受力情况分析（如右图）。 二、建构数学 1．空间向量的概念 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）空间的一个平移就是一个向量。 （2）向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （3）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2．空间向量的运算 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图） b a AB OA OB +=+= b a -=-= )(R a ∈=λλ 运算律： （1）加法交换律：a b b a +=+ （2）加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ （3）数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 3．平行六面体
O 平行四边形ABCD 平移向量a 到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并 记作：ABCD －D C B A ''''，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。 4．共线向量 与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向 量叫做共线向量或平行向量。a 平行于b 记作b a //。 当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同一 直线，也可能是平行直线。 5．共线向量定理及其推论 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb 。 推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对于任意一点O ， 点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式 t OA OP +=a ，其中向量a 叫做直线l 的 方向向量。 三、数学运用 1、如图，在三棱柱111C B A ABC -中，M 是1BB 的中点， 化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： （1）1BA CB +； （2）12 1 AA + +； （3）CB AC AA --1。 解：（1）11CA BA =+； （2）AM AA CB AC =+ +12 1 ； （3）11BA CB AC AA =--。
空间向量及其运算 基础知识梳理 1.空间向量的有关概念 (1)空间向量：在空间中，具有________和________的量叫做空间向量. (2)相等向量：方向________且模________的向量. (3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相______________的向量. (4)共面向量：________________________________的向量. 2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是________________________. 推论 如图所示，点P 在l 上的充要条件是： OP →＝OA →＋t a ①其中a 叫直线l 的方向向量，t ∈R ，在l 上取AB →＝a ， 则①可化为OP →＝________或OP →＝(1－t )OA →＋tOB →. (2)共面向量定理的向量表达式：p ＝____________，其中x ，y ∈R ，a ， b 为不共线向量，推论的表达式为MP →＝xMA →＋yMB →或对空间任意一点 O ，有OP →＝____________或OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →，其中x ＋y ＋z ＝ ______. (3)空间向量基本定理 如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝____________，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底. 3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向 量a 与b 的夹角，记作____________，其范围是____________，若〈a ，b 〉＝π2 ，则称a 与b __________，记作a ⊥b . ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a ，b ，则____________叫做向量a ，b 的数量积，记作__________，即__________________. (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝____________；②交换律：a·b ＝__________； ③分配律：a·(b ＋c )＝__________. 4.空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a·b ＝________________. (2)共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a ∥b ?______________?____________，____________，______________， a ⊥b ?__________?________________________(a ，b 均为非零向量). (3)模、夹角和距离公式 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则|a |＝a·a ＝__________________，
课 题：空间向量及其线性运算 教学目标： 1．运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； 2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质； 3．理解空间向量共线的充要条件 教学重点：空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质； 教学难点：空间向量的线性运算及其性质。 教学过程： 一、创设情景 1、蚂蚁爬行的问题引入为什么要研究空间向量. 2、平面向量的概念及其运算法则； 二、建构数学 1．空间向量的概念： 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量 ⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图） b a AB OA OB +=+= b a -=-= )(R a ∈=λλ 运算律： ⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 3．平行六面体： 平行四边形ABCD 平移向量a 到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。 4．共线向量 与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向 量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //． 当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同 一直线，也可能是平行直线． 5．共线向量定理： 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，
第三章空间向量与立体几何 §3.1空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 师：这节课我们学习空间向量及其加减运算，请看学习目标。 学习目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 师：在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了平面向量的一些知识，现在我们一起来复习。（不要翻书） （在黑板或背投上呈现或边说边写） 1、在平面中，我们把具有__________________的量叫做平面向量； 2、平面向量的表示方法：
①几何表示法：_________________________ ②字母表示法：_________________________ （注意：向量手写体一定要带箭头） 3、平面向量的模表示_________________，记作____________ 4、一些特殊的平面向量： ①零向量：__________________________，记作___（零向量的方向具有任意性） ②单位向量：______________________________ （强调：都只限制了大小，不确定方向） ③相等向量：____________________________ ④相反向量：____________________________ 5、平面向量的加法： 6、平面向量的减法： 7、平面向量的数乘：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和 方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa与a同向； 当λ＜0时，λa与a反向； 当λ＝0时，λa＝0. 8、向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） 数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb 数乘结合律：λ（aμ）=a) (λμ [师]：刚才我们复习了平面向量，那空间向量会是怎样，与平面向量有怎样的区别和联系呢?请同学们阅读书P84-P86.（5分钟） [师]：对比平面向量，我们得到空间向量的相关概念。（在刚复习的黑板或幻灯片上，只需将平面改成空间） [师]：空间向量与平面向量有什么联系？ [生]：向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．所以凡涉及 空间两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。
空间向量及其运算练习题 一、选择题 1、在空间直角坐标系中，已知点P （x ，y ，z ），下列叙述中正确的个数是 ①点P 关于x 轴对称点的坐标是P 1（x ，－y ，z ） ②点P 关于yOz 平面对称点的坐标是P 2（x ，－y ，－z ） ③点P 关于y 轴对称点的坐标是P 3（x ，－y ，z ） ④点P 关于原点对称的点的坐标是P 4（－x ，－y ，－z ） A.0 B.1 C.2 D.3 2、点（2，3，4）关于xoz 平面的对称点为（ ） A 、（2，3，-4） B 、（-2，3，4） C 、（2，-3，4） D 、（-2，-3，4） 3、在空间直角坐标系中，设z 为任意实数，相应的点(3,1,)P z 的集合确定的图形为 （ ）A ．点 B ．直线 C ．圆 D ．平面 4、在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ，11D A =b ， A A 1=c .则下列向量中与M B 1相等的向量是（ ） A ．c b a ++- 21 21 B ． c b a ++21 21 C ．c b a +-2 1 21 D ．c b a +--2 1 21 5、在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ） A ．OC O B OA OM --=2 B ．O C OB OA OM 2 1 3151++= C ．=++MC MB MA 0 D ．=+++OC OB OA OM 0 5、已知平行六面体''' ' ABCD A B C D -中，AB=4，AD=3，' 5AA =，0 90BAD ∠=， ''060BAA DAA ∠=∠=，则'AC 等于 （ ） A ．85 B ．85 C ．52 D ．50 图
空间向量及其运算和空间位置关系 1．在下列命题中： ①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行； ②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面； ④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ， z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c. 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：选A a 与b 共线，a ，b 所在直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a ，b 都共面，故②错误；三个向量a ，b ，c 中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A. 2．如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1 的交点．若AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，则下列向量中与BM ―→ 相等的向量是( ) A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋1 2b ＋c C ．－12a －12b ＋c D.12a －1 2 b ＋c 解析：选A BM ―→＝BB 1―→＋B 1M ―→＝AA 1―→＋12(AD ―→－AB ―→ )＝c ＋12(b －a)＝－12a ＋12b ＋c. 3．已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→＋z OC ―→ (x ， y ，z ∈R)，则“x ＝2，y ＝－3，z ＝2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选B 当x ＝2，y ＝－3，z ＝2时，OP ―→＝2OA ―→－3OB ―→＋2OC ―→.则AP ―→－AO ―→＝2OA ―→－3(AB ―→－AO ―→)＋2(AC ―→－AO ―→)，即AP ―→＝－3AB ―→＋2AC ―→ ，根据共面向量定理
向量的线性运算经典测试题及答案解析 一、选择题 1．若2a b c +=r r ，3a b c -=r r ，而且c r ≠0，a r 与r b 是（ ） A ．a r 与r b 是相等向量 B ．a r 与r b 是平行向量 C ．a r 与r b 方向相同，长度不等 D ．a r 与r b 方向相反，长度相等 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知条件求得52a c =r r ，1b 2 c =-r r ，由此确定a r 与b r 位置和数量关系． 【详解】 解：由2a b c +=r r ，3a b c -=r r ，而且c r ≠0，得到：52a c =r r ，1b 2 c =-r r ， 所以a r 与b r 方向相反，且|a r |＝5|b r |． 观察选项，只有选项B 符合题意． 故选：B ． 【点睛】 本题考查了平面向量的知识，属于基础题，注意对平面向量这一基础概念的熟练掌握． 2．下列命题中，真命题的个数为( ) ①方向相同 ②方向相反 ③有相等的模 ④ 方向相同 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用向量共线的基本性质逐一核对四个命题得答案. 【详解】 解：对于①，若，则 方向相同，①正确； 对于②，若，则方向相反，②正确； 对于③，若，则方向相反，但 的模不一定，③错误； 对于④，若 ，则 能推出 的方向相同，但 的方向相同，得到 ④错误. 所以正确命题的个数是2个，故选:C. 【点睛】 本题考查命题的真假判断与应用，考查了向量共线的基本性质，是基础题.
3．如图，已知向量a r ，b r ，c r ,那么下列结论正确的是（ ） A ．a b c +=r r r B ．b c a +=r r r C ．a c b +=r r r D ．a c b +=-r r r 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 由平行四边形法则，即可求得： 解：∵CA AB CB +=u u u r u u u r u u u r ， 即a c b +=-r r r 故选D ． 4．下列判断正确的是( ) A ．0a a -=r r B ．如果a b =r r ，那么a b =r r C ．若向量a r 与b 均为单位向量，那么a b =r r D ．对于非零向量b r ，如果()0a k b k =?≠r r ，那么//a b r r 【答案】D 【解析】 【分析】 根据向量的概念、性质以及向量的运算即可得出答案. 【详解】 A. -r r a a 等于0向量，而不是等于0，所以A 错误； B. 如果a b =r r ，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，所以B 错误； C. 若向量a r 与b 均为单位向量，说明两个向量长度相等，但方向不一定相同，所以C 错误； D. 对于非零向量b r ，如果()0a k b k =?≠r r ，即可得到两个向量是共线向量，可得到//a b r r ，故D 正确. 故答案为D. 【点睛】
新课标高二数学同步测试（2－1第三章3.1） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代 号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ， 11D A =b ，A A 1=c .则下列向量中与M B 1相等的向量是（ ） A ．c b a ++-2121 B ．c b a ++2 121 C ．c b a +-2121 D ．c b a +--2 1 21 2．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ） A ．OC O B OA OM --=2 B ．O C OB OA OM 2 1 3151++= C ．=++MC MB MA 0 D ．=+++OC OB OA OM 0 3．已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，AB=4，AD=3，'5AA =，090BAD ∠=， ''060BAA DAA ∠=∠=，则'AC 等于（ ） A ．85 B ．85 C ．52 D ．50 4．与向量(1,3,2)a =-r 平行的一个向量的坐标是（ ） A ．（31 ，1，1） B ．（－1，－3，2） C ．（－21，2 3 ，－1） D ．（2，－3，－22） 5．已知A （－1，－2，6），B （1，2，－6）O 为坐标原点，则向量,OA OB u u u r u u u r 与的夹角是（ ） A ．0 B ． 2 π C ．π D ． 32 π 6．已知空间四边形ABCD 中，c OC ，b OB ， a OA ===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则MN =（ ） A ．c b a 213221+- B ． c b a 21 2132++- C ．c b a 212121-+ D ．c b a 2 13232-+ 7．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足000=?=?=?AD AB ，AD AC ， AC AB ，则BCD 是（ ） A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．不确定 图
3. 1.1空间向量及其运算（一） 教学目标： ㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律； ㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． ㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物． 教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律． 教学难点：应用向量解决立体几何问题． 教学方法：讨论式． 教学过程： Ⅰ.复习引入 ［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？ ［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有： ①用有向线段表示； ②用字母a、b等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB． ［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量. ［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算： ⒈向量的加法： ⒉向量的减法： ⒊实数与向量的积： 实数λ与向量a的积 是一个向量，记作λa，其长度 和方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa 与a同向； 当λ＜0时，λa与a反向； 当λ＝0时，λa＝0. ［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？ ［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） 数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb ［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本
1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其线性运算 学习目标核心素养 1.理解空间向量的概念．(难点) 2.掌握空间向量的线性运算．(重点) 3.掌握共线向量定理、共面向量定理及推 论的应用．(重点、难点) 1.通过空间向量有关概念的学习，培养学生的 数学抽象核心素养. 2.借助向量的线性运算、共线向量及共面向量 的学习，提升学生的直观想象和逻辑推理的核 心素养. 国庆期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？ 图1 图2 如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那么他实际发生的位移是什么？又如何表示呢？ 1．空间向量 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：空间向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：AB → ，其模记为|a|或|AB → |. 2．几类常见的空间向量 名称方向模记法 零向量任意00 单位向量任意1 相反向量相反相等 a的相反向量：－a AB → 的相反向量：BA →
相等向量相同相等a＝b 3.空间向量的线性运算 (1)向量的加法、减法 空间向量的 运算 加法OB→＝OA→＋OC→＝a＋b 减法CA→＝OA→－OC→＝a－b 加法运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) ①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 当λ>0时，λa与向量a方向相同； 当λ<0时，λa与向量a方向相反； 当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍． ②运算律 a．结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a. b．分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 思考：向量运算的结果与向量起点的选择有关系吗？ [提示]没有关系． 4.共线向量 (1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． (2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a. (3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb. (4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得OP → ＝λa. 5．共面向量 (1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． (2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存
空间向量及其线性运算 目标认知 学习目标： 1．了解空间向量的概念，体会向量由平面向空间的推广过程。 2．掌握空间向量的线性运算，掌握向量共线的充要条件. 3．掌握空间向量的数量积，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 重点： 空间向量的线性运算和空间向量的数量积；空间向量共线与垂直的充要条件. 难点： 空间向量的数量积，空间向量共线与垂直的充要条件. 学习策略： 把向量的研究范围从平面扩大到空间，就得到空间向量，因此，空间向量是平面向量的推广，学习空间向量的相关概念及其运算时，完全类比平面向量的概念及其运算。 知识要点梳理 知识点一：空间向量的相关概念 1.空间向量的定义： 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示；记作：或。 注意： （1）空间中点的一个平移就是一个向量； （2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量 可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。 2.空间向量的长度（模）： 表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作或 3．空间向量的有关概念： 零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为。 单位向量：长度为1的空间向量，即. 相等向量：方向相同且模相等的向量。 相反向量：方向相反但模相等的向量。 共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平 行向量．平行于记作．
共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。 两个规定： （1）与任意向量平行； （2）与任意向量垂直。 注意： ①当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可 能是平行直线． ②向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此我们说空间任意两 个向量是共面的． 4.两个向量的夹角 已知两非零向量，在空间任取一点O，作向量，，则叫做与的夹角，记作。 规定： 当或时，向量与平行，记作 当时，向量与垂直，记作 知识点二：空间向量的加减法 因为空间任意两个向量是共面的．定义空间向量的加法、减法、数乘向量及运算律与平面向量一样。 （1）空间向量的加减法运算 ①如图,若， 则= ②如图，若
归纳与技巧：空间向量及其运算和空间位置关系 基础知识归纳 一、空间向量及其有关概念 二、数量积及坐标运算 1．两个向量的数量积 (1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉； (2)a⊥b?a·b＝0(a，b为非零向量)； (3)|a|2＝a2，|a|＝x2＋y2＋z2. 2．向量的坐标运算
三、平面的法向量 (1)所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量有无数多个，它们是共线向量． (2)在空间中，给定一个点A 和一个向量a ，那么以向量a 为法向量且经过点A 的平面是唯一的． 基础题必做 1．(课本习题改编)已知a ＝(－2，－3,1)，b ＝(2,0,4)，c ＝(－4，－6,2)则下列结论正确的是( ) A ．a ∥c ，b ∥c B ．a ∥b ，a ⊥c C ．a ∥c ，a ⊥b D ．以上都不对 解析：选C ∵c ＝(－4，－6,2)＝2a ，∴a ∥c .又a ·b ＝0，故a ⊥b . 2． 若{a ，b ，c }为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是( ) A ．{a ，a ＋b ，a －b } B ．{b ，a ＋b ，a －b } C ．{c ，a ＋b ，a －b } D ．{a ＋b ，a －b ，a ＋2b } 解析：选C 若c 、a ＋b 、a －b 共面， 则c ＝λ(a ＋b )＋m (a －b )＝(λ＋m )a ＋(λ－m )b ，则a 、b 、c 为共面向量，与{a ，b ，c }为空间向量的一组基底矛盾，故c ，a ＋b ，a －b 可构成空间向量的一组基底． 3．(教材习题改编)下列命题： ①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB u u u r ＋BC u u u r ＋CD u u u r ＋DA u u u r ＝0； ②若MB u u u r ＝x MA u u u r ＋y MB u u u r ，则M 、P 、A 、B 共面； ③若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面． 其中正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：选D 可判断①②③正确． 4．在四面体O －ABC 中，OA u u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，OC u u u r ＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的 中点，则OE u u u r ＝________(用a ，b ，c 表示)． 解析：如图，OE u u u r ＝12OA u u u r ＋12 OD u u u r
空间向量及其线性运算 编稿：赵 雷 审稿：李 霞 【学习目标】 1. 理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示方法与字母表示方法． 2．掌握空间向量的线性运算（加法、减法和数乘）及其运算律． 3．掌握空间向量的共线定理和共面定理，并能用它们分析解决有关问题． 【要点梳理】 要点一、空间向量的相关概念 1.空间向量的定义： 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示；记作：AB 或a 。 （要注意印刷体用a ，而手写体为a ，要区分开） 要点诠释： （1）空间中点的一个平移就是一个向量； （2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向 量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。 2.空间向量的长度（模）： 表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作||AB 或||a 3．空间向量的有关概念： 零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为0。规定：0与任意向量平行。 单位向量：长度为1的空间向量，即||1a . 相等向量：方向相同且模相等的向量。 相反向量：方向相反但模相等的向量。 共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平 行向量．a 平行于b 记作b a //． 共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。 要点诠释： ①当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也 可能是平行直线． ②向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此我们说空间任意两个向量是共面的． 要点二、空间向量的加减法 1．加减法定义 空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．（如下图）．
专题1002：空间向量的线性运算 例：如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量： (1)AP →； (2)A 1N →； (3)MP →＋NC 1→. 跟踪训练1 如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．用AB →，AD →，AA 1 →表示OC 1→，则OC 1→＝________________.
跟踪训练2：如图，在三棱锥O —ABC 中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，设OA →＝a ，OB →＝ b ，OC →＝ c ，用a ，b ，c 表示NM →，则NM →等于( ) A.12 (－a ＋b ＋c ) B.12(a ＋b －c ) C.12(a －b ＋c ) D.12 (－a －b ＋c ) 跟踪训练3．已知空间向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，且a ，b 的夹角为π3 ，O 为空间直角坐标系的原点，点A ，B 满足OA →＝2a ＋b ，OB →＝3a －b ，则△OAB 的面积为( ) A.52 3 B.54 3 C.74 3 D.114 跟踪训练4．(多选)有下列四个命题，其中不正确的命题有( ) A ．已知A ， B ， C ， D 是空间任意四点，则AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0 B ．若两个非零向量AB →与CD →满足AB →＋CD →＝0，则AB →∥CD → C ．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 D ．对于空间的任意一点O 跟踪训练5．如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别为OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ＋y ＋z ＝________.
空间向量及其运算 1.空间向量的有关概念 2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理 空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb. (2)共面向量定理 共面向量定理的向量表达式：p＝x a＋y b，其中x，y∈R，a，b为不共线向量. (3)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p ＝x a＋y b＋z c，{a，b，c}叫作空间的一个基底.
3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB 叫作向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π 2，则称a 与b 互相垂直， 记作a ⊥b . ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫作向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉. (2)空间向量数量积的运算律 ①(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ； ③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 4.空间向量的坐标表示及其应用 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3). 概念方法微思考 1.共线向量与共面向量相同吗？ 提示 不相同.平行于同一平面的向量就为共面向量. 2.零向量能作为基向量吗？ 提示 不能.由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量. 3.空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取有关吗？ 提示 无关.这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简，不会影响结果.
空间向量及其线性运算 【学习目标】 1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示方法与字母表示方法； 2．掌握空间向量的线性运算（加法、减法和数乘）及其运算律； 3．掌握数量积的概念及其几何意义，掌握数量积的运算律； 4．掌握空间向量的共线定理和共面定理，并能用它们分析解决有关问题． 【要点梳理】 要点一：空间向量的相关概念 1．空间向量的定义： 空间向量：空间中，既有大小又有方向的量； 空间向量的表示：一种是用有向线段AB 表示，A 叫作起点，B 叫作终点； 一种是用小写字母a （印刷体）表示，也可以用a （而手写体）表示． 向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作||AB 或||a . 向量的夹角：过空间任意一点O 作向量a b ，的相等向量OA 和OB ，则↓AOB 叫作向量a b ，的夹角，记作?a b ，∠，规定0??a b ，∠?π．如图： 要点诠释： （1）空间中点的一个平移就是一个向量； （2）数学中讨论的向量是自由向量，即与向量的起点无关，只与大小和方向有关. 只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移； （3）要确定向量a b ，的夹角必须将它们平移到同一起点； （4）当?a b ，∠=0或π时，向量a ，b 平行，记作a ?b ；当 ?a b ，∠= 2 π 时，向量 a b ，垂直，记作a ⊥b . 2．空间向量的有关概念： 零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为0．规定：0与任意向量平行． 单位向量：长度为1的空间向量，即||1a =． 相等向量：方向相同且模相等的向量． 相反向量：方向相反但模相等的向量． 共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平 行向量．a 平行于b 记作b a //，此时．?a b ，∠=0或?a b ，∠=π． 共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 要点诠释： （1）当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线， 也可能是平行直线． （2）向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此我们说空间