空间向量及其线性运算
目标认知
学习目标：
1．了解空间向量的概念，体会向量由平面向空间的推广过程。
2．掌握空间向量的线性运算，掌握向量共线的充要条件.
3．掌握空间向量的数量积，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.
重点：
空间向量的线性运算和空间向量的数量积；空间向量共线与垂直的充要条件.
难点：
空间向量的数量积，空间向量共线与垂直的充要条件.
学习策略：
把向量的研究范围从平面扩大到空间，就得到空间向量，因此，空间向量是平面向量的推广，学习空间向量的相关概念及其运算时，完全类比平面向量的概念及其运算。
知识要点梳理
知识点一：空间向量的相关概念
1.空间向量的定义：
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示；记作：或。
注意：
（1）空间中点的一个平移就是一个向量；
（2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量
可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。
2.空间向量的长度（模）：
表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作或
3．空间向量的有关概念：
零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为。
单位向量：长度为1的空间向量，即.
相等向量：方向相同且模相等的向量。
相反向量：方向相反但模相等的向量。
共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平
行向量．平行于记作．
共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。
两个规定：
（1）与任意向量平行；
（2）与任意向量垂直。
注意：
①当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可
能是平行直线．
②向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此我们说空间任意两
个向量是共面的．
4.两个向量的夹角
已知两非零向量，在空间任取一点O，作向量，，则叫做与的夹角，记作。
规定：
当或时，向量与平行，记作
当时，向量与垂直，记作
知识点二：空间向量的加减法
因为空间任意两个向量是共面的．定义空间向量的加法、减法、数乘向量及运算律与平面向量一样。
（1）空间向量的加减法运算
①如图,若，
则=
②如图，若
则（指向被减向量），
（2）空间向量的加法运算律：
加法交换律：
加法结合律：
注意：空间向量加法的运算律要注意以下几点：
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，
即：
因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；
⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，
即：；
⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑
用平行四边形法则．
知识点三：空间向量的数乘
（1）实数与空间向量的积的定义：
实数与向量的积是一个向量，记为，模和方向规定如下：
当时，与向量的方向相同
当时，
当时，与向量的方向相反
（2）实数与空间向量的积的运算律：
设为实数，则有
结合律：
第一分配律：
第二分配律：
（3）共线向量定理和共面向量定理
共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在实数，使．
共面向量定理：如果两个向量、不共线，则向量与、共面的充要条件是有且只有一对实数
、使
知识点四：空间向量的数量积
（1）数量积定义
已知空间两向量，则叫做的数量积，记作，
即．
注意：空间两向量的数量积是一个实数，实数与空间向量的积是一个向量。
（2）空间向量数量积的运算律
①（交换律）；
②（分配律）；
③
（3）空间向量数量积的性质
设是非零向量，是单位向量，则
①；
②；
③或；
④；
⑤
规律方法指导
1．空间向量的加法与减法如何进行运算？
空间向量中两个向量的加、减可以直接用三角形法则或平行四边形法则解决。而多个向量的加减运算，通常可以利用三角形法则进行推广，在解决立体几何问题时，其中的某个向量经常多次使用三角形法则的方法用其他向量来表示，首尾顺次相接的向量如果能围成封闭的图形，那么和向量为零向量。
2．共线向量定理的用途是什么？
①判定两条直线平行；
②证明三点共线。
注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。
3．如何利用向量知识求线段的长度？
将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用|a|2=a2来求解。选择基底时，应注意三个基向量两两之间的夹角应该是确定的、已知的或可以求出的。具体求模时，可分为两种不同情况：
（1）不建坐标系，直接进行向量运算；
（2）建立坐标系，用距离公式求线段长度。
4．如何利用空间向量知识求异面直线所成的角？
异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到，具体计算时可以用基向量表示，也可以用坐标运算进行。但在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角
经典例题精析
用心 爱心 专心 - 1 - 课题：3.1.1空间向量的线性运算 设计人： 审核人： 班级： 组名： 姓名： 日期： 典型例题 例１.已知平行六面体''''D C B A ABCD -（如图），以图中一对顶点构造向量，使 它们分别等于： ； ⑴BC AB + ；⑵'AA AD AB ++ '2 1CC AD AB + +⑶ ．⑷ )'(3 1AA AD AB ++ (5)D D AB BC → → → '-+ 1(6)()2 A B A D D D B C → → → → '++ - (7)AB BC C C C D D A → → → → → '''''++++ 例3.已知平行六面ABCD-A1B1C1D1 ，求满足下列各式的x 的值。 11111 )3(2 )2(AC x AD AB AC AC x BD AD =++=-x C D A AB =++1111 )1( 1 C C ' D ' A ' B ' D A )(21,,.2→ →→+=BC AD MN CD AB ABCD N M 求证：的中点， 的棱分别是四面体例D C B A N M
用心 爱心 专心 - 2 - 四．当堂检测 １．在三棱柱111ABC A B C -中，设M 、N 分别为1,BB AC 的中点，则MN 等于（ ） A ．11()2A C A B B B ++ B ．111111()2 B A B C C C ++ C ．11()2A C C B B B ++ D ．11()2 B B B A B C -- ２．若A 、B 、C 、D 为空间四个不同的点，则下列各式为零向量的是 （ ）①22AB BC CD DC +++ ②2233AB BC CD DA AC ++++ ③AB CA BD ++ ④AB CB CD AD -+- A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．①④ 3.在空间四边形ABCD 中,点M 、G 分别是BC 、CD 边的中点,化简 4. 如图，在三棱柱111C B A ABC -中，M 是1BB 的中点， 化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： （1）1 BA CB +; （2）1 21AA CB AC + +; （3）CB AC AA --1 五．课后练习 1．四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，,,AB a AD b AP c === ，E 为PC 中点， 则向量C E = _______________________； 2.已知长方体 1111 ABC D A B C D -，化简向量表达式 1CB AC AD AA +++= _____________； 3. 1(1) ()2 1(2) ()2 AB BC BD AG AB AC ++-+ a b AD c a ,b,c C D ,. ABC D AB BC AC BD == 空间四边形中，，＝，，试用来表示，
空间向量及其线性运算 学习目标： 1．运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； 2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质； 3．理解空间向量共线的充要条件。 学习重点：空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质； 学习难点：空间向量的线性运算及其性质。 学习过程： 一、创设情景 1、平面向量的概念及其运算法则； 2、物体的受力情况分析（如右图）。 二、建构数学 1．空间向量的概念 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）空间的一个平移就是一个向量。 （2）向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （3）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2．空间向量的运算 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图） b a AB OA OB +=+= b a -=-= )(R a ∈=λλ 运算律： （1）加法交换律：a b b a +=+ （2）加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ （3）数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 3．平行六面体
O 平行四边形ABCD 平移向量a 到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并 记作：ABCD －D C B A ''''，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。 4．共线向量 与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向 量叫做共线向量或平行向量。a 平行于b 记作b a //。 当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同一 直线，也可能是平行直线。 5．共线向量定理及其推论 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb 。 推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对于任意一点O ， 点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式 t OA OP +=a ，其中向量a 叫做直线l 的 方向向量。 三、数学运用 1、如图，在三棱柱111C B A ABC -中，M 是1BB 的中点， 化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： （1）1BA CB +； （2）12 1 AA + +； （3）CB AC AA --1。 解：（1）11CA BA =+； （2）AM AA CB AC =+ +12 1 ； （3）11BA CB AC AA =--。
§8.5 空间向量及其运算 1.空间向量的有关概念 2.(1)共线向量定理 对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . 推论 如图所示，点P 在l 上的充要条件是 OP →＝OA → ＋t a ① 其中a 叫直线l 的方向向量，t ∈R ，在l 上取AB →＝a ，则①可化为OP → ＝ OA →＋tAB →或OP →＝(1－t )OA →＋tOB →. (2)共面向量定理的向量表达式：p ＝x a ＋y b ，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量，推论的表达式为MP →＝xMA →＋yMB →或对空间任意一点O ，有OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →或OP →＝xOM → ＋yOA →＋zOB → ，其中x ＋y ＋z ＝__1__. (3)空间向量基本定理 如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底.
3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π 2，则称a 与b 互相垂 直，记作a ⊥b . ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a ，b ，则|a||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a·b ，即a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉. (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4.空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3. (2)共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a ∥b ?a ＝λb ?a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 (λ∈R )， a ⊥b ?a·b ＝0?a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量). (3)模、夹角和距离公式 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则|a |＝a·a ＝a 21＋a 22＋a 23， cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23 . 设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)， 则d AB ＝|AB → |＝(a 2－a 1)2＋(b 2－b 1)2＋(c 2－c 1)2. 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两非零向量a ，b 共面. ( √ ) (2)在向量的数量积运算中(a ·b )·c ＝a ·(b ·c ). ( × )
课 题：空间向量及其线性运算 教学目标： 1．运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； 2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质； 3．理解空间向量共线的充要条件 教学重点：空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质； 教学难点：空间向量的线性运算及其性质。 教学过程： 一、创设情景 1、蚂蚁爬行的问题引入为什么要研究空间向量. 2、平面向量的概念及其运算法则； 二、建构数学 1．空间向量的概念： 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量 ⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图） b a AB OA OB +=+= b a -=-= )(R a ∈=λλ 运算律： ⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 3．平行六面体： 平行四边形ABCD 平移向量a 到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。 4．共线向量 与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向 量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //． 当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同 一直线，也可能是平行直线． 5．共线向量定理： 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，
3. 1.1空间向量及其运算（一） 教学目标： ㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律； ㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． ㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物． 教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律． 教学难点：应用向量解决立体几何问题． 教学方法：讨论式． 教学过程： Ⅰ.复习引入 ［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？ ［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有： ①用有向线段表示； ②用字母a、b等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB． ［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量. ［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算： ⒈向量的加法： ⒉向量的减法： ⒊实数与向量的积： 实数λ与向量a的积 是一个向量，记作λa，其长度 和方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa 与a同向； 当λ＜0时，λa与a反向； 当λ＝0时，λa＝0. ［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？ ［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） 数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb ［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本
空间向量及其运算练习题 一、选择题 1、在空间直角坐标系中，已知点P （x ，y ，z ），下列叙述中正确的个数是 ①点P 关于x 轴对称点的坐标是P 1（x ，－y ，z ） ②点P 关于yOz 平面对称点的坐标是P 2（x ，－y ，－z ） ③点P 关于y 轴对称点的坐标是P 3（x ，－y ，z ） ④点P 关于原点对称的点的坐标是P 4（－x ，－y ，－z ） A.0 B.1 C.2 D.3 2、点（2，3，4）关于xoz 平面的对称点为（ ） A 、（2，3，-4） B 、（-2，3，4） C 、（2，-3，4） D 、（-2，-3，4） 3、在空间直角坐标系中，设z 为任意实数，相应的点(3,1,)P z 的集合确定的图形为 （ ）A ．点 B ．直线 C ．圆 D ．平面 4、在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ，11D A =b ， A A 1=c .则下列向量中与M B 1相等的向量是（ ） A ．c b a ++- 21 21 B ． c b a ++21 21 C ．c b a +-2 1 21 D ．c b a +--2 1 21 5、在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ） A ．OC O B OA OM --=2 B ．O C OB OA OM 2 1 3151++= C ．=++MC MB MA 0 D ．=+++OC OB OA OM 0 5、已知平行六面体''' ' ABCD A B C D -中，AB=4，AD=3，' 5AA =，0 90BAD ∠=， ''060BAA DAA ∠=∠=，则'AC 等于 （ ） A ．85 B ．85 C ．52 D ．50 图
高二选修（2—1）第三章3.1空间向量及其运算测试 一、选择题 1 抛物线2 81x y - =的准线方程是 ( ) A ． 321=x B ． 2=y C ． 32 1 =y D ． 2-=y 2．已知两点1(1,0)F -、2(1,0)F ，且12F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是 （ ） A ． 22 1169x y += B ． 22 11612x y += C ．22 143x y += D ．22 134 x y += 1．已知向量a ＝(3，－2,1)，b =(－2,4,0)，则4a ＋2b 等于 （ ） A ．(16,0,4) B ．(8，－16,4) C ．(8,16,4) D ．(8,0,4) 2．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B → ＝ （ ） A ．a ＋b －c B ．a －b ＋c C ．－a ＋b ＋c D ．－a ＋b －c 4．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ） A.OM →＝2OA →－OB →－OC → B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC → C.MA →＋MB →＋MC → ＝0 D.OM →＋OA →＋OB →＋OC → ＝0 6．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC → ＋ BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→. 其中能够化简为向量BD 1→ 的是 （ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 7．已知向量a ＝(1，－1,1)，b ＝(－1,2,1)，且k a －b 与a －3b 互相垂直，则k 的值是 A ．1 B ．15 C ．35 D ．－20 9 8．若a ＝(2，－3,1)，b ＝(2,0,3)，c ＝(0,2,2)，a ·(b ＋c )的值为 （ ） A ．4 B ．15 C ．7 D ．3 9．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB → >0，则该四边形 为 （ ） A ．平行四边形 B ．梯形 C ．长方形 D ．空间四边形
专题01 空间向量及其运算、空间向量基本定理 一、单选题 1．（2019·全国高二课时练习）已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是（ ） A ．2a ，a ﹣b ，a +2b B ．2b ，b ﹣a ，b +2a C ．a ，2b ，b ﹣c D ．c ，a +c ，a ﹣c 【答案】C 【解析】 对于A ，因为2a = 43（a ﹣b ）+2 3（a +2b ），得2a 、a ﹣b 、a +2b 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，A 不正确； 对于B ，因为2b = 43（b ﹣a ）+2 3 （b +2a ），得2b 、b ﹣a 、b +2a 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，B 不正确； 对于C ，因为找不到实数λ、μ，使a =λ?2b +μ（b ﹣c ）成立，故a 、2b 、b ﹣c 三个向量不共面， 它们能构成一个基底，C 正确； 对于D ，因为c =12（a +c ）﹣1 2 （a ﹣c ），得c 、a +c 、a ﹣c 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，D 不正确 故选：C ． 2．（2020·贵州省铜仁第一中学高二开学考试）如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，设1AA a =， AB b =，AD c =，N 是BC 的中点，试用a ，b ，c 表示1A N （ ） A ．12 a b c -++ B ．a b c -++ C ．12 a b c --+ D ．12 a b c -+ 【答案】A
【解析】 N 是BC 的中点， 11111 222 A N A A A B BN a b B C a b A D a b c ∴=++=-++=-++=-++. 故选：A. 3．（2020·山东省章丘四中高二月考）如图,在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点,则OG 等于（ ） A ．111 333OA OB OC ++ B ．111 234OA OB OC ++ C ．111244 OA OB OC ++ D ．111446 OA OB OC ++ 【答案】C 【解析】 在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点 ∴1 2 OG OA AD =+ 11 ()22OA AB AC =+?+ 1 ()4OA OB OA OC OA =+?-+- 111 244 OA OB OC =++ 故选:C. 4．（2020·河南省高二期末）如图在平行六面体1111ABCD A B C D -中，E 为11A D 的中点，设AB a =， AD b =，1AA c =，则CE =（ ）
向量的线性运算经典测试题及答案解析 一、选择题 1．若2a b c +=r r ，3a b c -=r r ，而且c r ≠0，a r 与r b 是（ ） A ．a r 与r b 是相等向量 B ．a r 与r b 是平行向量 C ．a r 与r b 方向相同，长度不等 D ．a r 与r b 方向相反，长度相等 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知条件求得52a c =r r ，1b 2 c =-r r ，由此确定a r 与b r 位置和数量关系． 【详解】 解：由2a b c +=r r ，3a b c -=r r ，而且c r ≠0，得到：52a c =r r ，1b 2 c =-r r ， 所以a r 与b r 方向相反，且|a r |＝5|b r |． 观察选项，只有选项B 符合题意． 故选：B ． 【点睛】 本题考查了平面向量的知识，属于基础题，注意对平面向量这一基础概念的熟练掌握． 2．下列命题中，真命题的个数为( ) ①方向相同 ②方向相反 ③有相等的模 ④ 方向相同 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用向量共线的基本性质逐一核对四个命题得答案. 【详解】 解：对于①，若，则 方向相同，①正确； 对于②，若，则方向相反，②正确； 对于③，若，则方向相反，但 的模不一定，③错误； 对于④，若 ，则 能推出 的方向相同，但 的方向相同，得到 ④错误. 所以正确命题的个数是2个，故选:C. 【点睛】 本题考查命题的真假判断与应用，考查了向量共线的基本性质，是基础题.
3．如图，已知向量a r ，b r ，c r ,那么下列结论正确的是（ ） A ．a b c +=r r r B ．b c a +=r r r C ．a c b +=r r r D ．a c b +=-r r r 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 由平行四边形法则，即可求得： 解：∵CA AB CB +=u u u r u u u r u u u r ， 即a c b +=-r r r 故选D ． 4．下列判断正确的是( ) A ．0a a -=r r B ．如果a b =r r ，那么a b =r r C ．若向量a r 与b 均为单位向量，那么a b =r r D ．对于非零向量b r ，如果()0a k b k =?≠r r ，那么//a b r r 【答案】D 【解析】 【分析】 根据向量的概念、性质以及向量的运算即可得出答案. 【详解】 A. -r r a a 等于0向量，而不是等于0，所以A 错误； B. 如果a b =r r ，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，所以B 错误； C. 若向量a r 与b 均为单位向量，说明两个向量长度相等，但方向不一定相同，所以C 错误； D. 对于非零向量b r ，如果()0a k b k =?≠r r ，即可得到两个向量是共线向量，可得到//a b r r ，故D 正确. 故答案为D. 【点睛】
1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其线性运算 学习目标核心素养 1.理解空间向量的概念．(难点) 2.掌握空间向量的线性运算．(重点) 3.掌握共线向量定理、共面向量定理及推 论的应用．(重点、难点) 1.通过空间向量有关概念的学习，培养学生的 数学抽象核心素养. 2.借助向量的线性运算、共线向量及共面向量 的学习，提升学生的直观想象和逻辑推理的核 心素养. 国庆期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？ 图1 图2 如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那么他实际发生的位移是什么？又如何表示呢？ 1．空间向量 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：空间向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：AB → ，其模记为|a|或|AB → |. 2．几类常见的空间向量 名称方向模记法 零向量任意00 单位向量任意1 相反向量相反相等 a的相反向量：－a AB → 的相反向量：BA →
相等向量相同相等a＝b 3.空间向量的线性运算 (1)向量的加法、减法 空间向量的 运算 加法OB→＝OA→＋OC→＝a＋b 减法CA→＝OA→－OC→＝a－b 加法运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) ①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 当λ>0时，λa与向量a方向相同； 当λ<0时，λa与向量a方向相反； 当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍． ②运算律 a．结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a. b．分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 思考：向量运算的结果与向量起点的选择有关系吗？ [提示]没有关系． 4.共线向量 (1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． (2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a. (3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb. (4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得OP → ＝λa. 5．共面向量 (1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． (2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存
空间向量及其运算 【高考导航】 本节内容是高中教材新增加的内容，在近两年的高考考查中多作为解题的方法进行考查，主要是解题的方法上因引入向量得以扩展.例如2001上海5分，2002上海5分. 【学法点拨】 本节共有4个知识点：空间向量及其线性运算、共线向量与共面向量、空间向量的分解定理、两个向量的数量积.这一节是空间向量的重点，在学习本节内容时要与平面向量的知识结合起来，认识到研究的范围已由平面扩大到空间.一个向量是空间的一个平移，两个不平行向量确定的是一个平行平面集，在此基础上，把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间，得出空间直线与平面的表达式，有了这两个表达式，我们可以很方便地解决空间的共线和共面问题.空间向量基本定理是空间几何研究代数化的基础，有了这个定理，整个空间被3个不共面的基向量所确定，空间一个点或一个向量和实数组（x ，y ，z ）建立起一一对应关系，空间向量的数量积一节中，由于空间任一向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义、取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同. 【基础知识必备】 一、必记知识精选 1.空间向量的定义 (1)向量：在空间中具有大小和方向的量叫作向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量. (2)向量的表示有三种形式：a ,AB ，有向线段. 2.空间向量的加法、减法及数乘运算. (1)空间向量的加法.满足三角形法则和平行四边形法则，可简记为:首尾相连，由首到尾.求空间若干个向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量.首尾相接的若干个向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0，即21A A +32A A +…1A A n =0. (2)空间向量的减法.减法满足三角形法则,让减数向量与被减数向量的起点相同,差向量由减数向量的终点指向被减数向量的终点,可简记为“起点相同,指向一定”,另外要注意 -=的逆应用. (3)空间向量的数量积.注意其结果仍为一向量. 3.共线向量与共面向量的定义. (1)如果表示空间向量的有向线段在直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.对于空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b ?a=λb ,若A 、B 、P 三点共线,则对空间任意一点O ,存在实数t,使得OP =(1-t)OA +t OB ,当t=2 1 时,P 是线段AB 的中点,则中点公式为OP = 2 1 (OA +OB ). (2)如果向量a 所在直线O A 平行于平面α或a 在α内,则记为a ∥α,平行于同一个平面的
空间向量及其运算 1.空间向量的有关概念 2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理 空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb. (2)共面向量定理 共面向量定理的向量表达式：p＝x a＋y b，其中x，y∈R，a，b为不共线向量. (3)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p ＝x a＋y b＋z c，{a，b，c}叫作空间的一个基底.
3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB 叫作向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π 2，则称a 与b 互相垂直， 记作a ⊥b . ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫作向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉. (2)空间向量数量积的运算律 ①(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ； ③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 4.空间向量的坐标表示及其应用 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3). 概念方法微思考 1.共线向量与共面向量相同吗？ 提示 不相同.平行于同一平面的向量就为共面向量. 2.零向量能作为基向量吗？ 提示 不能.由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量. 3.空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取有关吗？ 提示 无关.这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简，不会影响结果.
空间向量及其线性运算 目标认知 学习目标： 1．了解空间向量的概念，体会向量由平面向空间的推广过程。 2．掌握空间向量的线性运算，掌握向量共线的充要条件. 3．掌握空间向量的数量积，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 重点： 空间向量的线性运算和空间向量的数量积；空间向量共线与垂直的充要条件. 难点： 空间向量的数量积，空间向量共线与垂直的充要条件. 学习策略： 把向量的研究范围从平面扩大到空间，就得到空间向量，因此，空间向量是平面向量的推广，学习空间向量的相关概念及其运算时，完全类比平面向量的概念及其运算。 知识要点梳理 知识点一：空间向量的相关概念 1.空间向量的定义： 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示；记作：或。 注意： （1）空间中点的一个平移就是一个向量； （2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量 可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。 2.空间向量的长度（模）： 表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作或 3．空间向量的有关概念： 零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为。 单位向量：长度为1的空间向量，即. 相等向量：方向相同且模相等的向量。 相反向量：方向相反但模相等的向量。 共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平 行向量．平行于记作．
共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。 两个规定： （1）与任意向量平行； （2）与任意向量垂直。 注意： ①当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可 能是平行直线． ②向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此我们说空间任意两 个向量是共面的． 4.两个向量的夹角 已知两非零向量，在空间任取一点O，作向量，，则叫做与的夹角，记作。 规定： 当或时，向量与平行，记作 当时，向量与垂直，记作 知识点二：空间向量的加减法 因为空间任意两个向量是共面的．定义空间向量的加法、减法、数乘向量及运算律与平面向量一样。 （1）空间向量的加减法运算 ①如图,若， 则= ②如图，若
1 A．-a+b+c B．a+b+c C．a-b+c D．-a-b+c A．OM=2OA-OB-OC B．O M=OA+OB+OC 1 C．（－，，－1）D．（2，－3，－22） 2 C．π N A．a-b+c B．-a+b+c C．a+b-c D．a+b-c 精心整理 新课标高二数学同步测试（2－1第三章3.1） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填 在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．在平行六面体ABCD—A B C D中，M为AC与BD的交点，若A B=a， 1111 A D=b，A A=c.则下列向量中与 B M相等的向量是（） 1111 1111 2222 1111 2222 图 2．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是（） 111 532 C．MA+MB+MC=0D．OM+OA+OB+OC=0 3．已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB=4，AD=3，AA'=5，∠BAD=900， ∠BAA'=∠DAA'=600，则AC'等于（） A．85B．85C．52D．50 4．与向量a=(1,-3,2)平行的一个向量的坐标是（） A．（，1，1）B．（－1，－3，2） 3 13 22 5．已知A（－1，－2，6），B（1，2，－6）O为坐标原点，则向量OA,与OB的夹角是（） A．0B．πD．3π2 6．已知空间四边形ABCD中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在OA上，且OM=2MA，为BC中点，则MN=（） 121 232 111 222 211 322 221 332 7．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足AB?AC=0，AC?AD=0，AB?AD=0，则?BCD是 （） A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定 8．空间四边形OABC中，OB=OC，?AOB=?AOC=600，则cos O A，BC=（）
专题1002：空间向量的线性运算 例：如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量： (1)AP →； (2)A 1N →； (3)MP →＋NC 1→. 跟踪训练1 如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．用AB →，AD →，AA 1 →表示OC 1→，则OC 1→＝________________.
跟踪训练2：如图，在三棱锥O —ABC 中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，设OA →＝a ，OB →＝ b ，OC →＝ c ，用a ，b ，c 表示NM →，则NM →等于( ) A.12 (－a ＋b ＋c ) B.12(a ＋b －c ) C.12(a －b ＋c ) D.12 (－a －b ＋c ) 跟踪训练3．已知空间向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，且a ，b 的夹角为π3 ，O 为空间直角坐标系的原点，点A ，B 满足OA →＝2a ＋b ，OB →＝3a －b ，则△OAB 的面积为( ) A.52 3 B.54 3 C.74 3 D.114 跟踪训练4．(多选)有下列四个命题，其中不正确的命题有( ) A ．已知A ， B ， C ， D 是空间任意四点，则AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0 B ．若两个非零向量AB →与CD →满足AB →＋CD →＝0，则AB →∥CD → C ．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 D ．对于空间的任意一点O 跟踪训练5．如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别为OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ＋y ＋z ＝________.
空间向量及其线性运算 编稿：赵 雷 审稿：李 霞 【学习目标】 1. 理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示方法与字母表示方法． 2．掌握空间向量的线性运算（加法、减法和数乘）及其运算律． 3．掌握空间向量的共线定理和共面定理，并能用它们分析解决有关问题． 【要点梳理】 要点一、空间向量的相关概念 1.空间向量的定义： 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示；记作：AB 或a 。 （要注意印刷体用a ，而手写体为a ，要区分开） 要点诠释： （1）空间中点的一个平移就是一个向量； （2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向 量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。 2.空间向量的长度（模）： 表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作||AB 或||a 3．空间向量的有关概念： 零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为0。规定：0与任意向量平行。 单位向量：长度为1的空间向量，即||1a . 相等向量：方向相同且模相等的向量。 相反向量：方向相反但模相等的向量。 共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平 行向量．a 平行于b 记作b a //． 共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。 要点诠释： ①当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也 可能是平行直线． ②向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此我们说空间任意两个向量是共面的． 要点二、空间向量的加减法 1．加减法定义 空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．（如下图）．
专题01 空间向量及其运算、空间向量基本定理 一、单选题 1．（2019·全国高二课时练习）已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是（ ） A ．2a ，a ﹣b ，a +2b B ．2b ，b ﹣a ，b +2a C ．a ，2b ，b ﹣c D ．c ，a +c ，a ﹣c 2．（2020·贵州省铜仁第一中学高二开学考试）如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，设1AA a =，AB b =，AD c =，N 是BC 的中点，试用a ，b ，c 表示1A N （ ） A ．12a b c -++ B ．a b c -++ C ．12a b c --+ D ．12 a b c -+ 3．（2020·山东省章丘四中高二月考）如图,在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点,则OG 等于（ ） A ．111 333 OA OB OC ++ B ．111234OA OB OC ++ C ．111244OA OB OC ++ D ．111446OA OB OC ++ 4．（2020·河南省高二期末）如图在平行六面体1111ABCD A B C D -中， E 为11A D 的中点，设AB a =，AD b =，1AA c =，则CE =（ ）
A ．12a b c --+ B ．12a b c -+ C ．12a b c -- D ．12 a b c +- 5．（2020·广东省红岭中学高二期末） AB 与CD 共线是直线AB ∥CD 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．（2020·广东省红岭中学高二期末）O 为空间任意一点,,,A B C 三点不共线,若OP =111326 OA OB OC + +,则,,,A B C P 四点 A ．一定不共面 B ．不一定共面 C ．一定共面 D ．无法判断 7．（2019·随州市第一中学高二期中）空间A B C D 、、、四点共面，但任意三点不共线，若P 为该平面外一点且5133PA PB xPC PD = --，则实数x 的值为（ ） A ．13 B ．13- C ．23 D ．23 - 8．（2020·甘肃省高二期末）如图，空间四边形OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，且2OM MA =，BN NC =，则MN 等于( ) A ．221332 a b c ++ B ． 122121a b c +- C ．122132a b c -++ D ．123122a b c -+
空间向量及其线性运算 【学习目标】 1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示方法与字母表示方法； 2．掌握空间向量的线性运算（加法、减法和数乘）及其运算律； 3．掌握数量积的概念及其几何意义，掌握数量积的运算律； 4．掌握空间向量的共线定理和共面定理，并能用它们分析解决有关问题． 【要点梳理】 要点一：空间向量的相关概念 1．空间向量的定义： 空间向量：空间中，既有大小又有方向的量； 空间向量的表示：一种是用有向线段AB 表示，A 叫作起点，B 叫作终点； 一种是用小写字母a （印刷体）表示，也可以用a （而手写体）表示． 向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作||AB 或||a . 向量的夹角：过空间任意一点O 作向量a b ，的相等向量OA 和OB ，则↓AOB 叫作向量a b ，的夹角，记作?a b ，∠，规定0??a b ，∠?π．如图： 要点诠释： （1）空间中点的一个平移就是一个向量； （2）数学中讨论的向量是自由向量，即与向量的起点无关，只与大小和方向有关. 只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移； （3）要确定向量a b ，的夹角必须将它们平移到同一起点； （4）当?a b ，∠=0或π时，向量a ，b 平行，记作a ?b ；当 ?a b ，∠= 2 π 时，向量 a b ，垂直，记作a ⊥b . 2．空间向量的有关概念： 零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为0．规定：0与任意向量平行． 单位向量：长度为1的空间向量，即||1a =． 相等向量：方向相同且模相等的向量． 相反向量：方向相反但模相等的向量． 共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平 行向量．a 平行于b 记作b a //，此时．?a b ，∠=0或?a b ，∠=π． 共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 要点诠释： （1）当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线， 也可能是平行直线． （2）向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此我们说空间